tugas 4 mkm.docx

8/19/2019 Tugas 4 MKM.docx

1/14

ANALISIS TEGANGAN DAN REGANGAN

PENDAHULUAN

Tegangan normal dan geser di balok poros dan batang dapatdihitung dari rumus-rumus dasar yang telah dibahas dalam bab-babsebelumnya. Sebagai contoh,tegangan di balok dinyatakan dengan

rumus lentur dan geser (σ = Μ y I dan τ =VQ

Ib ) ,dan tegangan di batangmengalami torsi dinyatakan dengan rumus torsi (τ =Tρ Ip ) .Namun,tegangan yang dihitung dari rumus-rumus ini bekerja dipenampang (potongan melintang) suatu elemen struktur,dan

kadang-kadang tegangan yang lebih besar terjadi di potonganmiring. Dengan demikian,kita akan mulai analisis tegangan danregangan dengan membahas metode-metode untuk mencariteganagan normal dan geser yang bekerja di potongan miring suatusuatu elemen struktur.

Di dalam pembahasan kita mengenai tegangan bidang,kita akanmenggunakan elemen tegangan untuk mempresentasikan keadaantegangan di suatu titik di dalam benda. Kita akan mulai analisis kitadengan meninjau suatu elemen yang padanya diketahui adategangan, dan selanjutnya kita akan menurunkan hubungan

transformasi yang memberikan tegangan yang bekerja di sisi-sisisuatu elemen yang berorientasi dalam arah yang berbeda.

Selain itu,kita harus selalu ingat baha tegangan bukanlah !ector."akta ini kadang-kadang dapat membingungkan,karena kitabiasanya mempresentasikan tegangan dengan panah,sebagaimanapada !ector gaya. #eskipun panah digunakan untukmempresentasikan tegangan ang mempunyai besar dan arah. $nibukanlah !ector krena tidak dapat di jumlah mengikuti aturan jajaran genjang. Sebenarnya,tegangan lebih merupakan besaran

yang rumit dibandingkan !ector,dan dalam matematika disebuttesor . %esaran tesor lainnya di dalam mekanika adalah regangandan momen inersia.

TEGANGAN BIDANG

Kondisi tengangan yang kita jumpai dalam bab-bab sebelumnyadalam menganalisis batang mengalami tarik,tekan,atau torsi,sertadi balok yang mengalami lentur adalah contoh-contoh keadaantegangan yang disebut tegangan bidang.

&pabila bahannya berada dalam keadaan tegangan bidang dalambidang 'y,maka hanya muka ' dan y dari elemen yang mengalami


2/14

tegangan,dan semua tegangan bekerja sejajar sumbu ' dany,seperti terlihat dalam gambar -a. kondisi tegangan ini sangatbiasa karena ini terjadi di permukaan benda yang bertegangan,kecuali di titik di mana beban luar berkerja di permukaan tersebut.&pabila elemen yang terlihat dalam gambar -a terletak di muka

bebas suatu benda, maka muka * ada dalam bidang permukaantersebut (tidak bertegangan), dan sumbu * adalah normalpermukaan tersebut.

Tegangan geser τ mempunyai dua subskrip. Subskrip pertamamenunjukan muka dimana tegangan bekerja, dan yang keduamenunjukkan ara di muka tersebut. +adi,tegangan τ xy bekerja dimuka ' dalam arah sumbu y (gambar -a), dan tegangan τ y'bekerja di muka y dalam arah sumbu '.

erjanjian tanda untuk tegangan geser adalah sebagai berikut. Tegangan geser adalah positi jika bekerja pada muka positi suatuelemen dalam arah positi suatu sumbu,dan bertanda negati!e jikabekerja di muka positi suatu elemen dalam arah negati!e suatusumbu.

+adi perjanjian tanda untuk tegangan geser mudah untuk diingat jikakita menyatakannya sebagai berikut Suatu tegangan geser adalahpositi jika arah yang berkaitan dengan subskrip adalah positi-positi atau negati-negati /tegangan adalah negati!e jika arah-

arahbya positi-negati atau negati-positi. &pabila tegangan τ 'ydan τ y' adalah positi dalam arah seperti terlihat dalam gambartersebut. Keduanya konsisten dengan pengamatan ini. Dengandemikian,kita catat baha

τ xy=τ yx

Tegangan Di Potong Miring

Sekarang kita telah siap untuk meninjau tegangan-tegangan yangbekerja di potongan miring,dengan mengasumsikan bahategangan-tegangan σ x, σ y dan τ xy (0ambar -a dan b)

diketahui. 1ntuk menggambarkan tegangan-tegangan yang bekerjadi potong miring,kita meninjau elemen tegangan baru (0ambar -


