unit pelajaran 3 fungsi ii.pdf
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
1/52
Kalkulus
Asas|48
UNIT PELAJARAN 3
FUNGSI II
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi.
2. Melakar fungsi polynomial, modulus, nisbah, eksponen dan logaritma,trigonometri serta fungsi hiperbolik.
3. Mencari fungsi songsang bagi fungsi polinomial, modulus, nisbah, eksponendan logaritma, trigonometri serta fungsi hiperbolik
4. Melakar fungsi songsang bagi fungsi polynomial, modulus, nisbah, eksponen
dan logaritma, trigonometri serta fungsi hiperbolik.
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi polinomial, eksponendan logaritma serta trigonometri.
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
2/52
Unit
3
Fungsi
II|49
PENGENALAN
i dalam unit ini, kita akan menyambung perbincangan berkenaan dengan fungsi.
Beberapa fungsi penting di dalam kajian matematik akan dibincangkan bermula dengan
fungsi polinomial diikuti dengan fungsi modulus, fungsi nisbah, fungsi eksponen dan
logaritma. Seterusnya fungsi punca kuasa, fungsi trigonometri dan diakhiri dengan fungsi
hiperbolik. Kepentingan fungsi dalam kajian matematik sesuatu yang tidak boleh dinafikan.
Penggunaan dan perkembangannya boleh ditemui di dalam kesemua bidang kalkulus, juga pada
analisis berangka.
Fungsi polinomial adalah antara fungsi yang terpenting, ditakrifkan daripada ungkapan berbentuk
polinomial. Aplikasi fungsi polinomial muncul dalam pelbagai bidang matematik, sains gunaan,
ekonomi dan sains sosial. Sebagai contoh, ia sering ditemui sebagai hasil permodelan pelbagai
masalah daripada masalah perkataan mudah hingga kepada masalah yang lebih rumit seperti
memperolehi penghampiran dan interpolasi. Termasuk juga fungsi yang terbit daripada proses
pembinaan model-model statik dan dinamik, yang mewakili masalah kehidupan harian dan
fenomena alam semulajadi. Fungsi lain yang akan diberi penekanan dalam unit ini adalah fungsi
trigonometri. Oleh kerana sifat berkala yang dimilikinya maka kita akan membincangkan
perwakilan umum bagi membantu kita melakarkan graf.
Sekarang, mari kita mulakan dengan suatu fungsi yang paling penting dalam kajian matematik.
D
Layari Laman Web untuk mengetahui pelbagai jenis graf fungsi:
http://dl.uncw.edu/digilib/mathematics/algebra/mat111hb/functions/graphs/graphs.html
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/GraphFunctions.aspx
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
3/52
Kalkulus
Asas|50
3.1 Fungsi Polinomial
Takrif 3.1 Suatu fungsi polinomial adalah fungsi yang terdiri daripada ungkapan aljabar terhingga
melalui kombinasi penambahan, penolakan dan pendaraban skalar dengan kuasanya adalah
nombor asli.
( ) 1 21 2 3 1...n n n
n nf x a x a x a x a x a− −
−= + + + + + dimana n ∈ , i a adalah pemalar.
Kuasa terbesar bagi suatu fungsi menentukan sifat-sifat fungsi dan bentuk grafnya.
3.1.1 Fungsi Linear
Takrif 3.2 Suatu fungsi linear ditentukan dengan persamaan ( )f x mx c = + atau y mx c = + , di
mana ,m c adalah pemalar, 0m ≠ . Domain dan julat semulajadi adalah set nombor nyata.
Ini adalah suatu fungsi yang paling mudah dan ringkas merujuk kepada polinomial yang berdarjah
satu. Grafnya adalah berbentuk garis lurus dengan kecerunan m dan nilai c adalah titik persilangan
pada paksi-y . Rajah 3.1 dan 3.2 menunjukkan dua contoh fungsi linear dengan kecerunan positif,
0>m dan kecerunan negatif, 0 , f D = , f J = . Rajah 3.2, 0m < , f D = , f J = .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
4/52
Unit
3
Fungsi
II|51
3.1.2 Fungsi Kuadratik
Takrif 3.3 Fungsi kuadratik ditentukan dengan persamaan ( ) 2f x ax bx c = + + dengan
, ,a b c adalah pemalar dan 0a ≠ .
Fungsi ini terdiri daripada polinomial berdarjah 2. Grafnya adalah berbentuk parabola terbuka di
atas “∪ ” atau terbuka di bawah “∩ ”, ditentukan oleh tandaan positif atau negatif pada pemalar a.
Perhatian ( ) 2f x ax bx c = + + boleh ditukarkan ke bentuk ( ) ( )2
f x a x h k = − +
di mana
2
bh
a= −
dan
2
4
bk c
a= − + . Titik optimum (maksimum atau minimum) setempat adalah ( ),h k .
Gambaran fungsi kuadratik yang memiliki titik optimum ditunjukkan pada Rajah 3.3 dan 3.4.
Untuk melakarkan graf fungsi, kita seharusnya mencari beberapa titik penting seperti titik optimum,
titik persilangan dengan paksi-x dan paksi-y (jika ada). Sekarang, mari kita meneliti contoh berikut.
Contoh 3.1
Diberi fungsi 2: 5 6f x x x → − + dengan { 1 5}f D x x = < ≤ . Lakarkan lengkung bagi fungsi
tersebut seterusnya nyatakan julat bagi f .
Rajah 3.4 ( ),h k ada titik maksimum apabila
0a < , dan f D = ( ],f J k = −∞ .
Rajah 3.3 ( ),h k ada titik minimum apabila
0a > , dan f D = [ ),f J k = ∞ .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
5/52
Kalkulus
Asas|52
Penyelesaian:
Dengan penyempurnaan kuasadua
( ) 2 5 6f x x x = − +
⇒ ( )2
5 12 4
f x x ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
Didapati bahawa ( )1 2f = dan ( )5 6f = . Titik optimum
diperolehi apabila⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎝ ⎠
50
2 x . Oleh itu
5 1
2 4f ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
adalah nilai minimum. Bentuk graf adalah “∪ ” dengan
5 1,
2 4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
adalah titik minimum.
Persilangan dengan paksi-x, apabila 20 5 6 x x = − +
iaitu ( )2,0 dan ( )3,0 .
-1 1 2 3 4 5 6x
-1
1
2
3
4
5
6y
Maka dari graf,
16
4f J y y
⎧ ⎫= − ≤ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭.
