TRANSFORMASI ANGKATAN

Tranformasi angkatan merupakan cara bagaimana membentuk angkatan menjadi

“lebih baik” dalam arti memenuhi anggapan yang diguanakan dalam satatistik inferensi

atau statistik konfirmasi yaitu suatu angkatan berdistribusi normal. Angkatan yang

memiliki puncak tunggal dan tidak simetris dibuat menjadi simetris sehingga dapat

mendekati distribusi normal yang lebih baik daripada data asli.

1. MENGHITUNG LOGARITMA, AKAR PANGKAT DUA DAN KEBALIKAN

SUATU BILANGAN

Tabel Tukey merupakan Tabel yang digunakan untuk mempermudah menghitung

logaritma, akar pangkat dua dan kebalikan negatif suatu bilangan.

1.1 Logaritma

Cara menggunakan Tabel :

i. Suatu bilangan yang akan dicari logaritmanya dilihat dalam Tabel 4.1B

(Kartiko, 1986 : 4.3), sehingga diperoleh nilai b

ii. Desimal dari bilangan tersebut dihilangkan kemudian bilangan yang telah tidak

ada desimalnya tersebu dilihat dalam Tabel 4.1A (Kartiko, 1986 : 4.2),

sehingga diperoleh nilai a. Logaritma bilangan tersebut adalah a + b.

catatan : untuk angka pada perbatasan dapat diambil nilai a yang genap.

contoh :

a. nilai log 137,2

bilangan ini terletak antara 100 an 1000, maka b = 2

lihat bilangan 1372 pada Tabel 1. a, bilangan ini terletak antara 1365 dan 1396,

maka a=0,14.

Jadi log 137,2 = 2 + 0,14 = 2,14

b. nilai log 0,03694

bilangan ini terletak antara 0,01 an 0,1, maka b = -2

1

lihat bilangan 3694 pada Tabel 1. a, bilangan ini terletak antara 3673 dan 3758,

maka a=0,57.

Jadi log 0,03694 = -2 + 0,57 = -1,43

1.2 Akar pangkat dua

Cara menggunakan Tabel :

i. suatu bilangan yang akan dicari akar pankat dua dilihat dalam Tabel 4.2B

(Kartiko, 1986 : 4.4), sehingga diperoleh nilai b

ii. bilangan tersebut dibagi menjadi beberapa periode masing-masing terdiri dari

dua angka. Pembagian dimulia dari tanda desimal, ke depan dan ke belakang.

Bilangan yang telah dibagi menjadi beberapa periode dilihat dalam Tabel

4.2A (Kartiko, 1986 : 4.4), sehingga diperoleh nilai a. Akar pangkat dua

bilangan tersebut adalah nilai a dengan disesuaikan dengan b.

contoh :

a. √1242

1242 terletak antara 100 dan 1000 didapat b = ab

1242 ditulis 12 42 terletak antara 11 90 dan 12 60 dari Tabel 2. a diperoleh a

= 35

Jadi √1242 = 35

b. √0,00654

0,00654 terletak antara 0.0001 dan 0,01 didapat b= 0,0x

0,00654 ditulis 00 65 4 yang sama dengan 65 4 terletak antara 62 41 dan 65

61 dari Tabel 2. a diperoleh a=80

Jadi √0,00654 = 0,080

c. √12,72

12,72 terletak antara 1 dan 100 didapat b = a

12,72 ditulis 12 72 terletak antara 12 60 dan 13 35 dari Tabel 2. a diperoleh a

= 36

Jadi √1242 = 3,6

2

1.3 Kebalikan negatif (−1000/ x)

Cara menggunakan Tabel :

Disini tidak dihitung 1/bilangan tetapi -1000/bilangan

i. bilangan dilihat dalam Tabel 4.3B (Kartiko, 1986 : 4.6), sehingga diperoleh

nilai b

ii. bilangan tersebut bila terdapat desimalnya maka desimalnya dihilangkan.