3/14

c) yang terletak di titik yang sama di bahan tersebut seperti dielemen semula (0ambar -b). Namun, elemen baru inimempunyai muka yang sejajar dan tegak lurus arah miring.%erkaitan dengan elemen baru ini adalah sumbu-sumbu X 1,Y 1 dan Z 1sedemikian hingga sumbu 2 berimpit dengan sumbu 2 dan sumbu

3,4 diputar berlaanan jarum jam melalui θ terhadap sumbu 34. Tegangan normal dan geser yang berkerja di elemen baru ini diberi

notasi σ x1, σ y1, τ x1y1 dan τ y1x1,dengan menggunakan notasisubskrip sama dan perjanjian tanda sebagaimana diuraikan diatasuntuk tegangan-tegangan yang bekerja di elemen 34. Kesimpulansebelumnya mengenai tegangan geser tetap berlaku sehingga

τ x1y1 5 τ y1x1Dari persamaan ini dan kesetimbangan elemen tersebut, kita lihatbaha tegangan geser yang berkerja di empat sisi suatu elemen

yang mengalami tegangan bidang diketahui jika kita menentukantegangan geser yang berkerja di salah satu muka tersebut.0aya-gaya yang bekerja di muka kiri dan baah dapat diuraikanmenjadi komponen-komponen orthogonal yang berkerja dalam arah3 dan 4. Selanjutnya, kita dapat memperoleh dua persamaankeseimbangan dengan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah-arahtersebut. ersamaan pertama, diperoleh dengan menjumlah gaya-gaya dalam arah 3. 4aitu

σ ' &6 sec θ - σ ' &6 cos θ - τ xy &6 sin θ

−σ ' &6 tan θ sin θ - τ xy &6tan θ cos θ 5 6

Dengan cara yang sama. erjumlahan gaya-gaya dalam arah 4 menghasilkan

σ ' &6 sec θ 7 σ ' &6 sin θ - τ xy &6 cos θ

−σ ' &6 tan θ cos θ 7 τ xy &6 tan θ sin θ 5 6

Dengan menggunakan hubungan τ xy 5 τ yx dan juga denganmenyederhanakan dan menyusun ulang. #aka kita dapatmemperoleh dua persamaan berikut

σ ' 5 σ ' cos8 θ 7 σ ' sin

8 θ 7 8 τ xy sin θ cosθ (-9a)

τ x1y1 5 - ( σ ' : σ y) sin θ cos θ 7 τ xy (cos8 θ - sin8

θ ) (-9b)

persamaan (-9a) dan (-9b) memberikan tegangan normal dangeser yang bekerja di bidang 3 yang dinyatakan dalam sudut θ

dan tegangan-tegangan σ ' , σ y dan τ xy yang berkerja dibidang-bidang 3 dan 4.


4/14

ersamaan (-9a) dan (-9b) dapat dinyatakan dalam bentuk yanglebih memudahkan dengan menggunakan identintas trigonometri

cos

8

θ

5

1

2 ( 7 cos 8 θ

) sin

8

θ

5

1

2 ( - cos 8 θ

)

sin θ cos θ 51

2 sin 8 θ

+ika subsitusi ini dilakukan,maka persamaan-persamaan di atasmenjadi

σ 'σ x+σ y 1

2 7

σ x+σ y 1

2 cos 8 θ 7 τ xy sin 8 θ

(-;a)

τ x1y1 5 -σ x−σ y1

2 sin 8 θ 7 τ xy cos 8 θ

(-;b)

#ula-mula kita perhatikan baha tegangan normal σ y yangberkerja di muka 4 dari elemen miring (0ambar -c) dapatdiperoleh dari persamaan (-;a) dengan memasukan θ 7


5/14

menggunakan notasi yang lebih umum untuk tegangan yangbekerja di bidang miring.

Kasus-kasus lainnya adalah geser murni (0ambar ->), di manapersamaan transormasinya diperoleh dengan memasukkan σ ' 56 dan σ y 5 6 kedalam persamaan (-;a) dan (-;b)

σ ' 5 τ xy sin 8 θ τ x1y1 5 τ xy cos 8 θ (-?a.b)

@agi-lagi, persamaan-persamaan ini cocok dengan yang telahditurunkan sebelumnya.&khirnya,kita perhatikan kasus khusus tegangan biaksial dimana

elemen XY mengalami tegangan normal dalam arah X dan Y tetapitidak ada tegangan geser (0ambar -A). ersamaan-persamaanuntuk tegangan biaksial diperoleh dari persamaan (-;a) dan (-;b)

hanya dengan menghilangkan suku-suku yang mengandung τ xy

σ 'σ x+σ y

2 7

σ x−σ y

2 cos 8 θ (-


6/14

Tegangan normal maksimum dan minimum,yang disebut sebagaitegangan utama, dapat dicari dari persamaan transormasi untuktegangan normal σ ' (ersamaan -;a). ersamaan turunantersebut adalah

d σ x 1d θ

5 - ( σ ' : σ y ) sin 8 θ 7 8 τ xy cos 8 θ 5 6 (-

6)

