tugas 3 geoanabid gung lilyk
TRANSCRIPT
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 1
TUGAS GEOMETRI ANALITIK BIDANG
1. Carilah persamaan parabola yang berpuncak di O, menyinggung sb-y dan menyinggung
pula garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Manakah titik-titik singgungnya ?
Penyelesaian :
Misal persamaan parabola yang dicari 𝑦2 = 2𝑝𝑥
Menyinggung garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦2 = 2𝑝𝑥 → 𝑥 + 1 2 = 2𝑝𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2𝑝𝑥
𝑥2 + 2 − 2𝑝 𝑥 + 1 = 0
Menyinggung berarti 𝐷 = 0
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0
2 − 2𝑝 2 − 4.1.1 = 0
4 − 8𝑝 + 4𝑝2 − 4 = 0
4𝑝2 − 8𝑝 = 0
4𝑝 𝑝 − 2 = 0
𝑝 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 2
Untuk 𝑝 = 0
𝑦2 = 2𝑝𝑥
𝑦2 = 2.0. 𝑥
𝑦2 = 0 ⟺ 𝑦 = 0 bukan parabola karena sama dengan sumbu-x
Untuk 𝑝 = 2
𝑦2 = 2𝑝𝑥
𝑦2 = 2.2. 𝑥
𝑦2 = 4𝑥
Persamaan parabolanya yaitu 𝑦2 = 4𝑥.
Titik singgungyna yaitu
𝑥2 + 2 − 2𝑝 𝑥 + 1 = 0
𝑥2 + 2 − 2.2 𝑥 + 1 = 0
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 2
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0
𝑥 − 1 2 = 0
𝑥 = 1
Substitusi 𝑥 = 1 ke 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = 1 + 1
𝑦 = 2
Jadi, persamaan parabolanya yaitu 𝑦2 = 4𝑥 dan titik singgungnya yaitu (1,2).
2. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung yang melalui (−2,−3) pada parabola
𝑦2 = 8𝑥. Pula persamaan garis penghubung kedua titik singgungnya. Sesuaikah
persamaan ini dengan rumus garis polar suatu titik terhadap parabola ?
Penyelesaian :
𝑦2 = 8𝑥
𝑦2 = 2.4. 𝑥
𝑝 = 4 dan melalui (−2,−3)
Persamaan garis polar
𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)
𝑦 −3 = 4 𝑥 + −2
−3𝑦 = 4𝑥 − 8
4𝑥 + 3𝑦 = 8
𝑦 =−4𝑥 + 8
3
Substitusi 𝑦 =−4𝑥+8
3 ke persamaan parabola.
𝑦2 = 8𝑥
−4𝑥 + 8
3
2
= 8𝑥
16𝑥2
9−
64𝑥
9+
64
9= 8𝑥
16𝑥2
9−
136𝑥
9+
64
9= 0
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 3
16𝑥2 − 136𝑥 + 64 = 0
2𝑥2 − 17𝑥 + 8 = 0
2𝑥 − 1 𝑥 − 8 = 0
𝑥 =1
2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 8
Untuk 𝑥 =1
2
𝑦 =−4𝑥 + 8
3
𝑦 =−
4.12 + 8
3
𝑦 =−2 + 8
3
𝑦 = 2 titik singgungnya yaitu 1
2, 2
Persamaan garis singgungnya yaitu
𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)
𝑦. 2 = 4(𝑥 +1
2)
2𝑦 = 4𝑥 + 2
2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
Untuk 𝑥 = 8
𝑦 =−4𝑥 + 8
3
𝑦 =−4.8 + 8
3
𝑦 =−32 + 8
3
𝑦 = −8 titik singgungnya yaitu 8,−8
Persamaan garis singgungnya yaitu
𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)
𝑦 −8 = 4 𝑥 + 8
−8𝑦 = 4𝑥 + 32
𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 4
Persamaan garis hubung titik 1
2, 2 𝑑𝑎𝑛 8,−8 yaitu
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 − 2
−8 − 2=
𝑥 −12
8 −12
𝑦 − 2
−10=
𝑥 −12
152
𝑦 − 2 15
2= 𝑥 −
1
2 − 10
15𝑦
2− 15 = −10𝑥 + 5
15𝑦 − 30 = −20𝑥 + 10
20𝑥 + 15𝑦 − 40 = 0
4𝑥 + 3𝑦 = 8
Jadi, persamaan garis singgung 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 dengan titik singgung 1
2, 2 ,
𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 dengan titik singgunng 8,−8 , dan persamaan garis hubung kedua titik
singgung yaitu 4𝑥 + 3𝑦 = 8. Persamaan garis hubung dengan rumus garis polar suatu
titik terhadap parabola sesuai.
