Materi 4

Merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Artinya, jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata ke dalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan terletak di urutan paling tengah.

Rata-rata Hitung (Mean)adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada.

- Mean untuk data tunggal

- Mean untuk data berkelompok* Metode Biasa

Contoh : Berat badan 100 orang mahasiswa universitas

Borobudur tahun 1997.

𝑅𝑎𝑡𝑎− 𝑟𝑎𝑡𝑎 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝐽𝑢𝑚 𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎

𝑋ത= σ𝑋𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 + …+ 𝑋𝑛 𝑛

𝑋ത= σ𝑓𝑋σ𝑓

Berat Badan (kg) Banyaknya Mahasiswa (f)60 - 62 1063 - 65 2566 - 68 3269 - 71 1572 - 74 18

Berat Badan (kg) Titik Tengah (X) Frekuensi (f) fX60 - 62 61 10 61063 - 65 64 25 1,60066 - 68 67 32 2,14469 - 71 70 15 1,05072 - 74 73 18 1,341Jumlah - 100 6.718

𝑋ത= σ𝑓𝑋σ𝑓 = 6.718100 = 67.18

* Metode simpangan rata-rata Apabila M adalah rata-rata hitung sementara

Dari soal sebelumnya M = 67

Berat Badan (kg) f X d = X-M fd60 - 62 10 61 -6 -6063 - 65 25 64 -3 -7566 - 68 32 67 0 069 - 71 15 70 3 4572 - 74 18 73 6 108Jumlah 100 - 0 18

𝑋ത= 𝑀+ σ𝑓𝑑σ𝑓

𝑋ത= 67+ 18100 = 67.18

* Metode Coding

Sering digunakan apabila jumlah nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar.

Berat Badan (kg) f X d u fu60 - 62 10 61 -6 -2 -2063 - 65 25 64 -3 -1 -2566 - 68 32 67 0 0 069 - 71 15 70 3 1 1572 - 74 18 73 6 2 36Jumlah 100 - 0 0 6

𝑋ത= 𝑀+ 𝐶 𝑥 σ𝑓𝑢σ𝑓

𝑋ത= 67+ 3 𝑥 6100 = 67,18

Medianadalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan.- Median data tunggal Data Ganjil Data Genap

- Median data berkelompok

𝑀𝑒= 𝑋𝑛2 𝑀𝑒= 𝑋𝑛 2 + 𝑋𝑛+2 2 2

𝑀𝑒= 12𝑛−ሺσ𝑓2ሻ𝑜2 .𝐶

Diameter dari 40 buah pipa adalah sebagai berikut :

Diameter Pipa (mm) Frekuensi (f)65 - 67 268 - 70 571 - 73 1374 - 76 1477 - 79 480 - 82 2

Penyelesaian :

Jumlah Frekuensi (n) = 40 dan ½ n = 20

Kelas median

Jadi, kelas median adalah kelas ke-3

ቀ 𝑓2ቁ𝑜≥ 12 𝑛

𝑓1 + 𝑓1 + 𝑓1 = 20 ≥ 20

𝐵= 70.5 ቀ 𝑓2ቁ 𝑜= 7 𝐶= 3 𝐹𝑀𝑒 = 13

𝑀𝑒= 𝐵+ 12 𝑛− ሺσ𝑓2 𝑜ሻ𝑓𝑀𝑒 .𝐶 𝑀𝑒= 70.5+ 20− 713 .3 = 73.5

Modus (Mode)adalah nilai yang paling sering muncul dalam data.Modus data tunggal : Data dengan frekuensi terbanyak.Modus data berkelompok

Ukuran-Ukuran Lain Fraktil

adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama.- Kuartil (Q)- Desil- Persentil

𝑀𝑜 = 𝐿+ 𝑑1𝑑1 + 𝑑2 .𝐶

adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama.Jenis Kuartil :

- Kuartil Data Tunggal

- Kuartil Data Berkelompok

𝑄𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑖ሺ𝑛+ 1ሻ4 ,𝑖 = 1 ,2 ,3

𝑄𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝑖𝑛4 − ሺσ𝑓1ሻ 𝑜𝑓𝑄𝑖 .𝐶

Adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama.

