7/26/2019 Transformasi Z Balik

1/7

BAB I

PENDAHULUAN

Jika pada sistem analog dikenal transformasi Laplace yang merupakan bentuk umum

dari transformasi Fourier, dalam sistem diskrit bentuk umum dari transformasi Fourier adalah

transformasi-Z. Jika transformasi Laplace sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan

differensial, transformasi-Z sangat berguna dalam menyelesaikan perbedaan persamaan.

Transformasi Laplace beruhubungan dengan fungsi kontinyu dan bisa digunakan untuk

menyelesaikan banyak persamaan diferensial yang berasal dari bidang sains dan teknik.

Sedangkan transformasi Z berhubungan dengan fungsi diskrit. Transformasi Z merupakan

suatu teknik untuk menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti Transformasi Laplace

pada Sinyal aktu !ontinyu".

7/26/2019 Transformasi Z Balik

2/7

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Transformasi Z Balik

Jika urutan { }kx memiliki transformasi Z { } ( "kZ x F z= , kebalikan transformasinya

didefinisikan sebagai

{ }# ( " kZ F z x

=

$da banyak aktu ketika, urutan dari transformasi Z yang diberikan , tidak mungkin untuk

segera membaca urutan dari Tabel transformasi. Sebaliknya beberapa manipulasi mungkindiperlukan dan dengan transformasi Laplace sangat sering melibatkan penggunaan pecahan

parsial.

Contoh

%rutan { }kx memiliki transformasi &( " '

zF z

z z=

+

. %ntuk menemukan

transformasi balik, dan karenanya urutan, didapati baha penyebut dapat difaktorkandan dipisahkan men)adi pecahan parsial sebagai

( " ....F z =

&( "

'

zF z

z z=

+

& '

( &"( *"

& *

( *" ( &"

( &"( *"

z

z z

z

z z

A B

z z

A z B z

z z

= +

=

= +

+ =

+enyamakan pembilang memberikan, memberikan #A B+ = dan * & ,A B = . ari duapersamaan ini didapatkan baha &A = dan *B = . Jadi

7/26/2019 Transformasi Z Balik

3/7

* &( "

* &F z

z z=

transformasi Z terdekat dalam tabel untuk salah satu dari dua fraksi parsial ini adalah

{ } .k z

Z az a

=

leh karena itu )ika kita menulis

* &( "

* &F z

z z=

* &

* &

z z

z z z z=

Jadi,

# ( " ...Z F z =

+en)adi

* &( "

* &

z zF z

z z z z=

{ } { }# #* * & &k kz Z z Z =

Jadi

{ } { }# # #( " * * & &k kZ F z =

{ } { }* &k k

=

{ }* &k k= memberikan * &k kkx =

$da cara sederhana untuk melakukan hal ini tanpa menggunakan teorema geser kedua.

idapatkan / yang muncul di pembilang dari ( "F z , dipertimbangkan bukan pemecahan

fraksi parsial( "F z

z

7/26/2019 Transformasi Z Balik

4/7

&

( " #

'

F z z

z z z z=

+

&

#

' z z

=

+

#

( &"( *"z z=

& *

A B

z z= +

( *" ( &"

( &"( *"

A z B z

z z

+

=

+enyamakan pembilang memberikan # ( *" ( &"A z B z= + , memberikan

[ ]

[ ]

0

0 * & #

z A B

CT A B

+ =

=

engan solusi #A =

dan #B =

. Sehingga

( " # #

* &

F z

z z z=

sehingga

* &

z z

z z=

{ } { }* &k kZ Z=

Jadi

{ } { }# ( " * &k kZ F z =

{ }* &k k

=

7/26/2019 Transformasi Z Balik

5/7

engan demikian penggunaan teorema geser kedua dapat dihindari.

2.2. H!"!nn#an Tim"al Balik

!adang-kadang hal yang berdekatan dari urutan terkait satu sama lain, misalnya dari

segi urutan

{ } { }&k kx =

Seperti#

#& & & &

k k

k kx x

+

+ = = = adalah

# &k kx x+ =

1ersamaan ini berlaku untuk semua hal yang berdekatan dari urutan - itu berulang untuk

semua nilai k. persamaan ini disebut linear, orde pertama, hubungan timbal balik koefisien

konstanta. %rutan persamaan diberikan oleh pergeseran maksimum antara persmaan yang

terkait - di sini adalah #. Jelas, hubungan timbal balik

& ##

k k kx x x

+ + =

adalah & karena pergeseran maksimum antara persamaan berkaitan adalah &, yaitu dari k ke k

2 &.

1.2.1 S!k! A$al

Sebuah relasi rekurensi dapat digunakan untuk menghasilkan hal urutan suku

aal yang disediakan diberikan - sama )umlahnya dengan urutan persamaan.

+isalnya, diberikan urutan { }kx di mana # *k kx x+ = dengan suku aal , &x =

menghasilkan urutan suku

3 4 3&,..., ..., ..., ...4k

x =

3 4 3&,,#5,'6, ...4k

x =

karena

Se)ak # *k kx x+ = dimana , &x = , maka

7/26/2019 Transformasi Z Balik

6/7

# ,

& #

* &

* * &

* * #5

* * #5 '6

x x

x x

x x

= = =

= = =

= = =

emikian pula, )ika urutan lain memiliki suku yang memenuhi orde kedua

hubungan timbal balik

& #* & #

k k kx x x

+ + + = dimana , x = dan # #x =

!emudian lima suku pertama dari urutan adalah

3 4 3,#,..., ..., ..., ...4k

x =

3 4 3,#,6,##,&,...4k

x =

!arena

Se)ak & #* & #k k kx x x+ + + = dimana , ,x = dan # #x =

& # ,* & #x x x + = adalah & * # & #x + = sehingga & 6x =

* & #* & #x x x + = adalah * * 6 & # #x + = sehingga * ##x =

6 * &* & #x x x + = adalah 6 * ## & 6 #x + = sehingga 6 &x =

7/26/2019 Transformasi Z Balik

7/7

BAB III

%ESIMPULAN

&.1. %'sim(!lan

#. Jika urutan { }kx memiliki transformasi Z { } ( "kZ x F z= , kebalikan

transformasinya didefinisikan sebagai

{ }# ( " kZ F z x

=

&. Sebuah hubungan timbal balik mengungkapkan hubungan baha suku yang

berdekatan dari rangkaian menahan satu sama lain. %rutan persamaan diberikan

oleh pergeseran ma7imum antara suku terkait.

*. 8ubungan timbal balik dapat digunakan untuk menghasilkan persyaratan dari

urutan yang diberikan suku aal yang diberikan sama )umlahnya dengan urutan

persamaan.