teori-dasar-matriks

5/11/2018 TEORI-DASAR-MATRIKS - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teori-dasar-matriks-55a0d1a271c31 1/37

DAFTAR ISI

BAB I. MATRIKS

BAB II. DETERMINAN

BAB III. INVERS MATRIKS

BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS

Matriks berupa sekelompok bilangan yang disusun empat persegi dan dibatasi tanda

terdiri dari baris dan kolom

Notasi matriks: Satu huruf besar atau huruf kapital : A, B, C

Contoh:

baris ke-1

baris ke-2

↓ ↓ ↓

k 1 k 2 k 3

Bilangan yang menyusun disebut elemen matrik.

Elemen matrik : 2, 5, 7, 1, 3, 4

Ukuran matriks ditunjukkan dengan jumlah baris x jumlah kolom

Secara umum :

aA ij dimana : aij

i = 1, 2, 3, …, m

j = 1, 2, 3, …, n

m : jumlah baris

n : jumlah kolom

457

312 A



2

Penulisan :

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

aaaa

aaaa

aaaa

A

Macam-macam matrik

1. Matrik Bujur Sangkar

Jika m =n

22 21

12

33

512

472

121

2. Matrik Segitiga Atas

Jika aij = 0 untuk i > j

500

470

121

3. Matrik Segitiga Bawah

Jika aij = 0 untuk setiap i < j

512

072

001

4. Matrik Dagonal

Jika aij = 0 untuk i ≠ j



3

500

070

001

5. Matrik Skalar

Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij bernilai sama untuk i = j

700

070

007

6. Matrik Satuan (Identitas)Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j

100

010

001

I3

In = matrik identitas dengan ukuran n x n

OPERASI MATRIKS

1. Kesamaan dua matrik

A = [aij]

B = [bij]

A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang

sama.

2. Penjumlahan

A = [aij]

B = [bij]

C = [cij]



4

A + B = C jika aij + bij = cij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai

ukuran yang sama.

181614

10119

121110

987

654

132

3. Perkalian

(a) Perkalian dengan bilangan skalar

2820

128

75

32 4

α = bilangan skalar

A = [aij]

B = [bij]

B = αA jika bij = α × aij untuk setiap i dan j

(b) Perkalian dua matrik

A = [aij]

B = [bij]

C = [cij]

C = A × B jika

n

1k

kjik ij bac untuk setiap i dan j

Syarat untuk dilakukan perkalian antar matrik adalah jumlah kolom matrik

pertama = jumlah baris matrik kedua.

71

31

4

7

3

654

132

A(2×30) B(3×1) C(2×1)

Jika A (m×n), B (p×q) dan p = n maka C (m×q)



5

c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31

n

1k

kjik ij bac ; n adalah jumlah kolom matrik I atau jumlah baris matrik II.

Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj

k=1 k=2 k=n

57382071

2319931

4114

5427

2313

654

132

Secara umum : AB ≠ BA

4. Matrik transpose

A = [aij]

B = [bij]

B = AT

jika bij = a ji untuk setiap i dan j

41

32

43

12T

A B

b11 = a11; b12 = a21; b21 = a12; b22 = a22

963

852

741

987

654

321T

Soal!

Hitunglah:

a. 4A + AB

b. ATB - BI3

c. A2 – I3

Dengan:



6

243-

31-2

121

A dan

51-1

132

211

B

Penyelesaian:

a.

16235

30811

131410

877

1843

966

81612

1248

484

511

132

211

243

312

121

243

312

121

4AB4A

b.

1098

2282

1391

511

132

211

1589

2354

11102

100

010

001

511

132

211

511

132

211

231

412

321

BIBA 3

T

c.



7

1221

5169

941

100

010

001

1321

5179

942

100

010

001

231

412

321

231

412

321

IA 3

2



8

BAB II

DETERMINAN

Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A|

Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar.

Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar.

Cara menghitung nilai determinan:

I. Ukuran 2 2

dc

ba A

Nilai |A| = det A = ad – bc

Contoh:

23241

43

21

II. Ukuran 3 3

Perkalian elemen searah diagonal

ihg

f ed

cba

A

Nilai |A| = det A, dilakukan sebagai berikut:



9

bdi-afh-ceg-cdhbfgaei

hgihg

edf ed

bacba

Keterangan:

= dijumlahkan

= dikurangkan

Catatan: Menghitung nilai determinan dengan cara ini hanya berlaku untuk

matrik 3x3, tidak dapat dilakukan bila ukuran 4x4 atau lebih.

