1. Pengertian Besaran Vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran

skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa jenis, luas, volum,

muatan listrik, potansial listrik, kapasitas, dan kuat arus listrik.

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan juga arah. Beberapa besaran

skalar di antaranya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, impuls, momentum, momen gaya dan

kuat medan magnet. Besar (nilai) dari suatu besaran vektor selalu positif.

2. Menggambar Vektor dan Menulis Notasi Besaran Vektor

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah

anak panah yang terdiri atas pangkal dan ujung. Panjang

anak panah menyatakan besar atau nilai, dengan

menggunakan skala sembarang. Arah anak panah (dari

pangkal ke ujung) menyatakan arah vektor.

Gambar di samping menjelaskan tiga buah

vektor gaya : 100 N ke kanan, 200 N ke kiri, dan 300 N ke

kanan. Ditetapkan skala panjang 2 cm sama dengan 100 N,

sehingga 200 N sama dengan skala panjang 4 cm dan 300

N sama dengan 6 cm.

Notasi besaran vektor dapat berupa huruf besar

(kapital) atau huruf kecil. Untuk tulisan cetak, notasi tersebut

biasanya berupa huruf tebal misalnya, A atau a dan dibaca

vektor A. Untuk tulisan tangan, notasi besaran vektor berupa huruf diberi tanda panah di atasnya,

misalnya atau A a . Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vektor sama. Sebuah

vektor dikatakan berlawanan (negatif) terhadap vektor lain jika kedua vektor mempunyai besar sama

tetapi arahnya berlawanan.

1. Penjumlahan Vektor Secara Grafis

Penjumlahan vektor secara grafis terdiri dari dua, yaitu a) cara polygon dan b) cara jajar

genjang. Berikut ini penjelasan dari kedua cara tersebut.

a. Cara Poligon

Ciri-ciri melukis vektor dengan cara poligon adalah:

“ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”

Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara poligon sebagai berikut.

1. Lukis salah satu vektor (sebut vektor pertama).

2. Lukis vektor kedua dengan pangkal di ujung vektor pertama (arahnya harus tepat), bertemu

vektor ketiga dengan pangkal di ujung vektor kedua, dan seterusnya sampai semua vektor

yang akan dijumlahkan telah dilukis.

3. Vektor hasil penjumlahan (disebut resultan) didapat dengan menghubungkan pangkal vektor

pertama ke ujung terakhir.

F=100 N ke kanan

pangkal ujung

F=200 N ke kiri

F=300 N ke kanan

Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B dan R = B+A secara POLIGON

Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara POLIGON

b. Cara Jajaran Genjang

Ciri-ciri melukis vektor dengan cara jajar genjang adalah:

“ pangkal vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”

Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara jajaran genjang sebagai berikut.

1. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berhimpit.

2. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisi.

3. Resultan adalah diagonal jajaran genjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal

kedua vektor.

Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B secara JAJAR GENJANG

Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara JAJAR GENJANG

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B

A O

B

A

R

O

B R

O

A

O

B

A

C O

A

B

R

C

O

B

A O

B

A

R

B

O

A

C

B

O

C

S

Soal :

Empat buah vektor A, B, C, dan D memiliki arah dan

besaran seperti pada gambar berikut ini. Pernyataan

yang benar adalah...

a. A + B + C = D

b. D + A + B = C

c. A + D + C = B

d. B + C + D = A

e. A + B + C + D = 0

Penyelesaian :

Dalam poligon pada gambar soal terlihat bahwa dua

anak panah yang ujungnya bertemu adalah A dan B dan dua anak panah yang pangkalnya

bertemu adalah B dan C, sehingga anak panah yang menutup poligon adalah B. Dengan

demikian, vektor resultannya adalah B. Jadi pernyataan yang benar adalah A + D + C = B.

sehingga jawabannya adalah (C).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Lengkapilah tabel berikut ini! Dengan memberikan tanda silang (X) jika besaran termasuk

besaran vektor atau besaran skalar.

Nama Besaran Vektor Skalar

Kecepatan X -

Perpindahan

Kelajuan

Gaya

Usaha

Energi

Percepatan

Kuat Arus

Suhu

2. Lukislah besaran vektor berikut ini!

a. 4 cm Ke arah sumbu X positif.

b. 5 cm ke arah sumbu Y negatif.

c. 3 cm membentuk sudut 30O terhadapa sumbu X positif.

d. 5 cm membentuk sudut 60O terhadap sumbu Y negatif.

3. Tentukan resultan dari kedua vektor berikut secara poligon dan secara jajar genjang!

a. A = 3 cm ke Timur, B = 4 cm ke utara.

b. A = 3 cm ke sumbu X positif, B = 4 cm membentuk sudut 30O terhadap sumbu positif.

4. Dari kelima diagram vektor dibawah ini,

B

A

D

C

Yang menggambarkan D = A + B + C adalah….

5. Gambar dibawah ini merupakan penjumlahan vektor secara segitiga

Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah….

