Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 1

TUGAS GEOMETRI ANALITIK BIDANG

1. Carilah persamaan parabola yang berpuncak di O, menyinggung sb-y dan menyinggung

pula garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Manakah titik-titik singgungnya ?

Penyelesaian :

Misal persamaan parabola yang dicari 𝑦2 = 2𝑝𝑥

Menyinggung garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦2 = 2𝑝𝑥 → 𝑥 + 1 2 = 2𝑝𝑥

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2𝑝𝑥

𝑥2 + 2 − 2𝑝 𝑥 + 1 = 0

Menyinggung berarti 𝐷 = 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

2 − 2𝑝 2 − 4.1.1 = 0

4 − 8𝑝 + 4𝑝2 − 4 = 0

4𝑝2 − 8𝑝 = 0

4𝑝 𝑝 − 2 = 0

𝑝 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 2

Untuk 𝑝 = 0

𝑦2 = 2𝑝𝑥

𝑦2 = 2.0. 𝑥

𝑦2 = 0 ⟺ 𝑦 = 0 bukan parabola karena sama dengan sumbu-x

Untuk 𝑝 = 2

𝑦2 = 2𝑝𝑥

𝑦2 = 2.2. 𝑥

𝑦2 = 4𝑥

Persamaan parabolanya yaitu 𝑦2 = 4𝑥.

Titik singgungyna yaitu

𝑥2 + 2 − 2𝑝 𝑥 + 1 = 0

𝑥2 + 2 − 2.2 𝑥 + 1 = 0

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 2

𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0

𝑥 − 1 2 = 0

𝑥 = 1

Substitusi 𝑥 = 1 ke 𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 = 1 + 1

𝑦 = 2

Jadi, persamaan parabolanya yaitu 𝑦2 = 4𝑥 dan titik singgungnya yaitu (1,2).

2. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung yang melalui (−2,−3) pada parabola

𝑦2 = 8𝑥. Pula persamaan garis penghubung kedua titik singgungnya. Sesuaikah

persamaan ini dengan rumus garis polar suatu titik terhadap parabola ?

Penyelesaian :

𝑦2 = 8𝑥

𝑦2 = 2.4. 𝑥

𝑝 = 4 dan melalui (−2,−3)

Persamaan garis polar

𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)

𝑦 −3 = 4 𝑥 + −2

−3𝑦 = 4𝑥 − 8

4𝑥 + 3𝑦 = 8

𝑦 =−4𝑥 + 8

3

Substitusi 𝑦 =−4𝑥+8

3 ke persamaan parabola.

𝑦2 = 8𝑥

−4𝑥 + 8

3

2

= 8𝑥

16𝑥2

9−

64𝑥

9+

64

9= 8𝑥

16𝑥2

9−

136𝑥

9+

64

9= 0

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 3

16𝑥2 − 136𝑥 + 64 = 0

2𝑥2 − 17𝑥 + 8 = 0

2𝑥 − 1 𝑥 − 8 = 0

𝑥 =1

2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 8

Untuk 𝑥 =1

2

𝑦 =−4𝑥 + 8

3

𝑦 =−

4.12 + 8

3

𝑦 =−2 + 8

3

𝑦 = 2 titik singgungnya yaitu 1

2, 2

Persamaan garis singgungnya yaitu

𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)

𝑦. 2 = 4(𝑥 +1

2)

2𝑦 = 4𝑥 + 2

2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

Untuk 𝑥 = 8

𝑦 =−4𝑥 + 8

3

𝑦 =−4.8 + 8

3

𝑦 =−32 + 8

3

𝑦 = −8 titik singgungnya yaitu 8,−8

Persamaan garis singgungnya yaitu

𝑦𝑦1 = 𝑝(𝑥 + 𝑥1)

𝑦 −8 = 4 𝑥 + 8

−8𝑦 = 4𝑥 + 32

𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 4

Persamaan garis hubung titik 1

2, 2 𝑑𝑎𝑛 8,−8 yaitu

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

𝑦 − 2

−8 − 2=

𝑥 −12

8 −12

𝑦 − 2

−10=

𝑥 −12

152

𝑦 − 2 15

2= 𝑥 −

1

2 − 10

15𝑦

2− 15 = −10𝑥 + 5

15𝑦 − 30 = −20𝑥 + 10

20𝑥 + 15𝑦 − 40 = 0

4𝑥 + 3𝑦 = 8

Jadi, persamaan garis singgung 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 dengan titik singgung 1

2, 2 ,

𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 dengan titik singgunng 8,−8 , dan persamaan garis hubung kedua titik

singgung yaitu 4𝑥 + 3𝑦 = 8. Persamaan garis hubung dengan rumus garis polar suatu

titik terhadap parabola sesuai.

