teori bilangan
DESCRIPTION
Bilangan Real hingga Imajiner beserta operasi matematisnyaTRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN TEORI BILANGAN
1.1 Notasi dan Simbul
Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep, oleh karena itu untuk memudahkan uraian, penjelasan, atau keterangan diperlukan seperangkat kesepakatan bersama sebagai dasar dalam memahami matematika sehingga apa yang ingin diketahui menjadi lebih mudah dan sederhana. Disamping itu dalam matematika diperlukan lambang-lambang tertentu. Lambang-lambang yang telah disepakati tersebut mempunyai makna tertentu, dan makna tersebut dinamakan dengan notasi.
Istilah lain dari notasi adalah simbul. Penggunaan notasi haruslah disepakati bersama oleh pengguna matematika. Notasi-notasi yang ada dalam matematika dapat berkaitan dengan himpunan misalnya penggunaan huruf kapital latin, operasi atau pengerjaan misalnya penjumlahan beruntun atau perkalian beruntun, hubungan antara unsur misalnya kesamaan atau ketidaksamaan, atau pernyataan yang menunjukkan penunjuk misalnya kelipatan persekutuan terkecil, pembagi persekutuan terbesar dan sebagainya.
Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya.
Notasi yang berkaitan dengan operasi
+ : jumlah
- : selisih
x : perkalian
: : pembagian
: akar kuadrat
S
: Penjumlahan beruntun
P
: Perkalian beruntun
: integral
Notasi yang berkaitan dengan hubungan
= : sama dengan
: tidak sama dengan
> : lebih besar daripada
< : lebih kecil daripada
: lebih kecil atau sama dengan
: lebih besar atau sama dengan
: ekuivalen
@
: sama dan sebangun
: gabungan
: Irisan
: anggota
: bukan anggota
Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan
KPK : kelipatan persekutuan terkecil (low commond multiple)
FPB : pembagi persekutuan terbesar (great commond devisor)
: implikasi ( jika ... maka ... )
: biimplikasi ( ... jika dan hanya jika ... )
: tegak lurus
: sudut 90o
: sejajar
f
: himpunan kosong
: segitiga
: bujur sangkar (persegi)
Notasi yang berkaitan dengan himpunan
a. Himpunan bilangan Nol yaitu {0}
b. N = himpunan bilangan Asli (Natural)
= { 1,2,3,4,5, ... }
c. W = himpunan bilangan Cacah (Whole)
= { 0,1,2,3,4, ... }
d. Z = himpunan bilangan Bulat (Zahlen)
= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } , sehingga dalam bilangan bulat terdapat bilangan bulat positip (Z+), bulat negatip (Z-) dan bilangan nol
e. Q = himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
, dengan a,b
Z, b
0 . Bilangan rasional juga dinamakan dengan bilangan desimal berulang.
Q = { x : x =
b
a
, a,b
Z, b
0 }
f.
Q
= himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
dengan a,b
Z. b
0 Bilangan tidak rasional juga disebut dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak berulang.
g. R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata lain:
R = { N
W
Z
Q
Q
}
h. Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner ) yaitu bilangan yang dinyatakan dengan i dimana i =
1
-
.
i. C = himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk C = {x : x = a + bi, a,b
Z, i =
1
-
}.
Notasi-notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk penyimbulan konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.
Contoh:
1. Jika kita ingin menyatakan jumlah 10 suku pertama dari bilangan genap adalah dengan menggunakan simbul
=
10
1
2
q
q
2. Diberikan dua bilangan bulat berbeda, misal x dan y. Kita akan menggunakan simbul > atau < sehingga didapat x > y atau x < y.
3. Untuk menyatakan dua garis lurus L1 dan L2 yang sejajar cukup menggunakan simbul L1 L2.
Terlihat dari contoh di atas maka penggunaan simbul dalam matematika memberikan makna singkat dan lugas.
1.2 Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli (N). Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak khusus, namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat diperlukan dalam cabang-cabang matematika.
Dianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asli N = { 1,2,3, ... }, baik operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu bilangan asli yang satu lebih kecil dari yang lain. Juga dianggap kita sudah mengenal dengan sifat-sifat dasar dari bilangan asli berikut ini:
Sifat terurut baik dari N menyatakan bahwa setiap subset tidak kosong dari N mempunyai unsur terkecil. Sifat yang lebih mendetail dari sifat terurut baik bilangan asli adalah sebagai berikut:
Teorema 1.1
Jika S adalah subset dari N dan jika S
EMBED Equation.3
f
, maka terdapat suatu m
S sedemikian sehingga m
k, untuk setiap k
S.
