unit pelajaran 4

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|86 UNIT PELAJARAN 4

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menentukan penentu untuk suatu matriks.

2. Menggunakan kaedah operasi baris pertama dan adjoin untuk mendapatkan matriks songsang.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah matriks melibatkan dua dan tiga anu.

PENGENALAN

alam unit 4, kita akan memfokuskan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear yang

melibatkan dua atau tiga anu. Namun demikian, kita perlulah menguasai bagaimana hendak

mendapatkan matriks songsang dan pada masa yang sama mengenali apa itu penentu. Ini

kerana semua pengetahuan ini diperlukan semasa kita menyelesaikan sistem persamaan linear. Oleh

itu, anda diminta untuk memberikan perhatian yang sepenuhnya. Di samping itu, anda juga diharapkan

dapat memahami kaedah adjoin yang akan anda gunakan untuk menyelesaikan masalah matriks. Unit

ini juga akan menerangkan tentang bagaimana untuk mendapatkan matriks songsang. Setelah semua

D

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|87 ini dikuasai, maka secara tidak langsung anda sudah bersedia untuk menyelesaikan sistem persamaan

linear dengan kaedah matriks.

4.1 APA ITU PENENTU?

Untuk kursus ini, kita akan memfokuskan kepada penentu bagi matriks segiempat sama peringkat 2 x 2

dan peringkat 3 x 3. Penentu bagi suatu matriks A merupakan suatu skalar dan ditandakan sebagai atau det(). Untuk pengetahuan kita semua, jika = !" iaitu matriks peringkat 1 x 1, maka = !" . Lain pula dengan penentu matriks 22 . Cuba kita lihat bagaimana hendak mendapatkan penentu matriks 2 x 2.

Mari kita lihat contoh di bawah ini.

Contoh 4.1

Hitungkan penentu bagi matriks-matriks berikut: a) = 5 b) = 2 13 5 Penyelesaian

a) = 5 b) = 2 5 1 3 = 13

Layari: http://www.analyzemath.com/Tutorial-System-Equations/determinants.html

untuk lebih memahami apa itu penentu.

Takrif. Jika = , maka = .

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|88 Untuk mencari penentu bagi matriks segi empat sama A berperingkat ( > 2), kita perlu tahu bagaimana hendak mendapatkan minor dan kofaktor matriks A. Mudah sahaja untuk mendapatkan

minor dan kofaktor jika kita mengikut prosedur yang diberikan. Perlu diingatkan bahawa ini merupakan

satu kaedah untuk mendapatkan penentu matriks peringkat 3 x 3 dan ke atas.

Minor

Jika = 1 2 34 5 67 8 9 , maka minor-minornya ialah: !! = 5 68 9 = 45 48 = 3 !" = 4 67 9 = 36 42 = 6 Seterusnya anda dikehendaki untuk mendapatkan !" , !" , !! , !" , !" , !" ,!! . Kofaktor

Kofaktor, !" bagi suatu matriks n x n matriks A diberi oleh rumus berikut:

Jika mengikut rumus yang diberikan, tanda-tanda untuk setiap lajur dan baris ialah:

+ + + + + + +

Mari kita lihat kaitan antara minor dan kofaktor sesuatu matriks.

!" = (1)!!! !" = { M!" jika i+ j adalah genapM!" jika i+ j adalah ganjil

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|89

Jadual 4.1 Minor dan kofaktor bag matriks A peringkat 2 x 2

Jadual 4.2 Minor dan kofaktor bagi matriks A peringkat 3 x 3

Untuk contoh matriks dalam Jadual 4.2, terdapat enam minor dan kofaktor lagi yang boleh didapati

melalui cara yang sama.

Matriks Minor Kofaktor !! !" !"!" !! !"!" !" !!

!! = !! !"!" !! = !!!! !"!" !" = !" !"!" !! = !"!! !"!" !" = !" !!!" !" = !"!" !"!!

