rangkum topologi
TRANSCRIPT
ATURLAH DUNIAMUSebelum
DUNIA MENGATURMU
Pengantar Topologi
1
BAB IHIMPUNAN
1.1. HimpunanHimpunan atau set adalah kumpulan dari objek-objek yang
didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan disebut sebagai anggota atau elemen atau unsur dari himpunan.Himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, C,….. Sedangkan anggota himpunan dengan huruf kecil a,b,c,….. Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a A , sedangkan pernyataan “b bukan anggota A” ditulis b AAda beberapa cara menuliskan himpunan yaitu :
Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar anggota-anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya A = {a,b,c,d}, N = {1,2,3,…..}, Z = {…..,-2,-1,0,1,2,…..}
2. Menyebutkan atau mendefinisikan persyaratan keanggotaan himpunan, misalnya N = {n/n bilangan asli}, I = {x/ 0 x 1, x bilangan riil},B = {y/y=2n, nN}
3. Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana. Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn.
A = {a,b,c,d}
Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan
Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.
Contoh 1.1. :A = {a,b,c,b,d,e} himpunan A tersebut hanya mempunyai lima anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.
Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol n(A), sehingga pada contoh 1.1 tesebut n(A) = 5.
1.2. Himpunan BagianHimpunan A disebut himpunan bagian atau subset dari B jika
dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi , sehingga pernyataan “A himpunan bagian dari B” ditulis A B, dan jika “A bukan himpunan bagian dari C” ditulis A C. Secara simbolik ditulis
A⊂B⇔∀ x∈ A→ x∈B
Simbol “⇔ ” menyatakan biimplikasi yang dibaca “Jika dan hanya jika“.Pernyataan A⊂B dapat ditulis B⊃ A dibaca B memuat A atau dikatakan B superset A.
Contoh 1.2. :1. Diketahui N = {1,2,3,.....}, G = {1,3,5,.....}, dan P =
{2,3,5,7,....}, maka G⊂N , N⊃P dan G⊄P2. Jika N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q
himpunan bilangan rasional, R himpunan bilangan riil, dan K
himpunan bilangan komplek maka N⊂Z⊂Q⊂R⊂K
Dalam Diagram Venn A⊂Bdigambarkan bahwa A berada dalam B,
sebagai berikut Gambar 2 : Diagram Venn A⊂B
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap anggota B juga merupakan anggota A. Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh bahwa dua himpunan A dan B sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika memenuhi A ⊂ B dan B⊂A. Secara simbolik dapat ditulis
A . a . b
. c .
d
B A A A
2
A=B⇔ A⊂B∧B⊂ A
Dalam hal A⊂B, tetapi A B dikatakan A himpunan bagian murni
atau proper subset B, yaitu ∃ x∈B sedemikian hingga x∉ A
Contoh 1.3. :
Jika A={x / x2+3 x−4=0 , x∈R} dimana R himpunan bilangan riil, dan B = {1,4}, maka A = B. Sedangkan B merupakan himpunan bagian sejati atau proper subset dari N dimana N himpunan bilangan asli.
Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau comparable jika memenuhi salah satu A B atau B A. Misalnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan.
Teorema 1.1. :Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka :(i) A⊂ A (ii) Jika A⊂B danB⊂ A maka A=B
(iii) Jika A⊂B dan B⊂C maka A⊂C
1.3. Himpunan Kosong dan Semesta.Himpunan kosong atau disebut void set dinotasikan dengan
atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dalam arti jika persyaratan keanggotaan himpunan dikenakan maka tidak ada obyek yang memenuhinya.
Contoh 1.4. :
Misalnya {x /x2<0 , x∈R} adalah himpunan kosong karena
tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif.
Proposisi 1.1. : Æ merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan
termasuk himpunan kosong itu sendiri.
Hal ini bisa kita buktikan secara tidak langsung sebagai berikut : Misalkan A dimana A sebarang himpunan, tentunya harus ada anggota yang bukan anggota A. Padahal tidak memiliki anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa A.
Himpunan semesta atau universe ditulis dengan notasi S adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil R.
Himpunan berhingga atau finite kita definisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu misalnya ada n anggota dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan himpunan tak berhingga atau infinite.Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut himpunan singelton.
Contoh 1.5. :
1. A = {a,b,c,d}, B={x / x2=4 , x∈R }, dan C = {1,2,3,.....100} merupakan himpunan berhingga.
2. N = {1,2,3,.....}, I={x /−1≤x≤1 , x∈R} dan Z = {.....,-2,-1,0,1,2,.....} merupakan himpunan tak berhingga.
3. C = {c/ c adalah bilangan prima genap} merupakan singelton karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 saja.
1.4. Kelas Himpunan dan Himpunan Kuasa Kelas himpunan atau juga disebut keluarga himpunan atau
famili himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya himpunan. Kelas himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar latin seperti A,B, .... Sedangkan anggota kelas himpunan menggunakan huruf besar seperti A, B, ..... sebagai notasi himpunan biasa.
Contoh 1.6. :
3
1. Himpunan garis-garis, dimana garis merupakan himpunan titik-titik
2. A = {{1,2},{2},{3,4,5}}. Di sini {2}∈A tetapi 2 ∉A
Jika A sebarang himpunan, himpunan dari semua himpunan bagian dari A ditulis dengan P (A) atau sering ditulis 2A juga merupakan kelas himpunan yang disebut himpunan kuasa atau power set dari A.
Contoh 1.7. :Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah 2A = {, {a},{b},[c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
Istilah kelas bagian atau subclass mengandung pengertian yang sama dengan himpunan bagian atau subset pada himpunan. Dari contoh 1.7. di atas B = {{a,b},{a,c},{b,c}} 2A
Secara induktif kita bisa menunjukkan jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2n
. Untuk memudahkan pemahaman hal tersebut bisa dilihat tabel berikut :
Himpunan A
Banyak Anggota
n(A)
Kelas Himpunan Bagian 2A
Banyak Anggota Kelas Himpunan
Bagian n(2A) 0 {} 1 = 20
{a} 1 {,{a}} 2 = 21
{a,b} 2 {,{a},{b},{a,b}} 4 = 22
{a,b,c} 3 {,{a},{b},[c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
8 = 23
….. …..n 2n
1.5. Operasi Himpunan
Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau beberapa unsur tertentu. Jika operasi berlaku dalam suatu himpunan semesta S yaitu merupakan aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dalam S dari satu atau lebih unsur dalam S. Jika hasil dari suatu operasi termasuk dalam semesta S, maka operasi yang demikian disebut tertutup atau closure. Jika aturan dalam operasi
berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi uner, dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi biner, tiga unsur terner, dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner misalnya operasi ingkaran (dalam logika), tambah satu (dalam bilangan), transpose (dalam matriks), maupun komplemen (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut). Sedangkan operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan, perkalian, pembagian (dalam bilangan), dan, atau (dalam logika), tambah, pengurangan, perkalian (dalam matriks), gabungan, irisan (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut).
Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih himpunan untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan. Bebeberapa operasi yang berlaku dalam himpunan didefinisikan sebagai berikut :
Gabungan atau UnionGabungan dua himpunan A dan B, ditulis AB , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A atau B, secara simbolik ditulis :
AB = {x/xA atau xB}
Gambar 3 : Diagram Venn ABPada gambar AB adalah daerah yang kena arsiran.
2. Irisan atau Interseksi Irisan dua himpunan A dan B, ditulis AB , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A dan B, yaitu :
AB = {x/xA dan xB}
Gambar 4 : Diagram Venn ABPada gambar AB adalah daerah yang kena arsiran dua kali
A B
A B
4
A B
S
A
3. Selisih atau Komplemen RelatifSelisih dua himpunan A dan B, ditulis A-B , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A tetapi bukan unsur B, yaitu :
A-B = {x/xA dan xB}
Gambar 5 : Diagram Venn A-B
Pada gambar A-B adalah daerah yang kena arsiran
4. Komplemen atau Komplemen Mutlak
Komplemen dari himpunan A ditulis A atau AC atau A’ adalah himpunan yang anggota-anggotanya tidak termasuk dalam A, tetapi masih termasuk anggota semesta S yaitu :
Ac = {x/xS dan xA}= S-A
Gambar 6 : Diagram Venn APada gambar Ac adalah daerah yang kena arsiran diluar A tetapi masih berada di dalam S Contoh 1.8. :
1. Jika S = {a,b,c,d, ..... ,x,y,z}A = {a,b,c,d} dan B = { c,d,e,f,g}, maka A a,b,c,d,e,f,g}A B = {c,d}A – B = {a,b}Ac = {e,f,g,h, ....., x,y,z}
2. Dalam semesta N himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,.....} merupakan himpunan bilangan genap maka Bc = {1,3,5,.....}
adalah himpunan bilangan ganjil.
Proposisi 1.2. :1. Himpunan A memuat A-B sebagai himpunan bagian, berarti
A-B A2. Himpunan A-B, AB, dan B-A saling asing, yaitu irisan
setiap dua himpunan tersebut merupakah himpunan kosong.3. Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B,
yaitu A-B = ABc
Beberapa sifat atau teorema berikut merupakan hukum aljabar dalam himpunan.Teorema 1.3. :
HUKUM ALJABAR HIMPUNAN
Hukum Idempoten
1a. A¿ A = A 1b. A¿ A = A
Hukum Assosiatif
2a. (A¿ B)¿ C = A¿ (B¿ C) 2b. (A¿ B) ¿ C = A¿ (B¿ C)
Hukum Komutatif
3a. A¿ B = B¿ A 3b. A¿ B = B¿ C
Hukum Distributif
4a. A¿ (B¿ C) = (A¿ B)¿ (A¿ C)
4b. A¿ (B¿ C) = (A¿ B) ¿ (A¿ C)
Hukum Identitas
5a. A¿Æ = A6a. A¿ S = S
5b. A¿ S = A6b. A¿Æ = Æ
Hukum Komplemen
7a. A¿ Ac = S
8a.
7b. A¿ Ac = Æ
8b. Sc
= Æ, φc = S
5
Hukum De Morgan’s
9a. ( A∪B )c=Ac∩Bc9b. ( A∩B )c=Ac∪Bc
Penomoran dengan menggunakan huruf a dan b dibelakang angka dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam hukum aljabar di atas saling dual, yaitu pernyataan yang diperoleh dengan mempertukarkan ¿ dengan ¿ dan Æ dengan S.Sebagai contoh bahwa dual dari 5a. A¿Æ = A adalah 5b. A¿ S = A.
Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua pernyataan yang saling dual tersebut tidak perlu membuktikan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan menggunakan prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.
Contoh 1.9. :
Buktikan : (A¿ B) ¿ (A¿ Bc) = A !
Bukti :
1. (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A¿ (B¿ Bc
) …………... hukum distributif
2. B¿ Bc= Æ …………………………………... hukum
komplemen
3. Jadi (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A¿Æ .…………...................
substitusi4. A¿ Æ = A ............................................................ hukum
identitas
5. Jadi (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A .........................................
substitusi
Kita tidak perlu membuktikan dualnya, yaitu (A¿ B)¿ (A¿ Bc) =
A, dengan menggunakan prisnsip dual kebenarannya terpenuhi.Dalam prinsip dual tidak melibatkan hubungan subset atau
himpunan bagian, oleh karena itu jika ada pernyataan dengan hubungan A⊂B untuk membuktikannya tidak menggunakan definisi himpunan bagian , jika x∈A maka x∈B, tetapi kita gunakan
hubungan lain seperti dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema 1.4. :Jika A⊂ B berarti : 1. A¿ B = A 4. A¿ B’ = S2. A¿ B = B 5. B’A’3. A¿ B’ = Æ 6. A(B-A)=B
1.6. Operasi Himpunan Yang DiperumumSebelumnya kita definisikan himpunan berindeks yang
digunakan dalam mendefinisikan operasi himpunan yang
diperumum. Himpunan yang dituliskan dengan lambang Ai dinamakan himpunan berindeks, dan i disebut sebagai indeks, dengan I = {i/i∈N, N himpunan bilangan asli} disebut sebagai himpunan indeks.Kelas dari himpunan berindeks ditulis
{A i/ i∈ I}atau {A i}i∈ I atau hanya ditulis {A i}
Contoh 1.10. : Dn = {x/x∈N, x kelipantan dari n∈N}D1 = {1,2,3,4,…..}D2 = {2,4,6,8,…..}D3 = {3,6,9,12,….}….. dan seterusnya
Pada uraian sebelumnya telah didefinisikan operasi gabungan dan irisan tetapi kedua operasi tersebut hanya diterapkan pada dua himpunan. Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih dengan menggunakan sifat assosiatif. Karena A∪(B∪C )=( A∪B )∪C maka selanjutnya operasi gabungan tersebut ditulis dengan menghilangkan tanda kurung, yaitu A∪(B∪C )=( A∪B )∪C=A∪B∪C . Demikian juga untuk
operasi irisan A∩(B∩C )=( A∩B )∩C=A∩B∩C . Jika operasi tersebut dilakukan berulang dengan memperluas sifat assosiatif kepada sejumlah himpunan yang banyaknya berhingga yang termuat
6
dalam kelas himpunan {A i}i∈ I dengan I = {1,2,3,…..,n} maka didefinisikan operasi yang diperumum sebagai berikut :
¿i∈ I A i=¿i=1n A i=A1∪A2∪A3∪.. . ..∪An
intersecti∈ I Ai=intersecti=1n A i=A1∩A2∩A2∩. . .. .∩An
¿i∈ I A i terdiri dari unsur-unsur yang berada pada paling sedikit satu unsur dalam Ai dimana i I, atau lebih singkat ditulis
Sedangkan untuk irisan intersect i∈ I Ai terdiri dari unsur-unsur yang merupakan unsur dari setiap Ai, dimana i I , atau lebih singkat ditulis
intersect i∈ I Ai={x /x∈ Ai ,∀ i∈ I }
Contoh 1.11. :
1. Misalkan A1 = {1,10}, A2 = {2,4,6,10}, A3 = {3,6,9}, A4 =
{4,8}. A5 = {5,6,10}Dan jika I = {2,3,5}, maka
intersect i∈ I Ai=A2∩A3∩A5={6}
2. Misalkan Bn=[0 , 1n ] , n∈N himpunan bilangan asli, maka
intersect i∈N B i={0} dan
intersect i∈N B i=[0,1 ]
Teorema 1.5. :Hukum Distributif yang diperumum
Untuk sebarang kelas himpunan {A i}i∈ I dan sebarang himpunan B,
B∩(∪i∈ I Ai )=¿ i∈ I (B∩A i)B∪( intersect i∈ I A i )=intersect i∉ I (B∪A i )
Teorema 1.6. : Hukum De Morgan’s yang diperumum
Untuk kelas himpunan {A i}i∈ I dari himpunan bagian-himpunan bagian dalam semesta S, maka
i. (∪i∈ I A i)
c=intersect i∈ I Aic
ii. ( intersect i∈ I Ai )
c=¿i∈ I Aic
Teorema 1.7. :Misalkan A sebarang himpunan, untuk setiap pA, Gp himpunan
bagian A yang memuat p sehingga p∈Gp⊂A , maka A=¿{Gp / p∈ A}
Contoh 1.12. :Jika A = {a,b,c}, maka
{Ga}={{a},{a ,b},{a , c }, {a , b , c }}dan ¿{Ga}={a ,b , c }=A
{Gb}={{b},{a ,b},{b , c }, {a , b , c}} dan ¿{Gb}={a ,b , c }=A
{Gc}={{c },{a , c }, {b , c}, {a ,b , c}} dan ¿{Gc}={a ,b , c}=A
Berdasarkan teorema di atas dalam hal A adalah A atau I himpunan φ maka didefinisikan :
1. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dari φ adalah
¿{A /A∈φ }=φ dan intersect {A /A∈φ}=S
2. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dengan himpunan
berindeksnya φ adalah
7
¿i∈ I A i={x /∃ i∈ I , x∈ A i}
¿i∈ I A i=A2∪A3∪A5={2,3,4,5,6,9 , 10}
¿{A i∈ I / I∈φ}=φ dan
intersect {A i∈ I / I∈φ}=S
1.7. PartisiPartisi suatu himpunan adalah kelas himpunan bagian tak
kosong dari suatu himpunan yang memenuhi sifat sebagai berikut :1. Gabungan seluruh himpunan bagian dalam kelas tersebut
merupakan himpunan itu sendiri. 2. Sebarang dua himpunan bagian yang tidak sama dari kelas
tersebut saling asing.Atau dengan kata lain jika himpunannya adalah A maka partisi dari
A adalah kelas himpunan bagian {Bi }i∈ I dari himpunan A yang memenuhi
1. ¿i∈ I Bi=A
dan
2. Untuk sebarang i,j berlaku salah satu Bi=B j atau Bi∩B j=φ
Contoh 1.13. :1. Misalkan A = {1,2,3,.....,9,10}
B1={1,3}, B2={7,8 , 10}, B3={2,5,6 } dan B4={4,9}
Kelas B = {B1 , B2 , B3 , B4 ¿¿ memenuhi sifat sebagai berikut :B1∪B2∪B3∪B4={1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 10}=A dan untuk
sebarang
i,j dimana i,j I = {1,2,3,4} berlaku Bi=B j atau Bi∩B j=φ ,
maka B = {B1 , B2 , B3 , B4 ¿¿ disebut partisi dari A2. Jika N himpunan bilangan asli, B himpunan bilangan genap, dan G
himpunan bilangan gasal maka {B,G} merupakan partisi dari N.
