teori antrian
TRANSCRIPT
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 1
PendahuluanTeori Antrian
Last update : 14 November 2009 | version 1.0
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 2
Tujuan
● Tujuan : Meneliti kegiatan dan fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi acak dari suatu sistem antrian yang terjadi
● Tinjauan pengukuran logis :– Berapa lama pelanggan harus menunggu sebelum akhirnya
mendapatkan pelayanan– Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk
memberikan pelayanan suatu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur/iddle
● Elemen dasar : Pelanggan dan Pelayan● Waktu pelayanan harus dapat dihitung, kemudian waktu
pelanggan datang dan waktu pelayanan dapat dinyatakan dalam distribusi probabilitas
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 3
Garis tunggu atau antrian
Fasilitas pelayanan
Struktur Sistem Antrian
1
2
3
n
Sistem antrian
Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian
Pelanggan keluar dari sistem
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 4
Kejadian Antrian
● Kendaraan yang menunggu jalan di trafic light● Pembeli yang antri di kasir supermarket● Pasien yang sedang menunggu di periksa di klinik● Program komputer yang menunggu di proses oleh processor● Tumpukan surat yang harus diketik oleh seorang sekretaris● dll
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 5
Faktor Sistem Antrian
● Distribusi Kedatangan● Distribusi Waktu Pelayanan● Fasilitas Pelayanan● Disiplin Pelayanan● Ukuran dalam antrian● Sumber pemanggilan
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 6
Faktor Sistem Antrian (2)
● Distribusi Kedatangan– Kedatangan secara individu (single arrivals)– Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals)
● Distribusi waktu pelayanan– Pelayanan secara individual (single services)– Pelayanan secara kelompok (bulk services)
● Fasilitas Pelayanan– Bentuk series dalam satu garis lurus atau garis melingkar– Bentuk paralel dalam beberapa garis lurus yang sejajar– Bentuk jaringan/network station yang dapat di desain secara
series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun atau secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 7
Proses Antrian
● Masukan (Input) :– Pola kedatangan yang dapat dinyatakan dalam distribusi
peluang seperti poisson dan eksponensial– Pola kedatangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
distribusi peluang● Keluaran (Output) :
– Setelah mendapatkan pelayanan dengan baik, pelanggan akan segera meninggalkan fasilitas pelayanan
– Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi peluang eksponensial negatif dan poisson
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 8
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 9
Notasi Dalam Sistem Antrian● n = jumlah pelanggan dalam sistem● Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem● λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan
waktu● μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan
waktu● Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem● P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan● L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam
sistem● Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam
sistem● W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam
sistem● Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama
menunggu dalam antrian● 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan● 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan● S = jumlah fasilitas pelayanan
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 10
Single Channel Model (M/M/1)
● M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson
● M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson
● 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 11
Asumsi M/M/1
● Populasi input tidak terbatas● Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti
distribusi Poisson● Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS● Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal● Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ <
μ)● Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas● Tidak ada penolakan maupun pengingkaran
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 12
Contoh SoalUD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:
1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan
dalam sistem3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu
dalam antrian4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan
selama dalam sistem (menunggu pelayanan)5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan
untuk menunggu dalam antrian
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 13
Jawaban Soal
Diketahui: λ = 20, μ = 25
p = λ / μ = 20/25 = 0.80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat
L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atauL = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 14
Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan
W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 15
Pelayanan Tunggal (Single Server)
(M / M / 1) ; ( GD / ∞ /∞ )
Unlimited Queue
First Come First Serve
Distribusi PoissonFor Arrival
Distribusi Poisson/ExpoFor Service Single Server
● Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses kedatangan dengan proses layanan
● Notasi : λ rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); µ rasio layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); ρ utilisasi sistem : λ / µ = Pr
< 1
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 16
Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (ρ)Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr)Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistemLs : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue &serve) = /−
Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = 2/ −
Ws : Expected time dalam sistem = 1/−
Wq : Expected time dalam queue = /−
Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue =1/−
Ln : Expected number dalam queue = /−
Notasi
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 17
Latihan Soal
● Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential sebesar 5 menit
– Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?– Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani
pesawat-2 tersebut ?– Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam
sistem ?