3. Garis 𝑦 = −1 merupakan tempat kedudukan titik tengah semua talibusur yang sejajar

dari suatu parabola 𝑦2 = 2𝑥. Tentukan sudut antara tali busur itu dengan sb-x.

Penyelesaian :

𝑦 = −1 ………………………………………………….(1)

𝑦2 = 2𝑥 …………………………………………………(2)

Misalkan persamaan tali busurnya 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

⟺ 𝑥 =𝑦 − 𝑏

𝑎 ………………………………………………… 3

substitusi 3 ke (2) maka

𝑦2 =2𝑦

𝑎−

2𝑏

𝑎

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 5

⟺ 𝑦2 −2

𝑎𝑦 +

2𝑏

𝑎= 0

𝑦1 + 𝑦2 =2

𝑎

½ (𝑦1 + 𝑦2) =1

𝑎

𝑦𝑡 =1

𝑎……………………………………………… 4

𝑦 = −1merupakan tempat kedudukan titik tengah tali busur maka 𝑦𝑡 = −1

−1 =1

𝑎

𝑎 =1

−1

tan𝛼 =1

−1

𝛼 = 135𝑜

Jadi sudut antara tali busur itu dengan sb-x adalah 135𝑜

4. Tentukan persamaan talibusur suatu parabola 𝑦2 = 4𝑥, kalau diketahui , bahwa (3,−2)

merupakan titik tengah talibusur itu.

Penyelesaian :

Misalkan persamaan tali busur 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐, potongkan dengan parabola 𝑦2 = 4𝑥

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

𝑥 =𝑦 − 𝑐

𝑚 → 𝑦2 = 4

𝑦 − 𝑐

𝑚

𝑚𝑦2 = 4𝑦 − 4𝑐

𝑚𝑦2 − 4𝑦 + 4𝑐 = 0

𝑦1 + 𝑦2 = −𝑏

𝑎

=4

𝑚

𝑦𝑡 =𝑦1 + 𝑦2

2

−2 =𝑦1 + 𝑦2

2

−4 = 𝑦1 + 𝑦2

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 6

−4 =4

𝑚

𝑚 = −1

Tali busur melalui 3,−2

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

−2 = −1 3 + 𝑐

𝑐 = 1

Jadi, persamaan tali busurnya yaitu 𝑦 = −𝑥 + 1 ⟺ 𝑥 + 𝑦 = 1

5. Tentukan temtap kedudukan tengah-tengah semua talibusur yang melalui puncak

parabola 𝑦2 = 2𝑝𝑥.

Penyelesaian :

𝑦2 = 2𝑝𝑥 ……………………………………………….. (1)

Persamaan (1) melalui puncak (0,0)

Misalkan persamaan talibusurnya yang melalui (0,0) yaitu :

𝑦 = 𝑚𝑥 ………………………………………………… (2)

Substitusi 2 ke 1

𝑚𝑥 2 = 2𝑝𝑥

⟺ 𝑚2𝑥2 = 2𝑝𝑥

⟺ 𝑚2𝑥2 − 2𝑝𝑥 = 0

⟺ 𝑥 𝑚2𝑥 − 2𝑝 = 0

𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 =2𝑝

𝑚2

titik tengah tali busur tersebut yaitu ∶

𝑥𝑡 =𝑥1 + 𝑥2

2=

0 +2𝑝𝑚2

2=

𝑝

𝑚2

𝑦𝑡 = 𝑚 𝑥𝑡

= 𝑚 𝑝

𝑚2=

𝑝

𝑚

Tugas GeoAnaBid ke-3 Anak Agung Lilyk Cahyani (1113011047) | 7

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥𝑡 ,𝑦𝑡 = 𝑝

𝑚,𝑝

𝑚2

Tempat kedudukan tengah – tengah semua talibusur yang melalui 𝑝

𝑚,𝑝

𝑚2 dan (0,0)

Asumsikan tempat kedudukannya berupa garis lurus melalui kedua titik tersebut :

𝑦 − 0𝑝𝑚 − 0

=𝑥 − 0𝑝𝑚2 − 0

⟺ 𝑝

𝑚2𝑦 =

𝑝

𝑚𝑥

⟺ 𝑦 = 𝑚𝑥 …………………………………………… (*)

𝑦𝑡 =𝑝

𝑚 juga terletak di (*) jadi bisa di tulis 𝑦 =

𝑝

𝑚 ⟺ 𝑚 =

𝑝

𝑦…………………. (**)

substitusi ∗∗ ke (∗)

𝑦 = 𝑝

𝑦 𝑥

⟺ 𝑦2 = 𝑝𝑥

Jadi tempat kedudukan yanng dimaksud adalah parabola 𝑦2 = 𝑝𝑥