Prinsip Induksi Matematika
Misal S subset dari N, maka berlaku sifat-sifat:
(1) 1
S
(2) jika k
S, maka (k+1)
S, dan S = N
Bukti:
Anggaplah berlaku sebaliknya S
N. Maka himpunan N S tidak kosong dan selanjutnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuat suatu unsur terkecil. Misal m adalah unsur terkecil dari N-S. Karena 1
S, maka menurut hipotesis (1), kita tahu bahwa m
1. Selanjutnya untuk m > 1 mengakibatkan bahwa m 1 juga merupakan bilangan asli, Karena m 1 < m dan karena m adalah unsur terkecil dari N sedemikian sehingga m
S, ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1
S.
Selanjutnya kita gunakan hipotesis (2) untuk unsur ke ke k = m 1 dan menyimpulkan bahwa k+1 = (m-1) + 1 = m
S. Kesimpulan ini bertentangan dengan pernyataan bahwa m
S. Karena m diperoleh dengan mengasumsikan bahwa N-S tidak kosong, hal ini juga bertentangan dengan kesimpulan bahwa N-S kosong. Dengan demikian kita telah menunjukkan bawa S = N.
Bentuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut:
Untuk setiap n
N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n, anggaplah bahwa:
(1) P(1) benar
(2) P(k) benar maka P(k+1) benar,
Maka P(n) adalah benar untuk setiap n
N.
Contoh
Untuk setiap n
N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi matematika.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n =
2
)
1
(
+
n
n
Jawab
Untuk n = 1
1 =
2
)
1
1
(
1
+
, sehingga 1
S,
Andaikan untuk n = k diasumsikan bahwa k
S, sehingga
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... k =
2
)
1
(
+
k
k
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + k + (k+1) =
)
1
(
2
)
1
(
+
+
+
k
k
k
2
)
1
(
2
2
)
1
(
+
+
+
k
k
k
2
1
2
2
+
+
+
k
k
k
2
1
3
2
+
+
k
k
2
)
2
)(
1
(
+
+
k
k
2
)
1
)
1
)(
1
(
+
+
+
k
k
, karena n = k+1, maka:
2
)
1
)(
(
+
n
n
Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1
S. Jadi dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu dengan prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus tersebut adalah benar untuk semua n
N.1.3 Prinsip Urutan
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang dimunculkan kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan (Well Ordering Principle).
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Sebagaimana halnya dalam Struktur Aljabar dari sistem bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat urutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan kepositipan.
Definisi 1.1
Misal P subset R dan P
f
. Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika a,b
P, maka (a+b)
P
(2) Jika a,b
P, maka (a.b)
P
(3) Jika a
R, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi
a
P, a = 0, -a
P
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa himpunan {-a: a
P} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.
Definisi 1.2
a. Jika a
P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a > 0, Jika a
P
{0}, maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a
0.
b. Jika -a
P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a < 0, Jika -a
P
{0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a
0.
c. Jika a, b
R dan jika a b
P maka dituliskan dalam bentuk a > b atau b < a.
d. Jika a,b
R dan jika a b
P
{0}, maka a
b atau b
a
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a < b < c yang berarti a < b dan b < c
Demikian juga jika a
b dan b
c maka a
b
c. demikian seterusnya.
Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Teorema 1.2
Misalkan a,b,c
R
a. Jika a > b dan b > c maka a > c
b. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
a > b, a = b , a < b
c. Jika a
b dan b
a maka a = b
Bukti
a. a > b maka menurut definisi a b > 0 atau a b
P
b > c maka menurut definisi b c > 0 atau b c
P
Karena a b
P dan b c
P maka menurut definisi diperoleh
(a-b) + (b-c)
P.
Sehingga a c
P atau a > c
b. Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut mungkin terjadi
a b > 0, atau a-b = 0, atau (a-b) = 0 sehingga
a > b atau a = b atau a < b.
c. Jika a
b, maka a b
0, sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a b
P atau b-a
P yakni a > b atau b > a. Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a = b.