2. Penjumlahan Vektor Secara Analitis

a) Menentukan Resultan Dua Vektor dengan Rumus Kosinus

Perhatikan gambar di sampingini. Besar resultan dari dua

vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut 𝛼dapat dinyatakan

dengan :

2 2 2 cosR A B AB

Dengan :

R = Resultan kedua vektor

A , B = Dua buah vektor

θ = sudut antara kedua vektor A dan B.

Soal :

Dua buah vektor masing – masing besarnya F1 = 3 N dan F2 = 5 N, kedua vektor tersebut

berapda pada satu titik tangkap dan membentuk sudut 60O, maka tentukan : a. Resultan kedua

vektor tersebut; b. Arah resultan vektor terhadapa F1

Penyelesaian :

Diketahui :

F1 = 3 N; F2 = 5 N; θ = 60O

ditanya : a. R = …?; b. arah ?

jawab :

a. Menentukan Resultan (R)

2 2

1 2 1 2

2 2

2 cos

3 5 2.3.5cos60

9 25 15

49 7 N

O

R F F F F

R

R

R

b. Untuk menentukan arah kita gunakan persamaan Berikut ini!

F1

F2 R

F1

F2

R

60O

2

sinsin60

7 5

0,87 sin

5 0,87sin

7

sin 0,621

38,4

O

O

FR

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) Menentukan Resultan Dua Vektor atau Lebih

Untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode analitis, terlebih dulu kita bahas

menguraikan vektor.

Menguraikan vektor

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi komponen horisontal dan vertikal . sebuah vektor A

dapat diuraikan menjadi komponen – komponen yang saling tegak lurus yaitu AX dan AY.

Soal :

1. Sebuah vektor perpindahan sebesar 200 m terletak pada bidang XOY dan membentuk

sudut 30O terhadap sumbu X positif, maka tentukan : a. Komponen perpindahan yang

searah sumbu X; b. Komponen perpindahan yang searah sumbu Y

Penyelesaian :

Diketahui : s = 200 m; θ = 30O

Ditanya : a. sX = …?; b. sY = … ?

Jawab :

a. Komponen perpindahan pada sumbu X

cos

200 cos30

1200 3

2

100 3 m

x

O

x

x

x

s s

s

s

s

b. Komponen perpindahan pada sumbu Y

sin

200 sin30

1200

2100 m

x

O

x

x

x

s s

s

s

s

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Perhatikan gambar berikut

A

AX

Ay

y

x

vektor A dapat diuraikan menjadi dua vektor, yaitu A dan AX Y

cosx

A A

sinY

A A

2 2

X YA A A

} komponen vektor A

s

sX

sy

y

x

o

30O

dari gambar di samping, tentukan :

a. komponen pada sumbu X vx

b. komponen pada sumbu vY

c. besar vektor v

v

2

3

4

5

Jawab:

a. Komponen pada sumbu (vX)

vX = 4 m/s (Karena ada 4 kotak ke arah sumbu x positif)

b. Komponen pada sumbu (vX)

vY = 5 m/s (Karena ada 5 kotak ke arah sumbu y positif)

c. Besar vektor (v) 2 2 2 24 5

16 25 41 m/s

X Yv v v

v

Setelah memahami penguraian vektor, selanjutnya kita bahas penjumlahan dua buah vektor

atau lebih dengan memperhatikan soal penyelesaian berikut ini!

Soal :

Resultan dari ketiga vektor pada gambar berikut ini adalah ….

Penyelesaian :

1. Menguraikan masing – masing vektor.

1

1 1

1

1

3 60

cos

3cos60

13 1,5

2

O

X

O

X

X

F N

F F

F

F N

1

1 1

1

1

3 60

sin

3sin60

13 3 1,5 3

2

O

y

O

Y

Y

F N

F F

F

F N

2

2 2

2

2

3 180

cos

3cos180

3 1 3

O

X

O

X

X

F N

F F

F

F N

2

2 2

2

2

3 180

sin

3sin180

3 0 0

O

y

O

y

y

F N

F F

F

F N

1

F2

F1 F1y

F1x F3x

F3y

F3

3

3 3

3

3

6 270

cos

6cos270

16 3

2

O

X

O

X

X

F N

F F

F

F N

3

3 3

3

3

6 270

sin

6sin270

16 3 3 3

2

O

y

O

y

y

F N

F F

F

F N

*) semua sudut diukur dari sumbu X positif.

2. Menjumlahkan komponen – komponen vektor.

1 2 3

1,5 3 3

1,5 N

X X X X

X

X

F F F F

F

F

1 2 3

1,5 3 0 3 3

1,5 3 N

y y y y

y

y

F F F F

F

F

3. Menentukan resultan.

2 2

221,5 1,5 3

2,25 6,75 9 3 N

X yR F F

R

R

1. Sebuah balok ditarik dengan gaya F = 100 N membentuk sudut 60O terhadap bidang datar.

Tentukan komponen gaya sumbu X dan sumbu Y.

