Konsep Matematika Konsep Matematika UangUang

Dalam memulai suatu usaha maka diperlukan modal Bentuknya dapat berupa

uang benda kepemilikan

Pendahuluan

Modal diperlukan untuk usaha yang dapat menghasilkan kekayaan lebih banyakModal uang dapat berupa:

Modal ekuitas (equity capital)Modal ekuitas dimiliki

Modal hutang (debt capital) atau pinjaman (borrowed capital)

Modal pinjaman didapat dari pinjaman (utk berinvestasi)

Modal hutang atau pinjaman dikembalikan berikut konsekuensi finansialnyaKonsekuensi finansial disebabkan karena waktu mempunyai nilai terhadap uangContoh:

Rp 1 juta saat ini tidak akan sama nilainya dengan beberapa tahun yg akan dtg

Maka terdapat nilai waktu (time value) terhadap uang

Banyak contoh yg menjelaskan bahwa

Konsekuensi finansial muncul dlm suatu periode tertentu pd setiap pinjaman

Modal yang dipinjamkan dengan dengan konsekuensi finansial berupa biaya Konsekuensi finansial ini merupakan sejumlah prosentase dari pinjaman yg disebut sebagai bunga (interest)

Bunga (interest)

Bunga terdiri dari:Bunga sederhana (simple interest)Bunga majemuk (compound interest)

Bunga sederhana (1/2)

Bunga total yg diperoleh sebanding dg besarnya

Pinjaman awal Tingkat bungaPeriode pinjaman

Rumus:P=jumlah modal sekarangi=tingkat bungaN=periode pinjaman

iNPI

Bunga sederhana (2/2)

Jumlah total yg dikembalikan pd akhir periode N:

)1( iNPF

PiNPF

IPF

Bunga majemuk

Disebut juga bunga berbungaBunga tiap periode didasarkan pada sisa pinjaman pokok + beban bunga yang terakumulasi sampai awal periode tersebut

Rumus:th:1 bunga: I1 = Pi

F1 = P+I1 = P(1+i)th:2 bunga: I2 = P(1+i)i

F2 = F1+I2 = P (1+i)2

th:3 bunga: I3 = P(1+i)2i

F3 = F2+I3 = P (1+i)3 th:n bunga: In = P(1+i)n-1i

Fn = Fn-1+In = P (1+i)n

Contoh:Uang sebesar Rp. 2.000.000,- dipinjam selama 5 th dengan bunga 10%/tahun. Hitung total pinjaman di akhir setiap tahun dengan 2 metode yang ada

Sederhana MajemukF=P(1+iN) F=P(1+i)N

1 Rp2,200,000.00 Rp2,200,000.002 Rp2,400,000.00 Rp2,420,000.003 Rp2,600,000.00 Rp2,662,000.004 Rp2,800,000.00 Rp2,928,200.005 Rp3,000,000.00 Rp3,221,020.00

Bunga Tahun

Perbedaan antara kedua metode semakin besar dengan bertambahnya N

Rp2,000,000.00

Rp2,500,000.00

Rp3,000,000.00

Rp3,500,000.00

1 2 3 4 5

Tahun

F Bunga Sederhana

Bunga Majemuk

Tingkat suku bunga (1/3)

Seringkali periode bunga kurang dari 1 tahun Ada dua macam tingkat suku bunga:

Tingkat suku bunga nominaldihitung tahunandinyatakan dalam r

Tingkat suku bunga efektifmrpk suku bunga sebenarnyadinyatakan dalam i

Tingkat suku bunga (2/3)

Hubungan antara kedua tingkat suku bunga:

M adalah periode pemajemukan

Pemajemukan pada periode menyebabkan terjadinya perubahan tingkat suku bunga

11 MMri

Tingkat suku bunga (3/3)Untuk pemajemukan setiap bulan

N dikalikan dengan 12i dibagi dengan 12

Untuk pemajemukan setiap kuartalN dikalikan dengan 4i dibagi dengan 3

Untuk pemajemukan setiap ½ tahun

N dikalikan dengan 2i dibagi dengan 2

Contoh:Modal sebesar Rp. 1.000.000,- diinvestasikan selama 2 tahun dengan suku bunga nominal 12%. Berapa jumlah modal tersebut di tahun akhir tahun ke-2 jika:

