TRIGONOMETRI Andini tresnaningsih

Untuk XI IPA sylvia nopiani risa p.

+CD Interaktif

Judul Buku : Trigonometri

Penyusun : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani Risa Prihatini

Koordinator/

Editor : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani

Penilai : Dede Trie Kurniawan, S.Si, M.Pd.

Hak Cipta@

Pada Penerbit AS – Universitas Swadaya Gunung Jati

Cirebon – Indonesia

Dilarang mengutip, menjiplak atau memfotokopi sebagian ataupun seluruh buku

ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulis dan penerbit.

Kutipan

UNDANG – UNDANG HAK CIPTA TAHUN 1987

Pasal 72

1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau

memperbanyak suatu ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidana

dengan pidana penjara paling singkat 1 bulan dan/atau denda paling sedikit

Rp. 1.000.000,00, atau pidana penjara paling lama 7 tahun dan/atau denda

paling banyak Rp. 5.000.000.000,00

2. Barang siapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan,

mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil

pelanggaran hak cipta atau hak terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1),

dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 tahun dan/atau denda paling

banyak Rp. 500.000.000,00

ii

Dalam paradigma modern, matematika tidak hanya sekedar

aritmatika atau berhitung. Akan tetapi lebih menitikberatkan pada

proses penalaran, artinya dengan belajar matematika peserta didik

dapat berfikir kreatif serta sistematis bukan untuk berhitung cepat

di dalam kepala.

Penulisan dalam buku ini dimulai dengan beberapa ulasan

pada materi Trigonometri terdahulu. Lalu dilanjutkan dengan

bagaimana cara dari suatu pendapatan rumus-rumus Trigonometri.

Buku ini terdiri dari 5 pembahasan, yaitu rumus trigonometri

untuk jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut

ganda, rumus perkalian, rumus penjumlahan dan pengurangan

pada trigonometri, serta aplikasi trigonometri dalam kehidupan

sehari-hari. Lalu ada pula contoh-contoh soal pada setiap

pembahasan agar peserta didik lebih mudah untuk memahami

materi yang disediakan. Pada akhir bab, kami memberikan soal-

soal untuk melatih sejauh mana peserta didik telah mempelajari

bab Trigonometri ini.

Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih pada pihak-

pihak yang telah sukarela membantu dalam pembuatan buku

Trigonometri ini. Terimakasih untuk segala bantuan dan

sumbangan sarannya sehingga buku ini dapat terselesaikan. Saran

dan kritik dari pembaca selalu kami tunggu untuk perbaikan

kualitas buku ini.

Penyusun

iii

Prakata dari Penyusun .............................................................................................. iii

Daftar Isi .................................................................................................................. iv

Motivasi untuk Siswa ............................................................................................... vi

TRIGONOMETRI.................................................................................................... 1

Pengantar dan Ulasan ............................................................................................... 2

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut ......................................... 3

1. Rumus Penjumlahan Cosinus............................................................................ 3

2. Rumus Pengurangan Cosinus............................................................................ 4

3. Rumus Penjumlahan Sinus ............................................................................... 4

4. Rumus Pengurangan Sinus ............................................................................... 5

5. Rumus Penjumlahan Tangen ............................................................................ 5

6. Rumus Pengurangan Tangen ............................................................................ 6

Contoh Soal .......................................................................................................... 7

B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda ....................................................................... 8

1. Rumus Sudut Ganda untuk Sinus ...................................................................... 8

2. Rumus Sudut Ganda untuk Cosinus .................................................................. 8

3. Rumus Sudut Ganda untuk Tangen ................................................................... 9

4. Rumus Sudut Ganda untuk Sin

, cos

dan tan

...................................... 10

Contoh Soal .......................................................................................................... 11

C. Rumus Perkalian Trigonometri ............................................................................ 11

1. Perkalian Cosinus dan Cosinus ......................................................................... 11

2. Perkalian Sinus dan Sinus ................................................................................. 12

iv

3. Perkalian Cosinus dan Sinus ............................................................................. 12

Contoh Soal .......................................................................................................... 13

D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri........................................... 14

1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus ................................................ 14

2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus.................................................... 15

3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen................................................. 15

Contoh Soal .......................................................................................................... 16

E. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari ................................................................ 17

UJI LATIH PEMAHAMAN .................................................................................... 19

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 23

Deskripsi Petunjuk Penggunaan CD Interaktif .......................................................... 24

Biodata Penulis ......................................................................................................... 25

v

vi

TRIGONOMETRI

1

PENGANTAR

Konsep trigonometri banyak diterapkan dalam bidang navigasi dan astronomi.