2. Resultan ketiga gaya dibawah ini adalah….

3. Tiga buah vektor setitik tangkap terlihat seperti

gambar berikut. Besar masing-masing vektor

adalah :

|V1| = 30 satuan

|V2| = 30 satuan

|V3| = 40 satuan

Besar resultan ketiga vektor tersebut adalah …

4. Tiga buah gaya masing – masing 8√3 N, 12 N, dan 6 N berada pada bidang cartesian x – y.

gaya pertama searah sumbu x, gaya kedua searah sumbu y dan gaya ketiga membentuk

sudut 30O terhadap sumbu x negatif, tentukan : a. Resultan gaya pada sumbu X; b. Resultan

gaya pada sumbu Y; c. Resultan dari ketiga gaya.

5. Pada gambar di bawah, F1 = F2 = 10 N dan F3 = 15 N. Nilai resultan ketiga gaya dalam arah

sumbu X adalah … N.

6. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar dan arah resultannya adalah…

7. Perhatikan ganbar. Sebuah bola ditarik oleh tiga gaya dengan arah berbeda-beda. Jika satu

petak mewakili dua Newton, maka resultan gaya yang bekerja pada balok adalah…

1. Perkalian Skalar dengan Vektor

Vektor B = k A dengan k bilangan(skalar) adalah suatu vektor yang besarnya k kali besar A dan

arahnya searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua

dengan kosinus sudut apitnya.

Secara matematis, ditulis :

cosA B AB atau cosB A BA

Dengan 0o ≤ θ≤180o

Oleh karena AB cosθ = BA cosθ, maka pada perkalian titik berlaku hukum komutatif :

A B B A

Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian titik

a. Pada perkalian titik berlaku hukum distributif.

A B C A B A C

b. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90º, maka :

600

Y

X

F1

F2

F3

600

Utara

Timur 60

o

F1=2 N F2=4 N

30

o

30

o

F3=6 N

Barat

Selatan

F

F

F

0A B

c. Jika kedua vektor A dan B searah yaitu θ= 0o, maka :

A B AB

d. Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah, yaitu θ= 180o, maka :

A B AB

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang AxB didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang di

mana A dan b mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya sama dengan hasil kali dari besar

kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis ditulis :

sinC A B

Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian silang.

a. Nilai 0o ≤ θ≤180o, sehingga nilai C dalam C=AB sin θ selalu positif.

b. Perkalian silang bersifat antikomutatif.

A B B A

c. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90o, maka :

A B AB

d. Jika kedua vektor A dan B segaris kerja, dapat searah atau berlawanan arah, maka :

0A B

Soal :

1. Dua buah vektor masing-masing 10 satuan dan 5 satuan. Vektor tersebut satu sama

lainnya saling tegak lurus, maka hasil perkalian titiknya adalah ....

Penyelesaian :

misalkan A = 10 satuan, B = 5 satuan, dan θ = 90O

cos

10 5 cos90

50 0

0

O

A B AB

A B

A B

A B

Soal :

2. Dua buah vektor V1 dan V2 masing-masing besarnya 5 satuan dan 6 satuan, keduanya saling

mengapit sudut sebesar 370. Hitunglah: a. Hasil perkalian titik kedua vektor!; b. Besar hasil

perkalian silang kedua vektor!

Penyelesaian :

a. Hasil perkalian titik kedua vektor b. Hasil perkalian silang kedua vector

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

cos

5 6 cos37

30 0,8

24 satuan

O

V V V V

V V

V V

V V

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

sin

5 6 sin37

30 0,6

18 satuan

O

V V V V

V V

V V

V V

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------

1. Dua buah vektor masing-masing 20 satuan dan 10 satuan. Keduanya membentuk sudut

tertentu. Hasil perkalian titik kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:

a. 0o

b. 60o

c. 90o

2. Dua buah vektor masing-masing 30 satuan dan 20 satuan. Keduanya membentuk sudut

tertentu. Hasil perkalian silang kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:

a. 0o

b. 30o

c. 90o

3. Dua buah vektor a

dan b

masing - masing besarnya 10 N dan 8 N, saling mengapit sudut 300.

Besarnya vektor a

xb

atau bxa

adalah ……

4. Vektor Satuan

a. Vektor Satuan di dalam Bidang

Suatu vektor pada suatu bidang dapat dinyatakan dalam vector satuan. Seperti gambar berikut:

adalah vektor satuan darah arah sumbu X.

j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.

i

Vektor i dan j disebut vektor satuan Karena besar vektor ini sama dengan satu.

1 dan j =1i .

