Tugas Matematika Ekonomi

Pembagian tugas

1. Cynthia Tjoe – 125100134 – Halaman 277 s/d 280

2. Timotius Natanael S. – 125100137 – Halaman 281 s/d 284

3. Ronny Effendy – 125100138 – Halaman 285 s/d 288

4. Darwin Lesmana – 125100139 – Halaman 289 s/d 292

5. Dicky Saputra – 125100140 – Halaman 293 s/d 296

6. Handoyo Irawan – 125100142 – Halaman 297 s/d 300

7. Agustina Cindy – 125100144 – Halaman 301 s/d 304

8. Nadya – 125100147 – Halaman 305 s/d 308

9. Joseph Arifianto S. – 125100148 – Halaman 309 s/d 310 dan

Koordinator

4. Tentukan nilai x1 dan x2 yang memaksimumkan fungsi f(xi,x2)= 3x1+6x2

dengan batasan 2x1+5x2 20

2x1+2x2 10 x1 0 x2 0

5. Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi f)x,y) = 3x+2y dengan

batasan x+y 2x+3y x y

6. Perusahaan sampo merencenakan memproduksi produk A (untuk rambut

kering dan B (untuk rambut berminyak). Banyak ramuan yang tersedia cukup

untuk masing-masing sampo sebanyak 60.000 botol namun hanya diambil

kedua sampo tersebut sejumlah 60.000 botol. Untuk mengisi 1.000 botol

sampo A diperlukan 4 jam dan untuk mengisi 1000 botol sampo B butuh 3

jam. Waktu yg tersedia untuk itu sebesar 200 jam. Laba per botol sampo A

sebesar 9sen dan sampo B 7sen. Bagaimana menyusun skedul produksi

untuk memaksimumkan keuntungan?

7. Perusahaan Tr-Ply memproduksi 2 peti kayu. Keuntungan satuan peti 1

adalah $9, tiap satuan peti jenis 2 adalah $12. Masing-masing peti melewati 2

jalur produksi. Jumlah jam yang tersedia pada jalur produksi A yaitu 10jam

dan pada jalur produksi B 12jam. Tiap peti 1 membutuhkan 2 jam jalur

produksi A dan 3 jam jalur produksi B. Tentukan jumlah masing-masing peti

yg dapat diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan gabungan.

8.Perusahaan tangga Up-Down menghasilkan 3 jenis tangga. Laba tangga

jenis 1 adalah $5, jenis 2 adalah $7, jenis 3 adalah $8. Masing-masing tangga

harus diproses melalui 3 pusat produksi yang membutuhkan waktu sebagai

berikut:

Pusat 1 (menit) Pusat 2( menit) Pusat 3 (menit)

Jenis 1 4 5 6

Jenis 2 5 7 9

Jenis 3 6 7 7

Jumlah yg

tersedia

80 100 120

Untuk memaksimumkan laba, tentukan jumlah masing-masing jenis tangga

yang harus diproduksi!

9. Perusahaan kapal pesiar menghasilkan 2 model kapal. Laba yg diperoleh

dari model 1 sebesar $520 dan model 2 sebesar $450. Model 1 perlu 40jam

pengerjaan dan 24jam untuk menyelesaikan. Model 2 butuh 25jam untuk

pengerjaan dan 30jam penyelesaian. Waktu yg tersedia 400jam untuk

pengerjaan dan 360jam penyelesaian. Tentukan jumlah optimal masing-

masing yang harus dihasilkan perusahaan dan laba yg diperoleh!

10. Perusahaan Douply membuat 3produk. Laba persatuan produk 1 $10,

produk 2 $14, produk 3 $15. Masing-masing menggunakan 3 macam bahan

baku yg kebutuhannya sbb:

Bahan 1 Bahan 2 Bahan 3

Produk 1 3 lb/unit 4 lb/unit 5 lb/unit

Produk 2 5 lb/unit 7 lb/unit 7 lb/unit

Produk 3 4 lb/unit 8 lb/ unit 6 lb/unit

Total lb yg

tersedia

220 280 320

Tentukan campuran produk yg optimal!

11.Perusahaan memproduksi 2 buku text. Laba buku text 1 $2, buku teks 2

$3. Buku text 2 butuh 4 jam untuk mencetak dan 6 jam untuk menjilid. Buku

text 2 membutuhkan 5jam untuk mencetak dan 3 jam menjilid. Waktu yg

tersedia untuk mencetak 200jam, untuk menjilid 210jam. Tentukan jmlh

optimal masing-masing buku text yg diproduksi perusahaan tersebut dan laba

yg diperoleh!

12. Cari pemecahan optimal untuk masalah pemograman linear berikut,

maksimiasi 6x1+3x2 dengan batasan

4x1 + x2

2x1 +2x2

2x1 +4x2

X1,x2

13. Cari pewmecahan optimal untuk masalah pemograman linear berikut

maksimisasi 12x1 – 5x2 dengan batasan

X1 – 2X2

X1- X2

X1

X1, X2

Tuliskan dual dari masalah pemrograman linear berikut.

14. Maksimumkan X1 + X2 + 5X3 dengan batasan 4X1 + 3X2 + X3

2x1 + 10x2 +3x3

X1, X2, X3

15. Minimumkan 3x1 + 5x2 + x3 dengan batasan x1+x2+x3

3x1+8x2+9x3

6x1+7x3

12X2+4X3

X1,X2,X3

16. Maksimumkan 2x1 + 10x2 dengan batasan x1+x2+x3

3x1-2x2+6x3

X2+ 3x3

X1,x2,x3

17. Minimum 2x1+10x2 dengan batasan x1+x2+x3

3x1-2x2+6x3

X2+3x3

X1,x2,x3

18. Maksimum 8x1-3x2 dengan batasan 9x1+2x2

10x1+3x2

X1,x2

19. Maksimum 5x1+3x2+14x3 dengan batasan 2x1+x2+3x3

X1+3x2+2x3

X1+x2+x3

X1,x2,x3

20. Minimum 6x1-3x2+4x3 dengan batasan 3x1+6x2+2x3

5x1+x2+6x3

X1,x2,x3

Teori Permainan

Dikembangkan untuk menganalisis situasi persaingan berupa kepentingan

yang bertentangan. Teori ini mengamsusikan 2 orang atau lebih dengan

tujuan yang berbeda-beda dimana tindakan masing-masing berpengaruh

namun tidak sepenuhnya menentukan hasil permainan.Teori ini juga

mengasumsikan setiap pemain bermaksud memaksimisasi keuntingan

minimum yang diharapkan atau meminimisasi kerugian maksimum yang

diperkirakan. Teori ini dinyatakan sebagai criteria minimaks atau maksimin.

Contoh teori permainan misalnya tik-tak-tu, checkers, catur, backgammon,

poker, bridge. Penera[an teori ini tidak dibatasi pada permainan melainkan

mencakup pula situasi persaingan dalam ekonomi, perusahaan, dan perilaku

social.

Jumlah orang

Kebanyakan teori permainan berurusan dengan permainan 2 orang. Namun

banyak situasi yang tidak membatasi pada 2 orang tidak sulit untuk dianalisis

dengan mengandaikan, sebagai cdontoh permainan kartu dipertimbangkan

sebagai ‘’dia’’ dan ‘’setiap orang’’

Pembayaran

Perbedaannya terletak pada permainan ‘’zero-sum’’ dam ‘’non-zero sum’’.

Jika jumlah pembayaran pada semua pemain 0, maka kemenangan dihutung

positif sedangkan kekalahan negative, permainan itu disebut ‘’zero-sum’’

sebaliknya disebut nonzero-sum. Dalam permainan zero sum tiap

kemenangan bagi seorang pemain adalah kekalahan bagi pemain lainnya

dan sebaliknya. Intinya yaitu permainan zero-sum merupakan suatu system

tertutup dan non-zero sum tidak. Kebanyakan permainan dari ruang adalah

zero sum.

Dalam bagian-bagian berikut berkenaan dengan permainan jenis ini. Sebagai

catatan suatu permainan 'nonzero-sum' dapat dibuat menjadi 'zero-sum'

dengan menambahkan seorang pemain khayalan, katakanlali Nature, tetapi

hal ini menuntut suatu analisis yang lebih baik, khususnya bila permainan

orisinal adalah antara dua orang.

Strategi-StrategiDalam teori permainan suatu strategi bagi seorang pemain ialah

rencana, yang merincikan tindakannya untuk setiap kemungkinan aksi dari

lawannya, yaitu strategi adalah suatu rencana lengkap untuk memainkan

suatu permainan, tanpa suatu konotasi tentang trampilnya pihak pemain.

Dalam suatu permainan yang sepenuhnya mud ah ditenma untuk dianalisis,

dimungkinkan paling tidak secara konseptual untuk disajikan semua

kemungkinan yang mungkin teijadi dan begitu semua kemungkinan strategi

dapat didaftarkan. Permainan dikelompokkan menurut jumlah strategi yang

tersedia bagi setiap pemain, bila pemain 1 memiliki m kemungkinan strategi

dan pemain,2, n kemungkinan strategi dan hanya mereka adalah pemain,

maka permainan tersebut adalah m X n yaitu m terhadap n. Pembedaan

terpenting ialah bagaimana mengelompokkan permainan atas dasar strategi

antara permainan yang terbatas dan yang tak-terbatas. Bila jumlah strategi

terbanyak tersedia bagi seorang pemain adalah terbatas, maka permainan

tersebut terbatas; jika sekurang-kurangnya seorang pemain memiliki strategi

yang tak-terbatas, maka permainan tersebut tidak terbatas. Teori tentang

permainan yang tak-terbatas adalah sangat sulit dan tidak dibicarakan dalam

bagian berikut. Untuk analisis permainan yang terbatas, penting untuk

dibedakan tiga kasus; yaitu pemain yang memiliki sekurang-kurangnya dua,

tiga atau lebih dari tiga strategi.

