TUGAS PEMETAAN DIGITAL Transformasi Konform 2D, Transformasi Affine 2D, Transformasi Affine 3D

Disusun Oleh :

Yoga Prahara Putra

3509.100.051

PROGRAM STUDI TEKNIK GEOMATIKA FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 20111. Definisi Transformasi Transformasi secara umun didefinisikan sebagai perubahan suatu bentuk dan ukuran ke bentuk ukuran lain, baik secaara fisik maupun non-fisik. Ada dua cara untuk melakukan transformasi, yaitu transformasi objek dan transformasi koordinat. Pada transformasi objek semua titik pada sembarang objek akan dirubah sesuai dengan aturan tertentu sementara kordinatnya tetap. Pada transformasi sistem koordinat, objek tetap tetapi karena sistem koordinatnya diganti maka kedudukan objek harus disesuaikan dengan kedudukan sistem koordinat yang baru. Maka untuk lebih mudahnya transformasi koordinat adalah konversi dari satu sistem koordinat dua dimensi (x, y) ke sistem koordinat 2D yang lain (x, y). Ada 3 komponen transformasi: 1) Translasi sumbu, yang memindahkan titik asal Perhatikan Gambar 1, Salib sumbu x, y akan ditranslasikan ke salib sumbu x,y sehingga diperoleh hubungan :

2) Skala Misalkan ada dua titik A, B yang menjadi sekutu pada dua sistem koordinat, pada sistem pertama titik-titik tersebut menghubungkan garis AB dan pada titik kedua menghubungkan garis ab. Jika AB ab maka untuk konversi koordinat sistem yang satu ke yang lainnya harus digunakan faktor skala m = ab / AB atau dapat dinyatakan bahwa : ii

3) Rotasi sumbu, putaran salib sumbu pada titik asal Perhatikan Gambar 2 Diasumsikan titik sumbu kedua sistem adalah sama yaitu O, akan tetapi sumbu koordinat telah diputar sebesar sudut q, sedemikian sehingga OX menjadi OX.

Misalkan rotasi yang terjadi searah dengan jarum jam : bila

Apabila rotasi sumbu berlawanan dengan arah jarum jam, tanda yang digunakan adalah kebalikan dari persamaan di atas. 2. Transformasi Konform 2D iii

Transformasi komform secara umum memiliki besar sudut atau arah suatu garis yang digambarkan di atas peta sama dengan besar sudut atau arah sebenarnya di permukaan bumi, sehingga dengan memperhatikan faktor skala peta bentuk yang digambarkan di atas peta akan sesuai dengan bentuk yang sebenarnya di permukaan bumi. Pada transformasi conform, arah tiap sudut pasti sama, serta mengalami perbesaran pada tiap arah yang sama. Transformasi konform merupakan transformasi yang sebangun. Setelah suatu objek grafis dibangun, kita dapat melakukan transformasi terhadap objek grafis tersebut dengan berbagai cara tanpa menambahkan komponen baru apapun pada objek grafis tersebut. Ada banyak cara untuk melakukan transformasi objek grafis, tapi beberapa cara transformasi yang umum adalah : 1. Translasi : objek dipindahkan ke lokasi baru tanpa mengubah bentuk, ukuran atau orientasinya. 2. Rotasi : objek dirotasi (diputar) terhadap titik tertentu tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. 3. Scalling : objek diperbesar atau diperkecil. objek dapat diskalakan menggunakan faktor yang sama baik secara horisontal maupun vertikal sehingga proporsinya tetap atau bisa menggunakan faktor yang berbeda yang akan menyebabkan objek tersebut menjadi lebih lebih tinggi, lebih pendek, lebih tipis atau lebih tebal. Translasi dan rotasi disebut juga sebagai rigid body transformation yaitu transformasi yang hanya mengubah posisi objek, tanpa mengubah bentuknya. Langkah awal dalam transformasi ini adalah penentuan azimuth: =+ = tan -1 = tan -1 +C +C ; dimana C merupakan nilai dari aturan kuadran.

Gambar 1. Ilustrasi Koordinat Konform iv

Skala factor dapat dihitung berdasarkan rasio panjang garis antara dua titik control dari plane coordinate (E-N) dan titik coordinate kartesian ( X,Y). S= Menentukan koordinat rotasinya dengan rumus, ( misalnya,titik A ): X= sXACos - sYASin Y= sXASin - sYACos Menentukan faktor translasi dengan memasukkan unsur plane coordinate X dan Y: Tx = EA XA Ty = NA YA Dengan manggabungkan persamaan (3) dan (4) maka akan didapat persamaan untuk menentukan koordinat E dan N dari titik-titik bukan titik control (misalnya titik C dan D) E = SXCos - SYSin + TX N = SXSin - SYCos + TY

3. Transfoemasi Affine 2 DTransformasi Affine mentransformasikan garis lurus menjadi garis lurus juga dan garis parallel tetap menjadi garis parallel. Secara umum, ukuran, bentuk, posisi, dan orientasi baseline dalam jaringan akan berubah. Faktor skala tergantung pada orientasi baseline. Untuk keperluan transformasi koordinat titik P dan Q dalam 2D dinyatakan sebagai : Px Qx P = Py Q = Qy dan 1 1 Hal ini berarti titik P berada pada lokasi P = Px i + Py j + Dimana adalah titik pusat koordinat (tidak harus selalu (0,0)). Transformasi dari titik P menuju titik Q menggunakan fungsi T() berikut ini. Qx Px Q y = T Py Q P z z

atau ringkasnya Q = T(P)