Suatu vektor di dalam suatu bidang dapat dinyatakan dalam vektor satuan, yaitu :

r xi y j

Dengan besarnya :

2 2r x y

Yang digambarkan sebagai berikut:

b. Vektor Satuan di dalam Ruang

Suatu vektor satuan di dalam ruang, dinyatakan sebagai : (lihat

gambar)

adalah vektor satuan darah arah sumbu X.

j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.

adalah vektor satuan darah arah sumbu Z.

i

k

Suatu vektor di dalam ruang dapat dinyatakan dalam bentuk

vektor satuan, yaitu :

r xi y j zk

Dengan besarnya :

2 2 2r x y z

Yang digambarkan sebagai berikut:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soal :

1. Jika pada suatu bidang XOY terdapat 8 6r i j satuan, maka tentukan : a. besar vektor

r ; b. arah vektor .r

Penyelesaian:

Diketahui :

8 6r i j x = 8 satuan ; y = 6 satuan.

a. Menentukan besar vektor .r b. menentukan arah vektor .r

2 2

2 28 6

100

10 satuan

r x y

r

r

r

6

8

37O

ytg

x

tg

2. Jika diketahui vektor ˆˆ ˆ3 2A i j k dan vektor ˆˆ ˆ3 4B i j k , maka nyatakan A B ke

dalam vektor satuan dan hitung besarnya.

Penyelesaian:

Menentukan vektor A B menentukan besar vekto A B

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4

ˆˆ ˆ3 1 1 3 2 4

ˆˆ ˆ2 4 2

A B i j k i j k

A B i j k

A B i j k

2 2 22 4 2

4 16 4

24 2 6 satuan

A B

A B

A B

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Perkalian Dua Vektor Satuan

a. Perkalian Titik atau Dot Product

Perhatikan gambar berikut ini!

Jika :

ˆ ˆ 1.1cos0 1

ˆ ˆ 1.1cos0 1

ˆ ˆ 1.1cos0 1

o

o

o

i i

j j

k k

ˆˆ 1.1cos90 0

ˆˆ 1.1cos90 0

ˆ ˆ 1.1cos90 0

o

o

o

i k

j k

i j

ˆ ˆˆ ˆ 0

ˆ ˆˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

i k k i

j k k j

i j j i

Sehingga dapat diambil kesimpulan :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k

Selain perkalian di atas = NOL.

b. Perkalian Silang atau Cross Product

Perhatikan gambar di samping!

Jika :

ˆ ˆ 1.1sin0 0

ˆ ˆ 1.1sin0 0

ˆ ˆ 1.1sin0 0

o

o

o

i i

j j

k k

ˆ ˆˆ ˆ 1.1sin90

ˆˆ ˆ ˆ1.1sin90

ˆ ˆ ˆ ˆ1.1sin90

o

o

o

i j k k

j k i i

k i j j

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

j i i j k

k j j k i

i k k i j

Untuk memudahkan dalam memahami perkalian silang vektor

satuan dapat dituliskan :

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i j k

j k i

k i j

untuk perkalian silang KEBALIKANNYA bertanda

NEGATIF (-)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soal :

Diberikan dua vektor satuan dalam ruang sebagai berikut. ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 dan 2 3 A i j k B i j k

Tentukan : a. beserta besarnya.A B ; b. beserta besarnya.A B

Penyelesaian:

a. menentukan beserta besarnya.A B

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3

6 0 0 0 2 0 0 0 12

20

A B i j k i j k

A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k

A B

A B

b. menentukan beserta besarnya.A B

2 2 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 3 9 4 0 6 8 4 0

ˆˆ ˆ2 7

2 1 7

4 1 49

54

A B i j k i j k

A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k

A B k j k i j i

A B i j k

A B

A B

A B

1. lengkapilah tabel dot product berikut ini!

. i j k

i 1

j

k 0

2. lengkapilah tabel cross product berikut ini!

X i j k

i 0 k

j

k

3. dua vektor masing – masing : ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 4 5 dan 4 3 2A i j k B i j k , nyatakan kedua vektor

tersebut dalam bentuk : a. A B ; b. A B ; c. 2 3A B ; d. 2 3B A

A. SOAL PILIHAN GANDA

1. berikut ini adalah besaran – besaran vektor, kecuali ….

A. Perpindahan D. momentum

B. Berat E. usaha

C. percepatan

2. Kelompok besaran di bawah ini yang termasuk besaran vektor adalah . . . .

A. kelajuan, kuat arus, gaya D. tegangan, intensitas cahaya, gaya

B. energi, usaha, banyak mol zat E. gaya, percepatan, waktu

C. kecepatan, momentum, kuat arus listrik

3. Dua buah vektor masing – masing besarnya 3 satuan dan 4 satuan. Sudut antara kedua vektor

tersebut adalah 90O. resultan dari vektor tersebut adala….

A. 7 satuan D. 5 satuan

B. 1 satuan E. 12 satuan

C. 0,75 satuan

4. Ada tiga buah gaya dengan besar masing – masing 14 N arah timur, 8 N arah selatan, 8 N arah barat.

Resultan ketigagaya tersebut adalah ….

A. 6 N D. 12 N

B. 8 N E. 16 N

C. 10 N

5. Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan resultan antar kedua vektor

tersebut adalah 1

22

maka cosinus sudut apit antara kedua vektor adalah ….