Secara ringkas, bahasan dalam bagian-bagian berikut umumnya

mencakup permainan dua orang yang sifatnya terbatas dan 'zero-sum'.

Matriks PermainanPersoalan umumnya disusun dalam bentuk matriks permainan (game

matrix,)-untuk analisis teori permainan. Suatu matriks permainan atau matriks

pembayarifry berbentuk bujur sangkar, di mana baris menyatakan strategi

dari seorang pemain dan kolom menyatakan strategi dari pemain lain; jadi

permainan m X n dinyatakan dalam matriks permainan m X n. Biasanya

pembay.aran dilihat dari sudut pemain yang strategi-nya berhubungan

dengan baris dari matriks; dalam •permainan 'zero-sum', pembayaran dari

pemain yang lain dinyatakan oleh negatif dari matriks tersebut.

Jadi teori permainan mengasumsikan bahwa strategi yang dimiliki

seorang pemain dapat dihitung dan pembayaran yang berhubungan dengan

itu dapat dinyatakan secara berarti, sekalipun tidak dalam satuan moneter.

Informasi ini cukup untuk me-nyelesaikan permainan tersebut - yaitu untuk

menentukan pilihan strategi yang bakal dilakukan setiap pemain — dengan

mengandaikan setiap pemain bemiat memaksimi-sasi keuntungan minimum

yang diharapkannya. Teori minimaks, sebagai hasil kunci teori permainan

menyatakan, bahwa ada suatu penyelesaian minimaks untuk setiap per-

mainan dua orang 'zero-sum' tertentu. Perlu diingat bahwa minimaks

bukanlah satu-satunya kriteria untuk memecahkan suatu matriks pefrTrainan

dan penggunaannya tertuju pada teori konservatif, sebab lawan diasumsikan

memiliki keterampilan meng-gunakan strategi terbaik.

Nilai dari permainan ini ialah pembayaran rata-rata ajau yang

diharapkan setiap permainan sepanjang suatu rangkaian yang panjang,

dengan asumsi kedua pemain secara konsisten menggunakan strategi

optimum. Secara konvensional nilai dipertimbangkan dari segi pemain yang

strateginya bertalian dengan baris dari matriks pembayaran. Suatu permainan

dikatakan adil bila nilainya sama dengan nol; dalam permainan yang adil tidak

seorang pemain pun mempunyai keuntungan. Dalam suatu permainan yang

tidak adil, seorang pemain akan menang dalam jangka panjang bila keduanya

memain-kan strategi optimumnya; bila nilai dari permainan itu positif, maka

pemain baris mempunyai keuntungan, bila nilai adalah negatif, pemain kolom

mempunyai keunggulan.

Titik-Titik PelanaBila suatu matriks permainan memiliki suatu pos (entry) yang secara simultan

adalah maksima dari minima baris dan minima dari maksima kolom, maka

pos minimaks ini disebut titik pelana (saddle point) dari permainan dan

permainan dikatakan ditentukan secara ketat. Dalam kasus ini, sesuai dengan

kriteria minimaks teori permainan, strategi optimum bagi pemain-pemain

tersebut dinyatakan oleh baris dan kolom yang berpotongan pada titik pelana.

Nilai dari permainan yang ditentukan secara ketat ialah nilai titik pelana.

Langkah pertama dalam memecahkan matriks permainan ialah dengan

memeriksa titik pelana; bila ditemukan maka permainan terselesaikan, bila

tidak analisis fliteruskan. Pemeriksaan suatu titik pelana biasanya dilakukan

dengan menulis minima baris di tepi setiap baris dan maksima kolom pada

tepi bawah setiap kolom. Maksima dari suatu minima dan minima dari suatu

maksima ditentukan apabila adalah sama yang berarti di-temukannya titik

pelana. Titik pelana dapat pula ditentukan dengan memeriksa suatu pos yang

secara serentak adalah minima dari baris dan maksima dari kolom (Lihat label

8.13).

Tabel 18.13 Permainan Y

Permainan X

1 2 a1n

maks min a1j

i j

1 a11 a12 … a1n min a1j

j

2 a21 a22 … a2n min a2j

j

aij

m am1 am2 … amn min amj

j

maks ai1 maks ai1 maks ain

Min maks aij

j i

Contoh

Periksalah apakah permainan berikut memiliki tiitik pelana

(a) 12 2 25 -10 -10

16 3 4 10 3 maks min = 3

-2 -1 26 0 -2

14 -4 8 6 -4

16 3 26 10

Min maks = 3

Terdapat titik.pelana pada perpotongan baris kedua (strategi optimum pemain

X) dan kolom kedua (strategi optimum pemain Y): nilai dan permainan adalah

3.

(b)

- 15 22 10 8 6 - 14 - 8 -15

- 3 4 - 6 0 - 4 22 - 10 -10 maks min = -6

- 2 3 4 10 - 1 0 (3) -6

-2 22 10 10 6 22 -6

Min maks = -6

Terdapat titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi optimum pemain

X) dan kolom ketujuh (strategi optimum pemain Y); nilai permainan adalah

– 6

(c)

-3 2 4 -3

6 1 3 1

3 10 12 3 maks min = 3

5 0 -2 -2

0 -4 6 -4

6 10 12

Min maks = -6

Tidak terdapat titik pelana

(d)

2 0 6 -4 8 10 25 -10 12 14 -10 maks min = -10

-14 -2 0 14 9 12 15 0 -10 -3 -14

2 0 6 14 9 12 25 0 12 14

Min maks = 0

Tidak ada titik pelana.

PENYELESAIAN PERMAINAN DUA-ORANG, DUA-STRATEGIKonsep dasar dari analisis teori perinainan yang dibahas di atas diilustrasi

dalam bagian-bagian berikut untuk permainan 'zero-sum' dua orang dan dua

strategi. Menurut konven-si strategi pemain X dicatat dan diindeks dalam

kolom sepanjang tepi kiri dari matriks permainan dan strategi pemain Y

dicatat dan diindeks dalam baris sepanjang tepi atas. Pembayaran dilakukan

bagi X, yang dinyatakan oleh bilangan positit sebagai pembayaran oleh Y

kepada X dan bilangan negatif menyatakan pembayaran dari pemain X ke-

pada pemain Y.

PermainanPermainan dua-strategi yang paling mudah dianaljsis ialah 2X2 permainan di

mana se-tiap pemain hanya mempunyai dua strategi kemungkinan.

Penyelesaian sub permainan 2X2 juga sering berguna sebagai langkah untuk

memecahkan permainan dua strategi yang lebih besar (2 X n atau m X 2).

Ada tidaknya suatu titik pelana, mudah ditentukan untuk permainan

2x2, baik dengan metode yang dibicarakan di atas, maupun dengan teori

berikut.

TEOREMA: Matriks permainan 2x2 G =

G=a b

c d

tidak ditentukan secaraketat hanya bila syarat-syarat berikut terpenuhi.

1. a < b, a < c, d < h, dan d < c.

2. a > b, u > c, d > h. dan d > c.

Artinya suatu matriks.permainan 2x2 tidak ketat ditentukan hanya bila setiap

dari dua pos pada diagonal matriks adalah lebih besar dari setiap dua pos

dari diagonal lainnya.

CONTOHPermainan

Pemain Y

1 2

Pemain X 1 (0) 1

2 -3 10

Ditentukan secara ketat dan adil. Pemaih X mempunyai strategi optimum 1;

pemain Y mempunyai strategi optimum 1.

CONTOH

Pemain Y

1 2

Pemain X 1 5 (2)

2 -7 -4

secara ketat ditentukan tetapi tidak adil (nilai 2). Pemain X memiliki strategi

optimum 1, pemain Y memiliki strategi optimum 2.

Contoh

Pemain Y

1 2

Pemain X 1 0 1

2 2 0

tidak ditentukan secaraketat.Dalam permainan yang tidak ketat, tidak ada strategi optimum yang

jelas untuk di-gunakan oleh kedua pemain secara konsisten, dan selanjutnya

penggunaan strategi secara konsisten oleh salah satu pemain akan

dimaniaatkan oleh pemain lain. Jadi terdapat per-bedaan penting antara

permainan yang ditentukan secara ketat dan tidak. Dalam permainan yang

ditentukan secara ketat terdapat strategi optimum bagi setiap pemain dan

tidak diperlukan "tindakan pengamanan"; dalam permainan yang tidak

ditentukan secara ketat, permainan yang optimal mencakup menghindari agar

lawan mengetahui strategi apa yang harus digunakan untuk suatu permainan

tertentu. Hal ini terpenuhi dengan menyeleksi strategi yang bakal digunakan

untuk setiap permainan secara acak. Strategi yang demikian yang terdiri dari

campuran probabilitas lebih dari satu strategi mumi, disebut strategi

campuran.

