tugas matematika rekayasa fix

8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix

1/23

P a g e 1 | 23

BAB I

PENDAHULUAN

Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan-

bilangan real atau kompleks. Seperti diketahui bahwa himpunan bilangan real

merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Salah satu contoh

matriks yang entri - entrinya merupakan field adalah matriks yang dapat

didiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam

berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri.

Beberapa referensi menjelaskan tentang matriks yang dapat

didiagonalisasi, pertama diberikan matriks A yang berukuran n x n, maka dicari

matriks taksingular P yang mendiagonalkan A, sedemikian hingga diperoleh

suatu matriks diagonal D = P-JAP. Matriks taksingular P, diperoleh dengan

cara mencari nilai eigen dari matriks A, kemudian ditentukan vektor eigen yang

bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen yang diperoleh tadi. Tiap-tiap

vektor eigen yang diperoleh tadi membentuk kolom-kolom matriks taksingular P.

Kemudian dilakukan pendiagonalan, yaitu dengan mencari vektor eigenyang bebas linear satu sarna lain, dan seterusnya. Pembahasan mendasar

mengenai matriks terutarna yang berkaitan dengan matriks yang dapat

didiagonalisasi ini, telah jelas dikemukakan dan disajikan dalam sejumlah buku

referensi yang biasanya digunakan oleh para mahasiswa sebagai salah satu buku

perkuliahan umum. Tetapi dilain pihak, akan muncul suatu masalah

bagaimana jika ada sebuah contoh yang lain untuk matriks yang dapat

didiagonalisasi sehingga ada suatu matriks bujur sangkar A 1.


2/23

P a g e 2 | 23

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 MATRIKS

2.1.1 Definisi matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam

baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat

diantara sepasang tanda kurung.

suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.

Bentuk umumnya:

A =

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

A adalah notasi matriks sedang amn adalah elemen matriks.Deretan horisontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal

disebut kolom. Indeks m menunjukkan nomor baris elemen berada,

indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal a23 artinya

elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.

Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga

dimensi m kali n (mn).

Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:

B = [ b1 b2 bn],

disebut dengan vektor bar is atau matri ks bari s . Sedang dengan

dimensi kolom n = 1, seperti:

C =

m

3

2

1

c

c

c

c


3/23

P a g e 3 | 23

Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:

A =

000

000

000

disebut dengan matriks nol.

2.1.2 Macam-Macam Matriks

a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n,

misal matriks 33, adalah:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama

matriks.

MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier,

dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak

diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian

tunggal.

b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen

kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

A =

44

33

22

11

000

000

000

000

a

a

a

a

c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama

besar tetapi bukan nol atau satu.

d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada

diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan,

seperti bentuk berikut ini:

I =

1000

0100

0010

0001


4/23

P a g e 4 | 23

e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen

dibawah diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen

diatas diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

g) Matriks simetris, bila aij = a ji, misalnya matriks simetris 33:

A =

872

731

215

h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -a ji, misalnya matriks

simetris 33 yang semua unsur diagonalnya a ji = 0.

A =

072

701

210

i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0,

kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya

sebagai berikut:

A =

4443

343332

232221

1211

00

0

0

00

aa

aaa

aaa

aa

, disebut juga dengan matriks

tridiagonal .


5/23

P a g e 5 | 23

j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti

baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).

Untuk matriks: A =

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

,

maka transposenya ( AT) adalah AT =

mnn3n2n1

2m322212

1m312111

aaaa

aaaa

aaaa

k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi

aturan:

[A]T . [A] = [A] [A]

T = [I]

l) Peningkatan matriks

Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-

kolom) pada matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi

33,

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks

identitas sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk

sebagai berikut:

100|

010|

001|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua

matriks, dengan demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks,

tetapi hanya pada satu matriks yang ditingkatkan.


6/23

P a g e 6 | 23

2.2 OPERASI MATRIKS

2.2.1 Penjumlahan Matriks

Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A

sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B

dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan

elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya. Apabila matriks A

dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak

didefinisikan.

Contoh:

Diketahui matriks A =

43

21 dan B =

16

75

a. Tentukan A + B

b.

Tentukan B + A

Jawab:

a. A + B =

43

21 +

16

75 =

1463

7251 =

59

96

b. B + A =

16

75 +

43

21 =

4136

2715 =

59

96

Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat

komutatif penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).

2.2.2 Pengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil

pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A

dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis sebagai berikut:

A – B = A + (-B).

