teorema proyeksi fix

8/19/2019 Teorema Proyeksi FIX

1/28

1

BAB I

PEMBAHASAN

1. Definisi Proyeksi

Jika pada garis AB, titik A dihubungkan dengan garis l dan berpotongan di

A ’ dan titik B juga dihubungkan dengan garis yang tegak lurus dengan

garis l dan berpotongan diB ’

, maka akan terlihat seperti gambar di bawahini.

Garis yang berwarna merah yakni garis A ’ B’ adalah proyeksi garis AB

terhadap garis l Sekarang perhatikan gambar di bawah ini


2/28

2

Jika pada tiap ujung garis l kitatarik garis yang tegak lurus dengan ruas garis AB maka akan tampak sepertigambar di bawah ini

Pada gambar di atas, ruas garis yang berwarna merah adalah proyeksi ruasgaris l terhadap AB.

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga SikuSiku

Perhatikan ∆ ABC berikut

Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya

atau dalam arti sederhana adalah menarik aris an te ak lurus terhada bidan


3/28

3

BD merupakan proyeksi B pada AB

dan AD merupakan proyeksi A padaAB.

Pada teorema proyeksi segitiga siku!

siku ini terdapat beberapa teorema yaitu "

1! "uadrat sisi sikusiku sama dengan #asi$ ka$i proyeksi ke sisi miring

dan sisi miring sendiri

Bukti

• Dari segitiga diatas dapat kita lihat bahwa ∆ BDC ∆ ABC ,

sehingga

a2=cpataub2=cq


4/28

4

BC

AB=

BD

BC ⇔BC

2= AB× BD

⇔a2=c p #terbukti$

• Dari segitiga diatas dapat kita lihat bahwa ∆ ADC ∆ ABC ,

sehingga

AD

AC =

AC

AB⇔ AC

2= AB× AD

⇔b2=c q #terbukti$

2! "uadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan #asi$ ka$i %agian sisi

miring

Bukti "

Dari segitiga diatas dapat kita lihat bahwa ∆ ACD ∆ BDC , sehingga

CD

BD=

AD

CD⇔CD

2=BD × AD

⇔t 2= pq #terbukti$

t 2= pq


5/28

5

&! Hasi$ ka$i sisi sikusiku sama dengan #asi$ ka$i sisi miring dan garis

tinggi ke sisi miring itu.

Bukti "

Dari segitiga diatas dapat kita lihat bahwa ∆ BDC ∆ ABC , sehingga

BC

AB=

CD

AC ⇔BC× AC =CD× AB

⇔ab=tc #terbukti$

'! "uadrat sisi miring sama dengan (um$a# kuadrat kedua sisi yang $ain

Dari teorema %$ apabila dijumlahkan akan menghsilkan "

a2+b2=cp+cq

a2+b2=c ( p+q )

a2+b2=c .c

a2+b2=c2

c2

=a2

+b2

#terbukti$

)onto# Soa$

ab=tc

c2=a2+b2


6/28

6

%. Diketahui ∆ ABC dengan sisi AB=12cm, AC =16cm . &entukan

panjang "

a$ B b$ BDc$ AD

Jawab "a$ Berdasarkan teorema Pythagoras, untuk

menemukan panjang sisi B digunakan menggunakan rumus "BC

2= AC 2+ AB2

BC 2=162+122

BC 2=256+144

BC 2=400

BC =√ 400

BC =20cm

b$ 'ntuk menemukan panjang sisi BD digunakan menggunakan rumus " AB

2=BC.BD

122=20.BD

144=20.BD

B D=7,2cm

c$ 'ntuk menemukan panjang sisi AD terlebih dahulu mencari panjang DCD=BC −BD

CD=20−7,2

CD=12,8cm

Sehingga"


7/28

7

AD2=BD.CD

AD

2

=7,2.12,8 AD

2=92,16

AD=9,6cm

&. Teorema Proyeksi pada Segitiga *an+ip

Perhatikan segitiga AB berikut(

Jika garis B di proyeksikan terhadap

garis AB maka garis BD merupakan

hasil proyeksinya sedangkan AD merupakan sisa dari panjang sisi yang kena

proyeksi, seperti gambar di bawah ini.

