topik 3 kod dan_kriptografi

MTE3143 APLIKASI MATEMATIK

60

TOPIK 3 KOD DAN KRIPTOGRAFI

3.1 Sinopsis

Topik 3 dalam kursus ini bertujuan mengkaji aplikasi matematik dalam kod

dan kriptografi. Antara aspek yang diliputi ialah pelbagai jenis kod pembetulan

kesilapan dan juga kod linear yang merangkumi ruang penyelesaian bagi

sistem persamaan linear dan penggunaannya dalam kod pembetulan

kesilapan. Pelajar akan juga mempelajari kriptografi kekunci umum yang,

termasuk penggunaan teori asas nombor untuk menghasilkan sistem kod

penghitungan yang tidak boleh diceroboh dan algorithm RSA.

3.2 Hasil Pembelajaran Pada akhir tajuk ini, pelajar dijangka dapat:

mendemonstrasikan kefahaman terhadap kod dan kriptografi;

menerangkan tentang kod pembetulan kesilapan, kod ulangan, dan kod

semakan pariti, kod linear dan kod Hamming.

menerangkan tentang kriptografi kekunci awam dan melakukan enkripsi

dan dekripsi dengan menggunakan algoritma RSA.

3.3 Kerangka Tajuk

Kod dan Kriptografi

Kod linear dan

kod hamming

Kekunci umum kriptografi & algoritma

RSA

Mariner Spacecraft, kod

pembetulan kesilapan, kod

ulangan & kod semakan pariti


61

3.4 Mariner Spacecraft 1969

Pada tahun 1965, Amerika Syarikat telah melancarkan kapal angkasa

Mariner 4 untuk mengambil gambar planet Marikh. Transmisi setiap gambar

mengambil masa 8 jam. Misi Mariner selanjut, seperti Mariner 6 telah

menghasilkan gambar yang lebih jelas dengan menggunakan kod

pembetulan ralat.

. Kaedah transmisi gambar oleh Mariner 6 dari Marikh ke Bumi yang

digunakan pada tahun 1969 melibatkan penggunaan grid halus yang

diletakkan ke atas gambar yang dikirim. Setiap “petak” atau piksel, diberi

“darjah kehitaman” antara julat 0 hingga 63.


62

Setiap nombor ditulis sebagai urutan enam 0 dan 1. Contoh cara penulisan

dalam sistem binari (nombor asas 2) adalah seperti di bawah:

0 000000

1 000001

2 000010

3 000011

4 000100

5 000101

6 000110

7 000111

8 001000

9 001001

…

43 101011

…

63 111111 Jadi, darjah kehitaman = 43 → 101011. Dalam kes Mariner 6, setiap gambar dipecahkan kepada 700 x 832 petak,

di mana setiap petak dikodkan oleh 6 digit binari, setiap gambar akan

mengandungi satu urutan 6 x 700 x 832 = 3 494 400 digit binari.

Walau bagaimana pun, darjah kehitaman setiap petak mengandungi enam

digit binari manakala mesej yang dikirim sebenarnya menggunakan lebih

banyak digit bagi setiap darjah kehitaman – sebenarnya 32 digit binari

digunakan bagi setiap petak, oleh yang demikian gambar akan

mengandungi urutan 32 x 700 x 832 = 18 636 800 digit binari.


63

Proses Transmisi Mesej

Sungguhpun saluran transmisi mesej yang ditunjukkan di atas mudah,

kadang-kadang mesej yang dikirim akan diganggu oleh ralat tertentu.

Sama ada saluran transmisi yang digunakan merupakan pautan satelit,

tanpa wayar atau wayar telefon, biasanya saluran tersebut mungkin akan

menambah unsur gangguan (noise) yang menyebabkan ralat. Kejadian ini

serupa dengan gangguan suara yang kita alami semasa panggilan telefon

di kawasan isyarat lemah.

Dalam contoh di atas, mesej 01101 dikirim tetapi mesej yang diterima

kurang jelas. Jadi, adalah sukar untuk menterjemahkan digit tengah dan

digit terakhir yang diterima 01?0?


64

Apakah yang si penerima patut buat apabila menerima mesej tersebut?

Jawapannya bergantung kepada situasi. Misalnya, adalah mungkin mesej

tersebut diminta dikirim sekali lagi – semasa panggilan telefon, minta

disebut sekali lagi ataupun semasa menggunakan kad kredit, kad kredit

dilalui mesin kad kredit sekali lagi jika nombor yang diterima kurang jelas

sebab sukar diteka. Dalam kes misi angkasa lepas Mariner, gambar

tersebut tidak dapat dihantar sekali lagi dan adalah lebih praktikal untuk

menyahkod mesej seberapa tepat yang mungkin (oleh komputer bukan

oleh manusia).

Secara am, kesan gangguan dalam saluran komunikasi akan

mengakibatkan ralat yang menyebabkan mesej yang diterima berlainan

daripada apa yang dikirim. Oleh demikian, dalam contoh Mariner 6 di atas,

kita dapat lihat situasi di mana 43 yang ditransmisikan oleh kapal angkasa

diterima dan diterjemahkan sebagai 11 di Bumi.

3.4.1 Kod Pembetulan Kesilapan Kod pembetulan kesilapan (ralat) menangani masalah ralat dengan

menggunakan konsep lebihan (redundancy) – menggunakan lebih banyak

simbol yang diperlukan untuk mesej.

Dalam bahasa biasa, lebihan kerap berlaku, di mana pengetahuan

bahasa dan konteks ianya digunakan – membantu kita mengenal pasti

ralat tipografikal (ejaan) dan membetulkannya apabila dibaca.


65

Misalnya, jika perkataan ‘cetakan’ dikirim, ia mungkin diterima sebagai

‘cetekan’ atau ‘cetakau’. Dalam konteks topik ini, memang dapat dikenal

pasti dengan mudah bahawa ralat tipografikal (ejaan) telah berlaku dan

perkataan yang betul diteka dengan tepat sebagai ‘cetakan’.

Misi Mariner 6 telah menggunakan 6 digit binari untuk mengekod setiap

petak kecil (piksel) dalam gambar Marikh. Apabila mengirim isyarat balik

ke Bumi, Mariner 6 mengirim 32 digit dengan 26 (iaitu 32 – 6) digit lebihan.

Yang lebih mengkagumkan ialah terjemahan betul bagi setiap rantaian yang

mengandungi kurang daripada 8 ralat.