Contoh:

1) Jika P =

23

74 dan Q =

23

12, maka tentukan P – Q !

Jawab:

P – Q =

23

74 -

23

12 =

23

74 +

23

12 =

40

62


7/23

P a g e 7 | 23

2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :

X +

42

35 =

23

41

Jawab:

X +

42

35 =

23

41

X =

23

41 -

42

35 =

23

41 +

42

35 =

61

76

Jadi matriks X =

61

76

2.2.3 Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar Dengan Matriks

Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks,

maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan k

(bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.

Contoh:

Jika A =

9564 dan B =

4321 , tentukan :

a. 3A c. 3A + 4B

b. 4B d.21 A +

21 B

Jawab:

a.

3A = 3

95

64 =

2715

1812

b. 4B = 4

43

21 =

1612

84

c. 3A + 4B =

2715

1812 +

1612

84 =

433

2616

d. 21 A +

21 B =

21

95

64 +

21

43

21 =

2

925

32 +

2

1

23

21

=

2

13

25

1

4


8/23

P a g e 8 | 23

2. Perkalian Matriks Dengan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom

matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya

adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah baris matriks A kali

jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :

Amxp x B pxn = C mxn

Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan

setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B,

kemudian dijumlahkan.

Contoh:

1) Jika A =

12

34 dan B =

2

3, tentukan A x B !

Jawab:

A x B =

12

34

2

3 =

2.13.2

2.33.4 =

8

18

2) Jika A =

14

52 dan B =

62

13, tentukan A x B !

Jawab:

A x B =

14

52

62

13 =

6.11.4)2.(13.4

6.51.2)2.(53.2 =

64212

302106 =

1010

324

3) Jika C =

654

123 dan D =

1

2

6

, tentukan C x D !

Jawab:

C x D =

654

123

12

6

=

1.62.56.4

1.12.26.3

=

40

23

4) Jika M =

15

32

64

dan N =

5

3

4

, tentukan M x N !

Jawab:

M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi

Amxp x Bpxn = Cmxn


9/23

P a g e 9 | 23

2.3 Determinan dan Invers Matriks

2.3.1 Determinan

Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur

dalam sebuah bujur sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal

serta mempunyai satu harga tertentu.

1. Sifat-sifat determinan

a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama

dengan nol, maka harga determinan = 0

D =

000

532

142

= 0 D =

205

103

402

= 0

b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah

menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

D =32

11 = 1 D =

31

21 = 1

c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom

dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda

determinan.

D =32

11 = 1 → ditukar baris D =

11

32 = – 1

→ ditukar kolom D =23

11 = – 1

d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama

(identik), maka harga determinan itu = 0

D =

653

421

421

= 0 D =

644

522

311

= 0

Ada 2 baris yang sama Ada 2 kolom yang sama


10/23

P a g e 10 | 23

e) Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan

sebuah faktor tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan

dengan bilangan itu.

D =3211 = 1 ↔ baris 1 dikalikan 2 → D =

3222 = 6 – 4 = 2

↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =34

12 = 6 – 4 = 2

f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang

baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0)

dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang

baris (kolom) yang lain.

D = 43

21 = – 2 ↔ ekspansi baris H21 (-2) D = 43

21 =

D =01

21 = – 2

↔ ekspansi kolom K 21 (-1) D =13

11 = – 2

2. Perhitungan nilai determinan

a) Metode Sarrus

Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan

tingkat atau orde tiga saja.

D =

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 .

a31) (a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)

Contoh soal:

[A] =

142

131

421

→ →

142

131

421

2

1

1

4

3

2

= (1.( – 3).1) + (2.1.( – 2)) + (( – 4).1.4) – (( – 4).( – 3).( – 2)) – (1.1.4)

– (2.1.1)

= ( – 3) + ( – 4) + ( – 16) + 24 – 4 – 2

= – 5.


11/23

P a g e 11 | 23

b) Metode Chio

Harus dibuat MSA

A =

142

131421

700

310421

= Harga determinannya menjadi = 1.1.( – 7) = – 7 (Kalikan

diagonal utamanya)

Contoh soal:

A =

2031

1153

1442

0321

2310

11010

1200

0321

Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a22 maka diadakan pertukaran

baris dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)

Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan ( – 1).

( – 1)

2310

1200

11010

0321

→ → ( – 1)

11300

1200

11010

0321

( – 1)

11300

1200

11010

0321

→ → ( – 1)

215000

1200

11010

0321

[A] = ( – 1) . 1 . ( – 1) . 2 . 215 = 15.