Perhatikan ∆ ACD yang siku!

sikunya di D. Dengan menggunakan

teorema Pythagoras maka D dapat ditentukan dengan rumus"


8/28

8

CD2= AC 2− AD2

t

2

=b2

− x2

… … … … … … … … … … … … … … … … … …..

(¿)

Sekarang perhatikan ∆ BCD yang siku!siku di D juga. Dengan

menggunakan teorema Pythagoras maka D dapat ditentukan dengan rumus"

CD2=BC 2−BD2

CD2=BC 2−( AB− AD)2

t

2

=a2

−(c− x )

2

t 2=a2−(c2−2cx+ x2)

¿∗¿

t 2=a

2−c

2+2cx− x

2… … … … … … … … … … … … .¿

Dari #)$ dan #))$ akan diperoleh persamaan yang baru yakni"a2−c2+2cx− x2=b2− x2

a2=b

2+c

2−2cx

Sehingga kesimpulannya

)onto# soa$

%. Perhatikan gambar di bawah ini(

Pada suatu segitiga lancip, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip

sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain dikurangi dua kali panjang

sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama


9/28

9

Segitiga AB merupakansegitiga lancip, diketahui panjang

AB=20cm,BC =10√ 3cm dan AC =10cm . &entukan panjang BD(

Jawab "

Proyeksikan ruas garis B ke ruas garis AB

Berdasarkan teorema proyeksi pada segitiga lancip, maka "

BC 2= AC 2+ AB2−2. AB . A D

(10√ 3 )2=102+202−2.20 . A D

300=100+400−40 A D

40 AD=200

AD=5c m

Panjang sisi BD"

BD= AB− A D

BD=20−5


10/28

10

BD=15c m

Jadi panjang sisi BD adalah %* cm

'. Teorema Proyeksi pada Segitiga Tumpu$

Perhatikan segitiga tumpul AB berikut(

Jika garis B di proyeksikan terhadap garis A maka garis D merupakan

hasil proyeksinya, seperti pada gambar di bawah ini


11/28

11

Perhatikan ∆ ABD yang siku!sikunya di D. Dengan menggunakan teorema

Pythagoras maka BD dapat ditentukan dengan rumus"

BD2= AB2− AD2

y2=c2− x2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . (¿)

Sekarang perhatikan ∆ BCD yang siku!sikunya ada di D juga. Dengan

menggunakan teorema Pythagoras maka BD dapat ditentukan dengan rumus"

BD2=BC 2−CD2

BD2=BC 2−( AC + AD)2

y2=a2−(b+ x)2

y

2

=a2

−(b2

+2bx+ x2

)

¿∗¿ y

2=a2−b2−2bx− x2 … … … … … … … … … … … … … … . ¿

Dari persamaan )$ dan ))$ diperoleh persamaan baru yakni "

a2−b2−2bx− x2¿ c2− x2

a2=b2+c2+2bx


12/28

12

Perhatikan lagi segitiga tumpul AB berikut(

Jika garis B di proyeksikan terhadap

garis AB maka garis BD merupakan hasil proyeksinya, seperti pada gambar di

bawah ini

Panjang B dapat dicari dengan mengkombinasikan teorema phytagorasdengan menambah dua kali pertambahan panjang proyeksi dengan panjang

sisi yang dikenai proyeksi, maka"

B+ A+ - AB+ +AD.A atau

a2 , %2 - +2 - 2+


13/28

13


)onto# Soa$

%. Perhatikan gambar segitiga di bawah(

Panjang sisi

CD=9cm,BD=6 cm,danBC =12cm . &entukan panjang sisi AD(

Jawab "Segitiga BD merupakan segitiga tumpul, sehingga untuk mencari panjang

AD digunakan teorema proyeksi pada segitiga tumpulBC

2=CD2+BD2+2.BD . A D

122=92+62+2.6 . A D

144=81+36+12 A D

144=117+12 A D

27=12 A D

Pada suatu segitiga tumpul, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan

sudut tumpul sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain

ditambah dua kali panjang sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi

an ertama


14/28

14

AD=2,25c m

Jadi panjang AD adalah +,+* cm.

