universitas sanata dharma · 2020. 2. 12. · i profil pck (pedagogical content knowledge) calon...

i

PROFIL PCK (PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE)

CALON PENDIDIK TERKAIT BENTUK-BENTUK

REPRESENTASI DALAM PEMBELAJARAN INDUKSI

MATEMATIKA DI SMA STELLA DUCE 2 YOGYAKARTA

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun oleh:

Ana Rosari Dian Sulistyarini

NIM : 151414003

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEPENDIDIKAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN


v

HALAMAN MOTTO

4 kata yg bikin kita jauh dari SUKSES adalah what will people say. Ketika kita

melakukan sesuatu jangan pernah memikirkan what will people say. “I don't care

what people say, if you don't agree with me then walk you off way, I don't really

care”.-Deddy Corbuzier

Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will

live its whole life believing that it is stupid- Albert Einstein

Terasa sulit ketika aku merasa harus melakukan sesuatu, tetapi menjadi

mudah ketika aku menginginkannya – Annie Gottlier


vi


vii


viii

ABSTRAK

Ana Rosari Dian Sulistyarini. 2020. Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge)

Calon Pendidik Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Induksi

Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penelitian dalam skripsi ini bertujuan untuk mengetahui PCK (Pedagogical Content

Knowledge) calon pendidik terkait bentuk-bentuk representasi, khususnya pada

materi induksi matematika.

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Subjek penelitian dibatasi dua orang

mahasiswa calon pendidik pada Prodi Pendidikan Matematika Angkatan 2016

Universitas Sanata Dharma. Penelitian dilaksanakan ketika subyek sedang

melaksanakan dan setelah melaksanakan kegiatan PLP-KP di SMA Stella Duce 2

Yogyakarta tahun ajaran 2019/2020. Kategori PCK yang akan diteliti adalah

pengetahuan guru mengenai bentuk representasi bahan ajar dan bagaimana bahan

ajar disampaikan. Pengumpulan data dilakukan dengan teknik observasi proses

pembelajaran, wawancara, dokumentasi dan analisis dokumen. Teknik analisis data

dalam penelitian ini adalah teknik analisis data interaktif yang terdiri dari reduksi

data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan serta verifikasi.

Hasil penelitian ini menunjukan bahwa profil PCK kedua subjek terkait bentuk-

bentuk representasi adalah sama yang ditinjau dari kejelasan PCK, pengetahuan

materi dalam konteks pedagogik, dan pengetahuan pedagogik dalam konteks materi

yaitu: Profil PCK kedua subjek pada aspek struktur matematika dan relasinya dan

pengetahuan kurikulum masih perlu ditingkatkan lagi karena belum memenuhi

indikator. Sedangkan strategi pembelajaran, kesesuaian dan kedetailan dalam

menyajikan konsep, sumber daya pengetahuan, tujuan pengetahuan isi,

pembangunan isi sebagai kunci komponen-komponen, pemahaman yang mendalam

mengenai dasar matematika, pengetahuan mengenai pelaksanaannya, metode-

metode pemecahan masalah, tujuan pembelajaran, mengambil dan memelihara

fokus siswa, teknik kelas, sudah baik karena sudah memenuhi indikator.

Kata kunci: PCK, calon pendidik, bentuk representasi, induksi matematika


ix

ABSTRACT

Ana Rosari Dian Sulistyarini. 2020. The PCK (Pedagogical Content Knowledge)

Profile of Pre-service Teachers about the Representation Forms on Mathematical

Induction Learning in Stella Duce 2 Yogyakarta Senior High School. Thesis.

Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and

Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University Yogyakarta.

The research in this thesis aims to the PCK (Pedagogical Content Knowledge)

Profile of pre-servise teachers about the forms of representation, especially on

mathematical induction learning.

This was a qualitative research. The subject of the study was limited to two pre-

servise teachers in the 2016 Class of Mathematics Education Study Program at

Sanata Dharma University. The research was conducted when the subjects were

carrying out and after PLP-KP activities at Stella Duce 2 Yogyakarta Senior High

School in the academic year 2019/2020. The PCK category examined was the

teacher's knowledge about the form of teaching material representation and how

the teaching material is delivered. Data collection was done by observation of the

learning processes, interviews, documentation and document analysis. This study

used interactive data analysis techniques consisting of data reduction, data

presentation, and drawing conclusions and verification.

The results of this study indicate that the profile PCK of the two subjects’ are

related to forms of representation in the same terms of PCK clarity, material

knowledge in the pedagogical context, and pedagogic knowledge in the material

context, namely: profile PCK of the first and second subjects on aspects of

mathematical structure and its relationships and curriculum knowledge still needs

to be increased because it doesn't meet the indicators. Where as learning strategies,

suitability and detail in presenting concepts, knowledge resources, content

knowledge objectives, content development as key components, deep understanding

of mathematical basis, knowledge of its implementation, methods of solving

problems, learning objectives, gaining and maintaining student focus, class

technique are good because it meets the indicators.

Keywords: PCK, preservise teachers, forms of representation, mathematical

induction


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur praktikan haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena

dengan rahmat-Nya peneliti dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Profil

PCK (Pedagogical Content Knowledge) Calon Pendidik Terkait Bentuk-

Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Matematika SMA di Yogyakarta

Pada Materi Induksi Matematika” dengan lancar dan baik. Skripsi ini disusun

untuk memperoleh gelar sarjana Pendidikan Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Peneliti menyadari bahwa tanpa adanya dukungan dan bimbingan dari

beberapa pihak ketika peneliti melaksanakan penelitian, baik secara langsung

maupun tidak langsung, maka skripsi ini tidak akan berjalan dengan baik dan lancar.

Oleh karena itu, peneliti mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu Niluh Sulistyani, M. Pd., selaku dosen pembimbing skripsi yang berkenan

membimbing peneliti dengan memberikan waktu, tenaga, dan ide atau

masukan yang sangat bermanfaat bagi keberhasilan peneliti.

2. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M. Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Bapak Beni Utomo., M. Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma.

4. Ibu Cyrenia Novella Krisnamurti, M. Sc. Selaku Dosen Pembimbing

Akademik yang telah mendampingi peneliti selama berproses di Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

5. Segenap dosen dan karyawan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta,

khususnya Program Studi Pendidikan Matematika atas bimbingannya dan

bantuan selama berproses di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

6. Kepala Sekolah, Wakil Kepala Sekolah Bagian Kurikulum, guru-guru, dan

semua pihak sekolah SMA Stella Duce 2 Yogyakarta yang telah membatu

kelancaran dan keberhasilan penelitian.

7. Kedua Orangtua tercinta, kakak-kakak dan adik-adik peneliti yang selalu

memberikan doa, dukungan, dan motivasi pada peneliti.


xi


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................ii

HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................iv

HALAMAN MOTTO .........................................................................................v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................vii

ABSTRAK ..........................................................................................................viii

ABSTRACT ........................................................................................................ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................x

DAFTAR ISI .......................................................................................................xii

DAFTAR TABEL ...............................................................................................xiv

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv

DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................xvi

BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 5

C. Tujuan Penelitian ........................................................................................... 6

D. Pembatasan Masalah ...................................................................................... 6

E. Penjelasan Istilah ............................................................................................ 7

BAB II. KAJIAN TEORI ...................................................................................... 10

A. Pembelajaran Matematika .............................................................................. 10

B. Pedagogical Content Knowledge (PCK) ........................................................ 11

C. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi .......................... 14

D. Induksi Matematika ....................................................................................... 16

E. Penelitian yang Relevan ................................................................................. 20

F. Kerangka Berpikir .......................................................................................... 22

BAB III. METODE PENELITIAN....................................................................... 23

A. Jenis Penelitian .............................................................................................. 23

B. Subjek Penelitian ........................................................................................... 23


xiii

C. Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................................ 24

D. Teknik Pengumpulan Data ............................................................................. 24

E. Instrumen Penelitian ....................................................................................... 26

F. Uji Kredibilitas Data ....................................................................................... 29

G. Analisis Data .................................................................................................. 30

H. Prosedur Penelitian ........................................................................................ 31

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................. 33

A. Proses Penelitian ............................................................................................ 33

B. Hasil Transkrip Video dan Observasi Subjek ................................................ 35

C. Hasil Wawancara Subjek ............................................................................... 74

D. Analisis dan Pembahasan PCK ...................................................................... 77

E. Keterbatasan Penelitian ................................................................................107

BAB V. PENUTUP .............................................................................................109

A. Kesimpulan ..................................................................................................109

B. Saran ............................................................................................................113

DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................114

LAMPIRAN


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick ......................... 15

Tabel 3.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick ......................... 26

Tabel 3.2: Kisi-kisi Wawancara ......................................................................... 28

Tabel 4.1: Jadwal Pelaksanaan Penelitian .......................................................... 32

Tabel 4.2: PCK Subjek Pada Materi Induksi Matematika ................................101


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Tabel pola penjumlahan ................................................................. 37

Gambar 4.2. Subjek 1 menjelaskan pola penjumlahan yang terbentuk ............. 38

Gambar 4.3. Subjek 1 membuktikan rumus Sn ................................................. 39

Gambar 4.4. Pembahasan soal ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 .............................................. 42

Gambar 4.5. Subjek 1 memberikan contoh ∑ 2𝑘2𝑘=1 𝑑𝑎𝑛 ∑ 3𝑘 − 15

𝑘=2 ........... 42

Gambar 4.6. Peserta didik menyampaikan pekerjaannya di depan kelas .......... 50

Gambar 4.7. Subjek 1 mengoreksi penulisan pekerjaan peserta didik ............. 52

Gambar 4.8. Keterangan dari simbol notasi sigma ............................................ 56

Gambar 4.9. Sifat-sifat dari notasi sigma .......................................................... 57

Gambar 4.10. Subjek 2 sedang memaparkan langkah-langkah dari prinsip induksi

matematika ......................................................................................................... 62

Gambar 4.11. Subjek 2 mengoreksi pekerjaan peserta didik ............................. 66

Gambar 4.12. Subjek 2 menjelaskan istilah-istilah dalam keterbagian ............. 68


xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Surat Ijin Penelitian dari Universitas .........................................116

Lampiran 2. Surat Keterangan dari Sekolah .....................................................117

Lampiran 3. Pedoman Observasi ......................................................................118

Lampiran 4. Lembar Validasi Instrumen ..........................................................122

Lampiran 5. Transkrip Wawancara ..................................................................126

Lampiran 6. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 1 ...................130

Lampiran 7. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 2 ...................170


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pendidikan merupakan suatu hal yang penting dalam kehidupan manusia.

Menurut Shulman (dalam Rusman 2017:335) Pendidikan merupakan proses

membantu orang mengembangkan kapasitas untuk belajar bagaimana

menghubungkan kesulitan mereka dengan teka-teki yang berguna unttuk

membentuk masalah. Dalam proses membantu tersebut dibutuhkanlah

tenaga pengajar yang sering disebut pendidik. Pendidik merupakan ujung

tombak keberhasilan kegiatan pembelajaran yang terlibat langsung dalam

perencanaan dan pelaksanaan kegiatan pembelajaran. Kualitas kegiatan

pembelajaran yang dilakukan sangat bergantung pada perencanaan dan

pelaksanaan proses pembelajaran yang dilakukan pendidik. Tugas pendidik

bukan semata-mata mengajar, tetapi lebih pada membelajarkan peserta

didik.

Pendidik dituntut untuk lebih menguasai dan mengembangkan suatu

pembelajaran secara luas dengan memperhatikan karakteristik siwa dan

lingkungan sekolah masing-masing. Artinya, pendidik dituntut agar lebih

kreatif agar peserta didik tidak cenderung bosan dalam materi ajar. Seorang

pendidik seharusnya bisa mengembangkan materi yang diajarkan yang

bertujuan untuk menambah wawasan dan kepribadian peserta didik agar

menjadi sumber daya manusia yang berguna bagi negara dan masyarakat.


2

Atas dasar pemahaman ini, sepantasnya seorang guru mempunyai suatu

pengetahuan tentang bagaimana mengajarkan suatu bahan ajar kepada

siswanya. Pembelajaran yang merupakan upaya mengarahkan siswa untuk

dapat menjangkau aspek konten, baik sintaktikal maupun substantif, tidak

akan tercapai tanpa dibarengi adanya pengetahuan strategi pengajaran yang

diterapkan dengan tepat oleh guru. Guru yang ingin mengajar sains secara

efektif harus lebih dari sekedar mengetahui tentang isi (konten) yang akan

diajarkan dan beberapa cara pengajarannya. Guru tersebut juga harus paham

dan mampu dalam mengintegrasikan pengetahuan konten ke dalam

pengetahuan tentang kurikulum, pembelajaran, mengajar dan siswa.

Pengetahuan-pengetahuan tersebut akhirnya dapat menuntun guru untuk

merangkai situasi pembelajaran pada kebutuhan individu dan kelompok

siswa. Pengetahuan seperti ini dinyatakan sebagai pedagogical content

knowledge (Yeni R., dkk, 2010:18).

Pada Undang-undang Republik Indonesia Nomor 14 Tahun 2005 tentang

Guru dan Dosen, pasal 1 ayat 2 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik

profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing,

mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada

pendidikan menengah. Dengan demikian, Guru yang berada pada semua

jenjang pendidikan formal adalah pendidik profesional yang telah dilatih

melalui pendidikan formal yang diprogramkan secara khusus. Namun pada

penelitian sebelumnya, ditunjukan bahwa sekalipun guru memiliki PCK dan

memenuhi kriteria yang baik sebagai dasar untuk pembelajaran fisika, akan


3

tetapi RPP (Rencana Program Pembelajaran) yang telah dibuat oleh guru

tidak diimplementasikan di dalam pembelajaran. Penyebabnya adalah

ketika RPP disusun, guru tidak terlalu yakin dengan adanya rencana yang di

buat sehingga ia tidak yakin untuk menerapkannya (Sarkim, 2015:11).

Hal ini sangat disayangkan, sebab ada dijelaskan di dalam UU tersebut

bahwa “Pendidik merupakan tenaga profesional yang bertugas

merencanakan dan melaksanakan proses pembelajaran, menilai hasil

pembelajaran, melakukan pembimbingan dan pelatihan, serta melakukan

penelitian dan pengabdian kepada masyarakat, terutama bagi pendidik pada

perguruan tinggi”. Pendidik profesional dapat diwujudkan salah satunya

dengan meningkatkan serta mengembangkan kualitas Pedagogical Content

Knowledge (PCK). Pedagogical Content Knowledge (PCK) dikenalkan

pertama kali oleh Lee Shulman. Menurut Shulman (1986) PCK merupakan

kombinasi dari dua jenis kompetensi, yaitu kompetensi pedagogis

(pedagogical knowledge) dan pengetahuan konten (content knowledge).

Pengetahuan pedagogis terkait dengan kompetensi pedagogis dan

pengetahuan konten terkait dengan kompetensi profesional.

Menurut Sarkim (2015:10) PCK dapat terbangun melalui upaya sadar

para calon pendidik di dalam mempelajari teori-teori pendidikan atau

pembelajaran. Hal ini lebih banyak dialami oleh mahasiswa calon guru, di

mana mereka secara khusus mempelajari berbagai teori yang berhubungan

dengan pembelajaran. Terbentuknya PCK adalah melalui pengalaman

mengajar. Namun demikian, pengalaman mengajar tidak dengan sendirinya


4

menjadi pengetahuan yang bermakna bagi guru apabila pengalaman

tersebut tidak disertai refleksi. Penelitian yang dilakukan oleh Sarkim

(2015) menunjukkan bahwa guru dan dosen yang sudah berpengalaman

mengajar akan mengolah pengalamannya itu untuk membantu mereka

dalam mengambil keputusan yang tepat ketika merespon situasi di dalam

kelas. Pembelajaran yang dilakukan guru dan dosen tersebut dipengaruhi

pula oleh pengalaman yang pernah dialami oleh mereka. Hal ini sejalan

dengan penelitian yang dilakukan oleh Magnusson (1999) yang

menunjukkan bahwa para guru yang baru memulai karirnya dalam mengajar

mereka lebih banyak dipengaruhi oleh pengalaman selama kuliah dan

pengalaman masa lalunya menempuh pendidikan.

Secara umum menurut Shulman (1986:7) PCK memiliki 2 kategori

pengetahuan yaitu: pengetahuan mengenai berbagai bentuk representasi dan

bagaimana bahan ajar disampaikan, dan pengetahuan guru mengenai peserta

didik tentang peserta didik akan materi termasuk kesulitan topik ajar, pra-

konsepsi dan konsepsi siswa berbagai usia dan latar belakang. Selain itu

menurut Geddis, dkk (dalam Setianto, 2010:7-8) PCK diyakini sebagai

faktor penting yang mempengaruhi efektivitas pembelajaran karena dengan

pengetahuan inilah guru mentransformasikan pengetahuan tentang isi

materi pembelajaran ke dalam bentuk kegiatan pembelajaran.

Transformasi pengetahuan guru tentang bentuk representasi itu sendiri

adalah bagaimana kemampuan guru mengelola kelas mereka,

mengorganisir aktivitas peserta didik di dalam kelas, mengalokasikan waktu


5

yang cukup, memberikan tugas-tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan

yang sesuai dengan tingkat pemahaman mereka, membuat rencana

pembelajaran, dan mengevaluasi pemahaman peserta didik secara umum.

Maka dari itu, untuk membentuk guru yang profesional, penting

mengembangkan dan meningkatkan PCK para calon guru. PCK menjadi isu

sekaligus ide baru untuk memaksimalkan proses dan hasil pembelajaran,

khususnya dalam pembelajaran matematika. Sebab, menurut Suherman

(dalam Yakobus, 2010:6) dalam pembelajaran matematika peserta didik

harus berperan lebih aktif sebagai pembelajar dan peran guru sebagai

fasilitator.

Induksi matematika merupakan salah satu materi yang dipelajari pada

tingkat SMA/SMK/MA. Pemahaman konsep induksi matematika sangatlah

penting supaya peserta didik memiliki bekal untuk mencapai kemampuan

dasar yang lain seperti penalaran, komunikasi dan pemecahan masalah.

Oleh karena itu, peran guru sangat dibutuhkan supaya peserta didik dapat

memahami suatu konsep matematika khususnya konsep induksi

matematika.

Penelitian ini menganalisa komponen dari PCK khususnya terkait

dengan pengetahuan mengenai berbagai bentuk representasi guru

matematika. Hal ini penting, karena dengan mempelajari bentuk-bentuk

representasi guru matematika di kelas dapat meningkatkan pengetahuan kita

tentang bagaimana suatu materi ajar diajarkan oleh guru. Penelitian ini

melibatkan calon-calon pendidik yang adalah mahasiswa program studi


6

Pendidikan Matematika angkatan 2016 yang sedang melakukan kegiatan

PLP-KP, dengan harapan hasilnya bisa dijadikan bahan pertimbangan untuk

menyempurnakan kurikulum perguruan tinggi khususnya Program Studi

Pendidikan Matematika.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dikemukakan di atas, maka

dirumuskan masalah, yaitu “Bagaimana Profil PCK (Pedagogical Content

Knowledge) Calon Pendidik Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam

Pembelajaran Induksi Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta?”

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk

mengetahui Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge) Calon Pendidik

Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Induksi

Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta.

D. Pembatasan Masalah

Mengingat keterbatasan waktu, tenaga, biaya dan pengetahuan peneliti,

maka dalam penelitian ini perlu adanya pembatasan masalah. Pembatasan

masalah dilakukan hanya untuk menyederhanakan dan menyempitkan

lingkup masalah, akan tetapi tidak akan mengurangi sifat ilmiah dari suatu

pembahasan.

1. Subjek penelitian dibatasi dua orang mahasiswa calon pendidik pada

Prodi Pendidikan Matematika Angkatan 2016 Universitas Sanata

Dharma.


7

2. Penelitian dilaksanakan ketika subyek sedang melaksanakan dan setelah

melaksanakan kegiatan PLP-KP di Sekolah Menengah Atas (SMA)

tahun ajaran 2019/2020.

3. Kategori PCK yang akan diteliti adalah pengetahuan guru mengenai

bentuk representasi bahan ajar dan bagaimana bahan ajar disampaikan.

4. Materi ajar yang akan dijelaskan subjek adalah materi ajar kelas XI

semester pertama Induksi Matematika

E. Penjelasan Istilah

1. Pembelajaran Matematika

Pengetahuan matematika tidak terbentuk dengan menerima atau

menghafal rumus-rumus dan prosedur-prosedur, tetapi dengan

membangun makna dari apa yang sedang dipelajari. Peserta didik aktif

mencari, menyelidiki, merumuskan, membuktikan, mengaplikasikan

apa yang dipelajari. Guru berperan sebagai fasilitator dan motivator.

Guru menumbuhkan motivasi dalam diri siswa untuk mempelajari dan

memahami matematika secara bermakna serta memberikan dorongan

dan fasilitas untuk belajar mandiri maupun kelompok. Proses

pembelajaran tidak hanya berfokus pada aspek kognitif, tetapi juga

intuisi dan kreativitas peserta didik.

2. Pedagogical Content Knowledge (PCK)

Pedagogical Content Knowledge (PCK) digunakan untuk merangkum

kecakapan pada materi ajar, pedagogi, dan kurikulum. PCK

dikelompokkan dalam dua kategori yaitu: pengetahuan mengenai


8

berbagai bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar disampaikan

serta pengetahuan guru mengenai peserta didik tentang pemahaman

peserta didik akan materi.

3. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi

Yang dimaksud bentuk representasi adalah bagaimana kemampuan

guru mengelola kelas mereka, mengorganisir aktivitas peserta didik di

dalam kelas, mengalokasikan waktu yang cukup, memberikan tugas-

tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan yang sesuai dengan tingkat

pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran, dan

mengevaluasi pemahaman peserta didik secara umum.

4. Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk

memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-

suku bilangan asli. Dalam pembahasan ini, kita akan menyatakan

Prinsip Induksi Matematika dan memberikan contoh-contoh untuk

mengilustrasikan bagaimana proses pembuktian dengan menggunakan

induksi matematika.

Induksi Matematika adalah cara dalam membuktikan bahwa sebuah

pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian

dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

a. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

b. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,

maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.


9

5. Pengenalan Lapangan Persekolahan Pengelolaan Pembelajaran

(PLP-KP)

PLP KP adalah praktik lapangan untuk berlatih melaksanakan kegiatan

pembelajaran dengan menggunakan berbagai ragam strategi dan media

pembelajaran, melaksanakan pengelolaan kelas, memanfaatkan IT, dan

melaksanakan penilaian dan evaluasi pembelajaran, serta melaksanakan

pendampingan dalam kegiatan ekstrakurikuler, melaksanakan

administrasi guru, dan menemukan persoalan di kelas yang dapat

ditindaklanjuti melalui kegiatan penelitian di sekolah, dengan alokasi

waktu 8 jam per minggu selama satu semester (setara dengan 120 jam).


10

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Pembelajaran Matematika

Menurut Surya (dalam Yakobus, 2010: 6) pembelajaran adalah

suatu proses yang dilakukan oleh individu untuk memperoleh suatu

perubahan perilaku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil dari

pengalaman individu itu sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.

Pembelajaran juga mempunyai beberapa prinsip yang menjadi landasannya.

Salah satunya adalah proses pembelajaran terjadi karena adanya sesuatu

yang mendorong dan sesuatu tujuan yang akan dicapai. Pembelajaran

merupakan aktivitas untuk memenuhi kebutuhan dan mencapai tujuan.

Setiap peserta didik mempunyai kebutuhan untuk paham akan matematika

dan dapat menerapkan dalam pemecahan suatu masalah. Oleh karena itu,

peserta didik perlu proses pembelajaran matematika.

Dari paragraf di atas, menurut Suherman (dalam Yakobus, 2010:6)

dalam pembelajaran matematika peserta didik harus berperan lebih aktif

sebagai pembelajar dan peran guru sebagai fasilitator. Menurut Heris

Hendriana (2013: 14), pengetahuan matematika tidak terbentuk dengan

menerima atau menghafal rumus-rumus dan prosedur-prosedur, tetapi

dengan membangun makna dari apa yang sedang dipelajari. Peserta didik

aktif mencari, menyelidiki, merumuskan, membuktikan, mengaplikasikan

apa yang dipelajari. Guru berperan sebagai fasilitator dan motivator. Guru

menumbuhkan motivasi dalam diri siswa untuk mempelajari dan


11

memahami matematika secara bermakna serta memberikan dorongan dan

fasilitas untuk belajar mandiri maupun kelompok. Proses pembelajaran

tidak hanya berfokus pada aspek kognitif, tetapi juga intuisi dan kreativitas

peserta didik.

Sementara itu menurut Hudoyo (dalam Yakubus, 2010:6)

pembelajaran matematika dapat diartikan sebagai proses perubahan

perilaku peserta didik yang melibatkan guru dan peserta didik itu sendiri

untuk pengembangan berpikir dan belajar matematika. Oleh karena itu,

pengetahuan guru mengenai berbagai bentuk-bentuk representasi dan

bagaimana bahan ajar disampaikan serta pengetahuan mengenai peserta

didik tentang pemahaman peserta didik akan materi termasuk kesulian topik

ajar pra-konsepsi dan konsepsi peserta didik berbagai usia dan latar

belakang sangat penting. Pengetahuan yang merangkum tentang materi ajar,

pengetahuan guru akan pendidikan atau pembelajaran serta pengetahuan

guru mengenai peserta didik tersebut oleh Shulman (1986) disebut

Pedagogical Content Knowledge (PCK) yang merupakan hal kunci yang

penting dikuasai oleh guru calon guru.

B. Pedagogical Content Knowledge (PCK)

PCK diperkenalkan pertama kali oleh Lee Shulman pada tahun 1986

untuk merujuk pada pengetahuan yang merangkum kecakapan di bidang

materi, pedagogi dan kurikulum. Komponen utama pada PCK mencakup

bagaimana para guru mengatur kelas mereka, mengorganisir aktivitas,

mengalokasikan waktu yang cukup, tugas yang terstruktur, memberikan


12

pujian dan memperlihatkan kesalahan, merumuskan pertanyaan yang sesuai

dengan tingkat pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran dan

menilai pemahaman siswa secara umum.

Pada tahun 1987 Shulman (dalam Atsu, 2014: 1365) menyatakan

bahwa tujuh kategori yang diberikan di bawah ini merupakan basis profesi

guru, (1) Pengetahuan Konten; (2) Pengetahuan pedagogis umum termasuk

manajemen kelas dan organisasi kelas; (3) Pengetahuan kurikulum

termasuk bahan dan program; (4) Pengetahuan peserta didik dan

karakteristik mereka; (5) Pengetahuan tentang konteks pendidikan; (6)

Pengetahuan tentang tujuan pendidikan, tujuan, nilai-nilai dan landasan

filosofis dan historisnya; (7)Pengetahuan tentang pendidikan, tujuan, dan

nilai-nilai, serta landasan filosofis dan historisnya. PCK Shulman adalah

orang pertama yang membuktikan pedagogis pengetahuan konten sebagai

karakteristik yang perlu dimiliki guru. Shulman percaya bahwa hanya

memahami peserta didik dengan baik saja tidak cukup untuk mengajarkan

peserta didik. Bidang pendidikan sebagai badan besar penelitian yang

dilakukan dalam 20 tahun telah berfokus pada pengetahuan pedagogis guru

dan calon guru.

Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 74 Tahun 2008 pasal

3 menyebutkan bahwa seorang guru wajib memiliki kompetensi pedagogik,

kompetensi profesional, kompetensi kepribadian, dan kompetensi sosial.

Kompetensi pedagogik merupakan kemampuan guru dalam pengelolaan

pembelajaran sedangkan kompetensi profesional merupakan kemampuan


13

guru dalam menguasai pengetahuan bidang ilmu pengetahuan yang

diampunya. Pengetahuan tentang materi diperlukan oleh seorang guru,

namun tidak cukup untuk menimbulkan pengajaran yang efektif. Untuk itu,

bukan hanya materi yang kuat yang diperlukan sebagai seorang guru,

bagaimana strategi seorang guru untuk mengajarkan materi tersebut juga

merupakan hal yang penting.

PCK mencakup pengetahuan bahan ajar tapi juga merangkum

pengetahuan pedagogi untuk membelajarkan materi atau bahan ajar

tersebut. Menurut Shulman (dalam Setianto, 2010) PCK dikelompokkan

dalam dua kategori:

1) Pengetahuan tentang bentuk-bentuk representasi dan bagaimana

bahan disampaikan dalam pembelajaran sehingga konsep yang

terkait dalam pembelajaran dapat dipahami dan diserap oleh

sebagian besar siswa. Ini mencangkup pengetahuan tentang model,

contoh, dan ilustrasi yang paling efektif terkait dengan bahan ajar

tertentu.

2) Pengetahuan tentang faktor yang mempengaruhi keberhasilan

belajar, termasuk pengetahuan tentang tingkat kesulitan suatu topik,

prekonsepsi dan konsepsi yang dibawa oleh peserta didik dari

berbagai tingkat usia dan latar belakang terkait materi ajar.

Menurut Geddis, dkk (dalam Setianto, 2010:7-8) PCK diyakini sebagai

faktor penting yang mempengaruhi efektivitas pembelajaran karena dengan

pengetahuan inilah guru mentransformasikan pengetahuan tentang isi


14

materi pembelajaran ke dalam bentuk kegiatan pembelajaran. Pada proses

transformasi sangat diperlukan pengetahuan guru tentang bentuk-bentuk

representasi. Yang dimaksud bentuk representasi adalah bagaimana

kemampuan guru mengelola kelas mereka, mengorganisir aktivitas peserta

didik di dalam kelas, mengalokasikan waktu yang cukup, memberikan

tugas-tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan yang sesuai dengan tingkat

pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran, dan mengevaluasi

pemahaman peserta didik secara umum.

C. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi

Baker & Chick (2006) menyatakan bahwa kemampuan representasi

guru juga mencangkup bagaimana strategi guru untuk membantu para

peserta didik mengorganisir kembali pemahaman mereka serta bagaimana

guru menyampaikan materi dan bagaimana cara-cara atau metode-metode

guru dalam pembelajaran matematika agar peserta didik memahami materi

yang diajarkan oleh guru. Selain itu penggunaan media gambar, alat peraga,

atau bercerita, atau melakukan pembelajaran matematika di luar kelas,

melaksanakan permainan matematika yang kreatif dan menantang yang

digunakan oleh guru juga merupakan bentuk-bentuk representasi guru

tersebut.

Untuk memahami pengetahuan guru tentang bentuk-bentuk

representasi maka dalam penelitian ini akan digunakan kerangka kerja dari

Baker & Chick (2006: 61) seperti terlihat pada tabel 2.1 yang digunakan


15

sebagai kategorisasi data. Kerangka kerja ini dikelompokkan dalam tiga

komponen: pertama, kejelasan PCK yang di liputi aspek dimana kejelasan

suatu perpaduan isi dan ilmu mendidik. Kedua, pengetahuan isi di dalam

suatu konteks pendidikan yang meliputi aspek gambaran paling menarik

secara langsung dari isi. Ketiga, pengetahuan pendidikan di dalam suatu

konteks isi meliputi pengetahuan yang telah digambarkan paling menarik

secara langsung dari ilmu mendidik.

Tabel 2.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick (2006:61)

Komponen Kategori PCK Aktivitas Guru

Kejelasan PCK

Strategi

pembelajaran

Mendiskusikan atau menggunakan

strategi atau pendekatan untuk

pembelajaran suatu konsep matematika.

Kesesuaian dan

kedetailan dalam

menyajikan

konsep

Menguraikam atau mendemonstrasikan

suatu konsep (dapat meliputi diagram-

diagram atau material-material)

Sumber daya

pengetahuan

Menggunakan sumber daya yang

tersedia untuk mendukung

pembelajaran

Pengetahuan

kurikulum

Mendiskusikan berbagai topik

pembelajaran berkaitan dengan

kurikulum

Tujuan

pengetahuan isi

Mendiskusikan pertimbangan untuk isi

menjadi tercakup di kurikulum atau

bagaimana itu bisa digunakan

Pengetahuan

Materi di

dalam suatu

konteks

Pedagogik

Mendekonstruksi

konten sebagai

kunci komponen-

komponen

Mengidentifikasikan komponen

matematika yang kritis dalam suatu

konsep adalah pokok untuk penerapan

dan pemahaman suatu konsep

Pemahaman yang

mendalam

mengenai dasar

matematika

Menguasai konsep dasar matematika

secara mendalam

Struktur

matematika dan

relasinya

Membuat koneksi antara topik dan

konsep, mencakup saling

ketergantungan konsep


16

Pengetahuan

mengenai

pelaksanaannya

Memperlihatkan keterampilan untuk

memecahkan permasalahan matematika

(pemahaman konseptual tidak perlu

jelas)

Metode-metode

pemecahan

masalah

Mendemonstrasikan suatu metode

untuk pemecahan suatu masalah

matematika

Pengetahuan

Pedagogik di

dalam suatu

konteks materi

Tujuan Pelajaran

Menguraikan suatu tujuan pelajaran

untuk para siswa dalam pelajaran

(mungkin atau tidak mungkin

berhubungan dengan isi matematika

yang spesifik)

Mengambil dan

memelihara fokus

siswa

Mendiskusikan strategi untuk

melibatkan para siswa

Teknik kelas Mendiskusikan praktek-praktek kelas

umum.

D. Induksi Matematika

Menurut Ni Nyoman Parwati (2014:7), induksi matematika adalah suatu

metode yang digunakan untuk memeriksa validasi (kebenaran) suatu

pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli atau bilangan

bulat positif. Prinsip induksi matematika sering digunakan sebagai suatu

cara untuk membuktikan berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil.

Pembuktian matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas

rumus, teorema, ataupun pernyataan. Namun sebuah pembuktian dapat pula

terdiri atas pencarian posisi/pernyataan itu benar, dengan bantuan logika

matematika. Cara untuk membuktikan sebuah pernyataan ada beberapa

diantaranya sebagai berikut:


17

1. Pembuktian dengan induksi: orang membuktikan teorema itu benar di

suatu kejadian tertentu dan kemudian membuktikan kejadian

selanjutnya juga benar.

2. Pembuktian kontradiksi: seseorang menunjukkan bahwa jika

beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena

itu pernyataan harus benar.

3. Pembuktian langsung: seseorang membuktikan suatu implikasi (A

B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian

membuktikan kesimpulan B itu benar.

4. Kontransposisi: seseorang membuktikan sebuah implikasi (A B)

dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan

hipotesis A itu juga salah.

Menurut Sukirman (2013: 5), induksi matematika merupakan salah satu

metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan maupun

dalam matematika lainnya. Penguasaan kemampuan-kemampuan tersebut

sangat penting bagi mereka yang akan mempelajari matematika, karena

banyak bahasan dalam matematika yang menggunakan prinsip-prinsip

tersebut untuk menurunkan teorema atau untuk pemecahan masalah.

Induksi matematika merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu

teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya

himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli.

Misalkan p(n) adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk setiap

bilangan asli n. Pembuktian kebenaran dari pernyataan ini dengan


18

menggunakan induksi matematika mengikuti langkah-langkah sebagai

berikut.

Langkah 1: ditunjukkan bahwa p(1) benar

Langkah 2: diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli

k >1, dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Apabila kedua langkah tersebut berhasil, maka kita dapat menyimpulkan,

bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis

(dasar) induksi dan langkah 2 disebut langkah induksi.

Basis induksi tidak mesti diambil n = 1, tetapi diambil sesuai dengan

permasalahan yang dihadapi atau pernyataan yang ingin dibuktikan.

Misalkan akan dibuktikan bahwa p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli

n ≥ t. Maka langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika

sebagai berikut.