A. 1

3 D.

12

2

B. 1

2 E.

13

2

C. 1

6. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bia perbandingan jumlah dan besar selisih kedua vektor

sama dengan 3 , maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….

A. 30O D. 60O

B. 37O E. 120O

C. 45O

7. Bila hasil perkalian silang kedua vektor sama dengan nol, maka kedua vektor ….

A. Searah D. berlawanan arah

B. Membentuk sudut 60O E. membentuk sudut 45O

C. Tegak lurus

8. Tiga buah gaya yang masing – masing nilainya 6 N, 5 N dan 4 N digambarkan dalam diagram

Cartesius seperti berikut:

Resultan ketiga gaya tersebut adalah … N

A. √31 D. √7

B. √63 E. √5

C. √11

9. Seseorang menarik meja ke arah barat dengan gaya 60 N. Jika 1 cm mewakili gaya 15 N, gambar

vektor gaya tersebut yang benar adalah . . . .

A. D.

B. E.

C. Perhatikan gambar vektor- vektor berikut untuk menjawab soal no 10 sampai no 12

10. Gambar resultan dari a + b dengan metode jajargenjang yang benar adalah . . .

A. D.

B. E.

C.

11. Gambar resultan dari a + c + d dengan metode poligon yang benar adalah....

A. D.

B. E.

C.

12. Gambar resultan dari a + b – c – d dengan metode analisis yang benar adalah ....

A. D.

B. E.

C.

13. Vektor gaya (F) mempunyai titik asal (6,–4) dan titik ujung (8,2). Bila ditulis dalam vektor satuan, maka

F adalah ….

A. ˆ ˆ2 2F i j D. ˆ ˆ14 2F i j

B. ˆ ˆ2 6F i j E. ˆ ˆ14 6F i j

C. ˆ ˆ2 6F i j

14. Diketahui vektor ˆˆ ˆ5 2A i j k m . Jika besar 2 adalah 74 m,A B maka vektor adalah ....B

A. ˆˆ ˆ4 5 8i j k m D. ˆˆ ˆ6 3 5i j k m

B. ˆˆ ˆ2 3i j k m E. ˆˆ ˆ8 6 5i j k m

C. ˆˆ ˆ8 4i j k m

15. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang

memindahkan sebuah benda dengan gaya ˆˆ ˆ2 3F i j k N , sehingga mengalami perpindahan

ˆ ˆ3 3s i j m . Usaha yang dilakukan orang tersebut adalah ….

A. 9 Nm D. 18 Nm

B. 10 Nm E. 20 Nm

C. 15 Nm

16. Hasil perkalian silang antara vektor 1ˆˆ ˆ2 3 3F i j k dan 2

ˆˆ ˆ3 6 4F i j k adalah ….

A. ˆˆ ˆ4 13 18i j k D. ˆˆ ˆ6 21 17i j k

B. ˆˆ ˆ6 17 21i j k E. ˆˆ ˆ8 19 21i j k

C. ˆˆ ˆ6 19 21i j k

17. Diketahui vektor ˆ ˆ6 12P i j dan ˆ ˆQ ai bj . Jika kedua vektor saling tegak lurus, maka ….

A. 1

3a b D.

1

3a b

B. 1

2a b E.

1

2b a

C. 1

2a b

18. Pernyataan berikut yang benar adalah ….

A. A B A B D. A B B A

B. A B B A E. A B B A

C. A B A B

19. Dua buah partikel bergerak dari suatu titik. Partikel pertama bergerak dengan persamaan kecepatan

ˆ ˆ2 4 ,v i j sedangkan partikel kedua bergerak dengan kecepatan ˆ ˆ2 4 .v i j jika besar resulran

kedua vektor 44, maka sudut yang dibentuk oleh kedua partikel tersebut adalah ….

A. 120O D. 45O

B. 90O E. 30O

C. 60O

20. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bila resultan kedua vektor sama dengan F , maka sudut

yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….

A. 30O D. 60O

B. 37O E. 120O

C. 45O

B. SOAL URAIAN

1. Mobil bergerak sejauh 6 km ke timur, kemudian 2 km ke selatan, dan seterusnya bergerak 2 km ke

barat. Hitung besar dana rah resultan perpindahan tersebut?

2. Sebuah perahu menyebrangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila

perahu diarahkan menyilang tegal lurus arus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka hitung :

a. Kecepatan resultannya

b. Ke arah mana perahu meluncue melintasi sungai itu

c. Lamanya perahu menyebrang

d. Panjang lintasan yang dilalui perahu

3. Tiga buah vektor yang besarnya masing – masing V1 = 80 N, V2 = 80 N, dan V3 30 N, yang tampak

seperti gambar berikut:

Tentukan :

a. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu X.

b. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu Y.

c. Besarnya resultan dari ketiga vektor.

d. Arah resultan terhadap sumbu X positif.

