urunan parsial definisi - arisgunaryati's blog · pdf fileanalog dengan hal tersebut,...
TRANSCRIPT
6
URUNAN PARSIAL
Definisi
Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka:
(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x
yxf
),( atau fx(x,y), didefinisikan sebagai
x
yxf
),( =
x
yxfyxxf
x
),(),(lim
0
(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y
yxf
),( atau fy(x,y), didefinisikan sebagai
y
yxf
),( =
y
yxfyyxf
y
),(),(lim
0
Contoh:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan
dengan f(x,y) = x2y +5x + 4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial
f terhadap y di titik (2,3)
Jawab:
x
yxf
),( =
x
yxfyxxf
x
),(),(lim
0
= x
xyxxxyxx
x
)45(4)(5)(lim
22
0
= x
xyxxxyxyxxyx
x
)45(455)(..2lim
222
0
= x
xyxyxx
x
5)(..2lim
2
0
= 2xy + 5
y
yxf
),( =
y
yxfyyxf
y
),(),(lim
0
= y
xyxxyyx
y
)45(45)(lim
22
0
= y
yx
y
2
0lim
= x2
7
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah x
f
)3,2( = 2(2)(3) + 5 = 17
dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3) adalah y
f
)3,2( = 2
2 = 4
Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variable f(x,y) maka dapat
dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variable x maka y diperlakukan
seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variable y maka x diperlakukan seperti
konstanta.
Contoh:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan
dengan f(x,y) = 3x4y
2 + xy
2 + 4y.
Jawab:
x
yxf
),( = 12x
3y
2 + y
2
y
yxf
),( = 6x
4y + 2xy + 4
Soal:
Tentukan x
yxf
),( dan
y
yxf
),( untuk
1. f(x,y) = 2x2y
3 – x
3y
5
2. f(x,y) = x2 – 3xy + ln(x
2 + y
2)
TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI
Contoh:
Tentukan semua turunan parsial tingkat dua fungsi f yang dirumuskan dengan
f(x,y) = 3x4y
2 + xy
2 + 4y.
Jawab:
2
2 ),(
x
yxf
=
x
yxf
x
),( = 36x
2y
2
2
2 ),(
y
yxf
=
y
yxf
y
),( = 6x
4 + 2x
8
xy
yxf
),(2
=
x
yxf
y
),( = 24x
3y + 2y
yx
yxf
),(2
=
y
yxf
x
),( = 24x
3y + 2y
Fungsi dua variabel f(x,y) yang memenuhi persamaan Laplace disebut Fungsi Harmonik.
Persamaan Laplace: 2
2 ),(
x
yxf
+
2
2 ),(
y
yxf
= 0.
Contoh: Apakah fungsi berikut merupakan fungsi Harmonik? Tunjukkan!
1. f(x,y) = x3y – xy
3
2. f(x,y) = e–y
cos x
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI
1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y) dengan u dan v
kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F fungsi dari u dan v yang mempunyai
turunan pertama yang kontinu dalam daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
dan
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
Contoh:
F(u,v) =3u2 – v
2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy
Carilah x
F
dan
y
F
2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua variable u =
u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan
parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
x
w
w
F
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
dan
y
w
w
F
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
Contoh:
(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw
2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y
Carilah x
dan
y
.
9
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable, sehingga
berdasarkan aturan rantai diperoleh:
x
y
y
F
x
x
x
F
x
z
x
y
y
F
x
F
x
z
………………………….(*)
Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*) menjadi
x
y
y
F
x
F
0
y
F
x
F
x
y
asalkan
y
F
0
Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan oleh
persamaan F(x,y,z) = 0 maka :
z
F
x
F
x
z
dan
z
F
y
F
y
z
asalkan
z
F
0
Contoh:
Tentukan x
z
dan
y
z
dari:
1. x2yz – xy + yz = 0
2. x3e
y+z – y sin(x – z) = 0
3. xy – z2 +2xyz = 0
INKREMEN (PERTAMBAHAN) DAN DIFERENSIAL
Definisi:
Jika f fungsi dua variabel dan z = f(x,y), x dan y pertambahan variabel x dan y maka
x = f(x,y) = f(x + x, y + y) – f(x,y)
disebut pertambahan variabel z.
