termodinamika (1- 2) k keadaan_kesetimbangan_sistem

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

Pertemuan 1 – 2KEADAAN KESETIMBANGAN SISTEM

Dr. I Made Astra, M.SiJurusan FisikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

1

Teori Trafik Dasar

1. Deskripsi Trafik

2. Diagram Transisi Kondisi

3. Pola Kedatangan Panggilan

4. Pola Lamanya Waktu Pendudukan

5. Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan

13/04/23 2© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

Deskripsi Trafik

SistemPola kedatangan panggilan

Pola lamanya waktu pendudukan

•Berkas sempurna•Berkas tak sempurna•Sistem rugi•Sistem tunggu•FIFO•Etc.


Deskripsi Trafik (2)

Salah satu pendeskripsian matematis dari trafik adalah birth and death process (Proses kelahiran dan kematian) Merupakan salah satu kasus Markov chain dimana perubahan

keadaan (state) terjadi selangkah demi selangkah (one step at a time)

Dalam jaringan telepon, proses kelahiran adalah proses datangnya panggilan sedangkan proses kematian adalah proses berakhirnya panggilan

Pola kedatangan panggilan dan pola pendudukan dideskripsikan dengan distribusi probabilitas

Bila deskripsi pola trafik dengan distribusi probabilitasnya serta disiplin operasinya diketahui, maka banyak hal dapat diketahui (harga rata-rata trafik, blocking dst.)


Diagram Transisi Kondisi

Jumlah saluran dalam berkas yang diduduki disebut kondisi (keadaan/state)

Proses kedatangan panggilan atau berakhirnya pendudukan dapat merubah kondisi berkas yang bersangkutan

Kondisi dan perubahannya dapat digambarkan oleh suatu diagram transisi kondisi• Kondisi : bulatan dan angka• Arah transisi : panah

0 1 2 n

b0b1 b2 bn-1 bn

1 2 3 n n+1


Diagram Transisi Kondisi (2)Kondisi menyatakan jumlah saluran atau

peralatan yang didudukiProbabilitas kondisi menyatakan lamanya suatu

kondisi berlangsung di dalam selang waktu tertentu (1 jam sibuk)

Probabilitas transisi menunjukkan peluang terjadinya transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain di dalam selang waktu yang sangat kecil (Δt )


Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process)

Call arrival dapat diartikan percobaan pertama untuk menghubungkan beberapa perangkat bagi terbentuknya suatu panggilan (first attempt to connect some device for the purpose of establishing a call) event sesaat (instantaneous)

Pengertian di atas merupakan pengertian yang legitimate karena proses pendudukan perangkat (seizing) pada umumnya sangat singkat dibandingkan dengan holding time-nya setelah seizure

Dengan fakta-fakta tersebut di atas marilah kita turunkan distribusi kedatangan panggilan


Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (2) Misalkan proses call arrival (seperti yang sudah didefiniskan pada

slide no 6) berlangsung terus pada selang waktu yang sangat lama Dan bayangkan selang waktu yang lama tersebut dibagi menjadi

interval-interval yang lebih kecil dengan durasi Δt • Dengan membuat agar Δt sangat singkat, kita dapat menjamin

bahwa peluang terjadinya kedatangan lebih dari satu (pada selang Δt ) dapat diabaikan

Δt Δt Δt

0 T


Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (3)

Misalkan a menyatakan jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu

Satu satuan waktu terdiri dari 1/Δt intervalMaka peluang suatu interval (yang dipilih secara

acak) mengandung sebuah kedatangan adalah a/(1/Δt ) = a.Δt = dengan kata lain ini adalah peluang meunculnya pangggilan dalam interval Δt



Peluang bahwa ada tepat (exactly) sebanyak x panggilan yang terjadi selama selang waktu T adalah merupakan peluang bahwa ada sebanyak x dari T/Δt interval yang mengandung panggilan (Δt dipilih agar T/Δt merupakan sebuah integer)

Maka x merupakan distribusi binomial, sehingga distribusi peluangnya adalah :

px=

TΔt ( ( T

Δt ( (

- 1TΔt

( (

- 2TΔt

( (

- x +1… (1-aΔt ) (T/Δt )-x

(a/Δt )x

x !

=T(T-Δt )(T-2Δt )…(T-x-1Δt )(1-aΔt )-x {(1-aΔt )1/Δt }T ax

x!



aTx

x ex

aTp

!