SOAL :1. Buktikan teorema-teorema yang belum dibuktikan.
2. Buktikan
a. (B∪C )∩(C∪A )∩( A∪B)=(B∩C )∪(C∩A )∪( A∩B)
b. ( A−B )∪C=(A∪B )−((B∪C )⇔C=φ
c. ( A∩B )×C=(A×C )∩(B×C )3. Tunjukkan bahwa :
a. A−B=A∩Bc
b. ( A−B )∩(A−C )=( A−(B∪C )=(A−B )−C
4. Jika diketahui dua kelas himpunan {A i} dan {Bi } sedemikian
hingga {A i}⊆{Bi}, tunjukkan bahwa ¿i Ai⊆∪i B i dan
intersect i Ai⊆ intersect i Bi
BAB IIRELASI DAN FUNGSI
2.1. Perkalian Himpunan Sebelum mendefinisikan perkalian himpunan kita definisikan
dulu tentang pasangan berturutan sebagi berikut :
Definisi 2.1. :Pasangan berturutan (a,b) didefinisikan sebagai (a,b) = {{a},{a,b}} dan a disebut komponen pertama sedangkan b disebut komponen kedua.
Dari definisi tersebut terkandung pengertian bahwa suatu pasangan berturutan harus memperhatikan urutan dari komponen-komponennya. Jika letak dari komponennya ditukar maka akan diperoleh pasangan berturutan yang berbeda. Sehingga (a,b) (b,a) dan jika (a,b) = (c,d) maka a = c dan b = d. Hal ini bisa ditunjukkan berdasarkan definisi pasangan berturutan tersebut di atas, yaitu(a,b) = {{a},{a,b}} dan (c,d) = {{c},{c,d}}. Sehingga berdasarkan kesamaan dua himpunan diperoleh {a} = {c} dan diperoleh a = c. Dari {a,b} = {c,d}, karena a = c maka diperoleh b = d.
8
Definisi 2.2. :Untuk sebarang himpuanan A dan B, perkalian himpunan A dengan B ditulis AxB didefinisikan sebagai himpunan pasangan berturutan sebagai berikut :
A x B = {(a,b)/aA dan bB}
Karena pasangan berturutan (a,b) (b,a) , maka pada umumnya perkalian himpunan tidak bersifat komutatif, yaitu A x B B x A, kecuali A = BPerkalian himpunan dengan dirinya sendiri yaitu AxA biasanya
ditulis A2
Proposisi 2.1. :1. Jika himpunan A mempunyai m anggota dan himpunan B
mempunyai n anggota maka perkalian himpunan AxB mempunyai mn anggota.
2. Jika A, B salah satunya himpunan kosong maka AxB juga himpunan kosong.
3. Jika A, B salah satunya himpunan tak hingga dan yang lain tidak kosong maka AxB juga tak hingga
Contoh 2.1. :1. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,2}, maka
AxB = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
2. Jika P = {p,q} maka P2
= {(p,p),(p,q),(q,p),(q,q)}
Himpunan pasangan berturutan dari AxB dapat digambarkan dalam diagram koordinat dengan sumbu koordinat horisontal menyatakan himpunan A dan sumbu koordinat vertikal menyatakan himpunan B. Setiap pasangan berturutan digambarkan sebagai titik dalam bidang koordinat yang merupakan pertemuan garis yang melalui komponen masing-masing.
2 (c,2)
1
a b cGambar 2.1 : Diagram koordinat AxB
Jika R merupakan himpunan bilangan riil , maka
R2={( x , y )/ x , y∈ R}R2
digambarkan dalam bidang koordinat bilangan riil yang disebut ”Bidang Koordinat Cartesius”.Garis bilangan riil R yang horizontal biasanya dinyatakan sebagai sumbu X sedangkan garis bilangan riil yang vertikal dinyatakan
sebagai sumbu Y. Sehingga bidang R2
juga disebut sebagai bidang XY. Sedangkan suatu titik P dinyatakan dengan pasangan berturutan (x,y), seperti gambar berikut :
Y (R vertikal)
y P(x,y)
X (R horizontal) -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4
Gambar 2.2 : Bidang koordiant Cartesius
Perkalian himpunan dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih. Misalnya perkalian himpunan tiga himpunan A, B dan C didefinisikan sebagai berikut :
A×B×C={(a , b , c )/a∈ A ,b∈B , c∈C }
Pasangan berturutan tiga (a,b,c) disebut tripel.Secara umum perkalian n himpunan didefinisikan sebagai berikut :
A1×A2×. .. .×An={(a1 , a2 ,. .. , an) /a1∈ A1 , a2∈ A2 ,. . ., an∈ An}
9
Z
X
Y
0
P(x,y,z)
Pasangan berturutan (a1 , a2 , .. .. . , an ) disebut pasangan berturutan n-tupel.Contoh 2.2. :
1. Misalkan A = {a,b}, B = (1,2,3}, dan C = {p,q}. MakaAxBxC = {(a,1,p),(a,1,q),(a,2,p),(a,2,q),(a,3,p),(a,3,q), (b,1,p),(b,1,q),(b,2,p),(b,2,q),(b,3,p),(b,3,q)}
2. Dalam geometri Euklides untuk menggambarkan ruang berdimensi 3 digunakan tiga sumbu koordinat yaitu sumbu X, Y, dan Z yang masing-masing merupakan garis bilangan riil. Suatu titik dinyatakan sebagai tripel dari komponen-x, komponen-y, dan komponen-z yaitu (x,y,z), seperti gambar berikut :
Gambar 2.3 : Koordinat XYZ atau R3
Teorema 2.1. :Misalkan A,B dan C sebarang himpunan , maka
1. A×(B∪C )=( A×B )∪(A×C )
2. A×(B∩C )=( A×B )∩(A×C )3. Jika A⊂B dan C⊂D maka A×C⊂B×D
2.2. Relasi Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka secara intuitif
relasi dari A ke B didefinisikan sebagai hubungan antara anggota-
anggota himpunan A dengan anggota himpunan B atau pernyataan yang menghubungkan antara anggota A dengan anggota B. Secara simbolik jika x, y secara berturutan mewakili sebagai variabel anggota A dan B maka pernyataan hubungan x dan y dituliskan sebagai P(x,y). Jika a A, dan b B maka P(a,b) menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar atau salah. Misalkan jika A himpunan pembaca buku dan B himpunan buku maka P(x,y) menyatakan “x membaca y”.Dari pengertian di atas secara ringkas suatu relasi R terdiri dari :
1. sebuah himpunan A2. sebuah himpunan B3. suatu kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) adalah benar atau
salah untuk sebarang pasangan berturut (a,b)AxBMaka dapat disebutkan suatu relasi R dari A ke B dengan
R = (A,B,P(x,y))
Selanjutnya jika P(a,b) bernilai benar dikatakan a dihubungkan dengan b karena relasi R atau “a berelasi dengan b” dapat ditulis
dengan aRb atau a R⃗ b atau (a,b)R, sedangkan pernyataan “a
tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b)R, yaitu jika P(a,b) merupakan pernyataan yang bernilai salah.
Relasi juga bisa dipandang sebagai himpunan bagian dari perkalian himpunan. Jika relasi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R , berarti RAxB.Jika A sebarang himpunan, maka Relasi R dari A ke A dinamakan relasi pada A.
Macam-macam relasi pada ADiketahui R relasi pada A, yaitu R : AA, maka :
Relasi Refleksif Relasi R pada A disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri.Atau lebih singkat ditulis :
Rrefleksif (aA) . aRaRelasi Non-refleksif
10
Relasi R pada A disebut non-refleksif jika dan hanya jika tidak setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri.Atau lebih singkat ditulis :
Rnon-refleksif ∀ a∈ A . aRa = (∃a∈ A ). a R aRelasi Ir-refleksifRelasi R pada A disebut ir-refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A tidak berelasi dengan diri sendiri.Atau lebih singkat ditulis :
Rir-refleksif (∀ a∈ A ).a R aRelasi A simetris Relasi R pada A disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap dua anggota A saling berelasi.Atau lebih singkat ditulis :
Rsimetris (a,bA) . aRbbRaRelasi Non-simetrisRelasi R pada A disebut non-simetris jika dan hanya jika tidak setiap dua anggota A saling berelasi.Atau lebih singkat ditulis :
Rnon-simetris (∀ a ,b∈ A ). aRb⇒bRa = (∃a , b∈ A ). aRb∧b R aRelasi a-simetrisRelasi R pada A disebut a-simetris jika dan hanya jika setiap dua anggota A tidak saling berelasi.Atau lebih singkat ditulis :
Ra-simetris (∀ a ,b∈ A ). aRb⇒b R aRelasi Anti SimetrisRelasi R pada A disebut anti-simetris jika dan hanya jika dua anggota A saling berelasi jika keduanya sama.Atau lebih singkat ditulis :
Ranti-simetris (∀ a ,b∈ A ). aRb∧bRa⇒a=bRelasi TransitifRelasi R pada A disebut transitif jika dan hanya jika
Rtransitif (∀ a ,b , c∈ A ) . aRb∧bRc⇒aRcRelasi non-transitifRelasi R pada A disebut non-transitif jika dan hanya jika
Rnon-transitif (∀ a ,b , c∈ A ) . aRb∧bRc⇒aRc =
(∃a , b , c∈ A ) . aRb∧bRc∧a R cRelasi in-transitifRelasi R pada A disebut in-transitif jika dan hanya jika
Rin-transitif (∀ a ,b , c∈ A ) . aRb∧bRc⇒a R cRelasi EkivalenRelasi R pada A disebut ekuivalen jika dan hanya jika R refleksif, simetris dan transitif.
Contoh 2.3. :1. Relasi “sebangun” , “ sejajar” dalam gemetri Euklides adalah
relasi ekivalen, tetapi “tegak lurus” bukan relasi ekivalen karena tidak berisfat refelksif , misalkan garis g tidak tegak lurus garis g.
2. Relasi “=” atau “sama dengan” merupakan relasi ekivalen karena untuk sebarang unsur dalam himpunan memenuhi
(1) a = a (refleksif)(2) a = b maka b = a (simetris)(3) a = b dan b = c maka b = c (transitif)
2.3. FungsiFungsi merupakan relasi yang memetakan setiap anggota
suatu himpunan ke satu dan hanya satu anggota himpunan lainnya. Jadi fungsi merupakan relasi khusus sehingga fungsi merupakan himpunan bagian dari relasi. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B ditulis dengan f : AB atau
Af⃗ BHimpunan A disebut domain atau daerah asal sedangkan himpunan B disebut codomain atau daerah peta.Jika aA dan bB, dan b merupakan pasangan a karena fungsi f maka b disebut nilai fungsi dari a atau b bayangan a dan ditulis b =
f(a) atau af⃗ b.Sedangkan himpunan nilai fungsi f dari setiap anggota A disebut Range f atau daerah hasil f ditulis dengan Rf atau f(A) yaitu :
Jika f : A→B maka Rf = {bB/f(a) = b, aA}
Contoh 2.4. :
11
1. Misalkan A = {a,b,c,d,e} dan B = {p,q,r,s,t}. Fungsi f : AB ditentukan oleh diagram berikut :
A B f
Gambar 2.4. : Fungsi f : A B
Pada gambar, f merukan suatu fungsi dari A ke B dan Rf = {p,q,r,s}
2. f : R R yang dirumuskan oleh f ( x )=x2 merupakan fungsi
pada bilangan riil, maka domain dari f adalah himpunan bilangan riil R itu sendiri, sedangkan Range f adalah
himpunan bilangan riil non negatip atau {x∈R / x≥0}Dua fungsi f : AB dan g : AB adalah sama, ditulis f = g, jika dan hanya jika f(a) = f(b) untuk setiap a,bA
Macam-macam FungsiFungsi Konstan
f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika setiap anggota domain dipetakan ke tepat satu anggota codomain, yaitu
(aA)f(a) = c, dimana c∈B
Fungsi Into dan fungsi OntoSuatu fungsi f : A B disebut fungsi into jika dan hanya jika
ada anggota B yang tidak dipasangkan oleh fungsi f atau bukan nilai fungsi anggota A, tetapi jika semua anggota B dihabiskan oleh fungsi f atau f(A) = B maka f disebut fungsi onto atau surjektif.Secara simbolik ditulis :
f : A→B surjektif jika dan hanya jika (∀b∈B )(∃a∈ A ). f (a )=b
Fungsi satu-satu atau injektif dan korespondensi 1-1 atau bijektif.Suatu fungsi f : A B disebut 1-1 atau injektif jika dan hanya jika setiap anggota A yang berbeda dipetakankan dengan anggota B yang berbeda. Secara simbolik ditulis :
f : A→B injektif jika dan hanya jika (∀ a1 , a2∈ A∧a1≠a2 )(∃b1 , b2∈B ) . f (a1 )=b1∧f ( a2 )=b2⇒b1≠b2
Jika f fungsi injektif dan surjektif maka f disebut fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Komposisi Fungsi Jika diketahui fungsi f : AB dan fungsi g : BC maka
komposisi fungsi f dengan g atau disebut perkalian fungsi f dengan g ditulis g◦f adalah fungsi yang memetakan anggota-anggota himpunan A ke himpunan C , yang didefiniskan oleh
g◦f (a) = g(f(a)), aA
Fungsi Identitas dan fungsi inversFungsi identitas adalah fungsi yang memetakan sebarang
anggota suatu himpunan ke dirinya sendiri. Jika A tidak kosong, maka fungsi identitas pada A ditulis IA : AA, didefiniskan oleh rumus fungsi IA(a) = a, aA.Dengan menggunakan definisi komposisi fungsi, jika diketahui
fungsi f:AB, maka I B∘ f=f ∘I A=f dan jika f fungsi pada A
dan I fungsi identitasnya maka ditulis I ∘ f= f ∘ I=f
Jika f : AB, maka invers fungsi f ditulis f−1
merupakan relasi dari B ke A yang memetakan balik setiap anggota range f ke anggota asal dalam A.
f−1 :B→A dengan definisi f−1(R f )=f−1( f ( A ))=A , dimana
f−1(b )=a ,∀b∈R f
Invers fungsi f belum tentu merupakan fungsi dari B ke A. Tetapi
jika f merupakan fungsi bijeksi maka f−1
merupakan fungsi dari B ke A yang disebut fungsi invers, dan berlaku
abcde
pqrst
12
f−1∘ f =I A dan f ∘ f−1=I B
Dan jika f fungsi pada A maka
f−1∘ f =f ∘f −1=I
Untuk sebarang fungsi bijektif f, jika f mempunyai fungsi invers maka inversnya adalah tunggal .
Ekivalensi Dua HimpunanDefinisi 2.2. :
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen yang ditulis A B jika dan hanya jika ada fungsi bijektif f : A B Dalam himpunan berhingga (finite) pengertian tersebut mempunyai konsekuensi bahwa A B jika dan hanya jika n(A) = n(B). Tetapi hal ini tidak berlaku jika A dan B himpunan tak berhingga (infinite).
Contoh 2.5. :1. A = {a,b,c} dan B = {1,2,3}, keduanya ekuivalen atau A B
karena ada frungsi bijeksi dari A ke B misalnya fungsi {(a,3),(b,1),(c,2)}. Mungkin masih ada bentuk-bentuk lain fungsi bijeksi dari A ke B.
2. A = {1,2,3,.........} dan G = {1,3,5,.......}, maka ada fungsi bijeksi dari A ke G yang dirumuskan dengan f : n 2n - 1
3. I = {x/ -1x≤1}=[-1,1] dan R = {x/-x}.
Jika diketahui f : x→ x
1−|x| maka bisa dibuktikan bahwa I R
Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak BerhinggaPengertian himpunan berhingga atau finite dan tak hingga
atau infinite pada uraian sebelumnya ada keterbatasannya. Untuk itu kita perlu mendefinisikan secara luas dengan menggunakan ekuivalensi himpunan.Jika An = {1,2,3,..........n} dengan n bilangan asli, didefinisikan himpunan berhingga sebagai berikut :
Definisi 2.3. :Himpunan H disebut himpunan berhingga atau finite jika dan
hanya jika H = Æ atau ada himpunan An sedemikian hingga
An dimana An={1,2,3 ,. . .. , n} untuk suatu n bailangan asli.Berdasarkan definisi tersebut di atas bisa dikatakan suatu himpunan finite jika banyaknya anggota himpunan tersebut merupakan bilangan cacah tertentu.