Bilangan tanpa desimal itu dilihat dalam Tabel 4.3A (Kartiko, 1986 : 4.7),

sehingga diperoleh nilai a. Kebalikan negatif -1000/bilangan tersebut adalah

nilai a dengan disesuaikan dengan b.

Contoh :

a.−1000124,2

Tabel 3.b terlihat bahwa 124,2 terletak antara 100 dan 1000, sehingga

diperoleh b=a. Tabel 3. a menunjukan 1242 terletak antara 1235 dan 1266,

sehingga a = -80

Jadi −1000124,2

adalah -8,0

b.−10000,04739

Tabel 3.b terlihat bahwa 0,04739 terletak antara 0,01 dan 0,1, sehingga

diperoleh b=abcde. Tabel 3. a menunjukan 4739 terletak antara 4672 dan

4762, sehingga a = -212

Jadi −1000124,2

adalah -21200,0

3

2. TRANSFORMASI LOGARITMA

Transformasi logaritma suatu angkatan didapat dengan mengambil atau

menghitung logaritma setiap observasi dalam angkatan.

Tabel 1. Penduduk 1850-1961

Penduduk Kanada Penduduk AS

Tahun

Jumlah

(jutaan)

Pertumbuhan

Tahun

Jumlah

(jutaan)

Pertumbuhan

1851 2,44 1850 23,21861 3,23 0,79 1860 31,4 8,21871 3,69 0,46 1870 39,8 8,41881 4,32 0,63 1880 50,2 10,41891 4,83 0,51 1890 62,9 12,71901 5,37 0,54 1900 76,0 13,11911 7,21 1,84 1910 92,0 161921 8,79 1,58 1920 105,7 13,71931 10,38 1,59 1930 122,8 17,11941 11,51 1,13 1940 131,7 8,91951 14,01 2,50 1950 150,7 191961 18,24 4,23 1960 178,5 27,8

Tabel 1 menunjukan jumlah penduduk Amerika Serikat (AS) dan Kanada pada 12

sensus yang berturutan. Kolom pertumbuhan yang berisi perbedaan antara setiap sensus

dengan sensus sebelumnya, terlihat besar pertumbuhan penduduk. Tampak bahwa

besarnya pertumbuhan penduduk pada tahun terakhir lebih besar daripada tahun

sebelumnya. Juga terlihat bahwa penduduk AS mempunyai pusat dan sebaran yang jauh

lebih besar.

Diagram kotak dan titik pada Gambar 1 tampak bahwa median lebih dekat dengan

kuartil bawah atau nilai tinggi lebih menyebar daripada nilai rendah. Keadaan angkatan

yang seperti ini disebut “menjurai ke atas”. Sebaliknya bila median dekat dengan kuartil

atas atau nilai rendah lebih menyebar dibandingkan dengan nilai tinggi, maka angkatan

seperti ini disebut “menjurai ke bawah”. Diagram kotak dan titik menunjukan bahwa

4

pusat dan sebaran berubah pada arah sama ( pusat lebih besar mempunyai sebaran yang

lebih besar), merupakan sifat angkatan yang sering dijumpai.

Gambar 1. Diagram Kotak dan Titik Jumlah Penduduk Kanada dan AS

Tabel 2. Nisbah Menurut Tahun Sensus Berurutan Untuk Kanada dan AS

Kanada AS1861/1851 1,32 1860/1850 1,351871/1861 1,14 1870/1860 1,271881/1871 1,17 1880/1870 1,261891/1881 1,12 1890/1880 1,251901/1891 1,11 1900/1890 1,211911/1901 1,34 1910/1900 1,211921/1911 1,22 1920/1910 1,151931/1921 1,18 1930/1920 1,161941/1931 1,11 1940/1930 1,071951/1941 1,22 1950/1940 1,141961/1951 1,30 1960/1950 1,18

Tabel 2 berisi nisbah (hasil bagi) jumlah penduduk pada suatu sensus dengan

sensus sebelumnya. Nisbah ini menunjukkan semacam laju pertumbuhan. Dari tahun ke

tahun kedua negara mempunyai besar nisbah yang hampir sama. Hal ini menunjukkan

bahwa pertumbuhan penduduk di kedua negara tetap.