4. Tiga buah vektor diberikan dengan persamaan ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 , 2A i j B i j dan ˆ ˆ2 4 ,C i j tentukan dan

gambarkan hasil operasi penjumlahan berikut menggunakan metode analitis dan metode poligon:

a. 2A B b. 2B A c. A B C

5. Dari vektor pada soal nomor 4, tentukan :

a. A B c. A B C

b. B A d. A B C

1. EBTANAS 1988

Jika besar vektor A = 10 satuan, membuat sudut 60O dengan sumbu X positif, maka besar vektor

tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah ….

A. AX = 10 satuan; AY = 10 satuan D. AX = 5 satuan; AY = 5√3 satuan

B. AX = 10 satuan; AY = 10√3 satuan E. AX = 5√3 satuan; AY = 5 satuan

C. AX = 5 satuan; AY = 5 satuan

2. EBTANAS 1986

Vektor A = 3 satuan, B = 4 satua. A + B = 5 satuan. Besar sudut yang diapit vektor A dan B adalah

….

A. 90O D. 120O

B. 45O E. 180O

C. 60O

3. EBTANAS 2006

Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing – masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan

saling mengapit sudut 60O, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ….

A. 15 N D. 24 N

B. 20 N E. 30 N

C. 21 N

4. EBTANAS 1986

Jika sebuah vektor dari 12 N diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan sebuah

diantaranya membentuk sudut 30O dengan vektor itu, maka besar masing – masing vektor adalah

….

A. 6 N dan 6√3 N D. 3 N dan 3√2 N

B. 6 N dan 2√2 N E. 3 N dan 3√3 N

C. 6 N dan 3√2 N

5. EBTANAS 1998

Pada gambar di samping, komponen vektor gaya F menurut sumbu X

adalah ….

A. 1

3 F2

D. 1

F2

B. 1

2 F2

E. 1

3 F2

C. 1

F2

6. UN 2016

Rute perjalanan sebuah robot track line adalah sebagai berikut:

9 m menuju ke timur

15 m membentuk sudut 53O dari timur ke utara

9 m menuju ke bara

Perpindahan robot track line adalah … m

A. 5 D. 15

B. 8 E. 29

C. 12

7. UN 2016

Seorang anak kecil berjalan sejauh 10 m kea rah timur, kemudian berbelok ke utara sejauh 6 m dan

kembali kea rah barat sejauh 2 m, untuk kemudian berhenti. Besar Perpindahan anak kecil tersebut

adalah … m

A. 2 D. 14

B. 6 E. 18

C. 10

8. UN 2016

Seorang berjalan ke arah barat sejauh 5 m, kemudian berbelok ke selatan sejauh 3 m dan setelah

itu anak tersebut melanjutkan perjalanan ke arah timur sejauh 9 m. maka perpindahan anak

tersebut adalah … m

A. 5 D. 20

B. 9 E. 22

C. 17

9. UN 2013

Vektor gaya F1, F2, dan F3 terletak pada sebuah diagram kartesius

seperti gambar. Resultan ketiga vektor adalah….

A. √26 N D. √168 N

B. √76 N E. √204 N

C. √84 N

10. UN 2013

Perhatikan gambar di samping. Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah ....

A. 0 D. 8√3 N

B. 2√3 N E. 12√3 N

C. 4√3 N

11. UN 2013

Perhatikan gambar berikut!

Tiga buah vektor gaya, masing-masing besarnya F1 = 12 N, F2 = 6 N, dan F3 = 12 N tersusun seperti

gambar. Resultan ketiga vektor tersebut adalah….

A. 6 N D. 16 N

B. 8 N E. 20 N

C. 12 N

12. UN 2013

Tiga buah vektor kecepatan v1, v2, dan v3 titik tangkap seperti gambar tersebut. Diketahui v1 = 30

satuan, v2 = 30 satuan, v3 = 10 satuan, maka besar resultan ketiga vektor adalah….

A. 100 satuan D. 10√10 satuan

B. 10√3 satuan E. 130 satuan

C. 10√5 satuan

13. UN 2013

Perhatikan gambar! Resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah….

A. 10 N D. 5 N

B. 8 N E. 4 N

C. 6 N

14. UN 2013

Resultan ketiga gaya pada gambar di samping adalah….

A. 24 N D. 10 N

B. 16 N E. 4 N

C. 12 N

15. UN 2013

Vektor F1 = 9 N, F2 = 15 N, dan F3 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gampar.

Berapa resultan ketiga vektor tersebut?

A. 6 N D. 12 N

B. 8 N E. 16 N

C. 10 N

16. UN 2013

Tiga buah vektor gaya setitik tangkap seperti gambar, masing-masing F1 = 10 N, F2 = 4 N dan F3 = 3

N. Berapa resultan ketiga gaya tersebut? (Sin 37o = 0,6 dan Cos 37o = 0,8)

A. 2,5 N D. 6 N

B. 5 N E. 7,5 N

C. 5,5 N

17. UN 2012

Tiap skala pada gambar berikut ini setara dengan besar

gaya 1 N. Besar resultan kedua vektor gaya tersebut

adalah…

A. 13 N

B. 15 N

C. 17 N

D. 18 N

E. 21 N

18. UN 2012

Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan

saling mengapit sudut 60°, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ...