SOAL

753

432

321

= ?

Penyelesaian:

1 2 3 1 2

2 3 4 2 3 21 24 30 27 20 28 0

3 5 7 3 5

Matrik yang determinannya = 0 disebut matrik singular

753

432321

Selisih det 0 disebut non singular



10

Sifat determinan:

1. Nilai determinan suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut ditranspose

|AT| = |A|

2. Nilai determinan akan berubah tanda bila salah satu baris atau kolom

dipertukarkan dengan baris atau kolom lain.

052

421

123

421

052

123

421

123

052

3. Nilai determinan akan berubah menjadi k kali jika setiap elemen suatu baris

atau kolom dikalikan dengan k.

4721

1723

0752

421

123

075727

7

421

123

052

MINOR DAN KOFAKTOR

Minor

Minor dari matrik A [aij] = Mij

Mij adalah matrik yang berasal dari matrik yang baris ke-I dan kolom ke-j

dihilangkan.

Misal:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A ; M12 = ?

M12 : dari matrik A, baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan.

3331

2321

12aa

aaM



11

3231

1211

23aa

aaM

2322

1312

31aa

aaM

Kofaktor

Aij = (-1)i+j

|Mij|

Dengan i : nomor baris

j : nomor kolom

Misal:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Maka:

33213123

31233321

3331

232121

12

aaaa

aaaa

aa

aa)1(A

12 133 1

31

22 23

12 23 13 22

a aA ( 1)

a a

a a a a

Nilai determinan matrik A dapat dihitung dengan menggunakan minor Mij dan

kofaktor Aij

Ekspansi baris pertama atau kedua



12

232322222121

131312121111

Aa Aa Aa A

Aa Aa Aa A

Ekspansi kolom pertama

323222221212 AaAaAaA

CONTOH SOAL

1. Hitung determinan matriks di bawah ini dengan minor dan kofaktor

151

432321

Penyelesaian:

Cara 1

Mengitung nilai minor dan kofator dilanjutkan dengan ekspansi baris

143

32A

1315

32A

1715

43A

31

21

11

8

11132)17(1

AaAaAaA313121211111

Cara 2, langsung ekspansi baris ke-3



13

8

1101

32

211

42

315

43

321A

2. Hitung determinan dari (4x4)

2031

3112

5201

1312

Penyelesaian

2031

3112

5201

1312

Ekspansi baris ke-2

1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3

A 1 1 1 3 0 2 1 3 2 2 1 3 5 2 1 1

3 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 0

1 3 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1

1 1 3 1 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 1 2 1

3 0 2 3 0 1 3 2 1 3 1 3 0 1 3

(1 1 2 3 3 3 1 1 3 3 1 2) 2(2 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 2 2)

5(1 1 1 3 2 3 3 1 1 2 1 3)

(2

27 3 6) 2(4 3 6 1 18 4) 5(1 18 3 6)

20 20 50

50

3. Hitung determinan dari



14

2132

3201

1122

0130

Penyelesaian:

2132

3201

1122

0130

Ekspansi baris ke-1

2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

A 0 0 2 3 3 1 2 3 1 1 0 3 0 1 0 2

3 1 2 2 1 2 2 3 2 2 3 1

2 1 1 2 1 2 2 1 2 2

3 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 0

2 1 2 2 1 2 3 2 2 33(2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2) 1(2 3 2 1 1 3 2 3 3 2 1 2)

3(8 6 1 4 6 2) 1(12 3 18 4)

9 7

16

Ekspansi kolom ke-1



15

2 1 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0

A 0 0 2 3 2 0 2 3 1 2 1 1 2 2 1 1

3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 2 3

3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1

2 0 2 3 0 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1

3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2

2(3 2 2 1 3 3 3 3 1) (3 1 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2) 2(3 1 3 3 1 2 1 2 3)

2(12 9 9) (6 3 3 4) 2(9 6

6)

24 2 6

16

OPERASI BARIS ATAU KOLOM

Nilai determinan tidak berubah jika salah satu baris / kolom, elemennya ditambah

dengan suatu bilangan skalar dikalikan elemen baris atau kolom yang lain.

Contoh:

751

432

321

Hitung determinannya!

Operasi baris: Ob(21)(-2) elemen baris ke-2 ditambah dengan (-2) kali elemen

baris pertama

Penyelesaian



16

751

210

321

751

3)2(42)2(31)2(2

321

751

432

321

Dengan determinan biasa

1 2 3 1 2

0 1 2 0 1 [1 ( 1) 7 2 ( 2) 1 3 ( 1) 1 1 ( 2) 5)

1 5 7 1 5

2

Dengan ekspansi kolom ke-1

2

)1514()107(

75

321

75

320

75

211

751

210321

Dengan Ob (31)(-1) untuk hasil (matrik) Ob (21)(-2)

430

210

321

3)1(72)1(51)1()1(

210

321

751

210

321



17

Penyelesaian:

Dengan ekspansi kolom ke-1

2

)64(1

43

211

430

210

321

SOAL

1.

2132

3201

1122

0130

Hitunglah determinannya!

Penyelesaian:

2132

3201

1122

0130

Dengan Operasi kolom: Ok (23)(-3)

Jawab:

211)3(32321)3(01

111)3(22

011)3(30

21023261

1112

0100

Dengan ekspansi baris 1



18

2 1 1 2 1 1 2 1

1 1 6 3 1 1 6 3 1 6

2 0 2 2 0 2 2 0

1 [2 ( 6) 2 ( 1) 3 2 1 ( 6) 2 ( 1) 1 2]

24 6 12 2

16

2. Dari soal contoh setelah Ob (310(-1) dilakukan Ob(32)(3)

430

210

321

Penyelesaian:

200

210

321

)2()3(4)1(330)3(0

210

321

Dengan sifat matrik segitiga atas |A| : elemen diagonal

Maka:

|Matrik di atas| = 1(-1)(-2) = 2

3. Hitunglah determinan dari

2324

4231

2542

3323

dengan Ok (13)(-1) dan Ok(43)(-1)

Penyelesaian



19

132

2233

3543

0320

3)1(2323)1(4

2)1(4232)1(1

5)1(2545)1(2

3)1(3323)1(3

Dengan ekspansi baris ke-1

3 5 3 3 4 3 3 5 3 3 5 3 4 3 3 4

2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3

1 3 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2

28



20

BAB III

INVERS MATRIKS

A = [aij]

B = [bij]

B dikatakan invers A jika AB = BA = I

Invers matrik A diberi simbol A-1 atauA

1

Misal:

A = 2

B = ½

AB = 2 · ½ = 1

BA = ½ ·2 = 1

Ax = B

x = B/A

Ax = B

x = A-1B

Sifat:

1. (A-1

)-1

=A

2. (AB)-1

= B-1

A-1

Cara menghitung matrik invers

Adet

Aadjoin1 A

Adjoin A adalah transpose dari matriks kofaktor A.



21

Contoh:

Jika

511

240

432

A , maka A-1

= ?

Jawab:

Menghitung kofaktor

1851

24A11

= -4.5 - 2.(-1) = -20 +2 =-18

251

20A12

411

40A13

1151

43A21

1451

42A22

511

32A23

1024

43A31

420

42A32

840

32A33

Menghitung adjoin A:

854

4142

101118

AAA

AAAAAA

AAA

AAA

AAA

AAdjoin

332313

322212

312111

333231

232221

131211

T



22

46-

40-4-10

5(-8)(-1)(-4)1(-10)Adet

468

465

464

464

4614

462

4610

4611

4618

854

4142

101118

46

1 A 1-

Cek!

3I

100

010

001

511

240

432

468465464

464

4614

462

4610

4611

4618

Contoh:

1. Berapa matrik invers untuk matrik

43

21

Jawab:

13-

2-4 Aadjoint

A11 = 4

A21 = -2



23

A12 = -3

A22 = 1

Det A = -2

Maka:

21

23

12

13

24

2

1A 1

Cek!