3.1.3 Fungsi Kubik
Takrif 3.4 Suatu fungsi kubik adalah fungsi polinomial ( ) 3 2 ,f x ax bx cx d = + + + 0a ≠ . Domain
dan julat semulajadi adalah nombor nyata f D =
f J = .
Contoh 3.2
Lakarkan graf dan cari domain dan julat bagi fungsi berikut.
a) ( ) 3 2 6f x x x x = + −
b) ( ) 3 2f x x x = − +
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
6/52
Unit
3
Fungsi
II|53
Penyelesaian:
a) ( ) 3 2 6f x x x x = + − ⇒ ( ) ( )( )3 2f x x x x = + −
{ }f D x x = ∈ ,
{ }f J y y = ∈
-4 -2 2 4x
-6
-4
-2
2
4
6y
y= x 3+x-6x
b) ( ) 3 4f x x x = − +
⇒ ( ) ( )( )2 2f x x x x = − + −
{ }f D x x = ∈ , { }f J y y = ∈
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
yy=- x 3+4x
1.
Lakarkan graf fungsi dan nyatakan domain dan julat;
a. ( ) 4f x =
b. ( ) 5 3f x x = − +
c. ( ) 2 3 2f x x x = + +
Latihan Formatif 3.1
Kita boleh gunakan online function grapher untuk membantu kita melakar graf fungsi:
http://www.onlinefunctiongrapher.com
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
7/52
Kalkulus
Asas|54
d. ( ) ( )2 1f x x x = −
e. ( ) 3 8f x x = −
2. Di beri ( ) 2 3 2f x x x = + + dan ( ) 25 3 2g x x x = + +
a. Tukarkan fungsi dalam bentuk ( )2
a x h k − +
b.
Nyatakan domain dan julat fungsi.
c.
Nyatakan titik maksimum atau titik minimum bagi setiapnya.
3.2 Fungsi Nilai Mutlak
Takrif 3.5 Fungsi nilai mutlak mengandungi tatatanda modulus seperti ( )f x x = .
Di mana ditakrifkan
0
0
x x x
x x
≥⎧= ⎨
−
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
8/52
Unit
3
Fungsi
II|55
Penyelesaian
a. ( )f x x = ⇒ ( )0
0
x x f x
x x
≥⎧= ⎨
−
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
9/52
Kalkulus
Asas|56
Penyelesaian:
a. 1 1 0 x x − + + ≥ bagi semua nilai x ∈ . Oleh itu f D = , [ )0,f J = ∞
b. 4 x x − ∈ bagi semua nilai x ∈ . Oleh ituh
D = ,h
J =
1.
Lakarkan graf fungsi dan nyatakan domain dan julat;
a.
( )
14
2h x x = −
b. ( ) 3 2g x x = − +
c. ( ) 5 2f x x = −
3.3 Fungsi Nisbah
Takrif 3.6 Suatu fungsi nisbah yang terdiri daripada nisbah ungkapan –ungkapan polinomial ditulis
dengan
( )( )
, ( ) 0( )
p x f x q x
q x = ≠ ,
Di mana ( ) p x dan ( )q x adalah polinomial. Domain bagi fungsi nisbah adalah semua nombor
nyata kecuali nilai x yang membawa kepada ( ) 0q x =
.
Latihan Formatif 3.2
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
10/52
Unit
3
Fungsi
II|57
Contoh 3.5
Tentukan domain dan lakar graf bagi fungsi berikut
a.
1( )1
f x x = +
b.
2 1( )
2
x f x
x
+=
−
Penyelesaian:
a. ( )1 0 x + ≠ oleh itu 1 x ≠ − ,
{ }/ 1f D = − .
Garis 1 x = − dikenali sebagai asimptot.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
f HxL=1
1 + x
b. ( )2 0 x − ≠ maka 2 x ≠ ,
{ }/ 2
f D =
-5 5 10x
-5
5
10y
Perhatikan bahawa kita boleh mencari domain bagi fungsi nisbah dengan mudah tetapi bagi
menentukan julat serta melakar grafnya, kita akan menempuh kesukaran jika hanya dengan
mencari beberapa pasangan nilai ( ), x y .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
11/52
Kalkulus
Asas|58
Merujuk kepada kedua-dua graf Contoh 3.5, terdapat beberapa garisan yang dikenali
sebagai garisan asimptot. Fungsi tidak memotong garisan asimptot dan hanya menghampiri
garisan tersebut apabila nilai x menghampiri nilai-nilai tertentu atau menghampiri nilai tak
terhingga. Pada contoh (a), garisan asimptot menegak adalah 1 x = − dan asimptot mengufuk pula
adalah 0y = .
•
Apabila nilai x menghampiri 1 x = − daripada arah kanan, nilai y akan menokok dan
menghampiri ketakterhinggaan positif.
•
Apabila nilai x menghampiri 1 x = − daripada arah kiri, nilai y akan menyusut dan menghampiri
ketakterhinggaan negatif. Yang demikian 1 x = − dinamakan asimptot menegak.
•
Apabila nilai x menghampiri nilai ketakterhinggaan positif, didapati nilai y akan menyusut dan
menghampiri 1y = .
• Apabila nilai x menghampiri nilai ketakterhinggaan negatif, nilai y akan menokok menghampiri
1y = . Garis 1y = adalah asimptot mengufuk.
Oleh kerana fungsi tidak ujud apabila asimptot 1y =
maka julat bagi f adalah
{ , 1}f J y y y = ∈ ≠ . Contoh berikut adalah panduan bagaimana kita menentukan asimptot bagi
suatu graf fungsi nisbah.
Contoh 3.6
Tentukan garis-garis asimptot bagi fungsi
a. ( ) =−
1
2
f x
x
b. ( ) 22
1
x f x
x
+=
− c. ( )
2
2
2 2
1
x x f x
x
+ +=
−
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
12/52
Unit
3
Fungsi
II|59
Penyelesaian
a.
Domain bagi f adalah /{2}f D = , di mana 2 x = adalah asimptot menegak pada graf.
Seterusnya bagi mendapatkan asimptot mengufuk kita boleh membahagi penyebut dan
pengangka dengan x. Maka diperolehi
( )
1
21
x f x
x
=−
Perhatikan bahawa1
x dan
2
x akan menghampiri 0 apabila x menghampiri nilai
takterhingga, ∞ . Ini membawa kepada f akan menghampiri 0, maka garis 0y = adalah
asimptot mengufuk pada graf.
b.
Daripada 2 1 0 x − ≠ ⇒ ( )( )1 1 0 x x + − ≠
1, 1 x x ≠ − ≠
Maka asimptot menegak adalah 1 x = − dan 1 x = . Dengan membahagikan penyebut dan
pengangka dengan 2 x iaitu kuasa terbesar bagi x pada penyebut, kita boleh menulis f
sebagai
( )2
2
1 2
11
x x f x
x
+=
−.
