tugas turunan.docx

7/23/2019 tugas turunan.docx

1/16

A. TURUNAN FUNGSI

Turunan fungsi( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya

fungsi f menjadi f ' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai fungsi

f :x f(x) pada x=a dapat ditulis:

Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi

yang kontinu pada selang x


2/16

Jika nilai limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x , dan f '(x) disebut

fungsi turunan dari f . Turunan dari y=f(x) sering kali ditulis dengan y '=f '(x ) .

"otasi dari y '=f '(x ) juga dapat ditulis:dy

dx=

df(x)dx .

#ersamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)

fungsi yang tak diketahui. $eskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut %#ersamaan

Turunan&, namun istilah %persamaan diferensial& (aequatio differentialis) yang diperkenalkan

oleh Gottfried Wilhelm Leibniz(''*') pada tahun '* sudah umum digunakan. !ebagai

+ontoh, persamaan diferensial

y = 3x

2

x3+1

(y+1)

dapat ditulis dalam bentuk

dy=

[

3x2

x3+1

(y+1)

]dx atau y

' 3x

2

x3+1

y= 3x

2

x3+1

ontoh soal :

' Tentukan turunan pertama dari f(x )=x3+5 -

#enyelesaian :

f(x )=x3+5

f(x+h )= (x+h )3+5

x3+3x2 h+3xh2+h2+5

f (x) =

limh0

f(x+h )f(x )

h

=

limh0

x3+3x2h+3xh2+h2+5(x3+5)

h

Kalkulus, Materi Turunan. By Akhmad Yusuf, S.Si, M.Kom


3/16

=

limh 0

3x2

h+3x h2+h2

h

=limh0 h(3x

2

+3xh+h)h

=limh0

(3x2+3xh+h)

= 3x2+3x .0+02

= 3x2

arilah f'(x ) jika f(x )=x , x>0

#enyelesaian

f' (x )=

limh 0

f(x+h)f(x )

h

limh0

x+hx

h

/alam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.

f (x) = limh0[ x+hxh .x+h+xx+h+x ]

=

limh 0

x+hx

h(x+h+x )

=

lim

h 0

h

h(x+h+x )

=

limh 0

1

x+h+x

=1

x+x

=1

2x



4/16

B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f . Jika f(x)=x3+7x

adalah rumus untuk f , maka f (x)=3x2

+7 adalah rumus untuk f . 0etika

kita menurunkan f , artinya kita mendiferensiasikan f . Turunan mengoperasikan

f untuk menghasilkan f . 0ita biasanya menggunakan simbolDx untuk

menandakan operasi diferensiasi. !imbolDx menyatakan bah1a kita mengambil

turunan (terhadap peubah x ). $aka, kita menuliskan Dx f(x )=f (x ) atau

Dx(x3+7x)=3x2+7.

1 Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat

Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta

Jika

f(x)=kdengan

k

suatu konstanta, maka untuk sebarang

x , f (x)=0 ;

yakni

Dx (k)=0

Bukti

f (x)= limh0

f(x+h )f(x )

h

limh 0

kk

h

lim

h 0

0



5/16

0

Teorema B : Aturan Fungsi Identitas

Jika f(x)=x , maka f (x)=1 2 yakni

Dx (x )=1

Bukti

f (x)=limh0

f(x+h ) f(x )h

limh 0

x+hxh

limh0

h

h

1

Teorema C : Aturan Pangkat

Jika f(x)=xn

, dengann

bilangan bulat positif, maka f (x)=n xn1

2 yakni

Dx (xn)=n xn1

Bukti

f (x)=limh0

f(x+h ) f(x )h

limh0

(x+h)nxn

h



6/16

lim

h 0

xn+n xn1h+

n (n1)2

xn2

h2+.+nxhn1+h2xn

h

limh0

h[n xn1+ n(n1)

2 x

n2h++nx hn2+hn1 ]

h

/i dalam kurung, semua suku ke+uali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,

sehingga masingmasing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi

f (x)=n xn1

!ebagai ilustrasi Teorema , perhatikan bah1a :

Dx(x3 )=3x2Dx (x

9 )=9x8Dx(x100)=100x99

Teorema : Aturan Ke!i"atan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka

(kf)(x)=k . f (x) ; yakni,

Dx[ k . f(x )]=k . Dx . f(x)

Jika dinyatakan dalam katakata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator

Dx.