A. 15 N D. 24 N

B. 20 N E. 30 N

C. 21 N

19. UN 2012

Jika pada suatu bidang XOY terdapat vektor posisi r = 4i + 4j , maka besar dan arah vektor r adalah…

A. 8 m ; 45O D. 4 2 m ; 90O

B. 4 2 m ; 45o E. 4 3 m ; 45O

C. 8 m ; 90O

20. UN 2012

Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.

Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...

A. 7i + 10√3j

B. 7i + 10j

C. 3i + 7√3j

D. 3i + 10j

E. 3i + 7j

21. UN 2012

Sebuah benda bergerak dengan lintasan seperti grafik berikut :

Perpindahan yang dialami benda sebesar ….

A. 23 m

B. 21 m

C. 19 m

D. 17 m

E. 5 m

22. UN 2012

Seorang anak naik sepeda ke sekolah dengan lintasan seperti gambar. Besar perpindahan anak

tersebut dari keberangkatannya sampai tiba di sekolah adalah….

A. 300 m

B. 400 m

C. 500 m

D. 700 m

E. 900 m

23. UN 2012

Budi berjalan sejauh 6 meter ke timur, kemudian 6 meter ke selatan, dan 2 meter le timur.

Perpindahan Budi dari posisi awal adalah ….

A. 20 m D. 10 m

B. 14 m E. 8 m

C. 12 m

F1

F2

F1

F2 60

X ( satuan vektor ; i )

Y ( satuan vektor ; j )

Ruma

h 500

m

MA

N 100

m

300 m

mula bergerak

x(m

)

y(m

)

berhenti

bergerak

A B

-5

-5

0

3

10

24. UN 2012

Seorang anak berlari menempuh jarak 80 m ke utara, kemudian membelok ke timur 80 m dan ke

selatan 20 meter. Besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah ….

A. 60 m D. 120 m

B. 80 m E. 180 m

C. 100 m

25. UN 2008

Fitria melakukan perjalanan napak tilas dimulai dari titik A ke titik B : 600 m arah utara; ke titik C 400

m arah barat; ke titik D 200 m arah selatan; dan kemudian berakhir di titik E 700 m arah timur. Besar

perpindahan yang dialami Fitria adalah....

A. 100 m D. 1500 m

B. 300 m E. 1900 m

C. 500 m

26. UN 2007

Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.

Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...

A. 7i + 10√3j D. 3i + 10j

B. 7i + 10j E. 3i + 7j

C. 3i + 7√3j

27. UMPTN 1996

Perhatikan vektor – vektor yang besar dan arahnya terlukis pada kertas berpetak seperti gambar.

jika panjang satu petak adalah 1 newton (N), maka besar resultan kedua vektor adalah ….

A. 8 N D. 11 N

B. 9 N E. 12 N

C. 10 N

:: catatan ::

MATERI : KOMPONEN VEKTOR

Kelompok :

Nama : 1……………………………..

2……………………………..

3……………………………..

4……………………………..

A. Tujuan

1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea

2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor

3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relatif dari percobaan vektor

4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dari percobaan yang dilakukan

B. Alat dan Bahan

1. Neraca pegas (3 buah)

2. Benang

3. Kertas grafik

4. Papan triplek

5. Paku payung

6. Busur derajat

C. Langkah Kerja

1. Siapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.

2. Kaitkan neraca pegas pada tiap ujung benang sehingga membentuk seperti gambar

berikut.

3. Siapkan papan triplek, tancapkan dua paku payung kemudian kaitkan dua neraca pegas

pada paku payung. Tarik neraca pegas ketiga sehingga dua neraca pegas pertama yang

terikat pada paku payung membentuk sudut 900 (siku-siku). Pastikan sudut siku-siku itu

dengan meletakkan kertas grafik milimeter pada papan triplek.

4. Tandai titik sambungan benang yang membentuk sudut siku-siku dan titik lain pada

benamg penghubung neraca pegas ketiga. Kemudian, hubungkan titik potong benang (siku-

siku) dengan masing-masing paku payng dan titk kedua sehingga membentuk garis.

Perpanjang garis yang menghubungkan titik siku-siku dengan titik lain sehingga

membentuk gambar seperti berikut.

5. Catat hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas sebagai vektor F1 dan F2 untuk dua neraca

pegas saling menyiku. Cata pula hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas ketiga sebagai

vektor F.

Informasi :

Vektor F1 dan F2 merupakan komponen dari F.

Vektor F merupakan vektor negatif dari tarikan neraca pegas ketiga, karena ketiga Vektor

gaya membentuk kesetimbangan, sehingga resultannya nol.