Contoh 2.6. :Himpunan Berhingga
1. B = {p,q,r,s,t} adalah contoh himpunan finite karena n(A) = 4 atau B A4
2. C = {a/a prima dan 2 a < 30}
Himpunan Tak Berhingga1. G = {1,3,5,7,…….}2. P = {x/x bilangan Prima}3. R = Himpunan bilangan riil4. I = {x/ -1 x ≤1}=[-1,1]
SOAL :
1. Tunjukkan bahwa {a}×{a}={{{a}}}
2. Tunjukkan bahwa jika f : X→Y sebarang fungsi, maka
a. f (A−B )⊃ f (A )−f (B )
b. f−1( f (A ))⊃ A
c. f ( f−1 (B ))⊂B
d. f−1(C−D )=f −1(C )− f−1(D ) untuk setiap himpunan
bagian C, D dari Y
3. Tunjukkan bahwa untuk suatu fungsi f : X→Y dan B ={Bi } adalah kelas himpunan bagian dari Y, bahwa
a. f−1(∪B∈ B B)=¿B∈ B(B )
b. f−1( intersect B∈B B )=intersect B∈B( f −1(B)
13
4. Jika X himpunan yang tidak kosong dan f fungsi bijeksi dari X ke dirinya sendiri, tunjukkan bahwa g◦f juga fungsi bijeksi
ke dirinya sendiri dan ( g∘ f )−1= f−1∘g−1
5. Diketahui B himpunan semua bilangan bulat, dan m merupakan bilangan bulat positip. Dua bilangan bulat a dan b
dikatakan kongruen modulo m dengan simbol a≡b (mod m)jika a – b habis dibagi oleh m, yaitu jika a – b merupakan kelipatan bulat dari m. Tunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekivalen. Nyatakan himpunan ekivalennya dan berapa banyaknya himpunan ekivalen yang berbeda.
6. Dalam himpunan bilangan riil R, diketahui x~y berarti bahwa x – y merupakan bilangan bulat. Tunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekivalen dan nyatakan himpunan ekivalennya.
BAB IIIKARDINALITAS
3.1. Kardinalitas Untuk himpunan berhingga cardinalitas atau bilangan cardinal
suatu himpunan diartikan sebagai banyaknya anggota suatu himpunan. Sebelumnya juga telah diuraikan, jika diketahui suatu himpunan A maka banyaknya anggota A ditulis dengan n(A) dan jika A finit atau berhingga maka n(A) merupakan bilangan cacah tertentu. Dengan demikian lambang n(A) tersebut juga digunakan untuk menyatakan kardinalitas himpunan A. Selain itu kardinalitas A juga
bisa ditulis dengan notasi lain seperti #(A) atau A atau |A|. Berdasarkan pengertian tersebut dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen, yaitu A jika dan hanya jika banyaknya himpunan atau kardinalitas A sama dengan kardinalitas B, ditulis n(A) = n(B)
Untuk himpunan infinit atau takhingga, jika pengertian kardinalitas adalah banyaknya anggota suatu himpunan, pengertian demikian menjadi kabur karena kita tidak bisa mencacah atau menentukan bilangan cacah tertentu yang merupakan banyak anggota himpunan infinit tersebut. Untuk itu diperlukan definisi lain sebagai definisi kerja .
Definisi 3.1. :Dua himpunan yang kardinalitasnya sama disebut juga sebagai dua himpunan yang ekuipotent. Sehingga secara simbolik dapat ditulis #(A) = #(B) A
Berdasarkan pengertian ekuivalensi himpunan, berarti harus ada fungsi bijeksi dari A ke B, dengan demikian #(A) = #(B) ada fungsi bijeksi dari A ke B.
Proposisi 3.1 . :Relasi di dalam kelas himpunan yang didefinisikan oleh AB merupakan relasi ekuivalen.
Kebenaran pernyataan tersebut dapat ditunjukkan dengan keberlakuan sifat refleksif, simetris, dan transitif pada ekivalensi himpunan.Contoh 3.1. :
1. Jika N = {1,2,3,.....} merupakan himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,......} maka kedua himpunan tersebut mempunyai kardinalitas sama yaitu #(N) = #(B) karena ada fungsi bijeksi dari N ke B dengan rumus funsi f(n) = 2n, untuk setiap nN.
2. Jika R himpunan bilangan riil yaitu R = {x/-x} dan interval J = {x/ -1x<1} = (-1,1), maka #(R) = #(J) karena dapat dibuktikan bahwa J R, yaitu ada fungsi bijeksi
f : x→ x1−|x|
3.2. Himpunan Denumerabel dan KontabelJika N menyatakan himpunan bilangan asli yaitu N =
{1,2,3,.....} maka kardinalitas N atau #(N) ditulis khusus dengan
lambang ℵo dibaca aleph null. Sehingga kardinalitas himpunan
bilangan asli N adalah #(N) = ℵo . Karena himpunan bilangan genap
B = {2,4,6,.....}N maka diperoleh #(B) = #(N) = ℵo .
Definisi 3.2. :1. Sebarang himpunan X disebut denumerabel dan mempunyai
14
kardinalitas ℵo jika dan hanya jika X ekuivalen dengan himpunan bilangan asli N, yaitu X N.
2. Suatu himpunan disebut kontabel jika dan hanya jika himpunan tersebut berhingga atau denumerabel.
3. Suatu himpunan dikatakan non-denumerabel jika dan hanya jika himpunan tersebut tak berhingga dan tidak ekivalen dengan himpunan bilangan asli N, berarti himpunan tersebut tidak kontabel.
Contoh 3.2. :
1. Himpunan dari barisan tak hingga a1 , a2 , a3 ,. . .. .. dari unsur-unsur yang berbeda merupakan himpunan yang denumerabel, karena barisan tersebsut terdapat fungsi bijeksi dari domain
himpunan bilangan asli N dengan rumus f (n)=an .
2. Himpunan-himpunan {1, 12, 1
3, 1
4, . .. .. , 1
n, . .. ..},
{1,−2,3 ,−4,5 ,. . .. . ,(−1 )n−1n , . .. ..}, dan himpunan
{(1,1) ,( 4,8) ,(9 , 27 ), . .. .. ,(n2 , n3 ) ,. .. . .} juga himpunan denumerabel.
3. Hasil kali himpunan N×N dengan N himpunan bilangan asli dengan urutan seperti ditunjukkan oleh arah anak panah pada diagram berikut :
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ......
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ......
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ......
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) .......
....... ....... ....... ....... ....... ......
Barisan tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan tak hingga
N×N = {(1,1),(2,1),(1,2),(1,3),(2,2),.........},
sehingga himpunan N×N juga menunjukkan himpunan denumerabel.
Berikut diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan himpunan denumerabel dan kontabel.
Teorema 3.1. :1. Tiap-tiap himpunan tak hingga memuat himpunan bagian
yang denumerabel2. Himpunan bagian dari himpunan denumerabel adalah
himpunan berhingga atau himpunan denumerabel.Akibat dari teorema tersebut adalah bahwa himpunan bagian dari himpunan yang kontabel juga himpunan yang kontabel.
3. Jika {A1 , A2 , A3 , . .. . ..}merupakan kelas himpunan denumerabel yang saling asing dari himpunan yang denumerabel, maka
¿i=1∞ A i juga merupakan himpunan yang denumerabel.
Akibat dari teorema tersebut adalah jika {A i}i∈ I merupakan kelas himpunan kontabel dari himpunan yang kontabel maka ¿i∈ I A i juga merupakan himpunan kontabel
Contoh 3.3. :
Misalkan Q+
merupakan himpunan bilangan rasional positip,
yaitu Q+={x / x= p
q, p ,q∈N }
, dan Q−
merupakan himpunan bilangan rasional negatip yaitu
Q−={x / x=− pq
, p , q∈N }, sedangkan Q merupakah
himpunan bilangan rasional, yaitu
15
Q={x / x= pq
, p ,q∈Z ,q≠0} dimana Z merupakan
himpunan bilangan bulat, atau dengan kata lain
Q=Q−∪{0}∪Q+
Fungsi f :Q+→N×N yang didefinisikan oleh
f ( pq)=( p ,q )
diman
pq sebarang anggota Q
+, merupakan
fungsi bijeksi. Dengan demikian Q+
ekuivalen dengan
N×N , berarti Q+
merupakan himpunan yang denumerabel.
Demikian juga Q−
juga denumerabel. Sedangkan
Q=Q−∪{0}∪Q+ berdasarkan teorema 3.1 di atas juga
merupakan himpunan yang denumerabel.
3.3. KontinumTeorema berikut menunjukkan bahwa tidak semua himpunan
tak hingga adalah denumerabel.
Teorema 3.2. :
Interval satuan I=[0,1 ]= {x∈R/0≤x≤1 } tidak denumerabel.
Definisi 3.3. :Suatu himpunan X yang ekuivalen dengan interval satuan I =[0,1] dikatakan mempunyai kuasa atau pangkat kontinum atau power of continuum dan mempunyai kardinalitas c.
Contoh 3.4. :1. Misalkan [a,b] sebarang interval tertutup. Suatu fungsi
f : [ 0,1]→[ a ,b ] didefinisikan oleh f(x) = a + (b-a)x. Fungsi f tersebut merupakan fungsi 1-1 dan onto, sehingga setiap interval tertutup [a,b] mempunyai pangkat kontinum dan kardinalitas c.
2. Juga bisa dibuktikan bahwa setiap interval terbuka (a,b) mempunyai pangkat kontinum dan kardinalitas c. Oleh karena itu interval terbuka pada contoh 3.1 yaitu J = (-1,1) = {xR/-1 < x < 1} juga mempunyai pangkat kontinum dan kardinatlitas c. Demikian juga himpunan bilangan riil R yang ekuivalen dengan interval J = (-1,1) juga mempunyai kardinalitas c, #(R) = c
Bilangan kardinal dari himpunan infinit disebut bilangan kardinal transfinit.Konsep bilangan kardinal dimaksudkan sebagai perluasan dari bilangan asli oleh karena itu relasi pada bilangan asli juga berlaku pada bilangan kardinal seperti relasi kurang dari yang dinotasikan dengan lambang < .
Definisi 3.4. :Bilangan kardinal A dikatakan lebih kecil dari bilangan kardinal B ditulis #(A) < #(B) jika dan hanya jika :1. A * dimana B* B dan
2. B ~ A* A yang manapun. Pernyataan (1) pada definisi 3.3 tersebut di atas, yaitu A *
dimana B* B dapat ditulis A¿ B dibaca “A mendahului B” atau #(A) #(B)
Contoh 3.5. :Himpunan bilangan asli N R dengan R himpunan bilangan
riil, dan R~ N, maka #(N) < #(R)
Untuk sebarang pasangan himpunan A dan B maka paling sedikit memenuhi salah satu di antara pernyataan berikut :
1. AB atau #(A) = #(B)
2. A~ B tetapi AB* dengan B*B atau sebaliknya BA* dengan A* A, atau dengan kata lain #(A) < #(B) atau #(B) < #(A).
3. AB* dengan B*B dan BA* dengan A*A atau dengan kata lain #(A)#(B) dan #(B) #(A).
4. A~ B* dengan B* B, A~ B, dan B~ A* dengan A* A
16
atau dengan kata lain #(A)¿ #(B) , #(A) #(B), #(B) ¿ #(B)Dalam kasus (3) di atas dikatakan bahwa AB atau #(A) = #(B) seperti dinyatakan dlm teorema Schroder-Bernstein sebagai berikut :
Teorema 3.3. : Teorema Schroder-Bernstein
A¿ B dan B¿A maka A B atau dengan kata lain untuk sebarang bilangan cardinal dan , jika dan maka =
Teorema Schroder-Bernstein tersebut juga dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut : Misalkan X Y X’ dan X X’ maka X Y.
Relasi lebih kecil < dlm aritmatika memenuhi sifat sebagai berikut :
1. Irrefleksif, yaitu untuk setiap bilangan cardinal #(A) ¿ #(A)2. Transitif, yaitu jika #(A) < #(B) dan #(B) < #(C) maka #(A)
< #(C)
3. Asimetris, yaitu jik #(A) < #(B) maka #(B)¿ #(A)4. Trikotomi, yaitu untuk sebarang himpunan bilangan A, B, dan
C berlaku salah satu #(A) = #(B) atau #(A) < #(B) atau #(B) < #(A) atau dengan kata lain jika #(A) #(B) maka #(A) <
#(B) ¿ #(B) < #(A).Dari uraian tentang bilangan cardinal di atas jelas bahwa setiap
bilangan cardinal berhingga kurang dari ℵo . Jika A berhingga dan
#(A) = n dimana n N maka n < ℵo . Jadi ℵo merupakan bilangan cardinal transfinit yang terkecil.
Bilangan kardinal transfinit yang kita kenal baru ℵo dan c. Muncul pertanyaan laín adakah bilangan cardinal transfinit yang lain? Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita gunakan analogi sebagai berikut. Dengan menggunakan pengertian himpunan kuasa atau power set, jelas bahwa bilangan cardinal dari suatu himpunan A tentu lebih kecil dari bilangan cardinal himpunan kuasanya. Secara simbolik dinyatakan #(S) < #(2S). Hal ini bisa dijelaskan karena A merupakan himpunan bagian 2A . Pernyataan tersebut secara khusus dinyatakan dalan teorema Cantor sebagai berikut :
Teorema 3.4. : Teorema Cantor
Untuk sebarang himpunan A, maka A¿ 2A . Sehingga untuk
sebarang bilangan cardinal , maka α<2α dimana = #(A)
dan 2α
= #(2A).
SOAL :1. Buktikan seluruh himpunan bilangan rasional (positip,
negatip dan nol) kontabel
2. Buktikan bahwa jika X1 dan X 2 himpunan yang kontabel,
maka X1×X 2 juga kontabel3. Buktikan bahwa kelas himpunan P dari semua polinom
p( x )=an xn+an−1 xn−1+. .. . .+a1x+ao dengan a1 , a2 , .. . .. , an
bilangan bulat adalah denumerabel.4. Buktikan bahwa setiap himpunan bagian dari himpunan yang
kontabel adalah kontabel..5. Tunjukkan bahwa interval (0,1), [0,1) dan (0,1] mempunyai
kardinalitas c yaitu ekivalen dengan [01].
BAB IVURUTAN
4.1. Himpunan Terurut Parsial Suatu relasi R dalam himpunan A dikatakan terurut parsial
jika dan hanya jika memenuhi :
1. Refleksif, yaitu (∀ a∈ A ).aRa
2. Anti simetris, yaitu (∀ a ,b∈ A ). aRb∧bRa⇒a=b
3. Transitif, yaitu (∀ a ,b , c∈ A ) . aRb∧bRc⇒aRc
Realasi yang demikian sering disimbolkan dengan ”¿ ”. Selanjutnya
aRb ditulis dengan a ¿ b dan dibaca : ” a mendahului b” atau ” b mengikuti a”
” a merendahi b” atau ” b mengatasi a”
17
“ a termuat dalam b” atau “ b memuat a”“ a lebih kecil atau sama dengan b” atau “ b lebih besar atau sama dengan a”
Dan jika hanya ditulis dengan a¿ b dibaca “ a murni mendahului b” atau “ a lebih kecil b” dan seterusnya. Dan jika untuk sebarang a,b
A berlaku a ¿ b atau b ¿ a maka dikatakan a dan b dapat dibandingkan. Tetapi dalam haimpunan A yang di dalamnya terdapat relasi R seperti tersebut di atas, ada kemungkinan bahwa anggota A ada yang tidak dapat dibandingkan.Himpunan A beserta relasi R yang ditulis (A,R) yang memenuhi ketiga sifat tersebut di atas dinamakan Himpunan Terurut Parsial atau Partialy Ordered Set disingkat dengan POSET.
Contoh 4.1. :1. Keluarga himpunan dengan relasi inklusi atau himpunan
bagian ( ) merupakan poset, karena memenhi ketiga sifat di atas yaitu :
(1) Refleksif, karena untuk sebarang himpunan A berlaku AA(2) Anti-simetris, karena jika A B dan B A maka A = B(3) Transitif, karena jika A B dan B C maka A C.
Jika diketahui kelas himpunan {Æ,{a},{b},{a,b},{a,b,c,d},{d}}, maka relasi inklusi akan memenuhi ketiga sifat di atas, dan tampak {a} tidak dapat dibandingkan dengan {b} maupun dengan {d}, tetapi {a} dengan {a,b} dapat dibandingkan.
2. Himpunan bilangan riil dengan relasi x≤ y yang dibaca x kurang dari atau sama dengan y juga merupakan poset dan relasi ¿ disebut relasi urutan alami.
3. Himpunan X = {a,b,c,d,e} dengan relasi yang ditunjukkan oleh diagram di bawah ini juga merupakan poset.
a b c
d e Relasi tersebut dapat juga didefinisikan sebagai x y jika
dan
hanya jika x = y atau x naik menuju y.Dari diagram tersebut tampak bahwa b dan c tidak dapat dibandingkan demikian juga d dan e. Secara umum Diagram Poset demikian disebut sebagai Diagram Hasse.
4. Misalkan R adalah relasi dalam himpunan V = {1,2,3,4,5,6} yang didefinisikan oleh “x membagi y”. Maka R adala urutan parsial dalam V seperti digambarkan dalam diagram berikut :
4 6
2 3 5
1 Tampak dari diagram di atas bahwa 2 bukan pembagi 3 dan
sebaliknya 3 juga bukan pembagi 2, sehingga 2 dan 3 tidak dapat
dibandingkan.5. Himpunan semua fungsi kontinu {f,g,h,.....} yang terdefinisi
dalam [0,1], dengan f g didefinisikan oleh f(x) g(x) untuk setiap x[0,1] juga merupakan poset.