Bukti

3ndaikan F(x )=k . f(x) . $aka

F (x )=

limh 0

F(x+h )F(x )

h



7/16

limh0

k . f(x+h )k . f(x )h

limh0 k.

f(x+h ) f(x )h

k . f ' (x )

ontoh+ontoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah

Dx(7x3 )=7Dx (x

3 )=7 .3x2=21x2

dan

Dx ( 43x 9)=43Dx(x9 )=43.9x8=12x8

Teorema E : Aturan #um!a$

Jika f dan g adalah fungsifungsi yang terdiferensial, maka

(f+g) (x)=f (x )+g (x ); yakni,

Dx[ f(x )+g (x)]=Dx f(x )+Dx g (x)

Jika dinyatakan dalam katakata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-

turunan.

Bukti

3ndaikan F(x )=f(x)+g(x ) . $aka

F (x) limh0

[ f(x+h )+g (x+h )][ f(x )+g(x )]

h



8/16

lim

h 0

[f(x+h )f(x)h +g (x+h )g(x )h ]

limh0

f(x+h )f(x )

h + limh 0 g (x+h)g (x)h

f'(x )+g'(x )

Teorema F : Aturan se!isi$

Jika f dan g adalah fungsifungsi yang terdiferensiasikan, maka

( fg )'(x )=f'(x )g '(x ) 2 yakni,

Dx[ f(x )g (x )]=Dx f(x )Dx g (x )

Bukti

3ndaikan F(x )= f(x )g (x) . $aka

F (x) limh 0

[ f(x+h )g (x+h )][ f(x )g(x )]

h

limh0

[f(x+h )f(x)h g (x+h )g (x)h ]

limh0

f(x+h )f(x )

h

limh0

g (x+h )g (x)h

f' (x )+g' (x )

ontoh:

Tentukan turunan dari 5x2

+7x 6 dan 4x6

3x5

10x2

+5x+16.



9/16

#enyelesaian

Dx (5x2+7x 6)=Dx (5x

2+7x ) Dx (6) (Teorema 4)

Dx(5x2)+Dx(7x) Dx(6) (Teorema 5)

5Dx(x2)+7Dx(x ) Dx(6) (Teorema /)

5 .2x+7 .1+0 (Teorema ,6,3)

10x+7

7ntuk men+ari turunanturunan berikutnya, kita perhatikan bah1a teoremateorema

pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah sukusuku yang berhingga. Jadi,

Dx (4x63x

510x

2+5x+16)=Dx (4x6) Dx (3x

5) Dx (10x2)+Dx (5x)+Dx(16)

4Dx (x6)3Dx(x

5)10Dx (x2)+5Dx (x )+Dx (16)

4 (6x5)3(5x4)10(2x)+5(1)+0

24x515x

420x+5

% Turunan &asi!ka!i dan &asi!'agi

Teorema G : Aturan &asi!ka!i

Jika f dan g adalah fungsifungsi yang terdiferensiasikan, maka

(f . g)(x)=f(x )g (x)+g(x ) f (x )

8akni,

Dx [ f(x)g (x)]=f(x)Dx g (x)+g(x )Dx f(x)



10/16

3turan ini dihafalkan dalam katakata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi

adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua

dikalikan fungsi pertama.

Bukti

3ndaikan F (x)=f(x )g(x ). $aka

F'(x)=

limh0

F(x+h )F(x)

h

limh 0

f(x+h ) g (x+h ) f(x ) g(x )h

limh 0

f(x+h )g (x+h )f(x+h )g (x )+ f(x+h) g (x )f(x ) g (x)

h

limh 0[ f(x+h ) .g (x+h )g(x )h +g (x ) .F(x+h )F(x)h ]

limh 0

f(x+h ) .

limh 0

g (x+h )g (x)h

+

g (x ) .limh0

F(x+h )F(x)

h

f(x )g (x)+g(x) f (x )

ontoh :

arilah turunan (3x25)(2x4 x) dengan menggunakan aturan hasil kali.