Jelas sekali bahawa ( ) 0 x had f x →+∞
= . Oleh itu 0y = adalah asimptot mengufuk bagi graf.
( )f x tidak tertakrif apabila 1 x = − dan 1 x = . Maka garis 1 x = − dan 1 x = adalah
asimptot menegak.
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
13/52
Kalkulus
Asas|60
c. Apabila kuasa pada pengangka sama atau lebih besar daripada penyebut maka kita perlu
membuat pembahagian panjang. Hasilnya adalah
( )
2
2
2 2
1
x x
f x x
+ +=
− ⇒
( ) 24
2 1
x
f x x
+= +
−
Dengan cara yang sama, boleh ditulis bahagi nisbah dengan 2, x seperti
( )2
2
1 4
21
1
x x f x
x
+= +
−
Jelaslah bahawa ( ) 2 x had f x →+∞
= . Oleh itu 2y = adalah asimptot mengufuk pada graf.
1. Diberi ( )3
2 1f x
x =
−.
a.
Tentukan asimptot menegak dan mengufuk.
b. Persilangan graf pada paksi koordinat jika ada.
c. Lakarkan graf f.
Latihan Formatif 3.3
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
14/52
Unit
3
Fungsi
II|61
3.4 Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
3.4.1 Fungsi Eksponen
Takrif 3.7 Fungsi eksponen adalah fungsi dengan asas a dalam bentuk ( )f x a= dengan 0a >
dan x ∈ dinamakan eksponen.
Terdapat dua bentuk fungsi eksponen yang dikategorikan sebagai
•
( )f x a= , x ∈ , 1a > .
• ( )f x a= , x ∈ , 0 1a< < .
Seterusnya, kita akan lihat ciri-ciri asas bagi kedua-dua bentuk fungsi di atas bersama grafnya.
Ciri-ciri asas ( ) , , 1x f x a x a ∈ >
f D = , ( )0,f J = ∞ .
( ) 0f x > , iaitu fungsi yang menokok untuk semua
nilai x.
Apabila 0 x = , ( ) 1f x = . Graf memotong paksi-y
pada (0,1) .
Apabila x → ∞ , ( )f x → ∞ .
Apabila x → −∞ , ( ) 0f x → .
Fungsi ( )f x ialah fungsi 1-1
x
1
yy=a x , a>1
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
15/52
Kalkulus
Asas|62
Ciri-ciri asas ( ) , , 0 1x f x a x a ∈
f D = , ( )0,f J = ∞ .
( ) 0f x > dan f menyusut untuk x ∈ .
Apabila 0 x = , ( ) 1f x = Graf memotong paksi-y pada
(0,1) .
Apabila x → ∞ , ( ) 0f x → .
Apabila x → −∞ , ( )f x → ∞ .
Fungsi ( )f x ialah fungsi 1-1.
x
1
yy=a x , 0
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
16/52
Unit
3
Fungsi
II|63
3.4.2 Fungsi Logari tma
Takrif 3.8 Fungsi logaritma dengan asas a ditandakan sebagai ( ) logaf x x = dengan logay x =
jika y a x = , x +∈
Terdapat dua bentuk fungsi eksponen yang boleh diketegorikan sebagai
• ( ) logaf x x = , x +∈ , 1a > ,
• ( ) logaf x x = , x +∈ , 0 1a< < .
Berikut dibincangkan ciri-ciri asas bagi kedua-dua bentuk fungsi di atas bersama grafnya.
Ciri-ciri asas
( ) loga
f x x , , 1x a ∈ >
( )0,f D = ∞ , f J =
Apabila 1 x = , ( ) 0f x = , graf memotong paksi- x pada
(1,0).
Apabila x a= , ( ) 1f x = .
Apabila 0 x +→ , ( )f x → −∞ , bagi 0 1 x < < .
Apabila x → ∞ , ( )f x → ∞ , bagi 1 x > .
Fungsi adalah 1-1
Graf ( ) logaf x x = , 1a >
1x
y
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
17/52
Kalkulus
Asas|64
Ciri-ciri asas log , , 0 1a f x x x a = ∈
( )0,f D = ∞ , f J = .
Apabila bila 1 x = , ( ) 0f x = Graf memotong paksi- x pada
(1,0).
Apabila x a= , ( ) 1f x = .
Apabila 0 x +→ , ( )f x → ∞ , bagi 0 1 x < < .
Apabila x → ∞ , ( )f x → −∞ , bagi 1 x > .
Fungsi adalah 1-1
Graf ( ) logaf x x = ,0 1a< <
1x
y
3.4.3 Fungsi Eksponen dan songsangan
Katakan suatu fungsi eksponen diberi dengan ( )f x a= dengan x ∈ . Oleh kerana fungsi
tersebut adalah fungsi 1-1 maka ia mempunyai fungsi songsang. Perhatikan bagaimana
memperolehi songsangan bagi ( )f x a= . Daripada takrif fungsi songsang, ( )1( )f f x x − = .
( )1( )f x a x
−
= ⇒ ( )1( )
10 10log logf x
a x −
=
( )1 10 10( ) log logf x a x − =
1 10
10
log( )
log
x f x
a
− =
1( ) logaf x x − =
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
18/52
Unit
3
Fungsi
II|65
Jelas menunjukkan bahawa logay x = adalah graf songsangan bagi y a= . Kedua-dua graf
adalah saling refleksi dengan garisan simetri adalah .y x = (Rajah 3.6 dan 3.7)
y=a x
y=x
y=loga
x
1x
1
a>1
y=a x
y=x
y=logax
1x
1
0
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
19/52
Kalkulus
Asas|66
Contoh 3.9
Tentukan fungsi songsang bagi 3( ) 2logf x x =
Penyelesaian
Katakan 3( ) 2logy f x x = = maka
( )
3
2
1 2
log2
3
3
y
y x
x
f x −
=
=
=
(0, ),f f D J = ∞ =
y=3
x
2
x
1
y
1. Lakarkan graf ( ) 3f x = dan1
( )3
f x ⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎝ ⎠ pada satu koordinat yang sama.
2. Diberi suatu fungsi ( ) 5f x =
a. Cari 1f −
b.
Lakarkan graf bagi 1( )f x −
c.
Tunjukkan bahawa 1( )f x − adalah suatu fungsi.