5

Keuntungan menggunakan nisbah :

Mudah, sering digunakan dan jelas menggunakan ide laju pertumbuhan penduduk.

Kerugian menggunakan nisbah :

Menghitung nisbah tanpa bantuan kalkulator akan membuang waktu. Dari nisbah

tidak dapat diperoleh bilangan semula.

Untuk itu dicari transformasi yang tidak mengesampingkan keuntungan nisbah,

sekaligus menghilangkan kerugianya. Transformasi tersebut adalah transformasi

logaritma. Dihitung logaritma dari semua observasi dalam angkatan. Logaritma mudah

dihitung kembali besarnya observasi asli dengan antilogaritma. Hasil transformasi

disajikan dalam Tabel 3

Tabel 3 Logaritma Besar Penduduk

TahunPenduduk Kanada

TahunPenduduk AS

Jumlah Pertumbuhan Jumlah Pertumbuhan1851 6,39 1850 7,371861 6,51 0,12 1860 7,50 0,131871 6,57 0,06 1870 7,60 0,101881 6,64 0,07 1880 7,70 0,101891 6,68 0,04 1890 7,80 0,101901 6,73 0,05 1900 7,88 0,081911 6,86 0,13 1910 7,96 0,081921 6,94 0,08 1920 8,02 0,061931 7,02 0,08 1930 8,09 0,071941 7,06 0,04 1940 8,12 0,031951 7,15 0,09 1950 8,18 0,061961 7,26 0,11 1960 8,25 0,07

Pada kolom pertumbuhan dapat dilihat selisih logaritma suatu sensus dengan

sebelumnya (logaritma disingkat dengan log). Mengingat sifat logaritma tampak bahwa

selisih tersebut merupakan logaritma nisbah karena logab=log a−logb. Jadi Logaritma

masih mempunyai sifat laju pertumbuhan seperti yang ditunjukan oleh nisbah. Untuk

6

Kanada tampak bahwa perumbuhan merata dari tahun ke tahun. Untuk AS,

pertumbuhan tahun-tahun terakhir lebih kecil dari tahun-tahun permulaan.

Tabel 4 Diagram Batang dan Daun Logaritma Besar Penduduk

Log Penduduk Kanada7,2 67,1 5

7 266,9 46,8 66,7 36,6 486,5 176,46,3 9

Batang : satuan dan persepuluhan

Daun : Perseratuasan

Log penduduk AS8,2 58,1 288,0 297,9 67,8 087,7 07,6 07,5 07,47,3 7

Batang : satuan dan persepuluhan

Daun : Perseratuasan

Gambar 2. Diagram Kotak dan Titik Log Penduduk AS dan Kanada

Apabila logaritma menangkap ide laju pertumbuhan yang tetap, angkatan

seharusnya tidak menjurai ke atas setelah transformasi logaritma. Hal ini akan anda lihat

dari Gambar 2 yang menyajikan diagram kotak dan titik angkatan baru. Dari Tabel 6

7

tampak bahwa kedua negara juraian ke atas telah hilang. Untuk Kanada kedua ekstrim

dan kuartil berimbang diseitar median sedang untuk AS angkatan agak menjurai ke

bawah. Tetapi secara keseluruhan harga yang lebih tinggi dan lebih rendah daripada

median tampak menyebar merata.