4ang menghasilkan

tan 8 θ p 52 τ xy

σ x−σ y (-)

Subskrip p menunjukkan baha sudut θ p adalah orientasi bidangutama,artinya bidang dimana tegangan utama berkerja. Karenasudut-sudut utama berbeda


7/14

σ 5σx+σy

2 7 √(

σx−σy2 ) 8 7 τ 8'y (-;)

σ 7 σ 8 5 σ ' 7 σ y (->)

σ 8 5σx+σy

2 7 √(

σx−σy2 ) 8 7 τ 8'y (-A)

σ .8 5σx+σy

2 ± √(

σx−σy2 ) 8 7 τ 8'y (-)

Tanda positi memberikan tegangan utama yang secara aljabar lebihbesar dan tanda negati!e menghasilkan tegangan utama yangsecara aljabar lebih kecil.

Tegangan 0eser #aksimum

Tegangan geser maksimum diperoleh dengan memasukan rumusuntuk cos 8 θ ' dan sin 8 θ ' ke dalam persamaan transormasikedua (ersamaan -;b). yang menghasilkan

τ ma' 5 √( σx−σy

2 ) 8 7 τ 8'y (-8>)

Tegangan geser negati!e maksimum τ ma' mempunyai besar yangsama,tetapi berlaanan tanda.

τ ma' 5σ 1+σ 2

2

+adi, tegangan geser maksimum sama dengan setengah selisihtegangan-tegangan utama.

LINGKARAN MOHR UNTUK TEGANGAN BIDANG

@ingkaran #ohr memberi cara untuk menghitung tegangan utama,tegangan geser maksimum dan tegangan di bidang-bidang miring.Selain itu, lingkaran #ohr berlaku tidak hanya untuk tegangan tetapi juga untuk besaran-besaran lain dengan siat-siat matematisserupa. Termasuk regangan dan momen inersia.

ersamaan-persamaan @ingkaran #ohr


8/14

ersamaan-persamaan untuk lingkaran #ohr dapat diturunkan daripersamaan-persamaan transormasi untuk tegangan bidang(ersamaan -; dan -;b).

σ ' 5

σx+σy

2 5

σx−σy

2 cos 8 θ

7τ

'y sin 8 θ

(-8b). kita juga dapatmemperoleh tegangan utama dan tegangan geser maksimum darilingkaran tersebut.


9/14

Dengan diketahui σ ' . σ y dan τ 'y prosedur untuk membuatlingkaran #ohr adalah sebagai berikut (lihat gambar ->c)

a. 0ambarlah satu sel sumbu koordinat dengan σ ' sebagaiabsis (positi ke kanan) dan τ 'y sebagai kordinat (positi

kebaah)b. Tentukan lokasi pusat lingkaran C di titik yang mempunyai

koordinat σ ' 5 σ rata-rata dan τ 'y 5 6 (lihat persamaan -9andan -98)

c. Tentukan lokasi titik &. yang merepresentasikan kondisitegangan di muka ' dari elemen yang terlihat dalam 0ambar->a. dengan memplot koordinat σ ' 5 σ y dan τ 'y 5

τ xy❑

. perhatikan baha titik & berkaitan dengan θ 5 6.

juga perhatikan baha muka ' dari elemen (0ambar ->a)diberi label &E untuk menunjukkan keterkaitannya dengan

titik & di dalam diagram.d. Tentukan lokasi %, yang merepresentasikan kondisi tegangan

di muka y dari elemen yang terlihat dalam 0ambar ->a.dengan memplot koordinatnya σ ' 5 σ y dan τ 'y 5 -

τ 'y . perhatikan baha titik % berkaitan dengan θ 5 a)

disebut label %E untuk menunjukkan keterkaitannya dengantitik % di dalam diagram.

e. 0ambarlah garis dari titik & ke titik %. 0aris ini adalahdiameter lingkaran dan melalui pusat C. Titik & dan %, yang

menunjukkan tegangan di bidang-bidang yang salingmembentuk sudut a). ada di ujung-ujungyang berlaanan dari diameter sehingga berjarak ?6 ° pada lingkaran

. Dengan menggunakan titik C sebagai pusat,gambarlahlingkaran #ohr melalui titik & dan %. lingkaran yang digambardengan cara ini mempunyai radius B(persamaan -9b).