Latihan Formatif 3.4
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
20/52
Unit
3
Fungsi
II|67
3.5 Fungsi Punca Kuasa
Takrif 3.9 Fungsi punca kuasa adalah fungsi yang mengandungi tatatanda surd
( ) ,m
f x x = .∈ m
Contoh 3.10
Lakarkan graf bagi fungsi berikut dan tentukan domain serta julatnya.
a. ( ) , 0f x x x = ≥ ,
b. ( ) 2f x x = − ,
c. ( )5
2
x g x
+= .
Penyelesaian
a. x tertakrif apabila 0 x ≥ , dengan mengambil
beberapa nilai mudah, kita perolehi jadual dibawah.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f HxL= x 0 1. 0 1. 4 1. 7 2. 0 2. 2 2. 4 2. 6 2. 8
2 4 6 8x
-1
1
2
3y
f HxL= x
{ }0f D x x = ≥ , { }0f J y y = ≥
b. 2 x − tertakrif apabila 2 x ≥ .
x 2 3 4 5 6 7 8
f HxL= x − 2 0 1. 0 1. 4 1. 7 2. 0 2. 2 2. 4 2 4 6 8
x
-1
1
2
3y
f HxL= x - 2
{ }2f D x x = ≥ , { }0f J y y = ≥
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
21/52
Kalkulus
Asas|68
c. 5
2
x + tertakrif apabila 5 x ≥ − .
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
gHxL= x+5
2 0 0. 71 1. 0 1. 2 1. 4 1. 6 1. 7 1. 9 2. 0
-6 -4 -2 2x
-1
1
2
3y
gHxL= x + 5
2
{ }5f D x x = ≥ − , { }0f J y y = ≥
3.6 Fungsi Trigonometri
Sebelum kita mendalami perbincangan tentang fungsi trigonometri adalah lebih baik kita imbas
kembali hubungan antara unit darjah dengan unit radian bagi sukatan sudut. Kedua-dua unit
ukuran ini akan digunakan seiring sepanjang pembelajaran unit ini. Sudut yang dibentuk melalui
satu putaran sempurna mempunyai ukuran 360 darjah atau diringkaskan sebagai 0360 . Manakala
satu lagi ukuran bagi sudut untuk satu putaran sempurna suatu bulatan diberi dengan 2π radian.
Takrif dibawah menjelaskan hubungan antara darjah dan radian;
Takrif 3.10 Ukuran radian bagi suatu sudut θ diukur bermula daripada paksi x yang positif ialah
panjang lengkok s, yang mencangkum sudut θ pada bulatan unit. Kita tulis
sθ = radian atau sθ = rad
Perhatikan bahawa
0360 2π = rad
0180 π = rad
01180
π = rad dan 1 rad 0
18057 18'
π = = .
0 r =1
s
PHx,yL
q x
y
Rajah 3.8
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
22/52
Unit
3
Fungsi
II|69
Sekarang, mari kita lihat takrif nisbah trigonometri yang diperolehi dari suatu segitiga bersudut
tepat dan pada koordinat satah.
Nisbah Trigonometri Sudut Tirus
Kita pertimbangkan suatu segitiga ABC yang bersudut tegak di C (Rajah 3.9). Katakan sudut
ABC θ = dengan sisi bertentangan dengan bucu A, B dan C , masing-masing adalah a,b dan c .
Nisbah trigonometri ditakrifkan sebagai
sin
kos
tan
a
c
b
c a
b
θ
θ
θ
=
=
=
Rajah 3.9
Nisbah salingan bagi nisbah trigonometri di atas adalah
1kosek
sinθ
θ
= ,1
sekkos
θ
θ
= dan1
kottan
θ
θ
= .
Juga daripada segitiga yang sama kita dapati hubungan
( ) ( ) ( )0 0 0sin 90 kos , kos 90 sin , tan 90 kot .b a b
c c aθ θ θ θ θ θ − = = − = = − = =
Nisbah Trigonometri Bagi Sudut Am
Kita akan menentukan nilai nisbah trigonometri yang terbentuk daripada satu putaran lengkap
tembereng garis OP bermula daripada paksi-x yang positif. Katakan P satu titik dengan koordinat
( ), x y , dengan x dan y adalah bernilai positif, pada satu bulatan unit (dengan jejari 1r = unit).
Jejari bulatan unit diperolehi dengan rumus2 2r OP x y = = + yang sentiasa positif. Suatu
A
C
B
a
c
b
θ
90-θ
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
23/52
Kalkulus
Asas|70
ketetapan piawai yang harus diingat ialah putaran titik P mengikut arah lawan jam menghasilkan
sudut θ yang positif. Manakala mengikut arah ikut jam sudut θ dinilaikan sebagai negatif.
Pada ketika P berada pada sukuan I, tiga nisbah asas
trigonometri boleh ditulis sebagai
sin y θ = , kos x θ = , tany
x θ = .
Kesemuanya bernilai positif. Berikut adalah nilai nisbah
trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan I.
θ 0 300 450 600 900
Si n θ 0 1
2
1
2
3
21
Cos θ 1 3
2
1
2
1
20
Tan θ 0 1
31 3 ∞
0
r
PHx,yL
q x
y
Sukuan I
Pada sukuan II, koordinat P adalah ( ), x y − dan diperolehi
( )sin 180 siny θ θ − = = ,
( )kos 180 kos x θ θ − = − = − ,
( )tan 180 tany
x θ θ − = − = − .
Sinus sudut adalah bernilai positif, manakala kosinus dan
tangent sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah
trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan II.
0
r
H-x,yL
q
180 -q
x
y
Sukuan II
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
24/52
Unit
3
Fungsi
II|71
θ 900 1200 1350 1500 1800
Si n θ 1 3
2
1
2
1
20
Cos θ 0 −1
2 −
1
2−
3
2 − 1
Tan θ −∞ − 3 −1 − 1
30
Pada sukuan III diperolehi berikut dengan ( ),P x y − −
( )sin 180 siny θ θ + = − = − ,
( )kos 180 kos x θ θ + = − = − ,
( )tan 180 tany
x θ θ + = = .
Tangen sudut adalah bernilai positif, manakala sinus dan
kosinus sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah
trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan III.
θ 1800 2100 2250 2400 2700
Si n θ 0 − 12
− 1
2−
3
2−1
Cos θ −1 − 32
− 1
2−
1
20
Tan θ 0 13
1 3 ∞
0
r
PH-x,-yL
q
180 +q
x
Sukuan III
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
25/52
Kalkulus
Asas|72
Akhirnya, apabila P berada pada sukuan IV, koordinat P
adalah ( ), x y − , maka diperolehi
( )sin 360 siny θ θ − = − = − ,
( )kos 360 kos x θ θ − = = ,
( )tan 360 tany
x θ θ − = − = − .
