Gauss Jordan

.

Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan

dari Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli matematika”

disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga ahli

matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak

pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang

dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara.

Pada suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis

orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss. Ketika itu ayahnya tengah

menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya, dan Gauss memperhatikan

dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah perhitungan yang panjang dan

membosankan. Gauss tiba-tiba memberi tahu ayahnya bahwa terdapat kesalahan dalam

perhitungannya dan memberikan jawaban yang benar, yang diperoleh hanya dengan

memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang mengherankan orang tuanya adalah setelah

diperiksa ternyata perhitungannya Gauss benar.

Dalam desertasi doktoralnya Gauss memberikan bukti lengkap pertama teori-

teori dasar aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial memiliki

solusi sebanyak pangkatnya. Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang

membingungkan Euclid, menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan

menggunakan jangka dan kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia

mempublikasikan karya terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang dipandang

banyak orang sebagai salah satu prestasi paling berlian dalam matematika. Dalam

makalah itu Gauss melakukan sistematisasi studi dari teori bilangan (sifat-sifat bilangan

bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar dari hal tersebut.

Diantara prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau

kurva berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan

interpretasi geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan

metode-metode karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan kurva-

kurva yang dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle

preserving) dan menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum dipublikasikan

oleh orang lain. Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan yang besar terhadap

teori lensa dan gerakan kapiler, dan bersama Wilhelm Weber ia mengerjakan pekerjaan

penting dalam bidang elektromagnetisme, magnetometer bifilar dan elektrograf.

Gauss adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia

dengan mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati

bidang minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya

bersikap dingin tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya, kemungkinan

ini karena ia mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika saja Gauss

mempublikasikan semua penemuaannya, maka matematika saat ini akan lebih maju 50

tahun. Tak diragukan lagi bahwa ia adalah ahli matematika terbesar dalam era modern.

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.

Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah

maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang

berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1,

elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL,

tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan

matriks koefisien sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk

menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-

persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem

persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

a11x1+a12 x2+…+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2

. . . .

. . . .

. . . .

am1 x1+am2 x2+…+ann xn=bn

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas

sebagai persamaan matriks

Ax=b

Yang dalam hal ini,

A=[ai , j] adalah matriks berukuran n x n

x=[x j] adalah matriks berukuran n x 1

b=[b j ] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom)

Yaitu:

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1

a32…an2

a33…an3

… a1n… a2n………

a3n…ann

] [x1x2x3…xn

]=[b1b2b3…bn

]Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode

eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat

diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal.

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks

sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan

operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke

dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks

Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-

variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga

atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:

[a11 a12 a130 a22 a230…0

0…0

a33…0

… a1n… a2n………

a3n…ann

] [x1x2x3…xn

]=[b1b2b3…bn

]Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward

substitution):

ann xn=bn⇒ xn=bn

ann

an−1, n−1 xn−1+an−1 , n xn=bn−1⇒ xn−1=(bn−1−an−1, nxn )

an−1 ,n−1

………………………………………….

dst .

Sekali xn , xn−1 , xn−2 ,.. , xk+1 diketahui, maka nilai xk dapat dihitung dengan:

xk=bk− ∑

j=k +1

n

akj x j

akk, k=n−1 , n−2 ,…,1danakk≠0.

Kondisi akk≠0 sangat penting. Sebab bila akk≠0, persamaan diatas menjerjakan

pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak

mempunyai jawaban.

Contoh:

x+ y+2 z=9

2 x+4 y−3 z=1

3 x+6 y−5 z=0

[1 1 22 4 −33 6 −5

910]

…(i)… (ii)…(iii )

[1 1 20 2 −73 6 −5

9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 3 −11

9−172

−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 −12

9−172

−32

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)

Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

x3=3

x2−72x3=−17

2⇒ x2=2

x1+ x2+2 x3=9⇒ x1=1

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Tata ancang pivoting

Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika a p , p( p−1)= 0, cari baris

k dengan ak , p ≠0 dan k > p, lalu pertukaran baris p dan baris k. Metode eliminasi

Gauss dengan tata ancang pivoting disebut metode eliminasi Gauss yang

diperbaiki (modified Gauusian elimination)

Contoh:

Selesaikan sistem prsamaan lanjar berikut dengan meetode eliminasi Gauss yang

menerapkan tata ancang pivoting.

x1+2x 2+ x3=2

3x1+6x 2=9

2x1+8x 2+4x 3=6

[1 2 13 6 02 8 4

296]

R2−3 R1

R3−2R1 [1 2 10 0 −30 4 2

232]R1⇔R3

(¿) [1 2 10 4 20 0 −3

223]

Operasi baris 1 Operasi baris 2

Setelah operasi baris 1, elemen a22 yang akan menjadi pivot pada operasi

baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2, elemen baris

2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan pertukaran baris

terjadi akibat proses pivoting. Sekarang elemen a22=4≠0 sehingga operasi baris

elementer dapat diteruskan. Tetapi, karena matriks A sudah membentuk matriks

U, proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan

mundur, yaitu x3=−1 , x2=1, dan x1=1.

