tim dosen matematika dasar tep
TRANSCRIPT
Fungsi eksponensial
Tim Dosen matematika dasar TEP
Pengertian
Persamaan Eksponen suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.
Bentuk persamaan eksponen
1. a f(x) =1
2. a f(x) =p
3. a f(x) = a g(x)
4. a f(x) = b f(x)
5. a f(x) = b g(x)
6. f(x)g(x) = 1, f(x) ≠ g (x)
7. f(x)g(x) = f(x)h(x)
8. dsb
Bentuk persamaan eksponen
1. Bentuk Persamaan a f(x) =1
Misalkan terdapat persamaan a f(x) =1, dengan a>0 dan a≠1.
Contoh :
Penyelesaian :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 5}
13 13
542
x
xx
013
54
33
2
x
xx
Bentuk persamaan eksponen
2. Bentuk Persamaan a f(x) =p
Misalkan terdapat persamaan a f(x) =p, dengan a>0 dan a≠1.
Contoh :2x x 9 1
327
3
9
3
13
2
xx
Bentuk persamaan eksponen
2. Bentuk Persamaan a f(x) =p
Penyelesaian :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 3}
3
9
3
13
2
xx
032
06
39
33
2
2
392
xx
xx
xx
xx
0302 xataux
32 xataux
Bentuk persamaan eksponen
2. Bentuk Persamaan a f(x) =p
Selesaikan:
4
3
13 16
1
2
4
x
Bentuk persamaan eksponen
3. Bentuk Persamaan a f(x) = a g(x)
Misalkan terdapat persamaan a f(x) =a g(x) , dengan a>0 dan a≠1.
Contoh :
Penyelesaian :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5}
3 132 84 xx
31
1322 82 xx
Bentuk persamaan eksponen
3. Bentuk Persamaan a f(x) = a g(x)
Selesaikan:
24 1255 yxyx
Bentuk persamaan eksponen
4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x)
Misalkan terdapat persamaan a f(x) = b f(x) , dengan a≠b; a, b>0; a,b≠1.
Karena a≠b maka log a ≠ log b. Oleh karena itu, agar kedua ruas bernilai sama, f(x)=0. Jadi :
bxfaxf
ba xfxf
log)(log)(
loglog )()(
0)()()( xfba xfxf
Bentuk persamaan eksponen
4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x)
Contoh :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 3}
3232 22
3
1
2
1
xxxx
31
031
0322
xataux
xx
xx
Bentuk persamaan eksponen
5. Bentuk Persamaan a f(x) = b g(x)
Misalkan terdapat persamaan a f(x) = b g(x) , dengan a≤b; a, b>0; a, b≠1, dan f(x) ≠ g(x).
Contoh :
)()( loglog xgxf ba
x 2 x3 8 xx 32 23
Bentuk persamaan eksponen
Penyelesaian :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }
xx 32 23
9
1log8
3
x
3
8
3 1
8 9
3 1xlog log
8 9
1log
9x3
log8
1x log
9
x 2 3x
x2 x 3
x x
x
x
3 2
3 .3 2
9.3 8
3 1
98
Latihan
5. Bentuk Persamaan a f(x) = b g(x)
Selesaikan persamaan :
33-x = 6-x-3
Bentuk persamaan eksponen
6. Bentuk Persamaan
Tentukan:
Menurut sifat eksponen, pers diatas dpt diubah mjd:
0)(2)( CaBaA xfxf
0622 12 xx
22
3
0232
062
2
06222
2
2
yatauy
yy
yy
yMisalkan x
xx
Bentuk persamaan eksponen
6. Bentuk Persamaan
a) Untuk nilai x tidak ada yg
memenuhi sebab bilangan positif dipangkatkan berapa saja hasilnya selalu positif
b) Untuk nilai x=1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}
2
32
2
3 xy
0)(2)( CaBaA xfxf
1222 xy
latihan
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 2-x + 3 x-1 = 4
Bentuk persamaan eksponen
7. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = 1, f(x)≠ g (x)
Langkah:
a) g(x)=0 krn ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol
b) f(x)=1 krn jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapa pun nilainya 1
c) f(x) = -1, dengan syarat g(x) harus genap
Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
13463
xx
Bentuk persamaan eksponen
Penyelesaian :
Diketahui bahwa f(x)=4x-3 dan g(x)=3x+6
Persamaan
1) g(x)=0
2) f(x)=1 atau
3) f(x)=-1 (untuk g(x) genap) dipenuhi
13463
xx
jikabenarxf
xg1
2
63
063
0)1
x
x
x
xg
Kita selidiki satu demi satu ketiga kemungkinan tersebut sebagai berikut :
1
314
134
1)2
x
x
x
xf
2
1
24
134
1)3
x
x
x
xf
Untuk f(x)=-1 memenuhi jika g(x) nilainya genap. Kita uji untuk g(x) BUKAN bil genap
2
1x
2
176
2
36
2
13
2
1
g
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,1}
Bentuk persamaan eksponen
8. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)
Langkah:
a) g(x)=h(x) krn bil pokok sdh sama mk pangkat harus sama.