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 18
Kronologis Simulasi Antrian
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 19
Tab A. 8.1 Waktu Antar Kedatangan (menit)
Customer Antar Kedatangan Jam Waktu Kedatangan
1 0 0
2 2 2
3 4 6
4 1 7
5 2 9
6 6 15
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 20
Tabel A. 8.2 Waktu Service (menit)
Customer Waktu Pelayanan
1 2
2 1
3 3
4 2
5 1
6 4
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 21
Tabel A.8.3 Hasil Simulasi
Nomor Customer
Waktu Kedatangan
(Jam)
Awal Pelayanan
(Jam)
Waktu Pelayanan
(durasi)
Akhir Pelayanan (Jam)
1 0 0 2 2
2 2 2 1 3
3 6 6 3 9
4 7 9 2 11
5 9 11 1 12
6 15 15 4 19
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 22
Tabel A.8.4 Kronologis Urutan Kejadian
Tipe Kejadian Nomor Pelanggan Waktu (Jam)
Kedatangan 1 0
Keberangkatan 1 2
Kedatangan 2 2
Keberangkatan 2 3
Kedatangan 3 6
Kedatangan 4 7
Keberangkatan 3 9
Kedatangan 5 9
Keberangkatan 4 11
Keberangkatan 5 12
Kedatangan 6 15
Keberangkatan 6 19
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 23
Contoh 1. Antrian
• Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi.
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 24
Tabel 8.6 Waktu Kedatangan
Waktu Antar Kedatangan
Probability(Frequensi)
0 0.10
1 0.35
2 0.25
3 0.15
4 0.10
5 0.05
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 25
Tabel 8.5 Waktu Pelayanan
Waktu Pelayanan Probabilitas Frequensi
0 0.00
1 0.25
2 0.20
3 0.40
4 0.15
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 26
Tabel A.8.7 Interval Bilangan Acak
Kedatangan Pelayanan
Antar Kedatangan
Kumulatif Probablitas
Interval Bilangan Acak
Waktu Pelayanan
Kumulatif Probablitas
Interval Bilangan Acak
0 0.10 1 - 10 0 0.00 -
1 0.45 11 - 45 1 0.25 1 - 25
2 0.70 46 - 70 2 0.45 26 - 45
3 0.85 71 - 85 3 0.85 46 - 85
4 0.95 86 - 95 4 1.00 86 - 99
5 1.00 99
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 27
Bilangan acak untuk service dan kedatangan
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Pely 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66
Dtg 50 28 68 36 90 62 27 50 18 36 61 21 46 01 14
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 28
Pertanyaan
● Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?● Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 29
Penyelesaian :Tabel A. 8.8 Antar Kedatangan dan Waktu
Pelayanan No. Cust Bil Acak Kedatangan Antar Kedatangan Bil Acak Service Waktu Service
1 50 2 52 3
2 28 1 37 2
3 68 2 82 3
4 36 1 69 3
5 90 4 98 4
6 62 2 96 4
7 27 1 33 2
8 50 2 50 3
9 18 1 88 4
10 36 1 90 4
11 61 2 50 3
12 21 1 27 2
13 46 2 45 2
14 01 0 81 3
15 14 1 66 3
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 30
Tabel A. 8.9 Perhitungan AntrianNo. Cust
Antar Kedatangan
Waktu Ke- datangan
Waktu Service
Awal Service
Akhir Service
Waktu Tunggu
Waktu dlm sistem
Waktu Idle
1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2
2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0
3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0
4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0
5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0
6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0
7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0
8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0
9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0
10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0
11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0
12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0
13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0
14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0
15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 124 0
45 162 188 2
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 31
Perhitungan
Rata-rata waktu menunggu :
162 / 15 = 10,7 menit
Maka perlu menambah kasir
Customer yang dapat bonus :
no: 10, 11 , 12 , 13 , 14 dan 15
http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 32
Rangkuman
● Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik, yaitu : kedatangan , antrian dan pelayanan
● Mensimulasikan sistem antrian dengan metode Monte Carlo