Selanjutnya jika setiap a dan b anggota himpunan A berlaku salah satu diantara a b atau b a, maka (A,) disebut Himpunan Teurut Total atau Totaly Ordered Set disingkat dengan TOSET. Dari pengertian toset tersebut diperoleh bahwa dalam toset setiap anggota himpunannya dapat dibandingkan. Seperti contoh 4.1. nomor (2) di atas, yaitu relasi urutan alami pada himpunan bilangan riil R merupakan toset. Karena setiap dua bilangan riil a dan b, sesuai sifat trikotomi berkalu a b atau b a. Hal ini memungkinkan bahwa dalam toset bahwa himpunannya bisa terjadi hanya mempunyai satu anggota. Karena setiap bilangan riil dapat dibandingkan dengan dirinya sendiri a a.
4.2. : Elemen pertama dan elemen terakhirDiketahui poset (A,).a disebut elemen pertama A jika dan hanya jika a∈ A∧a≤x .(∀ x∈ A )
18
b disebut elemen terakhir A jika dan hanya jika b∈ A∧b≥x . (∀ x∈ A )A mungkin mempunyai elemen pertama maupun elemen terakhir tetapi mungkin juga tidak, namun jika mempunyai tentu tunggal.
4.3. : Elemen minimal dan elemen maksimalDiketahui poset (A,).a elemen minimal A jika dan hanya jika a A dan tidak ada xA dan x<ab elemen maksimal A jika dan hanya jika b A dan tidak ada xA dan x> bA mungkin mempunyai elemen maksimal maupun elemen minimal tetapi mungkin juga tidak, namun jika mempunyai tidak tentu tunggal.
4.4. Batas bawah dan batas atas, infimum dan supremum.Diketahui A himpunan bagian S dengan relasi yang sama.
a batas bawah A jika dan hanya jika a∈S∧a≤x .(∀ x∈ A )
b batas atas A jika dan hanya jika b∈S∧b≥x .(∀ x∈ A )Di sini jelas, a dan b dapat merupakan anggota A dapat juga tidak. A mungkin mempunyai batas bawah atau batas atas mungkin juga tidak
a’ batas bawah terbesar atau infimum dari A ditulis Inf.(A) jika dan hanya jika a’ batas bawah dan a’ a untuk setiap a batas bawah. b’ batas atas terkecil atau supremum dari A ditulis Sup.(A) jika dan hanya jika b’ batas atas dan b’ b untuk setiap b batas atas.
Contoh 4.2. :1. Perhatikan diagram poset di bawah ini.
Bila ada tentukanlah elemen pertama/terkhir, minimal /maksimal, infimum dan supremum A.A = {b,c,d,e}
a A b c d
e
f
gDari gambar di atas diperoleh : e merupakan elemen pertama, elemen minimal, dan infimumb merupakan elemen terkahir, maksimal dan supremuma,b batas atas.
2. Misalakan Q merupakan himpunn bilangan rasional, dan
B={x / x∈Q ,2<x2<3} yaitu B terdiri dari bilangan bilangan
rasional yang terletak di antara √2 dan √3 pada garis bilangan riil. Maka B mempunyai sejumlah tak hingga batas atas dan batas bawah, tetapi inf.(B) dan sup.(B) tidak ada. Jika kita perhatikan
√2 dan √3 bukan anggota B oleh karena itu tidak dapat dianggap sebagai batas bawah dan batas atas dari B .
SOAL :1. Misalkan A = {2,3,4,…..} = N- {1}, dan A adalah terurut oleh
relasi “x habis dibagi y”.a. Tentukan eleven minimal dari Ab. Tentukan eleven maksimal dari A
2. Dari himpunan {1,2,3,4,5} berikut, tentukan elemen maksimal jika relasi urutan ditentukan oleh m≤n berarti m membagi habis n.
3. Misalkan S = {1,2,3,….,7,8} terurut dengan relasi digambarkan dalam diagram sebagai berikut :
1 2 3
19
4 5
A 6 7
8
Misalkan A = {4,5,6} himpunan bagian dari Sa. Carilah himpunan dari batas atas dari Ab. Carilah himpunan dari batas bawah-batas bawah dari Ac. Apakah Sup.(A) ada?d. Apakah Inf.(A) ada?
4. Misalkan B = {2,3,4,5,6,8,9,10} terurut oleh “x kelipatan y”.a. Tentukan elemen minimal dari B.b. Tentukan elemen maksimal dari B.
BAB VRUANG METRIKS
5.1. MetriksDitetapkan himpunan X yang tidak kosong. Suatu fungsi
bernilai riil d didefinisikan pada X×X , yaitu himpunan pasangan berturutan dari anggota X, disebut metrik atau fungsi jarak pada X jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut :
1.d( p,q )≥0
dan d( p, p )=0
, (∀ p , q∈ X ) (non negatip)
2. d( p,q )=d(q , p ) (simetri)
3.d( p.q )≤d( p , r)+d( r , q ), (∀ p , q , r∈ X ) (ketidaksamaaan segitiga)
4. Jika p≠q maka d( p,q )>0
(positip)
Pasangan (X,d) disebut ruang metrik. Ruang metrik dapat juga didefinisikan secara lain sebagai berikut :
Definisi 5.1. :Ditetapkan himpunan X tidak kosong yang elemennya kita sebut titik, disebut suatu ruang metrik jika pada sebarang dua titik p dan q dari X dapat dikawankan dengan suatu bilangan
riil d( p,q ) yang dinamakan jarak titik p ke q dengan sifat
seperti aksioma-aksioma di atas.
Contoh 5.1. :
1. Himpunan semua bilangan riil R dengan d(x , y )=|x− y|
dengan x,y R merupakan ruang metriks, dan (R,d) disebut ruang metriks.
2. Jika fungsi d yang didefinisikan oleh
d( p,q )=√(a1−b1 )2+(a2−b2 )
2
, dengan p=(a1 ,a2 ) dan q=(b1 , b2 ) merupakan titik dalam R
2, juga merupakan
metriks dan (R2 , d ) disebut ruang metriks dan dinamakan ruang metriks biasa atau usually metric space.
3. Himpunan semua bilangan kompleks Z dengan jarak d( z1−z2)
=|z1−z2| dimana z1 , z2∈Z juga merupakan ruang metriks. Ruang metriks (Z,d) tersebut juga sebagai ruang
metriks biasa atau usually metric space pada bilangan komplek.
4. Himpunan X = {a,b,c,.....} tidak kosong dengan d merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai :
0 jika a = b
d(a,b ) =
1 jika a bJuga merupakan ruang metriks dan disebut ruang metriks
trivial. 5. Himpunan fungsi-fungsi kontinyu X = {f,g,h,.........} dalam
interval [0,1] dengan fungsi bernilai riil d yang didefinisikan oleh
20
d( f , g )=Sup .{|f−g|f , g∈ X , x∈[0,1 ]}juga merupakan ruang metrik.
Dalam hal ini d( f , g ) adalah jarak terbesar antara fungsi f(x)
dan g(x) seperti ditunjukkan oleh gambar sebagai berikut :
f
d( f , g )
g
0 1
Demikian juga jika d( f , g ) didefinisikan dengan
d( f , g )=∫0
1
|f ( x )−g ( x )|dx
Dalam hal ini d( f , g )adalah luas daerah yang dibatasi oleh
fungsi f(x) dan g(x) seperti ditunjukkan oleh gambar sebagai berikut :
f
g
0 1
Dari gambar di atas bahwa d( f , g ) adalah daerah yan dibatasi
kedua kurva f dan g.
6. Dalam R2
dengan d( p,q )=maks .(|p1−q1|,|p2−q2|)
merupakan ruang metriks. Demikian juga d( p,q )=|p1−q1|+|p2−q2|
7. Secara umum jika diketahui p=( x1 , x2 , . .. .. , xn )∈Rm dan
q=( y1 , y2 ,. .. . ., yn )∈Rm. Ruang metriks (Rm , d ) dengan
d( p,q )=√( x1− y1 )2+( x2− y2 )
2+. . .. .+( xn− yn )2=√∑
i=1
n
( xi− yi )2
dinamakan Ruang Metriks Euclides.
Jika d hanya memenuhi aksioma 1,2, dan 3 saja, maka d disebut Pseudometriks. Di sini jelas bahwa setiap metriks adalah Pseudometriks.
Contoh 5.2. :
Himpunan titik-titik R2
dengan d(a,b )=|a1−b1| dengan
a (a1 , a2) dan b (b1 , b2 ) merupakan pseudometriks.Perhatikan titik a(2,7) dan b(2,6) dimana a b.d(a,b )=|2−2|=0
Demikian juga (R2 , d ) dengan d(a,b )=|a2−b2| juga
pseudometriks.
5.2. Jarak dan Diameter.Dalam ruang metriks (X,d) , didefinisikan tentang jarak dan
diameter sebagai berikut :
Definisi 5.2. :Jarak titik p X ke himpunan tidak kosong A X ditulis
dengan notasi d( p, A )didefinisikan sebagai batas bawah
terbesar dari jarak-jarak p dengan titik-titik dari A. Secara simbolik didefinisikan sebagai berikut :
d( p, A )=inf .{d(p ,a )/a∈ A }
21
Definisi 5.3. :Jarak dua himpunan A dan B tidak kosong ditulis dengan
notasi d( A ,B ), didefinisikan sebagai batas bawah terbesar jarak
titik-titik dari A dan B. Secara simbolik didefinisikan sebagai berikut :
d( A ,B )= inf . {d(a ,b)=¿a∈ A∧b∈B}
Definisi 5.4. :
Diameter himpunan tidak kosong A ditulis dengan notasi d( A )
didefinisikan sebagai batas atas terkecil dari jarak titik-titik dalam A. Secara simbolik didefinisikan sebagai berikut :
d( A )=Sup .{d(a,a ' )/a ,a '∈ A }
Jika diameter dari A berhingga, yaitu d( A )<∞ , maka A disebut
terbatas atau bounded, dan jika d( A )=∞
, maka A disebut tak terbatas atau unbounded. Atau dengan definisi lain sebagai berikut :
Definisi 5.5. :Himpunan A terbatas atau bounded jika dan hanya jika ada
M bilangan riil dan q X sedemikian sehingga d( p,q )≤M
untuk setiap p A, dan lainnya disebut tak terbatas atau unbounded.
Berdasarkan definisi-definisi di atas diperoleh proposisi sebagai berikut :
Proposisi 5.1. :Jika A dan B himpunan bagian yang tidak kosong dari X dan pX maka :
(i). d( p, A ) , d( A ,B )dan
d( A ) merupakan bilangan riil non negatip.
(ii). Jika p A, maka d( p, A )=0
(iii). Jika A∩B≠φ , maka d( A ,B )=0
(iv). Jika A berhingga, maka d( A )<∞ , yaitu A bounded.
Contoh 5.4. :1. Misalkan d metriks trivial pada himpunan yang tidak kosong
X. Maka untuk pX dan A,B X, 1, jika p A 1, jika A B = Æd( p, A ) =
d( A ,B )= 0, jika p A 0, jika A B Æ
2. Diketahui interval pada garis bilangan riil R, yaitu A = [0,1) dan B = (1,2].
Jika d metrik biasa pada R, maka d( A ,B )=0
dan jika d*
metrik trivial pada R, maka d ∗( A ,B ) ¿1
, karena A dan B disjoint.
3. Dalam (R1 , d ) dengan d(a,b )=|a−b|
A={x /1≤x≤4} dan p = 6 d A 1 2 3 4 5 6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 dJika B = {-1,-2,-3}d( A ,B )=2
4. Dalam (R2 , d ) dengan d( A ,B )=√(a1−b1 )
2+(a2−b2 )2
A={( x , y ) /2≤x≤4∧ y=0}B=¿¿
22
Dan titik p(0,2), maka :
2 pd( A )=2
d(B )=2
(diameter lingkaran)
2 A 4 -2
d( p, A )=√22+22=√8=2√2
-3 d( p, B)=4
1
d( A ,B )=√22+32−1=√13−1
5. Dalam (R2 , d ) dengan d(a, b )=maks . [|a1−b1|,|a2−b2|]
dengan A, B dan p seperti contoh 4.d( A )=2
, sebab ujung-ujung A adalah q(2,0) dan r(4,0). Sehingga selisih
koordinat yang terbesar adalah |4−2|=2
d(q ,r )=maks . [|2−4|,|0−0|]=2
d(B )=2, sebab andaikan s(0,-2), t(0,-4)
d( s, t )=maks . [|0−0|,|−2+4|]=2
Jarak dua titik yang lain < 2
Bagaimana dengan d( p, A )?
Pandang a A;
d(P , A )=maks . [|p1−a1|,|p2−a2|]
=maks. [|0−a1|,|2−0|]
=maks. [|a1|,|2|]
= 4 untuk a(4,0) = 2 untuk a(2,0)
Jadi d( p, A ) = 2
Dapat dicari bahwa d( p, B)= 4 (Awas infimum dari para
maksimum) dan d( A ,B ) = 2
6. Dalam (C,d) dengan C himpunan fungsi kontinu dalam [0,1] dan d( f , g )=Sup .{|f ( x )−g (x )|/ x∈ [0,1 ]}A=f ( x )/ f ( x )=2 x+k .∧. 0≤k≤4¿¿ dan g(x) = 7, makad( A )=Sup .¿¿d( f 1 , f 2)
=Sup .¿¿
=Sup . {k /0≤k≤4}=4
Jadi d( A )=Sup .{4 }=4
Bagaimana dengan d(g , A )?
d(g , A )=inf . {d(g , f )/ f ∈ A }d(g , f )=Sup .{|g( x )−f (x )|x∈ [0,1 ]}
=Sup . {|7−2 x−k|/x∈ [0,1 ]} g 7 6 f 4 A k = 2 k = 1 k = 0
2
0 1
k = 0 d(g , f ) = 7
k = 1 d(g , f ) = 6
: : : :23
k = 4 d(g , f ) = 3
Jadi d(g , A )=inf . {3 , .. . .. .. , 7}=3
Teorema 5.2. :A dan B tidak kosong dalam X dan p X, maka berlaku :
(1) d( p, A ) , d( A ,B )dan
d( A ) adalah bilangan riil non negatif.
(2) p∈ A⇒d( p , A )=0
(3) A∩B≠φ⇒d( A , B)=0
(4) A finit⇒d( A )≤∞
(5) d( p,φ )=∞ , d(A ,φ)=d(φ, A )=∞ , d(φ)=−∞
(disepakati)5.4. Neighborhood.
Dalam ruang metrik (X,d), untuk sebarang p X dan bilangan riil r > 0, maka didefinisikan tentang neighborhood atau tetangga sebagai berikut :
Definisi 5.6. :Neighborhood atau tetangga titik p dengan jarak r ditulis
dengan N r (p ) atau
N ( p, r )adalah :N r (p )=N( p , r )={x /d( p , x )<r}
Neighborhood disebut juga sebagai open sphere, open disk, spherical neighborhood, open ball atau juga disebut sebagai lingkungan, lingkungan bola buka, cakram buka, sekitar, persekitaran.
5.5. Titik Limit Titik p adalah titik limit (limit point) atau titik kumpul
(accumulation point) dari himpunan E jika dan hanya jika (∀ N r( p)) memuat titik q p dan q E.Atau didefinisikan secara simbolik sebagai berikut :
Definisi 5.7. :Titik p adalah titik limit atau titik kumpul dari himpunan E jika dan hanya jika
(∀ N r( p)). N r (p )∩E−{p}≠φ
Himpunan titik limit dari himpunan E disebut himpunan derived E ditulis dengan E’.
5.6. Titik InteriorTitik interior dari suatu himpunan didefinisikan sebagai
berikut : Definisi 5.8. :
p adalah titik interior himpunan E jika dan hanya jika (∃N r( p )) . N r (p )⊂E
Jika p E dan p bukan titik limit dari E maka dikatakan p isolated atau terasing dari E.
E disebut himpunan buka jika dan hanya jika (∀ x∈E ), x merupakan titik interior dari E, dan E disebut himpunan tutup jika dan hanya jika setiap titik limit E dalam E atau jika dan hanya jika E’ E, diman E’ himpunan titik limit E.
Teorema 5.3. :Setiap neighborhood adalah himpunan buka.
Bukti :
Misal N r (p )=A
dan q sebarang titik di A
Tentu ada h riil sehingga d( p,q )=r−h
Untuk semua S dengan d(q ,S)<h
, maka :d( p, S)≤d(p ,q )+d(q ,S )<r−h+h<r
, sehingga S A berarti q titik
interior A. Oleh karena itu A buka, sebab ada Nh(q )={S/d( p ,S)<h}
Teorema 5.4. :
Jika p merupakan titik limit E maka (∀ N r( p))memuat tak terhingga banyaknya titik-titik E.
Bukti :24
Andaikan ada N r (p ) yang memuat berhingga titik E, misal
q1 , q2 , q3 , .. . .. .. . .. . , qn dengan q1≠p . Ambil r1=min . {d( p ,qi)
/ i∈{1,2,3 ,. .. . .. , n}} disini tentu r1>0
N r1(p ) tentu tidak memuat titik EJadi p bukan titik limit E. Berarti terjadi kontradiksi. Akibatnya setiap himpunan berhingga tentu tidak punya titik limit.