Bila Δt 0, maka (1 – aΔt )1/Δt e-a, maka px menjadi :

Ini merupakan distribusi Poisson Jadi pola kedatangan panggilan berdistribusi Poisson Mean value dari distribusi Poisson di atas adalah at demikian

pula dengan variansinya akan berharga at ciri distribusi Poisson


Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution)

aTetF 1)(

Seperti sebelumnya, sumbu waktu dibagi kedalam interval-interval yang lebih kecil Δt

Misalkan dipilih suatu waktu secara acak (random instant) Selang waktu sampai terjadinya suatu panggilan berikutnya akan

melebihi t, jika dan hanya jika interval pertama, kedua … ke-(t/Δt ) tidak mengandung kedatangan panggilan. Peluang terjadinya event ini adalah (1-aΔt )t/Δt yang akan cenderung menjadi e-at jika Δt mendekati nol

Maka fungsi distribusi dari t (yaitu peluang bahwa selang waktu sampai panggilan berikutnya lebih kecil dan sama dengan t) adalah


Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution) (2)

Probability density function dari F(t) adalah

f(t) = dF(t)/Δt = ae-at

Ini adalah distribusi eksponensial negatif Mean value dari f(t) adalah 1/a yang merupakan

rata-rata selang waktu antar kedatangan panggilan


Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) Diasumsikan bahwa sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan mengambil waktu awal (origin) merupakan saat dimulainya

panggilan, maka peluang bahwa panggilan berakhir dalam selang (t,t+Δt ] adalah μΔt (analogi dengan kedatangan panggilan)

Peluang bahwa waktu pelayanan lebih besar dari t (H(t)) adalah sama dengan peluang bahwa panggilan tidak berakhir dalam selang (0,t]

t t+Δt


Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) (2)

Dengan mempartisi selang (0,t] kedalam sejumlah n interval dan dengan membuat agara Δt =t/n maka peluang berakhirnya panggilan setelah t (waktu pelayanan melebihi t) adalah (1 – μΔt )n

Bila n menuju 0 maka H(t) = e-μt

Peluang terjadinya pendudukan yang berakhir pada waktu kurang dari t adalah F(t) = 1 - e-μt

Maka probability density function dari waktu pelayanan adalah f(t) = μe-μt

Dengan demikian waktu pendudukan berditribusi eksponensial negatif dengan mean μ-1

• μ disebut laju waktu pelayanan


Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) (3)

Diketahui bahwaa =

= 1/h

λ = harga rata-rata kedatangan panggilan1/ λ = selang waktu antar kedatangan panggilanμ = laju berakhirnya panggilan1/ μ = selang waktu antar berakhirnya pendudukanh = harga rata-rata waktu pendudukan1/h = selang waktu antar pendudukan


Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan

Akan dicari peluang bersyarat : suatu panggilan datang pada selang (t,Δt) bila diketahui bahwa selama waktu t tidak ada panggilan datang

Bila x adalah panggilan yang datang, maka kita akan mencari P(x t+Δt | x > t)

t t+Δt

Pangggilan datang Tidak ada panggilan datang


Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (2) P (x > t) = e-λt

• ingat P(x>t) = 1- P(x t)=1 –(1- e-λt) = e-λt

P(t < x t+Δt) merupakan peluang bahwa (x >t dan x t+Δt), atau bisa kita pandang juga sebagai usaha mencari peluang munculnya panggilan pada selang (t+ Δt)

Maka P(t < x t+Δt) =1– P(x t) - P (x > t+ Δt) =1– P(x t) – (1 – P (x t+ Δt))

= P (x t+ Δt) – P(x t)

P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)

P(x > t)


Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (3)

P(t < x t+Δt) = 1– P(x t) - P (x > t+ Δt) = 1– P(x t) – (1 – P (x t+ Δt)) = P (x t+ Δt) – P(x t) = (1 – e-λ(t+ Δt)) – (1 – e- λt) = e- λt – e-λ(t+ Δt)

Maka,

P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)

P(x > t)

= e- t – e-(t+ Δt)

1-(1-e- t)



P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)

P(x > t)

= e- t – e-(t+ Δt)

1-(1-e- t)

= e- t – e-(t+ Δt)

e- t

= 1 – e-Δt


Bila kita uraikan menggunakan deret Mc Laurin, akan kita peroleh

P(x t+Δt | x > t) = Δt -Δt)2

2!

Δt)3

3!+ …= P (Δt)



Bila Δt 0 maka P(Δt) λ.Δt + 0(Δt) 0(Δt) merupakan fungsi Δt yang harganya akan lebih

cepat menjadi 0 daripada Δt nya sendiri bila Δt mendekati nol

P(Δt ) tak tergantung t Hanya mungkin terjadi satu peristiwa dalam suatu waktu

tertentu, karena bila terjadi lebih dari satu peristiwa maka probabilitasnya akan sebanding dengan Δt 2 (atau Δt 3 dst.) dan ini berarti akan menjadi nol (bila Δt mendekati nol)



Kita sudah memperoleh hasil sebagai berikut (dengan Δt mendekati nol (Δt )):• Peluang (datangnya 1 panggilan dalam waktu Δt ) =

λt + 0(Δt )• λ=laju rata-rata datangnya panggilan

• Dengan analogi : Peluang (berakhirnya 1 pendudukan dalam waktu Δt ) = μt + 0(Δt )