Tabel 5. Diagram Titik Pertumbuhan Log Penduduk

Kanada ASX 0,13 XX 0,12X 0,11

0,10 XXXX 0,09

XX 0,08 XXX 0,07 XXX 0,06 XXX 0,05

XX 0,040,03 X

Md= 0,08 Md=0,08

Gambar 2 dan Tabel 5 menunjukan diagram pertumbuhan log penduduk. Tampak

bahwa untuk kedua negara mediannya sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua negara

mempunyai laju pertumbuhan penduduk yang sama. Bila laju pertumbuhan tetap,

setelah pertumbuhan pusat (median) dikeluarkan pertumbuhan log penduduk

mempunyai sisa nol. Dari Tabel 6 tampak bahwa sisa tidak seluruhnya nol. Ada kalanya

penduduk bertambah lebih dari 0.09 (memberikan sisa positif) atau kurang dari 0,08

(memberikan sisa negatif). Dengan mendapatkan sisa, selain anda dapat melihat pola

pertumbuhan log pendududk yang hampir konstan perincian yang kurang jelas dapat

dilihat.

Perincian ini antara lain dapat dilihat dari data asli tetapi amat sukar. Penggunaan

utama transformasi adalah untuk membuat angkatan berbentuk standar, yaitu bentuk

yang simetri. Mengapa simetri? Simetri merupakan bentuk yang netral suatu angkatan

8

biasanya menjurai ke atas atau ke bawah. Bila angkatan simetri tidak dibutuhkan lagi

penjelasan ini.

Tabel 6. Log Pertumbuhan Penduduk Taraf (0,08) Dikeluarkan

Penduduk Kanada Penduduk AS

TahunPertumbuhan Tahun

Pertumbuhan

1861 0,04 1860 0,051871 -0,02 1870 0,021881 -0,01 1880 0,021891 -0,04 1890 0,021901 -0,03 1900 0,001911 0,05 1910 0,001921 0,00 1920 -0,021931 0,00 1930 -0,011941 -0,04 1940 -0,051951 0,01 1950 -0,021961 0,03 1960 -0,01

Md=0,08 Md=0,08

Hal ini ada hubungannya dengan statistika inferensi (konfirmasi) yang sering

membutuhkan pengandaian bahwa angkatan berdistribusi normal. Suatu angkatan yang

simetris dan berpuncak tunggal mungkin tidak begitu normal, tetapi biasa cukup

mendekati normal (terutama bila jumlah observasi angkatan besar), sehingga teknik

konfirmasi yang mengganggap berbentuk normal dapat digunakan dengan aman.

9

3. MEMILIH TRANSFORMASI YANG UNGGUL

Memilih transformasi yang unggul merupakan cara yang digunakan untuk

menemukan transformasi yang sesuai bagi suatu angkatan agar bentuknya mendekati

simetri. Berikut ini merupakan data pembangunan perumahan swasta bukan petani di

negara Amerika Serikat pada tahun 1966-1968.

Tabel 7. Pembangunan Perumahan Swasta Bukan Petani, AS, 1966-1968

Bulan 1966Januari 78500Februari 74800Maret 115900April 138600Mei 126700Juni 118200Juli 97600Agustus 99600September 86900Oktober 74400November 71400Desember 58900Seluruh Tahun 1141500

Tabel 8. Diagram Batang dan Daun Pembangunan Perumahan

196613 912 711 6810 09 88 77 954165 9

Batang : puluhan Juta

Daun : dibulatkan ke ribuan terdekat

10

Gambar 3 Diagram Kotak dan Titik Pembangunan Tahun 1966

Tampak bahwa angkatan sedikit mengurai ke atas. Transformasi yang cocok

untuk angkatan yang menjurai ke atas adalah akar pangkat dua, logaritma dan kebalikan

negatif (tanda negatif untuk menjamin supaya urutan angkatan tetap).