Kosinus sudut adalah bernilai positif, manakala sinus
dan tangen sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah
trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan
IV.
θ 2700 3000 3150 3300 3600
Si n θ 0 − 12
− 1
2−
3
2−1
Cos θ − 1 − 32
− 1
2−
1
20
Tan θ 0 1
3
1 3 ∞
0 r
PHx,-yL
q
360-q
x
ySukuan IV
Nisbah Trigonometri Bagi Sudut Negatif
Apabila OP diputarkan ke arah ikut jam maka koordinat P adalah (x,-y). Oleh itu nisbah
trigonometri pada sukuan IV adalah
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
26/52
Unit
3
Fungsi
II|73
( )sin siny θ θ − = − = − ,
( )kos kos x θ θ − = = ,
( )tan tany
x θ θ − = − = − . 0
r
PHx,-yL
-q
x
y
Sukuan II
Nisbah Trigonometri Bagi Sudut lebih daripada 0360
Apabila OP diputarkan mengikut arah lawan jam melebihi satu putaran lengkap, kita akan dapati
titik P akan berada pada kedudukan yang sama sebagaimana P pada putaran pertama. Proses
berulang-ulang ini dinamakan berkala. Maka kedudukan OP merujuk kepada paksi x positif adalah
sama pada sudut , 360 , 720 , 1080 ,...θ θ θ θ + + + dan seterusnya. Oleh itu nisbah trigonometri
memenuhi sifat berikut
( ) ( )sin sin 360 ,k θ θ = +
( ) ( )kos kos 360 ,k θ θ = +
( ) ( )tan tan 360 , 0,1,2,..k k θ θ = + =.
3.6.1 Fungsi Sinus dan Graf.
Graf bagi siny s= boleh dilakarkan dengan menggunakan sudut-sudut mudah pada satu putaran
lengkap serta menggunapakai nisbah trigonometri yang dibincangkan sebelum in. Sudut-sudut
mudah yang dimaksudkan seperti adalah sebagaimana ditunjukkan dalam Rajah 3.10.
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
27/52
Kalkulus
Asas|74
Rajah 3.10 Sudut-sudut mudah
Di sini kita boleh mencari sinus beberapa sudut seperti 0, , , , .6 4 3 2
s π π π π = seterusnya
menggunakan hubungan nisbah trigonometri untuk sukuan I, II, III dan IV. Juga menggunakan nilai
( )sin 2 sink s sπ + = bagi lakaran graf dengan 2s π > serta ( )sin sins s− = bagi sudut-sudut
yang negatif. Rajah 3.11, mnenunjukkan graf siny s= bagi 0 2s π ≤ ≤ .
s 0 π6
π
4
π
3
π
2
2 π
3
3 π
4
5 π
6π
7 π
6
5 π
4
4 π
3
3 π
2
5 π
3
7 π
4
11 π
62 π
y=Si n s 0 1
2
1
2
3
21
3
2
1
2
1
20 − 12 − 12 − 32 −1 − 32 − 12 − 12 0
Rajah 3.11
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
28/52
Unit
3
Fungsi
II|75
3.6.2 Fungsi Kosi nus dan Graf
Seperti juga dengan fungsi sinus, kita boleh menggunakan sudut-sudut mudah untuk melakar graf
kosinus. Rajah 3.12 menunjukkan graf kosy s= , 0 2s π ≤ ≤ .
Rajah 3.12
Kitaran asas bagi kosy s= bermula di 0 x = dan berakhir di 2 x π = . Sama seperti dengan
siny s= , tempuh kalaan bagi fungsi kosy s= ialah 2π . Julatnya pula ialah 1 1y − ≤ ≤ dengan
amplitudnya adalah 1. Graf bersimetri terhadap paksi-y kerana ( )kos koss s− = .
Takrif 3.11 Amplitud bagi fungsi ( )siny a bx = ialah a , dan bagi ( )kosy a bx = ialah a . Satu
kitaran lengkap graf fungsi sinus dan kosinus dinamakan tempoh di mana bagi ( )siny a bx = dan
( )kosy a bx = ialah2
b
π .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
29/52
Kalkulus
Asas|76
3.6.3 Fungsi Tangen dan Graf
Melalui penggunaan sudut mudah kita boleh melakar graf tany s= , 0 2s π ≤ ≤ (Rajah 3.13) .
Perhatikan bahawa graf tangen akan menghampiri +∞ apabila s menghampiri 2
π
dan
3
2
π
daripada arah negatif. Menghampiri −∞ apabila s menghampiri 2
π dan
3
2
π daripada arah
positif.
s 0 π
6
π
4
π
3 I π
2M− I π
2M+ 2 π
3
3 π
4
5 π
6 π
7 π
6
5 π
4
4 π
3 I 3 π
2 M− I 3 π
2 M+ 5 π
3
7 π
4
11 π
6 2 π
y= Tan s 0 1
31 3 ∞ −∞ − 3 −1 −
1
30 1
31 3 ∞ −∞ − 3 −1 −
1
30
Rajah 3.13
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
30/52
Unit
3
Fungsi
II|77
Berikut adalah panduan untuk membantu kita melakar graf ( )siny a bx c = + dan
( )kosy a bx c = + . Kitaran asas bermula ketika 0bx c + = iaitu padac
x b
= − dan berakhir ketika
2bx c π + = di mana ( )2 c x b
π −= . Tempoh kalaan adalah 2bπ dan amplitudnya adalah a .
3.6.4 Fungsi Songsang Sinus
Secara umumnya, fungsi sin ,y x x = ∈ bukan fungsi 1-1, jika dinilai x sebagai6
π ,
5
6
π dan
7
6
π − , kita akan memperolehi y bersamaan dengan
1
2
. Jelas sekali ia adalah fungsi banyak satu.
-2p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-1
1
y
Rajah 3.14
Rajah 3.14 menunjukan graf fungsi sin ,y x x = ∈ . Tetapi jika kita membataskan domain
kepada ,2 2
π π ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
, kita akan memperolehi suatu fungsi yang menokok dan yang mengambil satu
nilai x kepada satu nilai y. Oleh yang demikian kita boleh perolehi fungsi songsang bagi fungsi
sinus.
