tugas kontrol2
TRANSCRIPT
Tugas Kontrol
Soal
Carilah fungsi yang memberikan nilai ekstrem fungsional berikut
1.V [ y ]=∫
0
1
(t2+ y '2 ) dt dengan y (0 )=0 dan y (1 )=2
2.V [ y ]=∫
0
2
(7 y '3 ) dt dengan y (0 )=9 dan y (2 )=11
3.V [ y ]=∫
0
1
( y+ yy '+ y ' +12
y ' 2)dt dengan y (0 )=2 dan y (1 )=5
4.V [ y ]=∫
a
b
(t−3 y '2) dt solusi umumnya saja
Jawaban
1.V [ y ]=∫
0
1
(t2+ y '2 ) dt
Dengan batas kondisi y (0 )=0 dan y (1 )=2 . Karena (t2+ y '2 ) memiliki turunan
F y=0 ,F
y'=2 y '
, F
yy ' =2,
Fyy '=F
ty ' =0.
Dengan persamaan
F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0
persamaan Euler nya adalah2 y ''( t )=0 atau y''( t )=0 . Karena
turunan kedua y''( t )=0 , maka turunan pertamanya haruslah bernilai
konstan y'=c . Dan untuk fungsi
y∗(t )=12
c1 t +c2, Masukkan y (0 )=0
dan y (1 )=2
y∗(0 )=0=12
c1 (0 )+c2⇒ c2=0
y∗(1 )=2=12
c1 (1 )+c2⇒ c1=4
Sehingga didapat y∗(t )=2t
2.V [ y ]=∫
0
2
(7 y '3 ) dt dengan y (0 )=9 dan y (2 )=11
Maka F=7 y '3
Dari persamaan
F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0
F y ' y ' y '' ( t )=0 maka y '' ( t )=0
Sehingga setelah diintegralkan 2 kali didapat
Maka y∗(t )=c1 t+c2
Masukkan y (0 )=9 dan y (2 )=11
y∗(0 )=9=c1 (0 )+c2⇒ c2=9
y∗(2 )=11=c1 (2 )+(9 ) ⇒c1=1
Sehingga didapat y∗(t )=t+9
3.V [ y ]=∫
0
1
( y+ yy '+ y ' +12
y ' 2)dt dengan y (0 )=2 dan y (1 )=5
Maka F= y+ yy '+ y '+ 1
2y '2
Dari persamaan
F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' (t )−F y=0
F− y ' F y '=c
Karena F= y+ yy '+ y '+ 1
2y '2
dan y ' F y '= y ' y+ y '+ y ' y ' maka
F− y ' F y '=( y+ yy '+ y '+ 1
2y '2)−( y ' y+ y ' + y '2)
= y+ yy '+ y ' +1
2y '2− y ' y− y '− y '2
= y−1
2y ' 2=c
Bentuk y−1
2y '2=α2
(dengan c=α2) adalah parabola, misalkan saja
y=at '2+bt+c
Masukkan y (0 )=2 dan y (1 )=5
y∗(0 )=2=a (0 )2+b (0 )+c ⇒c=2
y∗(1 )=5=a (1 )2+b (1 )+2
Jika a,b bilangan bulat positip maka a=1 , b=2
Sehingga didapat y∗(t )=t2+2t +2
4.V [ y ]=∫
a
b
(t−3 y '2) dt solusi umumnya diperoleh dari:
Karena F=t−3 y '2
Dari persamaan
F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0
F y '=c
Diperoleh F y '=2 t−3 y ' . Maka
F y '=2 t−3 y '=c1
y '=1
2c1 t 3
Integrasikan terhadap t didapat
y∗(t )=18
c1 t4+c2
Sehingga solusi umumnya adalah y∗(t )=1
8c1 t 4+c2
Tugas Kontrol
OLEH:
IIN KARMILA PUTRI KP3500212002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TERAPAN
PROGRAM PASCASARJANA UNHAS
2013