b) f(x)=1 krn g(x)≠h(x) mk bil pokok hrs bernilai 1 agr pers bernilai benar.
c) f(x)=-1, berakibat g(x) dan h(x) hrs bersama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil
d) f(x)=0, dg g(x) dan h(x) masing2 bernilai positif dituliskan g(x)>0 dan h(x)>0.
8. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)
Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
612115115
xxxx
Bentuk persamaan eksponen
Bentuk persamaan eksponen
Penyelesaian :
Dari persamaan diatas diketahui bahwa :
612115115
xxxx
612,115 xxhdanxxgxxf
5
1624
612
)1
x
xx
xx
xhxg
2
105
1115
1115
1)2
x
x
x
x
xf
5
12
125
1115
1)3
x
x
x
xf
Kita selidiki apakah mengakibatkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil.
Untuk
Karena bukan bilangan genap atau
ganjil maka bukan merupakan penyelesaian
5
12x
5
426
5
12
5
12
5
291
5
122
5
12
5
12
h
gx
5
12x
5
11
115
01150)4
x
x
xxf
Kita selidiki apakah mengakibatkan g(x) dan h(x) bernilai positif
5
11x
Untuk
05
416
5
11
5
11
05
271
5
112
5
11
5
11
h
gx
Karena
bukan merupakan penyelesaian.
5
110
5
110
5
11
xmakahdang
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5, -2}
Bentuk persamaan eksponen
9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)
a) f(x)=0 untuk g(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0;
b) g(x)=h(x)
Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
xxxxx
262262 2322
Bentuk persamaan eksponen
9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)
Penyelesaian :
1)f(x) = 0
6x-2=0
-2x=-6
x=3
Selanjutnya, dari x=3 ini kita selidiki apakah nilai x=3 mengakibatkan g(x)≠0 dan h(3)≠0 ?
Untuk x=3 g(3) = 2(3)2 – 2(3) – 3=9 ≠ 0
h(3) = 2(3)2 = -7 ≠ 0
xxxxx
262262 2322
Bentuk persamaan eksponen
9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)
Penyelesaian :
2)g(x) = h(x)
2x2 - 2x – 3 = 2 - x2
3x2 - 2x – 5 = 0
(3x-5) (x+1) = 0
x = 5/3 atau x = -1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1, 5/3, 3}
xxxxx
262262 2322
Homework
Selesaikan persamaan :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan 3-x+3 + 3x-2 = 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2x-2 + 23-x – 1 = 2
Selesaikan persamaan : 3x 1 x 3(2x 5) (2x 5)
2
33x 1
9 1
3 27
Pengertian
Fungsi Eksponen suatu fungsi yang memetakan setiap x anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real kax , dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a>0 dan a ≠ 1.
Fungsi eksponensial
• Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai :f(x) = ax
dimana a > 0, a ≠ 1, dan x adalah bilangan real
• Contoh : f(x) = 2x
x f(x) (x, f(x))
-2 ¼ (-2, ¼)
-1 ½ (-1, ½)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
Fungsi eksponensial
• Domain dan Range ?