Transformasi Affine mempunyai bentuk seperti berikut ini. Q x m11 Px + m12 Py + m13 Q y = m21 Px + m22 Py + m23 1 1 dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat diubah menjadi Q x m11 m12 m13 Px Q y = m21 m22 m23 Py 1 0 0 1 1 Contoh : Lakukan transformasi Affin dari titik P = (1,2) ke Q dengan matriks transformasi berikut ini v

3 0 5 2 1 2 0 0 1 Jawab : Qx 3 Qy = - 2 1 0 0 1 0 5 1 8 2 2 = 2 1 1 1

Transformasi Affine berpengaruh pada 4 transformasi dasar, yaitu : translasi, skala, rotasi dan shear. Gambar 7.2. menunjukkan pengaruh transformasi-transformasi dasar tersebut dalam gambar. Gambar 7.2.a pengaruh translasi, b. pengaruh skala, c. pengaruh rotasi, dan d. pengaruh shear.

Gambar 7.2. Transformasi Dasar. Transformasi Affine untuk translasi diberikan oleh persamaan berikut ini. Q x 1 Qy = 0 1 0 0 1 m13 Px m 23 Py 0 1 1

atau lebih ringkasnya

Q x Px + m13 Q y = Py + m 23 1 1 Vektor (m13 , m23) adalah vektor offset yang menyatakan besarnya pergeseran. Transformasi Affine untuk skala melakukan penskalaan dengan menggunakan dua faktor skala yaitu Sx dan Sy masing-masing untuk koordinat x dan y. Persamaan transformasinya diberikan pada persamaan berikut ini. ( Qx, Qy ) = ( Sx Px , Sy Py ) vi

sehingga matriks untuk transformasi skala adalah : Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1

Transformasi Affine untuk rotasi diberikan oleh persamaan berikut ini. Qx = Px cos() Py sin(), Qy = Px sin() Py cos(), Matriks transformasinya adalah sebagai berikut . cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) 0 0 0 1 Rotasi mempunyai pengertian diputar dengan pusat titik asal (0,0) ke arah berlawanan jarum jam sebesar sudut . Lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut ini.

Gambar 7.3. Transformasi Rotasi Transformasi Affine untuk shearing diberikan oleh persamaan berikut ini. Qx = Px + hPy Qy = Py Dimana h menyatakan besarnya perubahan P pada sumbu y. Matrik transformasinya adalah sebagai berikut. 1 h 0 0 1 0 0 0 1 Bentuk tranformasinya secara grafis dapat diihat pada gambar berikut ini.

vii

Gambar 7.4. Transformasi Shear

4. Transformasi Affine 3DSeperti pada transformasi Affine 2D, transformasi Affine 3D juga menggunakan koordinat frame. Titik P dinyatakan dengan P = Px i + Py j + Pz k + atau Px P P= y P z 1 Dan transformasinya secara umum dinyatakan dengan persamaan transformasi berikut ini. Qx Px Qy P = M y Q P z z 1 1 m11 m M = 21 m 31 0 m12 m22 m32 0 m13 m23 m33 0 m14 m24 m34 1

dengan M nya adalah

Untuk translasi matrik M tersebut adalah sebagai berikut 1 0 0 m14 0 1 0 m24 0 0 1 m 34 0 0 0 1 dimana (m14, m24, m34) adalah besarnya translasi yang diinginkan. Untuk penskalaan matrik transformasinya adalah sebagai berikut.

viii

S x 0 0 0 0 S y 0 0 0 0 S 0 z 0 0 0 1 dimana (Sx, Sy, Sz) adalah besarnya skala yang diinginkan. Untuk shearing matriks transformasinya adalah sebagai berikut. 1 0 0 0 f 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Kalau matrik transformasi dikalikan dengan titik P akan menghasilkan Q = (Px, fPx + Py , Pz). Jadi komponen Px, dan Pz tetap, sedangkan komponen Py berubah secara proporsional, dimana f adalah konstanta yang kita inginkan. Untuk rotasi ada 3 macam transformasi, yaitu rotasi terhadap sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. 1 0 0 0 0 c c 0 Rotasi dengan sumbu x, matrik rotasinya adalah 0 s c 0 0 0 0 1 c 0 0 1 Rotasi dengan sumbu y, matrik rotasinya adalah s 0 0 0 c s s c Rotasi dengan sumbu z, matrik rotasinya adalah 0 0 0 0 s 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Dimana c adalah cos() dan s adalah sin(), untuk yang diinginkan. Contoh: Gambar berikut ini menunjukkan a. Gambar gudang dengan posisi awal, dan rotasi dari titik pusat sebesar b. -70o terhadap sumbu x, c. 30o terhadap sumbu y, dan d. rotasi -90o terhadap sumbu z.

ix

Gambar 7.5. Transformasi Rotasi 3D

x