Teorema 5.5. :
(∪i E )c=intersect i Ec
Bukti :
a.(∪i E )c⊂ intersect i Ec
Misalkan x∈(∪i E)c berarti x∉ Ei .∀ i∈ I
Jadi x∈ E
ic , ini berarti x∈ intersect i Ec
b.intersect i E
ic⊂(∪i E
ic )
Misalkan x∈ intersect i E
ic berarti
x∈ Eic .∀ i∈ I
Jadi x∉ Ei , ini berarti
x∉∪i E i atau x∈(∪i Ei )c
Teorema 5.6. :E buka jika dan hanya jika Ec buka.
Bukti :a. Jika E buka maka Ec tutup
Misalkan x titik limit Ec maka setiap N r (x )memuat elemen Ec,
Akan dibuktikan x Ec, maka N r (x ) .∩Ec−{x }≠φ
x bukan titik interior E karena E buka, maka semua elemen E titik interior.Jadi x E maka x Ec. Hal ini berarti Ec tutup.
b. Ec tutup maka E buka.Ambil x E akan dibuktikan x titik interior E
x E maka x Ec, berarti ada N r (x ) sedemikian hingga
N r (x ) .∩Ec−{x }=φ , berarti N r (x ) saling asing dengan E
c.
Akibatnya N r (x )⊂E
. Jadi x titik interior E, sehingga E merupakan himpunan buka.
Contoh 5.5. :
1. Dalam (R1 , d ) dengan d(a,b )=|a−b|
Jika A={1
n/n=1,2,3 ,. .. .. . .. ..}={1 . 1
2, 1
3,. . .. .. . .. .}
, maka0 adalah titik limit dari AA’ ={0} sehingga A A’ = ÆTidak ada titik interiorSemua titik isolated atau terasing.A tidak tutup, juga A tidak bukad( A )=1<∞
bounded
Atau (∃M=4 .∧. q=0)sedemikian hingga d(a,q )<4
Tetapi jika A={0,1 , 12
, 13
, . .. .. . .. ..}
A’ = {0} dan A’ A.
q (∀ a∈ A )
| | | | | 0 a 1 2 3 4
d(a,q )<4
2. Jika B = {x/1<x<4} = (1,4), maka semua x dimana 1≤x≤4 adalah titik limit B sehingga B’ = [1,4] dan B B’.Semua x dimana 1 < x < 4 adalah titik interior dari B, dan tidak ada titik terasingnya. Sedangkan B merupanan himpunan buka tetapi B bukan himpunan tutup.d(B )=3<∞
sehingga B merupakan himpunan bounded atau terbatas.
25
3. Jika C={x /1≤x<4 .∨ . x=5}, maka
Titik limitnya adalah semua x dimana 1≤x≤4Titik interior adalah semua x dimana 1 < x < 4Titik terasingnya adalah x = 5C tidak buka, tidak tutup, dan bounded.
Tetapi jika D={x /1≤x≤4}=[1,4 ], maka D’ = [1,4] = D
4. Dalam (R2 , d ) dengan d(a, b )=√(a1−b1 )
2+(a2−b2)2
Jika E={( x , y ) /x2+ y2<9}Titik limit E adalah titik-titik yang terletak pada lingkaran
x2+ y2=9 dan titik interior E adalah semua titik di dalam lingkaran itu, dan E merupakan himpunan buka.
5. Jika {( x , y )/4≤x2+ y2<9}Titik limit E E tidak buka E tidak tutup
6. Jika E={( x , y ) / y=0∧2< x<5}
2 3 5 N (3 )⊄E
Semua x dalam 2≤x≤5 adalan titik limit.Karena 2 dan 5 tidak di dalam E, maka E tidak tutup.(ingat di sini neighborhood suatu titik adalah lingkaran ).
7. Contoh neighborhood dengan
d(a, b )=√(a1−b1 )2+(a2−b2)
2
N1(a) :
a 1
d(a,b )=maks .(|a1−a2|,|a2−b2|)N1(b) :
b
d(a,b )=|a1−b2|+|a2−b2|N1(c ) :
c
26
d( f , g )=Sup .{|f ( x )−g (x )|, x∈[0,1 ]}N1( f ) :
f
0 1 SOAL :
1. Tunjukkan bahwa matrik trivial d pada himpunan yang tidak kosong X seperti pada contoh 5.4. nomor 1 memenuhi 4 aksioma pada ruang metriks.
2. Misalkan r1 dan r2 adalah bilangan riil positip sedemikian
hingga r1 <r2 . Tunjukkan bahwa open disk S(p, r2 )
himpunan bagian dari open disk S(p, r2 ), untuk setiap p∈S.
3. Buktikan bahwa di dalam ruang metric (X,d), himpunan bola
tutup B={x /d(a , x )≤r}
adalah himpunan tutup.4. Jika E sebarang himpunan dalam ruang metriks. Tunjukkan
bahwa himpunan E’ dari titik limit E adalah himpunan tutup.
BAB VIRUANG TOPOLOGI
6.1. Topologi Umum Dipandang himpunan X dan himpunan kuasanya 2X . Suatu
kelas himpunan T yang beranggotakan himpunan bagian dari X, yaitu
T 2X , disebut topologi dari X jika dan hanya jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut :
5. Æ dan X T6. Gabungan dari sebarang anggota T juga anggota T.
Ditulis secara simbolik : Gi∈ T ⇒∪i Gi∈ T, baik i
berhingga atau tak hingga.7. Irisan dari sebarang dua anggota T juga anggota T.
Ditulis secara simbolik : G1 ,G2 , G3 , .. . .. . ,Gk∈ T
⇒intersect i=1k Gi∈ T, dimana k harus berhingga.
Anggota T biasa disimbolkan dengan G yang disebut sebagai himpunan buka atau open set. Dan X bersama dengan T, yaitu (X, T) disebut Ruang Topologi.
Contoh 6.1. :6. Diberikan X = {a,b,c,d}
Dibentuk :T1 = {Æ,X,{a},{b,c},{a,b,c}}T2 = {Æ,X,{a},{b},{b,c},{a,b,c}}T3 = {Æ,X,{b},{a,c},{a,b},{a,b,c}}Maka :T1 merupakan topologi dari X, karena memenuhi ketiga aksioma.T2 bukan topologi dari X, karena {a} {b} = {a,b} T2
T3 bukan topologi dari X, karena {a,c} {a,b} = {a} T3
7. Sembarang himpunan S dengan I = {Æ,S} memenuhi ketiga askioma di atas yaitu :
(1). Æ,S I.(2). Æ S = S I.(3). Æ S = Æ I.
(S,I) disebut ruang topologi indiskrit dan I disebut topologi indiskrit. Sedangkan Æ,S merupakan himpunan buka.
8. Sebarang himpunan S dengan D = 2S juga merupakan topologi dan disebut topologi diskrit.
9. Diberikan himpunan X. Dibentuk T = {G/G = Æ atau Gc
finite} yaitu himpunan yang anggotanya komplemen dari
27
semua himpunan buka dari T finite. T juga topologi dari X dan disebut topologi kofinite.Bisa kita buktikan sebagai berikut :
(1). Jelas Æ T. X T karena Xc = Æ finite.
(2). Misalkan Gi T, berarti G
ic finite.
Apakah ¿i Gi∈ T ?
Diperikasa (¿ iG i )c=intersect i Gic
Karena G
ic finite tentu intersect i Gi
c juga finite.
Jadi benar ¿i Gi∈ T.
(3). Apakah intersect i Gi∈T ?
Diperiksa (intersect iGi )c=¿i Gic
Karena G
ic finite tentu ¿i Gi
c juga finite
Jadi benar intersect i Gi∈T.
10. Jika T1 topologi dari X dan T2 juga topologi dari X, maka
T1T2 juga topologi dari X.Bukti :(1). Æ T1 dan Æ T2 maka Æ T1 T2 demikian juga X T1 dan X T2 maka X T1 T2
(2). Misalkan Gi himpunan buka dan Gi T1 T2 tentu Gi
T1
dan Gi T2
Hal ini menunjukkan bahwa ¿i Gi∈ T1 dan
¿i Gi∈ T2
sehingga ¿i Gi∈T1 T2
(3). Misalkan Gi T1 dan Gi T2 maka jika i finit intersect i Gi∈
T1
dan intersect i Gi∈ T2
Dengan demikian intersect i Gi∈ T1 T2
Teorema 6.1. :Jika { T1,T2 , T1, ............} adalah himpunan topologi dari X, maka ¿
i Ti juga topologi dari X. (Pada umumnya untuk gabungan ¿ Ti
bukan merupakan topologi dari X.)
11. Kita pandang R merupakan himpunan bilangan riil. Jelas R merupakan Totally Ordered Set terhadap relasi .
Di bentuk T = {G /G=φ .∨ . x∈G⇒ (∃I ) .x∈ I⊂G} dengan I merupakan interval terbuka dalam R. Di sini G dapat berbentuk :{x/a < x < b} = (a,b) ; {x/a < x < b} {x / c < x < d} = (a,b) (c,d) ; {x/x > b} = (b,∞) ; {x/x < a} = (-∞, a).Jelas T merupakan topologi dari R karena memenuhi ketiga asioma seperti berikut :(1). Æ, R T
(2). ¿Gi∈ T
(3). intersect
finiteGi∈
TT tersebut dinamakan usually topology atau topologi biasa.Dari uraian di atas diperoleh {x/a x b} = [a,b] ; {x/ x b} = [b, ∞) ; {x/x a} = (-∞, a] ; {a} bukan merupakan himpunan buka.Bila R meliputi - ∞ dan ∞, maka R disebut extended real number dengan elemen terkecil - ∞ dan terbesar ∞.
12. Pandang X = {1,2,3,......} dan hampunan T ={G /G=φ , G=X .∨. x∈G⇒(∃ I={x /a<x<b ;a , b∈ X }) . I⊂G}Maka T bukan topologi dari X. {1,2,3} bukan himpunan buka sebab tidak ada I yang memuat
1{2,3} himpunan buka sebab 2{x/1<x<3}{2,3} 3{x/2<x<4}{2,3}{3} juga himpunan buka dan semua singelton merupakan himpunan buka kecuali {1} sebab tidak ada I yang memuat 1.
28
Bila G merupakan himpunan buka yang memuat titik p X, maka G disebut lingkungan terbuka dari p, dan G tanpa p yaitu G-{p} disebut lingkungan terbuka terhapuskan dari p.
6.2. Titik Kumpul atau Titik limit. Misalkan (X,T) merupakan ruang topologi dan A X. Suatu
titik pX adalah titik kumpul atau accumulation point dari A jika dan hanya jika setiap himpunan buka G yang memuat p yang ditulis Gp , memuat suatu titik yang berbeda dengan p, atau dengan kata lain
secara simbolik (∀G p ).(Gp−{p })∩A≠φ atau (∀G p ).(Gp∩A )−{p}≠φTitik kumpul disebut juga titik limit atau limit point. Himpunan titik limit A disebut himpunan derived dari A dan ditulis dengan A’.
Contoh 6.2. :1. Misalkan T = {Æ, X, {a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}} adalah
topologi pada X = {a,b,c,d,e}, dan A = {a,b,c} X.Perhatikan bahwa bX adalah titik limit dari A, karena himpunan buka yang memuat b adalah X dan {b,c,d,e} masing-masing memuat titik dari A yang berbeda dengan b yaitu c. Sedangkan aX bukan titik limit dari A karena himpunan buka yang memuat a, yaitu X dan {a} tidak memuat titik dari A yang berbeda dengan a. Dengan cara yang sama d dan e merupakan titik limit dari A dan c bukan titik limit dari A. Jadi himpunan derivednya adalah A’ = {b,d,e}
2. Diberi ruang topologi indikrit (X,T), di sini himpunan bukanya adalah X dan Æ. Dan X adalah himpunan buka yang memuat sebarang pX.Æ X, apakah ada titik limit dari Æ? Karena Æ tidak mempunyai anggota berarti tidak ada titik limitnya sehingga himpunan derivednya A’ = Æ.p X, apakah p titik limit dari {p}?
Bukan, sebab (∀G p ).(Gp∩{p})−{p }=φ
Apakah p titik limit dari A X, A X ?
Ya, sebab (∀G p ).(Gp∩A )−{p}≠φ , di sini Gp = XApakah titik limit dari {p}?Ambil b X; X {p} – {b} Æ.Jadi setiap anggota X adalah titik limit dari {p} kecuali p itu sendiri. Sehingga diperoleh {p}’ = {p}c = X – {p}.Dari uraian di atas diperoleh kesimpulan p adalah titik limit dari setiap himpunan A X, kecuali A = Æ dan A = {p}. Sehingga himpunan derived A , yaitu A’ adalah
Æ , jika A = ÆA’ = {p}c = X – {p} , jika A = {p} X , jika A memuat dua titik atau lebih
3. Diberikan X = {a,b,c} dan T = 2X = {Æ,X,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}
maka (X, T) merupakan topologi deskrit. Jika A = {a,b} X, apakah a merupakan titik limit dari A ?Himpunan buka yang memuat a adalah {a},{a,b},{a,c},X. Ternyata {a}{a,b} = Æ, sehingga a bukan titik limit. Demikian juga b. Jelas semua titik bukan titik limit dari X, sebab semua himpunan bagian X adalah himpunan buka
6.3. Himpunan TertutupMisalkan (X, T) merupakan ruang topologi. Himpunan bagian
A dari X yaitu A X disebut himpunan tertutup atau closed set jika dan hanya jika Ac adalah himpunan buka, atau dapat ditulis secara simbolik :
A tertutup (GT) Ac = G
Contoh 6.3. :1. Kelas T = {X, Æ, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}} didefinisikan
pada himpunan X = {a,b,c,d,e}. Himpunan bagian tertutup dari X adalah Æ, X, {b,c,d,e}, {a,b,e}, {b,e}, {a} yang secara berurutan merupakan komplemen dari himpunan buka dari X. Dari contoh tersebut tampak bahwa {b,c,d,e} merupakan himpunan buka dan sekaligus juga himpunan tutup dari X, sedangkan {a,b} bukan himpunan buka dan bukan himpunan tutup dari X.
29
2. Misalkan (X,D) merupakan ruang topologi diskrit yaitu setiap himpunan bagian dari X merupakan himpunan buka. Maka setiap himpunan bagian dari X juga merupakan himpunan tertutup, karena komplemennya merupakan himpunan buka, yaitu jika AX maka Ac X. Berarti setiap himpunan bagian X merupakan himpunan buka dan tutup.
Berdasarkan sifat komplemen, jika AX maka (Ac) c = A. Dari pernyataan tersebut diperoleh proposisi sebagai berikut :
Proposisi 6.1. :Dalam ruang topologi (X, T), himpunan bagian A dari X adalah himpunan buka jika dan hanya jika komplemennya adalah tutup.
Dari ketiga aksioma tentang topologi dan dalil De Morgan dapat dibuktikan teorema sebagai berikut :
Teorema 6.2. :Jika (X, T) merupakan ruang topologi, maka kelas himpunan bagian tutup dari X memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
(i) X dan Æ merupakan himpunan tertutup(ii) Irisan dari himpunan tertutup adalah tertutup(iii) Gabungan dari himpunan tertutup adalah tertutup.
Teorema 6.3. :Misalkan (X, T) ruang topologi dan AX. Himpunan bagian A merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika A memuat semua titik limit dari A, atau A’ termuat di A.
Dengan kata lain, A adalah himpunan tutup jika dan hanya jika derive A’ dari A adalah himpunan bagian dari A, yaitu A’ A.
6.4. Penutup atau closureMisalkan (X, T) merupakan ruang topologi dan A himpunan
bagian dari X. Penutup atau closure dari A ditulis A adalah irisan dari semua himpunan bagian tutup dari X yang memuat A. Dengan
kata lain jika {F i : i∈ I} adalah kelas dari semua himpunan bagian tutup dari X yang memuat A, maka
A=intersect i Fi
Berdasarkan uraian tersebut tentu A tertutup karena A merupakan
irisan dari semua himpunan tutup dan A merupakan superset tutup terkecil yang memuat A, yaitu
AA F
Teorema 6.4. :
1. Jika A B maka AB
2. A tertutup jika dan hanya jika A = A
Teorema 6.5. :
x E jika dan hanya jika (∀G x ∈ T) . Gx E Æ
Contoh 6.4. :1. Dari contoh 6.3. diketahui T = {X, Æ, {a}, {c,d}, {a,c,d},
{b,c,d,e}} merupakan topologi pada X = {a,b,c,d,e} dimana himpunan bagian tutup X adalah Æ, X, {b,c,d,e}, {a,b,e}, {b,e}, {a}.Berdasarkan hal tersebut diperoleh
{b}={b , e} {a , c }=X{b , d }={b , c , d , e}
Teorema 6.6. :Jika A merupakan himpunan bagian dari X dalam ruang topologi (X, T), maka penutup dari A adalah gabungan A
dengan A’, yaitu A=A∪A '
Suatu titik pX disebut titik penutup dari A X jika dan hanya jika p
termuat dalam penutup A, yaitu pA . Dari teorema 6.5. tersebut
30
diperoleh bahwa p X adalah titik penutup dari A X jika dan hanya jika pA atau p titik limit dari A.
