matematika rekayasa
TRANSCRIPT
HITUNGINTEGRAL I.1.PENGERTIANINTEGRAL Integral merupakan operasi kebalikan (invers) dari defferensial, yakni menentukan F(x) jika F(x)=f(x) diketahui. Misalnya jika F(x)=2x, maka cara menentukan F(x) dapat dilihat dari tabel berikut : Pendifferensialan F(x) F(x) = f(x) Pengintegralan x2 2x x2+12x x2-42x x2-S22x x2+ 1uS2x x2+C2x Dari masing-masing fungsi F(x) hanya berbeda pada suku konstantanya saja. Oleh sebab itu fungsi umu pengintegralan dari F(x) = f(x) = 2x dapat dinyatakan dengan : F(x) = x2+C Dalam hal ini C adalah konstanta sembarang Secara umum dapat dinyatakan bahwa : Notasi Integral ](x)Jx ]adalah lambing integral yang pertama kali ditemukan oleh Leibniz Sedangkan f(x) disebut fungsi integran. I.2.INTEGRALTAKTENTU Pengintegralan dari fungsi f(x) yang dilambangkan dengan ](x)Jxdisebut sebagai integral tak tentu dari f(x). Bentuk umumnya : _(x)Jx = F(x) +C Perumusan dasar integral tak tentu _xn Jx = 1n +1xn+1+C Korcno F(x) = 1n+1xn+1 ,moko F(x) = xn= (x) ; untukn = 1 Khusus untuk F'(x) =xn uengan nilai n = 1, maka nilai F(x) aualah Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) disebut sebagai integral dari f(x) _xn Jx =_x-1 Jx = ln x , untuk x> u Catatan : ln x dibaca logaritma naturalx, yaitu logaritma yang bilangan pokoknyae.Jadi ln x = clogx Contoh soal : 1.]1x3 Jx ]x-3 Jx =1-3+1x-3+1+ C =1-2x-2+ C=1-2x2+ C =-12x2+C
2.] x34Jx ]x34, Jx=134, +1x34, +1+ C =174,x74,+ C =47x74,+ C =47 xx34+ C 3.]1x23 Jx ]x-23, Jx =1-23, +1x-23, +1+C =113,x13,+ C= Sx13,+C
=S x3+ C 4.][x - 1x2 Jx][x -2 +1xJx = 12x2-2x +ln x +C , denganx > 0 Menentukan F(x), jika F(x) dan F(a) diketahui Jika F(x) dan F(x) untuk x = a diketahui, maka nilai konstanta C pada perumusan integral tak tentu akan mempunyai nilai tertentu. Sehingga akan diperoleh sebuah fungsi F(x) unik (tunggal) Nilai x = a dinamakan sebagai nilai awal atau nilai batas dari F(x). Contoh soal : 5.Jika diketahui F(x) = 2x + 5 dan F(2) = 11 , tentukanlah F(x) F(x) =]Fi(x) Jx =](2x +S) JxF(x) =x2+ Sx +C Nilai C ditentukan dari F(2) = 16 F(2) =(2)2+ S(2) +C = 11>> C =-S Sehingga diperoleh:F(x) =x2+ 5x -3 6.ikctobuiFi(x) =Sx2-4x +4. untuk x = 2 ungsi F bcrniloi 1S.Icntukonlob niloi ungsi F(x) F(x) =_Fi(x) Jx =](Sx2-4x +4)Jx F(x) =x3- 2x2+4x +C Untuk x = 2 fungsi F(x) berniai 13, ini berarti F(2) = 13 F(2) =(2)3- 2(2)2+4(2) +C = 1S >> C =S Sehingga diperoleh: F(x) =x3- 2x2+4x +5 7.ikctobui Fii(x) =12x +2 [iko Fi(2) =2u Jon F(1) =4 , Icntukonlob F(x) Fi(x) =]F''(x)Jx =](12x +2) Jx Fi(x) =6x2+ 2x +C1 Fi(2) =6(2)2+ 2(2) +C 1=2u >> C1=-8 Hoko Fi(x) =6x2+ 2x -8 Menentukan F(x) F(x) =]Fi(x) Jx =](6x2+ 2x -8) JxF(x) =2x3+x2-8x +C2 F(1) =2(1)3+(1)2-8(1) +C2=4 >> C2=9 Sehingga diperoleh: F(x) =2x3+x2-8x +9 Penerapan Pengintegralan Taktentu Jika diketahui suatu grafik fungsi dengan persamaan y = f(x) maka gradian garis singgung sembarang titik P(x.y) pada grafik fungsi tersebut dapat ditentukan dengan rumus : m = ddx= Fi(x) Sebaliknya, apabila gradient garis singgung sebuah titik P(x,y) pada grafik fungsi diketahuimaka anggota-anggota dari grafik fungsi tersebutdapat ditentukan dengan menggunakan operasi pengintegralan : Jy = Fi(x)Jx Jy = (x) Jx y = ]Jy =]F'(x)Jx = F(x) + C Salah satu anggota dari grafik fungsi y dapat ditantukan dengan menghitung harga C dari informasi grafik fungsi y yang elalui titik tertentu (x1,y1). Contoh8. Gradien garis singgung dari sembarang titik P(x,y) pada grafik fungsi y = F(x) ditentukan oleh m = JyJx= Fi(x) =4x Jika grafik fungsi tersebut melalui titik (1,5) tentukanlah persamaannya. y = _Jy =_Fi(x)Jx = ]4x Jx =2x2+ C Karena grafik fungsi melalui titik (1,-1) maka diperoleh