TUGAS ROBUSTAssigment for Review LQR and LQG Control Design

Oleh :AJI BRAHMA NUGROHO2211202002

PROGRAM PASCA SARJANAPROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROTEKNIK SISTEM PENGATURANFAKULTAS TEKNIK INDUSTRIINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA2012

Assigment for Review LQR and LQG Control Design1. Sebuah Plant dengan fungsi :

dimana a.i. Desain K menggunakan Pole Placement

pole yang diinginkan yaitu : -1 dan -4 sehingga persamaan karakteristik yang diinginkan adalah : maka nilai dari plan kita dapat peroleh :

sehingga nilai determinan dari matrik disamping :

dan dapat kita peroleh nilai maka nilai K dapat kita cari dengan persamaan dimana harga T-1 = 1 maka nilai ii. Desain K menggunakan metode Linear Quadratic (LQ) yang meminimumkan

Maka kita harus menyelesaikan Persamaan Ricatti sebagai berikut :

Maka dari persamaan diatas kita dapat tuliskan sebagai berikut :

Matrik diatas kemudian disederhanakan menjadi :

Maka, kita dapatkan nilai dari persamaan : = 1

Dari persamaan selanjutnya kita dapatkan nilai :

Dari persamaan kita peroleh nilai :Maka :dari tiga persamaan , dan diperoleh :

Sehingga optimal feedback gain matrik adalah :

b.i. Desain sebuah observer menggunakan metode pole placementdengan : ; ; Berdasarkan ketentuan bahwa nilai poles 5 x dari pole yang paling kiri, sehingga : dan sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya : maka karakteristiknya menjadi :

dan

Maka kita dapat tuliskan :

Jika dan Sehingga kita dapat peroleh nilai Ke

ii. Desain sebuah observer menggunakan kalman filter

; ;

Dimana dan adalah white noise yang memiliki nilai kovarian yang identity sebagai berikut :

Sementara noise yang melalui input sehingga Kalman gain memerlukan persamaan Ricatti sebagai berikut :

Disederhanakan menjadi :

Dari matrik diatas kami peroleh beberapa persamaan sebagai berikut :

Dengan menggunakan MATLAB kami memperoleh solusi untuk persamaan reccati sebagai berikut :

c. Gambar diagram blok system regulator dimana terdapat observer/estimator sbb:

2. Perhatikan RPV (Remotely Piloted Vehicle) model pada buku Multivariabel Feedback Design karangan maciejowksi hal 407a. Desain control state feedback u = -Kx dengan kondisi sebagai berikut :

dan memiliki lokasi pole pada:-30, -30, -5.67, -0.26, +0.69 0.25j.terlebih dahulu kita harus menyelesaikan Persamaan Ricatti

dengan

dan untuk proses perhitungan kami menggunakan MATLAB dan diperoleh hasil sebagai berikut :

diperoleh matriks P dan K sebagai berikut

b.i. Kombinasikan controller dengan filter kalman untuk membentuk control LQG. Assumsikan matrik kovarian adalah identitas dan noise melalui inputTerlebih dahulu kita memilih pole yang diinginkan yaitu sebagai berikut:

Dengan menggunakan Sofware MATLAB kami memperoleh solusi untuk nilai K

observer sbb :b.ii. untuk mendesain LQG langkah pertama yang harus dilakukan adalah mendesain K menggunakan LQR dimana hasil telah diperoleh pada poin 2.a yaitu :

Langkah selanjutnya yaitu mendesain kalman filter dimana dan adalah white noise yang memiliki nilai kovarian yang identity sebagai berikut :

Kalman gain memerlukan solusi persamaan Ricatti sebagai berikut :

Dengan menggunakan MATLAB kami memperoleh solusi untuk persamaan reccati sebagai berikut :

c Gambar dari diagram blok regulator dan simulasi dengan MATLAB

Dan gambar hasil simulasi dengan MATLAB ditampilkan sbb :

d. Kemudian selanjutnya untuk mencari state space model dari aksi kontrol LQG u= - Kx adalah sebagai berikut :

dengan

sehingga kita peroleh state space model LQG :

TUGAS ROBUST

Oleh :AJI BRAHMA NUGROHO2211202002

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROTEKNIK SISTEM PENGATURANFAKULTAS TEKNIK INDUSTRIINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA2012

1. Mengapa Q(t) harus positif semi definit dan R(t) positif definit saja ?

Hal ini disebabkan matrik pembobot error Q(t) menjaga agar error e(t) kecil dan error kuadratnya non negative serta integral dari fungsi juga non negative dan kecil. Sedangkan R(t) positif dan harus lebih besar dari nol karena fungsi cost harus bernilai positif jika R(t) = 0 maka nilai u(t) = 0 atau dengan kata lain tidak ada usaha control yang masuk pada system.

2.

Buktikan bahwa dapat dijabarkan menjadiBerdasarkan buku modern control engineering karangan Ogata diperoleh persamaan :

Maka jika kedua persamaan diatas disubtitusikan akan diperoleh :

3. Buktikan bahwa Kalman note :

B

C

A

+

+

+

u

_

y

B

+

C

A

+

+

x

k

y

f

+

+

-

y

B

C

A

+

+