Tabel 9. Transformasi Pembangunan Perumahan 1966

BulanPembangunan

Dibulatkan

Akar

Log −1/√ x

Januari 78500 79 2804,8

9 -1,27E-05

Februari 74800 75 2734,8

7 -1,34E-05

Maret 115900 116 3405,0

6 -8,63E-06

April 138600 139 3725,1

4 -7,22E-06Mei 126700 127 356 5,1 -7,89E-06

Juni 118200 118 3445,0

7 -8,46E-06

Juli 97600 98 3124,9

9 -1,02E-05Agustus 99600 100 316 5 -1E-05September 86900 87 295

4,94 -1,15E-05

11

Oktober 74400 74 2734,8

7 -1,34E-05November 71400 71 267

4,85 -1,4E-05

Desember 58900 59 243

4,77 -1,7E-05

12

Tabel 10. Diagram Batang dan Daun

akar dua Log X −1/ x3 70,60 5,1 40 -7 823 40,40,20,10 5,0 760 -8 64

294,82,76,70,64 4,9 940 -9

2 46 4,8 875 -10 20batang : Ratusan 4,7 7 -11 6

batang : satuan dan

Persepuluhan

-12 8-13 26-14 0-15-16 8

batang : Persepuluhan Juta

qA 340 qA 5,07 qA -86Md 320 Md 4,97 Md -109qb 276 qb 4,88 qb -134

Tampak bahwa untuk angkatan ini akar pangkat dua bukan transformasi yang

cukup kuat, karena tampak bahwa angkatan tetap menjurai ke atas. Logaritma tampak

baik karena juraian telah hilang. Sedang kebalikan negatif tampak terlalu kuat karena

menjadi menjurai ke bawah.

Secara umum transformasi mempunyai pengaruh yang berbeda untuk angkatan

yang berbeda. Diatas telah disebut bahwa untuk angkatan yang menjurai ke atas

transformasi yang cocok adalah akar pangkat dua ( 2√ x ), logaritma ( log x ) dan kebalikan

negatif (−1x ). Untuk angkatan yang menjuari ke bawah x2 , x3 , x4, atau pangkat yang

lain merupakan transformasi yang mungkin sesuai.

Transformasi antilogaritma juga dapat mengoreksi juaraian ke bawah, tetapi

apabila bilngan besar maka antilog menjadi sangat besar. Akibatnya transformasi ini

jarang dipakai untuk mengembalikan transformasi log ke angkatan semula. Untuk

angkatan yang menjurai ke bawah pangkat dua atau tiga biasanya sudah memadai.

13

Sebaliknya anda biasakan membuat lebih dari satu transformasi untuk dipilh mana yang

lebih baik. Telah diterangkan bahwa transformasi yang berbeda memberikan pengaruh

yang berbeda. Berturut-turut akan dibicarakan pemilihan transformasi untuk satu

angkatan, kemudian untuk beberapa angkatan yang berkaitan.

Transformasi Untuk Satu Angkatan

Tujuan transformasi jelas yaitu membuat sedekat mungkin dengan bentuk standar

yaitu puncak tunggal, simetris, mengecil dengan mulus di kedua sisinya. Anda harus

ingat bahwa tengah dari data lebih penting dari yang lain.

Jadi kalau ada dua transformasi, pertama-tama diperhatikan bagian tengahnya.

Bila bagian tengah sama-sama simetris, diperhatikan bagian di luar kuartil. Seperti

contoh di muka logaritma dan −1x

sama-sama mempunyai bagian tengah simetris.

Apabila diperhatikan bagian luar, logaritma tampak lebih baik (karena ekstrim atas dan

bawah terletak simetris terhadap median), sehingga logaritma terpilih menjadi

transformasi yang paling cocok. Apabila transformasi yang dipilih tidak cocok maka

cara coba-coba ini akan sangat memakan waktu. Beruntungkah Tukey memberikan

suatu informasi yang merupakan petunjuk pemilihan transformasi yang unggul yang

disebut “Tangga Transformasi”, disajikan dalam Tabel 11.

