TEORI ANTRIANTEORI ANTRIAN

Evi Kurniati, STP., MTEvi Kurniati, STP., MT

Antrian Antrian Orang (antri mengambil uang di Orang (antri mengambil uang di atm, antri beli karcis, dll.)atm, antri beli karcis, dll.) Barang (dokumen lamaran kerja, Barang (dokumen lamaran kerja, mobil yang akan dicuci, dll)mobil yang akan dicuci, dll)

Lamanya waktu menunggu Lamanya waktu menunggu tergantung kecepatan pelayanantergantung kecepatan pelayanan

Teori Antrian pertama dikemukakan Teori Antrian pertama dikemukakan oleh A.K. Erlang (1910) oleh A.K. Erlang (1910) Masalah: Masalah: Operator telepon yang menjadi Operator telepon yang menjadi kuwalahan melayani para penelpon kuwalahan melayani para penelpon di waktu-waktu sibuk sehingga di waktu-waktu sibuk sehingga penelpon harus antri cukup lama penelpon harus antri cukup lama menunggu giliran untuk dilayani.menunggu giliran untuk dilayani.

Macam-macam aturan Macam-macam aturan antrianantrian 1. 1. FIFO: First in First outFIFO: First in First out

Kedatangan pelanggan pertama Kedatangan pelanggan pertama menerima pelayanan lebih dulu.menerima pelayanan lebih dulu.Contoh: Membeli tiket bioskopContoh: Membeli tiket bioskop

2.2. LIFO: Last in First outLIFO: Last in First out Kedatangan terakhir menerima Kedatangan terakhir menerima pelayanan lebih dulu.pelayanan lebih dulu.Contoh: pembongkaran barang dari trukContoh: pembongkaran barang dari truk

3. 3. Random (acak)Random (acak) Penerimaan pelayanan secara acakPenerimaan pelayanan secara acakContoh: penanganan terhadap pasien Contoh: penanganan terhadap pasien gawat di rumah sakit, pengawasan mutu gawat di rumah sakit, pengawasan mutu barang dalam quality control. barang dalam quality control.

Istilah-istilah yang harus Istilah-istilah yang harus diketahuidiketahui: : Kedatangan (Kedatangan (arrivalarrival): datangnya pelanggan ): datangnya pelanggan

(orang/barang) untuk dilayani. Mengikuti distribusi (orang/barang) untuk dilayani. Mengikuti distribusi Poisson dan bebas thd kedatangan Poisson dan bebas thd kedatangan sebelum/sesudahnya.sebelum/sesudahnya.

Waktu pelayanan: lama pelayanan sampai selesaiWaktu pelayanan: lama pelayanan sampai selesai Waktu menunggu: waktu menunggu untuk dilayaniWaktu menunggu: waktu menunggu untuk dilayani

atau waktu menunggu selama dalam sistematau waktu menunggu selama dalam sistem Satuan penerima pelayanan (spp) = pelanggan = Satuan penerima pelayanan (spp) = pelanggan =

customercustomer Pemberi pelayanan (pp) = Pemberi pelayanan (pp) = serverserver (orang: kasir, (orang: kasir,

teller, penjual tiket ; barang: mesin otomatis)teller, penjual tiket ; barang: mesin otomatis) Rata-rata kedatangan (rrk): banyaknya kedatangan Rata-rata kedatangan (rrk): banyaknya kedatangan

spp per satuan waktu.spp per satuan waktu. Rata-rata pelayanan (rrp): banyaknya pelayanan Rata-rata pelayanan (rrp): banyaknya pelayanan

yang dapat diberikan dalam waktu tertentu. yang dapat diberikan dalam waktu tertentu.

Struktur dasar model Struktur dasar model antrianantrian

Populasi AntrianMekanisme Pelayanan

Spp masuk antrian

Spp keluar

Spp = Satuan penerima pelayanan

Sistem antrian

Macam-macam struktur Macam-macam struktur kedatangan dan pelayanankedatangan dan pelayanan 1. 1. Satu barisan dan satu fase pelayananSatu barisan dan satu fase pelayanan

Datang Datang Pelayanan Pelayanan Keluar KeluarContoh: seorang pelayan toko, seorang tukang cukur.Contoh: seorang pelayan toko, seorang tukang cukur.