Teganagn pada Flemen #iring

Dengan menggunakan rumus trigonometri pada lampiran

C,maka

Cos 8 θ cos β : sin 8 θ sin β 5σ x−σ y

2 R (a)

sin 8 θ cos β 7 cos 8 θ sin β 5τ xy

R (b)

Dengan mengalihkan persamaan yang pertama dengan cos 8 θ dan yang kedua dengan sin 8 θ dan mengurungkannya , kitadapatkan


10/14

Cos β 51

R ( σ x−σ y2 R cos2θ+ τ xy sin 2θ) (c)

+uga,dengan mengalikan persamaan (a) dengan sin 2θ danpersamaan (b) dengan cos2θ dan mengurungnya, kita

mendapatkan

sin β 51

R ( σ x−σ y2 R sin 2θ+τ xy cos2θ) (d)

Tegangan Utama

Dari geometri lingksrsn tersebut,kita lihat baha tegangan utamayang secara aljabar lebih besar adalah

σ ' 5 ÓC 7 5 ĆP 5σ x+σ y

2 R 7 B

Sudut utama θ p antara sumbu ' (0ambar ->a) dan bidangdengan tegangan utama yang secara aljabar lebih besar adalahsetengah sudut 8 θ p yang merupakan sudut di lingkaran #ohrantara radius C& dan Cy cosinus dan sinus dari 8 θ p dapatdiperoleh dengan melihat lingkaran #ohr

Cos 8 θ p 5

σ x−σ y

2 R sin 8 θ p 5

τ xy

R

Sudut utama 8 θ p antara sumbu 3 (0ambar ->a) dan bidangdengan tegangan utama yang secara aljabar lebih besar adalahsetengan sudut 8 θ p . yang merupakan sudut di lingkaran #ohrantara radius C& dan C' cosinus dan sinus dari sudut 8 θ p dapatdiperoleh dengan melihat lingkaran #ohr

Cos 8 θ p 5σ x−σ y

2 R sin 8 θ p 5

τ xy

R

Perjanjian Tanda Aternati! "nt"# Tegangan Ge$er

erjanjian tanda alternati hanya memberikan sudut pandang yangberbeda (dan mungkin memudahkan). %ukannya memikirkan sumbu!ertical memiliki tegangan geser negati!e yang di plot ke atas dantegangan geser positi diplot kebaah (yang memang agakaneh),kita dapat memikirkan sumbu !ertical yang mempunyaitegangan geser berlaanan jarum jam diplot ke baah.


11/14

Komentar Um"m Mengenai Ling#aran Mo%r

@ingkaran #ohr memungkinkan kita mem!isualisaikan hubunganantara tegangan-tegangan yang berkerja di bidang-bidang denganberbagai sudut,dan juga berperan sebagai alat pengingat dalammenghitung tegangan. #eskipun banyak cara graGs yang sudahtidak digunakan lagi dalam dunia teknik. Namun lingkaran #ohrtetap berharga karena ia memberikan gambaran sederhana dan jelas mengenai analisis yang rumit.

@ingkaran #ohr juga dapat diterapkan untuk transormasi reganganbidang dan momen inersia suatu luas bidang,karena besaran-besaran ini mengikuti hukum-hukum transormasi seperti tegangan.

HUKUM HOOKE UNTUK TEGANGAN BIDANG

Sekarang kita akan menyelidiki regangan pada bahan,yang berartibaha besaran bahan harus ditinjau. Namun, kita membatasipembahasn kita pada bahan yang memenuhi dua kondisi penting pertama, bahan seragam di seluruh benda dan mempunyai besaransama di semua arah (bahan bersiat homogeny dan isotropis),dankedua, bahan tersebut mengikuti hokum =ooke (bahan elastislinier). ada semua kondisi ini,kita dapat secara langsungmemperoleh hubungan antara tegangan dan reganan di bendatersebut.

Beganan resultan dalam arah '

ε ' 51

E ( σ ' : ! σ y)

Dengan cara yang sama kita dapatkan regangan dalam arah y dan *

ε y 51

E ( σ y : ! σ ') ε * 5

v

E ( σ ' : σ y)

Tegangan geser menurut hukum =ooke adalah


12/14

γ 'y 5τxy

G

persamaan-persamaan ini dapat dipecahkan secara simultan untuktegangan yang dinyatakan dalam regangan

σ ' 5 E

1−v2 ( ε ' 7 ! ε y ) σ y 5

E

1−v2 ( ε y 7 ! ε ' )

Selain itu kita mempunyai persamaan berikut untuk tegangan geseryang dinyatakan dalam regangan geser

τ 'y 5 0 γ 'y

persamaan-persamaan tersebut mengandung konstanta bahan (F,0

dan !), tetapi hanya dua yang independen karena adanya hubungan0 5

E

2(1+v )


13/14

&ONTOH SOAL


14/14

tugas 4 mkm.docx

Documents