Penyelesaian permainan 2X2 yang tidak ditentukan secara ketat terdiri

dari sepasang probabilitas P1 dan p2 - 1 — P1 dengan mana pemain X memilih

secara acak strategi 1 dan 2, dan sepasang probabilitas q1 dan q2 = 1 – q1

dengan mana pemain Y memilih strategi 1 dan 2. Probabilitas ini

menghasilkan strategi optimum campuran, yaitu strategi dengan setiap

pemain secara berturut-turut dapat memaksimisasi keuntungan minimum

yang diharapkan atau meminimisasi kerugian maksimum yang diperkirakan

terhadap permainan optimal oleh setiap pemain lain.

Nilai dari P1 dapat diperoleh dengan menyamakan dua kemungkinan

pembayaran yang diharapkan untuk pemain X dan penyelesaian untuk p1 ,

sebab setiap p1 yang lain, salah satu dari pembayaran yang diharapkan

adalah lebih kecil dari yang lain dan dengan demikian kriteria minimaks

dilanggar. Sama halnya q1 dapat diperoleh dengan menyamakan dua

kemungkinan pembayaran yang diharapkan untuk pemain Y dan

menyelesaikannya.

Jika

G=a b

c d

menyatakan matriks permainan, maka pembayaran yang diharapkan oleh

pemain X bila pemain Y menggunakan strategi 1 adalah:

ap1 + c (1-p1)

dan bila pemain Y menggunakan strategi 2 adalah:

ap1 + d (1-p1)

Jadi dengan menyarankan pembayaran yang diharapkan,

ap1 + c (1-p1) = bp1 + d (1 – p1)

p1 (a – b – c + d) = d – c

Sama halnya, menyamakan pembayaran negatif yang diharapkan pada

pemain Y,

aq1 + b (1-q1) = cq1 + d (1 – q1)

q1 (a – b – c + d) = d – b

Nilai dari permainan mempunyai arti sama untuk permainan yang ditentukan

secara ketat atau tidak ketat. Nilai permainan adalah pembayaran yang

diharapkan diperoleh oleh seorang peniain untuk setiap permainan; rata-rata,

seorang pemain tidak dapat me-nang lebih dari nilai permainan, jika lawannya

tidak main jelek, dan tidak akan di-menangkan lebih kecil dari nilai suatu

permainan jika ia tidak main jelek. Nilai dari permainan

G=a b

c d

(bagi pemain X) adalah

V = ap1 + c (l – p1) = bp1 + d (1 – P1)

= - [aq1 +b (l –q1)] = -[cq1 + d (1 – q1)]

=

Negatif dari jumlah ini adalah pembayaran untuk pemain Y.

CONTOHPermainan

2 0

0 2

tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah

p1 =

p2 =

q1 =

q2 =

dan nilai adalah ; permainan ini menyimpang menguntungkan pemain

X.

CONTOHPermainan

-1 0

0 -2

tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah

p1 =

p2 =

q1 =

q2 =

dan nilai adalah v ; permainan ini menyimpang menguntungkan

pemain X.

CONTOHPermainan

7 -6

5 8

tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah

p1 =

p2 =

q1 =

q2 =

dan nilai v ; permainan menyimpang keuntungan pemain X.

CONTOHPermainan

10 -30

-10 20

tidak ditentukan secara ketat. Strategi campuran optimal adalah

p1 =

p2 =

q1 =

q2 =

dan nilai v ; permainan menyimpang keuntungan pemain Y.

Memainkan permainan, yaitu strategi optimum tidak dipengaruhi dengan

menam-bahkan konstan pada semua pembayaran atau mengalikan semua

pembayaran dengan konstanta positif. Nilai permainan dipengaruhi oleh

transformasi yang sama sebagaimana diterapkan pada matriks permainan.

CONTOHUntuk setiap permainan

G1=8 1

4 6

G2=11 4

7 9

16 2

G3= 8 12

p1 = . Catatan bahwa G2 = G1 + 3; nilai G1 adalah

dan nilai G2 adalah . G3 = 2G1 adalah Nilai G3 adalah .

Pemecahan Permainan 2X2 melalui Aljabar Matriks

Strategi optimum dan nilai permainan 2x2 yang tidak ditentukan secara ketat

diper-oleh dengan menggunakan aljabar matriks sebagai berikut: Jika matriks

pembayaran dinyatakan oleh

A =

Maka strategi optimal bagi X adalah:

[p1, p2] =

Strategi optimal bagi Y

[q1, q2] =

Nilai dari permainan dinyatakan dengan

v =

secara alternative, nilai permainan dinyatakan sebagai:

v = [p1, p2] =

contoh-contoh pada halaman 286 dan 287 dapat digunakan untuk

menggambarkan penyelesaian dengan metode ini.

CONTOHPermainan

2 0

0 2

tidak ditentukan secara ketat

[p1, p2] =

=

[q1, q2] =

=

v =

=

Secara alternative

V = [p1, p2]

=

=

= 1

(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)

CONTOH:Permainan

-1 0

0 -2

tidak ditentukan secara ketat

[p1, p2] =

=

[q1, q2] =

=

v =

=

Secara alternative

V = [p1, p2]

=

=

=

(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)

CONTOH:Permainan

7 -6

5 8

tidak ditentukan secara ketat

[p1, p2] =

=

[q1, q2] =

=

v =

=

Secara alternative

V = [p1, p2]

=

=

=

(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)

CONTOH:Permainan

tidak ditentukan secara ketat

[p1, p2] =

=

[q1, q2] =

=

v =

=

Secara alternative

V = [p1, p2]

=

10 -30

-10 20

=

=

(seperti diperoleh dengan menggunakan metode aljabar)

Permainan 2 x n dan Permainan m x 2.

Dalam permainan 2 x n dan m x 2, seorang pemainmemiliki dua strategi dan

pemain lain memiliki lebih dari dua strategi; penyelesaian dari permainan 2 x

n dan m x 2 dapat disederhanakan menjadi sub permainan 2 x 2.

Seperti halnya pemecahan permainan 2 x 2, langkah pertama ialah

memeriksa ada tidaknya titik pelana; strategi optimum murni dan nilai dari

permainan dengan begitu di tentukan.

CONTOHPermainan

4 4

5 3

6 (5)

1 3

5 4

Mempunyai titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi optimal

pemaian X) dan kolom kedua (strategi optial pemain Y); permainan adalah 5.

CONTOHpermainan

1 7 (0) 3

4 8 -1 6

mempunyai titik pelana pada perpotongan baris pertama (strategi optimal X)

dan kolom ketiga (strategi optimal pemain Y); nilai permainan nol.

DominasiDalam matriks m X n, baris i dikatakan mayor atau mendominasi baris h jika

setiap pos dalam baris i adalah sebesar atau lebih besar dari pos baris h yang

berhubungan. Sama halnya, kolom j dikatakan minor atau dominasi kolom k

jika setiap pos kolom; adalah sekecil atau lebih kecil dari kolom k pos yang

bersangkutan. Catatlah bahwa setiap baris yang mendominasi (mayor) atau

kolom yang didominasi (minor) dapat diabaikan dari matriks permainan tanpa

mempengaruhi pemecahan, sebab strategi demikian tidak optimal. Bila

permainan 2 X n atau m x 2 tidak mempunyai titik pelana, yaitu tidak

ditentukan secara ketat, semua baris mayor dan kolom minor harus

dieliminasi seperti langkah berikutnya dalam pemecahan.

Pemecahan permainan 2 x n terdiri dari probabilitas p1 dan p2 = 1- P1,

dengan man a pemain X memilih secara acak strategi 1 dan 2 secara

berurutan dan probabilitas q1, q2, -.., qn, di mana Σni =1 q1 = 1, dengan mana

pemain Y memilih strategi secara acak berturut-turut 1, 2, . .. n. Sama halnya

pemecahan permainan m X 2 terdiri dari kemungkinan p1, p2,..., pm, di mana

Σni =1 p1 = 1, untuk pemain X dan 4, dan q2 -1 — q2 untuk pemain Y.

CONTOHPermainan

2 5

4 3

3 6

5 4

4 4

tidak memiliki titik pelana. Akan tetapi baris 3 mendominasi baris 1 dan baris

4 mendominasi baris 2 dan 5. Jadi peYmainan ini disederhanakan, untuk

kalkulasi. menjadi sub-permainan.

CONTOHPermainan

-6 -1 1 4 7 4 3

7 -2 6 3 -2 -5 7

3 6

5 4

tidak mempunyai titik pelana. Akan tetapi kolom 3, 4, 5 dan 7 didominasi

kolom 2. Jadi permainan disederhanakan untuk kalkulasi menjadi sub-

permainan.

-6 -1 4

7 -2 -5

Setelah dominasi digunakan untuk menyederhanakan permainan 2 x'n atau m

x 2 untuk kalkulasi, semua permainan 2X2 yang mungkin dapat diturunkan

dari matriks permainan yang disederhanakan dapat dipecahkan. Nilai dari

permainan orisinil adalah salah satu nilai yang diturunkan dari permainan 2X2

dan strategi optimal dari permainan orisinil ialah permainan 2X2 yang

diturunkan, diperluas untuk seprang pemain dengan menambalikan nilai nol.