Sekarang dengan menggunakan domain ,2 2
π π ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ dan julat [–1, 1], kita menakrifkan fungsi
songsang sinus seperti
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
31/52
Kalkulus
Asas|78
Takrif 3.12 Fungsi Songsang Sinus diwakilkan sebagai 1sin− , ditakrif dengan 1siny x −= jika dan
hanya jika sin x y = untuk 1 1 x − ≤ ≤ dan2 2
y π π
− ≤ ≤ .
Tatatanda 1siny x −= dibaca dengan “y adalah songsang sinus bagi x” juga “y adalah sudut
dengan sinusnya adalah x”. Tatatanda lain yang mewakili 1sin− adalah arcsin. Rajah 3.15
memberi gambaran 1siny x −= .
-1 1
-p
2
p
2
y=sin-1
x
Rajah 3.15
Perhatian Pemilihan y perlu berada di dalam selang ,2 2
π π ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
bagi 1sin− . Walau pun
5 1sin
6 2
π ⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠, nombor
5
6y
π = bukan nilai songsang fungsi 1
1sin
2
− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Sifat-sifat fungsi songsang sinus
Daripada sifat-sifat umum bagi fungsi songsang kita perolehi
• ( )1sin sin , x x − = jika 1 1. x − ≤ ≤
• ( )1sin sin ,y y − = jika .
2 2y
π π − ≤ ≤
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
32/52
Unit
3
Fungsi
II|79
Contoh 3.11
Cari nilai berikut
a.
1 1sin sin2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b.
1sin sin4
π − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
c.
1 2sin sin3π − ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
Penyelesaian
a.
1
2, diperolehi secara terus dengan menggunakan sifat-sifat bagi songsangan sinus
b. 4
π , kerana ,
4 2 2
π π π ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
berada dalam domain, kita boleh menggunakan sifat-sifat bagi
songsangan sinus.
c. Oleh kerana2
,3 2 2
π π π ⎡ ⎤∉ −⎢ ⎥⎣ ⎦
, kita tidak boleh menggunakan sifat ke-2 untuk 1sin− . Maka
1 12 3sin sin sin3 2 3
π π − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Contoh 3.12
Tentukan nilai tepat bagi y jika 13
sin tan4
y π − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Penyelesaian
( )1 13
sin tan sin 14 2y
π π − −⎛ ⎞
= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
33/52
Kalkulus
Asas|80
3.6.5 Fungsi Songsangan Kosinus
Jika domain bagi fungsi kosinus dibatasi dalam selang [ ]0,π sebagaimana yang diwakilkan
dengan lengkung berwarna merah pada Rajah 3.16, maka kita akan memperolehi fungsi kosinus
yang 1-1. Daripada takrif fungsi songsang kita boleh hasilkan songsang bagi kosy x = .
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-1
1
y=cos x
Rajah 3.16
Takrif 3.13 Fungsi Songsangan Kosinus ditandakan dengan 1kos− serta ditakrifkan sebagai
1kosy x −= jika dan hanya jika kos x y = , di mana 1 1 x − ≤ ≤ dan 0 y π ≤ ≤ .
-1 1
p
2
p
y=cos-1x
Rajah 3.17
Rajah 3.17 di atas menunjukkan 1kosy x −= , 1 1 x − ≤ ≤ . Kita boleh melakar graf 1kosy x −=
dengan memantulkan graf y kos x = terhadap garis y x = . Perhatikan bahawa nilai fungsi
songsangan kosinus adalah sentiasa positif.
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
34/52
Unit
3
Fungsi
II|81
Sifat-sifat Songsangan Kosinus
Sifat-sifat umum bagi songsangan memberi kita
• ( ) ( )
1
kos kos kos arckos , jika 1 1 x x x x −
= = − ≤ ≤
• ( ) ( )-1kos kos arckos kos , jika 0y y y x π = = ≤ ≤
3.6.5 Fungsi Songsangan Tangen
Daripada Rajah 3.18, iaitu graf bagi fungsi tangen tany x = , x ∈ . Ia jelas bukan suatu fungsi
1-1. Oleh yang demikian, menbatasi x dalam selang ,2 2
π π ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠sebagaimana yang diwakilkan
dengan lengkung berwarna merah membolehkan kita memperolehi songsangan bagi tany x = .
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-1
1
y
y=tan x
Rajah 3.18
Fungsi songsang tangent ditakrifkan seperti di bawah.
Takrif 3.14 Fungsi Songsang Tangen diwakilkan sebagai 1tan− , ditakrif dengan 1tany x −= jika
dan hanya jika tan x y = untuk2 2
y π π
− < < .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
35/52
Kalkulus
Asas|82
-1 1x
-p
2
-p
3
p
3
p
2
y=tan-1 x
Rajah 3.19
Rajah 3.19 di atas adalah 1tany x −= dengan , ,2 2
y y D J
π π ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
1. Lakarkan kitaran asas bagi pasangan fungsi berikut pada graf yang sama
a.
( )siny x = dan ( )2sin 2y x = .
b. ( )kosy x = dan ( )2kos 3 2y x = +
3.6 Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik telah diperkenalkan pada tahun 1760-an secara berasingan oleh Vincenzo
Riccati dan Johann Heinrich Lambert. Fungsi hiperbolik mempunyai nama-nama yang hampir
serupa dengan fungsi trigonometri biasa iaitu sinh, kosh dan tanh, begitu juga dengan nisbah
salingan yang lain. Sinh x dibaca dengan ‘sinus hiperbolik bagi sudut x ’. Walau pun nama-nama
Latihan Formatif 3.5
Layari Laman Web berikut untuk tutorial mengenai fungsi trigonometri:
https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/basic-trigonometry/trig_graphs_tutorial/v/graphs-
of-trig-functions
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
36/52
Unit
3
Fungsi
II|83
fungsi hiperbolik menyerupai trigonometri biasa akan tetapi fungsi hiperbolik ditakrifkan daripada
fungsi eksponen. Fungsi yang asas adalah sinh dan kosh manakala yang lain ditakrif daripada
keduanya. Selanjutnya adalah takrif bagi fungsi hiperbolik.
Takrif 3.15 Fungsi sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik ditakrifkan oleh
sinh2
x e e x
−−= dan kosh
2
x x e e x
−+=
di mana e adalah eksponen semulajadi berkuasa x dan domain bagi kedua-dua fungsi nisbah
adalah semua nombor nyata. Fungsi sinh adalah suatu fungsi ganjil manakala fungsi cosh pula
adalah fungsi genap. Tanh pula ditakrif seperti
sinhtanh
kosh
x
x
x e e x
x e e
−
−
−= =
+
Sebagaimana dengan fungsi trigonometri biasa terdapat beberapa identiti dan sifat-sifat yang
penting, walau bagaimanapun kita tidak akan membincangkan perkara tersebut dengan lebih
mendalam. Tumpuan kita hanya mengkaji graf fungsi hiperbolik dan songsangannya.