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol

adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga

timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat

kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat

muncul.

Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:

a. Pivoting sebagian (partial pivoting)

Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada

kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,

ak , p¿max ¿¿a p , p,a p+1 , p,…, an−1, p,an , p}

Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris

pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di

bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua,

dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu

pertukarkan barisnya dengan baris ke-2. Elemen x yang nilai mutlaknya

terbesar itu sekarang menjadi pivot untuk operasi baris selanjutnya.

[ x x x0 x x00

xx

xx

x xx xxx

xx ]

Cari xterbesar, lalu

pertukarkan barisnya dengan baris ke-2

perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari

pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak

akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika

seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan

pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan

linier tidak dapat diselesaikan (singular system)

b. Pivoting Lengkap (complete pivoting)

Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar

dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap.

Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena

pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah

kerumitan program secara berarti.

Contoh:

Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan

metode eliminasi Gauss:

0.0003 x1+1566 x2=1569

0.3454 x1−2436 x2=1018

a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)

b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)

Penyelesaian

a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian

[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]

Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot )

R2⟵R2−0.3454 R10.0003

=R2−1151R1

(Tanda “⟵” berarti “diisi” atau “diganti dengan”)

Jadi,

a21≈0

a22≈−2.436−(1151 ) (1.566 )=−2.436−1802≈−1804

b22≈1.018−(1151 ) (1.569 )≈1.018−1806≈−1805

[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]R2−1151R1[0.0003 1.566 1.569

0 −1804 −1805]

Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:

x2=−1805−1804

=1.001

x1=1.569−(1.566 )(1.001)

0.0003 =1.569−1.5680.0003 =

0.0010.0003=3.333

(jauh dari solusi sejati)

Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi

sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena a11sangat kecil bila

dinbandingkanx12, sehingga galat pembulatan yang kecil pada x2

menghasilkan galat besar dix1. Perhatikan juga bahwa 1.569−¿ 1.568

adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang

menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.

b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian

Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454

menjadi pivot

[0.3454 −2.436 1.0180.0003 1.566 1.569 ]R2−

0.00030.3454

R1[0.3454 −2.436 1.0180 1.568 1.568]

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:

x2=1.5681.568

=1.000

x1=1.018−(−2.436 )(1.000)

0.3454 =10.02 (lebih baik daripada solusi a)

Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a.

keberhasilan ini karena a21 tidak sangat kecil dibandingkan dengan a22,

sehingga galat pembulatan yang kecil pada x2 tidak akan menghasilkan

galat yang besar pada x1.

Penskalaan Kemungkinan solusi SPL

Selain dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat digunakan

untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai perbedaan

koefisien yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam praktek

rekayasa yang menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda dalam

menentukan persamaan simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian listrik,

tegangan listrik dapat dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari microvolt

sampai kilovolt.

Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat menuju ke koefisien yang

besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada galat pembulatan, dank arena itu

mempengaruhi pivoting. Dengan penskalaan berarti kita menormalkan

persamaan. Cara menskala adalah membagi tiap baris persamaan dengan nilai

mutlak koefisien terbesar di ruang kirinya. Akibat penskalaan, koefisien

maksimum dalam tiap baris adalah 1. Cara menskala seperti ini dinamakan

dengan menormalkan SPL.

Contoh:

Selesaikan system persamaan lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna

menggunakan metode eliminasi Gauss yang menerapkan perskalaan dan tanpa

perskalaan:

2x1 + 100000x2=100000

x1+ x2=2

(Solusi sejatinya dalam 3 angka bena adalah x1=x2=1,00 ¿

Penyelesaian:

(i) Tanpa perskalaan

[2 100000 1000001 1 2 ]R2−

12R1 [2 100000 1000000 −50000 −50000]

Solusinya adalah

x2=1.00

x1=0.00 (salah)

(ii) Dengan penskalaan

2x1+100000 x2=100000 :100000 0.00002 x1+ x2=1

x1+ x2=2 : 1 x1+ x2=2

[0.00002 1 11 1 2]R2⇔R1

(¿) [ 1 1 20.00002 1 1]∼[1 1 2

0 1 1.00]Solusinya,

x2=1.00

x1=1.00 (benar)

Yang sesuai dengan solusi sejati. Contoh di atas juga memperlihatkan bahwa

penskalaan dapat mengubah pemilihan pivot.