H21 (1)

~

H21 (2)

~

H31 (3)

H42 ( –1)

~

H43 213

~


12/23

P a g e 12 | 23

c) Metode minor (ekspansi) Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen

pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu

determinan tingkat (m – 1), simbol yang ditulis Mij.

Contoh soal:

1). A =

2031

1153

1442

0321

→ → Minor (M23) =

231

153

021

→ → Minor (M41) =

115

144

032

2). D =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Harga determinannya adalah:

D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –

[(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)]= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +

[a13 (a21 . a32 – a22 . a31)]

= a113332

2322

aa

aa – a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)


13/23

P a g e 13 | 23

Contoh :

Diketahui matriks A =

101

312

243

Tentukan nilai determinan matriks A.

Jawab :

det A =

01

12

43

101

312

243

= [( – 3 × 1 × ( – 1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) +

(0 × 3 × ( – 3)) + ( – 1 × 2 × 4)]

= (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.

2.3.2 INVERS MATRIKS

Apabila A dan B matriks bujur sangkar berordo n, sedemikian

sehingga AB = BA = I, maka B disebut invers dari A (B = A-1),

dan A disebut invers dari B (A = B-1).

I = merupakan matriks Identitas

B =

12

31 B-1 =

5/15/2

5/35/1

Bukti Inversnya benar

Mencari Invers matriks dapat dengan cara :

1.

Adjoint2. Transformasi Elementer Baris

B.B-1

= B-1

.B = I


14/23

P a g e 14 | 23

1. Cara Metode Adjoint

a.

menentukan nilai determinan dari matriks

b. menentukan adjoint matriks.

c.

Mengalikan adjoint matrik dengan kebalikan determinan

C =

314

532

001

Adj (C) =

3110

5314

004

C = 4

Jadi C-1

= ¼

3110

5314

004

=

4/34/12/5

4/54/32/7

001

2. Metode transformasi Elementer baris

Anxn, nilai A ≠ 0

1

A-1

= _____

. Adj (A)

A

I A ).(ahij 1 A I


15/23

P a g e 15 | 23

C =

314

532

001

100314

010532

001001

104310

012530

001001

)2.(23h

104310

216110

001001

)1.(32h

3110400

216110

001001

)4/1.(3h

4/34/12/5100

216110

001001

)1.(23h

4/34/12/5100

4/54/32/7010

001001

_____________ __________________________

I C-1

2.3.3

Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

Jika A =

d c

ba, maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A) 0 atau A

= a.d – b.c 0.

Secara umum hubungan ini dinyatakan :

Jika A =

d c

ba , maka A-1 =

ac

bd

A)det(

1

Keterangan :

A-1 = Invers dari matriks A

det(A) = determinan dari matriks A

)2.(21h )4.(31h


16/23

P a g e 16 | 23

Contoh:

Diketahui A =

21

53

, tentukan A

-1

!

Jawab:det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1

A =

21

53 A-1 =

ac

bd

A)det(

1

=

31

52

1

1 =

31

52

Jadi, invers matriks A adalah

31

52.

Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa

matriks yang determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers

dan disebut matriks singular; misalnya B =

12

36.

Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaiakan persamaan

matriks.

Contoh:Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :

34

12 A =

42

314 !

Jawab:Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.

Invers matriks P =

34

12 adalah P-1 =

24

13

10

1

24

13.

34

12

1

24

13

10

1

34

12 A =

24

13

10

1

42

314

10

01A =

2060

540

10

1 =

26

421

Jadi, matriks A =

26

421

.


17/23

P a g e 17 | 23

Dua matriks yang saling invers.

Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlakuAB = BA = I (matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1)

atau A invers dari B (ditulis A = B-1).

Contoh:

Diketahui A=

57

23 dan B =

37

25. Apakah A invers dari B ?

Jawab:

AB =

57

23

37

25 =

3.5)2.(7)7.(55.7

3.2)2.(3)7.(25.3 =

10

01 = I

BA =

37

25

57

23 =

5.32).7(7.33).7(

5).2(2.57).2(3.5 =

10

01 = I

Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.