Permainan yang diturunkan mana yang bisa meng-hasilkan pemecahan dari

permainan orisinil dapat ditentukan melalui coba-coba atau se-cara grafik.

Prosedur coba-poba terdiri dari pemecahan permainan 2X2 yang

diturunkan sampai diperoleh satu di mana dua strategi paling sedikit sebaik

(biasanya lebih,baik) dibandingkan strategi lawannya oleh karena ia bertindak

melawan pasangan yang muncul dalam sub-permainan 2X2. Jika suatu

permainan yang demikian ditemukan, pemecahannya memberikan

pemecahan terhadap permainan orisinil.

CONTOHDari contoh pertama di atas hanya tertinggal satu sub-permainan 2X2.

3 6

5 4

Pemecahannya pi = , p2 = ; q1 = , q2 = ; dan pemecahan permainan 5

x 2 ialah p1 = 0, p2 = 0, p3 = , p3 = , p5 = 0; q1 = , q2 = ; Baik untuk

sub-permainan dan permainan orisinil v =

CONTOHDalam contoh kedua di atas sub-permainan 2X3 menjadi

-6 -1 4

7 -2 -5

dengan begitu terdapat tiga permainan 2x2 yang mungkin dipecahkan.

Permainan 2X2 pertama.

-6 -1

7 -2

mempunyai pemecatan p1 = , p2 = ; q1 = p1 = , q2 = p1 = ; nilainya

adalah

Terhadap yang lain tertinggal strategi untuk pemain Y, kolom 3 dari

permainan yang disederhanakan, p1 = , p2 = p1 = mempunyai nilai

yang lebih hesar dari , sehingga pemecahan permainan 2X2 yang

diperluas ialah pemecahan untuk permainan orisinil.

P1 = P2 =

q1 = q2 =

q3 = q4 = q5 = q6 = q7 = 0

CATATAN : Permainan 2X2.

-1 4

-2 -5

mempunyai titik pelana; jadi P1 = 1, p2 = 0, dan nilai permainan adalah .

Terhadap strategi permainan untuk pemain Y, kolom 2 dari permainan yang

disederhanakan, p1 = 1 , p2 = 0 mempunyai nilai —6 sesuatu yang lebih besar

—1, sehingga pemecahan permainan orisinil tidak tercapai.

Permainan 2X2

-6 4

7 -5

mempunyai pemecahan p1 = , p2 = dan nilai dari permainan adalah -

. Terhadap strategi yang tertinggal pada pemain Y, kolom 2 dari

permainan yang disederhanakan p1 = p2 = mempunyai nilai . yang

tidak lebih besar dari , sehingga pemecahan permainan ini bukanlah

pemecahan permainan orisinil.

Pemecahan GrafisSecara grafts, permainan 2X2 yang merupakan pemecahan permainan 2 X n

ditentu-kan sebagai berikut. Gambarkanlah pasangan pembayaran dari

jumlah n strategi pemain Y pada kedua sumbu vertikal dan hubungkan

pasangan tersebut dengan garis lurus tempatkan titik tertinggi pada segmen

garis yang menjadi batas terendah suatu grafik. Garis-garis yang berpotongan

pada titik ini menyatakan strategi pemain Y optimum yang harus digunakan

pemain Y. Perlu dicatat bahwa permainan mungkin sekali disederhanakan

melalui dominasi sebelum pemecahan diperoleh dengan analisis grafis.

CONTOHDalam permainan

2 -2 3 7 6

6 5 1 4 0

kolom 5 mendominasi kolom 4 dan kolom 2 mendominasi kolom 1.

Permainan 2x3 untuk dipecahkan adalah

-2 3 6

5 1 0

yang dapat dipecahkan dengan menyelesaikan permainan 2X2.

-2 3

5 1

(Lihat Gambar 8.5).

Pemecahan sub-permainan 2 x 2 p1 = p2 = ; q1 = , q2 = ; nilainya .

Jadi pemecahan permainan orisinil ialah p1 = , p2 = ; q1 = 0, q2 = , q3 =

, q4 = 0, q5 = 0; nilainya adalah

Pembayaran bertalian dengan semua lima strategi pemain Y dilukiskan

dalam Gambar 8,5, sekalipun strategi pertama dan keempat dapat dihilankan

oleh dominasi. Catatlah bahwa garis bertalian dengan pembayaran untuk

strategi pertama terletak di atas pembayaran yang bertalian dengan strategi

dua. Sama halnya, garis bertalian dengan pembayaran strategi empat,

keseluruhannya terletak di atas garis pembayaran untuk strategi kelima yang

mendominasi.

Sama halnya untuk permainan m x 2, m jumlah strategi pembayaran

untuk pemain X dilukiskan pada perpotongan garis di titik terendah segmen

garis yang membentuk batasan atas dari gambar yang menyatakan strategi

yang harus digunakan pemain X dalam strategi optimumnya.

CONTOHPermainan

-3 6

6 3

8 -2

Tidak memperlihatkan strategi yang mendominasi; permainan 2 x 2 yang harus

dipecahkan (lihat gambar 8,6)

--3 6

6 3

Pemecahan dari sub-permainan 2 x 2 adalah p1 = , p2 = , q1 = , q2 =

nilainya . Jadi pemecahan permainan orisnil adalah p1 = , p2 = , p3 =

0, q1 = , q2 = , nilainya

CONTOH:Sebuah perusahaan mobil mengajukan lima rancangan mobil baru untuk

tahun-tahun berikutnya. Rancangan mana menghasilkan penjualan terbaik

sangat tergantung pada apakah model baku dari saingannya adalah

memuaskan, baik, cukup atau sederhana. Bila model adalahmemuaskan,

keuntungan bersih (dalam jutaan dolar) secara berturut-turut adalah 100, 150,

50, 125 dan 90; bila model itu baik keuntungannya berturut-turut 80, 55, 55,

60 dan 70; bila cukup keuntungan adalah 150, 100, 100 dan 125; bila

modelnya sederhana keuntungan adalah 50, 80, 25, 80 dan 75. Rancangan

manakah yang harus dipilih agar memaksisasi keuntungan minimum yang

diharapkan?

Model Saingan

Memuaskan Baik Cukup Sederhana

1 100 80 150 50

2 150 55 100 80

Rancangan 3 50 55 100 25

4 125 60 100 80

5 90 70 125 75

Kolom pertama dan ketiga didominasi oleh kolom kelima; baris ketiga

didominasi baris pertama, dan baris kedua didominasi baris keempat.

Permainan 2 x 2 yang harus dipecahkan (Lihat gambar 7.8)

80 50

70 75

Pemecahan sub-permainan 2 x 2 adalah P1 = 1/7 , P2 = 6/7 dan Q1 = 5/7 , Q2

= 2/7. Jadi pengusaha pabrik ahrus menghasilkan model 1 dengan

probabilitas 1/7 dan model kelima dengan probabilitas 6/7; pesaingnya harus

menghasilkan model dengan probabilitas yang baik dengan probabilitas 5/7

dan model sederhana dengan probabilitas 2/7; nilai = 500/7 = 71 3/7. Ingatlah

bahwa pembayaran dalam persoalan ini semuanya profit dan pesaing dengan

begitu memiliki alasan eksternal (seperti usaha memasuki pasar)

untuk ,menghasilkan tanpa terhindar dari kerugian. Ini dengan membuat

asumsi bahwa matriks menyatakan keuntungan bersih dan bukan beberapa

tipe penghasilan tambahan.

Contoh

Departemen Pertahanan merencanakan untuk menawarkan kontrak untuk

jenis persenjataan baru di antara lokasi A dan B. Suatu real state yang

berspekulasi bermaksud mangadakan investasi pada setiap lokasi. Bila lokasi

A dibeli, tanah akan bernilai $10.000 bila pabrik senjata dibangun di sana,

tetapi $3.000 bila dibangun di lokasi B. Apabila lokasi B dibeli tanah bernilai

$4.000, bila persenjataan dibangun di lokasi A dan $8.000 bila di bangun di

lokasi B. Jika dibangun kedua lokasi tanah akan bernilai $6.000 jiak pabrik

senjata dibangun pada pabrik A dan $5.000 bila dibangun di lokasi B. Agar

keuntungan minimum yang diharapkan dimaksimumkan apa yang harus

dibuat oleh speculator?

Investasi

Tidak ada strategi yang mendominasi; sub-permainan 2 x 2 yang harus

dipecahkan (liat gambar 8.8)

10.000 3.000

10.000 3.000

4.000 8.000

6.000 5.000

Pabrik Senjata A B

A

B

A dan B

10.000

8.000

6.000

4.000

2.000

10.000

8.000

6.000

4.000

2.000

4.000 8.000

Penyelesaian sub-permainan 2 x 2 ialah P1 = 4/11, P2 = 7/11. Jadi speculator

harus menginvestasi uang dalam kekayaan A dengan probabilitas 4/11 dan

dalam kekayaan B dengan probabilitas 7/11; nialinya $6.181,82. Jika

Departemen Pertahanan dipandang membuat rencana melawan speculator,

ia harus memilih lokasi A dengan probabilitas 5/11 dan lokasi B. 6/11. Secara

alternatif spekulator dapat mempertimbangkan akan memilih untuk

melindunginya terhadap kemungkinan kejadian terjelek, apakah kejadian itu

terjadi secara acak, atau sebagai hasil dari tindakan berlawanan dari

Departemen Pertahanan.