Jadi:

Setiap rantaian mengandungi enam 0 dan 1 → rantaian tiga puluh

dua 0 dan 1 → rantaian dengan < 8 ralat dinyahkodkan dengan

betul

Bagaimanakah ini boleh berlaku? Proses mengekod mesej bermula dengan penukaran teks biasa kepada

satu rantaian nombor dengan menggunakan abjad digital berikut. Dalam

kod ini, setiap huruf (dan juga tanda baca) diwakili oleh urutan 0 dan 1

sepanjang 5-digit. Oleh yang demikian, urutan-urutan tersebut merupakan

nombor antara 0 dan 32 yang ditulis dalam sistem binari (asas 2).


66

Dalam kes Mariner 6, satu kod Reed-Muller yang kuat telah digunakan

untuk pembetulan kesilapan. Seperti yang dinyatakan, mesej 6 digit binari

telah ditukar kepada mesej 32 digit binari yang digelar sebagai katakod

(codewords).

Misalnya, mesej yang dikirim mengandungi 3 digit binari. Oleh yang

demikian, terdapat 8 mesej yang mungkin, yang boleh diwakili oleh integer 0

hingga 7. Dalam contoh ini, 5 digit lebihan akan ditambah kepada setiap

mesej untuk menghasilkan katakod yang panjangnya 8.

0 = 000

1 = 001

2 = 010

3 = 011 →

4 = 100

5 = 101

6 = 110

7 = 111

000

001

010

011

100

101

110

111

00000

10110

10101

00011

10011

00101

00110

10000


67

Katakod 00110110 mewakili integer 1. Jika dibandingkan dengan katakod

00000000 yang mewakili integer 0, mudah dilihat bahawa kedua-dua

katakod ini berbeza di empat tempat (ketiga, keempat, keenam dan

ketujuh). Dengan cara yang sama, jika dibandingkan 00110110 dengan

katakod 01010101, dapat dilihat sekali lagi bahawa kedua-dua katakod ini

berbeza di empat tempat – kali ini di tempat kedua, ketiga, ketujuh dan

kelapan.

Perhatikan bahawa hanya ada 8 mesej, iaitu 8 katakod daripada 28 = 256

rantaian lapan digit binari yang mungkin. Hal ini bukan sahaja dapat

membantu pengesanan ralat tetapi juga pembetulan ralat yang tunggal.

Jika 00111110 diterima, memang mudah untuk menyemak bahawa ini

bukan katakod dan ralat telah berlaku – biasanya tidak pasti hanya satu

ralat berlaku tetapi yang pasti adalah sekurang-kurangnya satu ralat telah

berlaku.

Sungguhpun sukar untuk mengetahui mesej asal, prinsip kemungkinan

maksimum (principle of maximum likelihood) boleh digunakan untuk

menyahkod mesej yang diterima. Ini boleh dilakukan dengan

membandingkan mesej yang diterima dengan 8 katakod dan lihat yang mana

satu katakod paling rapat dengan mesej yang diterima.

Apabila ini dilakukan, dapat dilihat yang katakod yang paling rapat dengan

00111110 ialah 00110110. Ia hanya berbeza di satu tempat – tempat kelima

(yang digariskan).

Oleh sebab setiap katakod berbeza daripada yang lain dalam tepat empat

tempat, mesej yang diterima 00111110 akan berbeza daripada yang lain

dalam sekurang-kurangnya tiga tempat.


68

Jadi, dapat diandaikan yang ralat jarang-jarang berlaku, jadi katakod yang

mungkin ditransmisikan ialah 00110110. Dalam kes ini, selagi ada satu

ralat (dan ini adalah kes yang paling mungkin) ianya dapat diperbetulkan.

Ini memang benar untuk semua kes di mana satu ralat berlaku – jadi ia

digelarkan sebagai kode pembetulan ralat tunggal (single-error-correcting

code).

Dalam contoh ini,

8 digit katakod

3 digit maklumat dan

5 digit lebihan.

Kadar maklumat = 8

3

Secara am,

n digit

}

– – – … – – – … – – }

}

k digit mesej

r digit semakan (lebihan)

Kadar maklumat = n

k

Bagi Mariner 6, kadar maklumat R = 32

6


69

3.4.2 Kod Ulangan

Satu cara yang mudah untuk memperkenalkan lebihan adalah untuk

mengulang semua digit. Sebagai contoh, sesuatu mesej boleh dikodkan

dengan mengulang setiap digit n kali.

Jika n = 5, panjang kod ulangan ialah 5.

Contoh :

S → 10011 → 11111 00000 00000 11111 11111

U → 10101 → 11111 00000 11111 00000 11111

S → 10011 → 11111 00000 00000 11111 11111

I → 01001 → 00000 11111 00000 00000 11111

E → 00101 → 00000 00000 11111 00000 11111

Jika dikirim S = 10011 sebagai 11111 00000 00000 11111 11111, ia akan

diterima sebagai urutan 0 dan 1 yang panjangnya 25 digit.

Kita perlu peraturan (algoritma) untuk menyahkod mesej yang diterima.

Dengan bantuan komputer menyahkod mesej, tekaan mengikut konteks

tidak dilakukan tetapi peraturan yang tepat perlu digunakan.

Misalnya, apabila mesej 11011 00110 11000 10000 10111 diterima,

bagaimanakah ianya dinyahkod?

Algoritma Nyahkod bagi Kod Ulangan Panjang 5

1. Perhatikan bilangan digit 1.

2. Jika bilangan digit 1 ≥ 3 , tulis 11111.

3. Jika bilangan digit 1 ≤ 2 , tulis 00000.


70

Perhatikan bahawa kod ini boleh membetulkan 2 ralat tetapi ia mempunyai

kadar maklumat yang sangat rendah, iaitu 5

1.

Jika n = 4 (setiap digit diulang 4 kali), apakah yang berlaku jika terima

0011?

Saluran Simetri Binari

Kebarangkalian menerima simbol yang silap adalah serupa sama ada simbol

0 atau simbol 1 dikirim.

Kebarangkalian menerima simbol yang silap = p

Sebagai contoh, sekiranya p = 100

1 , iaitu kebarangkalian satu digit tunggal

diterima secara silap ialah 100

1 = 0.01, maka kebarangkalian satu digit

tunggal diterima secara betul ialah 100

99 = 0.99.

Dianggap bahawa semua ralat berlaku secara rawak, iaitu secara tidak

bersandar antara satu sama lain.

Untuk memudahkan pengiraan, kod ulangan panjang 3 digunakan.

Bolehkah kebarangkalian 100

99 = 0.99 diperbaiki jika satu katakod satu digit

diterima?


71

Mesej dikirim

Mesej dikodkan

Mesej mungkin diterima

Mesej dinyahkod

0 → 000 → 000 001

010 100 → 0

1 → 111 → 101 011

110 111 → 1

Jika 000 dikirim,

Pengiraan kebarangkalian mesej yang mungkin diterima:

Pr (000) = 100

99 x

100

99 x

100

99 = 0.970299

Pr (001) = 100

99 x

100

99 x

100

1 = 0.009801

Pr (010) = 100

99 x

100

1 x

100

99 = 0.009801

Pr (100) = 100

1 x

100

99 x

100

99 = 0.009801

Jadi kebarangkalian mengdekod mesej sebagai 0: Pr (0) = Pr (000) + Pr (001) + Pr (010) + Pr (100)

= 0.970299 + 3 x 0.009801

= 0.999702

Jadi, secara purata, kesilapan mengdekod mesej yang dikirim 0 sebagai 1

berlaku hanya sekali setiap 100 kali, kita akan dapat ralat kurang daripada 3

setiap 10 000 (atau 1/3000)! Ini merupakan kemajuan yang hebat.


72

Bagi kod ulangan panjang n,

n digit

}

– – – … – –

} }

1 digit mesej

n – 1 digit semakan

Maka kadar maklumat, R = n

1. Ini sangat kecil!

Kod ulangan dapat membetulkan ralat tetapi kadar maklumatnya sangat rendah! Latihan 1. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan

panjang 5.

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

00000 10010

11110 01010

00111 10000

01000 11111

01111 00010

11011 11000 01111 01000 01011 00001 01100 11100 00000 00111 10111 11101 01000 10111 10000


73

2. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan

panjang 5.

00000 11011 01111 00100 11111

01000 11111 00100 00001 11101

11101 00100 00000 11110 01111

11111 10000 01000 00000 00100

10111 00010 10000 00111 01100

01100 10001 01010 00011 11001

01010 10111 01111 11111 00000

11111 00010 11011 01000 00000

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

c) Apakah mesej yang sebenar?

3. Kod ulangan panjang 3 digunakan untuk transmisi mesej. Jika

kebarangkalian membuat kesilapan dalam satu digit ialah 0.01 dan

kita anggap kesilapan berlaku secara tak bersandar satu sama lain,

kirakan kebarangkalian mesej 000 yang dikirim diterima sebagai 111.

3.4.3 Kod Semakan Pariti Kod semakan pariti tunggal merupakan ekstrem daripada kod ulangan.

Berbanding dengan kod ulangan, kod semakan pariti tunggal hanya ada

satu digit semakan.

Digit semakan ini diperolehi daripada jumlah digit maklumat (mod 2).

Sebagai contoh, lihat bagaimana digit semakan dikira


74

A

000001 1

} ←

5 digit

mesej 1digit semakan

B

000010 1

C

000011 0

D

000100 1

…

Secara am katakod ditulis sebagai c1 c2 c3 c4 c5 c6 di mana

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2).

Bagi kod semakan pariti tunggal,

n digit

-- … - -

k = n – 1 1 digit semakan digit mesej

Maka kadar maklumat ialah n

k =

n

n 1 , iaitu sangat tinggi!

Akan tetapi, kod semakan pariti tunggal hanya boleh mengesan bilangan

ralat yang ganjil tetapi tidak dapat membetulkannya.

Latihan 1. Cari katakod yang mewakili huruf berikut dalam kod semakan pariti

tunggal di atas : J , L , Q , S , G , X.

2. Tulis mesej NO ERRORS dengan kod semakan pariti tunggal.

}

}

←


75

3. Mesej berikut telah diterima dalam kod semakan pariti tunggal:

000011 000000 001111 011110 010110 001001

000000 100100 001010 100111 101001 011000 101000

a) Kesan di mana ralat telah berlaku.

b) Nyahkod semua huruf yang lain.

c) Cuba teka mesej yang dikirim.

3.5 Kod Linear

Perhatikan kod linear panjang 6 berikut ada 3 digit mesej dan 3 digit

semakan boleh ditulis semula sebagai persamaan linear untuk mentakrifkan

digit-digit semakan.

Katakod panjang 6

}

c1 c2 c3 c4 c5 c6

} }

3 digit mesej

3 digit semakan

Apabila diberi mesej c1 c2 c3,

c4 = c1 + c2

c5 = c1 +

c6 = c2 +

(mod 2) c3 (mod 2) c3 (mod 2)

untuk memperolehi katakod C= [c1 c2 c3 c4 c5 c6].

Iaitu

6

5

4

c

c

c

=

110

101

011

3

2

1

c

c

c

.

Sebagai contoh, mesej 010 akan ditransmisikan sebagai [010101].


76

Latihan Tuliskan katakod yang sepadan dengan mesej:

(i) 111 (ii) 101 (a) Berapakah mesej tiga digit yang dibentukkan? (b) Senaraikan semua katakod bagi kod ini. Persamaan Semakan Pariti Katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6 ] menyempurnakan persamaan semakan

pariti

c1 + c2 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c3 + c5 = 0 (mod 2)

c2 + c3 + c6 = 0 (mod 2) Persamaan-persamaan ini dinamakan sebagai persamaan semakan pariti

sebab menyemak pariti atau kegenapan hasil tambah digit-digit dalam

katakod – untuk memperolehi 0 di sebelah kanan, kita perlu dapat

bilangan 1 yang genap pada sebelah kiri setiap persamaan.

Persamaan semakan pariti juga boleh ditulis sebagai

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

c

c

c

c

c

c

=

0

0

0

,

atau H CT = 0,

di mana H ialah matriks semakan pariti.

[CT

= transpos menegak bagi vektor C]


77

Apakah yang berlaku semasa transmisi katakod? Apabila katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6] dikirim, saluran transmisi akan

menambah gangguan (ralat) E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6], mengakibatkan katakod

diterima sebagai

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6]

di mana ri = ci + ei (mod 2) .

Latihan 1. Jika C = [100110] , E = [000101], cari R. 2. Jika R = [001000], E = [000011], cari C. 3. Jika R = [010000], C = [111000], cari E. Biasanya, kita hanya tahu katakod yang diterima, R. Jadi masalah

adalah untuk mengetahui katakod yang dikirim C jika kita terima katakod

R. Ini boleh dilakukan dengan mencari E dahulu.

3.5.1 Mengira Sindrom Bagi katakod yang diterima, R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6], kita mentakrifkan sindrom,

s = [s1 s2 s3] bagi R dengan

s1 = r1 + r2 + r4

s2 = r1 + r3 + r5

s3 = r2 + r3 +

(mod 2)

(mod 2) r6 (mod 2).


78

3

2

1

s

s

s

=

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

r

r

r

r

r

r

atau

sT = H R

T

. Oleh kerana digit-digit sindrom ditakrifkan oleh persamaan semakan

pariti yang sama dengan katakod, digit sindrom akan mendedahkan pola

kegagalan semakan pariti.

s dinamakan sebagai sindrom R sebab ia mempamerkan “simptom khas”

ralat tanpa mengenal pasti sebabnya, seperti cara kita mengenal pasti

sesuatu penyakit daripada simptomnya dan bukan sindrom (sebabnya yang

sebenar) – contoh SIDS = Sudden Infant Death Syndrome.

Semua katakod mempunyai sindrom 0 = [000] sebab H CT = 0 .

Sindrom katakod yang diterima serupa dengan sindrom ralat. Katakod yand diterima R merupakan hasil tambah katakod C dan ralat E.

R = C + E.

Jadi C = R – E dan

0 =

Oleh itu

H CT = H (R – E)

T

= H (RT

– ET

)

= H RT – H E

T

sT = H RT = H E T.

Jadi katakod yang diterima R mempunyai sindrom yang sama dengan ralat E.


79

Maklumat ini sangat berguna sebab ini bermakna jika R merupakan

katakod yang diterima, set ralat yang mungkin juga merupakan set vektor

yang sama dengan sindrom R.

Dari atas, jika R dan E mempunyai sindrom yang sama, kita boleh

guna akas penghujahan untuk menunjukkan bahawa jika H RT = H E

T

,

jadi R – E = C, di mana C adalah katakod.

Bilangan perkataan dengan sindrom yang sama adalah bersamaan dengan

bilangan katakod.

Dalam kes ini, kita ada 23 = 8 sindrom yang mungkin dan setiap satu selaras

tepat dengan 88

64

8

2 6

perkataan.

Oleh itu, sebagai contoh, 8 katakod selaras tepat dengan 8 perkataan

dengan sindrom [000].

Mencari perkataan selaras dengan sindrom yang diberi

Oleh sebab sindrom katakod yang diterima R sama dengan sindrom ralat E,

satu perkara yang perlu dilakukan untuk menyahkod katakod yang

diterima adalah dengan mencari semua perkataan yang mempunyai sindrom

yang sama dengan R.

Misalnya, kita akan mencari semua perkataan dengan sindrom [001] apabila

kita menggunakan kod linear yang ditakrifkan. Oleh itu,

r1 + r2 + r4

r1 + r3 + r5

r2 + r3 +

= 0 (mod 2)

= 0 (mod 2) r6 = 1 (mod 2).


80

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

r

r

r

r

r

r

=

1

0

0

,

atau H RT =

1

0

0

= sT.

Dengan cara yang sama, kita akan dapat mencari semua perkataan yang

selaras dengan sindrom [001] dengan cara menyenaraikan semua 8 pilihan

yang mungkin bagi 0 dan 1 bagi ketiga-tiga pembolehubah yang pertama

dan mencari nilai baki tiga pembolehubah tersebut. Misalnya, jika kita mula

dengan r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, kita dapat lihat daripada persamaan ini, kita

dapatkan tiga persamaan di mana r4 = 0, r5 = 0, r6 = 1.

Jadi salah satu daripada 8 perkataan yang selaras dengan sindrom [001]

ialah [000001].

Kita boleh memperolehi semua 8 perkataan dengan cara yang sama.

Misalnya, jika r1 = 0, r2 = 0, r3 = 1, kita dapat r4 = 0, r5 = 1, r6 = 0, yang

membentuk perkataan [001010].

Latihan 1. Cari 6 perkataan lagi yang selaras dengan sindrom [001]. 2. Senaraikan semua perkataan dengan sindrom a) [010]. b) [111].


81

Tatasusunan Piawai Slepian menyenaraikan semua perkataan yang selaras

dengan setiap sindrom bagi kod linear.

Set perkataan { [r1 r2 r3 r4 r5 r6] di mana ri = 0 atau 1, bagi i = 1, 2, …, 6}

membentuk ruang vektor dimensi 6 di atas Medan Galois GF(2).

Sebab semua katakod merupakan penyelesaian bagi H CT = 0, semua

katakod membentuk subruang bagi ruang vektor yang mengandungi

semua perkataan. Dimensi sub ruang ini ialah 6 – 3 = 3.

Khasnya, ini bermakna set katakod akan membentuk kumpulan di

bawah penambahan (mod 2) dan juga hasil tambah mana-mana dua

katakod merupakan satu katakod.

Latihan Berkumpulan

1. Semak bahawa hasil tambah mana-mana dua katakod merupakan

katakod.

2. Pilih sindrom yang tidak sama dengan [000] – pastikan semua ahli

dalam kumpulan anda memilih sindrom yang berlainan.

a) Pilih satu katakod dan tambah kepadanya setiap daripada perkataan

dalam baris yang selaras dengan sindrom pilihan anda. Apakah yang

anda dapati?


82

b) Dengan menggunakan sindrom yang sama, pilih katakod yang

berlainan dan ulang (a).

c) Dengan menggunakan sindrom yang sama, semak bahawa setiap

perkataan yang selaras dengan sindrom dalam Tatasusunan Piawai

Slepian boleh diperolehi sebagai hasil tambah perkataan pertama

dalam baris (pemimpin koset) dan katakod dalam lajur yang sama.

d) Banding jawapan a), b) dan c) dengan ahli kumpulan lain.

Dalam Tatasusunan Piawai Slepian, semua katakod disenaraikan

sebagai baris pertama bermula dengan katakod [000000].

Setiap baris berikut dalam tatasusunan mengandungi satu koset katakod.

Dalam setiap koset, perkataan disusun dalam setiap baris di mana

perkataan pertama dalam setiap baris mempunyai bilangan 1 yang paling

kurang. Perkataan pertama dalam setiap baris Tatasusunan Piawai Slepian

dinamakan pemimpin koset.

Dalam baris pertama, selaras dengan sindrom [000], perkataan dalam baris

tiada 1; perkataan pertama dalam setiap daripada enam baris berikut

mempunyai hanya satu 1 sahaja; manakala perkataan pertama dalam baris

terakhir merupakan salah satu daripada tiga perkataan dalam baris tersebut

yang ada tepat dua 1.

Berat sesuatu perkataan ditakrifkan sebagai bilangan 1 dalam perkataan

tersebut.

Tatasusunan Piawai Slepian boleh dibina bagi kod linear dengan langkah-

langkah berikut:

1. Dalam baris pertama, senaraikan semua katakod yang bermula dengan

0.


83

2. Pilih mana satu perkataan, W, yang berat minimum weight yang bukan

katakod (tidak disenaraikan pada baris pertama) dan senaraikannya

sebagai unsur pertama dalam baris berikut.

3. Bermula dengan W, senaraikan semua unsur koset W + C, di mana C

adalah katakod, dalam urutan yang sama seperti senarai katakod dalam

baris pertama.

4. Ulangi langkah 2 dan 3 dengan menggunakan perkataan baru X,

di mana X tiada dalam dua baris yang pertama.

5. Ulangi langkah 4 dengan menggunakan perkataan baru yang tiada

dalam baris-baris sebelumnya sehingga semua perkataan telah

disenaraikan.

Pengdekodan Perkataan yang diterima R

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6] boleh didekodkan dengan langkah-langkah berikut:

1. Kirakan sindrom s = [s1 s2 s3] bagi R. Ini merupakan sindrom bagi E.

2. Guna Tatasusunan Piawai Slepian untuk mencari perkataan dengan

sindrom s dengan bilangan 1 yang paling sedikit. Pilih perkataan ini

sebagai E.

3. Kirakan C di mana C = R – E.

Latihan 1. Cari C jika R = [101110].

[Nota: Apabila menggunakan tatasusunan ini, kita tidak perlu

mengira sindrom. Sebab R dan E mempunyai sindrom yang sama,

kita hanya cari R dalam sifir ini. E merupakan perkataan dalam baris

yang mengandungi R. ]

2. Cari C jika (i) R = [111111], (ii) R = [111011], (iii) R = [110011].


84

3. Bekerja secara berpasangan dan jalankan langkah-langkah

berikut:

[1] Pilih katakod C untuk dikirim sebagai mesej.

[2] Pilih ralat E.

[3] Kirakan R = C + E dan kirimkan kepada pasangan anda.

[4] Dekod perkataan pasangan anda.

[5] Ulang ini sebanyak tiga kali: sekali pilih E yang berat 1

(hanya satu 1 dalam perkataan); sekali dengan E = 0; dan

sekali dengan E yang berat 2 (dengan dua 1 dalam

perkataan).

Dalam kes yang manakah anda dapat mengenal pasti katakod?

3.5.2 Kod Linear secara Am

Satu kod merupakan kod linear atau kod kumpulan jika katakodnya

merupakan set vektor C yang memuaskan persamaan H CT = 0, di mana H

adalah matriks semakan pariti.

Dalam kod semakan pariti tunggal, digit-digit c1, c2, c3, c4, c5, dan c6 dalam

katakod [c1 c2 c3 c4 c5 c6] memuaskan persamaan semakan pariti

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2),

yang serupa dengan

c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 = 0 (mod 2).

Ini ditulis sebagai H CT = 0, di mana H = [111111].


85

Kod ulangan panjang 5 juga boleh ditakrifkan dengan menggunakan

persamaan semakan pariti berikut:

c1 + c2 = 0 (mod 2)

c1 + c3 = 0 (mod 2)

c1 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c5 = 0 (mod 2)

Kita boleh tulis sebagai

H CT = 0, di mana H =

10001

01001

00101

00011

.

Secara am, jika kod ulangan panjang n, kita akan dapat matriks semakan

pariti H yang (n – 1) x n

Kod blok merupakan kod di mana setiap katakod merupakan urutan

bilangan tetap, n, simbol. Bagi kes kod linear, panjang bloknya ialah

bilangan lajur dalam H

Sindrom, s, katakod yang diterima R diberi sebagai sT = H R

T

.

Koset terdiri daripada semua perkataan yang mempunyai sindrom tertentu.

Berat perkataan merujuk kepada bilangan 1 dalam perkataan tersebut.

Dalam satu koset, perkataan yang mempunyai berat yang minimum dipilih

sebagai pemimpin koset (coset leader).

Untuk menyahkod R:

1. Kirakan sindrom s;

2. Cari pemimpin koset E; dan

3. Kirakan C = R – E.


86

3.5.3 Kod Hamming Teori kod pembetulan ralat telah bermula dengan usaha Richard Hamming

pada tahun 1947. Sebagai seorang ahli matematik, Hamming dapat

menggunakan kemudahan komputer di Bell Telephone Laboratories untuk

menjalankan pengiraan matematik. Ketika itu, masa untuk melaksanakan

program sangat lama dan apabila Hamming datang bekerja pada hujung

minggu beliau kerap menemui situasi di mana program pengiraan terhenti

kerana menemui ralat. Oleh yang demikian, Hamming memikirkan tentang

kebolehan komputer bukan sahaja untuk mengesan ralat tetapi

membetulkannya!

Pada 1950 Richard Hamming telah memperkembangkan kod Hamming

yang merupakan kod linear yang dapat membetulkan ralat tunggal.

H =

100110

010101

001011

sT = H R

T = H ET

. Jika ralat E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6], persamaan boleh ditulis semula sebagai

3

2

1

s

s

s

= e1

0

1

1

+ e2

1

0

1

+ e3

1

1

0

+ e4

0

0

1

+ e5

0

1

0

+ e6

1

0

0

.

Sindrom ialah hasil tambah lajur-lajur H di mana ralat-ralat saluran berlaku.

Oleh yang demikian, jika mana:

satu lajur H adalah 0, ralat pada kedudukan tersebut tidak dapat

dikesan; dan


87

dua lajur H serupa, kita tidak dapat membezakan ralat tunggal

yang berlaku pada kedua-dua kedudukan tersebut

Kod linear hanya dapat membetulkan semua pola ralat tunggal jika lajur-

lajur H berbeza dan bukan sifar.

Sebaliknya, jika semua lajur H berbeza dan bukan sifar, ralat tunggal

pada kedudukan berbeza akan menghasilkan sindrom yang berbeza.

Kod binari linear mampu membetulkan semua pola yang tiada lebih

daripada satu ralat saluran jika dan hanya semua lajur dalam matriks

semakan pariti H berbeza

dan bukan sifar.

Penyahkodan Perkataan

Untuk menyahkodkan perkataan yang diterima R, sindrom s dikira. Jika s

ialah sifar, andaikan tiada ralat.

Jika s bukan sifar dan sama dengan salah satu lajur dalam H, andaikan ralat

tunggal telah berlaku pada kedudukan tersebut.

Jika s bukan sifar dan tidak sama dengan mana satu lajur dalam H,

prosedur penyahkodan ini gagal.

Kegagalan penyahkodan dan ralat hanya berlaku jika dua atau lebih ralat

saluran berlaku.


88

Misalnya, biarkan H =

101000111

011001110

101011100

011111000

.

Jika diterima perkataan R = [101000101], jadi kita dapat mengira s = [1100].

Sebab sT merupakan lajur kelima dalam H , kita andaikan E = [000010000].

Oleh itu C = R – E = [101010101].

Walau bagaimana pun jika R = [101000101], kita perolehi s = [1101], dan

dalam kes ini di mana sT bukan salah satu lajur dalam H, ini bermakna

terdapat ≥ 2 ralat dan prosedur penyahkodan gagal.

Latihan Bagi matriks semakan pariti H di atas, cuba nyahkodkan perkataan-

perkataan berikut yang diterima:

(i) R = [101001101] (ii) R = [111000101] (iii) R = [101000111]

Bagi kod pembetulan ralat tunggal, bilangan maksimum lajur bukan sifar

matriks binari yang berbeza dan bukan sifar 2r – 1.


89

Kod Hamming

Lajur-lajur dalam matriks semakan pariti H, Kod Hamming terdiri daripada

2r–1 lajur bukan sifar r–tuple (non-zero binary r-tuples) yang tersusun dalam

mana-mana satu urutan.

Jika A merupakan matriks m × n dengan pangkat r, dimensi ruang

nol A adalah n − r.

Sebab H mengandungi semua lajur bukan sifar yang mungkin, ia

mengandungi setiap satu daripada lajur-lajur matriks identiti r x r dan

mempunyai pangkat r.

Jadi H merupakan matriks r x n dengan pangkat r dan dimensi subruang

yang memenuhi syarat H CT = 0 iaitu n − r = k.

Oleh itu, bilangan digit mesej = k = n − r = 2r – 1 – r.

Bagi setiap integer positif, wujud Kod Hamming dengan digit semakan r,

panjang blok n = 2r – 1 dan k = n − r = 2

r

– 1 – r.

Kod ini boleh membetulkan ralat tunggal pada mana-mana satu digit. Sebab

setiap r-tuple bukan sifar wujud sebagai lajur, kegagalan pengdekodan tidak

akan berlaku. Jadi prosedur pengdekodan ralat tunggal lengkap.

Walau bagaimana pun kod ini tidak dapat mengesan lebih daripada 2

ralat. Kadangkala digit semakan pariti yang lain akan ditambah untuk

mengesan (tetapi tidak dapat membetulkan) 2 ralat. Lajur-lajur dalam

matriks semakan pariti H boleh disusun dalam mana-mana satu urutan.


90

Kadar maklumat Kod Hamming

R = n

k =

12

12r

r

r = 1 –

12r

r.

Bila r → ∞, R→1.

Dengan membina Kod Hamming yang mempunyai panjang blok yang

besar, kita akan dapat kadar maklumat yang sangat tinggi. Sungguh pun

Kod Hamming merupakan perkembangan hebat berbanding dengan kod

semakan pariti tunggal, kod ini tidak dapat membetulkan lebih daripada dua

ralat.

Sekitar 1960, Bose, Changhuri and Hocquenghan telah menemui

kod pembetulan dwi-ralat Kod BCH (double-error-correcting codes)

yang lebih kompleks. Seterusnya, kod-kod ini diperkembangkan

sehingga menjadi kod pembetulan t ralat.

Latihan 1. (a) Yang mana satu daripada matriks semakan pariti ini merupakan

kod pembetulan ralat tunggal? Beri sebab jawapan anda.

(i) H =

0111011100

0001000101

1100110011

1010101010

(ii) H =

110110000

000110110

000011011

011011000


91

(b) Yang mana satu daripada kedua matriks di atas merupakan Kod

Hamming? Beri sebab mengapa atau mengapa tidak.

2. Guna matriks (ii) daripada soalan 1 di atas untuk menyahkod setiap

daripada perkataan yang diterima berikut:

(a) R = [111101000] (b) R = [110101011] (c) R = [100010001] (d) R = [010010010].

3. Pertimbangkan Kod-Kod Hamming yang ditakrifkan oleh tiga matriks

semakan pariti di bawah.

(i) H =

1010101

1100110

1111000

(ii) H =

1001011

0101101

0011110

(iii) H =

1010101

0110011

0001111

(a) Bagi setiap kod, nyahkodkan perkataan-perkataan berikut yang diterima:

R1 = [1110000] , R2 = [1111000] .

(b) Tunjukkan yang dua daripada tiga matriks di atas mentakrifkan kod-

kod yang serupa (identical codes). Panduan: Tunjukkan bahawa

baris-baris mana satu merupakan kombinasi linear yang lain.


92

3.6 Algoritma RSA

Masalah Penyebaran Kunci (Key-Distribution Problem)

Dalam sistem tradisional, kunci yang diguna oleh si-pengirim untuk

mengekod mesej diguna juga oleh si-penerima untuk menyahkodnya.

Oleh yang demikian, kunci tunggal ini mesti dijaga dengan baik dan

dirahsiakan agar hanya dapat digunakan oleh pihak tertentu.

Dalam masyarakat moden, terdapat jumlah data yang banyak yang

perlu dirahsiakan dan ini mengakibatkan keperluan penggunaan kunci

bagi pengguna-pengguna kod.

Masalah penyebaran kunci ini diterangkan oleh Simon Singh dalam

bukunya The Codebook (2002) seperti berikut:

a classic catch-22 situation. If two people want to exchange a secret

message over the phone, the sender must encrypt it. To encrypt the

secret message the sender must use a key, which is itself secret, so

then there is the problem of transmitting the secret key to the receiver

in order to transmit the secret message. In short, before two

people can exchange a secret (an encrypted message) they must

already share a secret (the key). (pp. 189–190)

Pada pertengahan tahun 70-an, Whitfield Diffie, Martin Helman dan

Ralph Merkle telah mencadangkan penggunaan cipher asimetrik

(asymmetric cipher) untuk mengatasi masalah penyebaran kunci.

Mereka mencadangkan penggunaan kunci berlainan untuk mengekod dan

menyahkod mesej.