Definisi:
Misalkan f fungsi dua variabel dan x dan y dengan turunan parsial pertama fx dan fy yang kontinu
dalam daerah terbuka D dan z = f(x,y). Jika (x,y) titik dalam D dan x dan y bilangan
sembarang sehingga (x + x, y + y) juga titik dalam D, maka:
(i) diferensial variabel bebas dx dan dy dibatasi sebagai dx = x dan dy = y
(ii) diferensial variabel tak bebas adalah dz = df(x,y) = fx (x,y) dx + fy (x,y) dy
10
Soal:
Tentukan dz dari fungsi berikut:
1. z = x3 – xy
2 + 3y
2. z = 13
2
y
yx
3. z = x2 sin 3y
TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
Ingat: x
f
= fx laju perubahan f terhadap jarak dalam arah X.
y
f
= fy laju perubahan f terhadap jarak dalam arah Y.
Jika u = cos i + sin j vektor satuan dengan titik awal P(x1,y1) maka turunan berarah f dalam
arah u di bidang XY, dinotasikan dengan fu (x,y) atau u
yxf
),( adalah:
u
yxf
),( = fx(x,y) cos + fy(x,y) sin
Y
u sin
P(x1,y1) cos
0 X
Contoh
Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y
2, tentukan turunan berarah f di titik P(2,–1) dalam arah a = 4i + 3j
Penyelesaian
Vektor satuan u yang searah dengan a adalah a
a =
5
4i +
5
3 j. Jadi cos =
5
4 dan sin =
5
3
fx(x,y) = 8x – y dan fy(x,y) = –x + 6y sehingga
u
yxf
),( = (8x – y)
5
4 + (–x + 6y)
5
3
11
u
f
)1,2( = (17)
5
4 + (–8)
5
3 =
5
44
Perhatikan :
u
yxf
),( = fx(x,y) cos + fy(x,y) sin
dapat dinyatakan sebagai hasil kali titik (dot product) dua vector sebagai berikut:
u
yxf
),( = (cos i + sin j ) . (fx(x,y) i + fy(x,y) j)
= u . ),( yxf
dengan ),( yxf = (fx(x,y) i + fy(x,y) j) dan disebut gradien f.
MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM
Definisi
Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika
terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(x,y) f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu,
dan f(a,b) disebut nilai maksimum relatif.
Sebaliknya, f dikatakan mencapai minimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b)
demikian sehingga f(x,y) f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai
minimum relatif.
Nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif biasa disebut nilai ekstrem relatif.
Syarat perlu agar f mencapai nilai ekstrem relatif di titik (a,b) adalah:
0),(
x
baf dan 0
),(
y
baf ………………………… (**)
Titik (a,b) yang memenuhi (**) biasa disebut titik kritis.
Teorema (Tes Turunan Kedua)
Misalkan f fungsi dua variable yang kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua
yang kontinu juga, apabila (a,b) titik kritis f dan
22
2
2
2
2 ),(),(),(
yx
baf
y
baf
x
baf
maka:
12
(i) f mencapai nilai minimum relatif di (a,b) jika 0 dan 2
2 ),(
x
baf
0
(ii) f mencapai nilai maksimum relatif di (a,b) jika 0 dan 2
2 ),(
x
baf
0
(iii) f tidak mencapai nilai ekstrem relatif di (a,b) jika 0
(iv) belum dapat disimpulkanapabila = 0.
Untuk (iii) 0 maka (a,b) disebut titik pelana
Contoh:
1. Tentukan nilai ekstrem, jika ada, untuk f(x,y) = 3x3 + y
2 – 9x + 4y.
2. Tentukan jarak minimum titik pada z2 = x
2y + 4 ke pusat koordinat.