!! = (1)!!!!! = !! !" = (1)!!!!" = !" !" = (1)!!!!" = !"

Matriks Minor Kofaktor !! !"!" !!

!! = !! !" = !" !" = !" !! = !!

!! = (1)!!!!! = !! !" = (1)!!!!" = !" !" = (1)!!!!" = !" !! = (1)!!!!! = !!

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|90 Cuba kita perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 4.2

Jika = 1 3 34 2 02 7 5 , cari !! ,!" , !! ,!! ,!" , dan !!. Penyelesaian

!! = 2 07 5 = (2)(5) (7)(0) = 10 !" = 3 37 5 = (3)(5) (7)(3) = 6 !! = 1 32 5 = (1)(5) (2)(3) = 11 !! = (1)!!!!! = (1)(10) = 10 !" = (1)!!!!" = (1)(6) = 6 !! = (1)!!!!! = (1)(11) = 11

Penentu matriks 3 x 3 matriks A boleh didapati:

= !! !" !"!" !! !"!" !" !! = !!!! + !"!" + !"!"

atau = !"!" + !!!! + !"!" atau = !"!" + !"!" + !!!!

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|91 Contoh 4.3

Jika = 2 2 01 5 13 4 5 , cari penentu matriks C. Penyelesaian

!! = 5 14 5 = (5)(5) (4)(1) = 21 !! = (1)!!!!! = (1)(21) = 21 !" = 1 13 5 = (1)(5) (3)(1) = 8 !" = (1)!!!!" = (1)(8) = 8 !" = 1 53 4 = (1)(4) (3)(5) = 19 !" = (1)!!!!" = (1)(19) = 19 Oleh itu, penentu matriks C ialah = !!!! + !"!" + !"!"

= (2)(21) + (2)(8) + (0)(19) = 26

1. Bagi setiap matriks berikut, cari semua minor dan kofaktor.

a) 7 15 0

b) 6 43 2

Latihan Formatif 4.1

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|92 c)

2 4 10 3 25 7 0 d)

5 2 14 7 03 4 1 2. Cari penentu untuk matriks-matriks berikut.

a) 7 15 0

b) 6 43 2

c) 2 4 10 3 25 7 0

d) 5 2 14 7 03 4 1

Sifat-sifat penentu

(i) Jika A suatu matriks segiempat sama, maka = ! Sebagai contoh,

= (ii) Jika matriks B diperoleh dengan saling pertukaran antara dua baris atau dua lajur matriks

A, maka = Sebagai contoh,

=


(iii) Jika dua baris (dua lajur) matriks A adalah sama, maka = 0 Sebagai contoh,

= 0 (iv) Jika matriks B diperolehi dengan pendaraban k pada satu baris / lajur matriks A, maka

= Sebagai contoh,

= (v) Jika matriks B diperoleh dengan menambahkan gandaan k satu baris atau lajur kepada

satu baris atau lajur matriks A, maka =

Sebagai contoh,

+ + = (vi) Jika setiap unsur dalam satu baris atau lajur bagi matriks A sifar, maka = 0

Sebagai contoh,

0 0 = 0

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|94 4.2 MATRIKS SONGSANG

Sebelum kita belajar untuk mendapatkan matriks songsang, adalah disarankan agar kita mengulangkaji

apa itu matriks identiti (I). Ini adalah kerana matriks songsang berkait rapat dengannya.

Mari kita kenali sifat-sifat matriks songsang.

(i) Jika !! wujud, maka matriks A disebut matriks tak singular. (ii) Jika !! tak wujud, maka matriks A disebut matriks singular. (iii) ()!! = !!!!. (iv) Jika satu matriks segi empat mempunyai songsangan, maka sonsangannya adalah unik.