PEMECAHAN DARI PEMAINAN LEBIH BESAR

Untuk permainan 3 x 3 dan lebih besar, bila tidak ada titik pelana dan

permainan orisinil tidak dapat disederhanakan menjadi permainan sederhana

yang dominan, pemrograman linear memberikan cara pemecahan yang

efisien. Seperti dibahas dalam bagian 8.4 pemrograman linear berurusan

dengan persoalan maksimisasi atau minimisasi fungsi linear yang variabel –

variabelnya dibatasi pada nilai yang memenuhi sistem batasan linear. Suatu

matriks, pemainan dapat dinyatakan sebagai persoalan sejenis, karena setiap

permainan bermaksud memaksimisasi nilai permainan tetapi bertalian dengan

batasan yang dikenakan pada matriks pembayaran.

Seperti di atas matriks, pembayaran dinyatakan dengan

Gambar 8.8

A = a11 a12 ……. a1

a21 a22 …..a2n

am1 am2……..amn

Dan strategi optimal dari y dinyatakan oleh (q1, q2, … qn ) sedangkan

ketidaksamaan manyatakan ekspektasi dari Y.

a 11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤ r

a21q1 + a22q2 + … + a2nqn ≤ r

am1q1 + am2q2 +… + amnqn ≤ r

q1 + q2 + … + qn = 1

Subtitusi qi = qi / v,

a11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤ 1

a21q1 + a22q2 + … + a2qn ≤ 1

am1q1 + am2q2 + … + amnqn ≤ 1

q1 + q2 + … + qn = 1/v

Tujuan pemain Y ialah minimisasi v atau setara dengan maksimisasi

1/v. Jadi pemecahan matriks permainan dapat dirumuskan dalam bentuk

persoalan pemograman linear:

Maksimisasi q1 + q2 + … = qn

dengan batasan

a11q1 + a12q2 + … + a1nqn ≤

a21q1 + a22q2 + … + a2qn ≤ 1

am1q1 + am2q2 + … + amnqn ≤ 1

q1 + q2 + … + qn = 1/v

atau lebih ringkas

maksimisasi ∑q1 dengan batasan

∑aijqj ≤ 1 untuk i = 1, 2, …, m

soal – soal

dengan menggunakan kriteria minimaks, carilah strategi untuk setiap pemain

dengan matriks permainan sebagai berikut.

1. 8 10 13 16 9

10 12 6 15 10

16 18 9 13 25

4 9 18 20 6

14 3 5 8 4

-3 -1 6 -2 5

2 12 10 13 16

4.

n

J=1nJ=1

n∑qj = 1/ v

J=1

2.

3.

Carilah strategi optimal bagi setiap pamain dari matriks permainan berikut

dengan menggunakan kriteria minimaks dan tentukanlah nilai setiap

permainan.

7.

10.

12.

15 -20 -12 3

4 2 -10 -6

20 -18 -15 -8

-12 8 -10 6

10 9 -11 4

5 8 7

-1 -3 10

2 12 -6

3 10 20 18 0

-9 -8 46 10 4

2 0 17 18 0

-1 1 13 5 3

10 8 6 2

15 12 2 4

-4 6 -3 1

12 -2 8 -6

16 13 7 12

7 -1 7

10 -2 -5

9 5 6

3 5 2 1

0 4 8 3

2 7 14 9

5 4 -2 1

4 -6 3 6

12 8 10 9

6 18 -9 143 -10 -5

2 -4 -3

4 -5 -2

-6 -4 0

10 -8 1

12 -10 8 -6 7 -11

18 2 -3 -4 8 10

5 -3 14 0 -10 -12

3 12 16 1 8 2

-15 16 12 -2 9 -9

10 8 11 -2

14 6 -5 5

9 7 5 -4

15 4 -3 3

4 6

9 5

3 1

7 8

10 2

6 -10 12 25 0 5 3 -2

2 -8 4 -6 -

7

9 4 10

5.

6.

8. 9.

11.

14.

11

13.

15.

17. Seorang kontraktor bermaksud membangun sejumlah besar rumah untuk

pengembalian perumahan. Empat tipe rumah telah dibahas: kolonial,

peternak, tingkat yang bias dipisahkan dan mutakhir. Panitia pengembangan

akan memilih dua diantara tipe yang akan dibangun oleh kontraktor.

Kontraktor mempunyai kesempatan membeli material dalam jumlah besar,

sehingga menghemat uang yang berarti, tetapi harus dipertimbangkan

terlebih dahulu keputusan panitia sehingga hanya bisa dipesan satu tipe

material. Bila panitia memilih model colonial dan peternak, kontraktor akan

memperoleh keuntungan (ekstra) 125,120,60 dan 50 (dalam ribuan rupiah)

jika ia memesan colonial, peternak dan tingkat yang terpisahkan dan material

mutakhir. Bila panitia memilih colonial dan model tingkat terpisahkan,

kontraktor akan memperoleh keuntungan masing-masing 90,40,80 dan 75;

bila dipilih colonial dan mutakhir ia akan memperoleh untung 150,30,75 dan

100; jika panitia memilih peternak dan tingkat terpisahkan, akan diperoleh

70,70,75,65 berturut-turut; jika panitia memilih peternak dan mutakhir akan

memperoleh keuntungan 90,80,80, dan 120; jika panitia memilih tingkat

terpisahkan dan mutakhir akan diperoleh keuntungan 80,40,130 dan 80.

Bagaimana cara kontraktor memesan agar memaksimalkan keuntungan

minimum ekstra yang diharapkan.

18. manager pabrik harus membangun reactor untuk menghasilkan tipe

politena dnegan menggunakan proses 1,2,3,4. Sayangnya bahan baku kimia

bervariasi dalam kadar nitrogen 3,4,5 atau 6%. Kadar nitrogen mempengaruhi

0 2

1 3

-1 0

2 0

9 -5 7 1 -3

-10 4 -8 -6 216.

efisiensi relative fdari lima proses. Dengan kadar 3%, kelima proses

mempunyai output 50,45,60,50,30 ton. Dengan kadar 4%, output berturut-

turut 60,70,75,90,60 ton. Dengan 5%, nitrogen output adalah 30,55,60,45,70

ton. Dengan 6% nitrogen, output adalah 45,80,80,65,85 ton. Pengujian kadar

nitrogen praktis terlalu mahal. Proses manakah harus digunakan menajer

pabrik untuk memaksimisasi output minimum yang diharapkan?

19. Sebuah perusahaan pembuat mesin menggantungkan penampilannya

pada kesahihan bahan bakar motor. Perusahaan dapat membeli motor yang

mahal,diasuransi penuh termasuk biaya penggantian seharga $500 ,

perusahaan dapat pula membeli motor yang cukup mahal $400 , yang

diasuransi separuh harganya termasuk biaya penggantian , yang berarti suatu

kegagalan menyebabkan perusahaan membayar $600 untuk motor tersebut ;

atau perusahaan dapat membeli motor yang lebih murah seharga $300 ; bila

dibeli motor yang lebih murah , tidak dijamin biaya penggantian bernilai total

$700, atau dapat membayar $50 untuk motor diperiksa sebelum di

instalasi ,sehingga biaya total bila motor itu rusak $650. Apakah harus

diperbuat perusahaan , untuk minimisasi biaya maksimum yang diharapkan?

20. Tuan Smith dan Tuan Jones masing – masing memiliki rumah kecil

dengan perencanaan yang bias ditanami dengan tanaman untuk dijual.

Mereka menanam tomat,bunga ,arbei setiap tahun tetapi merahasiakan

tanaman mereka .Jika Tuan Smith menanam tomat ia memperoleh laba $100

jika Tuan Jones menanam tomat $150. Jika Tuan Jones menanam arbei dan

$200 jika Tuan Jones menanam bunga.Jika Tuan smith menanam arbei , ia

memperoleh laba $180, $125, $200 jika Tuan Jones menanam tomat ,arbei ,

bunga secara berturut –turut. Agar Tuan Smith memaksimisasi laba minimum

yang diharapkan apa yang harus ditanaminya?

21. Tuan Reno memutuskan untuk taruhan $5 untuk pertandingan antara

Angelwood dan Barleyville . Tuan Las dan Tua Vegas menawarkan Tuan

Reno untuk taruhan .Las bertaruh untuk Barleyville dan bersedia membayar

Tuan Reno $10 jika angelwood menang dan menerima $5 jika Barleyville

menang dan menerima .Tuan Vegas bertaruh Angelwood dan bersedia

membayar Tuan Reno $4 jika Barleyville menang dan menerima $5 jika

Angelwood menang. Jika ia ingin maksimisasi kemenangan minimum yang

diharapkan apa yang harus dilakukan Tuan Reno?

22. Casey mempunyai konsesi di Stadium Yankee untuk menjual kaca mata

panas dan paying. Ia telah mengamati bahwa ia dapat menjual 500 payung

jika hujan dan 100 jika panas ; jika panas ia dapat pula menjual 1000

kacamata panas.Payung berongkos $0,50. Ia bersedia mengadakan investasi

$250 untuk proyek ini .Andaikan jika tidak sesuatu pun terjual terjadi kerugian

total apa yang harus dibeli untuk maksimisasi keuntungan minimum yang

diharapkan?