Yang secara umum masalah utamanya adalah menentukan jarak yang sulit dicapai

seperti jarak antara bumi dan bulan atau jarak yang tidak dapat diukur secara

langsung seperti lebr sebuah danau, tinggi sebuah bukit atau gedung. Penerapan

lainnya ditemukan dalam fisika, kimia, dan hampir semua cabang teknik.

Di kelas X kita telah mempelajari beberapa rumus perbandingan trigonometri,

aturan sinus dan kosinus, persamaan dan fungsi trigonometri, serta identitas

trigonometri. Rumus-rumus tersebut sangat membantu kita dalam mempelajari

materi yang akan dibahas pada bab ini.

ULASAN

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

ATURAN SINUS

ATURAN KOSINUS

AC

BC

hipotenusa

sudut hadapan di sisisin

AC

AB

hipotenusa

sudut dekat di sisicos

AB

BC

sudut dekat di sisi

sudut hadapan di sisitan

2

A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DAN

SELISIH DUA SUDUT

1. Rumus Untuk

Amati gambar di samping ini,

menunjukkan lingkaran yang berpusat di O

dan berjari-jari r. Amati lagi gambar

tersebut dengan saksama. Dari gambar

tersebut, diperoleh OC = OB = OD = OA = r

dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan

titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r

cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperoleh

sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu

a. (AC) 2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2

= r2 cos2 (α + β) – 2r2 cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)

= r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β)

= r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β)

= 2r2 – 2r2 cos (α + β)

Jadi, (AC) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)

b. (DB) 2 = (r cos α – r cos β) 2 + (r sin α + r sin β) 2

= r 2cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2sin2 α + 2 r2sin α sin β

+ r2 sin2 β

= r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cos α cos β + 2r2

sin α sin β

= r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

= 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

Jadi, (DB) 2 = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

3

ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB.

Jadi, AC2 = DB2.

2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Jadi Rumus Untuk Cos , yaitu

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

2. Rumus Untuk Cos

Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β),

yaitu

cos(α – β) = cos (α + (–β))

= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)

= cos α cos β + sin α sin β

Jadi Rumus Untuk Cos , yaitu

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β

3. Rumus Untuk Sin

Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut

komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α + β) dengan

menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut

komplemen berikut :

4

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

sin (α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β

Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut

komplemen, diperoleh :

sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]

= cos [(90° – α) – β ]

= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β

= sin α · cos β + cos α · sin β

Sehingga Rumus Untuk Sin

4. Rumus Untuk Sin

Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu

sin (α – β) = sin (α + (–β))

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)

= sin α · cos β – cos α · sin β

Jadi rumus selisih sinus dua sudut :

5. Rumus untuk tan

Anda telah mempelajari bahwa :

Kemudian anda telah mempelajari bahwa :

cos (α + β) = cos α . cos β – sin α . sin β

dan

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

5

Sekarang pelajari uraian berikut :

Jadi, rumus jumlah tangen dua sudut adalah:

6. Rumus untuk Tan

Rumus tan diperoleh dari rumus tan , sebagai berikut:

Jadi , rumus selisih tangen dua sudut adalah:

6

CONTOH SOAL !!!

1. Diketahui

dan

. jika sudut A dan B lancip,

tentukan nilai !

Pembahasan : Karena A dan B lancip, maka:

2. Tentukan nilai sin 75o !

Pembahasan :

3. Tunjukkan bahwa !

Pembahasan :

(terbukti)

7

sin 2 α = 2 sin α cos α

4. Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan sin (A – B)!

Pembahasan : cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)

sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13

= –36/65 – 20/65

= – 56/65

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13

= –36/65 + 20/65

sin (A – B) = – 16/65

B. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA

1. Rumus untuk sin 2α

Anda telah mengetahui bahwa:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Untuk β = α, diperoleh:

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin 2 α = 2 sin α cos α

Jadi, rumus sudut ganda untuk sinus adalah:

1. Rumus untuk cos 2α

Anda juga telah mempelajari bahwa:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Untuk β = α, diperoleh:

8

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = 1 – 2 sin2α

cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α

cos 2α = cos2α – sin2α

Jadi, rumus sudut ganda untuk kosinus adalah:

Untuk rumus cos 2α dapat juga ditulis:

cos 2α = cos 2α – sin 2α

cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α

2. Rumus untuk tan 2α

Dari rumus:

Untuk β = α, diperoleh:

Jadi, rumus sudut ganda untuk tangen adalah:

9

3. Rumus sudut ganda untuk Sin

, cos

dan tan

Berdasarkan rumus cos 2α = 1 – 2 sin2α dan cos 2α = 2 cos2α – 1

maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk Sin

, cos

dan tan

Begitu pula untuk cos

:

Dengan cara yang sama didapat:

10

CONTOH SOAL !!!