Teorema 1.3
1. Jika a
R dan a
0, maka a2 > 0
2. 1 > 0
3. Jika n
N, maka n > 0
Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika a
0, maka a
P atau a
P. Jika a
P maka dengan definisi kita mempunyai a2 = a, untuk a
P. Dengan cara yang sama Jika -a
P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk (-a)2 = (-a)(-a)
P. Dari teorema sebelumnya berakibat bahwa:
(-a)(-a) = ((-1)a)((-1)a) = (-1)(-1)a2 = a2. Akibatnya bahwa a2
P. Jadi kita simpulkan bahwa jika a
0, maka a2 > 0.
2. Karena 1 = (1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa
1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk n = k, dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan 1
P, maka k + 1
P, sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.Teorema 1.4
Misalkan a,b,c
R
1. Jika a > b, maka a+c > b+c
2. Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d
3. Jika a > b, c>0 maka ca > cb
4. Jika a > b, c0 maka 1/a > 0
6. Jika a < 0 maka 1/a < 0.
Bukti
1. Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a b > 0. Karena a-b > 0 sehingga a b
P.
(a b ) = (a-b) + (c-c)
(a b ) + (c c ) = (a+c) (b+c)
Sehingga (a+c) (b+c)
P. Dengan kata lain (a+c) (b+c) > 0
Karena (a+c) (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)
2. Karena a > b, dan c > d berarti a b > 0 dan c d > 0.
Hal ini berarti a - b
P dan c d
P.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
(a-b) + (c-d)
P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau
(a+c) (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)
3. Karena a > b, dan c > 0 berarti a b > 0 dan c > 0.
Hal ini berarti a - b
P dan c
P.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b) c
P. Dengan kata lain (ac bc)
P, atau
(ac) (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd
4. Karena a > b, dan c < 0 berarti a b > 0 dan c < 0 atau (c) > 0.
Hal ini berarti a - b
P dan -c
P.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b)(-c)
P. Dengan kata lain (bc ac)
P, atau
(bc) (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac
5. Jika a > 0, maka a
0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1/a
0. Jika 1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1/a > 0.
6. Jika a < 0, maka a
0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a
0. Jika
1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1/a < 0.
Teorema 1.5
Jika a,b
R, maka a >
2
1
(a+b) > b.
Bukti.
Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b. Demikian pula
a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b
Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan
2a > a+b > 2b
a=1/2(2a) > (a+b) > (2b)=b
a > (a+b) > b.
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika a
R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.
1.4 Prinsip Proporsi
Dalam setiap komunikasi, setiap orang penting untuk mempunyai pikiran yang tepat dalam benaknya. Pernyataan Setiap mahasiswa IKIP Budi Utomo mempunyai cita-cita menjadi guru belumlah merupakan informasi yang khusus jika ternyata teman yang diajak berkomunikasi melihat beberapa mahasiswa IKIP Budi Utomo ternyata setelah lulus tidak menjadi guru.
Dalam matematika, terutama di kelas kita dapat menyampaikan konsep x2 = 1 di papan tulis, hal ini dimaksudkan apa yang dimaksudkan oleh penulis dengan huruf x dan angka 1. Apakah x bilangan bulat? Apakah bukan bilangan? Apakah angka 1 merupakan bilangan asli? atau 1 merupakan konsep yang lain. Dalam matematika seringkali juga muncul istilah untuk setiap, untuk semua, untuk sesuatu, ada, dan seterusnya.
Misalnya:
1. Untuk setiap bilangan bulat x, x2 = 1.
2. Terdapat suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x2 = 1.
Dari contoh di atas, jelaslah bahwa contoh 1 salah, akan tetapi contoh 2 adalah benar karena kita dapat memilih a = 1 atau x = -1.
Berdasarkan contoh di atas, jika konteks yang dibicarakan adalah bilangan bulat, maka pernyataan di atas akan menjadi lebih aman jika disingkat dengan:
Untuk setiap x, x2 = 1 dan terdapat suatu x sedemikian sehingga
x2 = 1. Pernyataan pertama merupakan Universal Quantifier untuk setiap, dan yang membuat pernyataan ini salah adalah pernyataan setiap bilangan bulat. Pernyataan kedua merupakan Existential Quantifier terdapat suatu, dan yang membuat pernyataan ini benar adalah palingb sedikit satu bilangan bulat. Kedua quantifier ini sering terjadi sehingg para pengguna matematika menggunakan simbul
"
untuk menyatakan pernyataan untuk setiap dan simbul
$
untuk menyatakan terdapat atau ada.