Langkah 1: ditunjukkan bahwa p(t) benar

Langkah 2: diasumsikan bahwa p(t) benar untuk suatu bilangan asli

t > 1, dan ditunjukkan bahwa p(t+1) benar

Apabila kedua langkah ini berhasil, maka kita dapat menyimpulkan bahwa

p(n) benar untuk setiap bilangan asli n ≥ t. Namun dalam pembelajaran

induksi matematika di SMA biasanya n ≥ t belum diterapkan. Dalam

pembuktian dengan induksi matematika, kita tidak boleh mengabaikan


19

langkah 1, yaitu basis induksi, sebab ada kemungkinan kita mendapat

kesimpulan yang salah.

Berikut contoh penyelesaian soal dengan menggunakan prinsip induksi

matematika:

Buktikan 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) untuk setiap 𝑛 bilangan asli!

Jawab: P(n) : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :

Akan ditunjukkan P(1) benar 2 = 1(1 + 1)

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :

Asumsikan P(k) benar yaitu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1), k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(k + 1)

= 𝑘(k + 1) + 2(k + 1 )

= (𝑘2 + 𝑘) + (2𝑘 + 2)

= 𝑘2 + 3𝑘 + 2

= (k + 1)(k + 2)

= (k + 1)(k + 1 + 1)

Jadi, P(k + 1) benar


20

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk

setiap n bilangan asli.

E. Penelitian Relevan

1. Veronika Kania Anindita (2018)

Penelitian dengan judul “Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge)

Guru Matematika SMA BOPKRI 1 Yogyakarta Pada Topik Turunan”

ini merupakan penelitian kualitatif dengan subjek penelitian adalah dua

orang guru matematika SMA BOPKRI 1 Yogyakarta yang mengajarkan

topik turunan. pengumpulan data dengan teknik observasi proses

pembelajaran, wawancara, dan dokumentasi. Teknik analisis data dalam

penelitian ini adalah teknik analisis data interaktif yang terdiri dari

reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan serta verifikasi.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa profil PCK guru matematika SMA

BOPKRI 1 Yogyakarta ditinjau dari PCK murni, pengetahuan materi

dalam konteks pedagogik, dan pengetahuan pedagogik dalam konteks

materi yaitu 1) Profil PCK Guru 1 pada aspek tuntutan kognitif dari

tugas, kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep,

pengetahuan kurikulum, pemahaman yang mendalam mengenai dasar

matematika, struktur matematika dan koneksinya, serta tujuan

pembelajaran masih perlu ditingkatkan karena masih ada indikator yang

belum terpenuhi, sedangkan pada aspek strategi pembelajaran, cara

berpikir siswa, sumber daya pengetahuan, tujuan pengetahuan materi,

mendekonstruksi konten sebagai komponen-komponen, pengetahuan


21

mengenai prosedurnya, metode pemecahan masalah, mengambil dan

memelihara fokus siswa, serta teknik kelas sudah baik karena memenuh

indikator; 2) Profil PCK Guru 2 pada aspek cara berpikir skswa, tuntutan

kognitif dari tugas, pengetahuan kurikulum, mangambil dan memelihara

fokus siswa masih perlu ditingkatkan karena masih ada indikator yang

belum terpenuhi, pada aspek strategi pembelajaran, kesesuaian dan

kedetailan dalam menyajikan konsep, sumber daya pengetahuan, tujuan

pengetahuan materi, mendekonstruksi konten sebagai kunci komponen-

komponen, pemahaman yang mendalam megenai dasar matematika,

struktur matematika dan koneksinya, pengetahuan mengenai

prosedurnya, metode pemecahan masalah, tujuan pembelajaran, dan

teknik kelas sudah baik karena memenuhi indikator.

2. Yakubus Suwardoyo (2010)

Penelitian dengan judul “Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru

Matematika Khususnya Terkait Bentuk-Bentuk Representasi yang

digunakan oleh Guru Matematika di 2 SMA di Yogyakarta ini

merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Materi pokok yang

digunakan adalah menentukan luas daerah dengan proses limit,

menghitung Integral tentu dan Integral substitusi dan juga materi pokok

Median, Kuartil, Desil , Presentil. Hasil penelitian berupa PCK guru

khususnya terkait bentuk-bentuk represesntasi yang digunakan oleh

kedua guru dari masing-masing sekolah. Guru sama-sama

menggunakan ilustrasi dan gambar untuk menjelaskan materi


22

matematika. Selain itu dua guru ini juga menggunakan grafik, gambar,

tabel, ceramah/penjelasan, demonstrasi dan presentasi. Bentuk-bentuk

representasi yang terlihat dari guru 1 adalah guru memilih menggunakan

metode diskusi dan presentasi dengan mengujicobakan di kelas dan

materi yang berbeda. Lalu bentuk-bentuk representasi guru 2 terlihat

karena guru tersebut memilih menggunakan pembelajaran LKS dengan

mengenali karakteristik siswa . guru membimbing dan menilai siswa

secara individu karena “permasalahan yang dihadapi oleh setiap anak

berbeda-beda, tingkat kesulitan yang dihadapi juga berbeda-beda”.

F. Kerangka Berfikir

Sebagai calon pendidik yang baik penting sekali untuk mempunyai

pemahaman dan kemampuan khusus untuk memadukan materi, kurikulum,

belajar, pengajaran, dan peserta didik, salah satunya adalah dengan

memiliki PCK (Pedagogical Content Knowledge) yang baik. Setiap calon

pendidik pasti memiliki PCK yang berbeda, karena PCK merupakan

keahlian khusus dengan keistimewaan setiap individu.

Induksi matematika merupakan salah satu materi pada pembelajaran

matematika yang wajib dipelajari pada tingkat SMA/SMK/MA.

Pemahaman konsep induksi matematika sangatlah penting, karena peserta

didik perlu memiliki bekal untuk mencapai kemampuan dasar yang lain

seperti penalaran, komunikasi, dan pemecahan masalah. Oleh karena itu,

peran dari pendidik sangatlah penting supaya peserta didik dapat memahami


23

suatu konsep yang ada pada matematika, khususnya konsep induksi

matematika.

Maka dari itu, peneliti ingin mengtahui Profil PCK calon pendidik yang

sedang melakukan praktik lapangan di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta

dengan materi Induksi matematika. Peneliti akan mengamati kegiatan

pembelajaran yang dilakukan oleh subjek dan melakukan wawancara untuk

menggali lebih dalam hasil observasi yang telah dilakukan. Penelitian ini

menggunakan metode kualitatif karena berdasarkan penelitian yang relevan,

peneliti melihat bahwa lebih efektif meneliti PCK calon pendidik dengan

menggunakan metode kualitatif. Hal ini juga dikarenakan kemampuan calon

pendidik dapat diuraikan secara jelas oleh peneliti. Selain itu, peneliti

membuat instrumen berdasarkan kategori PCK menurut Chick dan Barker

(2006) yang disesuaikan dengan bentuk-bentuk representasi milik Shulman

(1986).


23

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Menurut Sugiyono

(2016:1), metode kualitatif adalah metode penelitian yang digunakan untuk

meneliti pada kondisi objek alamiah (sebagai lawannya eksperimen) dimana

peneliti adalah sebagai instrumen kunci, teknik pengumpulan data

dilakukan secara triangulasi, analisis data bersifat induktif dan hasil

penelitian lebih menekankan makna dari pada generalisasi. Penelitian

kualitatif di sini yaitu mengidentifikasi PCK mahasiswa sebagai calon

pendidik yang sedang melakukan praktek mengajar di sekolah atau PLP-KP

di SMA Stella Duce 2 di Yogyakarta terkait bentuk-bentuk representasi dan

bagaimana bahan ajar akan disampaikan dalam proses belajar mengajar di

kelas pada saat penelitian berlangsung. Bahan ajar dalam penelitian ini

adalah materi yang disampaikan subjek selama pengambilan data

dilakukan.

B. Subjek Penelitian

Subjek dalam penelitian ini adalah 2 orang mahasiswa angkatan 2016

Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta. Bahan ajar yang diajarkan kedua subjek adalah sama yakni

materi mengenai induksi matematika. Subjek pertama mengajarkan bahan

ajar di kelas XI MIPA I dan subjek kedua mengajarkan bahan ajar di kelas

XI MIPA II.


24

C. Waktu dan Tempat Penelitian

Waktu penelitian dilaksanakan pada bulan Juli sampai dengan bulan

Agustus, selama subjek melaksanakan PLP-KP di sekolah tersebut.

Pelaksanaan penelitian ini menuntut kehadiran peneliti di lokasi penelitian.

Kehadiran peneliti di tempat penelitian sangat diutamakan, karena

pengumpulan data harus dilakukan dalam situasi sesungguhnya. Oleh

karena itu, peneliti harus berusaha sebaik mungkin, selektif, dan hati-hati

dalam mengumpulkan dan menyeleksi data-data apa saja yang relevan dan

terjamin keabsahannya

D. Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data menurut Sugiyono (2016) merupakan

langkah yang paling strategis dalam penelitian karena tujuan utama dari

penelitian adalah mendapatkan data. Tanpa mengetahui teknik

pengumpulan data maka peneliti tidak akan mendapatkan data yang

memenuhi standar data yang ditetapkan. Teknik yang digunakan peneliti

untuk mengumpulkan data saat pelaksanaan penelitian adalah:

1) Observasi proses pembelajaran

Observasi yang dilakukan peneliti adalah observasi partisipasi pasif

dimana peneliti ikut masuk ke dalam kelas bersama subjek, tetapi tidak

ikut terlibat dalam kegiatan pembelajaran yang dilakukan subjek.

Observasi ini dilakukan untuk memperoleh data di lapangan terkait

bentuk-bentuk representasi yang dilakukan oleh subjek selama proses

pembelajaran.


25

2) Wawancara.

Wawancara dilakukan sebagai data tambahan yang tidak muncul

dalam perekaman gambar pada saat penelitian dilakukan. Wawancara

yang dilakukan peneliti adalah wawancara tak berstruktur dimana

peneliti tidak menggunakan pedoman wawancara yang telah tersusun

secara sistematis dan lengkap. Pedoman wawancara yang digunakan

hanya berupa garis-garis besar permasalahan yang akan ditanyakan.

Selain itu, wawancara dilakukan sebagai penegasan dari data yang

muncul pada hasil observasi dan video rekaman guru mengajar.

Tujuannya adalah untuk menelusuri PCK guru terkait pengetahuan guru

akan bentuk-bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar

disampaikan. Dalam penelitian ini, peneliti berperan sebagai

pewawancara sedangkan pihak yang diwawancarai masing-masing ada

mahasiswa yang sudah melakukan kegiatan PLP-KP.

3) Analisis Dokumen

Teknik pengumpulan data yang diperoleh dari dokumen-dokumen yang

ada atau catatan-catatan yang dimiliki oleh subjek. Dokumen yang

dimaksud adalah Rancangan Proses Pembelajaran (RPP), Silabus

maupun dokumen-dokumen dari sekolah yang mendukung penelitian

ini. Selain itu dokumen yang akan digunakan berupa video, perekaman

proses pembelajaran guru di kelas dilakukan dengan merekam seluruh

proses guru mengajar dalam pembelajaran saat penelitian berlangsung.

Perekaman proses mengajar guru ini akan di fokuskan untuk


26

mengungkapkan kategori-kategori PCK terkait pengetahuan guru akan

bahan ajar termasuk pemahaman guru akan kesulitan-kesulitan yang

dihadapi peserta didik.

E. Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian yang dipersiapkan oleh peneliti yaitu peneliti

sendrii sebagai instrumen utama dan instrumen bantu yang terdiri dari

pedoman observasi, pedoman wawancara, handycam, perekam suara,

dan RPP masing-masing mahasiswa.

1. Peneliti

Pada penelitian kualitatif, yang menjadi instrumen utama adalah

peneliti sendiri. Peneliti kualitatif sebagai human instrument

berfungsi menetapkan fokus penelitian, memilih informan sebagai

sumber data, melakukan pengumpulan data, menilai kualitas data,

alanisis data, menafsirkan data, dan membuat kesimpulan atas

temuannya (Sugiyono, 2016: 60).

2. Pedoman Observasi

Pedoman observasi digunakan untuk pedoman dalam

mengamati tindakan yang dilakukan oleh subjek, hal ini dikarenakan

berbagai aspek pembelajaran di kelas, pengelolaan kelas, hubungan

interaksi guru dengan siswa, suasana sekolah, dan kegiatan lainnya

yang dapat menggambarkan PCK guru. Peneliti membuat pedoman

observasi yang mengacu pada kerangka untuk menganalisis PCK

yang telah disusun oleh Backer & Chick (2006) dengan beberapa


27

perubahan pada indikator yang disesuaikan dengan materi yang

diteliti. Berikut adalah kisi-kisi observasi yang akan dilakukan dapat

dilihat pada tabel 3.1..

Tabel 3.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick (2006:61)

Kategori PCK Aktivitas Guru Indikator

Kejelasan PCK

Strategi

pembelajaran

Mendiskusikan atau

menggunakan strategi

atau pendekatan untuk

mencapai tujuan

pembelajaran suatu

konsep matematika.

1. Menggunakan strategi

pembelajaran atau pendekatan

umum untuk mengajarkan konsep

Induksi Matematika

2. Menggunakan strategi

pembelajaran khusus untuk

mengajar konsep Induksi

Matematika atau keterampilan

matematika tertentu.

Kesesuaian dan

kedetailan

dalam

menyajikan

konsep

Menguraikan atau

mendemonstrasikan

suatu konsep (dapat

meliputi diagram-

diagram, alat peraga,

ilustrasi atau gambar

yang sesuai dengan

materi)

Mendemonstrasikan gambaran atau

ilustrasi yang cocok dengan konsep

Induksi Matematika.

Sumber daya

pengetahuan

Menggunakan sumber

daya yang tersedia untuk

mendukung

pembelajaran

Menggunakan sumber daya yang

tersedia untuk mendukung

pembelajaran dalam hal ini adalah

media pembelajaran.

Pengetahuan

kurikulum

Mendiskusikan berbagai

topik pembelajaran

berkaitan dengan

kurikulum

Memfasilitasi peserta didik untuk

mencapai tujuan Kurikulum 2013

Tujuan

pengetahuan isi

Mendiskusikan

pertimbangan untuk isi

menjadi tercakup di

dalam kurikulum atau

bagaimana itu bisa

digunakan

Menjelaskan bagaimana konsep

Induksi Matematika digunakan

Pengetahuan Materi di dalam Konteks Pedagogik

Pembangunan

isi sebagai kunci

komponen-

komponen

Mengidentifikasikan

komponen matematika

yang kritis dalam suatu

konsep adalah pokok

Menentukan komponen-komponen

matematika yang kritis dalam konsep

Induksi Matematika yang merupakan


28

Kategori PCK Aktivitas Guru Indikator

untuk penerapan dan

pemahaman suatu

konsep

dasar untuk penerapan dan

pemahaman konsep tersebut.

Pemahaman

yang mendalam

mengenai dasar

matematika

Menguasai konsep dasar

matematika secara

mendalam

Menunjukan pemahaman konsep yang

mendalam dan sempurna mengenai

aspek-aspek matematika

Struktur

matematika dan

relasinya

Membuat koneksi antara

topik dan konsep,

mencakup saling

ketergantungan konsep

Menunjukan hubungan antara konsep

Induksi Matematika dan topik lainnya.

Pengetahuan

mengenai

pelaksanaannya

Memperlihatkan

keterampilan untuk

memecahkan

permasalahan

matematika

Memperlihatkan keterampilan atau

mampu menerapkan konsep untuk

memecahkan permasalahan

matematika.

Metode-metode

pemecahan

masalah

Mendemonstrasikan

suatu metode untuk

pemecahan suatu

masalah matematika

Mendemonstrasikan suatu metode

untuk pemecahan suatu masalah

matematika.

Pengetahuan Pedagogik dalam Konteks Materi

Tujuan

Pembelajaran

Tujuan pembelajaran

dapat dilihat dari RPP

yang telah disusun oleh

guru

Menunjukan usaha guru dalam

mencapai tujuan pembelajaran

Mengambil dan

memelihara

fokus siswa

Melibatkan peserta didik

dalam proses

pembelajaran sehingga

aktif dengan suasana

yang kondusif

Menunjukan strategi untuk melibatkan

siswa dalam proses pembelajaran

Teknik kelas

Teknik kelas dapat

dilihat dari cara guru

menciptakan lingkungan

belajar yang kondusif

dan cara guru untuk

mengimplementasikan

suatu metode yang

digunakan.

Memperlihatkan cara untuk

mengimplementasikan metode yang

digunakan.

3. Pedoman Wawancara

Wawancara dilakukan dengan subjek yang bersangkutan untuk

menggali lebih dalam hasil observasi yang telah dilakukan dan

menambah informasi terkait aspek-aspek PCK guru yang belum


29

terlihat pada proses pembelajaran. Wawancara dilaksanakan setelah

selesai melakukan observasi dan pengambilan video pada masing-

masing subjek. Pedoman wawancara dapat dilihat dari tabel 3.2.

Tabel 3.2: Kisi-kisi Wawancara

No. Indikator

1. Strategi pembelajaran atau pendekatan yang digunakan

selama pembelajaran berlangsung

2. Sumber daya atau media yang digunakan mendukung

pembelajaran atau tidak

3. Metode pembelajaran yang digunakan untuk menjelaskan

konsep

4. Selama pembelajaran mampu menerapkan konsep untuk

memecahkan masalah atau tidak

5. Pembelajaran menerapkan 4C (Comunication,

Collaboration, Critical Thinking, Creativity) atau tidak

6. Usaha selama pembelajaram sudah/belum mencapai tujuan

pembelajaran yang diinginkan

7. Selama pembelajaran selalu melibatkan peserta didik

dalam setiap kegiatan

8. Selama pembelajaran menggunakan teknik/metode sesuai

dengan perangkat yang dibuat

F. Uji Kredibilitas Data

Salah satu teknik untuk memperoleh data yang valid dalam penelitian

kualitatif adalah triangulasi. Triangulasi dalam uji kredibilitas ini diartikan

sebagai pengecekan data dari berbagai sumber dengan berbagai cara, dan

berbagai waktu. Triangulasi yang digunakan adalah triangulasi teknik.

Triangulasi teknik digunakan untuk menguji kredibilitas data yang

dilakukan dengan cara mengecek data pada sumber yang sama dengan

teknik yang berbeda yakni observasi, wawancara dan metode dokumentasi.


30

G. Analisis Data

Analisis data dilakukan dengan cara mengorganisasikan data, memilah-

milahnya menjadi satuan yang dapat dikelola, mensintesisnya, mencari dan

menemukan pola, menemukan apa yang penting dan apa yang dipelajari,

dan memutuskan apa yang dapat diceritakan kepada orang lain (Moleong,

2012). Sedangkan menurut Miles & Huberman (dalam Sugiyono, 2016)

aktivitas dalam analisis data kualitatif dilakukan secara interaktif dan

berlangsung secara terus-menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah

jenuh. Aktivitas dalam analisis data dilakukan dengan cara sebagai berikut:

1. Reduksi Data

Mereduksi data berarti merangkum, memilih hal-hal yang pokok,

memfokuskan pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya.

Pada penelitian ini, peneliti memfokuskan pada bentuk-bentuk

representasi selama proses pembelajaran yang dilakukan subjek.

a. Hasil Observasi dan Transkip Video

Hasil observasi dan transkrip video direduksi sesuai aspek-aspek

PCK menurut Backer & Chick (2006) yang terdapat pada

pedoman observasi.

b. Transkrip Wawancara

Transkrip wawancara direduksi sesuai aspek-aspek PCK

menurut Backer & Chick (2006) yang terdapat pada pedoman

observasi, akan tetapi transkrip wawancara tersebut merupakan

validasi dari hasil observasi untuk menggali lebih dalam


31

mengenai PCK guru yang bersangkutan dan menambahkan

informasi PCK guru yang belum terlihat ketika proses

pembelajaran.

c. Hasil Analisis Dokumen

Peneliti meminta Rancangan Proses Pembelajaran (RPP) yang

telah dibuat oleh masing-masing subjek. Komponen-komponen

RPP tersebut direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer

& Chick (2006) yang terdapat pada pedoman observasi.

2. Penyajian Data

Peneliti menyajikan data dalam bentuk narasi dan deskripsi, yang

didapatkan dari proses reduksi data.

3. Menarik Kesimpulan dan Verifikasi

Peneliti melakukan verifikasi data-data yang telah diperoleh serta

telah dianalisis dengan mengecek kembali analisis dengan video dan

hasil rekaman. Setelah hasil analisis sudah terverifikasi, hasil

analisis tersebut dijadikan sebagai tolak ukur dalam menarik

kesimpulan.

H. Prosedur Penelitian

Penelitian ini dilakukan secara bertahap. Adapun tahap pelaksanaan

penelitian sebagai berikut:

1. Tahap Perencanaan

Tahap perencanaan meliputi penyusunan instrumen penelitian dan

mengajukan ijin penelitian ke sekolah.


32

2. Tahap Pelaksanaan

Pada tahap ini peneliti akan melaksanakan penelitian dengan metode

yang telah direncanakan. Peneliti melakukan observasi kegiatan

pembelajaran dan dokumentasi berup video pelaksanaan pembelajaran

tiap pertemuan serta merekan suara ketika wawancara.

3. Tahap Penyelesaian

Pada tahap ini peneliti melakukan proses analisis data dan penyusunan

laporan penelitian dari data-data yang telah diperoleh selama

pelaksanaan penelitian.


33

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai analisis data bagaimana PCK calon pendidik

matematika khususnya terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh

mahasiswa magang di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta yang akan tampak pada

deskripsi rekaman video pembelajaran dan wawancara guru. Kategorisasi data

menggunakan kerangka kerja Barker & Chick (2006:61). Kemudian akan

dilanjutkan dengan rangkuman hasil analisis bagaimana PCK calon pendidik

matematika terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh subjek di

sekolah.

A. Proses Penelitian

Penelitian ini dilakukan di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta pada tahun ajaran

2019/2020. Sebelum melakukan penelitian, pada hari Kamis, 13 Juni 2019

peneliti mengajukan surat untuk melakukan penelitian di sekolah yang

langsung diterima oleh bagian Tata Usaha sekolah. Pihak Tata Usaha sekolah

tersebut meminta peneliti untuk mengisi form penelitian yang sudah disediakan

oleh sekolah. Kemudian, pada hari Senin, 17 Juni 2019, peneliti bertemu

dengan Wakil Kepala Sekolah Bagian Kurikulum untuk meminta ijin,

menyampaikan tujuan penelitian, dan berkoordinasi mengenai prosedur

perijinan penelitian di sekolah tersebut. Beliau mengijinkan kegiatan penelitian

ini, dan meminta kepada peneliti bersama dengan kedua subjek untuk bertemu

dengan guru matematika kelas XI yang bersangkutan. Setelah berkoordinasi

dengan guru matematika kelas XI MIPA, peneliti diminta untuk memulai


34

penelitian bersamaan dengan kegiatan mengajar subjek pada tanggal 23 Juli

2019.

Tabel 4.1: Jadwal Pelaksanaan Penelitian

No Kegiatan Waktu

Pelaksanaan Keterangan

1. Pengajuan surat

penelitian 13 Juni 2019

Mengajukan surat penelitian ke

bagian Tata Usaha sekolah

sekaligus mengisi form

penelitian dari sekolah.

2.

Bertemu Wakil

Kepala Sekolah

Bidang Kurikulum

untuk meminta ijin

penelitian

17 Juni 2019

Meminta ijin, menyampaikan

tujuan penelitian, dan

berkoordinasi mengenai

prosedur perijinan penelitian

di sekolah

3.

Bertemu Wakil

Kepala Sekolah

Bidang Kurikulum

dan Guru

matematika

15 Juli 2019

Peneliti berkoordinasi dengan

Wakil Kepala Sekolah Bidang

Kurikulum dan Guru matematika

kelas XI MIPA mengenai waktu

pengambilan data

4. Bertemu dengan

kedua subjek 19 Juli 2019

Peneliti berkoordinasi dengan

kedua subjek mengenai materi

yang telah diberikan oleh guru

pamong dan juga meminta untuk

setiap hari minggu selama proses

penelitian kedua subjek

mengirimkan berkas Rencana

Pelaksanaan Pembelajaran untuk

2 pertemuan kepada peneliti

5. Observasi 1 23 Juli 2019 Pertemuan 1 (Subjek 1)

6. Observasi 2

24 Juli 2019 Pertemuan 2 (Subjek 1)

Observasi 3 Pertemuan 1 (Subjek 2)



9. Observasi 6

31 Juli 2019 Pertemuan 4 (Subjek 1)

Observasi 7 Pertemuan 3 (Subjek 2)

10. Observasi 8 6 Agustus 2019 Pertemuan 5 (Subjek 1)



13. Wawancara subjek 9 Agustus 2019 Wawancara subjek 1 dan 2

14. Meminta surat

keterangan September 2019

Meminta surat keterangan telah

melaksanakan kegiatan

penelitian kepada bagian Tata

Usaha di sekolah.


35

B. Hasil Transkrip Video dan Observasi Subjek

Berikut ini adalah hasil reduksi dari transkrip video dan transkrip hasil

observasi yang peneliti lakukan. Hasil observasi dan transkrip video

direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer & Chick (2006).

Berdasarkan hasil observasi dan transkrip video yang peneliti reduksi,

berikut merupakan kode data observasi dan transkrip video yang peneliti

gunakan. Kode diawali dengan huruf S dan diikuti dengan tiga angka.

Angka pertama merupakan kode untuk subjek, angka kedua merupakan

urutan untuk pertemuan dan angka yang ketiga merupakan urutan kegiatan

pembelajaran atau interaksi yang melibatkan percakapan atara subjek

dengan peserta didik. Contoh: S.1.2.1 berarti kode untuk kegiatan oleh

subjek pertama, pada pertemuan kedua dan kegiatan atau interaksi pertama.

1. Subjek 1

a. Pertemuan 1 (Selasa, 23 Juli 2019)

Subjek masuk kelas dan duduk di bangku guru menyiapkan laptop

dan proyektor, bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan

diri mengikuti pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan

memperkenalkan diri sebagai mahasiswa yang sedang melakukan

praktik mengajar di sekolah (PLP-KP). Setelah itu, subjek

memberikan waktu kepada peneliti untuk memperkenalkan diri dan

menyampaikan tujuan penelitian. Peneliti maju ke depan kelas

memperkenalkan diri dan menyampaikan tujuan penelitian.


36

Sebentar kemudian, subjek mengajak peserta didik untuk berdiri di

samping meja kelas masing-masing untuk membangkitkan

semangat belajar dan melatih konsentrasi peserta didik dengan Ice

breaking sebelum memulai pembelajaran. Ice breaking yang akan

dimainkan adalah Dor Boom, permainan ini dimulai ketika subjek

menunjuk salah seorang peserta didik sambil mengatakan DOR, lalu

peserta didik yang ditunjuk tadi harus menjawab dengan BOOM

dengan ekspresi kaget. Subjek menunjuk beberapa orang peserta

didik untuk bermain dalam beberapa menit dan setelah selesai masih

ada beberapa peserta didik yang bercanda dalam permainan ini

sehingga subjek harus menghentikannya.

Setelah keadaan kelas mulai kondusif, subjek memulai

pembelajaran matematika dengan menyampaikan motivasi melalui

tujuan pembelajaran materi induksi matematika, berikut cuplikan

videonya: (S.1.1.1)

S1: Sebelum itu kalian tau ya kita mau belajar apa?

PD: matematika

S1: topiknya apa?

PD: induksi

S1: induksi apa?

PD: induksi matematika

S1: ya benar, induksi matematika. Indikator pembelajaran yang akan

kita capai pada hari ini adalah yang pertama kita membuat suatu pola

barisan bilangan, yang kedua kalian akan dijelaskan mengenai

prinsip induksi matematika. Ketiga, kalian akan membuktikan suatu

formula pada suatu pola barisan bilangan dengan prinsip induksi

matematika. Keempat, menerapkan prinsip induksi matematika

untuk membuktikan kebenaran suatu barisan bilangan. Terakhir,

menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu

kebenaran dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Sudah

siap? Sudah siap untuk belajar?

PD: belum

S1: harus siap dong. Oke, disini bapak punya satu kasus. Ada yang tahu ini

apa?


37

PD: domino

S1: pernah main ya?

PD: pernah

S1: oke, disini sudah ada domino. Dimana ketika bapak menjatuhkan

domino yang pertama ke domino yang kedua. Apa yang akan terjadi pada

domino yang lainnya?

PD: jatuh

S1: alasanya apa? Coba ada yang mau jawab, silahkan angkat tangan.

PD: karena ketika domino yang pertama dijatuhkan maka yang lainnya ikut

terjatuh.

S1: oke benar, karena ketika domino yang pertama dijatuhkan maka

domino yang lainnya ikut terjatuh. Nah, sekarang bapak tanya apakah

domino ke 50 juga akan terjatuh jika bapak menjatuhkan domino yang

pertama?

PD: ya

S1: alasannya kenapa?

PD: karena jarak dari setiap domino sama

S1: ya benar, sekarang lihatlah video berikut (Subjek 1 memberikan video

pembelajaran yang berisi ilustrasi domino yang sedang dijatuhkan). Dari

ilustrasi tadi dapat kita bayangkan bahwa ketika domino yang pertama

dijatuhkan kearah domino lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar domino adalah sama.

Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk membentuk

kelompok belajar dengan menghitung dari 1 sampai dengan 5,

sehingga terbentuklah 5 kelompok dengan masing-masing berisi 5

orang. (S.1.1.2) Setelah peserta didik duduk bersama dengan

kelompoknya, subjek memberikan soal (masalah 1.2 yang ada di

buku siswa) yang akan diselesaikan oleh peserta didik dalam

kelompok. Subjek berkeliling kelas untuk memantau pekerjaan

setiap kelompok belajar peserta didik. Selanjutnya, subjek meminta

2 orang perwakilan dari salah satu kelompok untuk menuliskan dan

menjelaskan masalah yang diberikan di depan kelas. Berikut

cuplikan videonya: (S.1.1.3)

S1: silahkan kalian berdua menjelaskan kepada teman-teman disini.

PD1: jadi teman-teman, kita disini akan menjelaskan tentang pola dari ini

𝑛 = 7,


38

12 + 22 + 32 + ⋯ + 62 + 72 =7×8×15

6 (sambil menunjuk pada pekerjaan

mereka di papan tulis). Jadi menurut kalian pola di depan ini, pola apa?

S1: ayo tebak pola di depan ini pola apa?

PD: tidak tahu pak. Kakak yang di depan tolong jelasinnya pelan-pelan

dong.

PD2: jadi disini kita punya 𝑛 = 7, kalian semua punya buku cetak kan?

PD: ada

PD2: di buku cetak di tulisnya jumlah n bilangan kuadrat yang pertama,

berarti 7-nya itu bilangan pertama.

S1: ya benar, trus

PD2: trus, di buku cetak kan sudah ada dari 1-6 (contoh kasusnya), diangka

paling belakang itu kalau contoh 12 itu 3, 22 itu 5, trus 32 itu 7, 42 itu 9.

Itu angka-angka apa?

PD: ganjil

PD1&2: Benar

S1: tepuk tangan dulu (semua peserta didik tepuk tangan)

PD2: berarti yang dibelakang-belakang ini angkanya akan ganjil (sambil

menunjuk angka 15 pada pekerjaan mereka 7×8×15

6 )

Gambar 4.1. Tabel pola penjumlahan

PD1: kan kalau di tabel di buku cetak itu 12 itu 1×2×3

6, 22 itu

2×3×5

6, trus 32

itu 3×4×7

6, jadi menyebabkan angka belakangnya itu angka ganjil.

PD: kenapa itu (sambil menunjuk ke arah papan tulis 7×8×15

6 ) per 6 (harus

dibagi dengan 6)?

PD2: karena pola yang di kasih udah kayak gitu.

S1: karena pola yang diberikan harus disesuaikan sampai pola ke-10.

PD2: karena kan jawabannya nanti jadi 540

6

S1: oke, nanti kalian hitung sendiri ya. Nah tadi itu kan pola dari 𝑛 = 7.

Bagaimana jika 𝑛 = 10? Apakah ada partisipan yang mau menjawab?

(2 orang mengangkat tangannya untuk menjadi partisipan)

S1: ketika 𝒏 = 𝟏𝟎 apakah polanya akan berubah dari 𝑛 = 7 ? oke

silahkan dijelaskan

PD: jadi untuk 𝑛 = 10 itu polanya sama tapi jawabannya beda 𝑛 = 10,

12 + 22 + 32 + ⋯ + 92 + 102 =10×11×21

6 (sambil menunjuk pada

pekerjaan mereka di papan tulis).


39

S1: sampai sini apakah jawabannya sama dengan jawaban kalian?

PD: sama

S1: jadi jawabannya adalah benar. Sekarang gimana pola penjumlahan

kuadratnya kalau dari 12 ditambah sampai dengan 302? Ada yang mau

mencoba?

(tidak ada peserta didik yang mau mencoba)

S1: sekarang gini, kalau tadi jika 𝑛 = 10, maka polanya menjadi 10×11×21

6 .

sekarang kalau 302 polanya menjadi?

PD: 30×31×61

6

S1: ya benar. sekarang, gimana polanya jika 𝑛 = 50?

PD: 50×51×101

6

S1: ya benar. Lalu pertanyaannya yang c, bagaimana dengan penjumlahan

berurut bilangan kuadrat dari 12 sampai dengan 𝑛2? Ketika 𝒏 = 𝟏𝟎 maka

angka paling depan disini adalah 10 berarti 10 ini adalah 𝒏, kemudian

angka 11 disini sama dengan 𝒏 + 𝟏, kalau 21 disini berarti?

Gambar 4.2. Subjek 1 menjelaskan pola penjumlahan yang terbentuk

PD: 𝑛 + 𝑛 + 1

S1: kurang tepat, coba perhatikan dulu ketika 𝑛=10 maka 21 diperoleh dari

apa?

PD: 2𝑛 + 1

S1: ya, betul sekali. Sampai sini sudah paham?

PD: paham!

S1: sehingga pola yang kita peroleh disini adalah 𝑛 × (𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1).

Katakan lagi apa polanya

PD: 𝑛 × (𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1)

S1: ya, pintar sekali kalian. Sudah paham semua? Ada pertanyaan lagi?

PD: pak, gimana kalau 𝑛 = 11?

S1: berarti polanya adalah 11×12×23

6. Sudah paham semua kan, kalau gitu

kita lanjut definisi induksi matematika.

(S.1.1.4) Selanjutnya subjek membacakan definisi induksi

matematika yang sudah tertera di layar dengan memberikan contoh

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛. Subjek akan membentuk formula dari contoh


40

dengan rumus Sn (deret) 𝑛(𝑛+1)

2 seperti pada gambar dibawah ini.

Subjek memberitahu kepada peserta didik bahwa belum tentu semua

pola barisan bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus deret

(Sn), seperti cuplikan video berikut:

Gambar 4.3. Subjek 1 membuktikan rumus Sn

S1: menurut kalian apakah rumus Sn ini dapat digunakan di semua pola

barisan bilangan?

PD: belum tentu

S1: ya, belum tentu. Maka dari itu, perlunya kita belajar induksi

matematika supaya kita bisa mengetahui apakah pernyataan ini benar,

untuk semua kasus di 𝑛 ∈ 𝑁 (bilangan asli).

Kemudian, subjek memberikan prinsip pembuktian induksi

matematika yakni (1) menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku

untuk 𝑛 = 1, (2)menunjukan bahwa jika pernyataan itu berlaku

untuk 𝑛 = 𝑘, maka pernyataan itu juga berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1.

Selanjutnya subjek membuktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

dengan menggunakan prinsip pembuktian induksi matematika.

Setelah dibuktikan, subjek memperlihatkan bahwa 1 + 2 + 3 + ⋯ +

𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2 berlaku untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁 (bilangan asli). Tidak lupa

pula, subjek meminta peserta didik untuk mencatat.