23. Tuan Hilton Conrad menghadapi keputusan berikut : State Medical

Society akan menggunakan hotel unutk konvensi tahunan;pada dasarnya

semua fasilitas hotel akan digunakan (sehingga bisnis dari sumber lain harus

diabaikan) dan akan membayar $20.000 untuk privilese ini. Biasanya hotel

akan menghasilkan $10.000 selama waktu konvensi berjalan ; akan tetapi

ada kemungkinan World Series dipertunjukkan di kota pada saat itu , yang

akan memberikan hasil $50,000.Apakah Tuan Hilton Conrad menerima atau

melepaskan tawaran Medical Society agar memaksimisasi bisnis minimum

yang diharapkan?

24. Seorang investor harus memilih antara membeli tiga jenis saham :A,B,

atau C. Hasil dari pembeliannya tergantung pada apakah suatu perusahaan

khusus melakukan merger , menanggalkan diri sebagai subsidier atau

mempertahankan status quo. Dalam kasus merger saham A menghasilkan

20,saham B rugi 25 dan saham C menghasilkan 12. Dalam kasus

menanggalkan diri sebagai subsidier saham A rugi 5 dan saham B rugi 10

dan saham C rugi 12. Dalam status quo, saham A menghasilkan 5 saham B

menghasilkan 30 dan saham C rugi 4 (jumlah dalam ribuan dollar). (a) Untuk

memaksimisasi hasil minimum yang diharapkan , saham manakah yang

harus dibeli? (b) Bila menanggalkan diri sebagai subsidier tidak mungkin ,

sedangkan keuntungan dan kerugian tidak berobah, saham manakah akan

dibeli untuk maksimisasi keuntungan minimum yang diharapkan?

25. Komuter harus memutuskan apa yang harus dilakukan dengan membeli

asuransi mobilnya .Ia pasti bersedia menanggungkan kewajiban asuransi ,

tetapi mobilnya sudah sangat tua dan ia tidak pasti apakah asuransi terhadap

tabrakan masih berarti. Ia dapat pula tidak menutup asuransi tabrakan dan

membeli polis yang dapat didedukasi $50 untuk $60, atau menutup polis

penuh seharga $70 .Komuter hanya mengendarai mobil pergi pulang tempat

kerja dan ia memperkirakan tiga kemungkinan kejadian $50 , atau kecelakaan

besar tidak melebihi nilai $250(mobil hanya bernilai sekitar $400 – sehingga

optimism e ini masuk akal).Komuter menyadari ia mungkin akan memperoleh

lebih dari satu kecelakaan ,sepanjang tahun , tetapi atas dasar

pengalamannya ia mengasumsikan tidak akan terjadi .Apa yang harus

diperbuat untuk minimisasi biaya maksimum yang diharap;kan?

26. Di musim panas Tuan Smith mempertimbangkan persoalan batu bara

untuk musim dingin. Selama musim dingin normal diperlukan 15 ton bstu bsrs

untuk pemanasan ,dan ia memperkirakan minimal 10 ton atau maksimal 20

ton. Harga per ton berfluktuasi dengan musim antara $10 ,$15 dan $20 per

ton selama dingin ringan ,normal dan sangat dingin. Sekarang ini ia dapat

membeli $10 per ton. Tuan Smith mempertimbangkan tiga

alternative :membeli 10,15 atau 20 ton sekarang dan sisanya kemudian.

Andaikan tidak semua batu bara digunakan , kerugian total , apa yang harus

dilakukan untuk minimisasi kerugian maksimum yang diharapkan?

27. Seorang mahasiswa harus memutuskan bagaimana belajar untuk ujian

akhir ilmu sejarah .Ia belajar untuk salah –benar ,pilihan berganda atau tipe

tes uraian .Dan dia tidak mengetahui tipe ujian mana yang akan

dipakai .Mahasiswa itu berpikir, jika ia belajar untuk salah-benar ia akan

mencapai nilai 85,80 pada pilihan berganda dan 75 atas tes uraian. Jika ia

belajar untuk tipe pilihan berganda ia mengharapkan nilai 85 atas tes salah-

benar,90 pilihan berganda dan 90 tes uraian .Agar maksimisasi nilai minimum

yang diharapkan tip tas manakah yang harus dipelajari?

28. Sebuah Stasion Servis harus memiliki servis dan daerah parkir setelah

setiap curah salju yang hebat.Manajer dapat membayar $10 setiap kali

daerah ini diperlukan untuk dibajak , ia dapat membuat kontrak untuk $50

yang menyediakan bajak sampai enam kali curah salju ,dengan biaya $6,-

untuk setiap bajak tambahan ; ia dapat pula kontrak $60,- yang menyediakan

bajak sebanyak diperlukan.Apa yang harus dilakukan manajer untuk

minimisasi biaya maksimum bajak yang harus diharapkan jika ia

berasumsi(atas dasar pengalaman)akan terjadi 3 dan 8 kali turun salju

selama musim dingin?

Jawaban Soal – Soal Gasal

1. p1=p2=0,p3=⅔,p4=⅓

q1=3/7 ,q2 =0 ,q3=4/7 ,q4=q5 =0

3. p1=p2=p3=0,p4 = 5/19,p5=14/19

q1=q2=0,q3=18/19,q4=1/19

5. p1=0,p2=1,p3=p4=p5=0

q1=q2=0,q3=1,q4=0

7. p1=p2=0,p3=1

q1=0,q2=1,q3=0

ν=5

9. p1=p2=0,p3=27/29,p4=2/29

Qq1= 0,q2=19/29,q3=10/29 ,q4=1/19

ν=252/9

11. p1=p2=p3=0,p4=1,p5=0

Qq1=q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0

ν=1

13. p1=0,p2= ,p⅕ 3=0,p4= ,p⅘ 5=0

q1= ,q⅗ 2=⅖ ν=37/5

15. P1=0,P2= ,P⅕ 3=0,P4 = ,P5=0⅘ q1=3/4,q2=1/4

ν=3/2

17. beli tipe colonial dengan probabilitas 3/14 dan tingkat terpisah

dengan probabilitas 11/14

19. beli motor yang mahal

21. taruhan las dengan probabilitas 3/8 dan Vegas dengan probabilitas

5/8

23. terima tawaran konversi

25. beli polis penuh

27. belajar tipe pilihan berganda

8.6. Proses Markov Derajat PertamaUrutan observasi atau hasil eksperimentasi sering dipandang tidak tergantung

satu-sama lain ; yaitu probabilitas mengalami suatu hasil khas diasumsikan

konstan sepanjang urutan. Generalisasi paling sederhana dari model ini

memungkinkan probabilitas hasil untuk setiap eksperimen atau pengamatan

tergantung pada observasi yang langsung mendahului , tetapi bukan hasil

yang jauh mendahului. Suatu proses urutan jenis ini disebut proses berantai

Markov derajat pertama atau proses Markov derajat pertama. Proses Markov

derajat pertama dan tingkat keseimbangan dirumuskan dan dilukiskan dalam

seksi ini.

DEFINISI DARI PROSES MARKOV ORDE PERTAMAAndaikan setiap urutan eksperimen atau observasi mempunyai saru dari

jumlah kemungkinan hasil yang pasti a1,a2,…,ar.Probabilitas hasil aj untuk

setiap eksperimen tertentu atau observasi tergantung pada hasil langsung

dari observasi yang mendahului.Probabilitas dinyatakan oleh P ij, i = 1,2,… r

dan j = 1,2,…r di mana Pij menyatakan probabilitas hasil aj untuk setiap

observasi khas, dengan syarat ai terjadi untuk observasi yang langsung

mendahului. Hasil a1,a2 . . . ar disebut keadaan(states) dan Pij disebut

probabilitas transisi dari rangkaian Markov orde pertama . Jika diasumsikan

proses mulai pada keadaan khusus ,probabilitas dari berbagai urutan dapat

dihitung. Jadi rangkaian Markov orde pertama dinyatakan dengan

merumuskan kemungkinan keadaan,menyatakan distribusi probabilitas awal

untuk kondisi tersebut , sehingga menyatakan pula matriks transisi.

Probabilitas transisi dapat dirangkumkan dalam matriks bujur sangkar.

Proses Markov dengan kondisi a1,a2…ar mempunyai matriks probabilitas

transisi.

P={Pij}=Perlu dicatat bahwa jumlah dari setiap unsru baris matriks P adalah 1,sebab

unsure baris ke ί menyatakan probabilitas untuk semua transisi yang mungkin

,jika proses adalah pada kondisi ai .Jadi,

untuk i= 1,2…rJadi jika distribusi probabilitas dari keadaan pada percobaan n adalah [p1,p2 ,

…p3],

Distribusi probabilitas untuk kondisi pada percobaan n +1 p11

[p1,p2,…,pr] =

KEADAAN AJEK ATAU KESEIMBANGAN

Distribusi probabilitas dari hasil untuk observasi ke – n dari proses Markov

orde pertama adalah hasil kali dari vector probabilitas awal dan matriks

transisi berpangkat n.Hal ini dapat ditunjukkan dengan memperluas argumen

dari bagian terdahulu. Jika vector probabilitas awal dinyatakan dengan p0 dan

vector probabilitas langkah ke n dinyatakan oleh pn, maka p1=p0P,P2,=p1

P=P0P2

, p2 =p2p =p0p3 …pn=popn. Atas dasar asumsi matematika yang tidak begitu

ketat,dapat diperlihatkan bahwa proses Markov orde pertama mendekati

keadaan ajek atau keseimbangan jika jumlah observasi terus meningkat ,yaitu

jika n mendekati tak terhingga.

