TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFFPADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA

Oleh:

Azico Sudhagamaazico.sudhagama@yahoo.co.uk

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Matematika

Dosen Pembimbing: Rizky Rosjanuardi & Isnie Yusnitha

Abstrak

Aljabar-C ¿ telah banyak dimodelkan melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997) menyatakan bahwa unit space dari groupoid G merupakan ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga E. Webster (2010) mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga. Pada tulisan ini dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi topologi pada

ruang E∞ yang merupakan subruang dari topologi produk ∏N

E1. Dijelaskan pula

basis dari ruang topologi E∞.

Kata Kunci: Ruang Lintasan Tak Hingga, Graf Berarah Baris-Berhingga,

Himpunan Silinder, Topologi Kompak Lokal Hausdorff.

Abstract

A C ¿-algebra can be modeled using graph and groupoid approach. According to Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997), unit space of groupoid G is the infinite path space E∞ of row-finite directed graph E. Furthermore, Webster (2010) study how to construct locally compact Hausdorff on infinite path space E∞ of row-finite directed graph. In this paper, we study how to construct topology on space E∞ which is

subspace of product topology ∏N

E1. Moreover, we will explain basis of topological

space E∞.

Keyword: Infinite Path Space, Row-Finite Directed Graph, Cylinder Set,

Locally Compact Hausdorff Topology.

1. Pendahuluan

Graf berarah E=(E0 , E1 , r , s) adalah obyek kombinatorial yang terdiri dari titik

dan sisi. Sisi-sisinya berorientasi menghubungkan sepasang titik. Lintasan berhingga

E¿ dari graf berarah baris-berhingga E merupakan gabungan dari lintasan En dimana

μ=μ1… μn sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk 1 ≤i ≤ n−1. Sedangkan lintasan

tak hingga E∞ dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn … sedemikian

sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk i>1.

Ruang lintasan dari graf berarah memainkan peranan penting dalam studi aljabar-

C ¿. Hal ini terjadi karena aljabar-C ¿ telah berkembang dan banyak dimodelkan

melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn dan Renault (1997)

menyatakan bahwa unit space dari groupoid G merupakan ruang lintasan tak hingga

E∞ dari graf berarah baris-berhingga E. Beberapa tahun kemudian, Webster (2010)

mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal

Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah baris-berhingga E.

2. Konsep Dasar Topologi

Misal X suatu himpunan dari obyek-obyek yang disebut titik-titik dari X .

Topologi di X merupakan koleksi tak kosong

τ⊂2X

dari subhimpunan-subhimpunan di X , yang memenuhi empat aksioma berikut:

(i) himpunan ∅ adalah himpunan buka,

(ii) himpunan X sendiri adalah himpunan buka,

(iii) gabungan dari sembarang keluarga himpunan-himpunan buka adalah

himpunan buka,

(iv) irisan berhingga dari himpunan-himpunan buka adalah himpunan buka.

Basis dari topologi τ di X adalah subkoleksi β dari τ sedemikian sehingga setiap

himpunan buka U ∈ τ merupakan gabungan dari beberapa himpunan (buka) di β.

Dengan kata lain, untuk setiap U ∈ τ dan untuk setiap titik x∈U , terdapat V ∈β

sedemikian sehingga x∈V ⊂U .

Misalkan X dan Y ruang topologi. Fungsi f : X → Y dikatakan kontinu jika untuk

setiap subhimpunan buka V dari Y , himpunan f−1(V ) merupakan subhimpunan

buka dari X .

Teorema 2.1[1] Jika f : X → Y merupakan fungsi dari ruang topologi X ke ruang

topologi Y dengan basis dan sub-basis yang diberikan pada topologinya, maka

pernyataan berikut ekuivalen

(i) Fungsi f : X → Y merupakan fungsi kontinu

(ii) Pra-peta f−1(U ) dari setiap himpunan buka U di Y adalah buka di X .

(iii) Pra-peta f−1(V ) dari setiap basic open set V di Y adalah buka di X .

(iv) Pra-peta f−1(W ) dari setiap sub-basic open set W di Y adalah buka di X .

Diberikan X dan Y merupakan ruang topologi. Misal f : X → Y merupakan fungsi

bijeksi. Jika fungsi f dan fungsi invers f−1:Y → X kontinu, maka f disebut

homeomorfisma. Lebih lanjut, X dan Y dikatakan homeomorfik atau ekuivalen

secara topologi, bila terdapat sebuah homeomorfisma f : X → Y .

Ruang topologi X disebut ruang Hausdorff bila untuk setiap dua titik berbeda

dari X memiliki persekitaran-persekitaran yang saling lepas. Dengan kata lain,

jika a dan b merupakan dua titik yang berbeda dari X , maka terdapat himpunan

buka U dan V di X , sedemikian sehingga a∈U , b∈V , dan U ∩V=∅ .

Proposisi 2.2[1] Setiap subruang E dari ruang Hausdorff X adalah ruang

Hausdorff.

Proposisi 2.3[1] Produk topologi X dari koleksi ruang-ruang Hausdorff

{Xμ ; μ∈M } adalah ruang Hausdorff.