10

01

43

21

21

23

12

Rumus sederhana untuk 2x2:

ac

bd

bcad

1

dc

baA

1

1

2. Berapa invers matrik dari

752

641

231

Jawaban

1

752

641

231



24

11

4 6A 2

5 7

275

64A11

572

61A12

352

41A13

1175

23

A21

372

21A22

152

31A23

1064

23A31

461

21A32

141

31

A33

det A = 1(-2) + 3(5) + 2(-3) = 7

maka:

333231

232221

131211

1

aaa

aaaaaa

Adet

1

AadjointAdet

1A

Maka:

717173

747375

71071178

113

433

10112

7

1A

1



25

Cek!

A-1 A = I

100

010

001

752

641

231

717173

747375

71071178

3. Berapa invers matrik dari

751

432

321

B

Jawaban

751

432

321

B

1

75

43B11

1071

42B12

7

51

32B13

175

32B21

471

31B22

351

21B23

143

32B31

242

31B32

132

21B33



137

2410111

bbb

bbbbbb

Badjoint

332313

322212

312111

2

21201

51

323

71

422

75

431ADet

212327

125

212121

137

2410

111

2

1

BadjointBdet

1B 1

Cek!

B-1

B = I

100

010

001

751

432

321

212327

125

212121

Metode Operasi Baris

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A



27

333231

232221

131211

1

bbb

bbb

bbb

AB

3IA

333231

232221

131211

100

010

001

aaa

aaa

aaa

Dengan operasi baris diupayakan agar terbentuk matrik sebagai berikut

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

100

010

001

Dengan demikian matrik B = [bij] merupakan invers dari matriks A = [aij]

Contoh:

Hitunglah nilai invers dari matriks berikut

751

432

321

Jawab:

3IA

100

010

001

751

432

321

Langkah Operasi baris

1. Membentuk matriks segitiga atas.

2. a21 dijadikan nol.

3. Baris ke-2 ditambah dengan (-2) baris ke-1 (baris ke-2 + baris ke-1 kali – 2

atau O21(-2))

(i)



28

10)1(01)1(03)1(42)1(51)1(1

00)2(11)2(03)2(42).2(31)2(2

001321

)1(OII.

)2(O I.IIIIIIIIII

IIIII

31

21

101430

012210

001321

(ii)

1)1()3(0)2()3()1(4)1()3(30

0)1()1()1()2(4)1()2()1()1(0

001321

)3(OIV.

)1(OIII.IVIVIV

21IV

IIIIIIIIIIII

32

2

137200

012210

001321

(iii)

VI2

1VI2

1VI2

1VI

21

VVVV

21

3

23

)(1)()3()()7((-2)00

)1)(1(03)1()1()7()1(2)2()1(210

001321

)(OVI.

)1(O V.

21

23

27100

125010

001321

(iv)

21

23

27

VIIVIIVIIVII

21

100

125010

1)2(02)2(0)5()2(131)2(21

)2(OVII.



29

21

23

27100

125010

2411301

(v)

21

23

27

VIII2

1VIII2

3VIII2

7VIII

13

100

125010

))(3()2())(3()4())(3(111)3(301

)3(OVIII.

21

23

27

21

21

21

100

125010

001

SOAL

Hitung matrik invers dari

752

641

231



30

BAB IV

PENYELESAIAN PERSAMAAN

LINEAR SIMULTAN

Persamaan Linear

Persamaan yang memunyai pangkat tertinggi variabel = 1

Contoh:

ax b 0 (1.1)

ax by cz d (1.2)

1 1 2 2 n na x a x ... a x b (1.3)

x : variabel persamaan 1.1

x, y dan z : variabel persamaan 1.2

1 2 n

1 2 n

x , x , , x : variabel

a , a , , a : koefisien persamaan 1.3

b : konstanta (ruas kanan)

Persamaan Linear Simultan:

Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara

serentak (simultan).

Penulisan persamaan linear simultan secara umum:

11 1 12 2 n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b



31

Dapat ditulis

11 12 1n 1 1

21 22 2n 2 2

n1 n2 nn n n

a a a x ba a a x b

a a a x b

AX = B

Keterangan:

A = Matrik koefisienX = Matrik variabel

B = Matrik konstanta

Macam persamaan linear

AX =B Jika: B = 0 homogen

B ≠ 0 non homogen

Penyelesaian persamaan linear simultan:

Menghitung nilai masing-masing variabel yang memenuhi semua

persamaan yang ada.