41

Setelah subjek yakin bahwa peserta didik di kelas sudah memahami

konsep induksi matematika, subjek meminta peserta didik untuk

mengerjakan 2 latihan soal dikerjakan bersama dengan kelompok

yang sudah dibentuk. Selama peserta didik mengerjakan soal, subjek

berkeliling membimbing satu per satu pekerjaan setiap kelompok

hingga waktu pelajaran habis. Sebelum keluar dari kelas dan

menutup pembelajaran hari ini, subjek meminta peserta didik untuk

mengumpulkan lembar jawab kelompok besok pagi di kantor.

b. Pertemuan 2 (Rabu, 24 Juli 2019)

Subjek memasuki ruangan dan mengucapkan salam kepada peserta

didik. Kemudian subjek menyiapkan laptop dan proyektor, pada saat

itu pula peserta didik menyiapkan buku dan alat tulisnya. Setelah itu,

subjek memberikan motivasi berupa mengajak peserta didik untuk

memilih pasangan dan berdiri di tempat duduknya masing-masing

untuk melakukan pemanasan sebelum pembelajaran dimulai (Ice

breaking). Subjek mengajak peneliti sebagai pasangannya untuk

bermain. Setelah permainan selesai, subjek meminta peserta didik

untuk duduk kembali. Kemudian subjek mengajak peserta didik

untuk mengingat kembali (me-review) materi pada pertemuan

sebelumnya. Subjek mengajukan beberapa pertanyaan untuk

membantu peserta didik, berikut cuplikan videonya: (S.1.2.1)

S1: kemarin kita belajar tentang apa?

PD: induksi matematika

S1: masih ingat prinsipnya?

PD: masih

S1: ada berapa langkah?


42

PD: ada 2.

S1: langkah pertama kita buktikan?

PD: 𝑛 = 1

S1: dan langkah kedua kita buktikan?

PD: 𝑛 = 𝑘

S1: jika n=k maka?

PD: 𝑛 = 𝑘 + 1 benar

Kemudian subjek bertanya mengenai tugas pertemuan sebelumnya,

tetapi karena banyak dari peserta didik yang tidak mengerjakan tugas

maka subjek meminta untuk tugas dikumpulkan saat jam pulang

sekolah. Namun, karena masih banyaknya peserta didik yang belum

memahami soal yang ada pada tugas, maka subjek memutuskan

untuk membahasnya di kelas. Subjek kemudian mengambil salah

satu contoh soal, lalu mengaitkannya dengan pola penjumlahan

barisan. Setelah itu, subjek meminta 2 orang peserta didik untuk

maju dan mengerjakannya di depan kelas dan menerangkannya.

Ketika menunggu kedua peserta didik selesai menulis di papan tulis,

subjek berkeliling sambil menanyakan kesulitan soal pada peserta

didik lain. Beberapa saat kemudian, kedua peserta didik tersebut

selesai mengerjakan dan menerangkan hasil dari pekerjaan mereka.

Tidak lupa pula subjek memberikan ucapan terimakasih dan

apresiasi berupa tepuk tangan untuk kedua peserta didik tersebut.

Kemudian subjek menjelaskan ulang pembahasan soal tersebut,

seperti pada cuplikan berikut:

S1: tadi kan soalnya itu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛2 + 𝑛. Lalu ketika 𝑛 = 1

maka 2 = 12 + 1 jadi pernyataan kalau 𝑛 = 1 adalah benar. Lalu untuk

𝑛 = 𝑘 jadinya akan seperti ini (sambil menunjuk pekerjaan peserta didik

yang sebelumnya) menjadi 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘2 + 𝑘. Trus ketika

𝑛 = 𝑘 + 1, jangan lupa kalau 2k yang ada di 𝑛 = 𝑘 itu ditulis lagi. Nah


43

kalian tinggal menuliskan saja seperti ini (sambil menunjuk pekerjaan

peserta didik yang sebelumnya) menjadi 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 +1) = (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1). Sampai sini sudah paham?

PD: ya..

S1: oke, lanjutin ya. Sekarang bapak akan menunjukan bahwa ruas kiri itu

akan sama dengan ruas kanan. (subjek menuliskan pembahasan seperti

pada gambar berikut)

Gambar 4.4. Pembahasan soal ketika 𝒏 = 𝒌 + 𝟏

S1: sudah paham semua?

PD: paham

S1: nanti kalian jangan lupa untuk membaca di buku dan juga cari-cari di

internet supaya bisa tahu lebih banyak.

Selanjutnya subjek mereview sejenak mengenai materi notasi sigma

yang sudah pernah dipelajari oleh peserta didik. Subjek memberikan

contoh ∑ 2𝑘2𝑘=1 𝑑𝑎𝑛 ∑ 3𝑘 − 15

𝑘=2 (seperti pada gambar), peserta

didik menjawab dengan antusias.

Gambar 4.5. Subjek 1 memberikan contoh ∑ 𝟐𝒌𝟐

𝒌=𝟏 𝒅𝒂𝒏 ∑ 𝟑𝒌 − 𝟏𝟓𝒌=𝟐

Selanjutnya, subjek memberikan sebuah soal yang berkaitan dengan

materi notasi sigma yakni, ∑ 𝑘. 3𝑘 =(2𝑛−1) .3𝑛+1+3

4

𝑛𝑘=1 berlaku untuk

setiap n bilangan asli. Subjek meminta peserta didik untuk bersama-

sama membuktikan soal tersebut


44

dengan menggunakan sifat-sifat yang ada di induksi matematika,

berikut cuplikannya: (S.1.2.2)

S1: sekarang semua perhatikan ke depan, ketika 𝑛 = 1 maka 1. 31 sama

dengan?

PD: (2(1)−1) .31+1+3

4

S1: lalu 1 .9+3

4 sama dengan?

PD: 3

S1: jadi 𝑛 = 1 terbukti benar?

PD: benar

S1: sekarang biar kalian mudah menjawabnya n ini kita ganti jadi m, jadi

𝑛 = 𝑚 maka 𝑘. 3𝑘sama dengan? (subjek menggunakan n = m dikarenakan subjek tidak ingin peserta didik kebingungan jika ia menuliskan n = k.

Sebab dalam soal notasi sigma ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 sudah mengandung unsur k.)

PD: (2𝑚−1) .3𝑚+1+3

4

S1: sekarang kalau 𝑛 = 𝑘 + 1? Kan tadi kita sudah menempatkan k

sebagai indeks kan ya? Jadi ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 sama dengan?

PD: (2(𝑚+1)−1) .3(𝑚+1)+1+3

4

S1: lalu (2𝑚+1) .3𝑚+2+3

4. Sampai sini sudah mengerti?

PD: sudah

S1: bagian sebelah sini dihapus ya (subjek ingin menghapus bagian sebelah

kiri papan tulis)

PD: jangan, kami catat dulu pak

S1: baik. Bapak kasih waktu 2 menit ya. (sambil menunggu peserta didik

menulis, subjek duduk di kursi khusus guru) Sudah selesai? Bapak hapus

ya yang bagian sini.

PD: hapus pak

S1: oke sekarang kita lanjut. Karena tadi kita sudah punya (2𝑚+1) .3𝑚+2+3

4

di ruas kanan. Sekarang bapak akan buktikan yang ada di ruas kanan.

Berarti ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =

(2𝑚−1) .3𝑚+1+3

4+ (𝑚 + 1). 3𝑚+1 . kita samakan

penyebutnya dulu menjadi ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =

(2𝑚−1) .3𝑚+1+3+4(𝑚+1).3𝑚+1

4.

Sampai sini paham?

PD: paham

S1: kita lanjutkan ya, jadi hasilnya ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =

(2𝑚−1+4𝑚+4) .3𝑚+1+3

4

sama dengan ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =

(6𝑚+3) .3𝑚+1+3

4. Sudah paham sampai sini?

PD: sudah

S1: kalau gitu kalian catat dulu bagian sini. (beberapa saat kemudian) tadi

kan kita punya yang di ruas kanan (2𝑚+1) .3𝑚+2+3

4 trus yang di ruas kiri kan

tadi kita punya (6𝑚+3) .3𝑚+1+3

4 kalau bapak sederhanakan menjadi

3 (2𝑚+1) .3𝑚+1+3

4 boleh tidak?

PD: boleh

S1: 3 yang di depan itu kan kalau kita beri pangkat nanti jadi 3 pangkat berapa?


45

PD: satu

S1: ya 31 (2𝑚+1) .3𝑚+1+3

4 , jadi kalau bapak tulis seperti ini

31 (2𝑚+1) .3𝑚.31+3

4

kalian paham?

PD: paham

S1: maka bapak bisa menulis seperti ini (2𝑚+1) .3𝑚+2+3

4. Ada yang tahu

kenapa bapak tulis 2 disamping m?

PD: karena 31 dikali 31 jadi 32.

S1: ya benar. Sekarang dicatat dulu yang ini.

Selanjutnya subjek memberikan tugas rumah kepada peserta didik,

dikarenakan waktu untuk belajar telah habis. Setelah berdoa

bersama, subjek membereskan peralatan pembelajaran dan

mengucapkan salam kepada seluruh peserta didik.

c. Pertemuan 3 (Selasa, 30 Juli 2019)




subjek memberikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada

pertemuan hari itu kepada peserta didik.

Selanjutnya subjek memberikan motivasi kepada peserta didik

dengan memberikan potongan-potongan gambar tokoh-tokoh dunia

(Albert Einstein, Stephen Hawkin, B.J. Habibie). Hal ini dilakukan

untuk membawa peserta didik mengingat dan membangkitkan

semangat belajar peserta didik. Subjek memberikan sebuah

pertanyaan pancingan untuk mendorong peserta didik berfikir kritis

yakni, apa kesamaan dari ketiga tokoh-tokoh tersebut. Subjek

memberikan clue yakni 140, 160 dan 200. Setelah salah satu siswa


46

menjawab jawaban yang benar yakni IQ (kecerdasan intelektual),

subjek memberikan apresiasi berupa tepuk tangan.

Kemudian subjek membawa peserta didik untuk mengenal lebih

mengenai penerapan induksi matematika pada keterbagian, seperti

pada cuplikan video berikut: (S.1.3.1)

S1: nah sekarang kita akan mempelajari mengenai penerapan induksi

matematika pada keterbagian. Tujuan kita adalah membuktikan

bahwa pernyataan tersebut benar tanpa membuktikan di ruas kiri

maupun di ruas kanan. Diingat-ingat ya, untuk keterbagian ini tidak ada

pembuktian di ruas kiri dan ruas kanan. Kalau barisan kemarin ada

pembuktian di ruas kiri dan ruas kanan, kalau di keterbagian tidak ada

tetapi akan dibuktikan benar atau tidak. Nah, pembuktiannya sama dengan

yang kemarin yakni dengan 2 langkah kemarin. Apa langkahnya kemarin?

PD:buktikan pernyataan 𝑛 = 1 benar dan jika 𝑛 = 𝑘 benar maka 𝑛 = 𝑘 +1 benar.

S1: ya, benar sekali. Nah sekarang kita masuk ke contohnya. Bilangan

habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian

bilangan dan menghasilkan nol, tetapi hasil pembagiannya adalah bilangan bulat. Misalkan 10 dibagi 2 hasilnya berapa?

PD: lima

S1: sisanya berapa?

PD: lima

S1: bukan. Sisanya?

PD: tidak ada

S1: berarti nol ya. Nah berarti kita bisa menuliskan 10 habis dibagi 2 karena

hasil dari pembagian tersebut adalah bilangan bulat 5. Berbeda dengan 10

dibagi 3, hasilnya 3,33... jadi kita bisa menuliskan 10 tidak habis dibagi 3

karena 3,33... bukan merupakan bilangan bulat. Jadi kuncinya disini

adalah ketika ada bilangan yang habis dibagi maka jawabannya

adalah bilangan bulat. Masih ingat bilangan bulat?

PD: tidak

S1: bilangan bulat itu adalah bilangan yang tidak ada koma-komanya atau

per-pernya. Sampai sini semua paham?

PD: paham

Selanjutnya subjek meminta peserta didik untuk membentuk

kelompok berdua-dua untuk berdiskusi mengenai soal (pernyataan)

yang diberikan di slide ppt. Peserta didik diminta untuk menunjukan

bahwa 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 untuk n bilangan asli, dengan

menggunakan pembuktian induksi matematika. Setelah beberapa


47

menit menunggu peserta didik mengerjakan soal tersebut, subjek

melihat adanya kesulitan yang dialami oleh sebagian besar peserta

didik. Sedemikian sehingga subjek mengajak peserta didik untuk

membahas bersama soal tersebut dengan menggunakan langkah-

langkah induksi matematika dan juga prinsip-prinsip keterbagian

berikut cuplikan videonya:

S1: langkah awal untuk 𝑛 = 1, 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama dengan 111 −6 habis dibagi 5 sama dengan 11 − 6 habis dibagi 5. Jadi apakah benar 5

habis dibagi 5?

PD: benar

S1: sekarang, kita asumsikan 𝑛 = 1, sehingga 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama

dengan 11𝑘 − 6 habis dibagi 5. Asumsi awal kita kalau 11𝑘 − 6 habis

dibagi 5 itu benar.

PD: kenapa gitu pak?

S1: karena asumsi itu kita misalkan pandangan, kayak pandangan kamu itu

bisa benar atau bisa salah. Tetapi untuk masalah yang ini kita asumsikan

pernyataan ini benar. Setelah itu barulah kita masuk ke step yang

selanjutnya yakni, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, sehingga 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama

dengan 11(𝑘+1) − 6 habis dibagi 5, masih ingat tidak dengan 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 itu

sama dengan?

PD: 𝑎𝑚+𝑛

S1: jadi ketika ada soal 11(𝑘+1) sama saja dengan?

PD: 11𝑘 × 111

S1: sehingga 11(𝑘+1) − 6 habis dibagi 5 sama dengan 11𝑘 × 111 − 6 habis

dibagi 5, yang ini kita simpan dulu. Kembali lagi ke atas tadi, bapak tulis

di bawah sini ya. 11𝑘 − 6 habis dibagi 5 berarti kalau habis dibagi 5 bisa

dong kalau ditulis seperti ini 25 = 5 × sesuatu. Sesuatunya itu kan 5 lalu

20 = 5 × sesuatu, sesuatu yang dikalikan 5 sama dengan 20 adalah 4. Jadi

11𝑘 − 6 sama dengan 5 dikali n, dengan n adalah sesuatu yang dikalikan

dengan 5 hasilnya sama dengan 11𝑘 − 6. Sehingga 11𝑘 = 5𝑛 + 6, tadi kan

kita punya 11𝑘 × 111 − 6 lalu 11𝑘 kita ganti dengan 11𝑘 = 5𝑛 + 6, jadi

(5𝑛 + 6) × 11 − 6 sama dengan 55𝑛 + 66 − 6. Yang ini bisa kita

faktorkan, kan 55n habis dibagi 5 dan 66 dikurang 6 juga habis dibagi 5,

maka bisa dituliskan 5(11𝑛 + 12) habis dibagi 5. Kenapa ditulis habis

dibagi 5?

PD: kenapa?

S1: misalkan 5(2+3)

5 habiskan?

PD: iya

S1: karena 5 di 5(11𝑛 + 12) habis dibagi 5 maka pernyataan terbukti

benar.


48

Setelah itu subjek meminta peserta didik untuk mencatat pada buku

catatan dengan rapi dan benar. Kemudian subjek memberikan lagi

soal (pernyataan) di papan tulis. Peserta didik diminta untuk

membuktikan bahwa 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 𝑥 ≠ 𝑦, 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛

habis dibagi (𝑥 − 𝑦) dengan menggunakan langkah-langkah induksi

matematika. Subjek membahas soal tersebut bersa

ma dengan peserta didik dengan menggunakan langkah-langkah

seperti pada soal sebelumnya.

Setelah semua peserta didik paham dengan pembahasan yang

diberikan di papantulis, subjek memberi waktu kepada peserta didik

untuk mencatat. Selagi peserta didik mencatat, subjek berkeliling

kelas sambil mengecek dan melihat-lihat catatan peserta didik.

Kemudian subjek memberikan lagi soal latihan kepada peserta didik.

Peserta didik diminta untuk membuktikan pernyataan berikut, 𝑛2 −

𝑛 habis dibagi 6 untuk semua n bilangan asli. Beberapa peserta didik

terlihat antusias mengerjakan soal tersebut, ada pula dari mereka

maju ke meja guru untuk bertanya kepada subjek.

Saat waktu pengerjaan sudah selesai, subjek meminta salah satu

peserta didik untuk menuliskan hasil pengerjaannya di papantulis.

Ketika peserta didik tersebut selesai menuliskan di papan tulis,

subjek mulai memeriksa pekerjaannya. Namun, ada kesalahan dalam

penghitungan dan juga penulisan maka subjek membantu dengan


49

memberikan penjelasan dengan benar kepada seluruh peserta didik,

seperti pada cuplikan video berikut:

S1: apakah jawabannya sama dengan milik kalian?

PD: beda

S1: jadi tadi dia (peserta didik yang maju) itu belum menuliskan jawaban

dengan benar, sehingga salah dibagian akhirnya. Seharusnya ditulis 𝑘3 +3𝑘2 + 2𝑘. Benar ga kalau begini?

PD: benar

S1: nah sekarang kita akan membuat 𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘 menjadi seperti

(𝑘3 − 𝑘) + (3𝑘2 + 3𝑘) ini bapak cuma pisah dibagian (𝑘3 − 𝑘) dan 3𝑘

kalau 3𝑘 − 𝑘 = 2𝑘 jadi bapak pinjem – 𝑘 disini supaya sama bentuknya

seperti 𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘. Barulah samai sini bisa bapak tuliskan (𝑘3 − 𝑘) +3𝑘(𝑘 + 1). Maka dari sini kita bisa lihat yang 𝑛 = 𝑘 dengan (𝑘3 − 𝑘)

habis dibagi 6. Sedangkan untuk 3𝑘(𝑘 + 1) jika 𝑘 = 1 maka 3.1(1 + 1) =3(2) = 6 dan 6 habis dibagi 6. Jika kalian tuliskan 3𝑘(𝑘 + 1) dengan 𝑘 =𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 semuanya habis dibagi 6, sehingga bisa kita tuliskan

3𝑘(𝑘 + 1) habis dibagi 6. Karena (𝑘3 − 𝑘) + 3𝑘(𝑘 + 1) habis dibagi 6,

maka pernyataan terbukti benar.

PD: iya

Dikarenakan waktu pembelajaran hari itu sudah hampir selesai

sehingga subjek meminta untuk dijadikan tugas rumah secara

berkelompok untuk dikumpulkan pada hari selasa. Lalu subjek

memberikan tugas mandiri serta arahan pengerjaan tugas tersebut

kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan pada hari

selasa 2 minggu lagi. Setelah itu subjek membereskan peralatan

pembelajaran dan kemudian memberikan salam penutup kepada

seluruh peserta didik.

d. Pertemuan 4 (Rabu, 31 Juli 2019)

Tidak ada videonya

e. Pertemuan 5 (Selasa, 6 Agustus 2019)




50


subjek memberikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada

pertemuan hari itu kepada peserta didik. Setelah itu subjek

memotivasi peserta didik dengan melakukan ice breaking supaya

dapat semangat dalam belajar di kelas. Kemudian subjek meminta

seluruh peserta didik untuk membentuk kelompok diskusi yang baru

dengan menghitung dari 1 sampai dengan 5. Setelah semua peserta

didik mendapatkan kelompok, kemudian subjek memberikan soal

yang berkaitan dengan seluruh materi induksi matematika.

Selama peserta didik melakukan diskusi, subjek berkeliling kelas

untuk melakukan pemantauan dan membantu beberapa peserta didik

yang masih kesulitan dalam menjawab soal. Beberapa peserta didik

pun juga ada yang bertanya dengan menghampiri subjek di depan

meja guru. Setelah selesai, subjek meminta beberapa peserta didik

untuk maju ke depan untuk menuliskan di depan kelas tetapi hanya

dua orang saja yang mau menuliskan di depan kelas. Ketika kedua

peserta didik sudah selesai menulis, subjek memeriksa kebenaran

dari jawaban peserta didik tersebut. (S.1.5.1)


51

Gambar 4.6. Peserta didik menyampaikan hasil pekerjaannya di depan

kelas

Kemudian subjek meminta kedua peserta didik menjelaskan hasil

pekerjaannya di depan kelas. Peserta didik yang pertama

menjelaskan hasil pekerjaannya dengan detail dan baik, pembuktian

yang didapatkan pun terbukti benar. Kemudian peserta didik kedua

maju dan memaparkan hasil pembuktian yang pernyataannya

terbukti tidak benar di langkah awalnya. Namun, pada saat peserta

didik kedua selesai menjelaskan hasil pekerjaannya, subjek tiba-tiba

bertanya “apakah ada yang mau bertanya? Menurut kalian ini ada

yang salah atau tidak?”. Namun peserta didik yang masih di depan

tersebut kebingungan dan teman-temannya yang lain turut

membantu tetapi tidak ada yang dapat mengerti kesalahannya.

Kemudian setelah beberapa saat menunggu, akhirnya subjek

memberitahukan bahwa ada terdapat kesalahan dalam penulisan,

seperti pada cuplikan berikut:


52

PD2: untuk pernyataan 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛, langkah awalnya untuk

𝑛 = 1. Hasilnya itu 2 = 1. Karena hasilnya tidak sama di kedua sisi maka

pernyataan tersebut terbukti salah.

S1: untuk yang lain apakah ada yang mau bertanya? Menurut kalian ini ada

yang salah atau tidak?

PD3: emangnya ada yang salah pak?

S1: coba kalau kalian cek, ada yang salah tidak.

PD: (ribut)

S1: mau saya kasih tau atau kalian yang cari sendiri salahnya dimana

PD4: pak saya mau coba bantu

S1: silahkan

PD4: kurang penulisan pernyataan tersebut salah pak

S1: kurang tepat. Ada lagi yang tahu salahnya dimana?

PD: tidak pak

S1: yang kurang tepat itu ada di bagian (sambil menunjuk pada tanda sama

dengan) seharusnya sama dengan disini ditulis dengan tanda tidak sama

dengan (≠) karena kan 2 ≠ 1 betul tidak?

PD5: tapi kan cuma tanda gitu doang pak

S1: tetap saja kurang tepat karena kalau bapak tanya memangnya 2 sama

dengan 1?

PD: tidak pak

S1: nah, itu tahu.

Kemudian subjek meminta dua orang lagi untuk maju menuliskan

jawaban nomor 3 dan 4. Namun, hanya ada satu orang saja yang

ingin maju ke depan dan menuliskan pekerjaan nomor 3. Setelah itu,

subjek meminta peserta didik tersebut menjelaskan hasil pekerjaan

di depan kelas. Kemudian subjek mengoreksi penjelasan dari peserta

didik yang kurang tepat saat menjabarkannya. Lalu subjek

melanjutkan dengan membahas soal nomor 4 dan pembahasan soal

nomor 4 di tampilkan di ppt.


53

Gambar 4.7. Subjek 1 mengoreksi penulisan dari pekerjaan peserta didik

Setelah subjek menjelaskan dan membahas soal-soal yang diberikan,

subjek memberikan kesimpulan pembelajaran pada pertemuan kali

ini kepada seluruh peserta didik. Kemudian subjek memberikan

reward atau apresiasi kepada beberapa peserta didik yang aktif

dalam kelas selama proses pembelajaran lima pertemuan.

Selanjutnya subjek bertanya mengenai perasaan peserta didik selama

proses pembelajaran yang telah dilalui sepanjang lima pertemuan.

Setelah itu subjek mengingatkan peserta didik untuk belajar dan

mempersiapkan diri sebelum ulangan yang akan diadakan pada

pertemuan selanjutnya. Kemudian subjek membereskan laptop,

buku dan alat tulis, lalu menutup pertemuan pada hari itu dengan

salam dan semangat kepada peserta didik.


54

2. Subjek 2

a. Pertemuan 1 (Rabu, 24 Juli 2019)

Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan

menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,

bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti

pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan

memperkenalkan diri sebagai mahasiswa yang sedang melakukan

praktik mengajar di sekolah (PLP-KP). Setelah itu, subjek

memberikan waktu kepada peneliti untuk memperkenalkan diri dan

menyampaikan tujuan penelitian. Peneliti maju ke depan kelas

memperkenalkan diri dan menyampaikan tujuan penelitian.

Kemudian subjek melanjutkan kegiatan dengan memberitahu

rencana pembelajaran, indikator ketercapaian dan sumber belajar

lain kepada peserta didik. Selanjutnya, subjek mengajak peserta

didik untuk membuat aturan atau tata tertib selama pembelajaran

matematika berlangsung. Subjek juga memberitahukan kepada

peserta didik untuk terlibat aktif selama pembelajaran, karena akan

diberikan poin nilai sikap jika mereka aktif bertanya maupun

menjawab soal di depan kelas.

Sebelum memulai materi, subjek meminta siswa untuk mengingat

kembali materi pada pertemuan sebelumnya dengan mengajukan

pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi ajar, berikut

cuplikan videonya:


55

S2: apakah ada yang masih mengingat apa itu notasi sigma?

PD1: (mengangkat tangan dan menjawab pertanyaan) notasi sigma adalah

sebuah simbol yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan

suatu bilangan yang memiliki pola tertentu.

S2: ya benar, terimakasih. (mencatat keaktifan peserta didik di papan tulis)

apakah teman-teman ada yang punya pendapat lain?

PD: tidak

S2: nah sebenarnya notasi sigma itu dalam kehidupan sehari-hari

merupakan suatu simbol untuk menyatakan suatu penjumlahan. Disini kita

akan mempelajari tentang induksi matematika. Sekarang ada yang bisa

beritahu saya tidak, apa hubungan dari notasi sigma dengan induksi

matematika? Kenapa kita harus belajar notasi sigma dahulu? Ada yang

tahu tidak?

Dikarenakan peserta didik tidak ada yang mau atau berani untuk

menjawab pertanyaan maka subjek memberikan pilihan untuk

memberitahukan secara langsung alasannya, berikut cuplikan

videonya:

S2: jadi notasi sigma ini tadikan merupakan simbol penjumlahan ya.

Notasi sigma ini nanti bisa membantu kita untuk diterapkan dalam

induksi matematika di bagian barisan. Jadi notasi sigma ini akan

berguna untuk penulisan barisan, kita tidak perlu menuliskan barisan

secara panjang nanti bisa kita singkat dengan notasi sigma yang

kemarin sudah kita pelajari. Lalu disini, induksi matematika itu

semua itemnya ada disini, sebenarnya metode pembuktian tidak

hanya induksi matematika tetapi ada pembuktian langsung, tidak langsung dan kontradiksi. Ini semua berhubungan erat dengan logika,

jadi disini diharapkan teman-teman itu memiliki logika yang kuat dan juga

jangan bingung jika mendapatkan pernyataan-pernyataan yang sedikit

rumit. Karena, kalau logikanya sudah tidak jalan itu nanti teman-teman

akan kesusahan dan juga akan susah mengikuti pembelajaran yang

selanjutnya gitu.

Kemudian subjek mengajak peserta didik untuk membahas tugas

rumah (PR) mengenai barisan bersama-sama dan meminta beberapa

peserta didik untuk maju satu per satu menjawab PR di papan tulis.

Disela-sela menunggu peserta didik yang sedang menulis di depan,

subjek berkenalan dengan peserta didik satu persatu sesuai dengan

nomor absen mereka. Selesai berkenalan, subjek memeriksa


56

jawaban peserta didik yang sudah dituliskan di papan tulis dan

meminta peserta didik yang maju tadi untuk menjelaskan kepada

teman-teman sekelas. Ketika memeriksa, sesekali subjek

menuliskan poin-poin keaktifan peserta didik di papan tulis, tidak

lupa pula subjek bertanya mengenai pembahasan soal yang

dituliskan peserta didik di papan tulis berikut cuplikan videonya:

S2: menurut soal yang dikerjakan kalian kemarin, ini kan soal tentang

barisan ya. Menurut kalian apa yang menjadi ciri-ciri sebuah barisan itu

menjadi bentuk dalam notasi sigma? Ada yang tau nggak? Ciri-cirinya itu

apa, misalkan barisan ini (menunjuk salah satu soal yang ada di papan

tulis) bisa diubah ke notasi sigma, ini juga bisa diubah, itu juga bisa diubah.

Itu kenapa sih? Ada yang tahu?

PD2: kelipatannya.

PD3: Ada kelipatannya.

PD4: Kelipatannya sama.

S2: ya benar kelipatannya sama. Selain kelipatan ada lagi?

PD5: selisih

S2: kelipatan ini yang dimaksud tadi itu kelipatan apa ya?

PD6: bedanya (di barisan) itu loh bu

S2: oh ya. Kalau yang selisih?

PD7: jadi selisih itu kayak antara angka yang pertama sama angka yang

kedua itu jika dikurangkan akan terlihat selisihnya.

S2: ya terimakasih. Untuk yang lain apakah ada pendapat lain? Apakah

kelipatan dan selisih ini perbedaannya apa? Apakah ini merupakan salah

satu hal yang sama?

PD: Sama. Beda. (menjawab dengan berebutan)

S2: yang menjawab berbeda coba angkat tangan. (beberapa peserta didik mengangkat tangan) ya silahkan kamu.

PD8: berbeda bu. Karena kalau kelipatan itu biasanya ada di perkalian trus

kalau selisih itu adanya di pengurangan kayak 5-3=2.

S2: ya, untuk tadi yang menjawab beda apakah ada yang jawabannya

sama? (tidak ada yang merespon) Jadi yang tadi jawabannya sama siapa?

(peserta didik ribut karena saling menyalahkan jawaban satu sama lain)

S2: oke, oke. Jadi sebenernya gini teman-teman, tadi benar apa yang

dikatakan bahwa kelipatan dan selisih itu berbeda tetapi kurang tepat. Jadi

dalam notasi sigma itu mereka (barisan) harus punya pola, pola itu kan bisa

mencangkup selisih bisa mencangkup kelipatan. Jadi sebenernya cirinya

itu yang paling tepat adalah pola. Nah disini (menunjuk salah satu soal)

apakah ini berpola?

PD: iya

S2: berpolanya selisih atau kelipatan?

PD: selisih

S2: ya selisih. Apakah rumus notasi sigmanya betul?

PD: iya


57

S2: oke, sekarang ibu punya contoh. Dari pembahasan yang tadi coba

tuliskan notasi sigma dari barisan ini (subjek memberi sebuah contoh

barisan 3 + 6 + 8 + 14 + 19 + 25) ingat ciri-cirinya tadi ya.

PD9: bu, itu caranya sama kayak yang tadi?

S2: caranya sama, tapi ini bisa diubah jadi notasi sigma tidak? Kalau bisa

tuliskan, kalau tidak kenapa? Ada yang punya pendapat? Angkat tangan.

Angkat tangan. Saya kasih semenit ya. Bisa nggak sih barisan ini diubah

jadi notasi sigma? Udah?

PD10: tidak bisa bu. Karena barisannya tidak berpola bu.

S2: Ada yang lain?

PD11: kelipatan dan selisihnya tidak sama bu. Jadi nggak bisa.

S2: ya. Ada yang punya pendapat lagi? Oke, nggak ada. Jadi bener yang

tadi dikatakan sama teman-teman. Bahwa barisan ini tidak bisa diubah

menjadi notasi sigma, karena disini notasi sigma merupakan simbol untuk

menyatakan penjumlahan berurutan suatu bilangan yang memiliki pola

tertentu. Jadi seperti tadi kata teman-teman bahwa barisan tersebut tidak

berpola, kelipatan dan selisihnya tidak sama, bedanya jauh dan tidak

beraturan maka dia (barisan tersebut) tidak bisa diubah ke notasi sigma.

Adakah yang masih bingung mengenai notasi sigma?

PD: tidak, belum.

S2: berarti cukup ya. Nah ini simbolnya (Subjek menunjukan gambar berikut). Jadi n ini itu indeks atas, lalu i=1 itu indeks bawah dan Ui itu bisa

berisi angka ataupun rumus sigma. Sekarang kita lihat contoh yang

sebelumnya, bisa nggak sih kalau kita tulis ∑ 𝑛2 − 3𝑛𝑖=1 menjadi

∑ 𝑛2 − ∑ 3𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 ?

Gambar 4.8. Keterangan dari simbol notasi sigma

PD: bisa bu.

S2: kenapa?

PD: karena biar gampang (mudah)

S2: coba alasannya diperbaiki biar lebih enak didengar

PD: karena ∑ 𝑛2 𝑛𝑖=1 itu huruf dan ∑ 3𝑛

𝑖=1 itu angka.

S2: ya, supaya kalian mudah memahaminya begini, kan kemarin kalian

sudah belajar kalau sigmanya bisa dipisah. Jadi notasi sigma itu memiliki

beberapa sifat. Nah, sifat-sifat disini (menunjuk ppt) ada banyak, jadi kalian

tidak perlu menghafal. Lalu tadi kan ∑ 𝑛2 − 3𝑛𝑖=1 itu masuk ke sifat yang

mana? Bisa diubah ke dalam sifat yang mana?

PD: itu bu yang paling atas.

S2: sebenernya yang benar adalah yang paling bawah (ditunjukan pada

gambar dengan kotak merah). Jadi ini sifat-sifat yang ada di notasi sigma,

nanti saya akan kirimkan ppt hari ini jadi nanti kalian catat sendiri di buku


58

catatan ya. Nah, notasi sigma disini itu penting sebenernya, tetapi tidak

banyak digunakan dalam induksi matematika.

Gambar 4.9. Sifat-sifat dari notasi sigma

Selanjutnya, subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke dalam

topik materi yang akan dipelajari yakni metode pembuktian

langsung dalam induksi matematika. Subjek mengawali dengan

memberikan pernyataan seperti berikut: “Jika x bilangan ganjil dan

y bilangan genap, maka X+Y adalah bilangan ganjil.” Kemudian

subjek meminta peserta didik untuk menyebutkan cara apa yang

dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan

tersebut. Namun, karena tidak ada yang bisa menjawab maka subjek

memberikan permisalan dengan menggunakan contoh, berikut

cuplikan videonya: (S.2.1.1)

S2: X itu bilangan ganjil, bilangan ganjil itu dapat ditulis dengan 2𝑎 + 1.

PD: kenapa bu? Kok bisa seperti itu?

S2: coba kalian misalkan (2 × 5) + 1 = 10 + 1 sama dengan?

PD: 11 (sebelas)

S2: terus kalau 𝑎 = 4 jadi?

PD: (2 × 4) + 1 = 8 + 1 = 9.

S2: ya 8 + 1 = 9. Jadi, rumusnya ini. Mudeng nggak? (mengerti tidak)

PD: ooww, ngerti bu.

PD12: jadi itu 𝑎 nya selalu bilangan genap?

S2: kan tadi kita sudah coba 2 × 5 nah 5 itu bilangan apa?

PD12: ganjil

PD13: jadi x nya akan selalu ganjil dong bu

S2: iya, kan kita tadi mau membuktikan rumus ini untuk x bilangan ganjil.

Jadi ini tu rumus umumnya untuk bilangan ganjil jadi kalau kita masukin

𝑎 nya bilangan genap pun akan tetap ganjil nanti hasil akhirnya bilangan


59

ganjil. Coba sekarang kalau 𝑎 = 2018. Jadi 2 × 2018 = 4036 terus

ditambah 1 sama dengan?

PD: 4037

S2: bilangan ganjil?

PD: ganjil

S2: nah, sekarang untuk bilangan genap. Ada yang mau nyoba? Angkat

tangan hayo.

PD13: saya bu (mengangkat tangan). Bilangan genapnya sama dengan 2𝑎.

S2: ya benar. Semuanya setuju?

PD: setuju

S2: lalu kita akan membuktikan 𝑥 + 𝑦. X adalah?

PD: bilangan ganjil

S2: tadi rumusnya gimana?

PD: 2𝑎 + 1.

S2: trus Y rumusnya gimana?

PD: 2𝑎.