• μ=1/h= laju rata-rata berakhirnya panggilan



Bila kita gunakan koefisien kelahiran dan kematian :• Peluang (datangnya 1 panggilan pada kondisi n

dalam waktu Δt ) = bnΔt + 0(Δt )• Peluang (berakhirnya 1 panggilan pada kondisi n

dalam waktu Δt ) = dnΔt + 0(Δt )• Peluang (terjadi lebih dari 1 peristiwa datang

dan/atau berakhir dalam waktu Δt ) = 0(Δt )



Kondisi pada t

Kondisi pada (t+Δt )

Transisi Prob(transisi dlm Δt /kondisi pada t)

n n Tak ada yang datang ataupun berakhir

(1-bnΔt )(1-dnΔt )=1- bnΔt - dnΔt +0(Δt )

n-1 n 1 panggilang datang dan tak ada yang berakhir

bn-1Δt (1- dn-1Δt )+0(Δt )= bn-

1Δt +0(Δt )

n+1 n Tak ada yang datang dan 1 pendudukan berakhir

(1- bn+1Δt )dn+1Δt +0(Δt )= dn+1Δt +0(Δt )

Kondisi lainnya

n Lebih dari 1 transisi O(Δt )

Kondisi n pada saat t+Δt dapat terjadi melalui beberapa kemungkinan :


Kita akan mencari probabilitas kondisi n pada waktu t : P(n,t)

• P(n,t+Δt )=P(n,t)(1-bnΔt -dnΔt )+P(n-1,t)bn-1Δt +P(n+1,t)dn+1Δt +0(Δt )

• (P(n,t+Δt ) – P(n,t))/Δt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )

Bila Δt mendekati nol :

• dP(n,t)/Δt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )

Ini disebut persamaan kondisi dan berlaku untuk n=1,2,3,…


Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (10) Persamaan kondisi dapat diselesaikan dengan 2

kasus• Kasus 1 : P(n,t) bukan fungsi waktu. Hal ini terjadi

bila sistem dalam keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium) [jam sibuk dianggap merupakan keadaan yang setimbang]

• Kasus 2 : P(n,t) merupakan fungsi waktu



Kasus 1• Karena P(n,t) bukan fungsi waktu, maka dP(n,t)/Δt =

0 (berlaku untuk semua harga n)

• Untuk n=0 : 0=-b0P(0)+d1P(1)

b0P(0)=d1P(1) pers (1)

• Untuk n=1 : (b1+d1)P(1)=b0P(0)+d2P(2) pers (2)

• Untuk n=2 : (b2+d2)P(2)=b1P(1)+d3P(3) pers (3)

• Untuk n=3,4,dst. :

(bm+dm)P(m)=bm-1P(m-1)+dm+1P(m+1)



Kasus 1 (cont.)• Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) dan seterusnya :

b1P(1)=d2P(2)b2P(2)=d3P(3)b3P(3)=d4P(4)

bmP(m)=dm+1P(m+1)Ini disebut persamaan kesetimbangan

m m+1

bm

dm+1



Kasus 2 :• dP(n,t)/Δt = -(bn+dn) P(n,t) + bn-1P(n-1,t) + dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )

Untuk n=0• dP(0,t)/Δt = -b0P(0,t) + d1P(1,t)

Selisih aliranmasuk dan keluar Aliran keluar

dr kondisi n

Aliran masuk ke kondisi n



Untuk memudahkan solusi :• Tak ada pendudukan yang berakhir : dn=0• Rate datangnya panggilan sama untuk semua kondisi : bn=a

Maka • (*) d(P0,t)/Δt = -a P(n,t)+aP(n-1,t) untuk n1• (**) d(P0,t)/Δt = -a P(0,t) untuk n=0

Untuk menyederhanakan penyelesaian, digunakan syarat batas pada permulaan sistem (pada t=0 dan n=0) :• P(n,0) = 1 untuk n = 0 dan• P(n,0) = 0 untuk n 0


Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (15) Penyelesaian untuk P(0,t) dapat diperoleh dari

persamaan (**):• P(0,t) = e-at,harga ini bila dimasukkan ke persamaan

(*) n=1, akan didapat :• dP(1,t)/Δt =-aP(1,t)+ae-at, bila persamaan ini diselesaikan,

akan memberikan P(1,t)=at.e-at, kemudian persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan P(2,t)

• Akan diperoleh dP(2,t)/Δt =-aP(2,t)+a.at.e-at, yang bila diselesaikan akan menghasilkan P(2,t)=((at)2/2!)e-at



Secara induksi akan diperoleh :

Gambar P(n,t) untuk beberapa harga n dan t dapat dilihat di diktat

Harga Mean =at Harga variansi = at

P(n,t)=(at)n

n!e-at Distribusi Poisson



PDF = P (x t) = 1 – P(x > t)

Jadi PDF = F(t) =1 – P(0,t) = 1 – e-at

pdf = f(t) = ae-at

Peluang waktu interval panggilanlebih besar dari t atau peluang tidak ada panggilan yang datangselama waktu t (P(0,t))

P(0,t)=(at)0

0!e-at

P(0,t)= e-at


termodinamika (1- 2) k keadaan_kesetimbangan_sistem

Documents