1. Nyatakan sin 6x dalam sudut 3x!

Pembahasan :

2. Buktikan bahwa !

Pembahasan :

(terbukti)

3. Hitung nilai

!

Pembahasan :

tidak negatif, maka:

C. RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI

1. Perkalian Cosinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus

sebagai berikut:

11

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B

Jadi, rumus perkalian cosinus dan cosinus adalah:

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2. Perkalian Sinus dan Sinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus

sebagai berikut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B _

cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B

Jadi, rumus perkalian antara sinus dengan sinus adalah:

3. Perkalian Cosinus dan Sinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus

sebagai berikut.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B

sin (A + B) - sin (A – B) = 2 cos A sin B

12

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)

Jadi, rumus perkalian antara cosinus dan sinus adalah:

CONTOH SOAL!!!

1. Nyatakan bentuk ke jumlah atau selisih kosinus!

Pembahasan :

2. Hitung nilai dari !

Pembahasan :

3. Berapakah nilai dari 2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) ?

Pembahasan :

2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = Cos {(45°+x)+(135°+x)}+Cos {(45°+x)-(135°+x)}

= Cos (180°+2x) + Cos (-90°)

= Cos 180°+ Cos 2x + Cos 90°

= -1 + Cos 2x + 0

2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = - Cos 2x

13

D. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

TRIGONOMETRI

1. Penjumlahan dan Pengurangan cosinus

Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan

penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Misalkan:

+ -

Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan

memisalkan A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:

14

2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan

A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:

3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen

Jadi, rumus penjumlahan untuk tangen adalah:

Dengan cara yang sama didapat rumus:

15

CONTOH SOAL!!!

1. Buktikan bahwa:

Pembahasan :

(terbukti)

2. Cos 55° + Cos 25°=......

Pembahasan : Cos 55° + Cos 25° = 2 Cos ½ (55° + 25°) Cos ½ (55° - 25°)

= 2 Cos ½ (80°) Cos ½ (30°)

= 2 Cos 40° Cos 15°

= 2. 0,76 . 0,96

Cos 55° + Cos 25° = 1,48

16

E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

1.) Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukan

jarak dari pantai ke suatu titik di laut.

2.) Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.

3.) Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

17

4.) Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon

5.) Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.

18

UJI LATIH PEMAHAMAN

A. Pilihlah jawaban yang benar!

1. cos 105⁰=........

a.

d.

b.

e.

c.

2. Diketahui tan A =

dan sin B =

, A dan B sudut lancip. Nilai cos (A-B)=......

a.

b.

c.

d.

e.

3. Fungsi sin dapat ditulis dalam bentuk untuk setiap

harga , apabila....

a.

dan

d.

dan

b.

dan

e.

dan

c.

dan

4. Bila

, maka =....

a.

b. 1 c.

d.

e.

5.

a. d.

b. e.

c.

19

6. Jika dan , maka

a.

c. e.

b.

d.

7. Jika dan , maka =.....

a. d.

b. e.

c.

8. =

, maka sin2x = ....

a.

c.

e.

b.

d.

9. Bila sin x ‒ cos x = ƿ, maka harga dari sin 2x = ....

a. 2ƿ2 d ‒ ƿ2

b ƿ2 + 1 e.

‒

ƿ2

ƿ2 ‒1

10. Jika tan x = t, maka tan 3x = ....

a. –

c.

e.

b.

d.

20

⁰ ‒ 3 ⁰

e ‒

b.

d ‒

12. Sin 22

⁰ = ....

a.

d.

b.

e.

‒

c.

13. A, B, dan C adalah sudut – sudut sebuah segitiga. Jika A – B = 30° dan sin C =

maka cos A sin B = ....

a.

c.

e. 1

b.

d.

14. sin2 А cos2 А = ....

a.

cos 4A d.

b.

e.

c.

15. = ....

a. d.

b. e.

c.

16.

= ....

21

a. c. e.

b. d.

17.

= ....

a. c. e.

b. d.

J k α d β udu l p β

dan β

,

maka

= ....

a. 2 － d. 1 －

b. 1 －

e.

－ 1

c. 3 － 2

Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di C berlaku cos ( A + C ) = k. Tentukanlah

nilai sin A + cos B.