S2: lalu, 𝑥 + 𝑦 jadi gimana rumusnya?

PD: (2𝑎 + 1) + 2𝑎 = 4𝑎 + 1.

S2: ini kenapa kok bisa jadi 4𝑎 + 1? Kan bilangan ganjil aja 2𝑎 + 1?

PD14: jadi, 4 itu kan kelipatan dari 2 jadi kalau 2𝑎, 4𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 6𝑎 ditambah

dengan 1 jadi bilangan ganjil.

S2: ada yang punya pendapat lain? Kenapa 4𝑎 + 1 itu bilangan ganjil? Ada

yang bisa membahasakan dengan baik? Gimana? Tidak ada? Oke, sudah

ngantuk ya sudah sore. Jadi ini ya, 4𝑎 nya bisa kita memecahnya kayak

dimisalkan 𝟐𝒂 𝐬𝐚𝐦𝐚 𝟐𝒃. Kan tadi 𝒚 = 𝟐𝒂 kalau kita ganti jadi 𝒚 =𝟐𝒃, maka 𝟐𝒂 + 𝟏 + 𝟐𝒃 = 𝟐(𝒂 + 𝒃) + 𝟏. Nah, kalau dimisalkan 𝒌 =𝒂 + 𝒃 maka 𝟐(𝒂 + 𝒃) + 𝟏 = 𝟐𝒌 + 𝟏. Nah, metode yang barusan kita

pakai tadi disebut metode pembuktian langsung. Sampai sini sudah

mengerti?

(berpindah ke slide selanjutnya)

S2: jadi metode pembuktian langsung itu memiliki alur maju dengan

syarat pernyataan sebelumnya harus benar, pokoknya pernyataannya

dari depan ke belakang itu harus benar. Jadi tadi kan kita ada pernyataan X

merupakan bilangan ganjil sehingga 𝑥 = 2𝑎 + 1. Lalu pernyataan

selanjutnya, Y merupakan bilangan genap 𝑦 = 2𝑎. Pernyataan ini sudah

benar atau belum?

PD: benar

S2: ya, pernyataannya benar. Karena dengan pembuktian yang telah

kita lakukan itu merupakan pembuktian langsung. Nah, kalau

misalkan saya ganti, X merupakan bilangan genap dan Y merupakan

bilangan ganjil. Lalu X+Y adalah bilangan genap. Pernyataan tersebut

benar atau salah?

PD: salah

S2: alasannya? Ada yang tahu tidak kenapa X+Y hasilnya bukan bilangan

genap?

PD15: karena, tadi kan sudah dibuktikan bu kalau 2𝑎 + 1 + 2𝑏 = 2𝑘 +1 itu bilangan ganjil jadi ya bukan bilangan genap.

S2: ya benar, karena tadi kita sudah buktikan bahwa penyataannya

benar maka X+Y itu hasilnya bilangan ganjil. Jadi kalau misalkan kita ubah X+Y hasilnya bilangan genap ya tidak bisa (kurang tepat).

Jadi kalau disini jangan susah-susah ya mikirnya kalau misalnya tau


60

jawabannya langsung jawab aja tidak apa-apa, saya lebih senang kalian

aktif dibandingkan kalian diam saja.

Setelah itu, subjek memberikan soal yang lain, yakni “Bila n adalah

bilangan bulat dan 7n + 9 adalah bilangan genap, maka n adalah

bilangan ganjil.” Subjek membuktikan kepada peserta didik bahwa

pernyataan diatas dapat dibuktikan dengan metode pembuktian tidak

langsung di papan tulis, peserta didik mengamati dengan seksama.

Selanjutnya peserta didik diberikan sebuah pernyataan yakni,

“Pangkat tiga bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.”, dikarenakan

waktu belajar sudah selesai maka pernyataan tersebut dijadikan

tugas oleh subjek. Kemudian subjek meminta waktu kepada peserta

didik untuk membentuk kelompok belajar untuk pertemuan-

pertemuan selanjutnya. Setelah itu subjek membereskan perangkat

pembelajarannya dan mengucapkan salam kepada seluruh peserta

didik.

b. Pertemuan 2 (Kamis, 25 Juli 2019)




pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan

gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya

subjek memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan-

pertanyaan yang berkaitan dengan pertemuan sebelumnya. Tidak

hanya itu, subjek juga memberikan konsep awal induksi matematika


61

dengan menggunakan beberapa contoh seperti; domino, papan catur,

dan papan tromino.

Peserta didik dibawa untuk mengerti akan perbedaan jarak yang

sama antar domino, karena domino adalah salah satu contoh yang

paling dekat dengan konsep induksi matematika. Selain itu subjek

juga memberikan perumpamaan mengenai tempat duduk peserta

didik di ruang kelas. Selanjutnya subjek memberikan pengertian dari

induksi matematika serta langkah-langkahnya, seperti pada cuplikan

berikut:

S2: ini kalian masih pada bingung ya untuk langkah-langkah induksinya.

Kalau gitu ibu akan memberikan contoh, disini yang anak-anak asrama

yang mana ya, bisa maju kedepan. (8 orang anak asrama maju ke depan

kelas) nah sekarang dari pojok kanan itu orang pertama sampai pojok kiri

adalah orang kedelapan. A adalah anak asrama dan dia adalah orang

pertama, jadi 𝑛 = 1 bernilai benar. Kita itu ingin membuktikan bahwa

barisan di depan ini adalah barisan anak asrama. Nah, ketika 𝑛 = 𝑘, lalu

𝑘 = 7 berarti orang ke 7 adalah anak asrama. Lalu ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 berarti

tadi kan 𝑘 = 7 jadi 𝑘 + 1 = 7 + 1 = 8, apakah orang ke 8 adalah anak

asrama?

PD: iya, benar

S2: berarti pernyataannya benar bahwa kedelapan orang anak yang didepan

ini adalah anak asrama mengerti tidak?

PD: oooww, iya.

S2: prinsipnya induksi itu seperti itu. Terimakasih dan tepuk tangan. Jadi

seperti tadi ya, jika langkah awalnya benar lalu langkah induksinya

benar maka pernyataannya benar. Tetapi jika langkah awalnya benar

lalu langkah induksinya pas dibagian k+1 nya salah maka pernyataan

tersebut dinyatakan salah.

Kemudian subjek memberikan kesempatan kepada peserta didik

yang memiliki pendapat lain atau contoh lain mengenai induksi

matematika. Namun, karena tidak ada yang mau berpendapat maka

subjek melanjutkan dengan penjelasan mengenai prinsip induksi

matematika. Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk


62

berfikir kritis dengan memberikan soal seperti pada cuplikan video

berikut:

S2: jika diketahui 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 untuk semua n

bilangan asli. Tadi langkah awalnya gimana?

PD: 𝑛 = 1 benar

S2: ya, akan dibuktikan 𝑛 = 1 benar. Nah kalau dalam pembuktian ini kita

langsung lihat rumusnya. Jadi kita tulis (2𝑛 − 1) = 𝑛2 untuk 𝑛 = 1 maka

(2(1) − 1) = 12 hasilnya?

PD: satu

S2: berarti 1= 1 bukan?

PD: iya

S2: berarti 𝑛 = 1 benar. Nah kalau dilangkah awal benar berarti kita bisa

lanjut?

PD: bisa

S2: oke, kita ke langkah kedua langkah induksi ya ini. Kalau langkah

induksi tadi yang harus kita asumsikan itu apa?

PD: 𝑛 = 𝑘

S2: 𝑛 = 𝑘 bernilai benar, maka kita mengganti rumus (2𝑛 − 1) = 𝑛2

dengan 𝑛 = 𝑘. Jadi 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2, akan dibuktikan 𝑛 =𝑘 + 1 adalah benar. Lalu kita ambil barisannya ini yang di ruas kiri dan

(2𝑛 − 1) untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 kita tambahkan dengan 1 + 3 + 5 + ⋯ +(2𝑘 − 1) sehingga 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2(𝑘 + 1) − 1). Jadi

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1). Mengerti tidak sampai sini?

PD: mengerti

S2: nah tadi kan kita punya 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2, jadi 1 + 3 +5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) terus dari 1 + 3 + 5 + ⋯ 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 (2𝑘 −1) itu kita ganti jadi 𝑘2, sehingga dapat ditulis 𝑘2 + (2𝑘 + 1). Lalu tadi

kan di ruas kanan kita punya 𝑛2 kalau 𝑛 = 𝑘 + 1 akan sama dengan

(𝑘 + 1)2 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 udah sama belum sama ruas kirinya?

PD: sama

S2: jadi pernyataannya sudah benar atau belum?

PD: benar

PD1: bu itu kenapa kita harus pakai 𝑛 = 1?

S2: karena tadi kan semestanya itu bilangan asli atau bilangan bulat jadi

kalau semisal kamu mau membuktikan untuk 𝑛 lebih dari 5 ya nanti 𝑛-nya

mulai dari 5.


63

Gambar 4.10. Subjek 2 sedang memaparkan langkah-langkah dari

prinsip induksi matematika

Setelah subjek menjelaskan ulang mengenai pembahasan soal diatas

dan meminta peserta didik untuk mencatat, subjek melanjutkan

dengan memberikan soal berikutnya. Peserta didik diminta untuk

membuktikan kebenaran dari soal 1 . 2 + 2 . 22 + 3 . 23 + ⋯ +

𝑛 . 2𝑛 = 2(1 + (𝑛 − 1)2𝑛) dengan menggunakan langkah-langkah

induksi yang telah diajarkan barusan. Namun, waktu pembelajaran

hari itu sudah hampir selesai sehingga subjek meminta untuk

dijadikan tugas rumah dan akan dibahas pada pertemuan berikutnya.

Kemudian subjek memberikan tugas rumah serta arahan pengerjaan

tugas tersebut kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan

pada hari sabtu. Setelah itu subjek membereskan peralatan



c. Pertemuan 3 (Rabu, 31 Juli 2019)




64



gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini, subjek juga

bertanya mengenai kehadiran peserta didik. Subjek memberitahukan

kepada peserta didik mengenai tujuan pembelajaran yang akan

dipelajari pada pertemuan hari itu. Subjek ingin mempelajari

mengenai penerapan-penerapan induksi matematika dan

menyelesaikan soal-soal yang ada. Selanjutnya subjek memberikan

apersepsi dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan yang

berkaitan dengan pertemuan sebelumnya, seperti pada cuplikan

berikut:

S2: sebelum kita lanjut ke pembelajaran, apa sih yang kita pelajari pada

pertemuan sebelumnya?

PD1: Induksi matematika

PD2:langkah-langkah pengerjaan induksi, ada langkah awal dan langkah

induksi

S2: menurut kalian langkah awal itu apa?

PD3: jika 𝑛 = 1 bernilai benar maka dapat diasumsikan bahwa 𝑛 = 𝑘

bernilai benar, lalu setelah itu harus dibuktikan bahwa 𝑛 = 𝑘 + 1 itu

bernilai benar.

S2: nah, kemarin itu banyak sekali yang mengasumsikan bahwa 𝑛 = 𝑘

benar. Itu sudah benar tapi kalau 𝑛 = 𝑘 + 1 itu diapakan?

PD4: dibuktikan

S2: ya benar, 𝑛 = 𝑘 + 1 itu dibuktikan bukan diasumsikan. Ini untuk yang

kemarin penulisannya masih diasumsikan itu salah ya, yang benar itu akan

dibuktikan.

Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke materi

selanjutnya dalam induksi matematika yakni penerapan-penerapan

matematika dalam barisan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek

memberikan sebuah contoh barisan (2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … ), lalu

subjek mengajak peserta didik untuk berfikir kritis dengan mencari


65

hubungan antara suku-sukunya dengan formula dari barisan

tersebut. Subjek juga mengajak peserta didik untuk menerapkan

prinsip induksi matematika dengan formula barisan yang sudah

didapatkan, berikut cuplikannya:

S2: dari pola barisan ini kita bisa mengasumsikan formulanya seperti apa?

PD1: 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏

S2: ya, seperti yang sebelumnya itu kan. Kita anggap formulanya itu 𝑈𝑛 =𝑎𝑛 + 𝑏. Kemudian kita akan cari hubungan formula ini dengan barisan

yang sudah kita punya tadi. Kalau misalkan U1 sama dengan apa?

PD: a dikali 11 ditambah b sama dengan a+b=2

S2: lalu untuk U2 sama dengan?

PD: a dikali 2 ditambah b sama dengan 2a+b=9

S2: lalu harus kita apakan untuk dapat nilai a sama b nya?

PD2: itu bu di kurang-kurangin

S2: apa? Sini-sini tulis di depan. Bukan di kurang-kurangin ya tapi di

eliminasi

PD: iya yang itu bu.

S2: (menunggu peserta didik selesai menulis di papan tulis) nah ini a sama

b nya sudah diketahui, jadi a=7 dan b=-5. Jadi formulanya gimana?

PD: 𝑈𝑛 = 7𝑛 − 5

S2: ya sekarang ibu tuliskan 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … , (7𝑛 − 5) sampai

sini paham?

PD3: bu itu kenapa nggak ditambah? Trus di samping sama dengannya

kenapa kosong bu?

S2: nah, pertanyaan yang bagus. Kenapa tidak ditambah itu karena ini

adalah barisan, kalau barisan itu tidak ditambahkan ya. Jadi kalau ada soal

seperti ini barisan lho pakai koma ya itu tidak bisa kita cari formula yang

disebelah kanan sama dengannya. Paham?

PD: paham

S2: nah sekarang kita masuk ke langkah awalnya. Apa yang harus ditulis?

PD: 𝑛 = 1

S2: disini kita akan menuliskan penyelesaian ya jadi kalau kita punya soal

seperti ini harus dituliskan secara lengkap ya. Untuk 𝑛 = 1 maka 𝑈1 =7. 1 − 5 = 2 terbukti benar. Lalu langkah induksi, asumsikan untuk 𝑛 = 𝑘

benar, maka kita tulis 𝑈𝑛 = 7𝑛 − 5 tulis rumus dasarnya. Karena diganti

k menjadi?

PD: 𝑈𝑘 = 7𝑘 − 5

S2: kan ini kita asumsikan benar maka akan dibuktikan bahwa 𝑛 = 𝑘 + 1

benar, maka disini jadinya 𝑈(𝑘+1) = 7(𝑘 + 1) − 5 sama dengan 7𝑘 + 7 −

5 sama dengan 7𝑘 + 2. Menurut kalian ini benar tidak?

PD: salah, eh benar

S2: lho kok beda jawabannya? Siapa yang jawab benar, siapa yang jawab

salah?

PD: (hening)

PD4: benar bu

S2: kenapa?

PD4: karena memenuhi untuk n bilangan asli.


66

S2: ya jadi ini tu benar ya anak-anak. Kalau kita tuliskan lagi barisannya

maka 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … , (7𝑘 − 5), 7𝑘 + 2. Sehingga hasil yang

didapat menunjukan bahwa ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 bernilai benar, jadi terbukti

bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk semua n bilangan asli.

Setelah membuktikan pernyataan di depan, subjek meminta peserta

didik untuk menulis di buku catatan. Ketika peserta didik sedang

menulis, subjek berkeliling kelas untuk memantau aktivitas peserta

didik. Subjek juga membantu peserta didik yang bertanya mengenai

materi. Setelah melihat banyak dari peserta didik yang telah selesai

menulis, subjek meminta beberapa peserta didik untuk menuliskan

hasil jawaban pekerjaan rumah (PR) di papan tulis.

Beberapa saat, setelah beberapa peserta didik tersebut selesai

menuliskan di papan tulis, subjek pun memeriksa perkerjaan mereka.

Namun, karena ada beberapa hal yang kurang tepat subjek kemudian

menjelaskan kembali pekerjaan peserta didik tadi, seperti pada

cuplikan berikut:

S2: menurut kalian sudah benar belum pekerjaan ini?

PD: sudah

S2: sudah? Coba diteliti lagi. Ini 𝑛 = 1 nya sudah benar atau belum?

PD: sudah

S2: terus ini 𝑛 = 𝑘 sudah benar belum?

PD: sudah

S2: terus 𝑛 = 𝑘 + 1 sudah benar?

PD: sudah

S2: ya memang sudah benar tetapi kurang tepat di bagian sini (menunjuk

pekerjaan siswa). Disini kan ditulisnya 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

(𝑘+1)(𝑘+2)=

𝑘

2(𝑘+2) terus untuk 𝑛 = 𝑘 kan kalian tulisnya hanya

𝑘

2(𝑘+2) sebaiknya

1

(𝑘+1)(𝑘+2)=

𝑘

2(𝑘+2) ditulis dari kiri ke kanan ya. Kalau perlu kita tulis

deretnya dari awal. Sebenernya ini bukan salah tetapi kurang tepat. Di soal

nomor 2 ini masih ada yang kesulitan tidak?


67

Gambar 4.11. Subjek 2 sedang mengoreksi pekerjaan peserta didik

PD5: sedikit bu.

S2: kalian kalau misalkan ada yang tidak mengerti bertanya saja ya. Jangan

hanya diam saja, biar kalian ngerti dan kita bisa maju bersama. Ini latihan

nomor 2 di bahas aja ya.

PD: iya bu

S2: untuk langkah awal 𝑘 = 1 sudah mengerti ya

PD: sudah

S2: kalo gitu kita lihat langkah induksinya ya. Kita akan mengasumsikan

bahwa 𝑛 = 𝑘 adalah benar. kemaren kan soalnya itu k lalu disini kita akan

membuktikan 𝑛 = 𝑘 maka kita akan mengganti 𝑘 = 𝑛, yang mengerjakan

soal ini tadi tu sudah bagus ya karena penulisannya sudah konsisten. Jadi

kalau kalian mau mengganti n sama dengan variabel apapun tetapi kalian

harus konsisten ya jangan berubah ubah variabelnya biar kalian tidak

bingung nantinya. Jadi ini pengansumsiannya menjadi 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+

⋯ +1

(𝑛+1)(𝑛+2)=

𝑛

2(𝑛+2) berarti yang akan dibuktikannya menjadi apakah

𝑘 = 𝑛 + 1 benar. jadi 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

((𝑛+1)+1)((𝑛+1)+2)=

(𝑛+1)

2((𝑛+1)+2)

lalu kita sederhanakan menjadi 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

(𝑛+2)(𝑛+3)=

𝑛+1

2(𝑛+3).

Sampai sini sudah mengerti? Ada yang sudah meng hitung sampe bawah-

bawahnya?

PD6: saya bu, tapi jawabannya tidak sama

S2: caranya sudah sama?

PD6: sudah bu

S2: kalau gitu pernyataan ini bernilai salah, karena apa?

PD: karena hasilnya tidak sama dengan 𝑘 = 𝑛 + 1 jadi pernyataan bernilai

salah.

S2: karena waktunya sudah habis, coba kalian kerjakan lagi soal ini bener

ga sih kalau pernyataannya salah. Besok pagi ibu tunggu ya, kalau tidak

ada yang maju nanti soal ini dijadikan kuis ya.

PD: jangan bu.

Kemudian subjek memberikan tugas rumah serta arahan pengerjaan

tugas tersebut kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan


68

pada esok hari. Setelah itu subjek membereskan peralatan



d. Pertemuan 4 (Rabu, 7 Agustus 2019)




pelajaran.

Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan gambaran

atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya subjek

memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan

yang berkaitan dengan pertemuan sebelumnya. Subjek juga bertanya

mengenai tugas kelompok yang diberikan pada pertemuan

sebelumnya (S.2.4.1).

Selanjutnya subjek menunjuk beberapa peserta didik perwakilan

kelompok untuk maju membahas soal-soal tugas. Sembari

menunggu peserta didik menulis, subjek memberikan kisi-kisi

mengenai ulangan harian yang akan diselenggarakan minggu depan.

Subjek juga berkeliling kelas dan menanyakan kesulitan yang

dialami oleh peserta didik. Beberapa peserta didik terlihat antusias

untuk bertanya kepada subjek mengenai tugas yang dikerjakan.

Setelah itu subjek memulai dengan memberitahukan ciri-ciri suatu

bilangan yang habis dibagi dengan bilangan lainnya. Subjek ingin


69

peserta didik dapat menggunakan induksi matematika untuk

membuktikan prinsip keterbagian. Subjek memberikan beberapa

istilah dalam keterbagian untuk memudahkan peserta didik dalam

membaca soal maupun simbol (seperti dalam gambar). Istilah-

istilah yang digunakan oleh subjek adalah seperti habis dibagi, habis

membagi, salah satu faktor dan kelipatan, berikut cuplikan videonya:

Gambar 4.12. Subjek 2 sedang menjelaskan istilah-istilah dalam

keterbagian

S2: kalau misalnya 15 habis dibagi 3 itu penulisannya kan seperti ini

kan (15 = 3 × 5), 15 sama dengan 3 dikalikan dengan suatu bilangan

yakni 5, benar tidak?

PD: benar bu

S2: nah kalau semisal 4 habis dibagi 2 penulisannya seperti apa?

PD: 4 = 2 × 2

S2: berarti kan bilangan ini bergerak, tidak pasti, jadi kita bisa

memisalkannya dengan sebuah variabel apapun itu. Jadi kalau nulisnya

9 = 3 × 𝑚, 𝑚-nya bisa kita cari kan? Berarti 𝑚-nya sama dengan 9 dibagi

3 sama dengan 3. Nah itu untuk yang habis dibagi, lalu gimana kalau yang

habis membagi? Kalau 2 habis membagi 4 berarti 2 dikali dengan suatu

bilangan sama dengan 4. Mengerti?

PD: iya

S2: nah kalau salah satu faktor ini hampir sama dengan habis membagi,

jadi kalo misalkan 3 adalah salah satu faktor dari 9 penulisannya kayak

gimana?

PD: (hening)

S2: jadi penulisannya itu 3 faktor 9, 3 dikali sebuah bilangan sama dengan

9. Bilangannya apa?

PD: 3

S2: jadi kalau soal yang tadi itu tulisannya 3 faktor dari 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛

bisa ditulis jadi apa? Berarti 3 dikali dengan sesuatu, sesuatunya itu m ya.


70

Jadi 3 × 𝑚 = 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛, sampai sini mengerti tidak? Gimana masih

bingung tidak?

PD: (hening)

S2: nah, disini kalau dia itu salah satu faktor atau kelipatan atau habis

membagi. jadi ini nilai dari m harus bilangan bulat. Kenapa m nya itu

bilangan bulat?

PD: (hening)

S2: gini-gini kita pelan-pelan ibu sederhanakan, kalau 3 faktor dari 9 itu

kan 3 × 3 = 9. Bilangan 3 ini kan bilangan bulat. Lalu kalau saya tulis 2

faktor 9 itu bener tidak?

PD: tidak, karena 9 tidak habis dibagi 2

S2: trus kalau 2 × 𝑚 = 9, nah m nya itu bilangan apa?

PD1: bilangan desimal

PD2: bukan bilangan bulat

S2: ya ini bukan bilangan bulat, berarti kalian sudah mengerti konsepnya

kan kalau habis membagi salah satu faktor itu kayak gitu. Nah sekarang

kembali lagi ke soal yang tadi, kalau tadi 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 di substitusikan

n=1 maka hasilnya sama dengan 6. Lalu 6 = 3𝑚, jadi m disini sama

dengan?

PD: 𝑚 nya sama dengan 2

S2: ya benar. Oh iya besok kalau ujian ini langkah-langkahnya ditulis yang

lengkap ya. Oke ini langkah awalnya sudah benar ya, lalu kita lanjut ke

langkah induksi bisa kita lompati langkah asumsi?

PD: bisa bu

S2: ya kita masuk ke langkah induksi ya kita substitusi 𝑛 = 𝑘 + 1, setelah

tadi dihitung-hitung didapatkan 𝑘3 + 6𝑘2 + 11𝑘 + 6 dan ini jawabannya

sudah benar ya.

Kemudian subjek menjabarkan langkah induksi tersebut supaya bisa

seluruh peserta didik dapat mengerti akan prinsip keterbagian.

Subjek menjabarkan 𝑘3 + 6𝑘2 + 11𝑘 + 6 kedalam bentuk (𝑘3 +

3𝑘2 + 2𝑘) + (3𝑘2 + 9𝑘 + 6) sesuai dengan asumsi yang ada. Lalu

subjek memisalkan (𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘) + (3𝑘2 + 9𝑘 + 6) dengan

3𝑚 + 3(𝑘2 + 3𝑘 + 2). Kemudian subjek memisalkan (𝑘2 + 3𝑘 +

2) dengan 𝑝, sehingga 3𝑚 + 3(𝑘2 + 3𝑘 + 2) sama dengan 3(𝑚 +

𝑝). Selanjutnya subjek memisalkan 3(𝑚 + 𝑝) dengan 3𝑗, dengan

begitu terbukti bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 𝑛3 +

3𝑛2 + 2𝑛 untuk semua n bilangan asli.


71

Setelah pembahasan soal selesai subjek memberikan waktu 5 menit

untuk seluruh peserta didik bertanya, mencatat atau minum. Subjek

juga mempersiapkan video dan speaker yang akan digunakan untuk

melakukan ice breaking bersama. Subjek mengajak peserta didik

untuk berdiri dan mengikuti gerakan-gerakan lucu yang ada di

dalam video. Hal ini dimaksudkan oleh subjek untuk

mengembalikan semangat belajar bagi seluruh peserta didik.

Setelah selesai melakukan ice breaking, subjek memberikan contoh

soal lagi mengenai keterbagian dalam induksi matematika kepada

peserta didik. Contoh soal yang diberikan oleh subjek adalah

“Apakah 5𝑛 − 1 habis dibagi 4?”. Subjek memberikan langkah

awal, langkah induksi dengan asumsi yang terbukti benar. Ketika

subjek telah selesai menjelaskan di depan, ada seorang peserta didik

yang meminta untuk dijelaskan kembali karena masih belum

mengerti. Namun ada seorang peserta didik lain yang mau

membantu temannya itu dengan menjelaskan kembali di tempat

duduknya. Kemudian subjek meminta peserta didik yang bisa

menjawab itu ke depan untuk menjelaskan kembali pembuktian yang

ada di depan kelas. Setelah semua peserta didik mengerti dengan apa

yang dijelaskan, subjek memberikan waktu kepada peserta didik

untuk mencatat dan juga bertanya jika memang ada yang ingin

ditanyakan kembali. Selanjutnya subjek memberikan tugas rumah

kepada peserta didik untuk dikumpulkan pada hari jumat. Kemudian


72

subjek bertanya mengenai apa saja yang dipelajari dan juga perasaan

peserta didik pada pertemuan ini. Subjek mengatakan bahwa ia akan

memberikan ppt yang selama 4 pertemuan ini diajarkan di grup dan

meminta kepada peserta didik untuk membaca terlebih dahulu

sebelum pertemuan terakhir besok. Subjek mengakhiri pertemuan

pada hari itu dengan memberitahu apa saja yang akan dipelajari pada

pertemuan selanjutnya kepada semua peserta didik dan juga salam

penutup.

e. Pertemuan 5 (Kamis, 8 Agustus 2019)





gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya

subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke dalam materi

ketidaksamaan dalam induksi. Subjek langsung memberikan satu

contoh soal, dikarenakan pada pertemuan sebelumnya subjek sudah

memberikan ppt yang akan dipakai untuk hari ini dan meminta

peserta didik untuk membaca ppt sebelum kelas dimulai.

Subjek memberikan soal 12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3

3 untuk semua

n bilangan asli dan melakukan pembuktian dengan langkah-langkah

induksi. Beberapa kali subjek meminta peserta didik untuk

membantu menyelesaikan langkah-langkah induksi tersebut. Subjek


73

juga ada mengaitkan dengan konsep sebelumnya yakni pemfaktoran

fungsi. Setelah melakukan pembuktian dari pernyataan tersebut,

subjek memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya

dan juga mencatat. Setelah menjawab pertanyaan dari peserta didik

dan sambil menunggu semua peserta didik mencatat, subjek

berkeliling kelas sambil melihat-lihat catatan peserta didik.

Kemudian, meminta seluruh peserta didik untuk masuk kedalam

kelompok yang sudah pernah dibentuk di pertemuan sebelumnya.

Lalu subjek memberikan soal latihan kepada peserta didik yakni

“Apakah 1

√1+

1

√2+

1

√3+ ⋯ +

1

√n> √n bernilai benar untuk semua

bilangan bulat positif n ≥ 2”. Peserta didik diberikan waktu 15

menit untuk berdiskusi di dalam kelompok (S.2.5.1).

Ketika waktu berdiskusi subjek memantau jalannya diskusi dengan

berkeliling ke setiap kelompok dan menjawab pertanyaan kelompok

jika ada yang bertanya. Setelah waktu berdiskusi telah habis, subjek

bertanya mengenai pembuktian soal tersebut, namun peserta didik

tidak ada yang bisa menyelesaikan pembuktian tersebut. Oleh karena

itu, subjek membantu peserta didik untuk membahas soal tersebut

hingga didapatkan hasil bahwa pernyataan tersebut bernilai benar.

Namun, setelah dijelaskan masih banyak peserta didik yang belum

mengerti. Sehingga subjek memutuskan untuk memberikan

pembahasannya di grup kelas.


74

Setelah subjek menjelaskan dan membahas soal-soal yang diberikan,

subjek memberikan kesimpulan pembelajaran pada pertemuan kali

ini kepada seluruh peserta didik. Kemudian subjek memberikan

reward atau apresiasi kepada beberapa peserta didik yang aktif

dalam kelas selama proses pembelajaran lima pertemuan.

Selanjutnya subjek bertanya mengenai perasaan peserta didik selama

proses pembelajaran yang telah dilalui sepanjang lima pertemuan,

subjek juga memninta untuk menuliskan kritik dan saran untuk

subjek. Setelah itu subjek mengingatkan peserta didik untuk belajar

dan mempersiapkan diri sebelum ulangan yang akan diadakan pada

pertemuan selanjutnya. Kemudian subjek membereskan laptop,

buku dan alat tulis, lalu menutup pertemuan pada hari itu dengan

salam dan semangat kepada peserta didik.

C. Hasil Wawancara Subjek

Berikut merupakan hasil wawancara dari masing-masing subjek yang telah

direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer & Chick (2006). Hasil

wawancara subjek berikut juga digunakan sebagai validasi untuk menggali

lebih dalam mengenai PCK subjek yang bersangkutan dan menambah

informasi terkait PCK subjek yang belum terlihat ketika proses

pembelajaran.

1. Subjek 1

Hasil wawancara dengan subjek 1 selaku calon pendidik yang mengajar

di kelas XI MIPA I mengatakan bahwa selama proses pembelajaran


75

berlangsung ia hanya mengikuti strategi pembelajaran seperti model,

pendekatan dan juga model pembelajaran seperti pada tertera di dalam

RPP yang ia buat. Hanya saja pendekatan kepada peserta didik saat

pertemuan pertama adalah ingin fokus kepada seluruh peserta didik dan

juga mengaktifkan peserta didik selama pembelajaran. Selama proses

pembelajaran pada pertemuan-pertemuan awal, subjek hanya

menggunakan ilustrasi atau gambar domino. Hal ini dimaksudkan

subjek supaya peserta didik tahu bahwa efek domino ada keterkaitannya

dengan konsep induksi matematika. Subjek juga mengatakan bahwa ia

tidak menggunakan media lain selain ppt dan buku, karena subjek ingin

mengutamakan kegiatan literasi terlebih dahulu baru media elektronik

seperti handphone dan internet. Namun subjek tidak melarang peserta

didik untuk membuka sumber-sumber lain yang berkaitan dengan

induksi matematika di internet.

Ketika ditanya mengenai pencapaian dalam tujuan kurikulum 2013,

subjek menjawab bahwa ia sudah mencapai tujuan kurikulum. Subjek

juga sudah mencapai 3 dari 4 kategori 4C (communication,

collaboration, critical thinking dan creativity) yang seharusnya

diterapkan dalam proses pembelajaran di kurikulum 2013. Subjek sudah

menerapkan communication, collaboration, dan critical thinking dalam

proses pembelajaran yang ia lakukan. Selama proses pembelajaran

subjek selalu berusaha untuk melibatkan seluruh peserta didik dalam

setiap kegiatan, hanya saja ada beberapa peserta didik yang masa bodoh,


76

cuek dan tidak patuh jika diminta untuk menulis atau membaca bahkan

ada yang tertidur di kelas saat pembelajaran berlangsung. Selama proses

pembelajaran 5 pertemuan ini subjek juga menghadapi kesulitan dalam

mengajar salah satunya adalah ketika pertemuan pertama, subjek lupa

untuk mem-printscreen tabel sehingga saat diskusi subjek harus

berkeliling kelas dari meja ke meja untuk menjelaskan setiap peserta

didik.

2. Subjek 2

Hasil wawancara dengan subjek 2 selaku calon pendidik yang mengajar

di kelas XI MIPA II mengatakan bahwa selama proses pembelajaran

berlangsung ia menggunakan pendekatan saintifik. Namun, khusus pada

pertemuan pertama subjek memilih untuk fokus kepada mendekatkan

diri kepada peserta didik dan subjek ingin mereka merasa nyaman.

Subjek mengajak juga peserta didik untuk lebih aktif dan beruntungnya

peserta didik dapat dengan mudah berinteraksi dan beradaptasi sehingga

subjek juga merasa tidak terbebani dalam setiap proses pembelajaran.

Penggunaan gambar domino merupakan sebuah media yang digunakan

oleh subjek guna mempermudah ia untuk menjelaskan konsep dasar

induksi matematika. Subjek juga menggunakan gambaran-gambaran

tertentu yang dijelaskan secara lisan, tetapi sebagian besar peserta didik

dapat menangkap maksud dari gambaran-gambaran tersebut dengan

baik.


77

Ketika subjek ditanya mengenai tujuan kurikulum 2013 ia menjawab

bahwa ia masih belum terlalu tau seperti apa tujuan kurikulum 2013 itu.

Namun, untuk tujuan pembelajaran yang sudah ia susun subjek merasa

sudah mencapai semua tujuan pembelajaran tersebut. Subjek

mengatakan bahwa ia sudah menerapkan communication kepada

seluruh peserta didik. Hanya saja dalam collaboration, ia belum bisa

menerapkannya, serta untuk critical thinking dan creativity, subjek

sudah berusaha untuk mengajak peserta didik untuk mengarah kesitu.

Selama proses pembelajaran subjek mengatakan bahwa ia sudah

menerapkan konsep untuk memecahkan masalah yang diberikan, ia juga

sudah mencoba menjelaskan konsep sesederhana mungkin. Hanya saja

pada pertemuan pertama dan ketiga ia mendapatkan kesulitan seperti

belum memberikan latihan soal dan juga kehabisan waktu dalam

memecahkan masalah. Selama pembelajaran juga subjek sudah

berusaha untuk melibatkan peserta didik dalam setiap kegiatan. Namun

subjek masih merasa bahwa yang bisa terlibat hanyalah sebagian dari

jumlah peserta didik. Dalam melaksanakan kegiatan pengajaran subjek

lebih banyak berimprovisasi tetapi tetap mengikuti materi yang sudah

disiapkan dalam RPP.

D. Analisis dan Pembahasan PCK

Berikut adalah analisis dan pembahasan PCK yang didapatkan dari hasil

transkrip video, hasil observasi, hasil wawancara, dan hasil analisis RPP dari


78

masing-masing subjek yang mengacu pada kerangka kerja Barker & Chick

(2006:61):

1. Subjek 1

a. Strategi Pembelajaran

Selama proses pembelajaran pada materi induksi matematika sudah

cukup baik. Menurut RPP yang telah dibuat, subjek menggunakan

model pembelajaran discovery based learning dengan pendekatan

scientific dan menerapkan metode tanya jawab, diskusi, ceramah dan

penugasan. Namun, pada pertemuan pertama, ketiga dan kelima,

subjek tidak menerapkan langkah-langkah dalam model discovery

based learning, subjek hanya menggunakan metode ceramah, tanya

jawab, diskusi dan juga presentasi. Subjek mengawali pembelajaran

dengan memotivasi peserta didik menggunakan ice breaking.