Contoh 6.5. :Di dalam topologi biasa untuk bilangan riil R, setiap bilangan riil a R adalah titik kumpul dari himpunan bilangan rasional Q. Jadi penutup dari Q adalah himpunan bilangan riil
R, yaitu Q=R
Diketahui (X,T) merupakan ruang topologi. Himpunan bagian A dari X disebut padat atau dense dalam B X, jika B termasuk
dalam penutup A, yaitu B⊂ A . Secara khusus, A adalah padat dalam
X atau himpunan bagian padat dari X jika dan hanya jika A=X .
Contoh 6.6. : 1. Pada contoh 6.3. diketahui kelas T = {X, Æ, {a}, {c,d},
{a,c,d}, {b,c,d,e}} didefinisikan pada himpunan X = {a,b,c,d,e}. Himpunan bagian tertutup dari X adalah Æ, X,
{b,c,d,e}, {a,b,e}, {b,e}, {a} dan , {b , d }={b , c , d , e}. Jadi himpunan {b,d} merupakan himpunan padat atau dense dari X.
2. Dari contoh 6.5. dalam topologi biasa untuk bilangan riil R, diketahui penutup dari Q adalah himpunan bilangan riil R,
yaitu Q=R . Jadi himpunan bilangan rasional Q merupakan padat dalam R
Berdasarkan pengertian penutup dari himpunan bagian A dalam X diperoleh proposisi sebagai berikut, yang disebut sebagai “Aksioma Penutup Kuratowski”.
Proposisi 6.2. :
(i) φ=φ (iii) A∪B=A∪B
(ii) A⊂ A (iv) A=A
6.5. Interior, Eksterior, Boundary
Jika T topologi dari X dan A X, maka interior himpunan
A disimbolkan dengan int(A) atau Ai atau Ao adalah gabungan
semua himpunan buka yang termuat dalam A. Titik pAi disebut titik interior dari A, jika p anggota himpunan buka G himpunan
bagian A, yaitu p∈G⊂A .
Tentu Ai buka karena Ai merupakan gabungan himpunan buka dan merupakan himpunan buka terbesar dalam A, yaitu jika G merupakan
himpunan buka dari A maka G Ai A.
Teorema 6.7. :
1. Jika A B maka Ai⊂Bi
2. A merupakan himpunan buka jika dan hanya jika A = Ai
Eksterior himpunan A, disimbolkan dengan eks.(A) atau Ae ,
adalah interior dari komplemen A, yaitu Ae=( Ac)i . Dari uraian
tersebut jelas Aebuka karena merupakan interior dari Ac
Boundary atau batas himpunan A disimbolkan dengan b(A)
atau Ab , adalah himpunan titik-titik dalam semestanya yang tidak
termuat dalam Ai maupun Ae , yaitu Ab=(A i∪Ae )
c
Titik x∈ Ab merupakan titik batas A jika dan hanya jika (∀G x∈ T ) . G x∩A≠φ .∧ .G x∩Ac≠φ
Teorema 5.8. :Misalkan T topologi dari X dan A X, maka closure dari A adalah
gabungan dari interior dan boundary dari A, yaitu A=A i∪Ab
Contoh 6.7. :1. Diketahui empat interval [a,b], (a,b), (a,b], [a,b) dimana a dan
b merupakan titik-titik akhir. Interior dari keempat interval
31
tersebut adalah (a,b) dan boundarynya adalah titik-titik akhir a dan b, yaitu {a,b}.
2. T = {X, Æ,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}} merupakan topologi pada X = {a,b,c,d,e} dan A = {b,c,d} X. Maka c dan d merupakan titik interior dari A karena c,d {c,d} A dan {c,d} himpunan buka. Titik bA bukan titik interior dari A
karena b {c,d}. Sehingga interior dari A adalah Ai ={c,d}Titik a X adalah eksterior dari A, yaitu interior dari
komplemen A, yaitu Ac= {a,e}. Sehingga interior A
c adalah
{a}.Boundary atau batas dari A adalah titik dalam X yang
bukan interior dan eksterior, yaitu Ab = {b,e}.3. Misalkan Q himpunan bilangan rasional. Karena setiap
himpunan bagian buka dari R memuat bilangan rasional dan irasional, titik-titik itu bukan interior dan eksterior dari Q. Sehingga int.(Q) = Æ dan int.(Qc) = Æ. Juga batas dari Q atau Qb = R
Suatu himpunan bagian A dari ruang topologi X disebut padat tidak dimana-mana atau nowhere dense di dalam X jika interior dari
penutup A adalah himpunan kosong, yaitu int.( A ) = Æ.
Contoh 6.8. :
1. Misalkan A = {0,1 , 12
. 13
, 14
, .. . ..} himpunan bagian dari himpunan bilangan riil R. Maka A mempunyai tepat satu titik limit yaitu 0.
Jadi A={0,1 , 12
, 13
, 14
, .. . .. .} dan A tidak mempunyai titik
interior atau int.( A ) = Æ, sehingga A padat tidak dimana mana dalam R.
2. Misalkan A himpunan yang memuat semua bilangan rasional antar 0 dan 1, yaitu A = {x/xQ, 0<x<1}. Jelas bahwa int.(A) = Æ. Tetapi A tidak padat dimana-mana dalam R, karena penutup A, yaitu A = [0,1], dan int.( A ) = int.([0,1]) = (0,1) Æ.
6.5. Neighborhood
Misalkan (X,T) ruang toplogi dan p adalah titik dalam X. Himpunan N X disebut neighbourhood dari titik p jika dan hanya jika N adalah superset dari suatu himpunan buka G yang memuat p
atau Gp , ditulis dengan notasi Nneigh . p . Neighbourhood disebut juga sebagai tetangga atau lingkungan atau sekitaran. Secara simbolik dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 6.1. :
Nneigh.x N superset dari Gx dengan x Gx N, dimana G x himpunan buka yang memuat x.
Kata lain dari pernyataan “N neighborhood titik p” adalah ”p titik interior dari N”.Kelas dari semua neighborhood dari pX ditulis Np dan disebut “Sistem Tetangga” dari p.
Contoh 6.7. :1. Misalkan a R dimana R himpunan bilangan riil. Maka
setiap interval tertutup [a-, a+] dengan pusat a adalah neigborhood dari a, karena interval tersebut memuat interval buka (a-,a+) yang memuat a.
2. Demikian juga jika pR2, maka setiap daerah tutup {q∈R2/d(p , q )≤δ , δ>0} dengan pusat p juga neighborhood dari p karena daerah tutup tersebut memuat daerah buka atau cakram buka dengan pusat p.
q d( p,q )≤δ
p
a - a a +
32
Untuk sistem tetangga Np dari suatu titik pX ada 4 sifat yang disebut sebagai ”Aksioma Neighbourhood” seperti dinyatakan dalam prosposisi sebagai berikut :
Proposisi 6.3. :1. Np Æ dan p termasuk ke dalam tiap anggota Np . 2. Irisan dari dua anggota Np termasuk dalam Np . 3. Setiap superset dari anggota Np termasuk dalam Np .
4. Setiap anggota N Np adalah superset dari anggota G Np
dengan G adalah neighbourhood dari setiap titik dari G, yaitu G Np, untuk setiap gG
6.6. Topologi Coarser dab Finer.
Misakan T1 dan T2 adalah topologi pada himpunan tidak kosong X. Setiap himpunan buka anggota T1 ,himpunan bagian X, adalah anggota T2 himpunan bagian X. Dengan demikian T1 adalah kelas bagian dari T2 , yaitu T1 T2. Kita katakan bahwa T1 adalah coarser T2 atau dengan kata lain T2 adalah finer terhadap T1. Jika T = { Ti} koleksi dari topologi-topologi dari X adalah terurut parsial dan
dapat ditulis T1 ¿
T2 untuk T1 T2 , dimana T1,T2 T. Kita katakan bahwa sebarang dua topologi tidak dapat dibandingkan jika topologi yang satu adalah coarser topologi yang lain sebalikanya jika tidak kita katakan kedua topologi tidak dapat dibandingkan.
Contoh 6.8. :1. Perhatikan topologi diskrit D dan topologi indiskrit Y, dan
sebarang topologi T pada himpunan X. Maka T adalah
coarser terhadap D dan T adalah finer terhadap Y, yaitu Y¿
T¿ D.2. Misalkan T merupakan topologi kofinit dan U adalah topologi
biasa atau usual topologi pada R2
. Setiap himpunan bagian
berhingga dari R2
merupakan himpunan tutup U. Oleh karena itu komplemen dari himpunan bagian berhingga dari
R2, yaitu anggota dari T adalah himpunan buka U. Dengan
kata lain T adalah coarser terhadap U , yaitu T¿ U.
6.7. Ruang Bagian, Topologi Relatif.Misalkan (X, T) merupakan ruang topologi dan A merupakan
himpunan bagian tidak kosong dari X. Kelas TA merupakan kelas dari semua irisan A dengan semua himpunan bagian buka T dari X. Kelas TA merupakan topologi pada A dan disebut topologi relatif pada A atau relatifisasi T terhadap A. Sedangkan ruang topologi (A, TA ) disebut ruang topologi bagian atau secara singkat cukup ruang bagian dari (X,T). Dengan kata lain, himpunan bagian H dari A adalah himpunan buka dari TA, yaitu relatif buka ke A, jika dan hanya jika ada himpunan bagian buka G dari X dan G T sedemikian hingga H = G A
Contoh 6.9. :1. Perhatikan topologi T = {X,Æ, {a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}
pada X = {a,b,c,d,e}, dan A = {a,d,e} X. X A = A, {a} A = {a}, {a,c,d} A = {a,d}Æ A = Æ, {c,d} A = {d}, {c,d} A = {d}, {b,c,d,e} A = {d,e}Maka topologi relatif dari T terhadap A adalah :
TA = {A, Æ, {a},{d},{a,d},{d,e}} 2. Misalkan adalah topologi biasa pada R dan topologi relatif
pada interval tertutup [3,8]. Interval tutup-buka [3,5} adalah buka di dalam topologi relatif pada A, yaitu himpunan buka dari , karena [3,5) = (2,5) A. Dimana (2,5) adalah himpunan bagian buka T dari R.
SOAL :1. Buktikan kebenar teorema 6.1.2. Misalkan X adalah himpunan yan tidak kosong, dan T adalah
kelas himpunan bagian dari X memuat himpunan kosong Ø dan semua himpunan yang komplemennya kontable. Apakan T merupakan topologi pada X?
3. Tunjukkan bahwa ruang bagian dari suatu ruang topologi merupakan ruang topologi juga.
33
4. Misalkan X = {a,b,c,d,e}. Manakah diantara kelas-kelas himpunan bagian dari X berikut yang merupakan ruang topologi?
a. T1 = {X, Ø, {a},{a,b},{a,c}}b. T2 = {X, Ø, {a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}}c. T3 = {X, Ø, {a,},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d}}
5. Misalkan T adalah topologi pada N (himpunan bilangan asli) yang terdiri dari himpunan Ø dan semua himpunan bagian N
yang berbentuk En={n , n+1 , n+2 ,. . ..} dimana n∈N .a. Carilah titik limit dari himpunan A = {4,13,28,37}
b. Carilah E⊂N sedemikian hingga E’ = N.6. Misalkan X = {a,b,c,d,e} dan
T = {X, Ø, {a,},{a,b},{a,c,d},{a,b,e},{a,b,c,d}} adalah topologi pada X.
a. Tentukan titik limit dari himpunan A = {c,d,e} dan B = {b}
b. Tentukan himpunan bagian tutup dari Xc. Tentukan penutup dari {a}, {b}, dan {c,e}d. Manakah himpunan dalam soal c yang padat dalam Xe. Carilah titik-titik interior dari C = {a,b,c}f. Carilah titik-titik eksterior dari C.g. Carilah titik-titik batas dari C.h. Tentukan tetangga dari titik e dan titik c.
BAB VIITOPOLOGI GARIS DAN BIDANG DATAR
7.1. Interval Himpunan bilangan riil R dapat digambarkan dalam garis
lurus yang disebut sebagai garis bilangan riil seperti ditunjukkan gambar di bawah. Gambaran tersebut menunjukkan korespondensi 1-1 antara bilangan riil dengan titik-titik pada garis bilangan.
| | | | | | | -3 -2 -1 0 1 2 3
Gambar 5.1.
Pandanglah suatu himpunan bilangan riil sebagai berikut :A1={x∈R /a<x<b}A2={x∈R /a≤ x≤b}A3={x∈R /a<x≤b}A4={x∈R /a≤x<b}
Himpunan bilangan riil tersebut menyatakan suatu interval atau selang, secara berurutan dinyatakan sebagai berikut :
A1=( a , b)disebut sebagai interval terbuka, tidak termasuk kedua titik ujung.A2=[a ,b ] disebut sebagai interval tertutup, termasuk kedua titik ujung.A3=(a , b ] disebut sebagai interval buka-tutup, tidak termasuk titik ujung a, tetapi termasuk ujung b.A4=[ a , b ) disebut sebagai interval tutup-buka, termasuk titik ujung a, tetapi tidak termasuk ujung b.Jika digambarkan dalam garis bilangan secara berturutan adalah sebagai berikut :
A1=( a , b) O O
a b
A2=[a ,b ] a b
A3=(a , b ] O
a b
A4=[ a , b ) O
a bGambar 5.2.
Suatu interval yang memuat sebarang titik x biasanya dilambangkan
dengan I x
Sedangkan himpunan bilangan riil berikut :
34
B1={x∈R/ x>a}=(a ,∞)B2={x∈R/ x≥a}=[ a ,∞)B3={x∈R /x<a }=(−∞ , a)B4={x∈ R/ x≤a}=(−∞ , a ]B5={x / x∈ R}=(−∞ ,∞)=R
disebut sebagai interval tak berhingga.Jika digambarkan dalam garis bilangan secara berturutan adalah sebagai berikut :
B1=(a ,∞) O a
B2=[ a ,∞)
a
B3=(−∞ , a ) O
a
B4=(−∞ , a ] a
B5=R
Gambar 5.3.
Sifat-sifat interval :Misalkan adalah kelas dari semua interval pada garis
bilangan riil, termasuk di dalamnya Æ dan interval tunggal a = [a,a]. Maka interval memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
(1) Irisan dua interval adalah interval, yaitu :
Jika I 1∈ℑ dan I 2∈ℑ maka I 1∩I 2∈ℑ(2) Gabungan dua interval yang tidak saling asing adalah
interval, yaitu :
Jika I 1∈ℑ , I 2∈ℑdan I 1∩I 2≠φ maka I 1∪I 2∈ℑ
(3) Selisih dua interval yang tidak dapat dibandingkan adalah interval, yaitu :
Jika I 1∈ℑ ,I 2∈ℑ dan I 1⊄ I 2 , I 2⊄ I1 maka I 1−I 2∈ℑ
Contoh 7.1 :
Misalkan I 1 = [2,4) dan I 2= (3,8), makaI 1∩I 2=(3,4 ) dan I 1∪I 2=[ 2,8 )I 1−I 2=[ 2,3 ] dan I 2−I 1=[ 4,8 )
7.2. Titik Interior dan Himpunan Buka dalam RMisalkan A adalah sebarang himpunan bilangan riil. Suatu
titik p A disebut titik interior dari A jika dan hanya jika ada interval terbuka yang memuat p dalam A, secara simbolik ditulis p
I p A.
Di sini tampak bahwa I p berkedudukan sebagai neighborhood p, dalam ruang metrik biasa (R,d).Sebarang himpunan A disebut himpunan buka atau open set jika dan hanya jika semua titiknya adalah titik interior.
Contoh 7.2. :13. Interval terbuka (a,b) ternyata juga memenuhi pengertian
himpunan buka atau open set. Sebab kita dapat mengambil I p=A .(∀ p∈ A ) yang berarti terpenuhi p∈ I p=A berarti
pula p∈ I p⊂ A .14. Himpunan semua bilangan riil R sendiri merupakan
himpunan buka. Sebab setiap titik di R tentu titik interior, yaitu ada interval terbuka yang memuatnya dan ia himpunan
bagian R, yaitu p∈ I p⊂R
15. Interval tertutup B = [a,b] bukan himpunan buka. Sebab untuk sebarang interval terbuka yang memuat a dan b, yaitu (a,b) R, memuat titik diluar B. Atau dengan kata lain titik a maupun b tidak dapat termuat dalam interval terbuka (a,b) bagian dari R. Dalam hal ini titik ujung a dan b bukan titik interior.
35
16. Himpunan kosong Æ adalah himpunan buka. Sebab tidak ada titik di Æ yang bukan titik interior.
Atau (∀ x∈B) . x titik interior B terbuka. ( Ini benar dari definisi).
Untuk (∀ x∈φ ) . x titik interior Æ terbuka. (secara logika implikasi tersebut benar walaupun alasannya salah).
17. Semua interval tak berhingga dalam R adalah himpunan terbuka.
{x /x>a }=(a ,∞){x /x<a }=(−∞ , a){x /x∈R}=(−∞ ,∞)=R
Sedangkan interval tertutup yang tak berhingga bukan
himpunan buka, yaitu [ a ,∞) ,(−∞ ,a ] karena a R bukan
titik interior dari [ a ,∞) ,(−∞ ,a ].