2. 2. Satu barisan dan beberapa fase/urutan pelayananSatu barisan dan beberapa fase/urutan pelayananDatang Datang Pelayanan fase 1 Pelayanan fase 1 Pelayanan fase 2 Pelayanan fase 2 Pelayanan fase 3 Pelayanan fase 3 Keluar KeluarContoh: pengurusan ijin usaha, pendaftaran ulang Contoh: pengurusan ijin usaha, pendaftaran ulang mahasiswa.mahasiswa.

3. 3. Satu atau beberapa barisan dan lebih dari satuSatu atau beberapa barisan dan lebih dari satu

Contoh: pelayanan di bank dengan beberapa teller Contoh: pelayanan di bank dengan beberapa teller

Datang

Pelayanan 1Pelayanan 2

Pelayanan 3Pelayanan 4

Keluar

4. Satu atau beberapa barisan dan beberapa fase 4. Satu atau beberapa barisan dan beberapa fase pelayananpelayanan

Contoh: pelayanan di rumah sakit oleh perawat Contoh: pelayanan di rumah sakit oleh perawat 5. Campuran: Satu pelanggan dilayani beberapa pelayan 5. Campuran: Satu pelanggan dilayani beberapa pelayan

dan keluar hanya dari satu pintu.dan keluar hanya dari satu pintu. Pelayanan 1 Pelayanan 1

Datang Datang Pelayanan 2 Pelayanan 2 Pelayanan akhir Pelayanan akhir Keluar Keluar Pelayanan 3 Pelayanan 3

contoh: pelayanan di supermarket, dimana waktu contoh: pelayanan di supermarket, dimana waktu belanja dilayani oleh beberapa pelayan tapi untuk belanja dilayani oleh beberapa pelayan tapi untuk keluar hanya melalui satu kasir. keluar hanya melalui satu kasir.

Datang

Keluar

Pelayanan 1 Pelayanan 1Pelayanan 2 Pelayanan 2

Pelayanan 3 Pelayanan 3Pelayanan 4 Pelayanan 4

Macam-macam model Macam-macam model antrianantrian 1. Kedatangan menurut saluran tunggal 1. Kedatangan menurut saluran tunggal

Poisson dengan rata-rata pelayanan Poisson dengan rata-rata pelayanan eksponensialeksponensialCiriCiri: : - Hanya ada satu unit pemberi pelayanan - Hanya ada satu unit pemberi pelayanan (pp).(pp).- Pelanggan (spp) datang mengikuti fungsi - Pelanggan (spp) datang mengikuti fungsi Poisson.Poisson.- Rata-rata pelayanan mengikuti fungsi - Rata-rata pelayanan mengikuti fungsi eksponensial dan bebas terhadap eksponensial dan bebas terhadap banyaknya pelanggan yang berada dalam banyaknya pelanggan yang berada dalam antrian.antrian.- Kedatangan diperlakukan secara FIFO. - Kedatangan diperlakukan secara FIFO.

Istilah penting yang harus diketahuiIstilah penting yang harus diketahui::

1. 1. (lamda) = rata-rata kedatangan (lamda) = rata-rata kedatangan

banyaknya kedatangan banyaknya kedatangan pelanggan (spp) per satuan waktu.pelanggan (spp) per satuan waktu.

2. 2. = rata-rata pelayanan = rata-rata pelayanan

banyaknya pelanggan (spp) yang banyaknya pelanggan (spp) yang dilayani per satuan waktu.dilayani per satuan waktu.

1/1/ = rata-rata waktu pelayanan = rata-rata waktu pelayanan untuk 1 pelanggan (spp)untuk 1 pelanggan (spp)

3. n = banyaknya pelanggan (spp) 3. n = banyaknya pelanggan (spp) dalam system antrian pada waktu t dalam system antrian pada waktu t

Rumus-rumus yang terlibatRumus-rumus yang terlibat::1. Probabilitas bahwa fasilitas pelayanan sedang 1. Probabilitas bahwa fasilitas pelayanan sedang

menganggur/kosong (Po).menganggur/kosong (Po).