Bunga tidak dimajemukkanDimajemukkan secara setengah tahunDimajemukkan secara kuartalDimajemukkan secara bulanan

a b c d

1 Rp1,010,000.002 Rp1,020,100.003 Rp1,030,000.00 Rp1,030,301.004 Rp1,040,604.015 Rp1,051,010.056 Rp1,060,000.00 Rp1,060,900.00 Rp1,061,520.157 Rp1,072,135.358 Rp1,082,856.719 Rp1,092,727.00 Rp1,093,685.2710 Rp1,104,622.1311 Rp1,115,668.3512 Rp1,120,000.00 Rp1,123,600.00 Rp1,125,508.81 Rp1,126,825.0313 Rp1,138,093.2814 Rp1,149,474.2115 Rp1,159,274.07 Rp1,160,968.9616 Rp1,172,578.6417 Rp1,184,304.4318 Rp1,191,016.00 Rp1,194,052.30 Rp1,196,147.4819 Rp1,208,108.9520 Rp1,220,190.0421 Rp1,229,873.87 Rp1,232,391.9422 Rp1,244,715.8623 Rp1,257,163.0224 Rp1,254,400.00 Rp1,262,476.96 Rp1,266,770.08 Rp1,269,734.65

B.eff = 120000/1000000 123600/1000000 125508/1000000 126825/100000012 12.36 12.55 12.68

BulanMetode Pemajemukkan

Konsep keekivalenan (1/2)

Membandingkan beberapa alternatif yang disederhanakan ke dalam suatu basis keekivalenan yang tergantung pada:

Tingkat bungaJumlah uang yang terlibatWaktu penerimaan/pengeluaranSifat pembayaran bunga/laba dan modal awal

Konsep keekivalenan (2/2)

Konsep keekivalenan merupakan faktor yang penting dalam ekonomi rekayasaDengan konsep ini alternatif-alternatif yang berbeda dapat dibandingkan

Contoh:Sebanyak Rp. 1.000.000,- dipinjam dengan persetujuan pembayaran kembali dalam 4 tahun dengan bunga 10%. Ada 4 alternatif pembayaran yang ekivalen dengan perbedaan pada:

Waktu penerimaan/pengeluaranSifat pembayaran bunga/laba dan modal awal

Thn Jml terhutang Bunga Total uang Pembayaran Pembayaran total

awal tahun tahun tsb terhutang pokok akhir tahun

Alternatif 1: Pada akhir setiap tahun membayar pokok Rp.250.000,- + bunga

1 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp250,000 Rp350,000.00

2 Rp750,000 Rp75,000 Rp825,000 Rp250,000 Rp325,000.00

3 Rp500,000 Rp50,000 Rp550,000 Rp250,000 Rp300,000.00

4 Rp250,000 Rp25,000 Rp275,000 Rp250,000 Rp275,000.00

Rp2,500,000 Rp250,000 Rp1,000,000 Rp1,250,000.00

Alternatif 2: Membayar bunga tiap akhir tahun dan pokok pada akhir tahun ke-4

1 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp0 Rp100,000.00

2 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp0 Rp100,000.00

3 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp0 Rp100,000.00

4 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp1,000,000 Rp1,100,000.00

Rp4,000,000 Rp400,000 Rp1,000,000 Rp1,400,000.00

Alternatif 3: Membayar dalam 4 kali pembayaran yang sama besar

1 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp215,471 Rp315,470.80

2 Rp784,529 Rp78,453 Rp862,982 Rp237,018 Rp315,470.80

3 Rp547,511 Rp54,751 Rp602,262 Rp260,720 Rp315,470.80

4 Rp286,792 Rp28,679 Rp315,471 Rp286,792 Rp315,470.80

Rp2,618,832 Rp261,883 Rp1,000,000 Rp1,261,883

Alternatif 4: Membayar pokok dan bunga dalam 1 kali pembayaran di akhir tahun ke 4

1 Rp1,000,000 Rp100,000 Rp1,100,000 Rp0 Rp0.00

2 Rp1,100,000 Rp110,000 Rp1,210,000 Rp0 Rp0.00

3 Rp1,210,000 Rp121,000 Rp1,331,000 Rp0 Rp0.00

4 Rp1,331,000 Rp133,100 Rp1,464,100 Rp1,000,000 Rp1,464,100.00

Rp4,641,000 Rp464,100 Rp1,000,000 Rp1,464,100.00

Dengan melihat kolom 2 (jumlah hutang), kurva ke-4 alternatif adalah:Alternatif 1

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 2 3 4

Alternatif 2

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 2 3 4

Alternatif 3

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 2 3 4

Alternatif 4

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1 2 3 4

Keekivalenan pada ke-4 alternatifRasio total bunga

terhadap Rp/ th

1 Rp2,500,000 Rp250,000 0.1

2 Rp4,000,000 Rp400,000 0.1

3 Rp2,618,832 Rp261,883 0.1

4 Rp4,641,000 Rp464,100 0.1

Alternatif Jumlah kol (2) Jumlah kol (3)

Jika dari ke-4 alternatif hanya 2 alternatif pertama yang ditawarkan, mana yang akan dipilih?Tahun Alt. 1 Alt. 2

1 -350.000 -100.000

2 -325.000 -100.000

3 -300.000 -100.000

4 -275.000 -1.100.000

-1.250.000 -1.400.000

Gunakan konsep keekivalenan

Terima kasihTerima kasih