3. Garis 𝑦 = −1 merupakan tempat kedudukan titik tengah semua talibusur yang sejajar
dari suatu parabola 𝑦2 = 2𝑥. Tentukan sudut antara tali busur itu dengan sb-x.
Penyelesaian :
𝑦 = −1 ………………………………………………….(1)
𝑦2 = 2𝑥 …………………………………………………(2)
Misalkan persamaan tali busurnya 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
⟺ 𝑥 =𝑦 − 𝑏
𝑎 ………………………………………………… 3
substitusi 3 ke (2) maka
𝑦2 =2𝑦
𝑎−
2𝑏
𝑎
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 5
⟺ 𝑦2 −2
𝑎𝑦 +
2𝑏
𝑎= 0
𝑦1 + 𝑦2 =2
𝑎
½ (𝑦1 + 𝑦2) =1
𝑎
𝑦𝑡 =1
𝑎……………………………………………… 4
𝑦 = −1merupakan tempat kedudukan titik tengah tali busur maka 𝑦𝑡 = −1
−1 =1
𝑎
𝑎 =1
−1
tan𝛼 =1
−1
𝛼 = 135𝑜
Jadi sudut antara tali busur itu dengan sb-x adalah 135𝑜
4. Tentukan persamaan talibusur suatu parabola 𝑦2 = 4𝑥, kalau diketahui , bahwa (3,−2)
merupakan titik tengah talibusur itu.
Penyelesaian :
Misalkan persamaan tali busur 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐, potongkan dengan parabola 𝑦2 = 4𝑥
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
𝑥 =𝑦 − 𝑐
𝑚 → 𝑦2 = 4
𝑦 − 𝑐
𝑚
𝑚𝑦2 = 4𝑦 − 4𝑐
𝑚𝑦2 − 4𝑦 + 4𝑐 = 0
𝑦1 + 𝑦2 = −𝑏
𝑎
=4
𝑚
𝑦𝑡 =𝑦1 + 𝑦2
2
−2 =𝑦1 + 𝑦2
2
−4 = 𝑦1 + 𝑦2
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 6
−4 =4
𝑚
𝑚 = −1
Tali busur melalui 3,−2
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
−2 = −1 3 + 𝑐
𝑐 = 1
Jadi, persamaan tali busurnya yaitu 𝑦 = −𝑥 + 1 ⟺ 𝑥 + 𝑦 = 1
5. Tentukan temtap kedudukan tengah-tengah semua talibusur yang melalui puncak
parabola 𝑦2 = 2𝑝𝑥.
Penyelesaian :
𝑦2 = 2𝑝𝑥 ……………………………………………….. (1)
Persamaan (1) melalui puncak (0,0)
Misalkan persamaan talibusurnya yang melalui (0,0) yaitu :
𝑦 = 𝑚𝑥 ………………………………………………… (2)
Substitusi 2 ke 1
𝑚𝑥 2 = 2𝑝𝑥
⟺ 𝑚2𝑥2 = 2𝑝𝑥
⟺ 𝑚2𝑥2 − 2𝑝𝑥 = 0
⟺ 𝑥 𝑚2𝑥 − 2𝑝 = 0
𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 =2𝑝
𝑚2
titik tengah tali busur tersebut yaitu ∶
𝑥𝑡 =𝑥1 + 𝑥2
2=
0 +2𝑝𝑚2
2=
𝑝
𝑚2
𝑦𝑡 = 𝑚 𝑥𝑡
= 𝑚 𝑝
𝑚2=
𝑝
𝑚
Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 7
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥𝑡 ,𝑦𝑡 = 𝑝
𝑚,𝑝
𝑚2
Tempat kedudukan tengah – tengah semua talibusur yang melalui 𝑝
𝑚,𝑝
𝑚2 dan (0,0)
Asumsikan tempat kedudukannya berupa garis lurus melalui kedua titik tersebut :
𝑦 − 0𝑝𝑚 − 0
=𝑥 − 0𝑝𝑚2 − 0
⟺ 𝑝
𝑚2𝑦 =
𝑝
𝑚𝑥
⟺ 𝑦 = 𝑚𝑥 …………………………………………… (*)
𝑦𝑡 =𝑝
𝑚 juga terletak di (*) jadi bisa di tulis 𝑦 =
𝑝
𝑚 ⟺ 𝑚 =
𝑝
𝑦…………………. (**)
substitusi ∗∗ ke (∗)
𝑦 = 𝑝
𝑦 𝑥
⟺ 𝑦2 = 𝑝𝑥
Jadi tempat kedudukan yanng dimaksud adalah parabola 𝑦2 = 𝑝𝑥