y =2x2+ C -1 =2(1)2+ C >> C =-S Jadi persamaan grafik fungsi adalah:y =2x2- 3 Contoh9. Diketahui turunan kedua dari persamaan fungsi y = f(x) dinyatakan dengan : yii=6x - S Grafik fungsi melalui titik (2,-4) dan besarnya garis singgung pada titik itu adalah 3. Tentukanlah persamaan grafik fungsi tersebut. yi= Fi(x) = ]Fii(x)Jx = ](6x -S) Jx Fi(x) =Sx2- Sx +C1 Gradien garis singgung di titik (2,-4) = 3, maka Fi(x) =x2- Sx +C1 Fi(2) =S(2)2- S(2) +C1=S >> C1=1 Diperoleh: yi= Fi(x) =3x2- 5x +1 y = F(x) = ]F'(x)Jx =](3x2- 5x +1)dx F(x) =x3- 52x2+x +C2 Grafik fungsi melalui titik (2,-4), maka F(2) =(2)3- 52(2)2+(2) +C2=-4 >> C2=-4 Sehingga bentuk persamaan grafik fungsinya : y =x3- 52x2+x -4 Penerapan Integral tak tentu dalam Ilmu Fisika Jika persamaan s = F(t) menyatakan persamaan gerak sebuah benda pada lintasannya; s menyatakan jarak yang ditempuh dan t menyatakan waktu, maka laju dan percepatan dari benda tersebut : = JsJt= Fi(t)Jon o = J:Jt=J2sJt2= Fii(t) #. Menentukan posisi benda pada sembarang waktu t Sebaliknya, jika diketahui laju benda pada saat tdan posisi benda pada saat t1, maka posisi benda pada sembarang waktu t dapat ditentukan dengan rumus : s = _: Jt #. Menghitung laju benda pada sembarang waktu t Jika percepatan benda pada saat t dan laju benda pada saat t1 diketahui, maka laju benda pada sembarang watu t dapat ditentukan dengan rumus :
Contoh 10 : Laju sebuah benda yang bergerak pada saat t detik dinyatakan dengan persamaan v = 11 3t Pada saat t = 4 detik posisi benda berada pada jarak 40 m dari titik awal.Tentukan posisi (s) benda sebagai fungsi waktu (t) Penyelesaian
s =]: Jts =](11 -St) Jt=11t - 32t2+ CKarena pada saat t = 4 detik s = 40 meter, maka :
s = 11t - 32t2+ C-4u = 11(4) - 32(4)2+ C C = 2u Jadi posisi benda sebagai fungsi waktu dapat ditulis dalam bentuk persamaan : x = 11t - 32t2+ 2
Contoh 11 : Sebuah bola bergulir pada bidang datar dengan laju awal6 m/dt. Karena adanya gesekan bola dan bidang, pergerakan bola mengalami perlambatan (a) = 2 m/dt2 . Tentukanlah bentuk persamaan laju bola(v) sebagai fungsi waktu(t). Jika pada saat t = 1 posisi benda berada pada s = 1. Tentukanlah bentuk persamaan posisi bola(s) sebagai fungsi waktu(t). Hitung juga jarak yang ditempuh bola sampai bola tersebut berhenti. Penyelesaian a).Bentuk persamaan laju bola : =]o Jt - : =]-2 Jt : = -2t +C1
: = _o Jt Pada saat saat t = 0, laju awal (v) = 6 m/dt : = -2t +C1 - 6 = -2(u) +C1 C1= 6 Bentuk persamaan laju bola :u = -2t + b). Bentuk persamaan posisi bola s =]: Jt -s = ](-2t + 6)Jt s =-t2+ 6t +C2
Pada saat t = 1 benda berada pada posisi s = 1, maka : s =-t2+ 6t +C2- 1 =-(1)2+ 6(1) +C2 C2=-4 Bentuk persamaan posisi bola: x =-t2+t - 4 c). Jarak yang ditempuh bola Pada saat bola berhenti berarti laju bola (v) = 0, sehingga u = -2t + - u =-2t +6 t =SJctik Jadi jarak yang ditempuh bola sampai bola tersebut berhenti adalah : x =-(3)2+ (3) -4 x =5 mctcr Latihan 1.Diketahui d2y/dx2 = F(x) = 2, grafik fungsi melalui titik (6,4) dan gradient garis singgung di titik tersebut adalah 8. Tentukanlah persamaan grafik fungsi y = F(x). 2. Gradien garis singgung pada sembarang titik P(x,y) adalah F(x) = x1/2 ,Grafik fungsi melalui titik (9,18). Tentukanlah persamaan grafik fungsi y = F(x). 3. Sebuah partikel yang bergerak dengan kecepatan v m/dt pada saat t detik ditentukan dengan persamaan : v = 8t - 1 Pada saat t = 1 detik, posisi benda berada pada s = 6 meter.a. Tentukanlah persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 3 detik 4. DiketahuiF(x) = 6x, untuk F(1) bernilai 6 dan F(-3) bernilai 4. Tentukanlah persamaan grafik fungsi F(x). INTEGRALTERTENTU A. SIFAT-SIFAT UMUM Bila fungsi f(x) dan g(x) kontinyu pada selang a x b maka berlaku sifat-sifat berikut : 1. ] (x)Jx = |F(x)]ub= F(b) - Fbu(o) 2. ] (x)Jx = uuu S. ] {(x) _g(x)]Jx = ] (x)Jx_ bu] g(x)Jx bubu 4. ] (x)Jx+] (x)Jx = bc] (x)Jx; untuko c b bucu Contoh 12: Hitunglah nilai integral-integral berikut a). ] Sx Jx10b). ] Sx Jx41 c). ] Sx Jx40
Penyelesaian a). ] Sx Jx10= 32x2]01=32|(1)2-(u)2] =32 b). ]Sx Jx41= 32x2]14=32|(4)2-(1)2] =32(1S) = 452 c). ]Sx Jx40= 32x2]04=32|(4)2-(u)2] =32(16) = 482= 24 Perhatikan bahwa : ] 3x dx1+]3x dx41= ]3x dx4 berlaku sifat ke 4 integral tertentu Contoh 13 : a).Hitunglah nilai dari](2x -4)Jx21 b).Hitunglah nilai dari b sehingga persamaan berikut terpenuhi ](x3-16x)Jxb2= 24 Penyelesaian a). ](2x -4)Jx = 21(12x2- 4x)]12 = |12(2)2- 4(2)] -|12(1)2- 4(1)] = |2 -8] -j12-4[=-52 b). ](x3-6x)Jxb2= 24 ](x3-6x)Jxb2= (14x4- 6(12x2))]2b=(14x4-Sx2)2b
= _14(b)4-S(b)2] -_14(2)4-S(2)2] =[14(b)4- S(b)2 -(-8) = 24 =[14(b)4- S(b)2 = 16 =b = 4
B. Menentukan Luas Daerah Dengan Proses Limit Perhatikangambar Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x), x = a, x = b, dan sumbu X yang dibagi menjadi persegi panjang kecil sebanyak n buah. Lebar persegi panjang tersebut adalahx1,
x2, x3 .. xn . Dalam masing-masing selang diambil titik-titik contoh dengan absisix1,x2,x3.. xn Nilai Luas daerah di bawah kurva didekati dengan jumlah luas persegi panjang kecil yang lebarnya x dan panjangnya f(xi) dengan nilai i dari 1 sampai n. L f(x1). x1 + f(x2). x2 + f(x3). x3 + . +f(xi). xi
Atau dapat ditulis : L =(x|). x| n=1 x1 x2 x3 xn x1 x2 x3 xn y = f(x) f(x1) f(xn) Luas yang sebenarnya dapat diperoleh dengan membuat n menjadi besar sekali ( n ) yang berarti x menjadi kecil sekali ( x 0 ), akibatnya dapat ditulis : I = limx - (x). x hx=a Dalam bentuk integral dapat dituliskan I = limx - (x). x =_ (x). dxha hx=a Sehingga untuk menghitung luas adalah L = ] (x)dx = |F(x)]ah= F(h) - Fha(a) Contoh 13 Tunjukkan dengan membuat arsiran pada daerah luas yang ditentukan. Hitung pula luas daerah yang diarsir dari fungsi tersebut. o). ] x231 Jxb). ] (x +2)20 Jxc). ] (x2- 4x +S)43 Jx Penyelesaian o). ] x231 Jx =13X3]13= 13|S3-13] =26S, sotuon2 b). ] (x +2)20 Jx =12X2+2X]02= |12(2)2+2(2)] -|12(u)2+2(u)] =6 sotuon2 c). ] (x243-4x +S) Jx =13X3-2X2- Sx]34 = |13(4)3-2(4)2+ S(4)] -|13(S)3-2(S)2+ S(S)]
= (64S, -S2 +12) -(27S, -18 +9) = 4S, sotuon2
C. Menentukan Rumus Luas DaerahDi bawah Kurva Telah diketahui bahwa luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) ; garis x = a dan x = b serta sumbu X dapat dinyatakan dengan integral tertentu L = _ (x)dxha Sehingga luas daerah (L) dapat dirumuskan sebagai berikut L = _ (x)dx = |F(x)]ah= F(h) - Fha(a) Contoh 14 : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh : a).Grafik fungsi y = 2x + 2 ; garis x = 1 dan x = 2 serta sumbu X b).Grafik fungsi y = 2x2 + x ; garis x = 0 dan x = 2 serta sumbu X c).Grafik fungsi y = 2x - 4 ; garis x = 0 dan x = 2 serta sumbu X d).Grafik fungsi y = x2 - 2x ; serta sumbu X
Penyelesaian o).I=_ (2x +2)21 Jx = (x2+ 2x)]12 I=((2)2+ 2(2)) -((1)2+ 2(1)) I=Ssotuon2 b).I = _ (2x220+x) Jx = (2Sx3+12x2)]02
= [23(2)3+12(2)2 -[23(u)3+12(u)2 = [ 163+42 - u I =713sotuon2 c).I=_ (2x -4)20 Jx = (x2+ 4x)]02 I=((2)2- 4(2)) -((u)2- 2(u)) I=-4sotuon2 Luas daerah yang diarsir =4 satuan2 tanda minus (-) menandakan daerah arsiran berada dibawah sumbu X ( garis y = 0 ) d). Tentukan dahulu titik potong grafik fungsi dengan sumbu X ; syaratnya y = 0 y = x2 - 2xx2 - 2x=0 sehingga diperoleh x1 = 0 dan x2 = 2 x1 = adan x2 = b y = 0 I = _ (x220-2x) Jx = (1Sx3-x2)]02 I = _1S(2)3-(2)2] -_1S(u)3-(u)2] I = _ 8S-4 ] u I=-4S sotuon2 D. Menentukan Rumus Luas Daerah Antara Dua Kurva Luas daerah ABCD (daerah yang diarsir) dapat tentukan sebagai berikut : y = f(x) y = g(x) LuasABCD =LuasABEF LuasCDEF IuosABC =_ (x)bu Jx -_ g(x)bu Jx IuosABC =_ |(x) - g(x)]buJx Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafiky = f(x) , y = g(x), garis x = a dan garis x = b dapat dirumuskan dengan persamaan : L =_ |(x) - g(x)]hadx Dengan catatan bahwa f(x)g(x) pada selangaxb Jika f(x) g(x) pada selangaxb, maka luas daerah dapat ditentukan dengan perumusan L =_ |g(x) - (x)]hadx Catatan ; -Dalam menentukan luas daerah antara dua buah kurva, perlu digambarkan sketsa grafik fungsi keduanya -Dalam kebanyakan soal, selang pengitegralanx = a dan x = b harus ditentukan terlebih dahulu. Contoh 15 Tentukan luas daerah bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = 2x pada selang1 x 2 L =_ |(2x) -(x)]31dx L =_ x31dx I =12x2]13 I =12(S)2- 12(1)2 I = 4sotuon luos Contoh16 Tentukan luas daerah bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = -1/2x + 2 pada-selang0 x 1dan - selang 2 x 4 Penyelesaian -selang0 x 1 L =_ |_-12x +2] -(x)]1dx L =_ _-12x +2] -(x12)1dx I =-14x2+ 2x - 2Sx32]01 I = _-14(1)2+ 2(1) -2S(1)32] - u I =1S12sotuon luos L =_ |(x) -_-12x +2]]42dx I =2Sx32+ 14x2-2x]24 I = _ 2S(4)32+ 14(4)2- 2(4)_ -_ 2S(2)32+ 14(2)2- 2(2)_ I = _16S+ 4 -8] -_2S8 + 1 - 4] I = _16 -42S_ -(1) - I = _1u,S4S] -(1) I =7,S4Ssotuon luos E. Menentukan Isi Benda Putar Volue benda putar dapat diperoleh jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis tertentu yang disebut sebagai sumbu putar atau sumbu rotasi. 1). Volume Benda Putar mengelilingi Sumbu X Daerah bidang yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), x = a, x =b dan sumbu X.Apabila diputar 360 derajat mengelilingi sumbu X maka akan diperoleh benda putar Tentukan suatu elemen dengan lebar x dan tinggi f(x). Apabila elemen persegi tersebut diputar 360 derajat mengelilngi sumbu X maka akan diperoleh elemen silinder yang isinya : V = f2(x). x Untukx mendekati 0, dirumuskan limx - v= limx - . f2(x). xAtau dalam bentuk diferensial dapat dituliskan : oI =. f2(x). ox x Sehingga volume benda putar keseluruhan dapat dirumuskan dengan pengintegralan sebagai berikut: I = _ oI =bu . _ f2(x)ba. ox v = . ] y2ba ox 2). Volume Benda Putar mengelilingi Sumbu Y Jika daerah arsiran yang dibatasi oleh grafik fungsix = g(y) pada selangc y d, diputar 360 derajat terhadap sumbu Y akan diperoleh benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dirumuskan sebagai v = . _ g2(y)dc. oy v = . _ x2dc. oy x = g(y) y = d y = c 3). Volume Benda Putar Daerah Bidang Antara Dua Kurva Volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh dua buah grafik y1 = f(x) dany2 = g(x) pada selang a x b yang diputar 360 derajat terhadap sumbu X dapat ditentukan dengan rumus v = . ] |f2(x)ba-g2(x)] ox Atau v = . _ |y12(x)ba-y22(x)] ox Contoh 17 Daerah yang dibatasi oleh gafiky = x - 2, diputar 360 derajat. Hitunglah volume benda putar tersebut jika : a.Jika diputar terhadap sumbu X, yangdibatasi x = 2 dan x = 4 b.Jika diputar terhadap sumbu Y, yangdibatasi y = 0 dan y = 2 v = . _ y2ba ox v = . _ (x -2)242 ox v = . _ (x2-4x +4)42 ox v = . |1Sx3-2x2+ 4x]24 v = . _16S- 8S_ v =8Ssatuan isi y = x-2, maka x = y +2 v = . _ x2ba oy v = . _ (y +2)220 oy v = . _ (x2+4x +4)20 oy v = . |1Sx3+2x2+ 4x]02 v =S6Ssatuan isi Contoh 18 Suatu daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = 2. Jika V1 dan V2 masing-masing adalah volume benda putar yang diputar 360 derajat terhadap sumbu X dan sumbu Y. (Tentukan lebih dahulu x1=adan x2=bjuga y1=c dan y2=d) -Hitunglah V1 dan V2 -Tentukan pula perbandingan V1 dan V2 - HITUNGINTEGRAL I.1.PENGERTIANINTEGRAL Integral merupakan operasi kebalikan (invers) dari defferensial, yakni menentukan F(x) jika F(x)=f(x) diketahui. Misalnya jika F(x)=2x, maka cara menentukan F(x) dapat dilihat dari tabel berikut : Pendifferensialan F(x) F(x) = f(x) Pengintegralan x2 2x x2+ 12x x2- 42x x2- S22x x2+ 1uS2x x2+ C2x Dari masing-masing fungsi F(x) hanya berbeda pada suku konstantanya saja. Oleh sebab itu fungsi umu pengintegralan dari F(x) = f(x) = 2x dapat dinyatakan dengan : F(x) = x2+C Dalam hal ini C adalah konstanta sembarang Secara umum dapat dinyatakan bahwa : Notasi Integral ](x)Jx ]adalah lambing integral yang pertama kali ditemukan oleh Leibniz Sedangkan f(x) disebut fungsi integran. I.2.INTEGRALTAKTENTU Pengintegralan dari fungsi f(x) yang dilambangkan dengan ](x)Jxdisebut sebagai integral tak tentu dari f(x). Bentuk umumnya : _(x)Jx = F(x) + C Perumusan dasar integral tak tentu _xn Jx = 1n +1xn+1+ C Korcno F(x) = 1n+1xn+1 ,moko F(x) = xn= (x) ; untukn = 1 Khusus untuk F'(x) =xn uengan nilai n = 1, maka nilai F(x) aualah Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) disebut sebagai integral dari f(x) _xn Jx =_x-1 Jx = ln x , untuk x> u Catatan : ln x dibaca logaritma naturalx, yaitu logaritma yang bilangan pokoknyae.Jadi ln x = clogx Contoh soal : 1.]1x3 Jx ]x-3 Jx =1-3+1x-3+1+C =1-2x-2+C=1-2x2+ C =-12x2+C
2.] x34Jx ]x34, Jx=134, +1x34, +1+ C =174,x74,+C =47x74,+C =47 xx34+C 3.]1x23 Jx ]x-23, Jx =1-23, +1x-23, +1+C =113,x13,+C= Sx13,+C
=Sx3+ C 4.][x - 1x2 Jx][x - 2 +1xJx = 12x2- 2x + ln x + C , denganx > 0 Menentukan F(x), jika F(x) dan F(a) diketahui Jika F(x) dan F(x) untuk x = a diketahui, maka nilai konstanta C pada perumusan integral tak tentu akan mempunyai nilai tertentu. Sehingga akan diperoleh sebuah fungsi F(x) unik (tunggal) Nilai x = a dinamakan sebagai nilai awal atau nilai batas dari F(x). Contoh soal : 5.Jika diketahui F(x) = 2x + 5 dan F(2) = 11 , tentukanlah F(x) F(x) =]Fi(x) Jx =](2x + S) JxF(x) =x2+Sx + C Nilai C ditentukan dari F(2) = 16 F(2) =(2)2+ S(2) +C = 11>> C =-S Sehingga diperoleh:F(x) =x2+ 5x - 3 6.ikctobuiFi(x) =Sx2-4x +4. untuk x = 2 ungsi F bcrniloi 1S.Icntukonlob niloi ungsi F(x) F(x) =_Fi(x) Jx =](Sx2-4x + 4)Jx F(x) =x3-2x2+4x + C Untuk x = 2 fungsi F(x) berniai 13, ini berarti F(2) = 13 F(2) =(2)3- 2(2)2+4(2) +C = 1S >> C =S Sehingga diperoleh: F(x) =x3- 2x2+4x +5 7.ikctobui Fii(x) =12x +2 [iko Fi(2) =2u Jon F(1) =4 , Icntukonlob F(x) Fi(x) =]F''(x)Jx =](12x +2) Jx Fi(x) =6x2+2x +C1 Fi(2) =6(2)2+2(2) + C 1=2u >> C1=-8 Hoko Fi(x) =6x2+2x - 8 Menentukan F(x) F(x) =]Fi(x) Jx =](6x2+ 2x -8) JxF(x) =2x3+x2-8x +C2 F(1) =2(1)3+(1)2-8(1) +C2=4 >> C2=9 Sehingga diperoleh: F(x) =2x3+x2- 8x + 9 Penerapan Pengintegralan Taktentu Jika diketahui suatu grafik fungsi dengan persamaan y = f(x) maka gradian garis singgung sembarang titik P(x.y) pada grafik fungsi tersebut dapat ditentukan dengan rumus : m = ddx= Fi(x) Sebaliknya, apabila gradient garis singgung sebuah titik P(x,y) pada grafik fungsi diketahuimaka anggota-anggota dari grafik fungsi tersebutdapat ditentukan dengan menggunakan operasi pengintegralan : Jy = Fi(x)Jx Jy = (x) Jx y = ]Jy =]F'(x)Jx = F(x) + C Salah satu anggota dari grafik fungsi y dapat ditantukan dengan menghitung harga C dari informasi grafik fungsi y yang elalui titik tertentu (x1,y1). Contoh8. Gradien garis singgung dari sembarang titik P(x,y) pada grafik fungsi y = F(x) ditentukan oleh m = JyJx= Fi(x) =4x Jika grafik fungsi tersebut melalui titik (1,5) tentukanlah persamaannya. y = _Jy =_Fi(x)Jx = ]4x Jx =2x2+C Karena grafik fungsi melalui titik (1,-1) maka diperoleh y =2x2+ C -1 =2(1)2+ C >> C =-S Jadi persamaan grafik fungsi adalah:y =2x2-3 Contoh9. Diketahui turunan kedua dari persamaan fungsi y = f(x) dinyatakan dengan : yii=6x - S Grafik fungsi melalui titik (2,-4) dan besarnya garis singgung pada titik itu adalah 3. Tentukanlah persamaan grafik fungsi tersebut. yi= Fi(x) = ]Fii(x)Jx = ](6x - S) Jx Fi(x) =Sx2-Sx + C1 Gradien garis singgung di titik (2,-4) = 3, maka Fi(x) =x2- Sx +C1 Fi(2) =S(2)2- S(2) + C1=S >> C1=1 Diperoleh: yi= Fi(x) =3x2-5x +1 y = F(x) = ]F'(x)Jx =](3x2-5x +1)dx F(x) =x3- 52x2+ x +C2 Grafik fungsi melalui titik (2,-4), maka F(2) =(2)3- 52(2)2+ (2) +C2=-4 >> C2=-4 Sehingga bentuk persamaan grafik fungsinya : y =x3- 52x2+x -4 Penerapan Integral tak tentu dalam Ilmu Fisika Jika persamaan s = F(t) menyatakan persamaan gerak sebuah benda pada lintasannya; s menyatakan jarak yang ditempuh dan t menyatakan waktu, maka laju dan percepatan dari benda tersebut : = JsJt= Fi(t)Jon o = J:Jt=J2sJt2= Fii(t) #. Menentukan posisi benda pada sembarang waktu t Sebaliknya, jika diketahui laju benda pada saat tdan posisi benda pada saat t1, maka posisi benda pada sembarang waktu t dapat ditentukan dengan rumus : s = _: Jt #. Menghitung laju benda pada sembarang waktu t Jika percepatan benda pada saat t dan laju benda pada saat t1 diketahui, maka laju benda pada sembarang watu t dapat ditentukan dengan rumus :
Contoh 10 : Laju sebuah benda yang bergerak pada saat t detik dinyatakan dengan persamaan v = 11 3t Pada saat t = 4 detik posisi benda berada pada jarak 40 m dari titik awal.Tentukan posisi (s) benda sebagai fungsi waktu (t) Penyelesaian
s =]: Jts =](11 -St) Jt=11t - 32t2+ CKarena pada saat t = 4 detik s = 40 meter, maka :
s = 11t - 32t2+ C-4u = 11(4) - 32(4)2+ C C = 2u Jadi posisi benda sebagai fungsi waktu dapat ditulis dalam bentuk persamaan : x = 11t - 32t2+2
Contoh 11 : Sebuah bola bergulir pada bidang datar dengan laju awal6 m/dt. Karena adanya gesekan bola dan bidang, pergerakan bola mengalami perlambatan (a) = 2 m/dt2 . Tentukanlah bentuk persamaan laju bola(v) sebagai fungsi waktu(t). Jika pada saat t = 1 posisi benda berada pada s = 1. Tentukanlah bentuk persamaan posisi bola(s) sebagai fungsi waktu(t). Hitung juga jarak yang ditempuh bola sampai bola tersebut berhenti. Penyelesaian a).Bentuk persamaan laju bola : =]o Jt - : =]-2 Jt : = -2t +C1
: = _o Jt Pada saat saat t = 0, laju awal (v) = 6 m/dt : = -2t +C1 - 6 = -2(u) +C1 C1= 6 Bentuk persamaan laju bola :u = -2t + b). Bentuk persamaan posisi bola s =]: Jt -s = ](-2t +6)Jt s =-t2+6t +C2
Pada saat t = 1 benda berada pada posisi s = 1, maka : s =-t2+ 6t + C2- 1 =-(1)2+ 6(1) +C2 C2=-4 Bentuk persamaan posisi bola: x =-t2+t - 4 c). Jarak yang ditempuh bola Pada saat bola berhenti berarti laju bola (v) = 0, sehingga u = -2t + - u =-2t +6 t =SJctik Jadi jarak yang ditempuh bola sampai bola tersebut berhenti adalah : x =-(3)2+ (3) -4 x =5 mctcr Latihan 1.Diketahui d2y/dx2 = F(x) = 2, grafik fungsi melalui titik (6,4) dan gradient garis singgung di titik tersebut adalah 8. Tentukanlah persamaan grafik fungsi y = F(x). 2. Gradien garis singgung pada sembarang titik P(x,y) adalah F(x) = x1/2 ,Grafik fungsi melalui titik (9,18). Tentukanlah persamaan grafik fungsi y = F(x). 3. Sebuah partikel yang bergerak dengan kecepatan v m/dt pada saat t detik ditentukan dengan persamaan : v = 8t - 1 Pada saat t = 1 detik, posisi benda berada pada s = 6 meter.a. Tentukanlah persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 3 detik 4. DiketahuiF(x) = 6x, untuk F(1) bernilai 6 dan F(-3) bernilai 4. Tentukanlah persamaan grafik fungsi F(x). INTEGRALTERTENTU A. SIFAT-SIFAT UMUM Bila fungsi f(x) dan g(x) kontinyu pada selang a x b maka berlaku sifat-sifat berikut : 1. ] (x)Jx = |F(x)]ub= F(b) - Fbu(o) 2. ] (x)Jx = uuu S. ] {(x) _ g(x)]Jx = ] (x)Jx_ bu] g(x)Jx bubu 4. ] (x)Jx+] (x)Jx = bc] (x)Jx; untuko c b bucu Contoh 12: Hitunglah nilai integral-integral berikut a). ] Sx Jx10b). ] Sx Jx41 c). ] Sx Jx40