Kemungkinan solusi SPL

Tidak semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi

pada SPL:

a) Mempunyai solusi yang unik

b) Mempunyai banyak solusi, atau

c) Tidak ada solusi sama sekali

Untuk SPL dengan tiga buah persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau

lebih)tidak terdapat tafsiran geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi

grafiknya) seperti pada SPL dengan dua buah persamaan. Namun, kita masih

dapat memeriksa masing-masing kemungkinan solusi itu berdasarkan pada

bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau contoh pada SPL yang disusun

oleh tiga persamaan.

1) Solusi unik/tunggal

[1 1 12 3 43 1 2

011]

EliminasiGauss→ [1 1 1

0 1 −10 0 −3

013]

Solusi: x1=1 , x2=0 , x3=−1

2) Solusi banyak/tidak terhingga

[1 1 22 −1 11 2 3

426]

EliminasiGauss→ [1 1 2

0 −3 −30 0 0

4−60 ]

Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang

bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah

0 x1+0x2+0 x3=0

Yang dipenuhi oleh banyak nilai x. solusinya diberikan dalam bentuk

parameter:

Misalkan x3=k ,

Maka x2=−6+3k danx1=10−5k dengank∈R .

3) Tidak ada solusi

[1 1 22 −1 11 2 3

427]

EliminasiGauss→ [0 1 2

0 −3 −30 0 0

4−61 ]

Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang

bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah

0 x1+0x2+0 x3=1

Yang dalam hal ini, tidak nilai x i yang memenuhi, i=1,2,3

Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.

Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah

maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi

yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai

1, elemen-elemen lainnya nol).

Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1

a32…an2

a33…an3

… a1n b1… a2n b2………

a3n…ann

b3…bn

][ 1 0 00 1 00…0

0…0

1…0

… 0 b1,

… 0 b2,

………

0…1

b3,

…bn, ]

Solusinya: x1=b1,

x2=b2,

…………

xn=bn,

Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf

tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan

disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,

sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada

baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama

pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama

pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

1. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A

3. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n

a) Perhatikan apakah nilai a i ,i sama dengan nol:

Bila ya:

Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+k≤n, dimana a i+k ,i tidak sama dengan

nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses

dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

Bila tidak: Lanjutkan

b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k

dimana k=1 s/d n+1, hitung a i ,k=ai , k

a i, i

4. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n

Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n

Hitung c=a j , i

Hitung a j , k=a j ,k−c .a i, k

5. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)

x i=a i ,n+1

Contoh:

x+ y+2 z=9

2 x+4 y−3 z=1

3 x+6 y−5 z=0

Penyelesaian:

[1 1 22 4 −33 6 −5

910]

…(i)… (ii)…(iii )

[1 1 20 2 −73 6 −5

9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 3 −11

9−172

−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 −12

9−172

−32

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)

[1 0 112

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (i)

[1 0 00 1 00 0 1

123]

kalikanbaris ( iii )dengan(−112 ) ,lalu tambahkanke baris (i ) ,

dan kalikanbaris ( iii )dengan( 72 ) , lalutambahkanke baris(ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan

Masukkan dimensi (ukuran) dari matriks (Baris x Kolom).

Ukuran maksimum yang dapat diterima kalkulator ini adalah 9x9.

Nilai hasil dari setiap operasi akan dibulatkan ke 3 angka di belakang koma.

Matriks Identitas hanya akan ditambahkan secara otomatis jika dimensi

(ukuran) matriks yang terbentuk kurang atau sama dengan 9x9

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat

digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat

dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan

melalui operasi-operasi matriks:

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks identitas,

maka didapatkan hasil akhir:

Eliminasi Gauss-Jordan

Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris

tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama

untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh

Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

1.Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu

adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2.Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3.Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris

yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih

tinggi.

4.Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Misal kita punya matriks berikut:

Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.

Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan

entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)

Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah

a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1 utama.

Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)

Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di

bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.

-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi dengan

langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruhnya matriks

berada dalam bentuk eselon baris.

lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol

baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama

-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah 1 utama.

baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1

baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.

Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan

kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1

utama.

kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.

-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama

5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama

Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah 6

dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.

Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan

x1 + 2×2 +3 x4 = 2

x3 = 1

x5=2

Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk memperoleh

nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).

Referensi

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination

Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. “Schaum’s Outlines: Linear Algebra“. Tata McGraw-

hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts:

Wellesley-Cambridge Press, 74-76.

Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDI