Metode Simpleks

dengan

Big M dan 2 Phase

Metode Simpleks Vs. Simpleks Big-M

Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode

atau langkah-langkahnya sama.

Saat membuat bentuk standar :

Jika kendala bertanda =, tambahkan ruas kiri satu variabel tambahan berupa variabel artifisial (var. dummy => meaningless)

Jika kendala bertanda >, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel dummy

Contoh Min Cost Z = 5X1 + 6X2

Subject to (s/t) X1 + X2 = 1000

X1 < 300

X2 > 150

X1 ; X2 > 0

Min Cost Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Subject to (s/t) X1 + X2 + A1 = 1000

X1 + S1 < 300

X2 S2 + A2 > 150

X1 ; X2 ; A1 ; A2 : S1 ; S2 > 0

Contoh Soal Sebuah perusahaan agroindustri kedelai hendak memproduksi 2 buah

produk, yaitu produk susu kedelai bubuk dan susu kedelai cair, yang masing-masing memerlukan biaya produksi per unitnya sebesar Rp.12.000,00 dan Rp.24.000,00. Kedua produk tersebut harus diproses melalui dua buah mesin, yaitu mesin penggiling kedelai dengan kapasitas sebesar minimal 4 jam orang (man hours) dan mesin pengolah susu kedelai dengan kapasitas paling sedikit 5 jam orang (man hours).

Setiap unit produk susu kedelai cair mula-mula diproses pada mesin penggiling selama 1 jam orang, lalu pada mesin pengolah susu kedelai selama 4 jam orang. Sedangkan setiap unit produk susu kedelai bubuk diproses pada mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai masing-masing 3 jam orang.

Buatlah formulasi primal dan dual dari persoalan diatas dan hitunglah berapa lama kombinasi penggunaan mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai untuk memproduksi produk susu kedelai cair dan susu kedelai bubuk yang optimal sehingga biaya produksi yang dikeluarkan perusahaan menjadi minimal ?

Langkah Penyelesaian Metode

Simpleks Big - M 1. Ubahlah tanda pertidaksamaan > yang ada pada fungsi kendala menjadi

tanda =, yaitu dengan memasukkan variabel surplus yang bernilai negatif dan variabel artifisial yang bernilai positif (-S dan +A)

2. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke

dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien

var. artifiasial = M

( M a/d konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga,

misalnya ribuan, puluhan ribu,dst)

3. Semua variabel tidak boleh negatif

4. Hasil langkah 1 s.d 3, masukkan ke dalam tabel M-Besar

5. Tentukanlah variabel-variabel dasarnya

(pada contoh soal A1 dan A2 merupakan variabel dasar dengan koefisien

M)

6. Hitunglah nilai-nilai pada baris Z dengan menggunakan perkalian matriks

7. Hitung pula nilai c-z

8. Tentukan variabel masuk (entering variabel), yaitu dengan memilih nilai c-z

yang terkecil (bila pada fungsi tujuan a/d untuk minimisasi biaya)

Langkah 9 s.d 18 sama dengan penyelesaian metode simpleks yang

sebelumnya

9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan variabel

masuk

10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus :

Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )

11. Tentukan varibel keluar (leaving variabel), yaitu dengan

cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif.

12. Tentukan baris kunci

13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci

dan baris kunci disebut angka kunci.

14. Hitunglah nilai-nilai pada baris A2 pada iterasi ke-2 ( baris A2 baru ) dengan cara :

Baris A2 lama : 4 3 0 -1 0 1 5 Baris Pivot : 3(1/3 1 -1/3 0 1/3 0 4/3) - Baris A2 baru : 3 0 1 -1 -1 1 1

15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru

16. Hitung pula nilai C-Z yang baru

17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilai

negatif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena solusi

sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18.

18. Ulangilah langkah sejak langkah 8

ARTIFICIAL VARIABLES

-3X1 + 4X2 = -6 Karena sisi kanan

pada constraint harus

non-negative, maka

dikalikan -1

3X1 - 4X2 = 6

5X1 8X2 -10 Untuk pertidaksamaan -5X1 + 8X2 10

Jika kendala dalam bentuk persamaan dan

pertidaksamaan , maka digunakan artificial variables untuk mendapatkan basis awal. Variabel

ini sifatnya hanya sementara dan bukan menjadi

bagian dari solusi akhir. Tidak semua

menggunakan artificial variables, kendala dengan

slack variables tidak perlu.