2.3.4 Determinan dan Invers Matriks Ordo 3x3

Misal A =

332331

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan

aturan :

A-1 = )(.)det(

1 A Adj

A

Keterangan :

A-1 = Invers dari matriks A

Adj(A) = matriks Adjoin dari A

det(A) = determinan dari matriks A

Cara menghitung determinan A adalah :

Cara I (metode sarrus)

- - -

det (A) =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

+ + +


18/23

P a g e 18 | 23

= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) –

(a33a21a12)

Cara II (metode cramer)

det (A) =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a113332

2322

aa

aa - a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-

a31a22)

Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :

Ajd(A) =

2221

1211

3231

1211

3231

2221

2321

1311

3331

1311

3331

2321

2322

1312

3332

1312

3332

2322

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

Contoh:

Hitunglah invers matriks A =

543320

121

!

Jawab:

Pertama-tama kita hitung determinan A.

- - -

det(A) =

543

320

121

43

20

21

+ + +

= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34

atau

det(A) =

543

320

121

= 154

32 - 2

53

30

+ (-1)

43

20

= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)

= -22 -18 + 6 = -34

Jadi, determinan A adalah -34.


19/23

P a g e 19 | 23

Adjoin dari A adalah:

Adj(A) =

20

21

43

21

43

20

03

11

53

11

53

30

32

12

54

12

54

32

=

2106

329

41422

Invers dari matriks A adalah :

A-1 = )(.)det(

1 A Adj

A

Diperoleh :

A-1 =34

1

2106

329

41422

=

34

2

34

10

34

634

3

34

2

34

934

4

34

14

34

22

2.3.5 Penyelesaian Persamaan MatriksPenyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan

A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah

matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers (A-1).

1. Persamaan bentuk A.X = B

Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1

dari arah kiri.

A-1.(A.X) = A-1 .B

(A-1.A).X = A-1 .B I.X = A-1 .B (sebab A-1 .A = I )

X = A-1 .B (sebab I.X = X.I = X )

Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. Persamaan bentuk X.A = BUntuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1

dari arah kanan.

(X.A) A-1 = B. A-1

X.(A. A-1 ) = B. A-1


20/23

P a g e 20 | 23

X.I = B. A-1 (sebab A.A-1 = I )

X = B. A-1 (sebab I.X = X.I = X )

Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1

Contoh:

Diketahui matriks-matriks A =

5723 dan B =

3215 .

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !

a. A.X = B b. X.A = B

Jawab:

det(A) =57

23 = 15 – 14 = 1, sehingga A-1 =

37

25.

a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :

X = A-1 .B =

37

25

32

15 =

229

121

b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah :

X = B. A-1 =

32

15

37

25 =

511

718

2.3.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Invers Matriks

Untuk persamaan linear berbentuk :

qdycx

pbyax

Dapat diubah menjadi perkalian matriks sebagai berikut :

q

p

y

x

d c

ba dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks

d c

ba

diperoleh :

q

p

d c

ba

y

x

d c

ba

d c

ba 11

q

p

d c

ba

y

x 1

10

01

q

p

ac

bd

bcad y

x 1


21/23

P a g e 21 | 23

Contoh:

Selesaikan persamaan :

11321754

y x y x dengan menggunakan invers

matriks !

Jawab:

11

17

32

54

y

x

5

2

10

4

2

1

11

17

42

53

1012

1

y

x

Jadi x = -2 dan y = 5.


22/23

P a g e 22 | 23

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam

baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat

diantara sepasang tanda kurung. Jenis-jenis matriks dapat dibedakan

berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat dari

operasi matriks.operasi pada matriks dapat dilakukan dengan cara

penjumlahan,pengurangan dan perkalian langsung. Dekomposisimatriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatu matriks

menjadi matriks segitiga bawah (L) dan atau matriks segitiga atas (U).

3.2 Saran

Demikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi

pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan

dan kelemahannya,kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya

rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah

ini. Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi

memberikan saran yang membangun kepada penulis demi

sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-

kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis

pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.


23/23

P a g e 23 | 23

DAFTAR PUSTAKA

Bintang Kalangu, Josep. 2005. Matematika ekonomi untuk bisnis.Edisi ke-1. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

C.Chiang. alpha dan Kevin Wainwright. 2006. Dasar-Dasar

Matematika Ekonomi. edisi ke-4 jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Gazali,Wikaria. 2005. Matriks dan transpormasi linear . edisi ke-1.

Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu.

Mairy,Du. 2007. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi.

Yogyakarta: BPFE-YOGYAKARTA.

Ruminta. 2009. Matriks persamaan linear dan pemrograman

linear . edisi ke-1. Bandung. Penerbit Rekayasa Sains.

Sarjono,Haryadi dan Sanny,Lim. 2012. Aplikasi Matematika untuk

Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

tugas matematika rekayasa fix

Documents