Kemudian memberikan indikator pembelajaran yang akan dicapai

pada pertemuan tersebut. Subjek juga beberapa kali memberikan

beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan materi pada pertemuan

tersebut (S.1.1.1 dan S.1.2.1). Selanjutnya subjek memberikan

penjelasan singkat mengenai materi dan kemudian membentuk

kelompok diskusi serta mempersilahkan peserta didik untuk

mempresentasikan hasil diskusi mereka (S.1.1.3 dan S.1.5.1).

Keadaan yang hampir sama juga diterapkan oleh subjek pada

pertemuan kedua, namun subjek hanya menggunakan metode

ceramah dan tanya jawab. Berdasarkan wawancara, subjek memang


79

tidak menerapkan model discovery based learning karena kurangnya

waktu dan pendekatan pertama yang ingin difokuskan adalah

keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek ingin peserta didik

secara aktif bertanya dan menjawab apa yang disampaikan subjek.

Oleh karena itu, subjek hanya menggunakan metode ceramah, tanya

jawab, diskusi kelas dan juga presentasi. Menurut Barker & Chick

(2006), PCK subjek terlihat pada strategi dan pendekatan yang

digunakan oleh subjek untuk mencapai tujuan pembelajaran suatu

konsep matematika. Walaupun subjek masih menggunakan metode

ceramah, namun peserta didik dapat mengikuti pembelajaran dan

memahamimateri dengan baik. Selain itu, menurut Barker & Chick

(2006), PCK subjek juga tampak ketika ia mengajar dengan

menggunakan strategi pembelajaran khusus untuk mengajarkan

konsep. Selama proses pembelajaran, subjek menggunakan strategi

khusus dalam mengenalkan konsep induksi matematika. Subjek

menggunakan prinsip domino yakni ketika domino pertama

dijatuhkan dengan jarak yang sama maka domino yang terakhir juga

akan jatuh (S.1.1.1). Hal ini menunjukan bahwa subjek mencoba

mengajak siswa untuk memahami konsep dasar induksi matematika

melalui masalah konstektual. Berdasarkan hasil observasi, subjek

juga mengajak peserta didik untuk mencari masalah-masalah

konstektual lainnya yang berhubungan dengan konsep induksi

matematika.


80

Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek dalam aspek strategi

pembelajaran sudah baik. Subjek sudah menggunakan startegi

pembelajaran umum maupun khusus dalam mengajarkan konsep

induksi matematika kepada peserta didik.

b. Kesesuaian dan Kedetailan Dalam Menyajikan Konsep

Berdasarkan hasil observasi, kesesuaian dalam menyajikan konsep

tampak ketika subjek menggunakan gambar dan juga video untuk

memberikan gambaran konsep dasar induksi matematika. Subjek

juga memberikan contoh-contoh sederhana untuk menjelaskan

induksi matematika supaya peserta didik lebih memahami materi

tersebut. Pemberian contoh oleh subjek (S.1.1.2 dan S.1.3.1) untuk

memberikan gambaran konsep dasar induksi matematika dengan

melibatkan peserta didik melalui diskusi kelas dan juga presentasi.

Dimana subjek menuntun peserta didik dengan masalah-masalah

yang ada di buku dan berkaitan dengan konsep dasar induksi

matematika. Subjek juga membantu peserta didik untuk mengaitkan

materi induksi matematika dan pola barisan dengan menggunakan

contoh pembuktian rumus Sn yakni 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

(S.1.1.4). Pembuktian rumus Sn= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

memang cukup baik digunakan subjek untuk mengaitkan konsep

pola barisan dengan induksi matematika. Hal ini terbukti dengan

hampir sebagian besar peserta didik mengerti akan prinsip dasar

pembuktian induksi matematika yang dijelaskan oleh subjek. PCK


81

subjek terkait kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep

sudah baik. Hal ini dikarenakan subjek sudah memenuhi indikator

yang diberikan yakni mendemonstrasikan gambaran atau ilustrasi

yang cocok dengan konsep induksi matematika.

c. Sumber Daya Pengetahuan

Selama proses pembelajaran berlangsung subjek lebih banyak

menggunakan ppt, buku dan papan tulis untuk menjelaskan materi,

memberikan contoh soal maupun tugas rumah kepada peserta didik.

Sebagian besar sumber materi yang dipakai oleh subjek berasal dari

buku acuan yakni buku Guru dan buku siswa. Berdasarkan

wawancara, subjek tidak ingin terlalu sering menggunakan google

ataupun handphone. Hal ini dikarenakan subjek ingin peserta didik

memanfaatkan buku untuk meningkatkan pengetahuan mereka

tentang materi induksi matematika. Subjek juga ingin ada kegiatan

literasi dari dari peserta didik sehingga subjek tidak menggunakan

media lain selain ppt dan buku. Namun subjek tidak melarang

peserta didik untuk membuka sumber-sumber lain yang berkaitan

dengan induksi matematika di internet. Pada pertemuan pertama,

ketiga dan kelima subjek meminta beberapa peserta didik untuk

menuliskan dan mempresentasikan jawaban dari hasil diskusi

mereka. Hal ini dimaksudkan subjek untuk menunjukan bahwa

sumber daya pengetahuan tidak hanya dari buku atau ppt yang

diberikan, melainkan teman-temannya juga dapat menjadi sumber


82

daya pengetahuan mereka. Selain itu, subjek juga memastikan

peserta didik lain dapat menangkap apa yang dijelaskan oleh peserta

didik tersebut dengan memberikan pertanyaan kepada peserta didik

yang melakukan presentasi di depan kelas.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa PCK

subjek pada aspek sumber daya pengetahuan sudah baik. Subjek

sudah menggunakan sumber daya yang tersedia untuk mendukung

pembelajaran melalui ppt, buku dan peserta didik pada kelas

tersebut.

d. Pengetahuan Kurikulum

Subjek sudah menerapkan Kurikulum 2013 namun belum

seutuhnya. Hal ini terlihat pada proses pembelajaran, dimana subjek

masih menjelaskan materi dengan menggunakan metode ceramah

dan peserta didik yang aktif hanya ada beberapa saja. Seharusnya

pada Kurikulum 2013, subjek berperan sebagai fasilitator dalam

proses pembelajaran dan peserta didik berperan aktif dalam proses

pembelajaran. Kurikulum 2013 sangat berkaitan erat dengan 4C,

yaitu communication, collaboration, critical thinking, and

creativity. Upaya yang dilakukan subjek dalam mencapai

collaboration dan communication sudah tampak pada proses

pembelajaran. Collaboration dapat dilihat ketika subjek meminta

peserta didik berdiskusi untuk mengerjakan dan menyelesaikan

masalah-masalah yang diberikan oleh subjek. Sedangkan


83

communication tampak ketika subjek meminta beberapa peserta

didik untuk menuliskan dan mempresentasikan jawaban mereka di

papan tulis. Saat melakukan ice breaking pada pertemuan ketiga,

critical thinking yang diterapkan oleh subjek adalah mengajak

peserta didik untuk mencari kesamaan dari ketiga tokoh yang

ditampilkan. Pada proses pembelajaran, upaya subjek dalam

menggali creativity peserta didik belum tampak. Berdasarkan

wawancara, subjek menuturkan bahwa ia belum sepenuhnya

menerapkan 4C sebab metode pembelajaran yang digunakan pun

hanya ceramah.

Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek pengetahuan

kurikulum perlu ditingkatkan karena subjek belum berperan sebagai

fasilitator dan juga upaya subjek dalam menggali creativity kepada

peserta didik belum tampak. Namun upaya yang subjek lakukan

dalam mencapai collaboration dan communication sudah tampak.

e. Tujuan Pengetahuan Isi

PCK subjek pada aspek tujuan pengetahuan isi sudah baik, subjek

sudah dapat menjelaskan bagaimana konsep lain dapat digunakan

pada materi utama. Melalui pemahaman dengan menggunakan

konsep domino, secara tidak langsung subjek sudah menunjukan

tujuan pengetahuan dari materi induksi matematika (S.1.1.1). Sebab

konsep domino hampir sama dengan konsep dasar induksi

matematika yang dimana ketika domino yang pertama dijatuhkan


84

kearah domino lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh

dengan catatan jarak antar domino adalah sama.

f. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen

PCK subjek dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-

komponen, tampak pada proses pembelajaran. Subjek menggunakan

dan menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan

suatu hubungan seperti induksi matematika dengan pola barisan

bilangan. Subjek mengajak peserta didik untuk mengenal pola

barisan bilangan dan dengan menggunakan pembuktian induksi

matematika yang sesuai, untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan. Selain itu subjek juga mengenalkan peserta didik dengan

keterbagian dan juga ketidaksamaan yang ada dalam materi induksi

matematika. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek

dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-komponen

sudah baik.

g. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika

Berdasarkan observasi yang telah dilakukan, subjek dapat membawa

peserta didik untuk mengolah dan berpikir kritis mengenai suatu

permasalahan abstrak yakni penjumlahan berurut bilangan kuadrat

sampai dengan 𝑛2. Pada pertemuan pertama, (S.1.1.3) peserta didik

diminta untuk mencari penjumlahan berurut bilangan kuadrat seperti

yang ada di tabel yakni 𝑛 = 10. Awalnya peserta didik masih

banyak yang kebingungan tetapi kemudian ada peserta didik yang


85

bisa menjawab polanya 10×11×21

6 tetapi tidak tau kenapa pola

10×11×21

6 yang dianggap benar. Kemudian subjek membantu dengan

menggunakan penjumlahan berurut tetapi subjek menjelaskannya

secara langkah per langkah. Langkah yang pertama subjek

memberitahukan ketika 𝑛 = 10 maka angka paling depan disini

adalah 10 berarti 10 ini adalah 𝑛. Kemudian langkah kedua, pada

angka 11 disini sama dengan 10 + 1 = 𝑛 + 1. Lalu langkah ketika,

subjek meminta peserta didik untuk menjawab dan seluruh peserta

didik menjawab jika pada angka 21 berarti sama dengan 10 + 10 +

1 = 𝑛 + 𝑛 + 1 atau 2𝑛 + 1.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek terkait

pemahaman yang mendalam mengenai dasar matematika sudah

baik. Subjek sudah berhasil membawa peserta didik untuk berpikir

kritis dan mampu memahami konsep dasarnya.

h. Struktur Matematika dan Relasinya

Pada pertemuan pertama subjek mencoba mengaitkan konsep

domino dengan konsep dasar induksi matematika, hanya saja subjek

tidak membahas secara mendalam mengenai keterkaitan tersebut

sehingga masih ada beberapa peserta didik yang merasa bingung.

Subjek hanya mengatakan bahwa konsep domino hampir sama

dengan konsep dasar induksi matematika yang dimana ketika

domino yang pertama dijatuhkan kearah domino lainnya pasti

domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar


86

domino adalah sama (S.1.1.1). Subjek juga tidak mengaitkan konsep

induksi matematika dengan konsep lain yang berhubungan dengan

kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, PCK subjek dalam aspek

struktur matematika dan relasinya masih perlu ditingkatkan karena

pembangunan koneksi antara konsep domino dengan konsep induksi

matematika yang dilakukan oleh subjek masih belum terlihat dengan

jelas.

i. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya

Keterampilan subjek dalam memecahkan masalah terlihat selama

proses pembelajaran berlangsung. Keterampilan tersebut tampak

saat subjek menjawab pertanyaan-pertanyaan dari peserta didik,

memancing peserta didik dengan pertanyaan-pertanyaan yang

mengarah ke pemahaman peserta didik mengenai materi. Subjek

juga menuntun peserta didik untuk menemukan jawaban dari

permasalahan yang sudah diberikan, subjek juga kadang mengoreksi

kesalahan penulisan maupun penjelasan yang dilakukan oleh peserta

didik. Subjek sudah mampu untuk memperlihatkan keterampilan

atau mampu menerapkan konsep untuk memecahkan permasalahan

matematika. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek

pada aspek pengetahuan mengenai pelaksanaannya sudah baik.

j. Metode-Metode Pemecahan Masalah

Berdasarkan observasi, subjek sudah baik dalam memperlihatkan

metode pemecahan masalah. Pada setiap pertemuan, subjek


87

membantu peserta didik untuk memecahkan masalah yang telah

diberikan. Subjek memberikan metode-metode pemecahan masalah

dengan baik, sehingga sebagian besar peserta didik mengerti dengan

apa yang diajarkan oleh subjek. Ketika pembahasan soal yang

dituliskan di papan tulis subjek juga menuliskannya secara

terstruktur dengan menggunakan prinsip induksi matematika.

Dimulai dari pernyataan yang diketahui, dan penyelesaian soal

dengan langkah-langkah pembuktian yang sesuai dan asumsi yang

jelas, sehingga didapatkan hasil akhir yang terbukti dan sesuai

dengan pernyataan. Subjek menuliskan kesimpulan disetiap

pernyataan yang ia buktikan, tidak lupa pula subjek selalu

mengingatkan seluruh peserta didik untuk menuliskan pernyataan,

langkah, asumsi dan juga kesimpulan dengan jelas.

Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek metode

pemecahan masalah sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan

pembahasan soal dengan baik dan terstruktur, hanya saja metode-

metode yang penting dalam pembuktian induksi matematika belum

dipaparkan.

k. Tujuan Pembelajaran

Berdasarkan RPP yang telah dibuat oleh subjek, tujuan pembelajaran

materi induksi matematika adalah peserta didik dapat menemukan

formula, menjelaskan prinsi, membuktikan formula dan menerapkan

induksi matematika pada barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.


88

Subjek membimbing peserta didik dalam menemukan formula untuk

suatu pola tertentu dengan tepat melalui pengamatan pada beberapa

pola bilangan yang disajikan. Subjek membimbing peserta didik

dalam membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi

matematika dengan baik melalui pengerjaan soal. Subjek juga

membimbing peserta didik dalam menerapkan induksi matematika

pada barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek juga

memberikan contoh soal dan pembahasannya serta tugas mengenai

induksi matematika. Subjek sudah melakukan usaha dan semua

tujuan pembelajaran sudah dicapai oleh subjek. oleh karena itu dapat

disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek tujuan pembelajaran

sudah baik.

l. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik

Subjek beberapa kali mengambil fokus peserta didik dengan

menunjuk secara tiba-tiba peserta didik yang terlihat mengantuk atau

tidak memperhatikan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan

oleh subjek. subjek juga beberapa kali terlihat menegur peserta didik

yang membuat keibutan di kelas sehingga kelas menjadi tidak

kondusif. Subjek juga beberapa kali berkeliling kelas untuk

memantau aktivitas peserta didik. Subjek juga tidak hanya

berkeliling, namun subjek juga mendampingi dan membimbing

mereka satu per satu. Berdasarkan wawancara, selama proses

pembelajaran subjek selalu berusaha untuk melibatkan seluruh


89

peserta didik dalam setiap kegiatan, hanya saja ada beberapa peserta

didik yang masa bodoh, cuek dan tidak patuh jika diminta untuk

menulis atau membaca bahkan ada yang tertidur di kelas saat

pembelajaran berlangsung. Berdasarkan observasi, upaya yang

dilakukan oleh subjek memang sudah membuat para peserta didik

fokus dan mengerjakan tugasnya, terutama beberapa peserta didik

yang memang serius untuk belajar. Subjek merasa sedikit kesulitan

untuk membuat peserta didiknya menjadi fokus. Salah satu

faktornya adalah karena kelas yang subjek ampu adalah kelas

homogen yang berisi peserta didik perempuan. Sehingga beberapa

kali subjek sering diejek maupun digoda oleh peserta didik karena

subjek adalah seorang laki-laki. Pada beberapa pertemuan, subjek

berhasil mengambil fokus peserta didik dengan memberikan

apresiasi berupa point tambahan bagi siswa yang yang aktif saat

dikelas. Melalui apresiasi tersebut, beberapa peserta didik berani

mencoba menjawab pertanyan-pertanyaan maupun soal-soal yang

diberikan oleh subjek.

Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek pada aspek mengambil dan

memelihara fokus peserta didik sudah baik karena strategi yang

subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu memancing keaktifan

peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat dan mencoba

menjawab soal-soal di depan kelas.


90

m. Teknik Kelas

Pada setiap pertemuan, sebelum subjek menyampaikan materi,

subjek memberikan motivasi kepada peserta didik berupa ice

breaking. Hal ini dilakukan supaya peserta didik tidak terlalu kaku

dalam proses pembelajaran. Beberapa kali juga subjek mengajak

peserta didik untuk bercanda. Subjek juga beberapa kali meminta

kepada kelompok diskusi atau peserta didik lain untuk melakukan

presentasi di depan kelas. Hal ini dimaksudkan supaya peserta didik

dapat percaya diri dan bangga dengan apa yang ia kerjakan.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek

teknik kelas sudah baik, karena subjek sudah mampu

memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode yang

digunakan dalam proses pembelajaran.

2. Subjek 2


Selama proses pembelajaran pada materi induksi matematika sudah

cukup baik. Menurut RPP yang telah dibuat, subjek menggunakan

model pembelajaran discovery based learning, contextual learning,

dan cooperative learning dengan pendekatan scientific dan

menerapkan metode tanya jawab, diskusi, ceramah dan penugasan.

Pada pertemuan pertama dan kedua, subjek belum sepenuhnya

menerapkan langkah-langkah pada model contextual learning,

subjek hanya menggunakan metode cermah dan tanya jawab.


91

Kemudian pada pertemuan ketiga, subjek tidak menerapkan

langkah-langkah dalam model discovery based learning, subjek

hanya menggunakan metode ceramah, tanya jawab, diskusi dan juga

presentasi. Subjek mengawali pembelajaran dengan memberikan

indikator pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan tersebut.

Subjek juga beberapa kali memberikan beberapa pertanyaan yang

berkaitan dengan materi pada pertemuan tersebut. Selanjutnya

subjek memberikan penjelasan singkat mengenai materi. Keadaan

yang hampir sama juga diterapkan oleh subjek pada pertemuan

keempat dan juga kelima, subjek tidak menerapkan model

cooperative learning namun subjek hanya menggunakan metode

ceramah, diskusi dan tanya jawab (S.2.4.1 dan S.2.5.1). Berdasarkan

wawancara, subjek memang tidak terlalu banyak menerapkan

model-model tersebut karena kurangnya waktu dan pendekatan

pertama yang ingin difokuskan adalah keaktifan peserta didik di

dalam kelas. Subjek ingin peserta didik secara aktif bertanya dan

menjawab apa yang disampaikan subjek. Oleh karena itu, subjek

lebih banyak menggunakan metode ceramah, tanya jawab, diskusi

kelas dan juga sistem poin. Menurut Barker & Chick (2006), PCK

subjek terlihat pada strategi dan pendekatan yang digunakan oleh

subjek untuk mencapai tujuan pembelajaran suatu konsep

matematika. Walaupun subjek masih menggunakan metode

ceramah, namun peserta didik dapat mengikuti pembelajaran dan


92

memahamimateri dengan baik. Selain itu, menurut Barker & Chick

(2006), PCK subjek juga tampak ketika ia mengajar dengan

menggunakan strategi pembelajaran khusus untuk mengajarkan

konsep. Selama proses pembelajaran, subjek menggunakan strategi

khusus dalam mengenalkan konsep induksi matematika. Subjek

menggunakan prinsip domino yakni ketika domino pertama

dijatuhkan dengan jarak yang sama maka domino yang terakhir juga

akan jatuh. Hal ini menunjukan bahwa subjek mencoba mengajak

siswa untuk memahami konsep dasar induksi matematika melalui

masalah konstektual. Berdasarkan hasil observasi, subjek juga

memberikan contoh konkret dengan memilih 8 orang anak asrama.

Subjek menerapkan contoh ini kepada peserta didik karena hal

tersebut berhubungan dengan konsep induksi matematika.

Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek dalam aspek strategi

pembelajaran sudah baik. Subjek sudah menggunakan startegi

pembelajaran umum maupun khusus dalam mengajarkan konsep

induksi matematika kepada peserta didik.

b. Kesesuaian dan Kedetailan Dalam Menyajikan Konsep

Berdasarkan hasil observasi, kesesuaian dalam menyajikan konsep

tampak ketika subjek menggunakan gambar untuk memberikan

gambaran konsep dasar induksi matematika. Subjek juga

memberikan contoh-contoh sederhana untuk menjelaskan induksi

matematika supaya peserta didik lebih memahami materi tersebut.


93

Pemberian contoh oleh subjek (S.2.5.1) untuk memberikan

gambaran konsep dasar induksi matematika dengan melibatkan

peserta didik melalui diskusi kelas dan juga presentasi. Dimana

subjek menuntun peserta didik dengan masalah-masalah yang ada di

buku dan berkaitan dengan konsep dasar induksi matematika. Subjek

juga membantu peserta didik untuk mengaitkan materi induksi

matematika dan pola barisan dengan menggunakan contoh

pembuktian sebuah barisan 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

(𝑘+1)(𝑘+2)=

𝑘

2(𝑘+2).

Pembuktian barisan 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

(𝑘+1)(𝑘+2)=

𝑘

2(𝑘+2) memang

cukup baik digunakan subjek untuk mengaitkan konsep pola barisan

dengan induksi matematika. Hal ini terbukti dengan hampir sebagian

besar peserta didik mengerti akan prinsip dasar pembuktian induksi

matematika yang dijelaskan oleh subjek. PCK subjek terkait

kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep sudah baik. Hal

ini dikarenakan subjek sudah memenuhi indikator yang diberikan

yakni mendemonstrasikan gambaran atau ilustrasi yang cocok

dengan konsep induksi matematika.


Selama proses pembelajaran berlangsung subjek lebih banyak

menggunakan ppt, buku dan papan tulis untuk menjelaskan materi,

memberikan contoh soal maupun tugas rumah kepada peserta didik.

Sebagian besar sumber materi yang dipakai oleh subjek berasal dari

buku acuan yakni buku Guru dan buku siswa. Berdasarkan


94

wawancara, subjek mengatakan bahwa ia menggunakan gambar

domino yang merupakan sebuah media untuk mempermudah ia

untuk menjelaskan konsep dasar induksi matematika. Subjek juga

menggunakan gambaran-gambaran tertentu yang dijelaskan secara

lisan, tetapi sebagian besar peserta didik dapat menangkap maksud

dari gambaran-gambaran tersebut dengan baik. Subjek juga tidak

melarang peserta didik untuk membuka sumber-sumber lain yang

berkaitan dengan induksi matematika di internet saat belajar di

rumah. Pada pertemuan pertama, kedua dan ketiga subjek meminta

beberapa peserta didik untuk menuliskan dan mempresentasikan

jawaban dari hasil pekerjaan mereka. Hal ini dimaksudkan subjek

untuk menunjukan bahwa sumber daya pengetahuan tidak hanya dari

buku atau ppt yang diberikan, melainkan teman-temannya juga dapat

menjadi sumber daya pengetahuan mereka. Selain itu, subjek juga

memastikan peserta didik lain dapat menangkap apa yang dijelaskan

oleh peserta didik tersebut dengan memberikan pertanyaan kepada

peserta didik yang melakukan presentasi di depan kelas.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa PCK

subjek pada aspek sumber daya pengetahuan sudah baik. Subjek

sudah menggunakan sumber daya yang tersedia untuk mendukung

pembelajaran melalui ppt, buku dan peserta didik pada kelas

tersebut.


95


Subjek sudah menerapkan Kurikulum 2013 namun belum

seutuhnya. Hal ini terlihat pada proses pembelajaran, dimana subjek

masih menjelaskan materi dengan menggunakan metode ceramah

dan peserta didik yang aktif hanya ada beberapa saja. Seharusnya

pada Kurikulum 2013, subjek berperan sebagai fasilitator dalam

proses pembelajaran dan peserta didik berperan aktif dalam proses

pembelajaran. Kurikulum 2013 sangat berkaitan erat dengan 4C,

yaitu communication, collaboration, critical thinking, and

creativity. Upaya yang dilakukan subjek dalam mencapai

collaboration dan communication sudah tampak pada proses

pembelajaran. Collaboration dapat dilihat ketika subjek meminta

peserta didik berdiskusi untuk mengerjakan dan menyelesaikan

masalah-masalah yang diberikan oleh subjek. Sedangkan

communication tampak ketika subjek meminta beberapa peserta

didik untuk menuliskan dan memaparkan jawaban mereka di papan

tulis. Pada pertemuan ketiga, critical thinking yang diterapkan oleh

subjek adalah mengajak peserta didik untuk membuktikan lankah

induksi dari soal 1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ⋯ +

1

(𝑘+1)(𝑘+2)=

𝑘

2(𝑘+2). Pada proses

pembelajaran, upaya subjek dalam menggali creativity peserta didik

belum tampak. Berdasarkan wawancara, subjek menuturkan bahwa

ia belum sepenuhnya menerapkan 4C sebab metode pembelajaran

yang digunakan pun hanya ceramah.


96

Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek pengetahuan

kurikulum perlu ditingkatkan karena subjek belum berperan sebagai

fasilitator dan juga upaya subjek dalam menggali creativity kepada


dalam mencapai collaboration, communication dan critical thinking

sudah tampak.


PCK subjek pada aspek tujuan pengetahuan isi sudah baik, subjek

sudah dapat menjelaskan bagaimana konsep lain dapat digunakan

pada materi utama. Melalui pemahaman dengan menggunakan

konsep domino, secara tidak langsung subjek sudah menunjukan

tujuan pengetahuan dari materi induksi matematika. Sebab konsep

domino hampir sama dengan konsep dasar induksi matematika yang

dimana ketika domino yang pertama dijatuhkan kearah domino

lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan

jarak antar domino adalah sama.

f. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen

PCK subjek dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-

komponen, tampak pada proses pembelajaran. Subjek menerapkan

prinsip induksi matematika untuk membuktikan suatu hubungan

seperti induksi matematika dengan pola barisan bilangan. Subjek

mengajak peserta didik untuk mengenal pola barisan bilangan dan

dengan menggunakan pembuktian induksi matematika yang sesuai,


97

untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Selain itu subjek juga

mengenalkan peserta didik dengan metode-metode pembuktian

dalam induksi matematika, keterbagian dan juga ketidaksamaan

yang ada dalam materi induksi matematika. Oleh karena itu, dapat

disimpulkan bahwa PCK subjek dalam aspek pembangunan isi

sebagai kunci komponen-komponen sudah baik.

g. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika

Berdasarkan observasi yang telah dilakukan, subjek sudah

memahami secara mendalam mengenai konsep dari induksi

matematika. Pemahaman yang mendalam mengenai dasar

matematika subjek sudah baik. Subjek sudah membawa peserta

didik untuk memahami permasalahan abstrak mengenai metode-

metode pembuktian salah satunya adalah metode pembuktian

langsung (S.2.1.1). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK

subjek terkait pemahaman yang mendalam mengenai dasar

matematika sudah baik karena subjek sudah mampu membawa

peserta didik untuk berfikir kritis sehingga peserta didik dapat

memahami konsep matematika.

h. Struktur Matematika dan Relasinya

Pada pertemuan kedua subjek mencoba mengaitkan konsep domino

dengan konsep dasar induksi matematika, hanya saja subjek tidak

membahas secara mendalam mengenai keterkaitan tersebut sehingga

masih ada beberapa peserta didik yang merasa bingung. Subjek


98

hanya mengatakan bahwa konsep domino hampir sama dengan

konsep dasar induksi matematika yang dimana ketika domino yang

pertama dijatuhkan kearah domino lainnya pasti domino yang paling

ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar domino adalah sama.

Subjek juga tidak mengaitkan konsep induksi matematika dengan

konsep lain yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Oleh

karena itu, PCK subjek dalam aspek struktur matematika dan

relasinya masih perlu ditingkatkan karena pembangunan koneksi

antara konsep domino dengan konsep induksi matematika yang

dilakukan oleh subjek masih belum terlihat dengan jelas.

i. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya

Keterampilan subjek dalam memecahkan masalah terlihat selama

proses pembelajaran pada pertemuan pertama. Subjek ingin

membuktikan Jika x bilangan ganjil dan y bilangan genap, maka

X+Y adalah bilangan ganjil. Lalu subjek meminta peserta didik

untuk mengidentifikasi seperti apa rumus bilangan ganjil dan rumus

bilangan genap dan setelah itu peserta didik mampu memberikan

jawaban yang benar. Subjek sudah mampu untuk memperlihatkan

keterampilan atau mampu menerapkan konsep untuk memecahkan

permasalahan matematika. Keterampilan subjek dalam memecahkan

masalah terlihat selama proses pembelajaran berlangsung.

Keterampilan lain juga tampak saat subjek menjawab pertanyaan-

pertanyaan dari peserta didik, memancing peserta didik dengan


99

pertanyaan-pertanyaan yang mengarah ke pemahaman peserta didik

mengenai materi. Subjek juga menuntun peserta didik untuk

menemukan jawaban dari permasalahan yang sudah diberikan,

subjek juga kadang mengoreksi kesalahan penulisan maupun

penjelasan yang dilakukan oleh peserta didik. Subjek sudah mampu

untuk memperlihatkan keterampilan atau mampu menerapkan

konsep untuk memecahkan permasalahan matematika. Oleh karena

itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek pengetahuan

mengenai pelaksanaannya sudah baik.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek

pengetahuan mengenai pelaksanaannya sudah baik.

j. Metode-Metode Pemecahan Masalah

Berdasarkan observasi, subjek sudah memperlihatkan metode

pemecahan masalah. Pada setiap pertemuan, subjek membantu

peserta didik untuk memecahkan masalah yang telah diberikan.

Subjek memberikan metode-metode pemecahan masalah dengan

baik, sehingga sebagian besar peserta didik mengerti dengan apa

yang diajarkan oleh subjek. Dalam RPP yang telah dibuat oleh

subjek, ia menuliskan metode-metode pembuktian dalam materi

induksi matematika seperti metode langsung, tidak langsung,

kontradiksi, dan metode induksi matematika. Kemudian, ketika

pembahasan soal yang dituliskan di papan tulis subjek

menuliskannya secara terstruktur dengan menggunakan prinsip


100

induksi matematika. Dimulai dari pernyataan yang diketahui, dan

penyelesaian soal dengan langkah-langkah pembuktian yang sesuai

dan asumsi yang jelas, sehingga didapatkan hasil akhir yang terbukti

dan sesuai dengan pernyataan. Subjek menuliskan kesimpulan

disetiap pernyataan yang ia buktikan, tidak lupa pula subjek selalu

mengingatkan seluruh peserta didik untuk menuliskan pernyataan,

langkah, asumsi dan juga kesimpulan dengan jelas.

Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek metode

pemecahan masalah sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan

pembahasan soal dengan baik dan terstruktur, dan juga sudah

metode-metode yang penting dalam pembuktian induksi

matematika.

k. Tujuan Pembelajaran

Berdasarkan RPP yang telah dibuat oleh subjek, tujuan pembelajaran

materi induksi matematika adalah peserta didik dapat menemukan

formula, menjelaskan prinsi, membuktikan formula dan menerapkan

induksi matematika pada barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.

Subjek membimbing peserta didik dalam menemukan formula untuk

suatu pola tertentu dengan tepat melalui pengamatan pada beberapa

pola bilangan yang disajikan. Subjek membimbing peserta didik

dalam membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi

matematika dengan baik melalui pengerjaan soal. Subjek sudah

membimbing peserta didik dalam membuktikan soal dengan


101

menggunakan induksi matematika. Subjek juga membimbing

peserta didik dalam menerapkan induksi matematika pada barisan

bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek juga memberikan

contoh soal dan pembahasannya serta tugas mengenai induksi

matematika. Subjek sudah melakukan usaha dan semua tujuan

pembelajaran sudah dicapai oleh subjek. oleh karena itu dapat

disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek tujuan pembelajaran

sudah baik.

l. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik

Subjek beberapa kali mengambil fokus peserta didik dengan

menunjuk secara tiba-tiba peserta didik yang terlihat mengantuk atau

tidak memperhatikan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan

oleh subjek. subjek juga beberapa kali terlihat menegur peserta didik

yang membuat keibutan di kelas sehingga kelas menjadi tidak

kondusif. Subjek juga beberapa kali berkeliling kelas untuk

memantau aktivitas peserta didik. Subjek juga tidak hanya

berkeliling, namun subjek juga mendampingi dan membimbing

mereka satu per satu. Berdasarkan hasil wawancara, subjek merasa

sedikit kesulitan untuk membuat peserta didiknya menjadi fokus.

Salah satu faktornya adalah karena kelas yang subjek ampu adalah

kelas homogen yang berisi peserta didik perempuan. Sehingga

beberapa kali subjek sering diejek maupun digoda oleh peserta didik

karena subjek adalah seorang laki-laki. Subjek juga mengatakan


102

bahwa meskipun ia sudah mefokuskan peserta didik, namun masih

saja ada peserta didik yang bandel dan tidur di kelas. Berdasarkan

observasi, upaya yang dilakukan oleh subjek memang sudah

membuat para peserta didik fokus dan mengerjakan tugasnya,

terutama beberapa peserta didik yang memang serius untuk belajar.

Pada beberapa pertemuan, subjek berhasil mengambil fokus peserta

didik dengan memberikan apresiasi berupa point tambahan bagi

siswa yang yang aktif saat dikelas. Melalui apresiasi tersebut,

beberapa peserta didik berani mencoba menjawab pertanyan-

pertanyaan maupun soal-soal yang diberikan oleh subjek.

Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek pada aspek mengambil dan

memelihara fokus peserta didik sudah baik karena strategi yang

subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu memancing keaktifan

peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat dan mencoba

menjawab soal-soal di depan kelas.

m. Teknik Kelas

Pada setiap pertemuan, sebelum subjek menyampaikan materi,

subjek selalu mengecek kehadiran peserta didik dan mengingatkan

kembali materi yang sudah dipelajari sebelumnya. Beberapa kali

juga subjek mengajak peserta didik untuk bercanda. Subjek juga

beberpa kali meminta kepada kelompok diskusi atau peserta didik

lain untuk melakukan presentasi di depan kelas. Hal ini dimaksudkan

supaya peserta didik dapat percaya diri dan bangga dengan apa yang


103

ia kerjakan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek

pada aspek teknik kelas sudah baik, karena subjek sudah mampu

memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode yang


Pada bagian ini akan diuraikan profil PCK subjek SMA Stella Duce 2

Yogyakarta pada materi Induksi matematika yang dapat dilihat pada tabel

4.2.

Tabel 4.2: PCK Subjek Pada Materi Induksi Matematika

No. Aspek PCK Hasil

1. Strategi

pembelajaran

Subjek 1:

a. Subjek menggunakan metode ceramah,

tanya jawab, diskusi kelas dan juga

presentasi sebagai strategi umum. Subjek

sudah mampu memperlihatkan cara untuk



b. Subjek menggunakan strategi khusus

dalam mengenalkan konsep induksi

matematika. Subjek menggunakan prinsip

domino yakni ketika domino pertama

dijatuhkan dengan jarak yang sama maka

domino yang terakhir juga akan jatuh.

Subjek 2:

a. Subjek menggunakan metode ceramah,

tanya jawab, diskusi kelas dan juga

presentasi sebagai strategi umum. Subjek

sudah mampu memperlihatkan cara untuk



b. Subjek menggunakan strategi khusus

dalam mengenalkan konsep induksi

matematika. Subjek menggunakan prinsip

domino yakni ketika domino pertama

dijatuhkan dengan jarak yang sama maka

domino yang terakhir juga akan jatuh.

2.

Kesesuaian dan

kedetailan

dalam

menyajikan

konsep

Subjek 1:

Melalui video, gambar dan ilustrasi mengenai efek

domino, subjek sudah dapat menjelaskan

keterkaitannya dengan konsep dasar induksi

matematika.