Penyelesaian a). ] Sx Jx10= 32x2]01=32|(1)2-(u)2] =32 b). ]Sx Jx41= 32x2]14=32|(4)2-(1)2] =32(1S) = 452 c). ]Sx Jx40= 32x2]04=32|(4)2-(u)2] =32(16) = 482= 24 Perhatikan bahwa : ] 3x dx1+]3x dx41= ]3x dx4 berlaku sifat ke 4 integral tertentu Contoh 13 : a).Hitunglah nilai dari](2x -4)Jx21 b).Hitunglah nilai dari b sehingga persamaan berikut terpenuhi ](x3-16x)Jxb2= 24 Penyelesaian a). ](2x - 4)Jx = 21(12x2-4x)]12 = |12(2)2- 4(2)] -|12(1)2-4(1)] = |2 -8] - j12-4[=-52 b). ](x3-6x)Jxb2= 24 ](x3-6x)Jxb2= (14x4- 6(12x2))]2b=(14x4-Sx2)2b
= _14(b)4-S(b)2] -_14(2)4-S(2)2] =[14(b)4-S(b)2 -(-8) = 24 =[14(b)4-S(b)2 = 16 =b = 4
B. Menentukan Luas Daerah Dengan Proses Limit Perhatikangambar Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x), x = a, x = b, dan sumbu X yang dibagi menjadi persegi panjang kecil sebanyak n buah. Lebar persegi panjang tersebut adalahx1,
x2, x3 .. xn . Dalam masing-masing selang diambil titik-titik contoh dengan absisix1,x2,x3.. xn Nilai Luas daerah di bawah kurva didekati dengan jumlah luas persegi panjang kecil yang lebarnya x dan panjangnya f(xi) dengan nilai i dari 1 sampai n. L f(x1). x1 + f(x2). x2 + f(x3). x3 + . +f(xi). xi
Atau dapat ditulis : L =(x|). x| n=1 x1 x2 x3 xn x1 x2 x3 xn y = f(x) f(x1) f(xn) Luas yang sebenarnya dapat diperoleh dengan membuat n menjadi besar sekali ( n ) yang berarti x menjadi kecil sekali ( x 0 ), akibatnya dapat ditulis : I = limx - (x). x hx=a Dalam bentuk integral dapat dituliskan I = limx - (x). x =_ (x). dxha hx=a Sehingga untuk menghitung luas adalah L = ] (x)dx = |F(x)]ah= F(h) - Fha(a) Contoh 13 Tunjukkan dengan membuat arsiran pada daerah luas yang ditentukan. Hitung pula luas daerah yang diarsir dari fungsi tersebut. o). ] x231 Jxb). ] (x + 2)20 Jxc). ] (x2- 4x +S)43 Jx Penyelesaian o). ] x231 Jx =13X3]13= 13|S3- 13] =26S, sotuon2 b). ] (x +2)20 Jx =12X2+2X]02= |12(2)2+2(2)] -|12(u)2+2(u)] =6 sotuon2 c). ] (x243- 4x +S) Jx =13X3-2X2-Sx]34 = |13(4)3-2(4)2+ S(4)] -|13(S)3-2(S)2+ S(S)]
= (64S, -S2 + 12) -(27S, -18 + 9) = 4S, sotuon2
C. Menentukan Rumus Luas DaerahDi bawah Kurva Telah diketahui bahwa luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) ; garis x = a dan x = b serta sumbu X dapat dinyatakan dengan integral tertentu L = _ (x)dxha Sehingga luas daerah (L) dapat dirumuskan sebagai berikut L = _ (x)dx = |F(x)]ah= F(h) - Fha(a) Contoh 14 : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh : a).Grafik fungsi y = 2x + 2 ; garis x = 1 dan x = 2 serta sumbu X b).Grafik fungsi y = 2x2 + x ; garis x = 0 dan x = 2 serta sumbu X c).Grafik fungsi y = 2x - 4 ; garis x = 0 dan x = 2 serta sumbu X d).Grafik fungsi y = x2 - 2x ; serta sumbu X
Penyelesaian o).I=_ (2x + 2)21 Jx = (x2+ 2x)]12 I=((2)2+ 2(2)) -((1)2+ 2(1)) I=Ssotuon2 b).I = _ (2x220+ x) Jx = (2Sx3+12x2)]02