Ketiga gaya itu dapat digambar sebagai berikut.

6. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara garis hubung putus-putus (mewakili F) denga vektor F1.

7. Lakukan percobaan seperti langkah 1 sampai dengan 6 sebanyak 3 kali dengan cara

memindahkan salah satu paku payung yang tertancap.

8. Masukkan data hasil percobaan anda ke dalam tabel.

9. Hitung kesalahan relatif dari pengukuran.

D. Data Hasil Penelitian

Percobaan ke F1 F2 F α

1

2

3

α

F2

F

F1

𝛼

4

E. Analisis Data

1. Lengkapi data percobaan dengan tabel berikut ini.

Percobaan ke F1 F2 F α Sin α F1 Sin α F2Sin α

1

2

3

4

2. Amati tabel tersebut, adakah kecenderungan nilai yang sama? Tuliskan pada bagian yang

mana ……………………………………………………………………………………………………………

3. Biasanya komponen vektor ada yang dinamakan komponen pada sumbu x dan komponen

pada sumbu y. Adakah yang memiliki kecenderungan sama dengan penamaan itu? Tuliskan

bagian mana yang dimaksud ………………………………………………………………………………………………

4. Besar kesalahan relatif dari percobaan adalah

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

F. Kesimpulan

1. Hubungan antara nilai, F, F1, F2 dan sudut α dapat ditulis sebagai berikut.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

2. Jika komponen vektor dinyatakan dengan Fx, dan Fy, maka dapat dituliskan rumus

komponen sebagai berikut.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

MATERI : RESULTAN DUA VEKTOR

Kelompok :

Nama : 1……………………………..

2……………………………..

3……………………………..

4……………………………..

A. Tujuan

1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea

2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor

3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relati dari percobaan vektor

4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dengan menggunakan metode analitis dari

percobaan yang dilakukan

B. Alat dan Bahan

1. Neraca pegas (3 buah) 4. Busur derajat

2. Paku payung (2 buah) 5. Benang secukupnya

3. Alas dari triplek 6. Paku paying, papan triplek, dan benang secukupunya

C. Langkah Kerja

Alternatif pertama

1. Menyiapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.

2. Menancapkan dua buah paku payung pada papan triplek (setelah diberi kertas di atasnya),

kemudian memasang neraca pegas seperti seperti gambar berikut.

3. Tarik neraca pegas ketiga (tidak dikaitkan ke paku payung) sampai posisi tertentu.

Pertahankan dalam keadaan diam, kemudian catatlah ketiga gaya yang ditunjukkan neraca

pegas. Beri tanda pada titik sambung benang dan pada garis yang dihubungkan pada

neraca pegas ketiga.

4. Setelah dilepas, gambarkan garis yang menghubungkan titik-titik yang sudah ditandai

dengan paku payung sehingga membentuk gambar sebagai berikut.

5. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara F1 dengan F1.

6. Lakukan percobaan berulang-ulang dengan mengubah tarikan neraca pegas ketiga.

Kemudian ikuti langkah 2,3 dan 4

7. Masukkan data hasil percobaan dalam tabel

8. Hitung kesalahan relatif yang dilakukan.

F1

F2

F3

α

Alternatif kedua

1. Susunlah statif, katrol bertangkai, dan beban seperti gambar berikut.

2. Letakkan papan triplek yang dilapisi kertas dibelakangnya sehingga seperti gambar

berikut.

3. Aturlah beban A, B, dan C sehingga mencapai keseimbangan (sistem tidak gerak lagi).

4. Nyatakan di A, B, dan C dengan F1, F2, FR.

5. Ukurlah sudut α.

6. Lakukan percobaan beberapa kali, kemudian masukkan data percobaan ke dalam tabel.

D. Data Hasil Percobaan

Percobaan ke F1 F2 FR α

1

2

3

4

5

E. Analisis Data

1. Lakukan anallisis data dengan melengkapi tabel berikut.

Percobaan

ke F1 F2 FR α Cos α 2 F1 F2 Cos α

F12+ F2

2+2 F1 F2

Cos α

1

2

3

4

5

2. Amati tabel analisis data, adakah kecenderungan membentuk pola tertentu? Kecenderungan

apa yang terlihat? Sebutkan pada bagian mana.

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

α

A

C

B

C

α

A

C

B

3. Berdasarkan kecenderungan yang ada, buatlah formula dalam bentuk persamaan

matematis (rumus)

………………………………………………………………………………………………………………

4. Adakah kesalahan yang diperoleh ? berikan penjelasan di mana letak kesalahan yang

mungkin dilakukan

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

5. Hitung besar kesalahan relatif dari percobaan

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

F. Kesimpulan

Berdasarkan data dan analisis diperoleh kesimpulan bahwa

1. Penjumlahan dua vektor dapat menggunakan formula atau rumus

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. Beberapa kesalahan yang perlu diperbaiki dalam percobaan, yaitu

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………