- Desil data tunggal

- Desil data berkelompok

𝐷𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑖ሺ𝑛+ 1ሻ10 ,𝑖 = 1 ,2 ,…..,9

𝐷𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝑖𝑛10− ሺσ𝑓1ሻ 𝑜𝑓𝐷𝑖 .𝐶

adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama.- Persentil data tunggal

- Persentil data berkelompok

𝑃𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑖ሺ𝑛+ 1ሻ100 ,𝑖 = 1 ,2 ,…..,99

𝑃𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝑖𝑛100− ሺσ𝑓1ሻ 𝑜𝑓𝑃𝑖 .𝐶

Nilai rata-rata hitung dipengaruhi oleh observasi atau pengamatan.

Nilai rata-rata hitung dapat menyimpang terlalu jauh. Rata-rata hitung tidak dapat dihitung dari distribusi

yang memiliki kelas terbuka. Rata-rata paling sering digunakan dan populer,

sehingga penjelasan mengenai arti rata-rata hitung tidak diperlukan.

Jumah dari penyimpangan semua nilai pengamatan dengan nilai rata-rata hitung sama dengan nol.

Jika selisih semua nilai pengamatan dengan nilai rata-rata dihitung dikuadratkan maka jumlahnya lebih kecil daripada jumlah penyimpangan kuadrat semua nilai pengamatan dari titik lain selain rata-rata hitung.

Rata-rata hitung dapat memanipulasi secara aljabar.

Median dipengaruhi oleh banyaknya observasi, namun tidak dipengaruhi oleh nilai pengamatan.

Median dapat dihitung dari distribusi yang memiliki kelas terbua, kecuali jika kelas mediannya berada pada kelas terbuka tersebut.

Median sering digunakan pada distribusi yang memiliki kecondongan yang sangat jelek.

Median didefinisikan dan diinterpretasikan. Median lebih terpengaruh oleh fluktuasi sampling,

namun adakalanya untuk distribusi tertentu median lebih konstan terhadap fluktuasi sampling.

Jumlah penyimpangan nilai-nilai dari median lebih kecil daripada jumlah penyimpangan nilai-nilai dari titik yang lain.

Jika jumlah penyimpangan dari median dikuadratkan maka jumlahnya lebih besar daripada jumlah penyimpangan kuadrat nilai-nilai dari titik yang lain.

Dalam seperangkat data, modus bisa tidak ada dan bisa lebih dari satu.

Modus dapat ditempatkan pada distribusi yang memiliki kelas terbuka.

Modus tidak dipengaruhi oleh bilangan-bilangan yang ekstrim, dari suatu distribusi.

Letak modus atau nilai modus yang sebenarnya sukar ditentukan, karena itu kebanyakan hanya berdasarkan taksiran dalam suatu distribusi.

Perhitungan modus tidak didasarkan pada seluruh nilai pengamatan, tetapi didasarkan pada individu yang berada pada titik tempat terjadinya pemusatan yang terbanyak.

Untuk perhitungan-perhitungan secara aljabar lebih lanjut, modus tidak dapat digunakan.

Modus tidak sepopuler ukuran rata-rata hitung atau median.

Tentukan desil ke-3, ke-4, dan ke-7 dari distribusi frekuensi tersebut.

Nilai Frekuensi (f)30-39 540-49 350-59 660-69 770-79 880-89 790-99 4

Jumlah 40

Hitunglah rata-rata hitung median, modus, kuartil dari nilai-nilai berikut :- 3, 4, 6, 7, 8, 9- 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20- 102, 105, 103, 106, 104, 102- 1,3; 1,5; 1,6; 2,4; 2,7; 3,8; 4,5- ½, ¼, 2/5, 1/6, 4/6, 1/8, 1/9

Tabel berikut menunjukkan umur kepala keluarga (ayah) di suatu negara pada tahun 1997.

Umur Ayah (Tahun) Angka (Juta)25-29 2,2230-34 4,0535-39 5,0840-44 10,4545-49 9,4750-54 6,6355-59 4,1660-64 1,66

Jumlah 43,27

- Tentukan rata-rata umur ayah pada tahun tersebut!- Tentukan median dan modus dari umur ayah tersebut!- Tentukan kuartil bawah dan atas serta desil keempat

dari umur ayah tersebut!

Bumi Aksara