/. Teorema Ste0art

Berdasarkan &eorema Proyeksi, dapat dikembangkan teorema lainnya,

yaitu &eorema Stewart, yang dapat digunakan untuk menentukan panjang ruas

garis yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan

sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik itu dan panjang ketiga

sisi segitiga itu diketahui. /isalnya pada∆ ABC

di bawah ini, panjangruas garis #yaitu 0$ yang menghubungkan titik sudut dengan titik P yang

terletak pada sisi AB, sehingga AP c% dan BP c+, dapat ditentukan.

Perhatikan ∆ ABC berikut.

Segitga PB merupakan segitiga tumpul, berdasarkan teorema proyeksi padasegitiga tumpul diperoleh"

BC 2=BP2+CP2+2BP.DP


15/28

15

a2=c2

2+ x2+2c2 p 11111111111111111..#)$

2emudian perhatikan segitiga AP yang merupakan segitiga lancip, berdasarkan teorema proyeksi pada segitiga lancip diperoleh"

AC 2= AP2+CP2−2 AP. DP

b2=c1

2+ x

2−2c1 p

3liminasikan p dari persamaan #)$ dan #))$ dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan #)$ dengan c% dan mengalikan persamaan #))$ dengan c+

a2

c1=c1 c22+c1 x

2+2c1 c2 p

b2

c2=c

1

2c2+c

2 x

2−2c1

c2 p

a2

c1+b2

c2=c1 c22+c1

2c2+c1 x

2+c2 x2+¿

a2

c1+b2

c2=c1c22+c1

2c2+c1 x

2+c2 x2

a2

c1+b2

c2=c1c2 (c2+c1 )+ x2(c1+c2)

a2

c1+b2

c2=c1c2 c+ x2

c

x2

c=a2 c1+b2

c2−c1 c2 c


)onto# soa$

%. Perhatikan gambar di bawah ini

Jika garis 0 yang ditarik dari titik dan membagi sisi c dalamc1

danc2 x

2c=a2 c1+b

2c2−c1 c2 c


16/28

16

Jika AB %4 cm, B %+ cm, A 5 cm, dan DB 6 cm, maka berapakah

panjang D7

Jawab "

ari panjang AD terlebih dahulu yakni"

AD AB BD

AD %4 cm 6 cm

AD 8 cm

Dengan menggunakan dalil Stewart maka"

AB.D+

BD.A+

- AD.B+

AB.AD.BD%4 . D+ 6 . 5+ - 8 . %++ %4 . 8 . 6

%4 . D+ 6 . 85 - 8 . %99 %4 . 8 . 6

%4 . D+ +*+ - 98+ +%4

%4 . D+ 969

D+ 96,9

D :96,9

D 5,; cm

Jadi, panjang D adalah 5,; cm


17/28

17

*ati#an Soa$

%. Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi!sisi pada

jajargenjang BD3 adalah D 9

cm dan D3 ; cm. Sedangkan

panjang AB 5 cm dan A < cm, maka hitunglah diagonal 3(+. Diketahui segitiga AB dengan panjang sisi

AB=15cm. BC =13cmdan AC =8cm . &entukan luas segitiga AB(

8. Diketahui segitiga AB siku!siku di . AC =12cmdanBC =16cm . &itik 3

dan berada di ruas garis AB dimana AD=

DE=

EB . =itunglah panjang

D(9. Diketahui ABD merupakan jajar genjang dengan panjang

BC =5cm,AB=8cm dan tinggi jajar genjang tersebut 9 cm. &entukan

panjang diagonal BD(


18/28

18

"N)I A3ABAN

%.

Diketahui "

CD=4 c m

DE=9c m

AB=6c m

AC =8c m

Ditanya "

Panjang sisi CE=… ?

Jawab "

2arena BD3 merupakan jajar genjang maka panjang sisi DE=BC =9cm dan

panjang sisi CD=BE=4 cm

Berdasarkan teorema stewart "


19/28

19

BC 2

. AE=CE2. AB+ AC 2. BE− AB . BE. A E

92.10=CE2 .6+82 .4−6.4.10

810=6CE2+256−240

810=6CE2+16

6CE2=794

CE2=132,3

CE=11,5 c m

Jadi panjang sisi 3 adalah %%,* cm.

+.

'ntuk mencari luas segitiga diatas kita harus mencari tinggi segitiga.