93

3.6.1 Peranan Pemfaktoran

Aktiviti: Faktorkan 518 940 557

Darabkan 15 107 dengan 34 351 Aktiviti di atas menunjukkan betapa sukarnya untuk mencari faktor-

faktor hasildarab dua nombor perdana. Oleh yang demikian, konsep ini

diguna untuk menjanakan sistem pengkodan yang baru yang dinamakan

sebagai Kriptografi Kunci Umum (Public Key Cryptography).

Dalam kriptografi kunci umum, kunci untuk menyahkod mesej tidak

dapat diperolehi dengan mudah daripada kunci yang diguna untuk

mengekodnya. Ini membolehkan pengiriman mesej secara elektronik secara

selamat ke destinasi di mana kunci umum boleh dihebahkan secara umum.

3.6.2 Penggunaan Aritmetik Modular Aritmetik modular digunakan dalam banyak kriptosistem untuk

menyamarkan maklumat dengan mudah kerana fungsinya yang sukar

diramalkan.

Jadual berikut menunjukkan bagaimana nilai P dapat dirahsiakan

melalui pengiraan C = P3 dalam modulo 11.

P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C = P3

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

C = P3 modulo 11 0 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10

Aritmetik modular juga dikenali sebagai ‘aritmetik jam’ dan diperkenalkan oleh

K.F.Gauss (1777 - 1855).


94

Bagi sebarang nombor asli n, aritmetik modulo n berasaskan kepada

pembahagian set integer Z = {…, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, …} ke dalam n kelas

yang berasingan yang selaras dengan n baki yang mungkin apabila dibahagi

oleh n.

Misalnya, jika n =2, baki yang mungkin jika integer dibahagi oleh 2 adalah 0

atau 1.

Kelas integer dengan baki 0 merupakan set nombor genap = {..., – 6, – 4, –

2, 0, 2, 4, 6, ...} manakala kelas integer dengan baki 1 merupakan set

nombor ganjil = {..., – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7, ...}.

Secara umum, semua integer dalam kelas yang sama mempunyai baki

yang sama apabila terbahagi oleh modulus. Ini bermakna terdapat

perbezaan antara dua integer dalam kelas yang sama juga merupakan

gandaan modulus.

Jadi, dalam contoh di atas, apabila kita memerhatikan perbezaan antara dua

nombor genap kita akan memperolehi gandaan 2 (8 – 2 = 6 = 3 x 2) dan

apabila kita lihat perbezaan antara dua nombor ganjil kita juga akan

mendapat gandaan 2 (7 – (– 1) = 8 = 4 x 2).

Sifat Kongruen Modulo

Dua integer a dan b dikatakan sebagai kongruen modulo jika a – b

merupakan gandaan n dan ini ditulis sebagai

a ≡ b (mod n) .

Oleh yang demikian, semua nombor genap ≡ 0 (mod 2) dan semua nombor

ganjil ≡ 1 (mod 2).


95

Dengan perkataan lain, kita boleh mewakili setiap nombor genap (mod 2)

dengan integer 0 dan setiap nombor ganjil (mod 2) dengan 1.

Aktiviti 1. (a) Apakah baki yang mungkin bila integer dibahagi dengan 3?

(b) Bagi setiap integer berikut, tulis baki yang diperolehi selepas

dibahagi dengan 3:

(i) 7; (ii) 301; (iii) 963; (iv) –31; (v) –5; (vi) –1.

(c) Pasangan integer yang manakah yang kongruen mod 3?

2. Bekerja secara berkumpulan.

(a) Pilih mana-mana dua integer a dan b – pastikan semua orang

menggunakan pasangan integer yang berbeza. Cari integer bukan

negatif terkecil a′ dan b′ di mana a ≡ a′ (mod 7) dan b ≡ b′ (mod 7).

(b) Kirakan nilai, dengan bantuan kalkulator saintifik jika perlu:

(i) ab ; (ii) ab (mod 7) ; (iii) a′b′ ; (iv) a′b′ (mod 7) .

(c) Berdasarkan pengiraan kumpulan anda, apakah kesimpulan yang

anda dapati tentang apa yang berlaku dengan hasil darab aritmetik

modulo?

Jika a ≡ a′ (mod n) dan b ≡ b′ (mod n), maka ab ≡ a′ b′ (mod n).

Contoh:

Cari X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29).

Penyelesaian :

36 ≡ 7 (mod 29), 53 ≡ 24 (mod 29), 91 ≡ 4 (mod 29), 17 ≡ 17 (mod 29), dan

22 ≡ 22 (mod 29).


96

Ini boleh ditulis semula sebagai

X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29)

= 7 * 24 * 4 * 17 * 22 (mod 29)

= 168 * 68 * 22 (mod 29)

= 23 * 10 * 22 (mod 29)

= 230 * 22 (mod 29)

= 27 * 22 (mod 29)

= 594 (mod 29)

= 14.

Semak 36 * 53 * 91 * 17 * 22 = 64 936 872 dan 64 936 872 (mod 29) = 14.

[Nota: Kalkulator saintifik komputer anda juga boleh melakukan pengiraan

aritmetik modulo]

Aktiviti Cari X = 73 * 29 * 102 * 14 * 87 (mod 31) dan semak jawapan anda.

Contoh pengiraan aritmetik modulo secara berperingkat-peringkat:

Cari X = 1143 (mod 13).

Perhatikan bahawa 112 (mod 13) = 121 (mod 13) = 4.

Jadi 114 (mod 13) = 4

2 (mod 13) = 16 (mod 13) = 3.

118 (mod 13) = 3

2 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9, dan

1116 (mod 13) = 9

2 (mod 13) = 81 (mod 13) = 3.

1132 (mod 13) = 3

2 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9.

Tidak perlu cari kuasa yang lebih tinggi bagi 11 sebab 1164 > 11

43

.

Perhatikan bahawa

1143 = 11

32 * 1111 = 11

32 * 118

* 113 = 11

32 * 118

* 112

* 11


97

Oleh itu, 1143 (mod 13) = 11

32 * 118

* 112 * 11 (mod 13)

= 9 * 9 * 4 * 11 (mod 13)

= 81 * 44 (mod 13)

= 81 * 44 (mod 13)

= 3 * 5 (mod 13)

= 15 (mod 13)

= 2

3.6.3 Teorem Kecil Fermat

Fungsi Euler φ bagi integer m ditakrifkan sebagai bilangan integer positif yang

kurang atau sama dengan m dan perdana relatif (relatively prime) kepada m.

Aktiviti

Cari φ(n) bagi n = 1, 2, 3, …, 20.