Himpunan semua interval terbuka dan gabungannya dalam R membentuk topologi dari R dan disebut sebagai topologi garis dari himpunan bilangan riil R.Berikut dibuktikan teorema yang merupakan Teorema Fundamental tentang himpunan buka.
Teorema 7.1 :1. Gabungan dari himpunan buka dalam R adalah himpunan
buka, yaitu jika Gk buka maka ¿i∈ I Gi buka, dengan k nilai
tertentu dari i.2. Irisan dari himpunan buka yang banyaknya berhingga adalah
himpunan buka, yaitu jika Gk buka maka intersect i=1
n Gibuka, dimana n bilangan asli tertentu (berhingga).
Bukti :
1. {Gi} keluarga himpunan buka dalam R. Ambil sebarang x∈Gk .
Karena Gk terbuka, maka x merupakan titik interior dari Gk atau
ada interval terbuka I x sedemikian hingga x∈ I x⊂Gk . Tentu x∈ I x⊂∪iGi , sehingga
¿i Gi buka.
2. Misalkan diketahui sebarang kelas himpunan {G1 ,G2 ,G3}, x∈ intersect1
3Gi . Jika Gi buka maka (∃I ix ). x∈S ix⊂Gi , i = 1,2,3.
Jika intersect i Gi=φ
, jelas Æ adalah buka.x∈ intersect i Gitentu x∈Gi , i = 1,2,3.
Andaikan Six=(a i ,b i) , i = 1,2,3.
Ambil λ=Sup. (a1 , a2 , a3 ), dengan d(ak , x ) minimum,
μ= inf .(b1 , b2 , b3 ) , μ=bk dengan d(ak , x )maksimum.
Tentu x∈( λ ,μ )⊂ intersect i=1
n Gidengan n = 3. Maka intersect i=1
n Gibuka.
3. Untuk {Gi} dimana Gi=(−1
x,1x) dengan 1,2,3,....... akan
diperoleh intersecti=1
∞ Gi={0} tidak buka.
7.3. Titik Limit atau Titik Kumpul.Misalkan A R, dimana R himpunan bilangan riil. Suatu
titik p∈R disebut titik limit (limit point) atau titik kumpul (accumulation point) dari A jika dan hanya jika setiap himpunan
buka G yang memuat p yang biasa ditulis Gp , memuat anggota A yang bukan p. Secara simbolik didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 7.1. :
Titik p∈R merupakan titik limit A jika dan hanya jika (∀G p buka). Gp∩A−{p}≠φ
atau (∀G p buka). A∩(Gp−{p})≠φ .
36
Himpunan titik-titik limit dari A disebut himpunan derive A ditulis A’.Dari pengertian titik limit tersebut jika dibandingkan dengan definisi titik limit pada ruang metrik sebenarnya tidak berbeda isi, hanya berbeda term atau istilah yang digunakan. Di sini dipakai istilah himpunan buka sedangkan di ruang metrik digulnakan istilah neighborhood yang ternyata juga himpunan buka.
Contoh 7.3. :
1. Dalam (R1 , d ) dengan d(a,b )=|a−b|
Jika A={1
n/n=1,2,3 ,. .. .. . .. ..}={1 . 1
2, 1
3,. . .. .. . .. .}
, maka0 adalah titik limit dari A karena sebarang himpunan buka G
dengan 0 G memuat interval terbuka (−a1 , a2)⊂G
dengan −a1<0<a2 memuat titik-titik dari A seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
| | | o | o | | |
−34 −
12 −
14 a1 0 a2
14
12
34
Gambar 5.4.Dapat kita lihat bahwa titik limit 0 dari A tidak termasuk di dalam A, demikian juga bahwa A tidak memuat titik-titik limit yang lainnya. Jadi himpunan derived nya merupakan singelton, yaitu A’ ={0}.
2. Misalkan Q = {x/x bilangan rasional }. Setiap bilangan p R tentu merupakan titik limit dari Q, sebab setiap himpunan buka memuat bilangan rasional yang merupakan titik-titik dari Q.
3. Himpunan bilangan bulat Z = {....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....} tidak mempunyai titik limit , sehingga Z’ = Æ.
7.4. Teorema Bolzano-Weierstrass.Ada atau tidaknya titik-titik limit untuk macam-macam
himpunan merupakan pertanyaan yang penting di dalam topologi.
Karena dalam kenyataannya tidak setiap himpunan mempunyai titik limit, seperti contoh 7.3. nomor 3 di atas. Teorema berikut yang dinamakan Teorema Bolzano-Weierstrass akan memberikan gambaran tentang permasalahan tersebut.
Teorema 5.2. :Jika himpunan A tak hingga dan terbatas atau bounded dari bilangan riil, maka sekurang-kurangnya A mempunyai satu titik limit.
Bukti :A bounded, berarti tentu ada interval tertutup [a,b] yang memuat A, atau A [a,b]. Hal ini dapat digambarkan dalam ilustrasi sebagai berikut :
[ ] [ ] ] a c b a1 c1 b1
a2 c2 b2
a3 b3 Gambar 5.5.
Ambil c=a+b
2 . Dibentuk [a,c],[c,b] ambil yang memuat tak hingga anggota A, misalkan [a,c] namakan [a1,b1].
Kemudian ambil c1=
a1+b1
2 dan seterusnya seperti proses di atas.Akan diperoleh [a,b] [a1,b1] [a2,b2] [a3,b3] ……., masing-masing memuat tak hingga elemen A.
Panjang interval [an,bn] adalah bn−an=
b−a
2n. Ini mendekati 0 jika
n
Jadi semua interval [an,bn] memuat titikxo sedemikian hingga lim an= lim bn=xo . Titik xo inilah titik limit dari A sebab untuk
37
setiap interval [an,bn] tentu ada [ an , bn ] [an,bn], sehingga
xo∈(an , bn ) .Jadi benar sekurang-kurangnya ada satu titik limit dari A.
7.5. Himpunan Tertutup. A R disebut himpunan tertutup atau himpunan tutup
(closed set) jika dan hanya jika komplemen A, yaitu Ac himpunan
buka. (hal ini sama dengan teorema dalam ruang metrik)
Teorema 7.3. :A tertutup jika dan hanya jika titik limit dari A termuat di A.(Teorema ini sama dengan definisi dalam ruang metrik)
Bukti :1. A tertutup maka titik limit dari A termuat di A
A tertutup berarti Acterbuka, oleh karena itu (∀b∈ Ac ) b
titik interior Ac.
Berarti (∃I b ) . b∈ I b )⊂ Ac, sehingga diperoleh I b∩A=φ ,
yang juga berarti tidak semua I b memuat elemen A. Jadi b
bukan titik limit Ac atau titik limit A tidak di Ac
, tetapi harus di A.
2. Titik limit A termuat di A maka A tertutup.
Ambil b∈ Ac
b bukan titik limit A, jadi (∃I b ) . b∈ I b dan I b∩A=φ
Jadi b∈ I b⊂Ac, yang berarti A
c terbuka , maka A tertutup.
Contoh 7.4. :
1. Interval tertutup [a,b] adalah himpunan tertutup , sebab :Lihat komplemennya (- ,a) (b, ) merupakan interval terbuka, berarti merupakan himpunan buka.Jadi [a,b] merupakan himpunan tertutup.
2. Himpunan A={1 , 12
, 13
, 14
, .. .. . .. .. .} adalah tidak tertutup karena 0 adalah titik limit dari A dan 0 A.
3. Æ dan R adalah himpunan tertutup karena φc dan R
c
masing-masing merupakan himpunan buka.
4. Interval buka-tutup A = (a,b] adalah tidak buka karena b∈ A
bukan titik interior dari A, dan A tidak tutup karena a∉ A bukan titik limit dari A.
7.6. Topologi Bidang Datar
Jika kedudukan interval terbuka dalam topologi dari R1
digantikan oleh open disc atau cakram buka dalam R2
, yaitu
himpunan titik-titik dalam lingkaran dengan pusat p=(a1 ,a2 ) dengan jari-jari δ>0 , kita nyatakan daerah buka atau cakram buka tersebut dalam himpunan sebagai berikut :
D={(x , y )/( x−a1 )2+( y−a2)
2<δ2}
={q∈ R2 /d( p , q)<δ} ( seperti neighborhood dalam ruang
metrik (R2 , d ) )
Di sini d( p,q )=√(a1−b1 )
2+(a2−b2 )2
adalah jarak titik p(a1 , a2 )
dan q (b1 , b2) di dalam R2
.Himpunan D tersebut ditunjukkan gambar berikut :
q
D . p = (a1,a2)
Gambar 5.6.
Daerah buka dalam R2
mempunyai peran penting dalam
topologi di R2
seperti pentingnya interval terbuka dalam topologi
garis dari R1
atau R. Topologi dalam R2
tersebut dinamakan
38
. p
D2 . b
2
D1
a .
1
Topologi Bidang Datar. Topologi ini juga termasuk topologi biasa atau usual topology. Beberapa pengertian juga didefinisikan sama dalam topologi bidang
datar dari R2
, seperti titik interior, titik limit, himpunan buka, himpunan tutup dan sebagainya.
7.7. Titik Interior dan Himpunan Buka pada R2.
Misalkan A merupakan himpunan bagian dari R2
. Suatu titik p∈ A adalah titik interior dari A jika dan hanya jika p termuat di
dalam cakram buka Dp yang termuat di dalam A, yaitu p∈Dp⊂A
. Demikian juga suatu himpunan A merupakan himpunan buka atau open set jika dan hanya jika setiap titik dari A adalah titik interior.
Cakram buka pada bidang di R2
dan himpunan kosong Æ adalah
himpunan bagian buka dalam R2
. Teorema-teorema dalam topologi garis berlaku juga secara analogik
dalam topologi bidang datar R2
.
Teorema 5.4. :Irisan sebarang dua cakaram buka juga merupakan cakram buka.
Bukti :
Misalkan D1=¿¿
dan D2={q∈R2 /d(b , q )<δ2}
Misalkan p∈D1∩D2 , maka d(a, p )<δ1 dan
d(b, p )<δ2
Himpunan r=min . {δ1−d(a , p ) , δ2−d(b , p )}>0
Tentu ada cakram buka Dp={q∈R2/d( p ,q )<
12
r )}={( x , y )/( x−p1 )2+( y−p2 )
2< 12
r}
Dimana q ( x , y ) dan p( p1 , p2 )
Gambar 5.7.
Maka p∈Dp⊂D1∩D2 , ini berarti bahwa p adalah titik interior.
Jadi D1∩D2 buka.
7.8. Titik Limit atau Titik Kumpul dalam R2
Suatu titik p∈R2 adalah titik limit atau titik kumpul dari
A⊂R2 jika dan hanya jika setiap himpunan buka yang memuat p,
yaitu Gp , memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan titik p. Secara simbolik dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 7.2. :
Titik p∈R2 adalah titik limit atau titik kumpul dari A jika dan hanya
jika dan (∀G p⊂R2 ) himpunan buka, maka ( A∩(Gp−{p })≠φ
Contoh 7.6. :
Perhtikan himpunan A bagian dari R2
, yaitu A={( x , y ) / y=sin x , x>0}.Himpunan A tersebut digambarkan sebagai berikut :
1
pGp
39
p . A
X B
-1 Y Gambar 5.8.
Grafik A dari kiri ke kanan turun-naik dan memotong sumbu X
menjadi penutup-penutup. Titik p(0 , 12) adalah titik limit dari A,
karena himpunan A akan melalui cakram buka yan memuat p. Ternyata setiap titik pada sumbu Y yang terletak antara -1 dan 1,
yaitu titik-titik dalam himpunan B=( x , y )/ x=0 ,−1< y<1¿¿merupakan titik limit dari A
7.9. Himpunan Tutup.
Himpunan bagian A dari R2
adalah himpunan tutup atau
closed set jika dan hanya jika komplemennya, yaitu Ac, adalah
himpunan buka dari R2
.
Teorema-teorema pada bidang R2
analog dengan teorema-teorema pada gris R, seperti diuraiakan berikut :
Teorema 7.5. :
1. Gabungan dari himpunan bagian buka dari R2
adalah himpunan buka.
2. Irisan sebanyak berhingga dari himpunan bagian buka dari R2
adalah buka.
Teorema 7.6. :
Sebarang himpunan bagian R2
merupakan himpunan tutup jika dan hanya jika A memuat semua titik limit dari A
BAB VIII
BASIS TOPOLOGI
8.1. Basis TopologiMisalkan (X,T) merupakan ruang topologi. Suatu kelas B dari
himpunan bagian buka dari X dengan B T adalah adalah basis untuk topologi T jika dan hanya jika setiap himpunan buka G T adalah gabungan dari anggota-anggota B . Atau didefinisikan lain dengan pernyataan yang ekivalen, yaitu
Definisi 8.1. :B T adalah basis untuk topologi T jika dan hanya jika (∀ p∈G ). ∃B B dengan p∈B⊂G .
Contoh 8.1. :1. Setiap interval buka membentuk basis untuk topologi garis riil
R. Hal ini disebabkan jika G R merupakan himpunan buka dan p G , maka berdasarkan definisi ada interval buka (a,b) dengan p (a,b) G.Demikian juga setiap cakram buka membentuk basis untuk
topologi pada R2
.
2. Persegi panjang buka di dalam bidang R2
yang dibatasi oleh sisi-sisi sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y juga
membentuk basis untuk topologi pada R2
.
G Dp
p B
40
Sebab jika G R2 dan p G, maka cakram buka Dp yang
pusatnya p dengan p∈Dp⊂G . Maka sebarang persegi panjang B B yang titik titik sudutnya terletak pada batas Dp memenuhi sifat : p∈Dp⊂G atau p∈B⊂G , seperti ditunjukkan pada gambar di atas.
3. Diketahui ruang diskrit (X,D), maka kelas = {{p}/pX} dari semua himpunan bagian singelton dari X adalah basis untuk topologi diskrit D pada X . Untuk setiap himpunan singelton {p} adalah himpunan buka karena setiap A X merupakan himpunan buka. Demikian juga setiap himpunan merupakan gabungan dari himpunan singelton. Sehingga kelas dari himpunan bagian dari X merupakan basis untuk D jika dan hanya jika B* superkelas dari B, yaitu B* B.
Jika B kelas dari himpunan bagian X , maka kelas B merupakan basis untuk sebarang topologi pada X, jika antara B dan X terdapat
hubungan X=¿¿ B }. Hubungan ini hanya merupakan syarat cukup untuk dapat merupakan basis.
Contoh 8.2. :Misalkan X = {a,b,c}. Kita tunjukkan bahwa kelas yang anggota-anggotanya {a,b} dan {b,c} yaitu B = {{a,b}, {b,c}} tidak merupakan basis dari sebarang topologi X karena {a,b} dan {b,c} adalah himpunan buka dan irisan {a,b} dan {b,c} yaitu {b} juga merupakan himpunan buka, tetapi {b} bukan anggota dari gabungan anggota-anggota dari B.
Teorema berikut merupakan syarat perlu dan cukup untuk kelas dari himpunan-himpunan yang merupakan basis untuk suatu topologi.
Teorema 8.1. :Misalkan B adalah kelas himpunan bagian dari sebarang himpunan tidak kosong X. Maka B adalah basis untuk suatu topologi pada X jika dan hanya jika memenuhi dua sifat sebagai berikut :
1. X=¿¿¿¿ B }.2. Untuk sebarang himpunan B, ada himpunan B* B ,
BB* merupakan gabungan dari anggota anggota B,
atau, jika p∈B∩B∗¿ ¿ maka ∋Bp∈B sedemikian
hingga p∈Bp⊂B∩B∗¿ ¿.Misalkan B adalah kelas dari interval buka-tutup di dalam garis bilangan riil R yaitu :
B = {(a,b]/a,b R, a < b}
Ternyata R adalah gabungan dari anggota-anggota B karena setiap bilangan riil termasuk pada suatu interval buka-tutup.Demikian juga irisan (a,b] (c,d] dari sebarang dua interval tutup-buka adalah kosong atau interval buka-tutup.Misalnya, jika a < c < b < d , maka (a,b](c,d] = (c,b] yang ditunjukkan diagram berikut :
o o a c b d
Jadi kelas yang memuat gabungan interval buka-tutup merupakan topologi pada R, yaitu B merupakan basis untuk topologi T pada R. Topologi T tersebut disebut batas atas atau upper bounded topologi pada R. Di sini T U, dimana U topologi biasa.Demikian juga kelas interval tutup-buka berikut :
B = {[a,b)/a,b R, a < b}
juga merupakan basis untuk topologi T pada R dan disebut batas bawah atau lower bounded topologi pada R.
8.2. Basis Bagian Misalkan (X, T) ruang topologi. Kelas S dari himpunan
bagian buka dari X, yaitu S T adalah basis bagian atau subbasic untuk topologi T pada X jika dan hanya jika irisan berhingga dari anggota S membentuk basis dari T.
Contoh 8.3. :
41
1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis bilangan riil R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga (a,) dan (-,b), yaitu : (a,b) = (a,) (-,b) Tetapi interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R. Jadi kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.