Menurut definisi jika proses Markov orde pertama mencapai

keseimbangan,probabilitas dari setiap keadaan atau hasil adalah konstan

untuk setiap observasi yang berurutan. Proses Markov orde pertama

digunakan untuk melukiskan situasi bisnis dan ekonomi yang hamper tanpa

variasi memenuhi asumsi matematika untuk keseimbangan sering menjadi

yang ciri yang menarik dari proses ini.

Dapat diperlihatkan jika rangkaian Markov orde pertama mendekati

keadaan ajek atayu kseseimbangan jika jumlah observasi mendekati tak

terhingga ,distribusi probabilitas stasioner (keseimbangan) adalah unik dan

hanya tergantung pada matriks transisi dan tidak pada distribusi probabilitas

keadaan awal. Signifikansi pisik dan perhitungan dari keadaan stasioner

hanya menjadi nyata, jika jumlah proses Markov berasa dalam keadaan

keseimbangan secara serentak .Dalam kasus ini bila terdapat N jumlah

proses dan Pi adalah probabilitas keseimbangan dari keadaan I,piN dari

proses diharapkan berada dalam keadaan I,piN dari proses diharapkan

Nerada dalam keadaan I , untuk setiap observasi. Jadi bila N adalah besar ,

keadaan keseimbangan makroskopis dijamin oleh sejumlah besar transisi

dengan arah yang berlawanan.Kebanyakan keseimbangan statistic dalam

fisika tergolong jenis ini.

Menurut perhitungan , distribusi probabilitas stasioner [P1,p2….pr] dari

rangkaian Markov diperoleh dengan memecahkan matriks :

[p1,p2,. . . ,pr] =[P1,P2,…Pr]Di mana pί adalah probabilitas berada dalam keadaan ί , ί = 1 . . . r dan

.Hal ini mencakup pemecahan dari sejumlah r persamaan

linear yang bebas satu sama lain.

untuk ϳ = 1,2, . . .r (r—1 adalah tidak tergantung)

Ingatlah bahwa persamaan – persamaan ini sesungguhnya

menyatakan keseimbangan.Jika

[p1,p2,. . . ,pr] adalah distribusi probabilitas dari keadaan untuk suatu

observasi tertentu ,hasil kali ialah

p1,p2,. . . ,pr] menghasilkan distribusi probabilitas dari keadaan untuk observasi

berikutnya.Jika distribusi itu juga p1,p2,. . . ,pr] sama dengan observasi

yang mendahuluinya maka sistem berada dalam keseimbangan.

CONTOH

Andaikan pada 1 September, para pelanggan surat kabar di sualu daerah

untuk Herald, untuk Gazatte Tribune dan untuk Gazette. Selama bulan

September, Herald mempertahankan dan langganannya dan kehilangan

kepada Tribune; Tribune mempertahankan dari langganannya dan

kehilangan kepada Herald dan kepada Gazette; Gazette mempertahankan

langganannya, dan kehilangan kepada Herald dan kepada Tribune.

Andaikan tidak ada pelanggan baru.

(a) Berapakah proporsi pelanggan yang dimiliki setiap surat kabar pada

1 Oktober?

(b) Jika pola untung dan rugi sama berlanjut untuk bulan Oktober, berapa

proporsi langganan dimiliki setiap ha nan pada 1 Nopember'.'

(c) Jika pola untung dan rugi sama berlanjut setiap bulan, berapa

proporsi pelanggan yang dimiliki setiap harian pada keseimbangan?

Matriks transisi

Herald Tribune Gazette

HeraldTribuneGazette

(a)

[ ] [ ]

Jadi pada 1 Oktober, di antara para pelanggan Herald memiliki ,

Tribune , dan Gazette .

(b)

[ ] [ ]

Jadi pada 1 Nopember, di antara para pelanggan Herald memiliki —,

Tribune dan Gazette .

(c)

[p1, p2, p3] [p1, p2, p3]

Kalikan persamaan pertama dengan 8 dan persamaan kedua dengan 24 dan

persamaan ketiga dengan 6.

-3p1 + 6p2 + 4p3 = 0

3p1 – 22p2 + 4p3 = 0

p1– 4p3 = 0

p1 + p2 + p3 = 1

Selesaikan secara sirnultan persamaan satu, tiga dan empat (setiap 3 dari 4

persamaan adalah tidak berganfungan satu sama lain).

Jadi dalam jangka panjang Herald memiliki . Tribune , dan Gazette

pelanggan.

CONTOH Dalam masyarakat Gardenville setiap 5 persen dari penduduknya di kota

berpindah ke desa dan 2 persen penduduk desa berpindah ke kota. Andaikan

penduduk total adalah tetap dalam masyarakat, tentukanlah proporsi jangka

panjang dari penduduk kota dan desa.

Matriks transisi

Kota Desa

dan probabilitas keseimbangan ditentukan oleh

[p1, p2] [p1, p2]

0,95p1 + 0,02p2 = p1

0,05p1 +0,98p2 = p2

Kalikan dua persamaan pertama dengan 100,

-5p1 + 2p2 = 0

5p1 – 2p2 = 0

P1 + p2 = 1

Pecahkanlah secara simultan persamaan pertama dan ketiga (setiap dua dari

tiga persamaan adalah tidak bergantung satu sama lain).

Jadi mungin terjadi, orang dalam masyarakat, adalah penduduk kota dan

penduduk desa. Catatlah, bahwa keadaan keseimbangan adalah 0,05 X =

orang yang setiap tahun berpindah dari kota ke desa dan 0,02 X =

KotaDesa

orang yang setiap tahun berpin-dah dari desa ke kota sehingga jurnlah

penduduk kota dan desa tidak berubah atau stabil.

CONTOH

Seorang makelar mempelajari gerak harga dari berbagai saham di pasaran

dan khususnya berminat dalam perusahaan yang disebut Astronaut

Instruments, la telah mengamati bahwa jika saham meningkat pada suatu

hari, maka hari berikutnya terdapat kemungkinan 50 : 50 untuk meningkat

lagi, dan kemungkinan tetap dan kemungkinan menurun. Jika saham tetap

pada suatu waktu, akan sama dengan kecenderungan meningkat, tt'tap sama

atau mi-nurun hari berikutnya. Jika menurun suatu hari maka hari berikutnya

50 : 50 kemungkinan menurun lagi kemungkinan tetap dan kemungkinan

meningkat. Dalam proporsiwaktu berapa (dalam jangka panjang) saham itu

meningkat, tetap s.ama atau menurun?

Matriks transisi

Meningkat Sama Menurun

dan probabilitas keseimbanga'n ditentukan dengan

p1 + p2 + p3 = 1

Kalikan persainaan pertama dengan 6, kedua dengan 3 dan ketiga dengan 6,

-3p1 + 22 + p3 = 0

p1 – 2p2 + p3 = 0

Meningkat

Sama

Menurun

p1 + 2p2 – 3p3 = 0

p1 + p2 + p3 = 1

Selesaikanlah secara simultan persamaan kedua, ketiga dan keempat (tiga di

antara em-pat persamaan adalah tidak tergantung satu sama lain).

Dalam jangka panjang, saham meningkat , tetap dan menurun .

SOAL-SOAL1. Suatu. negara mempunyai sistem tiga partai politik dan hasil pemilihan

mengikuti suatu pola yang pasti. Jika suatu parti memenangkan pemilihan,

peluang untuk me-menangkan pemilihan berikut 50:50 dan bila kalah

pemilihan berikutnya, masing-masing dari dua partai berpeluang 50 : 50

untuk menang. Berapa proporsi kemenangan setiap partai dalam jangka

panjang?

2. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiga jalur yang diijinkan antara

dua kota kepada para pengemudinya: melalui Mystic Bridge, sepanjang

Interstate Parkway dan pada jalur 1. Jika melalui Mystic Bridge, peluang

menemui hambatan lalu lintas ; Jika ia mengalami kemacetan lalu lintas

hari berikutnya ia akan menempuh Insterstate Parkway dengan

probabilitas dan jalur 1 dengan probabilitas ; jika ia tidak mengalami

kemacetan lalu lintas, hari berikutnya ia akan mengambil Mystic Birdge

dengan probabilitas , Interstate Parkway dengan probabilitas dan jalur

1 dengan probabilitas . Jika ia menempuh Interstate Parkway peluang

mene-mui kemacetan lalu lintas , Jika ia menemui kemacetan lalu lintas,

hari berikutnya ia memilih Mystic Bridge,'Interstate Parkway dan Jalur 1'

dengan probabilitas sama. Jika ia mengambil Jalur 1, ia akan terlambat

tidak menentu, sehingga ia tidak pernah mengambil Jalur 1 dua hari

berturut-turut dan hari berikutnya ia mengambil Mystic Bridge dengan

probabilitas dan Interstate Parkway dengan probabilitas Berapa

proporsi waktu diambil melalui Mystic Bridge, Interstate Parkway dan Jalur

1? '

3. Setiap tahun keluarga Smith pergi berlibur suatu trip untuk berkemah (di-

sukai oleh anak-anak), perkunjungan kota (disukai oleh Ny. Smith) atau

libur musim dingin (djsukai Tuan Smith). Mereka tidak pernah mengambil

libur yang sama dua tahun/.berturut-turut. Setiap tahun diundi dua jenis

yang mereka tidak ambil tahun lalu dan diambil pada tahun berjalan.