Metode penyelesaian:

1. eliminasi dan substitusi

2. cramer

3. invers matrik

4. iterasi

Macam penyelesaian: Jika (det ≠ 0) persamaan mempunyai jawab tunggal.

Jika (det = 0) persamaan bisa mempunyai jawab banyak

atau bisa tidak punya jawab.

CONTOH SOAL

Persamaan linier simultan terdiri dari 2 persamaan dengan 2 variabel

Selesaikan persamaan linier simultan



32

3x + 5 y = 13

x + y = 3

Penyelesaian:

Eliminasi

3x 5y = 13 1

x + y = 3 3

3x 5y = 13

3x 3y = 9

2y = 4y = 2

x = 1

Subtitusi

3x 5y = 13

x + y = 3 x = 3 - y

3 (3 y) 5y = 13

9 3y 5y 13

2y 4

y 2

x 1

Cramer : untuk determinan ≠ 0.

3x 5y 13

x y 3

3 5 x 13

1 1 y 3



33

13 5

3 1 2x 13 5 2

1 1

3 13

1 3 4y 23 5 2

1 1

Invers Matrik

Ax = B x = A-1

B

1

1 551

1 51 3 1 2 2A3 5 1 3 32 1

2 21 1

51x 132 2

y 3 312 2

13 152 2

13 9

2 21

2

Persamaan linier simultan terdiri dari 3 persamaan dengan 3 variabel

1. Selesaikanlah:

2x 5y 2z 7

x 2y 4z 3

3x 4y 6z 5

Eliminasi:

2x 5y 2z 7 1 2x 5y 2z 7

2x 4y 8z 6x 2y 4z 3 2 ....... (iv)

9y + 10z = 1



34

x 2y 4z 3 3 3x 6y 12z 9

3x 4y 6z 5

3x 4y 6z 5 1 ....... (v)10y 6z = 4

9y 10z 1 10 90y ( 100)z 10

90y 54z 3610y 6z 4 9

46z = 46

z 1

Substitusi nilai z ke dalam persamaan

10y 6z 4

10y 6 1 4

10y 10

y 1

Substitusi nilai z dan y ke dalam persamaan

x 2y 4z 3

x 2 1 4 1 3

x 2 4 3

x 5

Jadi penyelesaian persamaan di atas, x = 5; y = 1 dan z = 1.

Contoh beberapa macam penyelesaian:

1. Selesaikan

3x 2y 5

x y 2

Penyelesaian

3x 2y 5 1 3x 2y 5

x y 2 2 2x 2y 4

x 1

y 1

Jawab tunggal

Dua garis lurus saling berpotongan.

2. Selesaikan



35

2x 3y 7

4x 6y 13

Penyelesaian

2x 3y 7 2 4x 6y 14

4x 6y 13 1 4x 6y 13 0x 0y 1

Tidak punya jawab

Dua garis lurus sejajar.

3.3x 2y 8 2 6x 4y 16

6x 4y 16 1 6x 4y 16

0x 0y 0

Jawab banyak nilai x dan y yang memenuhi.

Dua garis berimpit.

3x 2y 8

x y

0 4

8 03

Maka dimisalkan:

x p

8 3py

2

Cramer, syaratnya determinan ≠ 0

3x 2y 5det 1

x y 2

2x 3y 7det 0

4x 6y 13

Dalam koordinat x - y, persamaan linear dapat digambarkan sebagai garis

lurus.

Persamaan linear dengan 2 variabel



36

garis lurus berimpit dengan satu bidang datar

garis lurus pada koordinat x - y

5 2

12

x y

01 1

2

x y

0 21 1

2 0

Contoh:

1. Selesaikanlah

x 2y 3z 12

3x 6y z 42 det 0

y z 5

(1) ... x 2y 3z 12 3

(2) ... 3x 6y z 42 1

3x 6y 9z 36

3x 6y z 42

8z 6

3z4



37

y z 5

3y 54

3y 54

234

x 2y 3z 12

23 3x 2 3 124 4

23 9x 122 12

11x4

teori-dasar-matriks

Documents