= [23(2)3+12(2)2 -[23(u)3+12(u)2 = [ 163+42 -u I =713sotuon2 c).I=_ (2x -4)20 Jx = (x2+ 4x)]02 I=((2)2-4(2)) -((u)2- 2(u)) I=-4sotuon2 Luas daerah yang diarsir =4 satuan2 tanda minus (-) menandakan daerah arsiran berada dibawah sumbu X ( garis y = 0 ) d). Tentukan dahulu titik potong grafik fungsi dengan sumbu X ; syaratnya y = 0 y = x2 - 2xx2 - 2x=0 sehingga diperoleh x1 = 0 dan x2 = 2 x1 = adan x2 = b y = 0 I = _ (x220-2x) Jx = (1Sx3- x2)]02 I = _1S(2)3-(2)2] -_1S(u)3-(u)2] I = _ 8S- 4 ] u I=-4S sotuon2 D. Menentukan Rumus Luas Daerah Antara Dua Kurva Luas daerah ABCD (daerah yang diarsir) dapat tentukan sebagai berikut : y = f(x) y = g(x) LuasABCD =LuasABEF LuasCDEF IuosABC =_ (x)bu Jx -_ g(x)bu Jx IuosABC =_ |(x) - g(x)]buJx Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafiky = f(x) , y = g(x), garis x = a dan garis x = b dapat dirumuskan dengan persamaan : L =_ |(x) -g(x)]hadx Dengan catatan bahwa f(x)g(x) pada selangaxb Jika f(x) g(x) pada selangaxb, maka luas daerah dapat ditentukan dengan perumusan L =_ |g(x) - (x)]hadx Catatan ; -Dalam menentukan luas daerah antara dua buah kurva, perlu digambarkan sketsa grafik fungsi keduanya -Dalam kebanyakan soal, selang pengitegralanx = a dan x = b harus ditentukan terlebih dahulu. Contoh 15 Tentukan luas daerah bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = 2x pada selang1 x 2 L =_ |(2x) -(x)]31dx L =_ x31dx I =12x2]13 I =12(S)2- 12(1)2 I = 4sotuon luos Contoh16 Tentukan luas daerah bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = -1/2x + 2 pada-selang0 x 1dan - selang 2 x 4 Penyelesaian -selang0 x 1 L =_ |_-12x +2] -(x)]1dx L =_ _-12x + 2] -(x12)1dx I =-14x2+2x - 2Sx32]01 I = _-14(1)2+2(1) -2S(1)32] - u I =1S12sotuon luos L =_ |(x) -_-12x +2]]42dx I =2Sx32+ 14x2-2x]24 I = _ 2S(4)32+ 14(4)2- 2(4)_ -_ 2S(2)32+ 14(2)2-2(2)_ I = _16S+4 - 8] -_2S8 +1 -4] I = _16 - 42S_ -(1) - I = _1u,S4S] -(1) I =7,S4Ssotuon luos E. Menentukan Isi Benda Putar Volue benda putar dapat diperoleh jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis tertentu yang disebut sebagai sumbu putar atau sumbu rotasi. 1). Volume Benda Putar mengelilingi Sumbu X Daerah bidang yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), x = a, x =b dan sumbu X.Apabila diputar 360 derajat mengelilingi sumbu X maka akan diperoleh benda putar Tentukan suatu elemen dengan lebar x dan tinggi f(x). Apabila elemen persegi tersebut diputar 360 derajat mengelilngi sumbu X maka akan diperoleh elemen silinder yang isinya : V = f2(x). x Untukx mendekati 0, dirumuskan limx - v= limx - . f2(x). xAtau dalam bentuk diferensial dapat dituliskan : oI =. f2(x). ox x Sehingga volume benda putar keseluruhan dapat dirumuskan dengan pengintegralan sebagai berikut: I = _ oI =bu . _ f2(x)ba. ox v = . ] y2ba ox 2). Volume Benda Putar mengelilingi Sumbu Y Jika daerah arsiran yang dibatasi oleh grafik fungsix = g(y) pada selangc y d, diputar 360 derajat terhadap sumbu Y akan diperoleh benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dirumuskan sebagai v = . _ g2(y)dc. oy v = . _ x2dc. oy x = g(y) y = d y = c 3). Volume Benda Putar Daerah Bidang Antara Dua Kurva Volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh dua buah grafik y1 = f(x) dany2 = g(x) pada selang a x b yang diputar 360 derajat terhadap sumbu X dapat ditentukan dengan rumus v = . ] |f2(x)ba-g2(x)] ox Atau v = . _ |y12(x)ba-y22(x)] ox Contoh 17 Daerah yang dibatasi oleh gafiky = x - 2, diputar 360 derajat. Hitunglah volume benda putar tersebut jika : a.Jika diputar terhadap sumbu X, yangdibatasi x = 2 dan x = 4 b.Jika diputar terhadap sumbu Y, yangdibatasi y = 0 dan y = 2 v = . _ y2ba ox v = . _ (x -2)242 ox v = . _ (x2- 4x + 4)42 ox v = . |1Sx3-2x2+ 4x]24 v = . _16S- 8S_ v =8Ssatuan isi y = x-2, maka x = y +2 v = . _ x2ba oy v = . _ (y +2)220 oy v = . _ (x2+4x +4)20 oy v = . |1Sx3+2x2+ 4x]02 v =S6Ssatuan isi Contoh 18 Suatu daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x dan y = 2. Jika V1 dan V2 masing-masing adalah volume benda putar yang diputar 360 derajat terhadap sumbu X dan sumbu Y. (Tentukan lebih dahulu x1=adan x2=bjuga y1=c dan y2=d) -Hitunglah V1 dan V2 -Tentukan pula perbandingan V1 dan V2 -