Contoh 3.10
Tentukan domain dan lakar graf bagi fungsi berikut
a. ( ) koshf x x =
b.
( ) sinhf x x =
c.
( ) kosh 2
x
f x =
d. kosh
( )sinh
x f x
x =
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
37/52
Kalkulus
Asas|84
Penyelesaian
Kita boleh melakarkan graf fungsi dengan menggunakan jadual bagi nilai-nilai mudah.
a. x −3 −2 −1 0 1 2 3f HxL=Kos h x 10. 3. 8 1. 5 1. 0 1. 5 3. 8 10.
-3 -2 -1 0 1 2 3x
1
2
3
4y
f HxL=Cosh x
[ ), 1,f f D J = = ∞
b. x −3 −2 −1 0 1 2 3
f HxL=Si nh x −10. −3. 6 −1. 2 0 1. 2 3. 6 10.
-3 -2 -1 1 2 3x
-3
-2
-1
1
2
3y
f HxL=Sinh x
,f f D J = =
c. x −3 −2 −1 0 1 2 3
f HxL=Cosh x
2 2. 4 1. 5 1. 1 1. 0 1. 1 1. 5 2. 4
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
38/52
Unit
3
Fungsi
II|85
-3 -2 -1 0 1 2 3x
1
2
3
4
y
f HxL=Cosh x
2
[ ), 1,f f D J = = ∞
d. x −3 −2 −1 0− 0+ 1 2 3
f HxL= Kosh xSi nh x
−1. 0 −1. 0 −1. 3 −∞ ∞ 1. 3 1. 0 1. 0
-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-2
2
4y
f HxL=Cosh@ x D
Sinh@ x D
/{0}, /{0}f f
D J = =
Songsangan fungsi hiperbolik
Fungsi sinhy x = , x ∈ adalah fungsi 1-1 oleh yang demikian ia mempunyai songsangan, ditulis
seperti ( ) ( )1 2
sinh ln 1 x x x
−
= + + , x ∈ .
Fungsi koshy x = , x ∈ bukan fungsi 1-1 oleh itu dengan membataskan domainnya kepada
x +∈ kita boleh perolehi songsangan, ( ) ( )1 2kosh ln 1 , 1 x x x x − = + − ≥ .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
39/52
Kalkulus
Asas|86
Fungsi songsang bagi tanhy x = , x ∈ adalah, ( )11 1
tanh ln , 12 1
x x x
x
− +⎛ ⎞=
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
40/52
Unit
3
Fungsi
II|87
Contoh 3.11
Tentukan domain dan lakar graf bagi fungsi berikut
a.
-1
( ) koshf x x =
b.
1( ) sinhf x x −=
Penyelesaian:
a. x 1. 1. 5 2. 2. 5 3.
f HxL=Kosh−1 x 0. 0. 96 1. 32 1. 57 1. 76
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0y
f HxL=kosh-1@xD
[ ) [ )1, , 0,f f D J = ∞ = ∞
b. x −3 −2 −1 0 1 2 3
f HxL=Si nh−1 x −1. 8 −1. 4 −0. 88 0 0. 88 1. 4 1. 8
-4 -2 2 4x
-3
-2
-1
1
2
3
yf HxL=sinh-
1@xD
,f f D J = =
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
41/52
Kalkulus
Asas|88
1. a. Permudahkan kosh sinh x x + dan kosh sinh x x − .
b. Guna jawapan bahagian (a) untuk buktikan identiti, 2 2kosh sinh 1 x x − = .
2. Cari domain dan julat fungsi berikut
a. sekh x ,
b. kosekh x ,
c.
koth x .
RUMUSAN
Kita telah membincangkan beberapa fungsi penting di dalam kajian matematik iaitu fungsi
polinomial, fungsi modulus, fungsi nisbah, fungsi eksponen dan logaritma. Seterusnya fungsi
punca kuasa, fungsi trigonometri dan diakhiri dengan fungsi hiperbolik. Kesemua fungsi asas ini
amat penting dalam kajian matematik, sains dan kejuruteraan, walaubagaimana pada abad ke-18
dan ke-19, saintis mendapati bahawa fungsi asas sahaja tidak mencukupi menjawab persoalan
yang lebih komplek kerana ia mempunyai batasan tertentu. Mereka mendapati bahawa
penyelesaian untuk beberapa masalah penting fizikal seperti gerakan orbit planet, gerakan ayunan,
pengiraan potensi graviti badan hampir membulat dan pergerakan jasad yang rumit, tidak boleh
diterangkan menggunakan fungsi asas semata-mata. Oleh itu perkembangan kajian ke atas fungsi
masih giat dijalankan sehingga ke hari ini.
KATA KUNCI
Polinomial, Domain, Julat, Fungsi Songsang.
Latihan Formatif 3.6
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
42/52
Unit
3
Fungsi
II|89
1. Tentukan domain dan julat bagi fungsi berikut;
a. ( ) 2f x x =
b. ( ) 3k x x = +
c. ( )3
1
x h x
x =
−
d. ( ) 2 4 5f x x x = + +
2. Lakarkan graf fungsi dan nyatakan domain dan julat;
a. ( ) 2 6 9h x x x = − +
b. ( ) ( )2
2 4f x x = − +
c. ( ) 4g x x = +
d.
3 5y x = + + .
3.
Fungsi f ditakrifkan sebagai : x
f x e−→ , x +∈ .
a.
Lakarkan graf1f − dan tentukan julatnya.
b. Cari rumus bagi1f − .
4. Fungsi g ditakrifkan sebagai : ln( 2)g x x → + , x +∈ , 1. x > −
a.
Lakarkan graf g
b.
Nyatakan julat bagi g dan 1g − .
Latihan Sumatif
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
43/52
Kalkulus
Asas|90
5. Diberi1( ) 3f x += .
a. Cari1f −
b.
Lakarkan graf f dan 1f − .
6. Lakarkan graf fungsi nisbah berikut. Nyatakan domain dan julatnya;
a. ( )3
f x x
= b. ( )2 x
f x x
−= c. ( )
2
3
x k x
x =
−
d. ( )
2
2
2 1 x h x
x
+= e.
2 4( )
2
x f x
x
−=
−
7. Tentukan nilai tepat bagi setiap nisbah trigonometri berikut
a. 2
sin3
π
b. ( )0kos 45− c.
tan3
π ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
d.
0kos 420 e.
9sin
4
π f.