Tabel 11.Tangga Transformasi

−1

x2

lebihkuat

−1x

log x

sedang

xbentuk tetap

x2 x3

sedangantilog xlebihkuat

mengoreksi juaraian ke atas mengoreksi juaraian ke bawah

Berdasarkan tangga transformasi tampak bahwa x3 lebih kuat daripada x2.

Semakin tinggi pangkat dari bilangan x yang lebih besar semakin disebarkan, sehingga

jelas transformasi ini cocok untuk mengoreksi juraian ke bawah. Cobalah anda

perhatikan transformasi yang terletak disebelah kiri x pada tangga transformasi.

14

Cocokan dengan suatu contoh, apakah betul transformasi tersebut dapat mengoreksi

juarian ke atas.

Bila nasib anda mujur transformasi yang cocok dapat ditentukan dengan cepat.

Bila nasib anda kurang mujur, maka anda harus melakukan transformasi berkali-kali

untuk mendapatkan yang cocok. Mungkin meskipun sudah ada pertolongan tangga

transformasi anda masih merasa keberatan, karena harus menghitung transformasi setiap

observasi dalam angkatan berkali-kali.

Hal ini dapat diatasi, bila anda mengingat kembali diagram kotak dan titik yang

hanya membutuhkan ringkasan lima angka untuk mengkonstruksinya. Dari diagram

kotak dan titik, anda dapat melihat apakah simetri atau tidak. Jadi yang akan anda

kerjakan adalah transformasi untuk ringkasan lima angka, kemudian mengamati

diagram kotak dan titiknya. Bila transformasi belum sesuai dicoba transformasi yang

lain untuk ringkasan lima angka, demikian seterusnya sampai didapat transformasi yang

unggul. Dengan demikian pekerjaan jauh lebih sedikit terutama untuk angkatan yang

besar.

Tabel 12. Transformasi Penduduk Kanada

Kanada

Akar

Log −1/√ x

2,44 1,560,3

9 -0,6

3,23 1,80,5

1 -0,6

3,69 1,920,5

7 -0,5

4,32 2,080,6

4 -0,5

4,83 2,20,6

8 -0,5

5,37 2,320,7

3 -0,4

7,21 2,690,8

6 -0,4

8,79 2,960,9

4 -0,3

15

10,38 3,221,0

2 -0,3

11,51 3,391,0

6 -0,3

14,01 3,741,1

5 -0,3

18,24 4,271,2

6 -0,2

Gambar 4 memperlihatkan diagram kotak dan titik untuk beberapa transformasi

dari angkatan dalam Tabel 12. Terlihat bahwa angkatan asli menjurai ke atas. Akar

pangkat duanya (√ x ) lebih simetris daripada angkatan semula tapi masih menjurai ke

atas. Kebalikan negarif akar pangkat duanya (−1

√x ) sedikit menjuarai ke bawah.

Logaritma membuat angkatan menjadi simetris (lebih simetris dibandingakan √ x dan

−1

√x ). Jadi transformasi √ x mengoreksi sedang, −1

√x mengoreksi berlebihan, sedang

logaritma tepat mengoreksi juraian ke atas.

Gambar 4. Diagram Kotak dan Titik Transformasi Perumahan

16

Jadi menggunakan ringkasan lima angka lewat diagram kotak dan titik

memberikan hasil yang sama. Dengan diagram kotak dan titik beserta tangga

transformasi, transformasi mudah dilakukan. Baru setelah tranformasi yang unggul

diperoleh, semua observasi dihitung tranformasinya. Kadang-kadang ditemui kasus-

kasus antara. Misalnya x2 kurang mengoreksi, sedang x3 mengoreksi berlebihan. Anda

bisa saja menggunakan x2,32 tetapi hal ini tidak begitu diperlukan, karena terlalu banyak

pekerjaan. Anda cukup memilih yang sederhana atau masuk akal asal angkatan tidak

terlalu jauh dari simetri.

17