(v) Satu matriks A mempunyai songsangan jika dan hanya jika 0. Setelah kita tahu sifat-sifat matriks songsang, mari kita mula mencari matriks songsang. Baik, terdapat

dua kaedah untuk mencari matriks songsang iaitu:

i) Operasi Baris Permulaan

ii) Kaedah Adjoin

Takrif. Jika A dan B ialah matriks , maka B merupakan matriks songsang bagi A (atau B sonsang A) jika dan hanya jika = = . Syaratnya matriks songsang itu wujud dan diwakilkan sebagai !!.

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|95 Operasi Baris Permulaan (OBP)

Terdapat beberapa langkah dalam OBP yang perlu kita lakukan untuk mendapatkan matriks songsang.

Langkah 1

Tuliskan AI dalam bentuk matriks imbuhan.

] Langkah 2

Lakukan operasi baris permulaan terhadap matriks imbuhan sehingga menjadi satu matriks imbuhan

yang baru. ] Matriks B yang diperoleh ialah sonsangan bagi A

] = !!] Cuba kita fokus kepada contoh ini.

Contoh 4.4

Jika = 5 32 1 . Dapatkan songsangan bagi A dengan menggunakan operasi baris permulaan. Penyelesaian

= 5 32 1 1 00 1 5 30 1 1 02 5 5! 2!

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|96 Penerangan: Tugas anda ialah untuk menukarkan 5 32 1 kepada 1 00 1 dengan menggunakan OBP. Paling mudah ialah anda perlu berfikir yang anda akan menyelesaikan persamaan serentak

dengan mengambilkira Baris 1 (B1) dan Baris 2 (B2). Di atas, apa yang telah saya lakukan ialah:

2 perlu diubah kepada 0. Oleh itu, darabkan B1 dengan 2 (2B1) dan B2 dengan 5 (5B2). Selepas itu, kita

jalankan operasi tolak: 5B2 - 2B1 .

B1 x 2 = 10 6 2 0 B2 x 5 = 10 5 0 5 Oleh kerana, 2 (yang perlu diubah kepada 0) berada dalam B2, maka B2 mesti tolak B1 . Dalam kes ini

kita akan lakukan operasi 5B2 - 2B1. Hasilnya ialah: 5 30 1 1 02 5 Perlu diingat bahawa kita hanya menjalankan operasi dalam B2, maka unsur-unsur dalam B2 sahaja

yang berubah. Seterusnya kita akan lakukan perkara yang sama sehingga dapat menukarkan 5 32 1 kepada 1 00 1 . 5 30 1 1 02 5 5 00 1 5 152 5 ! 3!

!5 32 1!1 00 1! Baris 1 Baris 2


5 00 1 5 152 5 1 00 1 1 32 5

1 00 1 1 32 5 1 00 1 1 32 5 Oleh itu, songsangan bagi A ialah

!! = 1 32 5

Kaedah Adjoin

Pertimbangkan suatu matriks = !! !" !"!" !! !"!" !" !! . Adjoin matriks A adalah matriks transposisi yang diperoleh dengan menggantikan setiap unsur !" dengan kofaktor-kofaktornya dan ditandakan sebagai adj(A):

adj() = !! !" !"!" !! !"!" !" !!!

Oleh itu, matriks songsang boleh diperoleh melalui adj(A).

15!

!

Cuba and fikirkan bagaimana kita hendak tentukan bahawa matriks songsang yang kita dapati itu betul atau tidak.

!! = 1 adj()


Perlu kita ambil perhatian bahawa jika penentu, = , maka sonsangan bagi A tidak wujud. Terdapat beberapa langkah yang boleh membimbing kita untuk mendapatkan matriks songsang.

Langkah-langkah tersebut ialah:

Langkah 1

Cari penentu bagi matriks A.

(i) Jika = 0, langkah berikutnya tidak perlu dilakukan. (ii) Jika 0, terus ke langkah 2

Langkah 2

Hitungkan matriks kofaktor bagi !"

Langkah 3

Dapatkan adjoin matriks A dengan melakukan transposisi matriks kofaktor !" , iaitu adj = !" !