2. Probabilitas bahwa ada n spp dalam sistem antrian, 2. Probabilitas bahwa ada n spp dalam sistem antrian, pada waktu t (Pn).pada waktu t (Pn).

3. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem [E(n)] 3. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem [E(n)] termasuk yang belum menerima dan yang termasuk yang belum menerima dan yang sedang menerima pelayanan.sedang menerima pelayanan.

4. Rata-rata panjangnya antrian [E(m)] 4. Rata-rata panjangnya antrian [E(m)] rata-rata rata-rata banyaknya spp yang harus menunggu untuk banyaknya spp yang harus menunggu untuk memperoleh pelayanan.memperoleh pelayanan.

1oP

1n

nP

)(nE

)()(

2

mE

5. Rata-rata waktu seorang spp harus 5. Rata-rata waktu seorang spp harus menunggu dalam sistem [E(v)] menunggu dalam sistem [E(v)] meliputi meliputi waktu sebelum dan sesudah dilayani.waktu sebelum dan sesudah dilayani.

6. Rata-rata waktu tunggu sebelum menerima 6. Rata-rata waktu tunggu sebelum menerima pelayanan [E(w)] pelayanan [E(w)]

7. Rata-rata panjang antrian yang tidak 7. Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong [E(m/m > 0)]kosong [E(m/m > 0)]

8. Rata-rata waktu suatu kedatangan tidak 8. Rata-rata waktu suatu kedatangan tidak menunggu [E(w/w > 0)]menunggu [E(w/w > 0)]

1)(vE

)(

1)()(

vEwE

)0/( mmE

1)0/( wwE

Latihan soal 1Latihan soal 1::Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 4 Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 4 menit datang 1 pasien. Untuk melayani menit datang 1 pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 2,5 menit. setiap pasien dibutuhkan waktu 2,5 menit. Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00. Hitunglah:– 18.00. Hitunglah:a) Banyaknya pasien yang bisa dilayani a) Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja. (selama jam kerja. (45 pasien45 pasien))b) Rata-rata banyaknya pasien dalam b) Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem. (sistem. (1,66 pasien1,66 pasien))c) Rata-rata panjang antrian. (c) Rata-rata panjang antrian. (1,04 pasien1,04 pasien))d) Rata-rata waktu menunggu seorang d) Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem. (pasien dalam sistem. (6,66 menit6,66 menit))e) Rata-rata waktu menunggu tiap pasien e) Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima pelayanan (antri). (sebelum menerima pelayanan (antri). (4,16 4,16 menitmenit) )

Latihan soal 2Latihan soal 2::Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum mengikuti fungsi poisson dengan rata-rata waktu 10 mengikuti fungsi poisson dengan rata-rata waktu 10 menit antara kedatangan satu dengan lainnya. Lamanya menit antara kedatangan satu dengan lainnya. Lamanya satu pembicaraan telepon rata-rata 3 menit dan mengikuti satu pembicaraan telepon rata-rata 3 menit dan mengikuti distribusi eksponensial. Hitunglah:distribusi eksponensial. Hitunglah:

a) Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang a) Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang ke telepon umum tersebut harus menunggu. (ke telepon umum tersebut harus menunggu. (0,30,3))b) Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong. (b) Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong. (1,43 1,43 penelponpenelpon))c) Perusahaan telepon akan mendirikan tempat c) Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon umum yang kedua dengan syarat waktu telepon umum yang kedua dengan syarat waktu menunggu suatu kedatangan penelpon hingga menunggu suatu kedatangan penelpon hingga memperoleh giliran paling sedikit 3 menit. Berapa memperoleh giliran paling sedikit 3 menit. Berapa seharusnya banyaknya kedatangan sehingga tempat seharusnya banyaknya kedatangan sehingga tempat telepon umum yang kedua tersebut mempunyai alas telepon umum yang kedua tersebut mempunyai alas an kuat untuk didirikan? (an kuat untuk didirikan? (10 penelpon/jam atau 1 10 penelpon/jam atau 1 penelpon setiap 6 menitpenelpon setiap 6 menit) )