2. Irisan dari sebarang pita buka vertikal dan horizontal tak
hingga pada bidang R2
adalah persegi panjang buka seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
Y
X
Dari keterangan tersebut persegi panjang buka membentuk
basis untuk topologi R2
. Oleh karena itu kelas S dari semua
pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R2
.
8.3. Generator atau Pembentuk TopologiMisalkan A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan
yang tidak kosong X. Kelas tersebut kemungkinannya bisa membentuk basis dari topologi pada X bisa bukan basis. Tetapi selalu merupakan generator atau pembentuk dari topologi pada X jika memenuhi teorema sebagai berikut :
Teorema 8.2. :Suatu kelas A dari himpunan bagian dari himpunan tidak kosong X dan A merupakan basis bagian untuk suatu topologi T yang unik pada X . Dikatakan A pembentuk atau
pembangun atau generator suatu topologi pada X jika irisan tak hingga dari anggotanya membentuk basis untuk topologi T pada X.
Contoh 8.4. :1. A = {{a,b},{b,c},{d}} adalah kelas dari himpunan-himpunan
bagian dari X = {a,b,c,d}Irisan terhingga dari anggota-anggota A adalah kelasB = {{a,b},{b,c},{d},{b},Ø,X}. X ∈ B karena menurut definisi X adalah irisan kosong dari anggota- anggota A . Gabungan dari anggota-anggota B adalah T = {{a,b,c},{b,c,d},{a,b,c}{a,b},{b,c},{b,d}, {d},{b}, Ø, X, }dimana T merupakan topologi pada X yang dibentuk oleh kelas A.
2. Misalkan (X, ¿ ) adalah TOSET yang tidak kosong. Topologi pada X yang dibentuk oleh himpunan-himpunan bagian dari X berbentuk :{x∈ X / x< p , p∈ X } atau {x∈ X / p<x , p∈ X }disebut topologi terurut pada X.
Topologi yang dibentuk oleh kelas dari himpunan-himpunan dapat juga dinyatakan seperti proposisi sebagai berikut :
Proposisi 8.1. :A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan tidak kosong X. Suatu topologi T pada X, dikatakan dibentuk atau dibangun atau generated oleh A yang merupakan irisan dari semua topologi pada X memuat A .
8.4. Basis Lokal. Misalkan p adalah sebarang titik di dalam ruang topologi (X,
T). Kelas Bp dari himpunan bagian buka yang memuat p disebut basis lokal pada p jika dan hanya jika untuk setiap himpunan buka G yang memuat p tentu ada Gp Bp sedemikian hingga p Gp G.
Contoh 8.5. :
Pada topologi biasa pada bidangR2diketahui p R2
. Maka kelas Bp yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya p
42
adalah basis lokal pada p. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan buka G yang memuat p juga memuat cakram
buka Dp yang pusatnya di p seperti ditunjukkan pada gambar berikut
Dp
. p
G
Demikian juga kelas dari semua interval buka (a-, a+) dalam garis riil R dengan pusat a R adalah basis lokal pada titik a.
Proposisi berikut menggambarkan hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik.
Proposisi 8.2. :Jika basis untuk topologi pada X dan p X, maka anggota-anggota dari basis yg memuat p membentuk basis lokal di p.
Proposisi 8.3. : Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik limit dari A X jika dan hanya jika setiap anggota suatu basis lokal Bp pada p memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.
Proposisi 8.4. :
Barisan (a1 , a2 , a2 , .. .. . ) dari titik-titik dalam ruang topologi X
konvergen ke p∈X jika dan hanya jika setiap anggota dari sebarang basis lokal Bp pada p memuat suku2 dari barisan itu.
Dari proposisi tersebut diperoleh kesimpulan bahwa, jika suatu basis B untuk topologi T pada X, maka
a. pX adalah titik limit dari A X jika dan hanya jika setiap himpunan buka B∈B yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.
b. Barisan (a1 , a2 , a2 , .. .. . ) dari titik-titik dalam X konvergen ke p∈X jika dan hanya jika setiap himpunan basis buka B∈B yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.
Contoh 8.6. :Misal T topologi pada garis riil R yang basisnya kelas interval tutup-buka [a,b). Jika A = (0,1) dan G = [1,2) merupakan suatu topologi T dari himpunan buka yang memuat 1 R yang mana G A = Æ, jadi 1 adalah bukan titik limit dari A.Tetapi 0R adalah titik limit dari A, karena suatu himpunan
basis buka [a,b) memuat 0, yaitu untuk a≤0<bmemuat titik-titik dari A selain 0
SOAL :1. Buktikan bahwa :
a. Jika B kelas bagian dari topologi T, maka setiap G∈T adalah gabungan dari anggota-anggota B.
b. Jika B kelas bagian dari topologi T, maka untuk p
anggota himpunan buka G, ada Bp∈ B sedemikian
hingga p∈Bp⊂G
2. Misalkan B adalah basis untuk topologi T pada X dan B* adalah kelas dari himpunan-himpunan buka yang memuat B, yaitu B⊂B* ⊂ T . Buktikan bahwa B* adalah basis untuk T.
3. Misalkan X = {a,b,c,d,e} dan A = {{a,b,c},{c,d},{d,e}}. Carilah topologi pada X yang dibentuk oleh A.
4. Misalkan adalah kelas dari semua setengah bidang buka H
dalam bidang R2
yang berbentuk H = {(x,y)/x<a atau x>a atau y<a atau y>a}
Carilah topologi pada R2
yang dibentuk oleh A.
BAB IXKONTINUITAS
9.1. Fungsi Kontinu.
43
. x
. y
. z
. w
a .
b .
c .
d .
. x
. y
. z
. w
a .
b .
c .
d .
Diketahui ruang topologi (X,T) dan (Y,T*) . Suatu fungsi f dari X ke Y dikatakan kontinu (relatif) terhadap T dan T* atau kontinu T-T* atau kontinu jika dan hanya jika
bayangan invers f−1(G )dari setiap T* dengan G himpunan
buka dari Y adalah anggota T yang merupakan himpunan buka dari X, atau secara simbolik didefinisikan sebagai berikut
Definisi 9.1. :
(∀G∈ T *) . f−1(G )∈ T.
Fungsi f tersebut sering kali juga kita tulis f : (X, T) (Y, T*) yang menunjukkan fungsi di dalam ruang topologi.
Contoh 9.1. :1. Diberikan X = {a,b,c,d} dan T = {Æ,X,{a},{a,b},{a,b,c}}
Y = {x,y,z,w} dan T* = {Æ,Y,{x},{y},{x,y},{y,z,w}} Suatu fungsi f : X Y dan g : X Y didefinisikan dengan diagram berikut :
X Y X Y
f g
Maka fungsi f adalah kontinu, sebab invers dari setiap himpunan buka anggota T* pada Y adalah anggot T pada X.
Misalnya jika G1 = {x,y}, G2={y , z , w}, maka f−1(G1 )={a}∈ T dan f
−1(G2 )=X∈T.
Sedangkan fungsi g tidak kontinu sebab g−1 (G2)={c , d }∉T.
2. Diketahui ruang topologi diskrit (X,D) dan ruang topologi
(Y,T). Maka suatu fungsi f : X→Y adalah kontinu D – T, karena jika diambil H sebarang himpunan bagian buka dari Y,
invers H dari fungsi f, yaitu f−1(H )adalah himpunan bagian
buka dari X. Dalam hal ini setiap himpunan buka dari ruang topologi diskrit adalah buka.
3. Misalkan f : X Y dengan (X,T1) dan (Y,T2) masing-masing ruang topologi dan B adalah basis untuk topologi pada Y.
Untuk setiap B B, makaf−1[B ] , himpunan bagian buka dari X merupakan fungsi kontinu. Hal ini bisa kita tunjukkan jika G merupakan himpunan bagian buka dari Y, maka G = ¿i Bi adalah gabungan dari anggota-anggota B.
Tetapi f−1[G ]=f−1[∪i Bi ]=¿i f
−1[Bi ] . Dan setiap f−1[B i ]
, menurut hipotesis, merupakan himpunan buka, sehingga
f−1[G ] adalah gabungan dari himpunan buka merupakan himpunan buka. Jadi f adalah kontinu.
Proposisi 9.1. :Fungsi f : X Y adalah kontinu jika dan hanya jika invers dari setiap anggota basis untuk Y adalah himpunan bagian buka dari X.
Teorema 9.1. :Misalkan S adalah basis bagian untuk ruang topologi Y. Maka fungsi f : X Y adalah kontinu jika dan hanya jika invers setiap anggota S adalah himpunan bagian buka dari X.
Contoh 9.2. :
1. Pemetaan-pemetaan proyeksi dari R2
ke dalam garis riil R keduanya kontinu ke topologi biasa. Misalnya proyeksi : R2
R didefinisikan oleh ((x,y)) = y. Maka invers dari suatu interval buka (a,b) adalah pita buka tak hingga yang diilustrasikan seperti berikut :
b
44
a
π−1 [( a ,b ) ] adalah daerah yang bertekstur.Jadi menurut proposisi 9.1. invers dari setiap himpunan
bagian buka dari R adalah buka dalam R2
, jadi fungsi kontinu.
2. Fungsi harga mutlak pada R, yaitu f ( x )=|x| untuk setiap x R adalah kontinu. Hal tersebut disebabkan jika A = (a,b), interval buka dalam R, maka :
Æ jika a<b≤0
f−1[ A ]= (-b,b) jika a<0<b
(-b,-a)(a,b) jika 0≤a<b
seperti digambarkan pada diagram berikut.
Di dalam setiap hal f−1[ A ] adalah buka jadi f kontinu
b
b - b b
a a
f−1[ A ]=φ f−1[ A ]=(−b , b)
b
a
-b –a a b
f−1 [ A ]=(−b ,−a )∪(a , b)
Fungsi-fungsi kontinu dapat dinyatakan juga dengan menggunakan himpunan-himpunan buka seperti dinyatakan dalam teorema sebagai berikut :Teorema 9.2. :
Fungsi f : X→Y adalah kontinu jika dan hanya jika bayangan invers dari setiap himpunan bagian tutup dari Y adalah himpunan bagian tutup dari X.
9.2. Fungsi Kontinu dan Ketertutupan Sebarang.
Misalkan X adalah ruang tipologi. Titik p∈X disebut tutup sebarang (arbitraly close) terhadap himpunan A⊂X jika :
a. p∈ A ataub. p adalah titik kumpul dari A
Perhatikan bahwa A=A∪A ' . Sehingga penutup A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Dan juga
bahwa A=Ao∪b (A ) . Sehingga p adalah tutup sebarang terhadap A, karena p adalah titik interior atau titik batas dari A.
Fungsi kontinu dapat juga dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh spt dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema 9.3. :
Fungsi f : X→Y adalah kontinu jika dan hanya jika untuk p∈X dan A⊂X ; ”p tutup sebarang ke A, maka f(p) tutup
sebarang ke f(A)”, atau ” p∈ A , maka f ( p )∈ f [ A ]” atau ”
f [ A ]⊂ f [ A ]”
9.3. Kontinu Di Suatu TitikKekontinuan seperti yang telah didefinisikan sebelumnya
menyatakan sifat-sifat yang umum, yaitu bahwa kekontinuan itu
45
dibatasi di dalam suatu fungsi yang berlaku pada semua himpunan X. Tetapi juga ada suatu hubungan yang konsepnya bersifat lokal yang disebut kekontinuan pada suatu titik.
Suatu fungsi f : R R kontinu di titik p R jika untuk
sebarang himpunan buka V f ( p) yang memuat f(p) ada himpunan buka
U p yang memuat p sedemikian hingga f (U p)⊂V f (p )
Bandingkan dengan definisi lama seperti pada kalkulus yang rumusannya menggunakan , sebagai berikut :
Suatu fungsi f : R R adalah kontinu di titik x0 jika untuk setiap >
0 dapat dotemukan > 0 sedemikian hingga (∀ x∈R ). |x−x0|<δ
maka |f ( x )−f ( x0 )|<ε .
o f(x0) o
o o x0+ x0 x0+
Suatu fungsi f dikatakan kontinu jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik.
Hubungan antara kekontinuan lokal dan kekontinuan umum
untuk fungsi-fungsi f : R→R dipenuhi secara umum seperti dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema 9.4. :Mislakan X dan Y masing-masing ruang topologi. Maka
fungsi f : X→Y adalah kontinu jika dan hanya jika f : X→Y kontinu pada setiap titik dari X.
9.4. Fungsi Buka dan Fungsi Tutup.Berdasarkan uraian sebelumnya dinyatakan bahwa suatu
fungsi kontinu jika memenuhi sifat bahwa bayangan invers dari setiap himpunan bagian buka adalah himpunan buka dan bayangan invers dari setiap himpunan bagian tutup adalah himpunan tutup. Berikut didefinisikan tentang fungsi buka dan fungsi tutup.
Definisi 9.2. :
(1) Fungsi f : X→Y disebut fungsi buka atau fungsi interior jika bayangan (peta) dari setiap himpunan buka adalah buka.
(2) Fungsi g : X→Y disebut fungsi tutup jika bayangan (peta) dari setiap himpunan tutup adalah tutup.
Pada umumnya fungisi buka belum tentu fungsi tutup atau sebalikanya. Berikut diberikan contoh-contoh tentang fungsi buka dan kontinu tetapi tidak tutup.
Contoh 9.3. :
Diketahui pemetaan proyeksi π :R2→R pada bidang R2
ke
dalam sumbu X, yaitu π ( x , y )=x . Proyeksi μ(D ) dari
sebarang daerah buka D⊂R2 adalah interval buka. Jadi
suatu titik π ( p) dalam peta π (G) dari himpunan buka G⊂R2
termasuk dalam interval buka di dalam π (G) , atau π (G) adalah buka. Jadi π adalah fungsi buka. Tetapi π bukan fungsi tutup karena untuk setiap himpunan A={( x , y ) /xy≥1, x>0}yang tutup, proyeksi π [ A ]=(0 ,∞) adalah tidak tutup, seperti ditunjukkan dalam gambar berikut :
G
π [G ]
• π ( p) π ( A )
• A
46
π [G ] 9.5. Ruang Homeomorphisma.
Antara dua ruang topologi (X,T) dan (Y, T*) terdapat banyak
fungsi f : X→Y termasuk di dalamnya adalah fungsi kontinu, fungsi buka, fungsi tutup seperti yang telah didefinisikan sebelumnya, selain fungsi-fungsi lain sebarang. Fungsi-fungsi tersebut menyangkut banyak aspek di dalam struktur ruang topologi (X,T) dan (Y, T*).
Kita misalkan f : X→Y adalah fungsi bijeksi, maka fungsi
bijeksi f : P( X )→P(Y ) adalah fungsi dari himpunan kuasa X ke himpunan kuasa Y. Jika fungsi itu dari T ke T* didefinisikan sebagai korespondensi satu-satu antara himpunan-himpunan bagian buka dalam X dan himpunan-himpunan bagian buka dalam Y, maka ruang topologi (X,T) dan (Y, T*) adalah identik dari topologi titik.
Berikut kita definiskan suatu ruang yang berkaitan dengang fungs-fungsi kontinyu dalam ruang topologi X dan Y yang disebut ruang homeomorphisma.
Definisi 9.3. :Dua ruang topologi X dan Y disebut homeomorphik atau
topologi ekivaalen, jika ada fungsi bijeksi f : X→Y
sedemikian hingga f dan f−1
adalah kontinu. Fungsi f tersebut dinamakan homeomorphisma.
Suatu fungsi f disebut bikontinu atau topologi, jika f adalah buka dan
kontinu. Jadi f : X→Y adalah homeomorphisma jika dan hanya jika f bikontinu dan bijektif.
Contoh 9.4. :
1. Misalakan X = (-1,1). Fungsi f : X→R yang didefinisikan
oleh f ( x )=tgn 12
πx adalah bijektif dan kontinu. Selanjutnya
fungsi f−1
adalah kontinu. Jadi garis riil R dan interval buka (-1,1) adalah homeomorphik.
2. Mislakan X dan Y masing-masing ruang diskret. Maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke fungsi yang lainnya adalah
kontinu. Jadi X dan Y adalah homeomorphik jika dan hanya jika ada fungsi bijektif dari fungsi satu terhadap yang lainnya yaitu jika dan hanya jika X dan Y mempunyai kardinalitas yang sama.
Proposisi 9. 2. :Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi ruang topologi yang didefinisikan oleh ” X homeomorphik dengan Y” adalah relasi ekivalen.
SOAL :
1. Buktikan bahwa jika f : X→Y dengan f ( x )=p∈Y untuk
setiap x∈ X adalah fungsi konstan, maka f kontinu relatif terhadap suatu topologi T pada X dan terhadap topologi T* pada Y.
2. Misalakan U adalah topologi biasa pada garis riil R dan T adalah batas atas topologi pada R yang dibentuk oleh interval
buka-tutup(a,b]. Selanjutnya fungsi f : R→R didefinisikan oleh
x jika x≤1
f(x) =
x + 2 jika x > 1
seperti ditunjukkan dalam diagram berikut :
2 •
-6 -4 -2 1 2 4 6
-2
47
-4 a. Tunjukkan bahwa f bukan U – U kontinu.b. Tunjukkan bahwa f adalah T – T kontinu.
48