Bahan Ajar Pelatihan Olimpiade MatematikaSMA Negeri 3 Semarang Th. 2009

Peretemuan ke : 1 dan 2Materi : Teori Bilangan ( Bilangan Asli, Cacah, Pangkat, Digit, Uji keterbagian, Prima , FPB, KPK, Pecahan ) Pengajar : Muh Ikhwan

Ringkasan Materi :

I. Uji Keterbagian

a. Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^nContoh :134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b. Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f. Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g. Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa. Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

h. Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i. Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

j. Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

II. Bilangan genap / Even ( E ) : 2n , Bilangan ganjil / Odd ( O) : 2n -1 Berlaku : i. E + E = E iii. O + O = E v. E + O = O ii. E.E = E iv. O . O = O vi. O .E = E

III. arti symbol artinya b habis dibagi a artinya b tidak habis dibagi a

IV. Digit , dua digit Bilangan ab = 10 a + b Tiga digit Bilangan abc = 100a + 10b + c

Soal-Soal Latihan bersama

1. Jumlah empat bilangan asli berurutan sama dengan 38, carilah bilangan tersebut 2. Bilangan yang terdiri dari dua digit sama dengan dua kali jumlah dari kedua digit tersebut.

Carilah bilangan tersebut 3. Carilah a , b genap atau ganjil , bila 5 ( 2a-b ) adalah genap , 7 + 11a adalah genap. 4. 2 ( 5a-b) + 3c -7 adalah genap5. , find 6. How many digit does the number ; ?

7. = …

8. Which number is greather or ?

9. When a natural number p is divided by 3 its remainder is 1, find the remainder when the square of p is divided by ..

10. abc and cba are two three- digit numbers, show that abc – cba is divisible by 11 11. Determine whether each number is divisible by 2 or not ?

a. 3897 b. 8768612. determine whether each number is divisible by 3 or not ?

a. 82176 b. 179861513. find the possible value of the digits m such that

a. 78m214 is divisible by 3b. 6238m6 is divisible by 4 c. 14287m4 , dapat dibagi 3 , dan tidak dapat dibagi 4

14. What is the remainder when 780241 is divided by 3 ?15. Determine whether each number is divided by 4 or not ?

a. 10725 b. 7160023616. What is the remainder when 73263 is divided by 417. Determine wether each number is divided by 5 or not ?

a. 780 b. 28079 c. 38175518. Given that the four – digit number 203m is divisible by 2 and 3, what are the possible

remainder when 203m is divided by 519. The four –digit number 23mn is divisible by 5 and 8. find the possible values of the

number ?20. is the number 144432 divisible by 9 ? is it divisible by 821. Determine whether each number is divisible by 11 or not ?

a. 1824 b. 90883674222. 382ab is a five digit even number which has remainder 1 when it is divided by 5 or 11 ,

find the possible value of a23. Find the possible ordered pairs ( a,b ) such that the five digit number 80a1b is divisible by

15 24. The five digit number 6m24n is divisible by 6. find the greatest possible value of this

number25. Determine whether each number is prime or composite

a. 247 b. 313 c. 383 d. 469 c. 246726. Explain why the sum of any two prime number other than 2 cannot be prime27. Determine whether the number M = 2.3.7.11 + 3.5.7.11 + 88 + 121 is prime or not ?28. Determine whether the number 8999999 is prime or not ?29. show that 1296 is divisible by 3630. Evaluate each expression

a. b. c.