Berapa propbrsi waktu bagi keluarga Smith pergi berkemah, mengunjungi

kota atau mengambil liburan musim dingin?

4. Seorang ahli mesin memiliki mobil yang sangat tidak dipercaya.

Setiap .pagi dia pergi ke garase untuk menghidupkan mesin, adakalanya

mesin hidup sendiri dan ada kalanya diperlukan bantuan tetangga untuk

mendorongnya, dan ada waktu di mana stasiun sends harus dipanggil.

Bila dihidupkan suatu saat probabilitas untuk hidup adalah harus

didorong dan harus memanggil stasiun servis. Jika ia mendorongnya

peluang untuk mesin hidup. dan memanggil stasiun servis, harus di-

panggil hari berikutnya (tidak pernali didorong dua hari berturut-turuti. Jika

stasiun servis dipanggil suatu hari, peluang untuk hidup adalah dan

didorong . (Stasiun servis tidak pernan dipanggil-dua hari berurutan).

Dalam jangka panjang berapakah proporsi hari mobil itu akan hidup

sendiri, didorong atau menggunakan stasiun servis?

5. Para mahasiswa dari seorang Profesor Geologi tidak pernah tahu apa

yang akan terjadi dalam kelas; proiesor dapat membuat tes mendadak,

membawa mereka untuk suatu trip, membahas tugas harian atau

memberikan kuliah. Bila ia memberi-kan tes mendadak, hari berikut selalu

merupakan trip. Jika ada suatu trip lapang-an, tidak pernah ada tes

mendadak atau trip lapangan hari berikutnya, tetapi pembahasan tugas

harian atau memberikan kuliah mempunyai peluang yang sama. Jika

tugas harian dibahas terdapat peluang untuk tes mendadak, peluang

trip lapangan, peluang membahas tugas harian dan peluang untuk tes

mendadak, trip lapangan, membahas tugas harian atau kuliah di hari beri-

kutnya masing-masing , , dan . Seorang mahasiswa memperkirakah

tes mendadak trip lapangan membahas tugas harian dan kuliah

Apakah perkiraan ini benar?

6. Tuan S (yang menyukai steak), Tuan C (menyukai ayam) dan Tuan H

(menyukai ham) sering diundang ke rumah teman yang hanya

menyuguhkan tiga jenis hidangan ini. Mereka harus menentukan untuk

bertaruh sebelum setiap jamuan makan, hidangan apa yang akan

disajikan. Andaikan nyonya rumah menyajikan steak pada suatu

pertemuan, ia tidak pernah menyajikannya kembali padakesempatan

berikut; ia membuang undi dengan sebuah mata uang; bila hasilnya

kepala ia menyuguhkan ayam dan bila sebaliknya ia menyuguhkan ham.

Jika ayam disuguhkan pada suatu pertemuan, kali berikut ia memutar dua

dadu, dan menyuguhkan ayam bila muncul angka yang sama; jika dadu

menghasilkan angka berbeda, dadu kembali diputar dan menyediakan

steak apabila nilainya sama, dan ham apabila sebaliknya. Jika disuguhkan

ham pada suatu kesempatan, kali berikutnya ditarik sebuah kartu secara

acak, dan menyediakan ayam bila jika keluar wajik dan bila tidak ham

disediakan. Jika setiap orang selalu bertaruh untuk preferensinya, berapa

proporsi kemenangan setiap orang dalam jangka panjang?

7. Setiap musim panas Stormy Lakes Yachting Association harus

memutuskan apakah membuat pertemuan tahunannya dalam bulan Juni,

Juli atau Agustus. Jika pertemuan di bulan Juni, probabilitas cuaca baik

jika cuaca baik, tahun berikutnya pertemuan dilakukan bulan Juni dengan

probabilitas , dan bulan Juli -, Agustus ; jika cuaca buruk tahun

berikutnya pertemuan tahun berikut dilakukan bulan Juli dan Agustus

dengan probabilitas sama. Jika pertemuan di bulan JulTprobabilitas baik-

buruknya cuaca adalah sama, jika cuaca baik, tahun berikut pertemuan

dilakukan bulan Juli. Jika cuaca buruk, pertemuan dilakukan Agustus

dengan probabilitas

dan Juni dengan probabilitas . Jika pertemuan

Agustus probabilitas cuaca baik ; jika cuaca baik tahun berikutnya

pertemuan dilakukan Juli dan Agustus dengan probabilitas yang sama;

jika cuaca buruk, perteniuan dilakukan Juni dan Juli dengan probabilitas

dan . Eerapa proporsi kemungkinan pertemuan dilakukan dalam bulan

Juni, Juli dan Agustus?

8. Sebuah Klub Buku Ilmiah memiliki tiga daftar alamat; (a) terdiri dari

anggota 3 tahun atau lebib, (b) anggota sekarang dan (c) anggota

tambahan yang terdiri dari tam-bahan anggota sekarang dan mereka yang

pemah berminat terhadap kegiatan Klub. Untuk setiap publikasi baru

harus ditentukan daftar manakah yang harus diguna-kan untuk

mengirimkan literatur yang dijual. Setelah pengiriman yang baru lalu,

ternyata hanya sedikit yang memesan, sekretaris menggunakan daftar

anggota dengan probabilitas dan daftar tambahan dengan probabilitas

; jika setelah pengiriman yang baru berlalu terdapat banyak pemesan,

sekretaris menggunakan daftar anggota dan daftar tambahan dengan

probabilitas sama; jika setelah pengiriman yang lain publikasi dijual habis,

sekretaris menggunakan daftar yang diseleksi dengan probabilitas dan

daftar anggota dengan probabilitas -. Jika daftar seleksi digunakan,

hanya sedikit yang terjual atau jumlah yang cukup terjual dengan

probabilitas sama; jika digunakan daftar anggota, terlalu sedikit terjual

dengan probabilitas , dan jumlah memadai terjual dengan probabilitas .

Jika daftar tambahan digunakan, penjualan memadai dengan probabilitas

dan terjual lebih dengan probabilitas . Berapa proporsi penjualan

terlalu kecil, memadai dan berlebihan?

9. Seorang ibu rumah tangga sefalu membeli salah satu jenis detergen A, B

atau C. Merek apa yang hams dibeli sebagian tergantung pada apakah

ketiga perusahaan mempunyai kegiatan promosi (mencuci bersih). Waktu

karnpanye dilakukan secara acak, tidak memberikan perhatian pada

apakah persaingan dilakukan pada saat yang sama. Perusahaan A

menjalankan kali, perusahaan B

kali dan perusahaan C kali. Jika ibu

rumah tangga membeli merek A satu kali, waktu berikutnya ia membeli

merek A bila merek A mengadakan karnpanye atau tidak satu pun merek

menjalankan karnpanye, ia membeli merek B jika merek B dikampanyekan

tetapi merek A tidak dan ia membeli merek C bila C dikampanyekan

sendiri. Jika ia membeli merek B satu waktu, berikutnya ia membeli A bila

hanya A dikampanyekan dan bila tidak ia membeli B. Jika ia membeli C

satu saat, berikutnya ia membeli A jika A satu-satunya yang

dikampanyekan, dan C bila C dikampanyekan dan B tidak, sebaliknya B

dibeli. Berapa proporsi ibu rumah tangga membeli A, B atau C?

PETUNJUK: Dari P(A) = , P(B) = ,P(C) = maka dapat diperoleh

probabilitas sebagai berikut:

P (hanya A) = P (A dan C, B tidak) =

P (hanya B) = P(B dan C, A tidak) =

P(hanya C) = P(A, B dan C) =

P(A, B, C tidak) = P(tidak ada karnpanye) =

10.Perusahaan Komputer memesan sebuah antene dua kaki untuk

digunakan dalam model eksperimen dari seorang rekanan yang

menyatakan bahwa antene tersebut mempunyai kekuatan khusus yang

diperlukan oleh insinyur komputer. Setiap pengiriman dinilai memuaskan

oleh para insinyur yang menggunakan (jika tidak ada laporan kepada

rekanan), di bawah standar (rekanan diberitahukan bahwa pengiriman

tidak sesuai pesanan) atau tidak dapat diterima (bila pengiriman

dikembali-kan dan penggantian alat rekanan dengan jaminan). Klasifikasi

tergantung pada se-jauh pengiriman memenuhi atau gagal memenuhi

pernyataan rekanan tentang kekuatannya. Insinyur telah mengamati

bahwa bila pengiriman adalah memuaskan, pengiriman berikut akan

memuaskan dengan probabilitas , di bawah standar atau tidak dapat

diterima ; Jika pengiriman tergolong di bawah standar, maka pengiriman

selanjutnya adalah . di bawah standar dan tidak pernah dapat di-

terima. Berapa proporsi pengiriman tergolong memuaskan, di bawah

standar dan : tidak dapat diterima dalam jangka panjang?

Jawaban Soal-soal Gasal

1. 7.

3. 9.

5. yes