Diberikan X ruang topologi. Ruang X dikatakan kompak jika setiap cover buka

dari X memiliki berhingga subcover.

Proposisi 2.4[1] Setiap himpunan tutup K di ruang kompak X adalah kompak.

Akibat 2.5[1] Setiap himpunan kompak K di ruang Hausdorff X adalah tutup.

Proposisi 2.6[1] Diberikan f : X → Y merupakan fungsi kontinu bijektif. Jika X

adalah ruang kompak dan Y ruang Hausdorff, maka f merupakan

homeomorfisma.

Teorema 2.7[1] Produk topologi dari keluarga ruang-ruang kompak adalah

kompak.

Ruang topologi X dikatakan kompak lokal pada titik p∈X jika p memiliki

setidaknya satu persekitaran kompak di X . Jika X kompak lokal pada setiap

titiknya, maka X disebut ruang kompak lokal.

Basis lokal atau persekitaran basis dari ruang topologi X pada titik p∈X ,

merupakan koleksi β dari persekitaran-persekitaran p di X sedemikian sehingga

setiap persekitaran dari p di X memuat anggota dari β.

Ruang topologi X dikatakan memenuhi aksioma keterhitungan pertama (first

axiom of countability) jika X memiliki basis lokal yang terhitung disetiap titik-

titiknya.

Teorema 2.8[4] Diberikan X merupakan ruang topologi, misalkan U ⊂X . Jika

terdapat barisan dari titik-titik di U yang konvergen ke p, maka p∈U ; berlaku

kebalikan jika X memenuhi aksioma keterhitungan pertama.

3. Graf Berarah Baris-Berhingga

…μ1 μ2 μ3 μn

Sebuah graf berarah E terdiri dari pasangan

(i) E0 merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut

titik.

(ii) E1 merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut

sisi.

(iii) r , s : E1→ E0 merupakan dua fungsi yang disebut fungsi range dan source,

∀ e∈ E1, s(e) merupakan source dari e dan r (e ) merupakan range dari e.

(iv) Jika s (e )=v dan r (e )=w , e adalah sebuah sisi dari v ke w .

Sebuah graf berarah E disebut baris-berhingga, jika setiap titiknya menerima

paling banyak berhingga sisi, yaitu, dimana r−1 (v )≔{e∈E1;r (e )=v } adalah

himpunan berhingga untuk setiap v∈E0.

Produk dari graf berarah E dan F adalah graf

E × F=( E0 × F0 , ( E1× F0 )∪ ( E0 × F1 ) ,r × , s×), dimana r× dan s× didefinisikan

sebagai berikut:

Untuk setiap e∈ E1 , f ∈F1 , u∈E0, v∈F0 ,

r× ( e , v )=(r E (e ) , v ) r× (u , f )=(u , r F (f ) )s× ( e , v )=(sE ( e ) , v ) s× (u , f )=(u , sF (f ) )

Lintasan dengan panjang n dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn

dari sisi-sisi di E sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk 1 ≤i ≤ n−1.

Selanjutnya dituliskan |μ|=n untuk panjang dari μ. Himpunan En merupakan

himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang n. En dapat diilustrasikan

sebagai berikut

Lintasan tak hingga E∞ dari graf berarah E merupakan barisan μ=μ1… μn …

sedemikian sehingga s ( μi )=r (μi+1) untuk i>1.

Untuk μ∈E ¿, kita definisikan himpunan silinder dari μ oleh

Z ( μ )≔ {ν∈ E¿∪E∞ ; ν=μν ' } .

Himpunan silinder dari lintasan μ adalah lintasan ν yang berada di E¿∪E∞,

dimana μ merupakan faktor dari ν.

4. Topologi Kompak Lokal Hausdorff pada Ruang Lintasan Tak Hingga

Lemma 4.1[6] Jika E graf berarah baris-berhingga, maka {Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿}

adalah basis untuk subruang topologi pada E∞ yang diwariskan dari ∏N

E1.

Bukti:

Untuk barisan berhingga G=(g1 , g2 , …, gN) unsur-unsur dari E1, definisikan

Z (G )≔{( em )m=1∞ ∈∏

NE1 ;en=gn untuk 1≤ n ≤ N }.

Karena E1 membawa topologi diskrit, keluarga

{Z (G );G merupakan barisan berhinggadi E1 }

merupakan basis dari topologi produk ∏N

E1.

Karena Z (G ) ∩ E∞ ≠∅ jika dan hanya jika g1 …gN∈ E¿, himpunan-himpunan

{Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿} membentuk basis untuk subruang topologi pada E∞.

Lemma 4.2[6] Untuk setiap n∈N . Jika En⊂E1 berhingga, maka produk topologi

pada ∏n∈N

En bersesuaian dengan topologi relatif pada ∏n∈N

En yang diwariskan

dari ∏N

E1.

Bukti

Notasikan ∏n∈N

En dengan X .

Misalkan τ1 merupakan topologi produk pada X , misalkan τ 2 merupakan topologi

relatif pada X yang diwariskan dari ∏N

E1, dan misalkan juga Φ merupakan

pemetaan identitas pada X .