2. α β d ϒ adalah sudut- udu ebu h eg g J k α ϒ β

tentukanlah nilai α ϒ.

3. J k α udu l p d

α

e uk l h α

4. Tentukanlah nilai dari

.

5. Tentukanlah nilai dari sin 10O sin 50o sin 70o.

22

Handayani, Elyas. (2012). Kupas Tuntas UN Matematika IPA SMA/MA.

Sindunata: Sukoharjo

Rokhman, Nur. (2012). Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah dan Pengurangan.

[online]. Tersedia: http://matematika-lovers.blogspot.com/2012/10/rumus-

rumus-trigonometri-jumlah-dan.html. [12 Oktober 2013]

Rbaryan. (2013). Aplikasi Trigonometri dalam Kehidupan Nyata. [online].

Tersedia: http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasi-

trigonometri-dalam-kehidupan-nyata/. [12 Oktober 2013]

Sembiring, Suwah dkk. (2008). Pelajaran Matematika untuk SMA/MA. Penerbit

Yrama Widya: Bandung

23

PETUNJUK PENGGUNAAN CD INTERAKTIF

Oke guys, materi sudah selesai kalian baca, contoh soal pun sudah

kami berikan. Sekarang kalian dapat menguji kemampuan dengan

menjawab soal-soal yang ada pada CD Interaktif. Adapun petunjuk

penggunaan CD Interaktif adalah sebagai berikut:

1. Masukkan CD Interaktif ke laptop atau komputer anda.

2. Nah ketika kalian menemukan column password, isilah column

tersebut dengan "AndinSylvi". Perhatikan besar kecilnya huruf ya,

kalau nanti passwordnya salah kalian tidak dapat melanjutkan Quis ini.

3. Setelah masuk ke Quis, klik Start.

4. Kalian harus menjawab semua pertanyaan terlebih dahulu. Untuk

melanjutkan ke pertanyaan selanjutnya, kalian klik Next. Kalau kalian

ragu pada jawaban pertanyaan sebelumnya, kalian klik Previous.

5. Setelah kalian selesai menjawab semua pertanyaan, klik Submit.

6. Kalian akan mendapatkan hasil apakah kalian sudah lulus atau belum.

7. Apabila kalian ingin melihat pembahasan, klik Review lalu Review

Feedback.

8. Waktu yang kami berikan adalah 90 menit untuk menjawab semua

soal. Dan passing score adalah 80.

Selamat Mencoba :)

24

Nama Lengkap : Andini Tresnaningsih

Tempat, Tanggal Lahir : 21 September 1994

Jenis Kelamin : Perempuan

Golongan Darah : B

Alamat : Jl. Kandang Perahu Gg. Delima No. 6 RT o4 Rw 11 Kel.

Karya Mulya Kec. Kesambi Kota Cirebon

Agama : Islam

Riwayat Pendidikan :

1. TK Pelita Ibu Cirebon (1999-2000)

2. SD Negeri Karya Mulya 1 Cirebon (2000-2006)

3. SMP Negeri 5 Cirebon (2006-2009)

4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012)

5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon

(2012-sekarang)

Deskripsi Kerja Kelompok :

Saya bertugas mengerjakan segala hal yang

berurusan dengan pembuatan Booklet

Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk

mengisi Booklet, pengetikan isi Booklet, hingga

mengedit Booklet agar menarik perhatian dari

pembaca. Pengerjaan soal untuk pembahasan pada

Quis Maker saya kerjakan bersama-sama dengan

rekan saya, Sylvia Nopiani Risa Prihatini.

25

Nama Lengkap : Sylvia Nopiani Risa Prihatini

Tempat, Tanggal Lahir : 19 April 1994

Jenis Kelamin : Perempuan

Golongan Darah : B

Alamat : Jl. ByPass Komp. Korem 063/SGJ Cirebon

Agama : Islam

Riwayat Pendidikan :

1. TK Kartika 30 Bandung (1999-2000)

2. SD Negeri Soka 34/1 Bandung (2000-2006)

3. SMP Negeri 7 Cirebon (2006-2009)

4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012)

5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon

(2012-sekarang)

Deskripsi Kerja Kelompok :

Saya bertugas mengerjakan segala hal

yang berurusan dengan pembuatan Quis Maker

Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk

soal pada Quis Maker, pengetikan isi Quis Maker,

hingga mengedit Quis Maker agar menarik

perhatian dari pembaca. Pengerjaan soal untuk

pembahasan pada Quis Maker saya kerjakan

bersama-sama dengan rekan saya, Andini

Tresnaningsih.

26