Contoh

Maksimalkan : Z = X1 + 3X2

Kendala : 1. 2X1 X2 -1

2. X1 + X2 = 3

X1, X2 0

Kendala 1 kalikan -1, diperoleh : -2X1 + X2 1

Tambahkan surplus variable : -2X1 + X2 S1 = 1

Kedua kendala memiliki bentuk standar tetapi tidak memiliki solusi

awal yang jelas seperti pada kendala dengan slack variable. Sehingga

ditambahkan artificial variables R1 dan R2 :

-2X1 + X2 S1 + R1 = 1

X1 + X2 + R2 = 3

dimana X1, X2, S1, R1, R2 0

Selain Big-M, untuk menyelesaikan masalah LP yang memiliki artificial variables dapat digunakan metode simplex two-phase.

Sebelum melakukan komputasi, harus dipastikan apakah feasible solution ada, dengan artificial variables = 0. Caranya :

Pertama, gunakan metode simplex untuk menyelesaikan masalah meminimalkan jumlah dr artificial variables. Jika = 0, berarti ada solusi. Tetapi jika jumlahnya tidak = 0, berarti kendala tidak dapat dipenuhi.

Kemudian gunakan solusi akhir sebagai solusi awal untuk masalah yang sebenarnya.

2 fase dari metode ini adalah sbb :

Fase 1 : Susun sebuah fungsi objektif baru yang memuat jumlah dari artificial variable. Gunakan metode simplex untuk meminimalkan fungsi objektif yang memenuhi kendala.Jika artificial objective function dapat direduksi menjadi 0, maka setiap (non-negative) artificial variables akan =0. Dalam kasus ini, semua kendala pada permasalahan awal dipenuhi, maka dapat dilanjutkan fase 2. Sebaliknya, berarti infeasible.

Fase 2 :Gunakan basic feasible solution dari fase 1 (abaikan artificial variables) sebagai solusi awal untuk permasalahan dengan fungsi objektif yang sebenarnya. Gunakan metode simplex biasa untuk mendapatkan solusi optimal

Minimalkan : ZR = R1 + R2 , ekivalen dengan

Maksimalkan : ZR = -R1 - R2

ZR + R1 + R2 = 0

Fase 1 :

Maksimalkan : Z = X1 + 3X2

Kendala : -2X1 + X2 S1 + R1 = 1 X1 + X2 + R2 = 3

Basis X1 X2 S1 R1 R2 Solution

ZR 0 0 0 1 1 0

R1 -2 1 -1 1 0 1

R2 1 1 0 0 1 3

Lakukan row operation untuk mendapatkan basis

awal (yaitu zero coefficient untuk R1 dan R2)

X1 X2 S1 R1 R2 Solution

ZR 1 -2 1 0 0 -4

R1 -2 1 -1 1 0 1

R2 1 1 0 0 1 3

Lakukan metode simplex sebanyak 2

iterasi.

Iterasi 1 :

X1 X2 S1 R1 R2 Solution

ZR -3 0 -1 2 0 -2

X2 -2 1 -1 1 0 1

R2 3 0 1 -1 1 2

Iterasi 2 :

X1 X2 S1 R1 R2 Solution

ZR 0 0 0 1 1 0

X2 0 1 -0.33 0.33 0.67 2.33

X1 1 0 0.33 -0.33 0.33 0.67

Hasil tersebut merupakan solusi optimal

dari fase 1, dimana R1, R2 = 0 dan non-

basic

Fase 2 : Artificial variables dihilangkan, fungsi

objektif kembali pada nilai sebenarnya

X1 X2 S1 Solution

Z -1 -3 0 0

X2 0 1 -0.33 2.33

X1 1 0 0.33 0.67

Lakukan row operation untuk

mendapatkan baris fungsi objektif yang

tepat.

basis X1 X2 S1 Solution

Z 0 0 -0.67 7.67

X2 0 1 -0.33 2.33

X1 1 0 0.33 0.67

Lakukan metode simplex, 1 kali iterasi

basis X1 X2 S1 Solution

Z 2 0 0 9

X2 1 1 0 3

S1 3 0 1 2

Dari tabel di atas dihasilkan :

titik optimal X1=0 dan X2=3 dengan Z=9.

Bandingkan dengan metode grafik Feasible region pada garis X1+X2=3,

antara titik (0,3) dan (2/3 , 7/3). Pada fase

1, diperoleh solusi feasible awal pada

titik (2/3 , 7/3). Sedang pada fase 2

diperoleh solusi optimal pada (0,3)