Semak bahawa n = p x q bagi dua nombor perdana p dan q,

φ(n) = (p – 1) (q – 1)

Teorem Kecil Fermat menyatakan bahawa bagi setiap integer yang

perdana relatif kepada n,

aφ(n) ≡ 1(mod n).

Aktiviti Bekerja secara berkumpulan, pilih satu nilai n antara 10 dan 20. (a) Cari φ(n)

(b) Semak bahawa aφ(n) ≡ 1(mod n).


98

3.6.4 Sistem Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

Salah satu kriptosistem kunci umum yang paling awal adalah sistem

RSA yang dicipta oleh Ted Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman.

Sistem RSA bergantung kepada kesukaran memfaktorkan nombor yang

besar dan penggunaan aritmetik modular serta teori nombor.

Sistem RSA boleh diterangkan seperti berikut:

Menyediakan Sistem

Pilih dua nombor perdana yang besar, p dan q, di mana panjang setiap satu

100 digit. Nombor perdana ini dirahsiakan.

Biar n = p x q. Nombor n dihebahkan secara umum tetapi pengetahuan

n tidak memungkinkan anda menentukan nilai p dan q kerana kesukaran

memfaktorkan nombor ini.

Fungsi Euler φ(n) = (p – 1)(q – 1) merupakan bilangan integer antara 1 dan

n yang perdana relatif kepada n – iaitu, bilangan nombor integer yang faktor

sepunya dengan n adalah 1. Fungsi Euler φ(n) mempunyai ciri bagi sebarang

integer a antara 0 dan n – 1 di mana

a 1 + k.φ(n) = a mod n .

Pilih integer positif rawak E < φ(n) , di mana E perdana relatif kepada

φ(n). E, seperti n, diumumkan – E bersama n menjadi kunci umum.

Sebab pihak yang menyediakan kod ketahui rahsia nombor perdana p dan q,

mereka juga ketahui nilai φ(n) = (p – 1)(q – 1), tetapi nilai ini dirahsiakan

daripada orang ramai. Jadi bagi pihak yang menyediakan kod, adalah

mudah untuk mencari songsang E modulo φ(n) – iaitu nombor D di mana

D.E ≡ 1 mod φ(n)


99

Iaitu nombor D yang memberikan

D.E = 1 + k.φ(n) , bagi sebarang integer k.

Nombor D ini juga dirahsiakan.

Secara ringkas,

Kunci rahsia: p, q, φ(n), D Kunci umum: n, E.

Enkripsi

Langkah pertama adalah untuk mewakili sebarang mesej sebagai urutan

integer. Setiap mesej dipecahkan kepada beberapa blok digit, setiapnya

merupakan nombor yang kurang daripada n. Setiap blok boleh dikodkan

secara berasingan.

Biarkan P sebagai blok dalam mesej – iaitu integer antara 0 dan n – 1.

Sekarang biarkan C = P E

mod n,

Iaitu, kita naikkan kuasa P ke kuasa E dan mencari bakinya selepas dibahagi

dengan n.

Dengan cara demikian, C dienkripkan atau mesej berkod yang selaras

denga mesej asal P, dan C ialah mesej yang ditransmisikan dengan apa

jua kaedah (mungkin kurang selamat) yang digunakan.

Dekripsi

Untuk menyahkodkan mesej C, kita cari P secara mengira

P = C D mod n

.Oleh kerana C = P E mod n,


100

Kita akan dapat

C D mod n = P

E.D mod n

= P 1 + k.φ(n) mod n

= P mod n , sebab 0 < P < n.

Keberkesanan Kod RSA

Semasa kod RSA diperkembangkan, adalah dijangka yang masa

untuk memfaktorkan nombor 200 digit n = p x q akan mengambil masa sejuta

tahun dengan bantuan algoritma komputer terpantas di dunia ketika itu.

Kini, dengan komputer yang cepat dan canggih, kaedah pengkodan sebegini

mungkin akan ditewaskan pada satu masa. Oleh yang demikian, sistem-

sistem kriptografi yang baru sentiasa dicipta demi menampung keperluan

keselamatan dan kerahsiaan ketika menyimpan data dan transmisi

maklumat digital. Minat dalam penggunaan Kriptografi Kunci Umum telah

memesatkan lagi penyelidikan dan perkembangan teknik pemfaktoran

nombor dan teori nombor secara umum.

Contoh Pengiraan Algoritma RSA

#1: Pilih nilai p dan q (nombor perdana)

p= 7, q =11 iaitu n = 7 x 11 = 77

#2: Cari nilai Φ(n) =(p-1)(q-1)

Φ(n) = (7-1)(11-1) = 6 x 10 =60

#3: Pilih nilai e (nombor yg relatif perdana)

e = 13


101

#4: Cari nilai d di mana d·e = 1 mod Φ(n) - Kaedah Euler

d·13 = 1 mod 60 1 = 3 – 1 x 2

60 = 4 x 13 + 1 x 8 = 3 – 1 x (5 – 1 x 3)

13 = 1 x 8 + 1 x 5 = 2 x 3 – 1 x 5

8 = 1 x 5 + 1 x 3 = 2 x (8 – 1 x 5) – 1 x 5

5 = 1 x 3 + 1 x 2 = 2 x 8 – 3 x 5

3 = 1 x 2 + 1 x 1 = 2 x 8 – 3 (13 – 1x 8)

2 = 2 x 1 + 0 = 5 x 8 – 3 x 13

= 5 (60 – 4 x 13) – 3 x 13

= 5 x 60 – 23 x 13

Maka, d = – 23

Nilai d negatif, maka perlu ditukar kepada yang positif, iaitu d = 60 – 23 = 37

#5: Jika diberi M = 26, cari C

C = Me

mod n 261 mod 77 = 26

= 2613 mod 77 26

2 mod 77 = 676 mod 77 = 60

= 268 26

4 261

mod 77 264 mod 77 = 60

2 mod 77 = 58

= 53 x 58 x 26 mod 77 268 mod 77 = 58

2 mod 77 = 53

= 71 x 26 mod 77

= 75

#6 : Semakan – guna M = Cd

mod n

M = 7537

mod 77 751 mod 77 = 75

= 7532

754 75

1 mod 77 752 mod 77 = 5625 mod 77 = 4

= 4 x 16 x 75 mod 77 754 mod 77 = 4

2 mod 77 = 16

= 64 x 75 mod 77 758 mod 77 = 16

2 mod 77 = 25

= 26 7516 mod 77 = 25

2 mod 77 = 9

7532 mod 77 = 9

2 mod 77 = 4

topik 3 kod dan_kriptografi

Education