17tan
6
π ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. Dengan tanpa menggunakan kalkulator , tentukan nilai tepat bagi nisbah-nisbah trigonometri sudut θ
untuk setiap yang berikut.
a.
1sin ,
2θ = 00 90θ ≤ ≤ , kosθ , tanθ , kosekθ .
b.
3kos ,
5θ = 00 90θ ≤ ≤ , sinθ , tanθ , sekθ .
c.
6tan ,
5θ = 00 90θ ≤ ≤ , kosθ , sinθ , kotθ .
d. 1
sin ,2
θ = 0 090 180θ ≤ ≤ , kosθ , tanθ , kosekθ .
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
44/52
Unit
3
Fungsi
II|91
e.
1cos ,
3θ = 0 0270 360θ ≤ ≤ , sinθ , tanθ , sekθ .
9. Cari nilai hampir bagi sudut α ,00 360α ≤ ≤ yang mungkin bagi nisbah trigonometri berikut.
a. sin 0.56α = b. kos 0.107α = − c. tan 3.56α =
d.
kot 0.2α = − e.
5kosek
3α =
10. Lakar graf berikut pada satah koordinat yang sama untuk 0 2 x π ≤ ≤ .
a. siny x =
b. 2siny x =
c. 3siny x =
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
45/52
Kalkulus
Asas|92
RUJUKAN
Hestenes, M. D. & Hill, R. O. (1986). Algebra and trigonometry. New Jersey: Prentice-Hill, Inc..
Larson, R. & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and Trigonometry (6th. Ed.). Boston, MA: Houghton
Mifflin.
Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2003). Algebra and trigonometry with analytic geometry (I0th.
Ed.). Brooks Cole: Pacific Grove.
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 3.1
1. a.
-4 -2 2 4x
-10
-5
5
yf HxL= x 2-9
b.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
yf HxL=x- x 2
c.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
yf HxL= x 2+3x+2
d.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
f HxL=xH2x-6L
2. i. ii.
a.
25 17
2 4 x
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠ a.
23 49
510 20
x ⎛ ⎞
− − +⎜ ⎟⎝ ⎠
b.
17, ,
4f f D J
⎡ ⎞= = − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠
b. 49
, ,20
g g D J ⎛ ⎤
= = −∞⎜ ⎥⎝ ⎦
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
46/52
Unit
3
Fungsi
II|93
c. 5 17
,2 4
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎝ ⎠ , minimum c.
3 49,
10 20
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, maksimum
Latihan Formatif 3.2
1. a.
2 4 6 8x
-1
1
2
3
4
y
hHxL=1
2†x-4§
,h hD J += =
b.
2 4 6x
1
2
3
4
5
6y
gHxL=†x-3§+2
[ ), 2,g g D J = = ∞
c.
2 4 6x
1
2
3
4
5
6
yf HxL=†5-2x§
[ ), 0,f f D J = = ∞
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
47/52
Kalkulus
Asas|94
Latihan Formatif 3.3
1.a.
1
2 x = , asimptot menegak.
0y = , asimptot mengufuk.
b. ( )0, 3− , titik persilangan pada paksi
y.
c.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
y=3
2 x - 1
Latihan Formatif 3.4
1. a.y=2SinH2xL
y=SinHxL
p
2p
3 p
22p
x
-2
-1
1
2
y
b.
y=2KosH3xL+2
y=KosHxL
p
6
p
3
p
2
2 p
3
3 p
2p 2 p
x
-1
1
2
3
4y
Latihan Formatif 3.5
1.
y=3 x y=H
1
3L x
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4y
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
48/52
Unit
3
Fungsi
II|95
2. a.5log x
b.
y=log5x
-4 -2 2 4x
-4
-3
-2
-1
1
2
c. tunjukkan dengan menggunaan garis menegak
Latihan Formatif 3.6
1. a. 5log x e ,e− b. Pembuktian
2. a. { }; 0 1D J y y = = <
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
49/52
Kalkulus
Asas|96
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. a. [ )∞: , : 0,f f D J
b. [ ) [ )− ∞ ∞: 3, , : 0,k k D J .
c. { } { } : / 1 , : / 3h hD J
d. : , :f f D J
2. a. b.
-4 -2 2 4 6 8x
2
4
6
8
10y
[ ): , : 0,h hD J ∞
-10 -5 5x
-10
-5
5
y
( ]: , : ,2f f D J −∞
c. d.
-10 -5 5x
2
4
6
8
10y
[ ): , : 4,g g D J ∞
-10 -5 5x
2
4
6
8
10y
[ ) [ ): 5, , : 3,y y D J − ∞ ∞
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
50/52
Unit
3
Fungsi
II|97
3. a
y=e- x
-3 -2 -1 1 2 3 4x
-2
-1
1
2
3
4y
b. lny y = −
4. a.
y=lnHx+2L
-3 -2 -1 1 2 3 4x
-2
-1
1
2
3
4y
b.
{ }
{ }
1
1
1
0
g g
g g
D x x J
J y y D
−
−
= > − =
= > =
5. a. ( )1 3log 1f x x − = −
b.
y=3 x +1
y=log3x-1
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
51/52
Kalkulus
Asas|98
6. a.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
f HxL=3
x
{ } { }/ 0 , / 0f f D J = =
b.
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4y
gHxL= x - 2
x
/{0}, /{1}g g
D J = =
c.
-4 -2 2 4 6 8x
-5
5
y
k HxL=2 x
3 - x
{ } { }/ 3 , / 2
k k D J = = −
d.
-4 -2 2 4x
2
4
6
8
10y
hHxL=2 x 2 +1
x 2
{ }/ 0 ,h hD J += =
e.
-3 -2 -1 1 2 3 4x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
{ } { }/ 2 , / 4f f D J = =
-
8/20/2019 UNIT PELAJARAN 3 FUNGSI II.pdf
52/52
Unit
3
Fungsi
II|99
7. a.3
2 b.
2
2 c. 3− d.
1
2 e.
2
2 f.
3
3
8. a.3 1
, ,2
2 3
b.
22 22 5, ,
5 3 3
c.
5 6 5, ,
661 61
d.
1, 1, 2
2− −
e.
2 2, 2 2,3
3− −
9. a. 0.5944 rad, 2.5472 rad
b.
1.5878 rad, 4.6954 rad
c.
1.2970 rad, 4.4386 rad
d.
1.7682 rad, 4.9098 rad
e.
0.6435 rad, 2.4981 rad
10.
y=3SinHxL
y=2SinHxL
y=
SinHxL
1 2 3 4 5 6x
-3
-2
-1
1
2
3
y