104

No. Aspek PCK Hasil Subjek 2:

Melalui gambar dan ilustrasi mengenai efek

domino, serta gambaran-gambaran lainnya subjek

sudah dapat menjelaskan keterkaitannya dengan

konsep dasar induksi matematika.

3. Sumber daya

pengetahuan

Subjek 1:

Subjek sudah menggunakan sumber daya yang

tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui

ppt, dan buku peserta didik pada kelas tersebut.

Subjek 2:

Subjek sudah menggunakan sumber daya yang

tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui

ppt, dan buku peserta didik pada kelas tersebut.

4. Pengetahuan

kurikulum

Subjek 1:

Subjek belum sepenuhnya mencapai tujuan

kurikulum 2013, karena subjek belum berperan

sebagai fasilitator dan juga upaya subjek dalam

menggali creativity kepada peserta didik belum

tampak. Namun upaya yang subjek lakukan dalam

mencapai collaboration, critical thinking dan

communication sudah tampak.

Subjek 2:

Subjek belum sepenuhnya mencapai tujuan

kurikulum 2013, karena subjek belum berperan

sebagai fasilitator dan juga upaya subjek dalam

menggali creativity dan critical thinking kepada

peserta didik belum tampak. Namun upaya yang

subjek lakukan dalam mencapai collaboration dan

communication sudah tampak.

5. Tujuan

pengetahuan isi

Subjek 1:

Subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi

karena melalui pemahaman dengan menggunakan

konsep domino, secara tidak langsung subjek

sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari materi

induksi matematika

Subjek 2:

Subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi

karena melalui pemahaman dengan menggunakan

konsep domino, secara tidak langsung subjek

sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari materi

induksi matematika

6.

Pembangunan

isi sebagai kunci

komponen-

komponen

Subjek 1:

Pembangunan isi sebagai kunci komponen-

komponen subjek sudah diterapkan dengan baik.

Subjek menerapkan prinsip induksi matematika

untuk membuktikan suatu hubungan seperti

induksi matematika dengan pola barisan bilangan.

Subjek mengajak peserta didik untuk mengenal

notasi sigma dan pola barisan bilangan dan dengan


105

No. Aspek PCK Hasil menggunakan pembuktian induksi matematika

yang sesuai, untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan. Selain itu subjek juga mengenalkan

peserta didik dengan keterbagian dan juga

ketidaksamaan yang ada dalam materi induksi

matematika.

Subjek 2:

Pembangunan isi sebagai kunci komponen-

komponen subjek sudah diterapkan dengan baik.

Subjek menerapkan prinsip induksi matematika

untuk membuktikan suatu hubungan seperti

induksi matematika dengan menggunakan metode-

metode pembuktian. Subjek mengajak peserta

didik untuk mengenal notasi sigma dan pola

barisan bilangan dan dengan menggunakan

pembuktian induksi matematika yang sesuai, untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan. Selain itu

subjek juga mengenalkan peserta didik dengan

keterbagian dan juga ketidaksamaan yang ada

dalam materi induksi matematika.

7.

Pemahaman

yang mendalam

mengenai dasar

matematika

Subjek 1:

Pemahaman yang mendalam mengenai dasar

matematika subjek sudah baik karena subjek sudah

memahami konsep dari induksi matematika.

Subjek sudah mampu menjelaskan dan

menunjukan kepada peserta didik keterampilan-

keterampilan yang terlihat ketika penyampaian

konsep penjumlahan berurut bilangan kuadrat.

Subjek 2:

Pemahaman yang mendalam mengenai dasar

matematika subjek sudah baik karena subjek sudah

memahami konsep dari induksi matematika.

Subjek sudah mampu menjelaskan dan

menunjukan kepada peserta didik keterampilan-

keterampilan yang terlihat ketika penyampaian

contoh metode pembuktian langsung.

8.

Struktur

matematika dan

relasinya

Subjek 1:

Struktur matematika dan relasinya masih perlu

ditingkatkan oleh subjek karena pembangunan

koneksi antara konsep domino dengan konsep

induksi matematika yang dilakukan oleh subjek

masih belum terlihat dengan jelas. Subjek juga

tidak mengaitkan konsep induksi matematika

dengan konsep lain yang berhubungan dengan

kehidupan sehari-hari. Subjek 2:

Struktur matematika dan relasinya masih perlu

ditingkatkan oleh subjek karena pembangunan

koneksi antara konsep domino dengan konsep


106

No. Aspek PCK Hasil induksi matematika yang dilakukan oleh subjek

masih belum terlihat dengan jelas. Subjek juga

tidak mengaitkan konsep induksi matematika

dengan konsep lain yang berhubungan dengan

kehidupan sehari-hari.

9.

Pengetahuan

mengenai

pelaksanaannya

Subjek 1:

Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya

sudah baik. Subjek sudah mampu untuk

memperlihatkan keterampilan atau mampu

menerapkan konsep untuk memecahkan

permasalahan matematika.

Subjek 2:

Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya

sudah baik. Subjek sudah mampu untuk

memperlihatkan keterampilan atau mampu

menerapkan konsep untuk memecahkan

permasalahan matematika.

10.

Metode-metode

pemecahan

masalah

Subjek 1:

Metode pemecahan masalah yang subjek terapkan

sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan

pembahasan soal dengan baik dan terstruktur

dalam proses pembuktian induksi matematika yang

dipaparkan. Subjek juga sering membantu peserta

didik yang kesulitan terutama yang bertanya saat

pembahasan soal.

Subjek 2:

Metode pemecahan masalah yang subjek terapkan

sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan

pembahasan soal dengan baik dan terstruktur

dalam proses pembuktian induksi matematika yang

dipaparkan. Subjek juga sering membantu peserta

didik yang kesulitan terutama yang bertanya saat

pembahasan soal.

11. Tujuan

Pembelajaran

Subjek 1:

Melalui proses pembelajaran, subjek sudah

menunjukan usaha untuk mencapai tujuan

pembelajaran.

Subjek 2:

Melalui proses pembelajaran, subjek sudah

menunjukan usaha untuk mencapai tujuan

pembelajaran.

12.

Mengambil dan

memelihara

fokus siswa

Subjek 1:

Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta

didik, subjek dinilai sudah baik karena strategi

yang subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu

memancing keaktifan peserta didik sehingga berani

menyampaikan pendapat dan mencoba menjawab

soal-soal di depan kelas.


107

No. Aspek PCK Hasil Subjek 2:

Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta

didik, subjek dinilai sudah baik karena strategi

yang subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu

memancing keaktifan peserta didik sehingga berani

menyampaikan pendapat dan mencoba menjawab

soal-soal di depan kelas.

13. Teknik kelas

Subjek 1:

Teknik kelas yang diterapkan oleh subjek sudah

baik, karena dalam menyampaikan materi induksi

matematika yaitu dengan memfokuskan pada

keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek

ingin peserta didik secara aktif bertanya dan

menjawab apa yang disampaikan subjek. subjek

juga terkadang mengajak peserta didik untuk

bercanda bersama.

Subjek 2:

Teknik kelas yang diterapkan oleh subjek sudah

baik, karena dalam menyampaikan materi induksi

matematika yaitu dengan memfokuskan pada

keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek

menetapkan sistem point yang berguna untuk

mengaktifkan peserta didik supaya mau bertanya

dan menjawab pertanyaan yang diberikan.

E. Keterbatasan Penelitian

1. Kerusakan Video Dokumentasi

Adapun keterbatasan penelitian yang dialami peneliti adalah salah satu

video hasil proses pembelajaran hilang. Kejadian ini sungguh di luar

dugaan peneliti dan juga subjek. Kejadian tersebut terjadi dikarenakan

kesalahan sistem alat perekam, ketika peneliti sedang dalam proses

menyimpan data dokumentasi tiba-tiba saja handphone milik peneliti

mati dan baru bisa menyala sekitar 15 menit kemudian. Ketika sudah

bisa dinyalakan kembali peneliti langsung mengecek apakah rekaman

video pembelajaran masih bisa tersimpan, dan ternyata video tersebut

tidak ada. Peneliti memutuskan untuk bertanya kepada guru pamong


108

untuk mengijinkan subjek mengulang pertemuan pada hari itu, namun

sayangnya guru pamong tidak mengijinkan dikarenakan waktu yang

dimiliki subjek untuk mengajar sangat terbatas. Karena hal tersebut,

penyajian data yang peneliti sajikan masih memiliki kekurangan yakni

pada pertemuan keempat milik subjek pertama.

2. Tidak Memeriksa RPP dan PPT Subjek Secara Mendetail

Adapun keterbatasan penelitian yang dialami peneliti adalah peneliti

tidak memeriksa keseluruhan RPP dan PPT milik masing-masing subjek

dengan mendetail. Hal ini menyebabkan beberapa miskonsepsi yang

dilakukan oleh subjek kepada peserta didik selama proses pembelajaran.

Seperti pada PPT subjek pertama di pertemuan kedua, subjek

menuliskan rumus cepat yang bisa membuat peserta didik menjadi salah

paham dan tidak menggunakan langkah-langkah yang benar saat proses

pembuktian induksi matematika. Kemudian pada tugas mandiri online

nomor 2, subjek pertama menuliskan n ≥ 5. Padahal di bagian materi

RPP subjek tidak menuliskan langkah-langkah pembuktian ketika n ≥ 1

(induksi yang diperluas). Hal ini dapat menyebabkan ketidaksesuaian

topik induksi matematika yang seharusnya diajarkan di tingkat SMA.


109

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan terhadap proses pembelajaran

materi induksi matematika dan wawancara yang telah dilakukan oleh

peneliti, maka PCK subjek di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta, dapat

disimpulkan sebagai berikut:

1. Kejelasan PCK


Kedua subjek sudah mampu menggunakan strategi umum dengan

mampu memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode

yang digunakan dalam proses pembelajaran. Metode yang

digunakan kedua subjek ialah ceramah, diskusi, tanya jawab dan

presentasi. Kedua subjek juga menggunakan strategi khusus dalam

mengajarkan materi induksi matematika yakni menggunakan prinsip

domino sebagai awalan mempelajari konsep dasar induksi

matematika yakni ketika domino pertama dijatuhkan dengan jarak

yang sama maka domino yang terakhir juga akan jatuh.

b. Kesesuaian dan Kedetilan Dalam Menyajikan Konsep

Kedua subjek sudah mampu menggunakan gambar dan ilustrasi

untuk menjelaskan dan membantu peserta didik dalam mencari

keterkaitan konsep efek domino dengan konsep dasar induksi

matematika.


110


Kedua Subjek sudah mampu menggunakan sumber daya yang

tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui ppt, dan buku

peserta didik pada kelas masing-masing.


Subjek pertama belum sepenuhnya mencapai tujuan kurikulum

2013, karena subjek belum berperan sebagai fasilitator dan juga

upaya subjek dalam menggali creativity kepada peserta didik belum

tampak. Namun upaya yang subjek lakukan dalam mencapai

collaboration, critical thinking dan communication sudah tampak.

Subjek kedua belum sepenuhnya mencapai tujuan kurikulum 2013,

karena subjek belum berperan sebagai fasilitator dan juga upaya

subjek dalam menggali creativity dan critical thinking kepada


dalam mencapai collaboration dan communication sudah tampak.


Kedua subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi karena

melalui pemahaman dengan menggunakan konsep domino, secara

tidak langsung subjek sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari

materi induksi matematika. Dengan demikian kedua subjek sudah

bisa menjelaskan bagaimana konsep induksi matematika digunakan.


111

2. Pengetahuan Materi dalam Konteks Pedagogik

a. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen

Kedua subjek sudah menerapkan pembangunan isi sebagai kunci

komponen-komponen dengan baik. Kedua subjek juga sudah bisa

menentukan komponen-komponen yang kritis dalam konsep induksi

matematika seperti menerapkan prinsip induksi matematika.

b. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika

Pemahaman yang mendalam mengenai dasar matematika dari kedua

subjek sudah baik karena kedua subjek sudah memahami secara

mendalam mengenai konsep dari induksi matematika. Kedua subjek

sudah membawa peserta didik untuk memahami permasalahan

abstrak mengenai metode-metode pembuktian langsung dan juga

penjumlahan berurut bilangan kuadrat sampai dengan 𝑛2

c. Struktur Matematika dan Relasinya

Struktur matematika dan relasinya masih perlu ditingkatkan oleh

kedua subjek karena pembangunan koneksi antara konsep domino

dengan konsep induksi matematika yang dilakukan oleh kedua

subjek masih belum terlihat dengan jelas. kedua subjek juga tidak

mengaitkan konsep induksi matematika dengan konsep lain yang

berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.

d. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya

Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya sudah baik. Kedua

subjek sudah mampu untuk memperlihatkan keterampilan atau


112

mampu menerapkan konsep untuk memecahkan permasalahan

matematika. Keterampilan tersebut tampak saat subjek menjawab

pertanyaan-pertanyaan dari peserta didik, memancing peserta didik

dengan pertanyaan-pertanyaan yang mengarah ke pemahaman

peserta didik mengenai materi.

e. Metode-Metode Pemecahan Masalah

Metode pemecahan masalah yang kedua subjek pertama terapkan

masih sudah baik. Keduanya selalu membantu peserta didik untuk

memecahkan masalah yang telah diberikan. Ketika pembahasan soal

yang dituliskan di papan tulis subjek juga menuliskannya secara

terstruktur dengan menggunakan prinsip induksi matematika.

3. Pengetahuan Pedagogik dalam Konteks Materi

a. Tujuan Pembelajaran

Melalui proses pembelajaran, kedua subjek sudah menunjukan

usaha untuk mencapai tujuan pembelajaran. Tujuan pembelajaran

yang sudah dicapai itu juga sudah sesuai dengan RPP yang mereka

buat. Kedua subjek juga konsisten dalam mengajarkan materi

kepada peserta didik.

b. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik

Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta didik, kedua

subjek dinilai sudah baik karena strategi yang terapkan masing-

masing subjek. Kedua subjek juga sudah mampu memancing


113

keaktifan peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat

dan mencoba menjawab soal-soal di depan kelas.

c. Teknik Kelas

Teknik kelas yang diterapkan oleh kedua subjek sudah baik, karena

dalam menyampaikan materi induksi matematika yaitu dengan

memfokuskan pada keaktifan peserta didik di dalam kelas. Kedua

subjek menerapkan sistem point supaya ada antusiasme dari peserta

didik.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan,

peneliti memberikan saran sebagai berikut:

1. Bagi Guru

Guru diharapkan tidak hanya menerapkan materi saja atau pengetahuan

pedagogik saja, melainkan guru juga harus memadukan pengetahuan

materi dan pengetahuan pedagogik ke dalam kurikulum pada proses

pembelajaran sesuai dengan kebutuhan peserta didik secara individu

maupun kelompok

2. Bagi calon guru

Disarankan kepada calon guru untuk menggunakan berbagai bentuk

representasi yang digunakan dalam praktek pembelajaran matematika

oleh dua subjek di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta di atas sebagai bahan

pertimbangan dalam pelaksanaan kegiatan pembelajaran matematika.

Dengan mempelajari bentuk-bentuk representasi dan pengalaman

langsung dari dua subjek di atas, diharapkan dapat meningkatkan PCK

calon guru matematika.


114

DAFTAR PUSTAKA

Aksu, Z., Metin, M., & Konyahoglu, A. (2014). Development of Pedagogical

Content Knowledge Scale for Pre-Service Teaschers: The Validity and

Realiability Study. Mediterranean Journal of Social Sciences MCSER

Publishing, Rome-Italy Vol 5 No 20 , 1365-1377.

Barker M., C. H. (2006). ASPECTS OF TEACHERS’ PEDAGOGICAL

CONTENT KNOWLEDGE FOR DECIMALS. Proceedings 30th

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education, Vol. 2, 297-304.

Barker, M., & Chick, H. (2006). Pedagogical Content Knowledge for Teaching

Primary Mathematics: A Case Study of Two Teachers. 60-67.

Kania A., V. (2018). Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge) Guru

Matematika di SMA BOPKRI 1 Yogyakarta Pada Topik Turunan.

Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Magnusson, S. (1999). Nature, Sources, and Development of Pedagogical Content

Knowledge Science Teaching. PCK and Science Education, 3-7.

Parwati, N. (2014). Teori Bilangan. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Rahmadhani, Y. (2016). Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru dalam

Pembelajaran Biologi SMA di Kota Cimahi. Prosiding Seminar

NasionalSainsdanPendidikanSains X (2016)Vol. 6 ISSN: 2087-0922, 17-24.

Rusman. (2017). Belajar dan Pembelajaran: Berorientasi Standar Proses

Pendidikan Edisi 1. Jakarta: KENCANA.

Sarkim, T. (2015). Pedagogical Content Knowledge: Sebuah Konstruk untuk

Memahami Kinerja Guru di Dalam Pembelajaran. Prosiding Pertemuan

Ilmiah XXIX HFI ISSN : 0853-0823 , 7-12.


115

Setianto, FX. Made. (2010). Identifikasi PCK Guru Matematika Terkait Bentuk-

Bentuk Representasi yang Digunakan Oleh 2 Guru Matematika SMA di

Yogyakarta. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Shulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching.

Educational Researcher, Vol. 15, No. 2, 4-14.

Sugiyono. (2016). Memahami Penelitian Kualitatif. Bandung: CV. Alfabeta.

Sukirman. (2013). Teori Bilangan. Yogyakarta: UNY Press.

Suwardoyo, Y. (2010). Identifikasi PCK Guru Matematika Khususnya Terkait

Bentuk-Bentuk Representasi yang Digunakan Oleh 2 Guru Matematika

SMA di Yogyakarta. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.


116

Lampiran 1. Surat Ijin Penelitian dari Universitas


117

Lampiran 2. Surat Keterangan dari Sekolah


118

Lampiran 3. Pedoman Observasi dan Wawancara


119


120


121


122

Lampiran 4. Lembar Validasi Instrumen


123


124


125


126

Lampiran 5. Transkrip Wawancara

Transkrip Wawancara

Keterangan:

S1: Subjek 1

P: Peneliti

P: Strategi pembelajaran atau pendekatan seperti apa yang anda gunakan selama

pembelajaran berlangsung?

S1: Saya mah ngikutin yang ada di RPP tapi pendekatan yang pertama saya ingin

fokus ke mereka (peserta didik) dulu, mereka harus aktif selama pembelajaran jadi

bukan hanya saya saja yang aktif mengelola kelas tapi saya mau mereka juga secara

aktif bertanya dan menjawab apa yang saya sampaikan di depan.

P: Selama pembelajaran apakah anda menggunakan sumber daya atau media seperti

ilustrasi atau gambar tertentu? Sudah efektifkah sumber daya atau media yang anda

berikan?

S1: menurut saya sudah efektif, karena belajar induksi matematika itu kan kaitannya

sangat jelas dengan efek dari domino, jadi ketika saya hanya berikan gambar domino

saja pasti mereka sangat bingung. Karena jika hanya melihat gambar saja mereka

belum bisa berimajinasi seperti apa ketika domino terjatuh, maka dari itu saya

memberikan video yang berkaitan supaya mereka paham dengan konsep dari efek

domino dan keterkaitannya dengan konsep induksi matematika.

P: Lalu mengapa anda tidak meminta peserta didik untuk membuka google atau

sumber-sumber lain untuk dapat mengerti konsep induksi matematika ini?

S1: Untuk masuk ke prinsip itu kan lumayan pembahasannya, jadi saya ingin ada

kegiatan literasi dulu. Saya ingin mereka memanfaatkan buku untuk meningkatkan

pengetahuan mereka tentang teori induksi matematika ini. Kalau di buku kan ada

tabel, konsep dan gambaran sama pola-polanya. Jadi alasan saya tidak menggunakan

media lain seperti handphone dan google karena saya ingin ada kegiatan literasi dari

mereka sehingga saya tidak menggunakan media lain selain ppt dan buku, tetapi kalau

mereka mau cari di internet ya saya tidak larang asalkan bukan di sekolah.

P: Apakah pembelajaran yang anda lakukan sudah mencapai tujuan Kurikulum 2013?

S1: Saya merasa sudah mencapai tujuan kurikulum, untuk indikator yang pertama itu

kan tujuannya kan peserta didik diminta untuk menemukan formula dari suatu contoh

pola barisan dan kemarin pada pertemuan 1 dan 2 saya sudah mencapai itu dan peserta

didik juga sudah paham. Lalu tujuan kedua yaitu menemukan Sn dari suatu pola

barisan itu juga mereka sudah bisa. Kemudian mereka juga sudah bisa mengetahui


127

apakah suatu formula itu benar dan berlaku di semua n bilangan asli. Setelah itu juga

mereka bisa paham, tapi bagian ketidaksamaan itu memang yang agak kurang tapi

selebihnya bisa.

P: Menurut anda apakah anda sudah menerapkan 4C (communication, collaboration,

critical thinking dan creativity) selama proses pembelajaran?

S1: kalau communication sama collaboration sudah, eh tapi critical thinking

sepertinya juga sudah, hanya saja kalau creativity sih belum kayaknya.

P: Menurut anda apakah selama pembelajaran anda selalu melibatkan peserta didik

dalam setiap kegiatan?

S1: saya sudah berusaha untuk selalu melibatkan peserta didik, namun ada beberapa

yang mungkin tidak suka matematika apa gimana, ada yang cuek tapi selama proses

pembelajaran saya sudah berusaha melibatkan peserta diidk untuk aktif di

pembelajaran saya. Tetapi kalau di catatan saya memang ada beberapa peserta didik

yang masa bodoh dalam pembelajaran karena ketika saya minta untuk menulis

mereka tidak menulis, disuruh baca tapi tidak membaca, dan ketika saya berkeliling

untuk mengunjungi setiap meja ada yang tertidur dan beberapa masa bodoh (tidak

terlalu peduli).

P: Kesulitan apa yang anda hadapi selama proses pembelajaran yang anda lakukan?

S1: itu waktu di pertemuan yang pertama, saya lupa tidak mem-printscreen tabel

sehingga saat diskusi saya harus berkeliling kelas dari meja ke meja untuk

menjelaskan mereka satu-satu.


128

Transkrip Wawancara

Keterangan:

S2: Subjek 2

P: Peneliti

P: Strategi pembelajaran atau pendekatan seperti apa yang anda gunakan selama

pembelajaran berlangsung?

S2: Strateginya kalau saya menggunakan pendekatan saintifik, disini saya mengarah

kepada peserta didik dan berpusat pada peserta didik, jadi saya disini merasa seperti

pembimbing mereka tidak yang benar-benar ngajarin gitu. Lalu strateginya ya itu

lebih mengarah kepada peserta didik, mengajak peserta didik menjadi lebih aktif.

Untuk pertemuan pertama saya belum menerapkan pendekatan apapun karena saya

ingin lebih fokus ke peserta didik dulu, saya ingin peserta didik merasa nyaman

dengan pembelajaran dan tidak tertekan. Untuk membuat mereka nyaman memang

susah tetapi saya mau fokus ke situ dulu, tetapi untuk selama 5 pertemuan ini mereka

bisa mengikuti pembelajaran saya. Interaksi dan adaptasi dengan mereka juga

mudah, mereka itu cepat untuk akrab dekat dengan orang lain.

P: Selama pembelajaran apakah anda menggunakan sumber daya atau media seperti

ilustrasi atau gambar tertentu? Sudah efektifkah sumber daya atau media yang anda

berikan?

S2: Karena pertemuan pertama saya mulai dari notasi, saya belum memakai ilustrasi

gambar atau video. Untuk pertemuan kedua saya menggunakan gambar domino dan

untuk selanjutnya saya hanya memakai gambaran-gambaran tertentu yang tidak bisa

dilukiskan secara jelas hanya lisan saja. Mungkin tidak terlalu mengarah ke

kehidupan sehari-hari tetapi itu cukup membuat mereka mengerti. Kalau menurut

saya sumber daya atau media yang saya gunakan sudah mendukung, kalau menurut

saya mereka kadang lumayan cepat bisa memahaminya dan itu merupakan point plus

dari mereka. Lalu untuk medianya saya tidak perlu kesulitan karena mereka mereka

mudah paham jadi saya kalau menggunakan media apapun mereka menjadi lebih bisa

memahami materi, jadi medianya tidak perlu yang neko-neko (macam-macam).

P: Apakah pembelajaran yang anda lakukan sudah mencapai tujuan Kurikulum

2013?

S2: sebernarnya saya kurang tahu tujuan kurikulum 2013 itu seperti apa, tetapi dari

pembelajaran yang kemarin itu tujuan pembelajaran saya sendiri sudah tercapai.

Mereka bisa menerima kehadiran saya terus untuk mereka aktif juga mereka sudah

mulai mau aktif, namun awalnya harus dipancing dahulu.


129

P: Menurut anda apakah anda sudah menerapkan 4C (communication, collaboration,

critical thinking dan creativity) selama proses pembelajaran?

S2: menurut saya, saya sudah berusaha untuk menerapkan itu. Kami, antara peserta

didik dan guru itu sudah mulai banyak komunikasi. Kolaborasinya mungkin masih

belum terlihat, tapi untuk kreatifitas dan berfikir kritisnya saya sudah mengajak

mereka untuk mengarah kesitu.

P: Menurut anda, apakah selama pembelajaran anda mampu menerapkan konsep

untuk memecahkan masalah?

S2: menurut saya konsepnya dapat untuk memecahkan masalah, jadi kemarin saya

mencoba menjelaskannya sesederhana mungkin. Namun karena kemarin waktunya

itu terbatas jadi mereka belum sempat melakukan latihan terutama di pertemuan

pertama. Untuk pertemuan kedua saya mencoba untuk memberikan latihan yang bisa

dikerjakan oleh peserta didik. Untungnya dalam memahami konsep awal induksi

matematika ini, peserta didik dapat mengikuti ritme pengajaran saya. Kalau untuk

pertemuan yang ketiga, pada soal latihan saya merasa peserta didik cukup

kebingungan dengan soal karena saya mengasumsikannya dengan 𝑘 = 𝑛.

P: Menurut anda apakah selama pembelajaran anda selalu melibatkan peserta didik

dalam setiap kegiatan?

S2: ya, saya selalu berusaha untuk melibatkan mereka. Namun yang masih kurang

adalah saya masih belum merata untuk seluruh peserta didik ikut terlibat dalam

pembelajaran.

P: Menurut anda, apakah selama pembelajaran anda menggunakan teknik atau metode

yang sesuai dengan perangkat yang anda buat?

S2: kalau saya merasa urutan-urutannya sudah sesuai, untuk metode dan teknik saya

lebih banyak berimprovisasi jadi pembawaannya tidak kaku begitu mengikuti

perangkat dan instrumen yang saya buat, jadi ya mengalir saja.


130

Lampiran 6. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 1

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Sekolah : SMA Stella Duce 2 Yogyakarta

Pelajaran : Matematika Umum

Kelas/Semester : XI MIPA 1/1

Materi Pokok : Induksi Matematika

Alokasi Waktu : 4 JP/Minggu

A. Kompetensi Inti SMA kelas XI:

KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

KI 2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,

peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai),santun, responsif

dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas

berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektifn dengan

lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai

cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasaingin tahunya

tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humanipra

dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban

terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan

bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4 Menunjukan keterampilan menalar, mengolah dan menyaji secara:

efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan

solutif dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan

dari yang dipelajarinya di sekolah serta mampu menggunakan metode

sesuai dengan kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

Indikator :

1.1.1 Berdoa sebelum dan sesudah pembelajaran Induksi Matematika

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,

rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam

memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Indikator :

2.1.1.Mampu bekerjasama dalam diskusi pembelajaran Konsep Induksi

Matematika

2.2.2.Mampu bersikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam

memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.2.3.Mampu bersikap disiplin dalam pembelajaran Konsep Induksi

Matematika

3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan,

ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika

Indikator :

3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan


131

3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika

3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi

matematika

3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi

matematika

3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip

induksi matematika

4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji

pernyataan matematis berupa barisan, keterbagiaan, ketidaksaman

Indikator :

4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran

formula suatu barisan bilangan.

4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu

kebenaran formula.

4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan

keterbagian bilangan.


ketidaksamaan bilangan.

C. Tujuan Pembelajaran

Melalui model pembelajaran Discovery Learning dengan pendekatan Scientific,

terdapat beberapa hal yang akan dikembangkan :

1. Siswa mampu mengembangkan sikap percaya diri dan komunikatif melalui

kegiatan diskusi kelompok dengan mantap.

2. Siswa mampu mengembangkan sikap cermat, kritis, dan kreatif saat

menyelesaikan soal-soal pada LKPD.

3. Siswa mampu menemukan formula untuk suatu pola tertentu dengan tepat

melalui pengamatan pada beberapa pola bilangan yang disajikan pada PPT.

4. Siswa mampu menjelaskan prinsip dari induksi matematika dengan benar

melalui kegiatan membaca.

5. Siswa membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi matematika dengan

baik melalui pengerjaan soal pada LKPD.

6. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada barisan bilangan melalui

pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan benar.

7. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada keterbagian melalui

pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan tepat.

8. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada ketidaksamaan

(ketaksamaan) melalui pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan

baik.

Sikap yang akan dikembangkan dalam pembelajaran kali ini :

1. Percaya diri

2. Komunikatif

3. Cermat

4. Kritis dan,

5. Kreatif


132

D. Materi Pembelajaran

Fakta

1. Dalam induksi matematika 𝑛 dimisalkan sebagai bilangan asli

2. Penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga 𝑛, dengan 𝑛 bilangan asli

dituliskan sebagai berikut 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛

Konsep

1. Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajian-

kajian atau fakta yang valid.

2. Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan

membuktikan suatu jenis pernyataan matematis. dengan mengasumsikan

𝑃(𝑛) sebagai pernyataan bilanan asli yang benar

Prinsip

1. Misalkan 𝑃(𝑛) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan 𝑃(𝑛)

benar jika memenuhi langkah berikut ini:

a. Langkah awal (Basic Step): 𝑃(1) benar.

b. Langkah Induksi (Induction Step): Jika 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1)

benar, untuk setiap 𝑘 bilangan asli.

2. Jika salah satu dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi oleh suatu

pernyataan 𝑃(𝑛), maka 𝑃(𝑛) salah, untuk setiap 𝑛 bilangan asli.

Prosedur

1. Langkah – langkah merancang formula yang memenuhi pola bilangan

berhingga.

2. Langkah-langkah menemukan suatu konsep/prinsip/sifat yang berlaku

umum atas konsep/prinsip/sifat yang berlaku khusus. Pola seperti itu sering

disebut prinsip induksi matematika.

3. Langkah-langkah merancang suatu formula sedemikian sehingga formula

tersebut dapat menentukan semua suku-suku barisan bilangan tersebut.

4. Langkah-langkah menunjukkan bahwa suatu formula bilangan asli

memenuhi prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian.

5. Langkah-langkah menunjukkan bahwa suatu formula bilangan asli

memenuhi prinsip induksi matematika pada konsep ketidaksamaan

(ketaksamaan).

E. Pendekatan, Model dan Metode Pembelajaran

Pendekatan pembelajaran : Scientifik

Model pembelajaran : Discovery Learning (Penemuan)

Metode Pembelajaran : Diskusi, tanya jawab, ceramah dan penugasan

F. Media dan Alat/Bahan

1. Media Pembelajaran :

a. LKPD

b. PPT

2. Alat Pembelajaran:

a. Spidol

b. Papan tulis

c. Proyektor

d. Layar LCD


133

G. Sumber Belajar

1. Buku guru : Matematika SMA kelas XI Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan Edisi Revisi 2017

2. Buku siswa : Matematika SMA kelas XI Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan Edisi Revisi 2017

H. Langkah-Langkah Pembelajaran

Pertemuan 1 (2 x 45 menit)

Indikator:




matematika




kebenaran formula.

Kegiatan Pembelajaran

Alokasi

Waktu

Pendahuluan 10 menit

Guru:

Orientasi Spiritual dan Sosial:

1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran

2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan

perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku, peggaris,

pensil dan pulpen siswa.

3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali kegiatan

pembelajaran

Pemberian Acuan:

1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas pada

pembelajaran kali ini.

2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan hari ini.

3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang akan

dibahas pada pembelajaran kali ini.

Motivasi

1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk membangkitkan

semangat belajar

2. Guru memberi motivasi siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan

aplikasi Induksi Matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan memberi

contoh.

3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai yaitu

menjelaskan dan menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis

berupa barisan dengan induksi matematika

Apersepsi


134

1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep

Induksi matematika

2. Guru memberikan beberapa pengantar tentang penalaran induksi dalam

kehidupan sehari, melalui kegiatan atau pengalaman siswa

yang menggunakan prinsip induksi matematika. Misalnya, ilustrasi

susunan n domino yang berukuran sama dan berjarak sama.

3. Siswa diajak berimajinasi tentang yang akan terjadi jika domino pertama

dijatuhkan ke arah domino kedua dan seterusnya

4. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati

5. Siswa diajak untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal suatu

pola barisan

Inti 70 menit

1. Stimulation (stimulasi/pemberi rangsangan)

a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang disajikan

guru

b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa juga mengamati

masalah 1.1,masalah 1.2 dan masalah 1.3 dari buku teks.

2. Pertanyaan/identifikasi masalah)

a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan

terkait masalah tersebut.

3. Data Collection (pengumpulan data)

a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk

menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada

masalah tersebut, sehingga siswa dapat memahami proses pembuktian

bentuk Barisan.

b. Siswa berdiskusi dalam belajar kelompok untuk menalar pembahasan

masalah 1.2 dari informasi yang disajikan pada tabel 1.1.dan

pembahasan masalah 1.3

4. Data Processing(pengolahan data)

a. Setelah Tabel 1.1 tuntas dilengkapi oleh siswa, ajak siswa

memecahkan pola yang terdapat pada:

- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 302

kemudian hitunglah hasilnya.

- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 502

kemudian hitunglah hasilnya.

- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga n2

b. Salah satu siswa perwakilan kelompok yang dipilih secara acak untuk

mempresentasikan hasil pemahan mereka terhadap pembahasan soal

yang sudah diselesaikan.

c. Dengan menggunakan informasi dari tabel 1.1 , siswa diberi

kesempatan untuk menjawab pertanyaan tersebut

d. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang penyelesaian.

e. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari diskusi

kelompok.

f. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang

dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.

5. Verification(pembuktian)

a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan pada

alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.

b. Guru memberikan peneguhan untuk jawaban siswa.


135

6. Generalization(menarik kesimpulan)

a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses pembelajaran

yang telah dilewati.

Catatan: Jika waktu masih tersedia, guru dapat melanjutkan

pembelajaran dengan latihan soal terkait notasi sigma kemudian

melanjutkan dengan uji kompetensi 1.1

Penutup 10 menit

a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa yang

telah dipelajari dan disimpulkan

b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan

mempelajari pada sumber yang lain.

c. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan

berikutnya yaitu pembuktian bentuk Keterbagian sesuai prinsip

induksi Matematika.

d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat


Indikator:




matematika




kebenaran formula.


Alokasi

Waktu


Guru:







pembelajaran

Pemberian Acuan:






Motivasi


semangat belajar


136

2. Guru memberi motivasi siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan

aplikasi Induksi Matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan memberi

contoh.