Proyeksikan ruas garis B ke ruas garis AB, sehingga diperoleh hasil proyeksi yaitu BD. D merupakan tinggi dari segitiga tersebut.


20/28

20

Berdasarkan teorema proyeksi pada segitiga lancip diperoleh"BC

2= AC 2+ AB2−2. AB . A D

132=8

2+15

2−2.15 . A D

169=64+225−30 A D

169=289−30 A D

30 AD=120

AD=4 c m

Perhatikan segitiga AD, ∆ ADC merupakan segitiga siku!siku

yang siku!siku di D, sehingga panjang D

CD2= AC 2− AD2

CD2=82−42

CD2=64−16


21/28

21

CD2=48

CD=4 √ 3cm

>uas ∆ ABC =1

2× alas× tinggi

¿1

2×15×4 √ 3

¿30√ 2c m

Jadi luas segitiga AB adalah 30√ 2cm .

8.

Diketahui

AC =12c m


22/28

22

BC =16c m

Ditanya "

Panjang sisi CD=… ?

Berdasarkan teorema Pythagoras"

AB2=BC 2+ AC 2

AB2

=162

+122

AB2=256+144

AB2=400

AB=20cm

AD= DE= EB=20

3cm

Dengan menggunakan teorema stewart

CD2

. AB=BC 2. AD+ AC 2 . BD− AD . BD . AB

CD2.20=162.

20

3+122 .(2. 203 )−203 (2. 203 ) .20


23/28

23

CD2.20=256.

20

3+144.

40

3−40.

400

9

CD2.20=

5120

3+5760

3−

16.000

9

CD2.20=

16.640

9

CD2=

16.640

9. 1

20

CD2=832

9

CD=9,615 cm

Jadi panjang sisi D adalah ;,5%* cm.

9.


24/28

24

Diketahui "BC = AD=5cm

D E=4cm

AB=CD=8cm

Ditanya "BD=… ?

Jawab "

Segitiga AD3 merupakan segitiga siku!siku yang siku!siku di 3. Denganmenggunakan teorema Pythagoras diperoleh "

AE2= AD2− DE2

AE2=52−42

AE2=25−16

AE2=9

AE=3cm


25/28

25

Segitiga ABD merupakan segitiga tumpul sehingga berdasarkan teorema

proyeksi pada segitiga tumpul diperoleh"

BD2= AB2+ AD2+2. AB. AE

BD2=82+52+2.8.3

BD2=64+25+48

BD2=137

BD=11,7cn

Jadi panjang BD adalah %%,6 cm.


26/28

26

BAB II

PENTP

1. "esimpu$an

Berdasarkan hasil pembahasan di atas dapat disimpulkan"

a. Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap

daerah lainnya b. Pada segitiga siku!siku berlaku teorema "%$ 2uadrat sisi siku!siku sama dengan hasil kali proyeksi ke sisi miring

dan sisi miring sendiri

+$ 2uadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi

miring

8$ =asil kali sisi siku!siku sama dengan hasil kali sisi miring dan garistinggi ke sisi miring itu.

9$ 2uadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain

c. Pada suatu segitiga lancip, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan

sudut lancip sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain

dikurangi dua kali panjang sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke

sisi yang pertama

a2=cpataub2=cq

t 2= pq

ab=tc

c

2

=a2

+b2


27/28

27

d. Pada suatu segitiga tumpul, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan

sudut tumpul sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain

ditambah dua kali panjang sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke

sisi yang pertamae. &eorema Stewart dapat digunakan untuk menentukan panjang ruas garis

yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan

sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik itu dan panjang

ketiga sisi segitiga itu diketahui.


28/28

28

DA4TA5 ISI

BAB I..........................................................................................1

P3/BA=ASA?........................................................................................... 1

%. De@inisi Proyeksi.................................................................................1

+. &eorema Proyeksi pada Segitiga Siku!Siku.................................................2

8. &eorema Proyeksi pada Segitiga >ancip.....................................................6

9. &eorema Proyeksi pada Segitiga &umpul....................................................9

*. &eorema Stewart................................................................................13

BAB II......................................................................................2'

P3?'&'P................................................................................................ 24

%. 2esimpulan......................................................................................24

DA&A P'S&A2A

teorema proyeksi fix

Documents