Langkah 4

Gantikan hasil langkah 1 - 3 dalam rumus

!! = 1 adj()

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|99 Baik, setelah kita mengetahui langkah-langkah yang perlu dilaksanakan, mari kita cuba buat contoh

yang diberikan.

Contoh 4.5

Diberi = 1 2 31 3 41 4 3 , cari matriks songsang !! menggunakan kaedah adjoin.

Penyelesaian

Langkah 1

Hitung penentu

= 1 3 44 3 2 1 41 3 + 3 3 44 3 = 2 0, terus ke langkah 2

Langkah 2

Hitung kofaktor !" !! = 1 !!! 3 44 3 = 7 !" = 1 !!! 1 41 3 = 1 !" = 1 !!! 1 31 4 = 1 !" = 1 !!! 2 34 3 = 6 !! = 1 !!! 1 31 3 = 0 !" = 1 !!! 1 21 4 = 2 !" = 1 !!! 2 33 4 = 1 !" = 1 !!! 1 41 3 = 1 = 1 !!! 1 21 3 = 1

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|100 !" = 7 1 16 0 21 1 1

Langkah 3

adj = 7 1 16 0 21 1 1! = 7 6 11 0 11 2 1

Langkah 4

!! = 12 7 6 11 0 11 2 1 = 7/2 3 1/21/2 0 1/21/2 2 1/2

1. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut jika wujud menggunakan kaedah Operasi

Baris Permulaan (OBP).

a) 2 41 3 b) 3 24 5 c) 2 44 8 d) 3 16 2 e)

3 1 02 2 00 0 4 f) 2 2 31 1 00 1 4


Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|101 2. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut jika wujud menggunakan kaedah adjoin.

a) 2 41 3 b) 3 24 5 c) 2 44 8 d) 3 16 2 e)

3 1 02 2 00 0 4 f) 2 2 31 1 00 1 4

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Untuk kursus ini, kita akan memfokuskan kepada penyelesaian persamaan linear dua dan tiga anu

menggunakan Petua Cramer dan Kaedah Songsang. Sistem persamaan linear (SPL) boleh ditulis:

!!! + !"+ . . .+!! = ! !"! + !!+ . . .+!! = ! .

.

. !!! + !!+ . . .+!" = ! dengan !" , ! SPL boleh ditulis dalam bentuk matriks iaitu:

Ax = b


Pekali matriks Penyelesaian

Petua Cramer

Untuk menggunakan Petua Cramer, kita mesti pastikan bahawa matriks yang terbentuk daripada sistem

persamaan linear mempunyai matriks songsang. Penyelesaian unik untuk SPL, Ax = b diberi oleh:

Pertimbangkan contoh di bawah ini:

Contoh 4.6

Selesaikan SPL menggunakan Petua Cramer:

3! 2! = 6 5! + 4! = 8 Penyelesaian

Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 3 25 4 !! = 68 Selepas itu, kita akan dapatkan:

! = !!! = ! !!! !! = !"!!"! = 20

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

=

nx

xx

2

1

x

=

mb

bb

b2

1

! = ! untuk = 1, 2, . . . ,

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|103 ! = !!! = ! !!! !! = !"!!"! = 27 Maka, !! = 2027

Contoh 4.7

Selesaikan SPL menggunakan Petua Cramer: ! + ! + 2! = 9 2! + 4! 3! = 1 3! + 6! 5! = 0 Penyelesaian

Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 1 1 22 4 33 6 5 !!! = 910

Selepas itu, kita akan dapatkan: (Cuba lihat kembali Contoh 4.3)

! = !!! = ! ! !! ! !!! ! !!!! = !!!! = 1 ! = !!! = ! ! !! ! !!! ! !!!! = !!!! = 2 ! = !!! = ! ! !! ! !! ! !!! = !!!! = 3 Maka,

= 123

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|104 Kaedah Songsang

Untuk menggunakan Kaedah Songsang, kita perlu mengulangkaji bagaimana mendapatkan matriks

songsang. Juga kita mesti ketahui bahawa:

i. Jika suatu matriks didarabkan dengan songsangannya, hasilnya ialah matriks identiti. I. !! = !! =

ii. Jika suatu matriks didarabkan dengan I, hasilnya ialah matriks itu sendiri.