3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai yaitu

menjelaskan dan menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis

berupa barisan dengan induksi matematika

Apersepsi

1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep

Induksi matematika

2. Guru mereview secara singkat materi notasi sigma

3. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati

4. Siswa diajak untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal suatu

pola barisan

Inti 50 menit


a. Siswa mengamati soal dari tampilan power poin yang disajikan guru


masalah 1.4contoh 1.4 dari buku teks.







masalah tersebut, sehingga siswa dapat memahami proses pembuktian

bentuk Barisan.

b. Siswa berdiskusi dalam belajar kelompok untuk menalar pembahasan

masalah 1.4 dan contoh 1.4 dari informasi yang disajikan


a. Salah satu siswa perwakilan kelompok yang dipilih secara acak untuk

mempresentasikan hasil pemahan mereka terhadap pembahasan soal

yang sudah diselesaikan.

b. Dengan menggunakan informasi dari masalah 1.4, siswa diberi

kesempatan untuk menjawab pertanyaan tersebut

c. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang penyelesaian.

d. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari

diskusi kelompok.

e. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang









Penutup 10 menit



b. Guru memberikan tugas kelompok kepada siswa


137

c. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan


d. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan

berikutnya yaitu pembuktian bentuk Keterbagian sesuai prinsip

induksi Matematika.

e. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat


Indikator:

3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi

matematika




Alokasi

Waktu


Guru:







pembelajaran

4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang ditemukan dalam

menyelesaikan tugas. Kemudian meminta siswa yang sudah mencoba

menjelaskannya didepan, jika tidak ada yang bisa maka guru menjelaskan

pembahasan masalah tersebut.

5. Mengingatkan siswa untuk duduk dalam kelompok yang sudah ditetapkan

sebelumnya

Pemberian Acuan:






Motivasi


semangat belajar

Apersepsi

1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya menggunakan Prinsip

Induksi Matematika dalam menyelesaikan permasalahan keterbagian.

2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi

sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada barisan.

3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis,

siswa diajak memecahkan masalah teka teki potogan gambar (purzle) yang

ditampilkan dari slide power poin

Teka teki puzzle: Albert Einstein, Stephen Hawkin, dan BJ Habibie

(Memotivasi mereka untuk belajar)


138


Alokasi

Waktu

Inti 70 menit


a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang disajikan

guru


contoh 1.5 dan 1.6 dari buku siswa.




b. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan maka guru

mengajukan pertanyaan–pertanyaan kepada siswa untuk mengetahui

pemahaman siswa




masalah tersebut, sehingga siswa dapat dapat memahami pola yang

diberikan pada masalah

b. Guru mengkoordinir kelompok belajar agar setiap informasi yang telah

dikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota kelompok.

c. Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip induksi

matematika.


a. Siswa secara berkelompok diminta untuk menyelesaikan persoalan

tersebut dengan memanfaatkan prinsip induksi matematika

b. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan penyelesaian.

c. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari diskusi

kelompok.

d. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang









Penutup 10 menit



b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan


c. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan

berikutny yaitu pembuktian bentuk Ketidaksamaan sesuai prinsip

induksi Matematika.



Indikator:


139

3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip

induksi matematika




Alokasi

Waktu


Guru:




perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku,

peggaris, pensil dan pulpen siswa.


pembelajaran

4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang ditemukan

dalam menyelesaikan tugas. Kemudian meminta siswa yang sudah

mencoba menjelaskannya didepan, jika tidak ada yang bisa maka

guru menjelaskan pembahasan masalah tersebut.

5. Mengingatkan siswa untuk duduk dalam kelompok yang sudah

ditetapkan sebelumnya

Pemberian Acuan:




3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang

akan dibahas pada pembelajaran kali ini.

Motivasi

1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk

membangkitkan semangat belajar

Apersepsi

1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya menggunakan

Prinsip Induksi Matematika dalam menyelesaikan permasalahan

keterbagian.

2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi

sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada barisan dan

keterbagian.

3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir

kritis, siswa diajak memecahkan masalah teka teki potogan gambar

(purzle) yang ditampilkan dari slide power poin

Teka teki puzzle:Mother Teresa, R.A Kartini (Memotivasi mereka

untuk belajar)

Inti 70 menit


a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang

disajikan guru

b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa diminta

mengamati dan berdiskusi pada contoh 1.7 , contoh 1.8 , dan

contoh 1.9


140


a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-

pertanyaan terkait masalah tersebut.

b. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan maka guru

mengajukan pertanyaan–pertanyaan kepada siswa untuk

mengetahui pemahaman siswa


a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta

untuk menemukan dan mengumpulkan informasi yang

ditemukan pada masalah tersebut, sehingga siswa dapat dapat

memahami pola yang diberikan pada masalah

a. Guru mengkoordinir kelompok belajar agar setiap informasi

yang telah dikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota

kelompok.

b. Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip

induksi matematika.


a. Siswa secara berkelompok diminta untuk menyelesaikan

persoalan tersebut dengan memanfaatkan prinsip induksi

matematika

b. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan

penyelesaian.

c. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari

diskusi kelompok.

d. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal

yang dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.


a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan

pada alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.



a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses

pembelajaran yang telah dilewati.

Penutup 10 menit

a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa

yang telah dipelajari dan disimpulkan

b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi

dengan mempelajari pada sumber yang lain.

c. Guru mengingatkan siswa untukbelajar lebih mendalam dan

mengerjakan latihan-latihan induksi matematika..



141


Indikator:



3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip

induksi matematika

3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip

induksi matematika

3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan

prinsip induksi matematika


kebenaran formula suatu barisan bilangan.


kebenaran formula.






Alokasi

Waktu


Guru:



2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk

menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan,

misalnya buku, peggaris, pensil dan pulpen siswa.

3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali

kegiatan pembelajaran

4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang

ditemukan dalam menyelesaikan tugas. Kemudian meminta

siswa yang sudah mencoba menjelaskannya didepan, jika

tidak ada yang bisa maka guru menjelaskan pembahasan

masalah tersebut.

Pemberian Acuan:

1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas

pada pembelajaran kali ini.

2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan

hari ini.

3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran

yang akan dibahas pada pembelajaran kali ini.

Motivasi

1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk

membangkitkan semangat belajar

Apersepsi

1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya

menggunakan Prinsip Induksi Matematika dalam kehidupan

sehari-hari.

2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan

materi sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada

barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.


142

3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan

berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah teka teki

potogan gambar (purzle) yang ditampilkan dari slide power

poin

Teka teki puzzle: Foto-foto siswi di kelas (Memotivasi

mereka untuk belajar)

Inti 70 menit

a. Guru membimbing siswa membentuk kelompok secara

heterogen, masing-masing kelompok terdiri dari 4-5

orang.

b. Guru menampilkan soal lewat powerpoint dan meminta

siswa secara berkelompok berdiskusi mengerjakan soal-

soal tersebut.

c. Guru meminta masing-masing kelompok

menyampaikan hasil diskusi di depan kelas.

d. Selama presentasi, kelompok lain diberikan kesempatan

memberi pertanyaan atau pendapatnya.

e. Guru memberi penilaian hasil kerja kelompok dan di

tulis di papan tulis.

f. Guru memberikan reward kepada siswa dan kelompok

yang memperoleh skor tertinggi.

Penutup 10 menit

a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru

menayangkan apa yang telah dipelajari dan

disimpulkan

b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi

dengan mempelajari pada sumber yang lain.

c. Guru mengingatkan siswa untuk belajar

mempersiapkan diri sebelum ulangan harian pada

pertemuan selanjutnya.

d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan

semangat.

LAMPIRAN

1. Uraian Materi

MATERI PEMBELAJARAN

A. Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah cara dalam membuktikan bahwa sebuah

pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan

cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka

pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.

Contoh 1

Misalkan akan dibuktikan

1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

2

Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli,

langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:


143

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali

bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1+1)

2. Jadi pernyataan tersebut

adalah benar untuk n = 1

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka

pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.

Hal ini bisa dilakukan dengan cara:

- Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu

1 + 2 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)

2

- Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu

1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =𝑘(𝑘 + 1)

2+ (𝑘 + 1)

- Dengan menggunakan manipulasi aljabar, diperoleh

𝑘(𝑘 + 1)

2+ (𝑘 + 1) =

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2=

(𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)

2

- Dengan demikian

1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)

2

- Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan

tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Secara formal Induksi Matematika ini bisa didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai

pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan

1. P(1) benar.

2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar. Sehingga

P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 untuk

setiap n = 1, 2, ....

1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 benar untuk 𝑛 = 1. Jelas sekal bahwa

1! = 1 ≥ 1 = 20 = 21−1.

2. Asumsikan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 adalah benar unuk 𝑛 = 𝑘. Akan ditunjukkan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 juga benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1yaitu

(𝑘 + 1)! ≥ 2(𝑘+1)−1.

(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1)𝑘! ≥ (𝑘 + 1)2𝑘−1

≥ 2. 2𝑘−1

= 21+(𝑘−1)

= 2(𝑘+1)−1

Terbukti bahwa (𝑘 + 1)! ≥ 2(𝑘+1)−1. Jadi terbukti bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 untuk setiap 𝑛 = 1,2, …

Contoh 3


144

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5𝑛 − 1 dapat dibagi

4 untuk setiap n= 1, 2, ...

1. Akan ditunjukkan bahwa 5𝑛 − 1 habis dibagi 4 untuk 𝑛 = 1. Jelas sekali

bahwa 51 − 1 = 5 − 1 = 4 habis dibagi 4.

5k+1 = 5. 5k − 1

= (1 + 4). 5𝑘 − 1

= 5𝑘 + 4. 5𝑘 − 1

= 5𝑘 − 1 + 4. 5𝑘

Berdasarkan asumsi 5𝑘 − 1 habis dibagi 4. Sedangkan 4. 5𝑘 juga habis dibagi

4. Dengan demikian 5𝑘+1 − 1 habis dibagi 4. Jadi terbukti bahwa 5𝑛 −1 dapat dibagi 4 untuk setiap n= 1, 2, ...

B. Keterbagian

Definisi 2.1 Suatu bilangan bulat q habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p ≠ 0 jika ada suatu

bilangan bulat x sehingga q = px

Notasi p | q dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, atau q kelipatan dari

p

p Q q dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p,

atau q bukan kelipatan dari p

Contoh 2.1 6 | 18 sebab ada bilangan bulat 3 sehingga 18 = 6.3

12 Q 15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 12.x

5 | -30 sebab ada bilangan bulat -6 sehingga -30 = 5.(-6)

-4 | 20 sebab ada bilangan bulat 5 sehingga 20 = (-4).5

Berdasarkan definisi 2.1 diatas jelas bahwa faktor-faktor suatu bilangan bisa

merupakan bilangan bulat positif atau merupakan bilangan bulat negatif. Dengan

demikian, faktor-faktor dari:

6, adalah 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, dan -6

15, adalah 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, dan -15

Beberapa sifat sederhana keterbagian adalah :

1 | p untuk setiap p Î Z

p | 0 untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0

p | p untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0

Jika p | q, maka kemungkinan hubungan antara p dan q adalah p < q, p = q,

atau p > q (misalnya 3 | 6, 3 | 3, atau 3 | -3)

C. Ketidaksamaan atau Ketaksamaan

Ketidaksamaan dinotasikan dengan

1. < (lebih Kecil

2. ≤ ( lebih kecil atau sama dengan))

3. > ( lebih besar)

4. ≥ ( lebih besar atau sama dengan)

Tanda di atas digunakan untuk membuat suatu batasan terhadap nilai suatu

variable

Contoh:


145

1. X < 5, artinya nilai x selalu lebih kecil dari 5

2. X ≤ 3, artiya nilai x selalu lebih kecil atau sama dengan

3. X ≥ 8

Sifat-sifat

1. Arti sebuah ketidaksamaan idak akan berubah apabila tiap-tiap

ruas/sisi ditambah atau dikurangi dengan bilangan nyata yang sama

𝑎 > 𝑏 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

𝑎 − 𝑏 > 𝑐 2. Arti sebuah ketidaksamaan tidak berubah apabila tiap-tiap sisi

dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

a. 𝑎 > 𝑏 dan 𝑘 > 0 𝑘𝑎 > 𝑘𝑏

b. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 > 0 𝑎

𝑘<

𝑏

𝑘

3. Arti sebuah ketidaksamaan berubah apabila tiap-tiap sisi dikalikan atau

dibagi dengan blangan negatif yang sama

a. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 < 0 𝑘𝑎 < 𝑘𝑏

b. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 < 0 𝑎

𝑘<

𝑏

𝑘

4. Apabila 𝑎 > 𝑏 dan 𝑎, 𝑏, 𝑛 adalah positif, maka 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛

Contoh:

5 < 3, maka53 > 33 𝑎𝑡𝑎𝑢 125 > 27

Tetapi 5−3 > 3−3 atau 1

125<

1

27

5. Apabila 𝑎 < 𝑏 dan a,b adalah negatif, dan n adalah positif genap, maka

𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 Contoh:

−5 < −3, maka−52 > −32 atau 25 > 9

6. Apaila 𝑎 < 𝑏 dan 𝑎, 𝑏 adalah negatif, 𝑛 adalah posiif ganjil maka 𝑎𝑛 <𝑏𝑛 Contoh:

−5 < −3, maka −53 < −33 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 125 < −27

7. Apabila 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 > 𝑑, maka (𝑎 + 𝑐) > (𝑏 + 𝑑)

Contoh:

−4 > −10dan5 > 3 maka (−4 + 5) > (−10 + 3)

8. Apaila 𝑎 > 𝑏 > 0 dan 𝑐 > 𝑑 > 0, maka 𝑎𝑎 > 𝑎𝑎

Contoh:

5>4>0 dan 3 > 2 > 0, maka 5.4 > 4.2

9. Penggabungan dua bilangan

Dua bilangan ketidaksamaan dapat digabung dengan kata

“dan”atau“atau”

“dan”artinya irisan pertidaksamaan I dan II harus memenuhikeduanya

“atau”artinya salah satu dipenuhi (gabungan)

Contoh: x < 5 dan x ≥ 3,maka irisannya

Contoh:


146

1. X < 5 dan x ≥ 3, maka irisannya:

2. X < 5 atau x > 7, maka …………….

D. Penerapan Induksi Matematika Dalam Kehidupan Sehari-Hari

1. Masalah : Mengambil nominal uang yang diinginkan melalui ATM.

Solusi : Menentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang

kita ambil melalui ATM

2. Masalah : Menyusun keping domino

Solusi : Menggunakan teori induksi matematika dalam menyusun

domino

3. Masalah : Memasang ubin/keramik didalam ruangan

Solusi : Menggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan

pemasanganubin

2. Media Pembelajaran

Pertemuan 1


147


148

Pertemuan 2


149


150


151

Pertemuan 3


152


153

Pertemuan 4


154


155

Pertemuan 5


156

3. LKPD

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Dengan pengalaman belajar yang kamu peroleh dari pembelajaran,

selesaikan soal-soal di bawah ini!

1. Buktikan bahwa 2+4+6+ . . . +2n = n2 + n untuk n bilangan asli

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan berikut ini

benar untuk n bilangan asli.

3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

∑ 𝒌. 𝟑𝒌𝒏𝒌=𝟏 =

(𝟐𝒏−𝟏).𝟑𝒏+𝟏+𝟑

𝟒 berlaku untuk setiap n bilanga asli

4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku

∑ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 + … + 𝒏𝟑 = [𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐]𝒏

𝒊=𝟏

5. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku

∑ 𝒊𝟒 = 𝒊𝟒 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟒 + … + 𝒏𝟒 =𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟔𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟏)

𝟑𝟎

𝒏

𝒊=𝟏

Nama No. Absen

................................................................... ..............

................................................................... ..............

................................................................... ..............


157

LEMBAR KERJA PESERTA DIDK

1. Rancang formula pada pola barisan berikut ini dan

tentukan suku ke 50 barisan tersebut.

a. 5,13,21,29,37,45,....

b. 6,15,30,51,78,111,....

2. Buktikan 𝒏𝟑 − 𝒏 habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan

asli.

3. Buktikan bahwa 𝟕𝒏 − 𝟐𝒏 habis dibagi 5 untuk etiap n

bilangan asli.

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

1. Buktikan untuk setiap bilangan asli 𝒏 ≥ 𝟒 berlaku 𝟑𝒏 < 𝟐𝒏!

2. Buktikan bahwa jika n ∈ 𝑵 , maka n > 0

3. Buktikan bahwa Pn : 𝟐𝒏 > 𝑛 + 20 bernilai benar untuk

setiap bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝟓

Nama No. Absen

................................................................... ..............

................................................................... ..............

................................................................... ..............

Nama No. Absen

................................................................... ..............

................................................................... ..............

................................................................... ..............


158

4. Instrumen Penilaian

1. Prosedur Penilaian : Pengamatan, tes tertulis No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian

1 Sikap

a. Bekerjasama dalam

kegiatan kelompok

b. Bertanggung jawab

dalam menyelesaikan

tugas sesuai aturan

c. Teliti dalam

menerapkan konsep

dan proses kabataku .

Pengamatan

Jurnal

Selama pembelajaran

dan saat diskusi

2 Pengetahuan

a.Menemukan kembali

Prinsip Induksi

Matematika

b.Menentukan hal-hal

yang berkaitan dengan

Induksi Matematika

Tes tertulis

Tes lisan,

Penugasan

Penyelesaian tugas

individu dan kelompok

3 Ketrampilan

a.Terampil menjelaskan

dan menggunakan

prinsip Induksi

Matematika dalam

pembuktian.

b.Terampil menggunakan

prinsip Induksi

Matematika dalam

pembuktian pada

masalah yang terdapat

dalam kehidupan sehari-

hari

Proyek

Dalam bentuk

rubrik skala

penilaian

Penyelesaian tugas

individu atau kelompok

dan saat diskusi


a. Penilaian sikap

Jurnal No Hari/

Tanggal

Jam Nama Kejadian/

Tingkah laku

Positif/

Negatif

Tindak

lanjut

Selasa/

16 Juli 2019

10.00 Alif Membuang

sampah

sembarangan

Negatif Diberi

peringatan

( nasehat )

Observasi No Nama

siswa

Aspek perilaku yang dinilai Jumlah

skor

Rata-

rata

Kode

Ingin

tahu

Jujur Disiplin Tanggung

jawab

Bekerja

sama

1.

Dst

Keterangan:


159

1. Rentang skor masing masing sikap dari 1.00 sampai dengan 4.00

2. jumlah skor = jumlah skor seluruh kriteria

3. Rata-rata = jumlah skor seluruh kriteria dbagi banyaknya kriteria

4. Kode nilai/predikat

3.25 – 4.00 = SB (Sangan baik)

2.50 – 3.24 = B (Baik)

1.75 – 2.49 = C (Cukup)

1.00 - 1.74 = K (Kurang)

Penilaian Diri No Pernyataan Ya Tidak Jumlah

skor

Rata-rata Kode

1. Selama diskusi saya mengusulkan

ide kepada kelompuk untuk

didiskusikan

2. Ketika kami berdiksusi, tiap orang

diberi kesempatan mengusulkan

sesuatu

3. Semua anggota kelompok kami

melakukan sesuatu selama kegiatan

4. Kami semua melaksanakan tugas

seperti arahan guru

5. Selama kerja kelompok, saya

mendengarkan orang lain


mengajukan pertanyaan


mengorganisasi ide-ide saya

Keterangan:

1. Skor penilaian Ya = 100 dan Tidak = 50

2. Skor maksimal = jumlah pernyataan dikalikan jumlah kriteria = 7

x 100 = 700

3. Rata-rata = (jumlah skor dibagi skor maksimal dikali 100)

4. Kode nilai / predikat :

75,01 – 100,00 = SB (Sangat Baik)

50,01 – 75,00 = B (Baik)

25,01 – 50,00 = C (Cukup)

00,00 – 25,00 = K (Kurang)

Penilaian Teman Sebaya No Pernyataan Ya Tidak Jumlah

skor

Rata-rata Kode

1. Teman saya berkata benar dan apa

adanya kepada orang lain

2. Teman saya mentaati peraturan yang

telah disepakati

3. Teman saya bertutur kata yang sopan

dengan orang lain


160

No Pernyataan Ya Tidak Jumlah

skor

Rata-rata Kode

4. Teman saya bersikap ramah kepada

orang lain

5. Teman saya menolong teman yang

sedang mengalami kesulitan

6. Teman saya mau menerima pendapat

orang lain

7. Teman saya memberikan solusi terhadap

permasalahan

8. Teman saya memaksakan pendapat

sendiri kepada anggota kelompok

9. Teman saya marah saat diberi kritik

Keterangan:

1. Skor penilaian Ya = 100 dan Tidak = 50 untuk pernyataan yang

positif, sedangkan untuk pernyataan yang negatif, Ya = 50 dan

Tidak = 100

2. Skor maksimal = jumlah pernyataan dikalikan jumlah kriteria = 9

x 100 = 900

3. Rata-rata = (jumlah skor dibagi skor maksimal dikali 100)

4. Kode nilai / predikat :

75,01 – 100,00 = SB (Sangat Baik)

50,01 – 75,00 = B (Baik)

25,01 – 50,00 = C (Cukup)

00,00 – 25,00 = K (Kurang)


161

b. Penilaian Pengetahuan

Tugas Kelompok No Soal Pembahasan Skor

1. Buktikan

dengan induksi

matematika

bahwa

persamaan

berikut ini

dengan benar

untuk n

bilangan asli. 1

1.2.3+

1

2.3.4

+1

3.4.5+ …

+1

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

=𝑛(𝑛 + 3)

4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

25


162

No Soal Pembahasan Skor

2. Temukan

formula jumlah

deret bilangan

berikut ini

2+7+12+22+ . .

. +(5n-3)

Buktikan

dengan induksi

matematika

bahwa

persamaan

tersebut benar.

25


163


3. Diberikan

barisan

bilangan asli.

3,5,8,12,17,23,

30,38, . . .

Selidiki suatu

formula yang

memenuhi pola

barisan

tersebut.

25


164


4. Buktikan

dengan induksi

matematika

baha persamaan

tersebut benar.

12 + 32 + 52

+ …+ (2𝑛 − 1)2

=𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)

3

25

Tugas Mandiri Online

Secara mandiri, fotolah contoh-contoh penerapan induksi

matematika dalam kehidupan sehari-hari dan posting hasil anda

di instagram dengan men-tag instagram @alexandd16 dan

hastag #induksimatematikastero serta jangan lupa jelaskan

hubungan gambar anda dengan induksi matematika

Catatan: Hasil gambar yang baik mempengaruhi nilai anda.


165

Tugas Mandiri No Soal Pembahasan Skor

1. Buktikan bahwa

7𝑛 − 2𝑛 habis dibagi

5 untuk setiap n

bilangan asli

25

2. Buktikan 4n < 2𝑛

berlaku untuk semua

bilangan bulat positif

n ≥ 5

25


166

Rubrik Penilaian Tugas Skor 25 Jika siswa mampu menjawab seluruh langkah-langkah dengan runtut,

jelas/tepat sesuai dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian

pengetahuan

Skor 20 Jika siswa mampu menjawab seluruh langkah-langkah dengan runtut, jelas

dan mendekati indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan

Skor 15 Jika siswa mampu menjawab sebagian langkah-langkah dengan runtut,

jelas dan mendekati indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan

Skor 10 Jika siswa menjawab seluruh langkah-langkah tetapi tidak runtut dan tidak

terlalu jelas/tepat dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian

pengetahuan

Skor 5 Jika siswa menjawab sebagian langkah-langkah tetapi tidak terlalu

jelas/tepat dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan

Skor 3 Jika siswa menjawab tidak sesuai dengan indikator soal pada kisi-kisi

penilaian pengetahuan

Skor 0 Jika siswa tidak menjawab satupun pertanyaan yang diberikan

Penentuan Nilai

Nilai = Skor yang diperoleh

skor maksimum 𝑥 100

Ulangan Harian

Ulangan Harian Induksi Matematika

Nama : ...............................

Kelas : ...............................

No presensi : ...............................

Kerjakan soal berikut dengan lengkap dan benar.

1. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :3 + 7 + 11 +15 + 19 + ⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1).

2. Apakah 4007n − 1 habis dibagi 2003 untuk semua n bilangan asli?

3. Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan 2n − 3 < 2n−2 untuk bilangan

bulat n ≥ 5.

Kunci jawaban :

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku:3 + 7 + 11 + 15 + 19 +⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1).

Jawaban

Langkah awal :

Untuk n = 1 bernilai benar, maka :

(4n − 1) = n(2n + 1)

(4 ∙ 1 − 1) = 1(2 ∙ 1 + 1)

(4 − 1) = 1(2 + 1)

3 = 1(3) 3 = 3

Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.

Langkah induksi :

Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1)


167

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4k − 1) = k(2k + 1)

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4k − 1)

= 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4(k + 1) − 1)

= k(2k + 1) + (4k + 4 − 1)

= (2k2 + k) + (4k + 4 − 1)

= 2k2 + 5k + 3

= (k + 1)(2k + 3)

= (k + 1)(2k + 2 + 3)

= (k + 1)(2(k + 1) + 1)

Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.

Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan tersebut bernilai benar.

Apakah 4007n − 1 habis dibagi 2003 untuk semua n bilangan asli?

Jawaban

Langkah awal :


4007n − 1 = 2003m

40071 − 1 = 2003m

4007 − 1 = 2003m

4006 = 2003m 4006

2003= m

m = 2


Langkah induksi :


4007n − 1 = 2003m

4007k − 1 = 2003m

4007k = 2003m + 1


4007k+1 − 1

= (4007k ∙ 4007) − 1

= (2003m+1)4007 – 1

= 8026021m + 4007-1

= 8026021m + 4006

= 2003(4007m + 2)



Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan 2n − 3 < 2n−2 untuk bilangan bulat n ≥ 5

Jawaban

Langkah awal :


2n − 3 < 2n−2

2 ∙ 1 − 3 < 21−2


168

2 − 3 < 2−1

−1 <1

2


Langkah induksi :


2n − 3 < 2n−2

2k − 3 < 2k−2


2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3 < (2k − 3) + 2

< 2k−2 + 2k−2

< 2 ∙ 2𝑘−2

< 21+k−2

< 2(k+1)−2



Kriteria penskoran masing – masing nomor :

Keterangan Skor

Terdapat langkah yang salah. 4

Setiap langkah benar.

Jawaban salah. 6


Jawaban benar. 8


Jawaban benar.

Terdapat kesimpulan.

10

Skor final (Skor total siswa)

3× 10

Kode nilai :

< 60 : D (Kurang) 70 – 74 : B (Baik)

60 – 69 : C (Cukup) 85 – 100 : A (Sangat baik)

c. Penilaian Keterampilan No Aspek yang dinilai Skala Skor

( 0 – 100 )

1. Penguasaan materi diskusi

2. Kemampuan menjawab pertanyaan

3. Kemampuan mengolah kata

4. Kemampuan menyelesaikan masalah

5. Kesesuaian respon dengan pertanyaan

6. Keserasian pemilihan kata

7. Kesesuaian penggunaan tata bahasa

8. Pelafalan

Jumlah skor


169

Keterangan:

1. Rentang skor masing masing sikap dari 0 sampai dengan 100

2. jumlah skor = jumlah skor seluruh kriteria

3. Rata-rata = jumlah skor seluruh kriteria dbagi banyaknya kriteria

4. Kode nilai/predikat

80 – 100 = SB (Sangan baik)

70 – 79 = B (Baik)

60 – 69 = C (Cukup)

50 – 59 = K (Kurang)


170

Lampiran 7. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Sekolah : SMA Stella Duce 2 Yogyakarta

Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XI MIPA 2 / Ganjil

Materi Pokok : Induksi Matematika

Alokasi Waktu : 5 × 2 JP

A. Kompetensi Inti

KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2 : Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong

royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro – aktif

sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam

berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta

menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3 : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa

ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan

humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,

dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta

menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik

sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di

sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta

mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar dan Indikator

No Kompetensi Dasar Indikator

3.1

Menjelaskan metode

pembuktian pernyataan

matematis berupa

barisan, ketidaksamaan,

keterbagian dengan

induksi matematika

Pertemuan ke – 1 , ke – 2 3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian

untuk pernyataan matematis.

3.1.2 Menguraikan pengertian metode

pembuktian langsung, tak langsung,

kontradiksi, dan induksi matematika.

Pertemuan ke – 3 , ke – 4 , ke – 5 3.1.3 Menggunakan induksi matematika

untuk membuktikan barisan

matematika.


171

No Kompetensi Dasar Indikator

3.1.4 Menggunakan induksi matematika

untuk membuktikan keterbagian

matematika.

3.1.5 Menggunakan induksi matematika

untuk membuktikan ketidaksamaan

matematika.

4.1

Menggunakan metode

pembuktian induksi

matematika untuk

menguji pernyataan

matematis berupa

barisan, ketidaksamaan,

keterbagian

Pertemuan ke – 3 , ke – 4 , ke – 5

4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang

berkaitan dengan induksi matematika

4.1.2 Menyajikan penyelesaian

permasalahan yang berkaitan dengan

induksi matematika.

Sikap yang dikembangkan:

Setelah mengikuti rangkaian kegiatan pembelajaran siswa dapat

mengembangkan sikap :

1. Kejujuran

2. Kedisiplinan

3. Daya juang

C. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa mampu menjunjung tinggi kejujuran, memiliki sikap disiplin selama

pembelajaran, serta memiliki daya juang.

2. Dengan pengamatan, siswa mampu menyebutkan 4 macam metode

pembuktian untuk pernyataan matematis.

3. Dengan berdiskusi, siswa mampu menguraikan perngertian metode

pembuktian langsung, tak langsung, kontradiksi, dan induksi matematika

dengan tepat.

4. Dengan berdiskusi dan berlatih, siswa mampu menggunakan induksi

matematika untuk membuktikan barisan matematika.


matematika untuk membuktikan keterbagian matematika.


matematika untuk membuktikan ketidaksamaan matematika.

7. Dengan berlatih, siswa mampu menyelesaikan permasalahan yang

berkaitan dengan induksi matematika dengan tepat.

8. Dengan berlatih, siswa mampu menyajikan pernyelesaian permasalahan

yang berkaitan dengan induksi matematika dengan tepat.

D. Materi Pembelajaran

1. Induksi matematika

a. Metode pembuktian langsung dan tidak langsung

b. Metode pembuktian kontradiksi

c. Induksi matematika

2. Fakta

a. Permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika


172

3. Konsep

a. Barisan

b. Keterbagian

c. Ketidaksamaan

4. Prosedur

a. Metode pembuktian induksi matematika

E. Pendekatan, Model, Metode, dan Teknik Pembelajaran

Pendekatan : saintifik

Model pembelajaran :

Pertemuan ke – 1 dan ke – 2 : Contextual Learning

Pertemuan ke – 3 : Discovery Learning

Pertemuan ke – 4 dan ke – 5 : Cooperative Learning

Metode pembelajaran : diskusi, ceramah, tanya jawab, pemberian tugas

F. Media dan Alat / Bahan

Media / Alat :

Lembar Kerja Peserta Didik Materi presentasi

Lembar observasi Laptop dan proyektor

Lembar penilaian Papan tulis dan penggaris

Bahan : Spidol

G. Sumber Pembelajaran

1. Buku Matematika Kelas XI (Siswa dan Guru) Kur 2013 Revisi 2017

Kemdikbud

2. Internet :

a. Induksi Matematika Soal.

Terdapat di : https://www.zenius.net/c/5372/induksi-matematika-soal

b. Membuktikan Rumus dengan Induksi Matematika.

Terdapat di : https://www.zenius.net/blog/13735/induksi-matematika

c. 25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika.

Terdapat di :

https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-

pembahasan-induksi-matematika/5/


173

H. Langkah – Langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Ke – 1 ( 2 × 45 menit)

Indikator :

3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian untuk pernyataan matematis.

3.1.2 Menguraikan pengertian metode pembuktian langsung, tak langsung,


Tahapan Kegiatan Pembelajaran

Alokasi

Waktu

egiatan

awal

Orientasi

30 menit

a Guru mengucapkan salam dan menyiapkan

bahan pembelajaran.

b Guru memeriksa kehadiran siswa

Pemberian Acuan

a

Guru memberitahu rencana pembelajaran,

indikator ketercapaian, dan sumber belajar lain

pada siswa.

b Guru mengajak siswa membuat aturan selama

pembelajaran.

Apersepsi

a Guru mengajak siswa mengingat kembali

materi pada pertemuan sebelumnya.

b Guru bersama siswa membahas tugas dari

pertemuan sebelumnya.

Kegiatan

inti

Invitasi – Berpikir Kritis

45

menit

a Guru memberikan suatu kasus mengenai

notasi sigma.

b Guru meminta siswa untuk mengerjakan

kasus yang ada.

c Guru memberikan pengertian notasi sigma

Eksplorasi – Kolaborasi

a Guru membimbing siswa untuk

menemukan sifat dari notasi sigma.

Penjelasan dan Solusi – Komunikasi

a Guru memastikan siswa memahami materi

yang baru saja dipelajari.

Pengambilan Tindakan – Berpikir Kritis

a Guru memberikan kesimpulan.


a Guru memberikan sebuah pernyataan dan

meminta siswa mencermatinya.

Eksplorasi – Komunikasi


174

a

Guru meminta siswa menyebutkan cara

yang dapat digunakan untuk membuktikan

kebenaran dari pernyataan tersebut.

b Guru bersama siswa menyebutkan 4 macam

metode pembuktian pernyataan.

c

Guru membimbing siswa untuk

menemukan pengertian metode pembuktian

langsung, tidak langsung, dan kontradiksi.

Penjelasan dan Solusi – Kreativitas

a

Guru bersama siswa menyelesaikan

permasalahan dengan metode pembuktian

langsung, tidak langsung, dan kontradiksi.

b Guru memastikan siswa memahami materi

yang telah dipelajari.


a Guru mengajak siswa mencari kesimpulan.

Kegiatan

penutup

Guru bersama siswa merangkum dan

menyimpulkan materi pada pertemuan hari ini.

15

menit

Guru memberi apresiasi dan refleksi dari

pertemuan hari ini.

Guru memberi arahan mengenai pertemuan

selanjutnya yaitu mengenai metode pembuktian.

Guru mengucapkan salam dan mengakhiri

pertemuan dengan meminta salah satu siswa

memimpin doa.

Pertemuan Ke – 2 ( 2 × 45 menit)

Indikator :

3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian untuk pernyataan matematis.

3.1.2 Menguraikan pengertian metode pembuktian langsung, tak langsung,


Tahapan Kegiatan Pembelajaran Alokasi

Waktu

Kegiatan

awal

Orientasi

15

menit

a Guru mengucapkan salam dan memeriksa

kehadiran siswa.

Pemberian Acuan

a Guru menyampaikan indikator pembelajaran

pada pertemuan ini.

b Guru memberitahu rencana pembelajaran pada

siswa.

Apersepsi


materi sebelumnya.


175

Kegiatan

inti


60

menit

a Guru menayangkan beberapa ilustrasi pada

slide presentasi.

b

Guru meminta siswa untuk mengamati dan

mencari hubungan antar ilustrasi bersama

teman di sebelahnya.

Eksplorasi – Kreativitas, Berpikir Kritis

a Guru mengajak siswa mencari contoh lain yang

sesuai dengan ilustrasi sebelumnya.

b Guru mengenalkan induksi matematika kepada

siswa.

Penjelasan dan Solusi – Komunikasi, Kreativitas

a

Guru bersama siswa memecahkan

permasalahan yang akan menuntun siswa

menemukan prinsip induksi matematika.

b

Guru mengajak siswa menyelesaikan sebuah

permasalahan dengan prinsip induksi

matematika

c

Guru memberikan soal latihan kepada siswa

dan meminta beberapa siswa menuliskan

jawaban di papan tulis.


a Guru mengajak siswa mengkritisi jawaban yang

ada di papan tulis.

b Guru bersama siswa memberikan kesimpulan.

c Guru memberikan tugas mandiri kepada siswa

dan menjelaskan teknis pengumpulan.

Kegiatan

penutup

Guru bersama siswa merangkum dan menyimpulkan

materi pada pertemuan hari ini.

15

menit

Guru memberi apresiasi dan refleksi dari pertemuan

hari ini.


selanjutnya yaitu mengenai induksi matematika.

Guru mengucapkan salam dan mengakhiri

pertemuan dengan meminta salah satu siswa

memimpin doa.


Indikator :

3.1.3 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan barisan

matematika.

3.1.4 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan keterbagian

matematika.

4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika.

4.1.2 Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan induksi

matematika.