Grafik f(x) = ax, a >1 Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1
Exponential function
• Dari persamaan f(x) = 2x, gambarkan :a. f(x) = 2x – 1b. f(x) = 2-x
translation reflection
Grafik fungsi eksponensial
Gambarkan grafik dari f(x) = 3x+1
Gambarkan grafik dari f(x) = 3x +1
Eksponensial vs logaritma
Exponensial vs Logaritma
Fungsi Eksponensial di mana
a > 1 ( xaxf )
Fungsi Logaritma di mana
a > 1 ( xxf alog )
Daerah asal berupa bilangan real Range berupa bilangan real
Range merupakan bilangan real
positif
Daerah asal merupakan bilangan
real positif
Tidak terdapat titik potong pada
sumbu x karena tidak ada nilai x
yang dapat membuat fungsi
bernilai =0
Tidak ada titik potong dengan sumbu
y
Titik potongnya selalu (0,1)
karena a 0 = 1
Titik potong dengan sumbu x selalu
(1,0)
Grafiknya selalu meningkat Grafiknya selalu meningkat
Sumbu x ketika y = 0adalah
asimtot horizontal untuk x -
Sumbu y (di mana x = 0) adalah
asimtot vertikal
Eksponensial vs logaritma
Exponensial vs Logaritma
Grafik Eksponensial Grafik Logaritma
Grafik fungsi invers direfleksikan berdasarkan garis y = x
xpkyxf )1()(
A. Pertumbuhan (Pertambahan)
Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=p+1 dan nilai p>0. p laju pertumbuhan
Jika a=p+1, k>0, dan p>0, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL
Penerapan fungsi eksponensial
Pada pertumbuhan atau pertambahan dalam kehidupan sehari-hari.
Misalnya banyak keadaan awal (modal) populasi atau besaran adalah Po. Jika terjadi pertumbuhan sebesar i (dalam %) per tahun (atau setiap satuan jangka waktu tertentu lainnya) maka jumlah populasi atau modal setelah t tahun adalah
Apabila pertambahan terjadi secara kontinu maka:
Dengan e=2,718281... (bilangan natural) i=besarnya pertumbuhan pd periode t
t
ot iPP )1(
it
ot ePP
Penerapan fungsi eksponensial
Contoh :
Adel menabung sebesar Rp 250.000 di suatu bankselama 5 th dengan bunga majemuk sebesar 10%per th. Pada setiap akhir tahun bunga pd th ygbersangkutan ditambahkan dengan uang ygtersimpan shg seluruhnya mjd modal awal thberikutnya. Berapa uang Adel pd akhir tahun ke-4?
Penerapan fungsi eksponensial
Jawab : Bunga yg diberikan oleh bank adalah bunga majemuk shg
Mt=Mo (1+i)t. Diketahui Mo= Rp 250.000, i=10%=0,1, dan t=4 th. Oleh karena itu, besarnya uang Adel pd akhir th ke-4 adalah sbb:
Mt = Mo (1+i)t
M4 = Rp 250.000 (1+0,1)4
= Rp 250.000 x (1,1)4
= Rp 250.000 x 1,464= Rp 366.000
Jadi, besarnya uang Adel pd akhir th ke-4 adalah Rp
366.000.
Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada tengahhari ialah 10.000.Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL
Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada tengah hari ialah10.000.Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?
Jawab : y0= 10.000 bakteriy = 40.000 bakterit = 2 jam
y = y0 ekt
40.000 = 10.000 ek(2)
4 = e2k
ln 4 =2k k= 0,693
Shg persamaan menjadi y = 10.000 e0,693t
Untuk t=5 y = 10.000 e0,693(5) =320.000 bakteri
43
xpkyxf )1()(
B. Peluruhan (Pengurangan atau Penyusutan)
Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=1-p.
p laju penyusutan0 < p < 1
Jika a=1-p, k>0, dan 0 < p < 1, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL
Penerapan fungsi eksponensial
Penyusutan contohnya penyusutan benda atau peralatan, peluruhan zat radioaktif (kimia), dsb.
Apabila penyusutan terjadi secara kontinu maka:
Dengan Pt = sisa benda saat tP0 = banyaknya benda mula-mulaλ = tetapan peluruhant = waktu
t
ot ePP
Penerapan fungsi eksponensial
Contoh : Pada pukul 5.00 massa suatu zat radioaktif
adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruh zat radioaktif tsb 2% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pd pukul 9.00