1.5 Konjektur
Teori bilangan penuh dengan masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum ditemukan jawabnya. Masalah yang belum terselesaikan tersebut dinamakan konjektur yang diambil dari kata conjecture yang berarti dugaan atau perkiraan. Dalam tulisan ini diperkenalkan beberapa konjektur, antara lain:
1. Terdapat definisi suatu bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat positip yang jumlah pembaginya yang positip adalah dua kali bilangan dimaksud.
Contoh.
Pembagi positip 6 adalah 1, 2, 3, 6
Jumlah pembagi positip bilangan 6 adalah 1 + 2 + 3+ 6 = 12 = 2 x 6.
Pembagi positip bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28
Jumlah pembagi positip bilangan 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 x 28
Selain 6 dan 28 bilangan perfek yang lain adalah 496, 8.128, dan 33.500.336.
Berkaitan dengan bilangan perfek terdapat konjektur
Banyaknya bilangan perfek adalah tak hingga.
Semua bilangan perfek adalah genap.
Jika (2n 1) bilangan prima maka 2n-1(2n -1) adalah bilangan perfek.
2. Terdapat definisi suatu pasangan dua bilangan yang sekawan (amicable), yaitu pasangan dua bilangan bulat positip yang masing-masing jumlah pembaginya positip (tidak termasuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain.
220 dan 284 adalah bilangan sekawan, karena:
Jumlah pembagi positip 220 adalah
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Jumlah pembagi positip 284 adalah
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Pasangan bilangan sekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296 dan 18416.
Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan dua bilangan sekawan adalah terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan.
3. Terdapat definisi tentang pasangan bilangan prima (twine prime), yaitu dua bilangan prima berurutan yang berselisih dua. Beberapa pasangan pasangan bilangan prima adalah 3 dan 5, 5 dan 7, 17 dan 19, 29 dan 31, 41 dan 43.
Konjektur tentang pasangan bilangan prima menyatakan bahwa banyaknya pasangan prima adalah tak hingga.
4. Berdasarkan pasangan bilangan prima Goldbach mempunyai 2 konjektur yaitu:
Setiap bilangan bulat positip genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua bilangan prima ganjil.
Contoh
6 = 3 + 3 14 = 3 + 11
8 = 3 + 5 12 = 5 + 7
10 = 3 + 7 30 = 23 + 7
Setiap bilangan bulat positip ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga bilangan prima ganjil.
Contoh
9 = 3 + 3 + 3 13 = 5 + 5 + 3
101 = 11 + 43 + 47 19 = 5 + 7 + 7
11 = 3 + 3 + 5 37 = 11 + 13 + 13
5. Selain Goldbach, Pierre Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal yaitu:
a.
2
2
n
+ 1 adalah bilangan prima
Untuk n = 0, diperoleh 2 + 1 = 3
Untuk n = 1, diperoleh 4 + 1 = 5
Untuk n = 2 , diperoleh 17
Untuk n = 3, diperoleh 257
Untuk n = 4, diperoleh 65.537
Untuk n = 5, diperoleh 4.294.967.297
b. Untuk n
3, tidak ada bilangan-bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi hubungan xn + yn = zn
Meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering disebut sebagai teorema terakhir Fermat. (Fermats last theorem)
Soal-soal
1. Tunjukkan formula berikut ini benar.
a. 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n-1) = n2.
b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..... + n(n+1) =
3
)
2
)(
1
(
+
+
n
n
n
c. 12 + 32 + 52 + 72 + ..... + (2n-1)2 =
3
)
1
4
(
2
-
n
n
d. 13 + 2 3+ 33 + 43 + ..... + n3 =
2
2
)
1
(
+
n
n
2. Jika r
1, tunjukkan bahwa:
a + ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 =
1
)
1
(
1
-
-
-
r
a
a
n
, untuk sebarang bilangan bulat positip n.
a. Misalkan a,b.c. d
R, buktikan pernyataan berikut:
b. Jika a < b, b < c maka ad+bc < ac+bd
c. Jika a
b dan c < d, maka a+c < b+d
d. a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a=0 atau b=0
4. Carilah bilangan a,b,c,d
R yang memenuhi 0 < a < b dan a < d < 0 dan berlaku
(a) ac < bd (b) ac > bd.
5. Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:
e. x2 > 3x +4
f. 1 < x2 < 4
g.
x
1
< x
PAGE
3
Teori Bilangan