= = Untuk Kaedah Songsangan, kita perlu fahami langkah-langkah/prosedur berikut bagi mencari

penyelesaian SPL:

= !!() = !! = !! = !! (Kita perlu gunakan rumus ini untuk cari nilai anu)

Nota Penting

Untuk matriks 2 x 2, kita akan gunakan rumus ini untuk mencari songsangannya:

Jika = maka !! = 1 di mana, =

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|105 Mari kita lihat contoh di bawah ini.

Contoh 4.8

Selesaikan SPL menggunakan Kaedah Songsang:

3! 2! = 6 5! + 4! = 8 Penyelesaian

Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 3 25 4 !! = 68 Selepas itu, kita akan dapatkan: = ! Untuk itu, dapatkan matriks songsang, !! (Guna kaedah penentu atau adjoin).

= = (3)(4) (5)(2) = 2 !! = 1

!! = 12 4 25 3 = 2 15 2 3 2

Oleh itu, = ! = 2 15 2 3 2 68 = 12+ 815+ 12 = 2027

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|106 Contoh 4.9

Selesaikan SPL menggunakan Kaedah Songsang: ! + ! + 2! = 9 2! + 4! 3! = 1 3! + 6! 5! = 0 Penyelesaian

Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 1 1 22 4 33 6 5 !!! = 910 Selepas itu, kita akan dapatkan: = ! *Lihat contoh 4.3 untuk dapatkan penentu A,

= 1 *Untuk itu, dapatkan matriks songsang, !! (Guna kaedah OBP atau adjoin).

!! = 2 17 111 11 70 3 2 = 2 17 111 11 70 3 2 910 = 123


1. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Petua Cramer.

a) + 2 = 1, 2 3 = 12 b) 2 3 = 1, 4 + 9 = 4 c) 4 5 = 2, 2 10 = 5 d) 5 + 2 = 7, 2 + 2 = 0, 3 + = 17 e) 2 + 6 4 = 1, 3 2 = 4, 2 + 3 = 7 f) 2 3 + 2 = 3, 3 + 2 + = 1, 4 + 3 = 4

2. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Kaedah Songsang.

a) 2 + 3 = 2, 2 = 8 b) 2 + 5 = 16, 3 7 = 24 c) 3 + 4 = 3, 2 = 4 d) 4 + 3 = 6, 8 + 3 5 = 6, 5 4 = 9 e) + 3 3 = 5, 2 + = 3, + 5 = 4 f) 2 3 + = 2, 3 + 2 = 5, 5 2 + = 0


Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|108 RUMUSAN

Secara keseluruhannya, Matriks II telah menunjukkan kepada kita bahawa salah satu kegunaan matriks

adalah untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear (SPL) dua atau tiga anu. Untuk

mencapai hasrat ini, unit ini telah disusun dengan sebaik-baiknya iaitu bermula dengan mencari

penentu. Ini diikuti dengan mencari matriks songsang menggunakan kaedah operasi baris permulaan

(OBP) atau kaedah adjoin. Contoh-contoh telah kami sertakan untuk memudahkan anda untuk

memahami bagaimana mencari penentu dan juga matriks songsang. Setelah kita menguasai cara

mendapatkan matriks songsang, kita akan maju selangkah lagi dengan mengaplikasi matriks songsang

dalam menyelesaikan masalah SPL. Untuk itu, kami memperkenalkan Petua Cramer dan Kaedah

Songsang untuk membantu anda mencari nilai anu yang dikehendaki. Semoga unit ini dapat membantu

anda untuk lebih mengenali kegunaan matriks.