Selanjutnya, berdasarkan Proposisi 2.6, akan ditunjukkan bahwa

Φ : ( X , τ1 )→( X , τ2)

merupakan homeomorfisma.

Karena En merupakan subhimpunan berhingga dari E1, Teorema 2.7

mengakibatkan bahwa τ1 adalah ruang kompak.

Selanjutnya, karena E1 membawa topologi diskrit, dan karena setiap ruang diskrit

merupakan ruang Hausdorff, maka E1 merupakan ruang Hausdorff. Lebih lanjut,

berdasarkan Proposisi 2.2 dan Proposisi 2.3, maka τ 2 merupakan topologi

Hausdorff.

Jadi, Φ merupakan bijeksi dari ruang kompak ke ruang Hausdorff. Oleh karena

itu, cukup ditunjukkan bahwa Φ kontinu.

Misal V=Z (G) merupakan basic open set di ∏N

E1.

Jika V ∩ X=∅ , maka Φ−1 (V ∩ X )=∅ buka di (X , τ1).

Misalkan bahwa V ∩ X ≠∅ .

Maka, berdasarkan Teorema 2.1 (iii)

Φ−1 (V ∩ X )={(e i)i=1∞ ∈ X ;e i=giuntuk i≤ N }

merupakan basic open set di (X , τ1).∎

Karena Φ merupakan homemorfisma, maka (X , τ2) merupakan topologi kompak.

Teorema 4.3[6] E∞ merupakan ruang kompak lokal Hausdorff.

Bukti:

Untuk melihat bahwa E∞ ruang kompak lokal, akan ditunjukkan bahwa basic

open sets dari basis Z ( μ ) ∩ E∞ adalah kompak.

Pertama, akan dikonstruksikan himpunan X μ untuk setiap μ dan tunjukkan bahwa

X μ adalah ruang kompak di ∏N

E1. Selanjutnya, berdasarkan Proposisi 2.4, akan

ditunjukkan bahwa Z ( μ ) ∩ E∞ tutup di X μ.

Selanjutnya tetapkan μ∈E ¿, dan untuk setiap n∈N , definisikan

En≔{ {μn }{e∈ E1 ;s ( μ ) En−|μ|−1r (e )≠∅ }

,untuk 1≤ n ≤|μ|,untuk n>|μ|

Karena E merupakan graf berarah baris-berhingga, akibatnya En berhingga untuk

setiap n∈N . Oleh karena itu ∏n∈N

En merupakan ruang kompak.

Berdasarkan Lemma 4.2, X μ≔∏n∈N

En dengan topologi relatif yang diwariskan

dari ∏N

E1 juga ruang kompak. Karena Z ( μ ) ∩ E∞⊂X μ, cukup ditunjukkan

bahwa Z ( μ ) ∩ E∞ tutup.

Berdasarkan definisi graf berarah dan aksioma keterhitungan pertama, dan

dengan menggunakan Teorema 2.8, kita dapat menggunakan barisan.

Misalkan (λn)n∈N merupakan barisan di Z ( μ ) ∩ E∞ yang konvergen ke λ∈ Xμ,

artinya λ in→ λi untuk setiap i∈N . Akan ditunjukkan bahwa λ∈Z (μ )∩ E∞.

Untuk setiap j∈N , diperoleh λ jn→ λ j, sehingga terdapat M j sedemikian sehingga

n ≥ M j⇒ λ jn=λ j.

Kemudian tetapkan j∈N . Jika P j=maks {M j , M j+ 1 }, maka n ≥ P j⇒ λ jn=λ j dan

λ j+1n =λ j+1.

Ini mengakibatkan s( λ¿¿ j)=s( λ¿¿ jn)=r ( λ j+1n )=r (λ j+1)¿¿.

Karena ini benar untuk semua j∈N , maka λ merupakan lintasan di E dan oleh

karena itu λ∈Z (μ )∩ E∞.

Akibatnya {Z (μ )∩ E∞ ;μ∈ E¿} merupakan basis kompak untuk E∞, dan oleh

karena itu E∞ merupakan ruang kompak lokal.

Referensi

[1] Hu, Sze-Tsen. (1969). Elements of General Topology, Third Edition. San

Fransisco: Holden-Day, Inc.

[2] Johnston, A. dan Reynolds, A. (2009). C ¿-Algebras of Graph Products. Dalam

Research Experiences for Undergraduates, Canisius College.

[3] Kumjian, Pask, Raeburn, Renault. (1997). Graphs, Groupoids and Cuntz-Krieger

Algebras. Dalam J. Func. Anal. 144, 505-541.

[4] Munkres, J.R. (1975). Topology, Second Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

[5] Raeburn, I. (2005). Graph Algebras. Rhode Island: American Mathematical

Society.

[6] Webster, S.B. (2010). Directed Graphs and K-graphs: Topology of The Path

Space and How It Manifests In The Associated C ¿-Algebra. Tesis Doktor School

of Mathematics and Applied Statistics, University Wollongong: tidak diterbitkan.