#eriksalah ja1aban dengan menggunakan soal itu dengan +ara lain.

#enyelesaian :



11/16

Dx[ (3x25)(2x4x)]=(3x25)Dx (2x4 x)+(2x4 x )Dx (3x25)

(3x25)(8x31)+(2x4 x)(6x )

24x53x240x3+5+12x5+6x2

36x540x39x2+5

7ntuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.

(3x25)(2x4x )=6x610x43x3+5x

Jadi,

Dx[(3x25) (2x4x ) ]=Dx(6x6 ) Dx (10x4) Dx (3x3)+Dx(5x )

36x540x

39x

2+5

Teorema & : Aturan &asi!'agi

3ndaikan f dan g adalah fungsifungsi yang terdiferensiasikan dengan

g(x)0 . $aka

(fg )'

(x )=g (x ) f' (x )f(x ) g '(x )

g2(x )

8akni,

Dx(f(x )g(x) ) =g (x )Dx f(x)f(x )Dx g(x )

g2(x)



12/16

3turan ini dihafalkan dalam katakata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah

sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang

dikalikan turunan penyebut seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.

Bukti

3ndaikanF(x )=

f(x )g (x) . $aka

F'(x)=lim

h 0

F(x+h )F(x)h

limh 0

f(x+h)g (x+h)

f(x )g(x )

h

limh 0

g (x ) f(x+h )f(x ) g(x+h)

h .

1

g (x ) g (x+h)

limh 0[g (x ) f(x+h )g (x ) f(x )+g (x ) f(x ) f(x )g (x+h )

h .

1

g (x ) g (x+h )] lim

h 0{[ g (x )f(x+h)f(x )h f(x ) g (x+h )g(x )h ] 1g (x ) g (x+h)}

[ g (x ) f'(x )f(x ) g '(x)] 1

g (x ) g(x)

ontoh:

a. arilah turunan

x

(2+7)(3x5)

.

#enyelesaian:



13/16

DX[ 3x5x2+7]=(x2+7 )Dx(3x5 )(3x5)Dx(x

2+7)

(x2+7 )2

(x2

+7)(3 )(3x5)(2x)(x2+7 )2

3x2+10x+21

(x2+7)2

b. arilahDx y jika

y= 2

x4+1

+3

x

#enyelesaian

Dxy=Dx( 2x4+1 )+Dx(3

x )

(x4+1)Dx (2 )2Dx (x4+1)

(x4+1 )2

+x Dx(3 )3Dx (x)

x2

(x4+1 ) (0 )2 (4x3 )

(x4+1)2

+x (0 )3 (1 )

x2

8x3

(x4+1)23

x2

+. Tunjukkan bah1a aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif2 yakni,

#enyelesaian

Dx(xn )=Dx( 1xn )


Dx(xn )=n xn1


14/16

x

n.01 . n xn1

x2n

n xn1

x2n

n xn1

0ita melihat sebagai bagian dari +ontoh sebelumnya bah1aDx ( 3x )=3x2

$aka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat

Dx ( 3x )=3Dx (x1 )=3 (1 )x2= 3

x2 .



15/16

/34T39 #7!T303

4iniio dan ;.Ladas . '


16/16

S(A) TUGAS

1. ;unakan f' (x )=lim

h 0

f(x+h)f(x )h untuk men+ari turunan di x :

a. f(x )= 3

5x

b. f(x )=

2x

x2x

. ;unakan aturanaturan pen+arian turunan untuk menyelesaikan soalsoal berikut :

a. f(x )=(2x+1 )(x2+3x)

b.

f(x )=x+1

x2

c.2x

6+4x25

f(x )=

d. f(x )=3x (2x31 )

Note : Dikumpul di meja saya di program studi matematika pada hari

kamis (13 Agustus 2015) maksimal jam 12.00


tugas turunan.docx

Documents