KATA KUNCI

penentu, operasi baris permulaan, kaedah adjoint, matriks sonsang, sistem persamaan linear


1. Bagi setiap matriks berikut, cari semua minor dan kofaktor.

a) 5 43 2 b) 6 43 2

c) 3 1 24 2 56 3 1 d) 5 4 13 2 72 0 6

2. Cari penentu untuk setiap matriks berikut.

a) 5 43 2 b) 6 43 2

c) 3 1 24 2 56 3 1 d) 5 4 13 2 72 0 6

3. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut jika wujud menggunakan kaedah Operasi

Baris Permulaan (OBP) atau/dan kaedah adjoint.

a) 2 32 1 b) 3 51 4 c)

2 3 40 4 21 1 6 d) 1 3 12 5 03 1 2

4. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Petua Cramer atau/dan Kaedah Songsang.

a) 2 4 = , + 3 = i) = 31 ii) = 25

Latihan Sumatif

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|110 b) 2 + 2 + 3 = , = , + 4 =

i) = 132 ii) = 104

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|111 RUJUKAN

Dugopolski, M. (2009). Algebra for College Students (5th. ed.). New York: McGraw-Hill.

Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and Trigonometry (6th. ed.). Boston: Houghton Mifflin.

Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). College Algebra (6th.ed.). Boston: Houghton Mifflin.

Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2009). College Algebra (5th. ed.). Belmont, CA:

Brooks/Cole, Cengage Learning.

Swokowski, E.W. & Cole, J.A. (2003). Algebra and trigonometry with analytic geometry (I0th. ed.).

Brooks Cole: Pacific Grove.

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|112 JAWAPAN


1. a) !! = 0; !! = 0; !" = 5; !" = 5; !" = 1; !" = 1; !! = 7; !! = 7

b) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 6; !! = 6

c) !! = 14; !! = 14; !" = 10; !" = 10; !" = 15; !" = 15 !" = 7; !" = 7; !! = 5; !! = 5; !" = 34; !" = 34 !" = 11; !" = 11; !" = 4; !" = 4; !! = 6; !! = 6

d) !! = 7; !! = 7; !" = 4; !" = 4; !" = 37; !" = 37 !" = 2; !" = 2; !! = 2; !! = 2; !" = 14; !" = 14 !" = 7; !" = 7; !" = 4; !" = 4; !! = 43; !! = 43

2. a) 5 b) 24 c)83 d) 6


1. a) !!" 3 41 2 b) !! 5 24 3 c) Tidak wujud d) Tidak wujud

2. Jawapan sama seperti dalam (1).


1. a) = 3; = 2 b) = !! ; = 2 c) = !! ; = !! d) = 2; = 4; = 5 e) = !! ; = !"! ; = !! f) = !! ; = !"!" ; = !!"

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|113 2. a) = 4; = 2 b) = 8; = 0 c) = 1; = !! d) = 3; = 6; = 0 e) = 2; = !! ; = !! f) = !! ; = !! ; = !"!

Latihan Sumatif

1. a) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 5; !! = 5

b) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 6; !! = 6

c) !! = 17; !! = 17; !" = 26; !" = 26; !" = 0; !" = 0 !" = 5; !" = 5; !! = 15; !! = 15; !" = 15; !" = 15 !" = 9; !" = 9; !" = 23; !" = 23; !! = 10; !! = 10

d) ) !! = 12; !! = 12; !" = 2; !" = 2; !" = 4; !" = 4 !" = 24; !" = 24; !! = 32; !! = 32; !" = 8; !" = 8 !" = 30; !" = 30; !" = 38; !" = 38; !! = 12; !! = 12

2. a) 2 b) 24 c) 77 d) 56

3. a) !! 1 32 2 b) !! 4 51 3 c) !!! 22 14 102 16 44 5 8

d) !! 10 7 54 1 213 10 11

Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan linear|114 4. a) i) = 1 !!" ; = !!" ii) = 1 !! ; = 1 !! b) i) = 8 !! ; = 11 !! ; = 2 !! ii) = 5 !! ; = 5 !! ; = !!

unit pelajaran 4

Documents