176


Waktu

Kegiatan

awal

Orientasi

10 menit


bahan pembelajaran.

Pemberian Acuan


pada pertemuan ini.


siswa.

Apersepsi

a Guru bersama siswa membahas tugas dari

pertemuan sebelumnya.

b Guru mengajak siswa mengingat kembali


Kegiatan

inti

Simulasi

70 menit

a Guru memberikan suatu permasalahan yang

ditayangkan pada slide presentasi.

b

Guru mengenalkan penerapan induksi

matematika yakni pada barisan, keterbagian,

dan ketaksamaan.

c Guru bersama siswa mencari solusi dari

permasalahan yang ada.

Identifikasi Masalah – Berpikir Kritis

a Guru memastikan siswa dapat memahami

materi dengan baik.

b Guru memberikan latihan yang dapat

dikerjakan siswa dengan berdiskusi.

Pengumpulan Data – Kolaborasi

a Guru meminta siswa menuliskan jawaban

di papan tulis.

b Guru bersama siswa mengkritisi jawaban

yang ada di papan tulis.

Pengolahan Data – Berpikir Kritis

a Guru memberikan permasalahan baru

terkait keterbagian.

b Guru menegaskan perbedaan antara habis

dibagi dan dapat dibagi.

c Guru bersama siswa mencari solusi dari

permasalahan tersebut.

d Guru memberikan soal lain dan meminta

siswa mengerjakannya.

Pembuktian – Komunikasi

a

Guru mengajak siswa mengkritisi jawaban

yang ada di papan tulis.


177

b Guru memberikan peneguhan terhadap

jawaban siswa.

Menarik Kesimpulan – Kreativitas

a Guru mengajak siswa menarik kesimpulan

dari proses yang baru saja dilakukan.

Kegiatan

penutup

Guru bersama siswa merangkum dan

menyimpulkan materi pada pertemuan hari ini. 10

menit Guru memberi apresiasi dan refleksi dari

pertemuan hari ini.


selanjutnya yaitu mengenai penerapan induksi

matematika.

Guru mengucapkan salam.


Indikator :


matematika.

3.1.5 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan ketaksamaan

matematika.

4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi

matematika.Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan

dengan induksi matematika.


Waktu

Kegiatan

awal

Orientasi

10

menit


bahan pembelajaran.

Pemberian acuan


pada pertemuan ini.


siswa.

Apersepsi



b Guru menayangkan sebuah permasalahan pada

slide presentasi

Kegiatan

inti

Menyampaikan tujuan dan motivasi

70

menit

a Guru memberikan waktu pada siswa untuk

mencermati permasalahan yang ada.

b Guru memberikan motivasi pada siswa.

Menyajikan informasi

a Guru bersama siswa menyelesaikan

permasalahan.

b Guru memastikan siswa memahami materi.


178

Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok

belajar – Kolaborasi

a Guru memberikan soal latihan kepada siswa

dengan berdiskusi.

Membimbing kelompok bekerja dan belajar –

Berpikir Kritis, Komunikasi

a Guru berkeliling untuk melihat dan membantu

siswa mengerjakan latihan.

Evaluasi

a Guru memberi siswa kesempatan untuk

menuliskan hasil diskusinya di papan tulis.

b Guru bersama mengkritisi jawaban dan menarik

kesimpulan.

Pemberian penghargaan

a Guru memberikan apresiasi pada siswa yang

telah aktif.

b Guru memberikan motivasi kepada siswa

terlebih yang belum aktif.

c Guru memberikan tugas kelompok kepada

siswa.

Kegiatan

penutup



10

menit

Guru memberi refleksi dari pertemuan hari ini.


selanjutnya yaitu mengenai latihan penerapan

induksi matematika.



Indikator :

3.1.3 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan barisan

matematika.


matematika.

3.1.5 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan

matematika.

4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika.

4.1.2 Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan induksi

matematika.


Waktu

Kegiatan

awal

Orientasi

10

menit


bahan pembelajaran.

Pemberian acuan


pada pertemuan ini.


179


siswa.

Apersepsi



b Guru menayangkan sebuah permasalahan

dalam slide presentasi.

Kegiatan

inti

Menyampaikan tujuan dan motivasi

65

menit

a Guru meminta salah satu siswa untuk menjawab

pertanyaan.

Menyajikan informasi

a

Guru bersama siswa menuliskan hal – hal yang

telah dipelajari terlebih dalam materi penerapan

induksi matematika.

Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok

belajar

a Guru meminta siswa berkumpul dalam

kelompoknya.

b Guru memberi amplop berisi soal kepada

masing – masing kelompok.

c Guru memberitahu teknis pembelajaran.

Membimbing kelompok bekerja dan belajar

a Siswa membuka amplop pertama dan

mengerjakan dalam kelompok.

b

Amplop kedua akan dibuka setelah soal

pertama dapat dipecahkan, begitupun

seterusnya.

Evaluasi

a Guru menunjuk perwakilan kelompok untuk

menuliskan jawaban di depan kelas.

b Guru bersama siswa mengkritisi jawaban di

papan tulis.

c Guru bersama siswa mengevaluasi kegiatan

yang baru saja dilakukan.

Pemberian penghargaan

a Guru memberi apresiasi atas partisipasi siswa.

Kegiatan

penutup



15

menit


selanjutnya yaitu UH.

Guru meminta siswa menuliskan refleksi selama

pembelajaran induksi matematika.



180

I. Penilaian Hasil Belajar

Aspek No. Indikator Teknik

Penilaian

Bentuk

Instrumen

Pengetahuan

3.1.1 Menyebutkan metode

pembuktian untuk

pernyataan matematis.

Tes tulis

Lembar

proyek,

Lembar

soal tugas,

Lembar

ulangan

harian

3.1.2 Menguraikan pengertian

metode pembuktian

langsung, tak langsung,

kontradiksi, dan induksi

matematika.

3.1.3 Menggunakan induksi

matematika untuk

membuktikan barisan

matematika.


matematika untuk

membuktikan keterbagian

matematika.


matematika untuk

membuktikan

ketidaksamaan

matematika.

Keterampilan

4.1.1 Menyelesaikan

permasalahan yang

berkaitan dengan induksi

matematika Tes tulis,

Proyek

Lembar

proyek,

Lembar

soal tugas,

Lembar

ulangan

harian

4.1.2 Menyajikan penyelesaian

permasalahan yang

berkaitan dengan induksi

matematika.

Sikap

1. Kejujuran

Observasi Lembar

observasi 2. Kedisiplinan

3. Daya juang

J. Lampiran

1. Uraian Materi

a. Notasi sigma

Notasi sigma adalah sebuah simbol yang digunakan untuk menyatakan

penjumlahan berurutan suatu bilangan yang memiliki pola tertentu.

Notasi sigma dapat dituliskan menjadi :


181

∑ Ui

n

i=1

Dengan :

i : Indeks penjumlahan

i = 1 : Batas bawah penjumlahan

i = n : Batas atas penjumlahan

Ui : Rumus sigma

Notasi sigma memiliki beberapa sifat sebagai berikut :

∑ Ui

n

i=1

= U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un

∑ Ui

n

i=1

= ∑ Uk

n

k=1

∑ K

n

i=1

= nK, dengan K adalah konstanta

∑ KUi

n

i=1

= K ∑ Ui

n

i=1

∑ Ui ± Vi

n

i=1

=

∑ Ui

n

i=1

+ ∑ Vi

n

i=1

∑ Ui

n

i=1

= ∑ Ui+1

n−1

i=0

= ∑ Ui−1

n+1

i=2

∑ Ui

n

i=1

=

∑ Ui

m

i=1

+ ∑ Ui

n

i=m+1

, dimana 1 < m < n

∑ Ui

n

i=m

= ∑ Ui−p

n+p

i=m+p

= ∑ Ui+p

n−p

i=m−p

∑(Ui + Vi)2

n

i=1

=

∑ Ui2

n

i=1

+ 2 ∑ UiVi

n

i=1

+ ∑ Vi2

n

i=1

∑(Ui − Vi)2

n

i=1

=

∑ Ui2

n

i=1

− 2 ∑ UiVi

n

i=1

+ ∑ Vi2

n

i=1

b. Metode pembuktian pernyataan


182

i. Langsung

Memiliki alur maju dengan syarat pernyataan sebelumnya harus

benar.

Contoh :

Jika x adalah bilangan ganjil dan y adalah bilangan ganjil,

maka x + y adalah bilangan ganjil.

Bukti :

x adalah bilangan genap, maka x = 2n

y adalah bilangan ganjil, maka y = 2m + 1

sehingga didapat :

x + y = 2n + (2m + 1)

= (2n + 2m) + 1

= 2 (n + m) + 1

= 2k + 1 dengan k = n + m

= bilangan ganjil

Maka terbukti bahwa jika x adalah bilangan genap dan y

adalah bilangan ganjil, maka x + y adalah bilangan ganjil.

ii. Tidak langsung

Pembuktian tidak langsung disebut juga kontraposisi yang

memiliki alur mundur yang dilakukan dengan menegasi

pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya.

Pembuktian ini memanfaatkan logika matematika yaitu :

Jika p benar maka q benar, maka jika q salah (bukan q), didapat p

salah (bukan p).

Contoh :

Bila n adalah bilangan bulat dan 7n + 9 adalah bilangan

genap, maka n adalah bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan :

Pernyataan p = 7n + 9 adalah bilangan genap

Pernyataan q = n adalah bilangan ganjil

Dengan kontraposisi, akan dibuktikan bahwa jika n bukan

bilangan ganjil maka 7n + 9 bukan bilangan genap.

Pada pernyataan q jika n bukan bilangan ganjil maka n adalah

bilangan genap yang dapat dituliskan menjadi n = 2k,

Maka pernyatan p menjadi:

7n + 9 = 7 (2k) + 9

= 14k + 9

= 14k + (8 + 1)

= (14k + 8) + 1

= 2 (7k + 4) + 1

= 2a + 1 dengan a = 7k + 4

= bilangan ganjil

= bukan bilangan genap

Maka terbukti bahwa bila n adalah bilangan bulat dan 7n + 9

adalah bilangan genap, maka n adalah bilangan ganjil.


183

iii. Kontradiksi

Kontradiksi termasuk dalam metode pembuktian tidak langsung,

metode ini memanfaatkan logika matematika yang berbunyi :

Jika p maka q bernilai benar padahal q salah, maka p salah.

Contoh :

Bila n adalah bilangan genap maka 7n + 9 adalah bilangan

ganjil.

Bukti :

Misalkan :

Pernyataan p = n adalah bilangan genap

Pernyataan q = 7n + 9 adalah bilangan ganjil

Dengan kontradiksi, kita misalkan bahwa kita akan menegasi

pernyataan p sehingga pernyataan p berbunyi n bukan bilangan

genap. Hal ini sama artinya dengan n adalah bilangan ganjil

yang dapat ditulis menjadi n = 2k + 1

Maka pernyatan q dapat ditulis menjadi:

7n + 9 = 7 (2k + 1) + 9

= (14k + 7) + 9

= 14k + (7 + 9)

= 14k + 16

= 2 (7k + 8)

= 2a dengan a = 7k + 8

= bilangan genap

= bukan bilangan ganjil

Terjadi kontradiksi atau ketidak sesuaian bunyi pada

pernyataan q sehingga permisalan n bukan bilangan genap

salah. Maka terbukti bahwa bila n adalah bilangan genap maka

7n + 9 adalah bilangan ganjil.

iv. Induksi matematika

Pembuktian ini dapat melihat apakah pernyataan yang disediakan

berlaku untuk semua kasus, induksi matematika menggunakan

penalaran deduktif dimana jawabannya sudah pasti dapat

digunakan dan tidak ada generalisasi.

Prinsip I induksi matematika :

1. Langkah awal

Suatu pernyataan P(n) akan dibuktikan kebenarannya

dengan membuktikan bahwa P(1) bernilai benar.

2. Langkah induksi

Jika n = 1 bernilai benar, maka kita mengasumsikan

bahwa n = k bernilai benar.

Setelah itu harus dibuktikan bahwa n = k + 1 juga

bernilai benar.

Jika semua langkah sesuai, maka pernyataan P(n)

bernilai benar.


184

Prinsip II induksi matematika :

Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan

pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n0.

1. Langkah awal

Suatu pernyataan P(n) akan dibuktikan kebenarannya

dengan membuktikan bahwa P(n0) bernilai benar.

2. Langkah induksi

Kita mengasumsikan bahwa untuk k ≥ n0 maka P(k)

bernilai benar.

Setelah itu harus dibuktikan bahwa P(k + 1) juga

bernilai benar.

Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.

Contoh :

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2 untuk semua

bilangan bulat n ≥ 1.

Bukti :

Langkah dasar :

Ketika n = 1 didapatkan hasil :

Sn = 12

Sn = 12

Terbukti bahwa n = 1

Langkah induksi

Asumsikan bahwa n = k benar, maka :

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2

Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) = k2 Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka

berdasarkan yang diketahui:

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1)

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 2 − 1)

Sk+1 = k2 + 2k + 1

Sk+1 = (k + 1)2

Maka terbukti bahwa rumus tersebut benar untuk semua

bilangan bulat n ≥ 1.

c. Induksi matematika

i. Barisan

Contoh :

Diberikan barisan bilangan asli 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … Rancang formula barisan di atas, dan ujilah kebenaran formula

tersebut dengan induksi matematika.

Formula :

Ingat materi persamaan linear dua variabel, maka dapat kita

petakan semua suku ke dalam bidang cartesius.


185

Tampak jelas bahwa pemetaan masing – masing suku

membentuk grafik garis lurus, sehingga dapat kita misalkan

bahwa un = an + b. Sehingga didapatkan hasil :

Ketika n = 1 maka u1 = a + b = 2

Ketika n = 2 maka u2 = 2a + b = 9

Dengan melakukan proses eliminasi dan substitusi kita

dapat menemukan nilai dari a dan b, yaitu a = 7 dan

b = −5.

Maka didapatkan formula un = 7n − 5

Bukti :

Langkah dasar :


un = 7n − 5

u1 = 7 − 5

u1 = 2

Terbukti bahwa n = 1 benar.

Langkah induksi :


un = 7n − 5

uk = 7k − 5

Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka


2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 = 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 , 7(k + 1) − 5 = 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 , 7k + 2

Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika n = k + 1

bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus tersebut benar

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.


186

ii. Keterbagian

Istilah yang sering digunakan dalam keterbagian adalah :

Istilah Contoh Simbol

Habis dibagi 15 habis dibagi 3 15 = 3a

Habis membagi 3 habis membagi 6 3b = 6

Faktor 2 faktor dari 10 2c = 10

Kelipatan 9 kelipatan 3 9 = 3d

Contoh :

Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa

5n − 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Bukti :

Langkah dasar :


5n − 1 = 51 − 1

5n − 1 = 4

Terlihat bahwa 4 habis dibagi 4, maka terbukti bahwa n =1 benar.

Langkah induksi :

Semua bilangan yang habis dibagi 4 dapat dituliskan

menjadi 4m.


5n − 1 = 4m

5k − 1 = 4m

Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka


5k − 1 = 4m

5k+1 − 1 = (5k ∙ 5) − 1

5k+1 − 1 = ((4 + 1) ∙ 5k) − 1

5k+1 − 1 = (4 ∙ 5k) + 5k − 1

5k+1 − 1 = (4 ∙ 5k) + 4m

5k+1 − 1 = 4 ∙ (5k + m)

5k+1 − 1 = 4 ∙ b dengan b = 5k + m

Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika n = k + 1

bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus tersebut benar

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.


187

iii. Ketidaksamaan

Ketidaksamaan adalah sebuah tanda yang digunakan untuk

membuat suatu batasan terhadap nilai sebuah variabel.

Ketidaksamaan dapat juga disebut ketaksamaan yang dinotasikan

dengan :

Kurang dari < Lebih kecil

Lebih dari > Lebih besar

Kurang dari atau sama dengan ≤ Lebih kecil atau sama dengan

Maksimal

Lebih dari atau sama dengan ≥ Lebih besar atau sama dengan

Minimal

Contoh :

Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa

12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3

3 untuk semua bilangan bulat

positif n.

Bukti :

Langkah dasar :


n2 >n3

3

12 >13

3

1 >1

3

Terbukti bahwa n = 1 benar.

Langkah induksi :


12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3

3

12 + 22 + 32 + ⋯ + k2 >k3

3

Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, sehingga:

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3

3

Maka berdasarkan yang diketahui:

12 + 22 + 32 + ⋯ + k2 >k3

3


188

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3

3+ (k + 1)2

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3

3+

3(k + 1)2

3

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3 + 3(k2 + 2k + 1)

3

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3 + 3k2 + 6k + 3

3

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3 + 3k + 2

3

12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3

3+

3𝑘 + 2

3

Padahal terlihat bahwa

(k + 1)3

3+

3k + 2

3>

(k + 1)3

3

Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika

n = k + 1 bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus

tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.


189

3. Media Pembelajaran

a. Pertemuan ke – 1


190


191

b. Pertemuan ke – 2


192

c. Pertemuan ke – 3


193

d. Pertemuan ke – 4


194

e. Pertemuan ke – 5


195

4. Lembar Kerja Peserta Didik

a. LKS I : Notasi Sigma

Lembar Kerja Peserta Didik

Notasi Sigma

Tuliskan dalam bentuk penjumlahan!

∑ i2 − 6

7

𝑖=3

= _______________________________________________

∑(5k − 4)2

5

𝑘=1

= _______________________________________________

Tuliskan dalam bentuk notasi!

1 + 4 + 7 + … + 28 = ___________________________________

2 + 5 + 7 + 11 + … + 75 = ____________________________


196

b. LKS II : Prinsip Induksi Matematika


Induksi Matematika

Temukan nilai kebenarannya!

A. Untuk setiap rumusan P(n) yang diberikan, tentukan masing –

masing P(n + 1) :

P(n) =5

n(n + 1)

P(n) =n2(n − 1)2

4

B. Carilah nilai kebenaran pernyataan berikut dengan induksi

matematika : Sn = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 + ⋯ + n ∙ 2n = 2[1 + (n − 1)2n]

Sk =1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+

1

4 ∙ 5+ ⋯ +

1

(k + 1)(k + 2)=

k

2(k + 2)

c. LKS III : Penerapan Induksi Matematika (Barisan)


Penerapan Induksi Matematika Barisan

Kerjakan soal di bawah ini dengan benar.

1. Apakah 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n3 bernilai benar untuk

semua bilangan bulat positif n ≥ 1?

2. Apakah 1 + 2 + 3 + ⋯ + n =2n(n+1)

2 bernilai benar untuk

semua bilangan bulat positif n ≥ 1?

3. Buktikan kebenaran formula dari barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, …

4. Apakah 1

1∙2∙3+

1

2∙3∙4+

1

3∙4∙5+ ⋯ +

1

n(n+1)(n+2)=

n(n+3)

4(n+1)(n+2)

bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n?

d. LKS IV : Penerapan Induksi Matematika (Keterbagian)


Penerapan Induksi Matematika : Keterbagian

Kerjakan soal di bawah ini dengan tepat.

1. Apakah 4n2 − n adalah kelipatan 3?

2. Apakah 32n − 1 habis dibagi 5 untuk bilangan bulat positif n >5 ?

3. Apakah xn − 1 habis dibagi oleh x − 1 dengan x ≠ 1 dan n

bilangan asli?

4. Apakah salah satu faktor dari 22n−1 + 32n−1 adalah 5 untuk

bilangan bulat positif n?

5. Apakah 41n − 14n adalah kelipatan 27?


197

e. LKS V : Penerapan Induksi Matematika (Ketidaksamaan)


Penerapan Induksi Matematika : Ketidaksamaan

Kerjakan soal di bawah ini dengan tepat.

1. Apakah 1

√1+

1

√2+

1

√3+ ⋯ +

1

√n> √n bernilai benar untuk semua

bilangan bulat positif n ≥ 2?

2. Apakah 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n − 1)2 <n(n+1)

2 bernilai benar

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1?

3. Diberikan a > 1, buktikan bahwa an > 1 dengan n bilangan asli.

4. Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa

1 +1

22+

1

32+

1

42+ ⋯ +

1

n2≤ 2 −

1

n

5. Tugas terstruktur

a. Tugas mandiri

Tugas 1

Petunjuk :

1. Mencari nilai kebenaran dari pernyataan di bawah dengan induksi

matematika.

2. Pilih 2 soal yang akan dikerjakan.

3. Tugas dapat dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman namun

dilarang untuk menyalin jawaban.

4. Tugas dikumpulkan pada hari Sabtu, 28 Juli 2019 maksimal

pukul 18.00 WIB.

5. Pengumpulan tugas dilakukan dengan mengirim hasil pekerjaan

ke grup whatsapp yang tersedia.

Soal :

1. n2 − n + 41 merupakan bilangan ganjil semua bilangan bulat

positif n.

2. Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :

1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

3. Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :

P(n) = 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n − 1)2 =n(2n − 1)(2n + 1)

3

b. Tugas kelompok

Tugas 2

Petunjuk :

1. Tugas dikerjakan secara berkelompok

2. Tugas dikumpulkan pada hari Sabtu, 3 Agustus 2019 antara pukul

18.00 – 19.00 WIB.

3. Pengumpulan tugas dilakukan dengan mengirim hasil pekerjaan

ke grup whatsapp yang tersedia dengan nama file : no kel_Tugas

2.


198

Soal :

1. Apakah persamaan berikut bernilai benar :

∑2i − 1

2i−1= 6 −

2n + 3

2n−1

n

i=1

2. Apakah 3 merupakan salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n untuk

semua n bilangan asli?

3. Apakah untuk setiap bilangan asli n > 6 akan berlaku:

n! > 3n ?

Tugas 3

Soal :


∑ i3 = [n(n + 1)

2]

2

?

n

i=1


∑(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)

3 ?

n

i=1

3. Apakah n2 − n + 41 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat

positif n?

4. Apakah 3 merupakan faktor dari 22n+1 + 1 ?

5. Carilah nilai kebenaran dari 3n < n3 untuk semua bulat positif

n ≥ 4.

6. Apakah ketika bilangan bulat n ≥ 5 akan memenuhi

pertidaksamaan 2n − 3 > 2n−1 ?

c. Ulangan harian

ULANGAN HARIAN

INDUKSI MATEMATIKA

Petunjuk : 1. Kerjakan soal yang ditampilkan di layar presentasi dengan urut

dan lengkap. 2. Diperbolehkan menggunakan pensil.

3. Dilarang menggunakan alat bantu hitung, catatan, dan saling

meminjam alat tulis.

4. Tidak diperbolehkan menggunakan correction tape cair dan

kertas.

Kerjakan soal berikut dengan lengkap dan benar.

1. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku:

3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n

2. Apakah 4007n + 1 habis dibagi 2004 untuk semua n bilangan

asli?

3. Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan (n + 1)2 < 2n2

untuk bilangan bulat n ≥ 3.


199


a. Observasi Sikap

PENILAIAN SIKAP SISWA

No Nama Sikap

Total

Skor

Skor

Final Spiritual Sosial

Catatan :

1. Indikator tiap aspek:

Aspek Indikator

Kejujuran

Menyampaikan sesuatu sesuai dengan

keadaan sebenarnya.

Tidak mencontek pekerjaan teman.

Berani mengakui kesalahan.

Kedisiplinan

Tepat waktu dalam mengumpulkan tugas.

Tidak meninggalkan kelas ketika pelajaran

berlangsung.

Mematuhi aturan yang telah disepakati

bersama.

Daya juang

Tidak mudah menyerah dalam mengerjakan

tugas.

Mau keluar dari zona nyaman.

Tidak terpengaruh lingkungan dan

berpendirian kuat.

2. Aspek masing – masing kategori :

Aspek Skor

Spiritual Kejujuran 1 = Kurang

2 = Cukup

3 = Baik

4 = Sangat baik Sosial

Kedisiplinan

Daya juang


200

3. Nilai final:

8 – 13 : D (Kurang) 20 – 25 : B (Baik)


b. Pengetahuan

1. Tugas 1 mandiri

Kunci jawaban :

Buktikan bahwa n2 − n + 41 merupakan bilangan ganjil

semua bilangan bulat positif n.

Jawaban

Langkah awal :


n2 − n + 41 = 12 − 1 + 41

= 41

41 adalah bilang ganjil, maka terbukti bahwa untuk

n = 1 bernilai benar.

Langkah induksi :


n2 − n + 41

=k2 − k + 41


n2 − n + 41

= k2 − k + 41

= (k + 1)2 − (k + 1) + 41

= (k2 + 2k + 1) − k − 1 + 41

= (k2 − k + 41) + 2k

Terlihat bahwa k2 − k + 41 bilangan ganjil.

2k bilangan genap.

Maka hasil penjumlahan keduanya adalah bilangan ganjil.


Maka, dapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar.

Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :

1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + n(n + 1) =n(n+1)(n+2)

3

Jawaban


201

Langkah awal :


n(n + 1)(n + 2)

3 =

1(1 + 1)(1 + 2)

3

=1(2)(3)

3

= 2


Langkah induksi :


1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)

=k(k + 1)(k + 2)

3


1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)

= 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)

+ (k + 1)[(k + 1) + 1]

= 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)

+ (k + 1)(k + 2)

=k(k + 1)(k + 2)

3+ (k + 1)(k + 2)

=k

3(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)

= (k

3+ 1) (k + 1)(k + 2)

= (k + 1)(k + 2) (k

3+ 1)

= (k + 1)(k + 2) (k + 3

3)

=(k + 1)(k + 2)(k + 3)

3

=(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)

3


Maka dapat disimpulkan bahwa rumus di atas bernilai benar.

Untuk semua bilangan bulat positif n. Berlaku:

P(n) = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² =n(2n−1)(2n+1)

3

Jawaban

Langkah awal :



202

n(2n − 1)(2n + 1)

3

=1(2 ∙ 1 − 1)(2 ∙ 1 + 1)

3

=3

3

= 1


Langkah induksi :


P(n) = 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n – 1)2

=n(2n − 1)(2n + 1)

3

P(k) = 12 + 32 + 52 ± ⋯ + (2k – 1)²

=k(2k − 1)(2k + 1)

3


12 + 32 + 52 + ⋯ + (2k – 1)2

+ (2(k + 1) − 1)2

=k(2k − 1)(2k + 1)

3+ (2(k + 1) − 1)2

=k(2k − 1)(2k + 1)

3+ (2k + 2 − 1)2

=k(2k − 1)(2k + 1)

3+

3(2k + 1)2

3

=k(2k − 1)(2k + 1)

3+

3(2k + 1)(2k + 1)

3

=(2k2 − k)(2k + 1)

3+

(6k + 3)(2k + 1)

3

=((2k2 − k) + (6k + 3))(2k + 1)

3

=(2k2 + 5k + 3)(2k + 1)

3

=(2k + 3)(k + 1)(2k + 1)

3

=(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)

3

=(k + 1)(2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1)

3


Maka dapat disimpulkan bahwa aturan bernilai benar.


203


Keterangan Skor

Langkah tidak sesuai. 5

Jawaban belum selesai. 10 – 17

Jawaban benar, kurang

lengkap. 18

Jawaban benar, lengkap. 19

Jawaban benar, lengkap.

Terdapat kesimpulan. 20

Skor final

(Skor total siswa)

4× 10

Kode nilai :

< 60 : D (Kurang)

60 – 69 : C (Cukup)

70 – 74 : B (Baik)

85 – 100 : A (Sangat baik)

2. Tugas 2 kelompok

Kunci jawaban : Apakah persamaan berikut bernilai benar:

∑2i − 1

2i−1= 6 −

2n + 3

2n−1

n

i=1

Jawaban

Langkah awal :


2i − 1

2i−1= 6 −

2n + 3

2n−1

(2 ∙ 1) − 1

21−1= 6 −

(2 ∙ 1) + 3

21−1

2 − 1

20= 6 −

2 + 3

20

1

1= 6 −

5

1

1 = 1


Langkah induksi :



204

Sn = 6 −2n + 3

2n−1

Sk = 6 −2k + 3

2k−1


Sk+1 = Sk + Uk+1

Sk+1 = 6 −2k + 3

2k−1 +

2(k + 1) − 1

2(k+1)−1

Sk+1 = 6 −2k + 3

2k−1 +

2k + 2 − 1

2k

Sk+1 = 6 −2(2k + 3)

2k +

2k + 1

2k

Sk+1 = 6 −4k + 6

2k +

2k + 1

2k

Sk+1 = 6 +−2k − 5

2k

Sk+1 = 6 −2k + 5

2k

Sk+1 = 6 −2(k + 1) + 3

2(k+1)−1


Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa

persamaan tersebut bernilai benar.

Apakah 3 merupakan salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n

untuk semua n bilangan asli?

Jawaban

Langkah awal :


n3 + 3n2 + 2n

= 13 + 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1

= 1 + 3 + 2

= 6

Terlihat 3 merupakan faktor dari 6.


Langkah induksi :


n3 + 3n2 + 2n = 3m

k3 + 3k2 + 2k = 3m


205


k3 + 3k2 + 2k

= (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 2(k + 1)

= (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (3k2 + 6k + 3) + (2k

+ 2)

= (k3 + 3k2 + 2k) + (3k2 + 9k + 6)

= 3m + 3(k2 + 3k + 2)

= 3(m + (k2 + 3k + 2))

= 3j


Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa rumus di

atas bernilai benar.

Apakah untuk bilangan asli n > 6 akan berlaku: n! > 3n

Jawaban

Langkah awal :


n! > 3n

7! > 37

7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 > 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

5040 > 2187


Langkah induksi :


n! > 3n

k! > 3k


(k + 1)! = (k + 1) ∙ k!

> (k + 1) ∙ 3k

> 3 ∙ 3k

> 3k+1


Dari pembuktian di atas, diketahui bahwa rumus di atas

bernilai benar.


206


Keterangan Skor



Jawaban benar, kurang

lengkap. 18




Skor final

(Skor total siswa)

6× 10

Kode nilai :

< 60 : D (Kurang)

60 – 69 : C (Cukup)

70 – 74 : B (Baik)


3. Ulangan harian

Kunci jawaban : Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n,

berlaku:

3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n

Jawaban

Langkah awal :


(2n + 1) = n2 + 2n

(2 ∙ 1 + 1) = 12 + (2 ∙ 1)

(2 + 1) = 1 + 2

3 = 3


Langkah induksi :


3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n

3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) = k2 + 2k


3 + 5 + 7 + ⋯ + (2(k + 1) + 1)


207

= 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) + (2(k + 1) + 1)

= 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) + (2k + 2 + 1)

= (k2 + 2k) + (2k + 3)

= (k2 + 2k) + (2k + 2 + 1)

= (k2 + 2k + 1) + (2k + 2)

= (k + 1)2 + 2(k + 1)




Apakah 4007n + 1 habis dibagi 2004 untuk semua n

bilangan asli?

Jawaban

Langkah awal :


4007n + 1 = 2004m

40071 + 1 = 2004m

4007 + 1 = 2004m

4008 = 2004m

4008

2004= m

m = 2


Langkah induksi :


4007n + 1 = 2004m

4007k + 1 = 2004m


4007k+1 + 1

= (4007k ∙ 4007) + 1

= (4007k + 1) ∙ (4007 + 1)

= (2004m) ∙ (4007 + 1)

= 2004 (m ∙ (4007 + 1))

= 2004 p dengan p = m ∙ (4007 + 1)



208



Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan

(n + 1)2 < 2n2 untuk bilangan bulat n ≥ 3.

Jawaban

Langkah awal :


(n + 1)2 < 2n2

(3 + 1)2 < 2 ∙ 32

42 < 2 ∙ 9

16 < 18


Langkah induksi :


(n + 1)2 < 2n2

(k + 1)2 < 2k2


((k + 1) + 1)2

< 2(𝑘 + 1)2

(k + 2)2 < 2(𝑘2 + 2𝑘 + 1)

k2 + 4k + 4 < 2k2 + 4k + 2

(k2 + 2k + 1) + 2k + 3 < 2k2 + 4k + 2

2k2 + 2k + 3 < 2k2 + 4k + 2





Keterangan Skor

Terdapat langkah yang salah. 4


Jawaban salah. 6


Jawaban benar. 8


Jawaban benar. 10


209

Keterangan Skor

Terdapat kesimpulan.

Skor final

(Skor total siswa)

3× 10

Kode nilai : < 60 : D (Kurang)

60 – 69 : C (Cukup)

70 – 74 : B (Baik)


c. Keterampilan (Tugas 3 kelompok)

Kunci jawaban : Apakah persamaan berikut bernilai benar :

∑ i3 = [n(n + 1)

2]

2

?

n

i=1

Jawaban

Langkah awal :


i3 = [n(n + 1)

2]

2

13 = [1(1 + 1)

2]

2

1 = [1(2)

2]

2

1 = [1]2

1 = 1


Langkah induksi :


Sn = [n(n + 1)

2]

2

Sk = [k(k + 1)

2]

2


Sk+1 = Sk + Uk+1


210

Sk+1 = [k(k + 1)

2]

2

+ (k + 1)3

Sk+1 =(k2)(k + 1)2

4+ (k + 1)3

Sk+1 =(k2)(k + 1)2

4+

4(k + 1)(k + 1)2

4

Sk+1 =(k2)(k + 1)2

4+

(4k + 4)(k + 1)2

4

Sk+1 =(k2 + 4k + 4)(k + 1)2

4

Sk+1 =(k + 2)2(k + 1)2

4

Sk+1 =(k + 1)2(k + 2)2

4

Sk+1 = [(k + 1)(k + 2)

2]

2


Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan

tersebut bernilai benar.

Apakah persamaan berikut bernilai benar :

∑(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)

3 ?

n

i=1

Jawaban

Langkah awal :


(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)

3

(2 ∙ 1 − 1)(2 ∙ 1 + 1) =1(4 ∙ 12 + 6)

3

(2 − 1)(2 + 1) =1(4 + 6)

3

(1)(3) =1(10)

3

3 ≠10

3

Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai salah.

Berdasarkan induksi matematika, tidak terbukti bahwa benar. Maka

pernyataan tersebut bernilai salah.


211

Apakah n2 − n + 41 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat

positif n?

Jawaban

Langkah awal :


n2 − n + 41 = 8m

12 − 1 + 41 = 8m

41 = 8m

41

8= m




Apakah 3 merupakan faktor dari 22n+1 + 1 ?

Jawaban

Langkah awal :


22n+1 + 1 = 3m

22∙1+1 + 1 = 3m

23 + 1 = 3m

8 + 1 = 3m

9 = 3m

9

3= m

3 = m

Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai benar.

Langkah induksi :

Diasumsikan benar untuk n = k, maka rumus menjadi :

22n+1 + 1 = 3m

22k+1 + 1 = 3m


22k+1 + 1 = 22(k+1)+1 + 1

= 22k+2+1 + 1

= 22k+1 ∙ 22 + 1

= 22 ∙ 22k+1 + 1

= 4 ∙ 22k+1 + 1


212

= (3 + 1) ∙ 22k+1 + 1

= 3 ∙ 22k+1 + 22k+1 + 1

= 3 ∙ 22k+1 + 3m

= 3(22k+1 + m)

= 3j


Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan

tersebut bernilai benar.

Carilah nilai kebenaran dari 3n < n3 untuk semua bulat positif

n ≥ 4

Jawaban

Langkah awal :


3n < n3

34 < 43

81 < 64




Apakah ketika bilangan bulat n ≥ 5 akan memenuhi

pertidaksamaan 2n − 3 > 2n−1 ?

Jawaban

Langkah awal :


2n − 3 > 2n−1

2 ∙ 5 − 3 > 25−1

10 − 3 > 24

7 > 16





213

Kriteria penskoran :

Keterangan Skor



Jawaban benar, kurang lengkap. 8




Skor final

(Skor total siswa)

6× 10

Kode nilai :

< 60 : D (Kurang) 70 – 74 : B (Baik)



universitas sanata dharma · 2020. 2. 12. · i profil pck (pedagogical content knowledge) calon...

Documents