Tugas Kontrol

Soal

Carilah fungsi yang memberikan nilai ekstrem fungsional berikut

1.V [ y ]=∫

0

1

(t2+ y '2 ) dt dengan y (0 )=0 dan y (1 )=2

2.V [ y ]=∫

0

2

(7 y '3 ) dt dengan y (0 )=9 dan y (2 )=11

3.V [ y ]=∫

0

1

( y+ yy '+ y ' +12

y ' 2)dt dengan y (0 )=2 dan y (1 )=5

4.V [ y ]=∫

a

b

(t−3 y '2) dt solusi umumnya saja

Jawaban

1.V [ y ]=∫

0

1

(t2+ y '2 ) dt

Dengan batas kondisi y (0 )=0 dan y (1 )=2 . Karena (t2+ y '2 ) memiliki turunan

F y=0 ,F

y'=2 y '

, F

yy ' =2,

Fyy '=F

ty ' =0.

Dengan persamaan

F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0

persamaan Euler nya adalah2 y ''( t )=0 atau y''( t )=0 . Karena

turunan kedua y''( t )=0 , maka turunan pertamanya haruslah bernilai

konstan y'=c . Dan untuk fungsi

y∗(t )=12

c1 t +c2, Masukkan y (0 )=0

dan y (1 )=2

y∗(0 )=0=12

c1 (0 )+c2⇒ c2=0

y∗(1 )=2=12

c1 (1 )+c2⇒ c1=4

Sehingga didapat y∗(t )=2t

2.V [ y ]=∫

0

2

(7 y '3 ) dt dengan y (0 )=9 dan y (2 )=11

Maka F=7 y '3

Dari persamaan

F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0

F y ' y ' y '' ( t )=0 maka y '' ( t )=0

Sehingga setelah diintegralkan 2 kali didapat

Maka y∗(t )=c1 t+c2

Masukkan y (0 )=9 dan y (2 )=11

y∗(0 )=9=c1 (0 )+c2⇒ c2=9

y∗(2 )=11=c1 (2 )+(9 ) ⇒c1=1

Sehingga didapat y∗(t )=t+9

3.V [ y ]=∫

0

1

( y+ yy '+ y ' +12

y ' 2)dt dengan y (0 )=2 dan y (1 )=5

Maka F= y+ yy '+ y '+ 1

2y '2

Dari persamaan

F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' (t )−F y=0

F− y ' F y '=c

Karena F= y+ yy '+ y '+ 1

2y '2

dan y ' F y '= y ' y+ y '+ y ' y ' maka

F− y ' F y '=( y+ yy '+ y '+ 1

2y '2)−( y ' y+ y ' + y '2)

= y+ yy '+ y ' +1

2y '2− y ' y− y '− y '2

= y−1

2y ' 2=c

Bentuk y−1

2y '2=α2

(dengan c=α2) adalah parabola, misalkan saja

y=at '2+bt+c

Masukkan y (0 )=2 dan y (1 )=5

y∗(0 )=2=a (0 )2+b (0 )+c ⇒c=2

y∗(1 )=5=a (1 )2+b (1 )+2

Jika a,b bilangan bulat positip maka a=1 , b=2

Sehingga didapat y∗(t )=t2+2t +2

4.V [ y ]=∫

a

b

(t−3 y '2) dt solusi umumnya diperoleh dari:

Karena F=t−3 y '2

Dari persamaan

F ty '+F yy ' y ' (t )+F y ' y ' y '' ( t )−F y=0

F y '=c

Diperoleh F y '=2 t−3 y ' . Maka

F y '=2 t−3 y '=c1

y '=1

2c1 t 3

Integrasikan terhadap t didapat

y∗(t )=18

c1 t4+c2

Sehingga solusi umumnya adalah y∗(t )=1

8c1 t 4+c2

Tugas Kontrol

OLEH:

IIN KARMILA PUTRI KP3500212002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA TERAPAN

PROGRAM PASCASARJANA UNHAS

2013