teorema geometri eliptik.doc

8/16/2019 teorema geometri eliptik.doc

1/6

A. TEOREMA-TEOREMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK

Teorema 1:

“Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik”

Bukti:

Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada

suatu garis m.

U dan S merupakan kutub dari m.

Akan dibuktikan bahwa dua garis itu bertemu pada

suatu titik.

Pembuktian:

Berdasarkan sifat dari double Eliptik yaitu setiap 2

garis berpotongan pada 2 titik maka:

a berpotongan m di dua titik yaitu A dan A!

b berpotongan m di dua titik yaitu B dan B!

A A! B! dan B titik yang terletak pada m dan garis a serta b tegak lurus m maka

berdasarkan sifat kutub segmen yang melalui titik A A! B dan B! terhubung dengan

titik U dan S.

"adi garis a dan b bertemu titik yang sama yaitu U dan S # terbukti$

Teorema 2:

“Semua garis tegaklurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub

dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis

itu”.

Bukti:

Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada

suatu garis m. U dan S merupakan kutub dari m.

• Adib %: semua garis tegak lurus pada suatu garis

berpotongan pada titik yang disebut kutub dari

garis itu.

• Adib 2: setiap garis melalui kutub suatu garis tegak

lurus pada garis itu.

Pembuktian 1:

Berdasarkan teorema % maka dapat disimpulkan bahwa tiap diambil 2 titik pada m

dapat dibuat 2 garis yang tegak lurus m & bertemu di titik yang disebut kutub dari

garis m.

m

U

S

B A

B!

!

A!

b

a

m

U

S

B A

B!

!

A!

b

a


2/6

'arena ada banyak titik di m maka pada setiap titik tersebut padat dibuat garis yang

tegak lurus di m dan bertemu di kutub m.

"adi setiap garis yang tegak lurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang

disebut kutub dari garis itu. # terbukti$.

Pembuktian 2:

Misal U dan S kutub dari m

Berdasarkan sifat kutub maka setiap ruas garis yang menghubungkan U dengan

titik pada m & setiap ruas garis yang menghubungkan S dengan titik pada m akan

selalu tegaklurus m.

Ambil sebarang titik di m, misal A A! B & B! maka:

BU tegaklurus mB!U tegaklurus m

BS tegaklurus m B!S tegaklurus m

A!U tegaklurus m AU tegaklurus m

AS tegaklurus m A!S tegaklurus m.

BU B!U BS B!S adalah segmen(segmen yang termuat pada garis b dan A!U AU

AS A!S adalah segmen(segmen yang termuat pada garis a. Maka garis(garis

tersebut #a & b$ melalui kutub garis m yaitu U dan S , tegaklurus pada garis m.

#terbukti$

'arena pembuktian % dan 2 telah terbukti maka teorema 2 terbukti.

Teorema 3:

“Dalam sebarang segitiga ABC dengan)*)=∠C , sudut A kurang dari, sama dengan

atau lebih dari 900 , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih

dari jarak polar .

Bukti :

+iketahui: segitiga AB, dengan)

*)=∠C

Akan dibuktikan : %. q polar jarak BC segmenbila A 〈〈∠ *))

2. q polar jarak BC segmenbila A ==∠ *))

-.

q polar jarak BC segmenbila A 〉〉∠ *)

)

Pembuktian :

,

m

A

B

Pembuktian %

'


3/6

' adalah titik kutub dari garis m, sehingga)*)=∠ KAC dan

)*)=∠ KCA .

Segmen B, / 0arak polar.

BAC KAC ∠>∠ #keseluruhan lebih besar dari sebagian$

'arena)*)=∠ KAC maka BAC ∠>°*) .

"adi)*)∠ *) BAC .

"adi)*)>∠ A #terbukti$

Teorema :

“!umlah besar sudut"sudut suatu segitiga lebih besar

#$00”

Bukti:

Misal diberikan garis l dan garis m dan n yang

tegak lurus l di titik A dan B.

Berdasarkan postulat kese0a0aran eliptik garis m

dan n akan berpotongan di P yang merupakan

kutub dari l .

Perhatikan bahwa PAB adalah segitiga sama kaki #

)*)=∠=∠ B A $ sehingga PA 1 PB.

positif P ∠ . Maka 0umlah sudut segitiga PAB adalah:

P P B A ∠+°+=∠+∠+∠ *)*))

P ∠+= )%3)

)%3)>

BA

P

m n

l

B

m

A,

Pembuktian 2

Pembuktian -

m

,

B

!!

A

'


4/6

+ari yang di0abarkan diatas maka terbukti bahwa 0umlah besar sudut(sudut suatu segitiga

lebih besar %3)). #terbukti$

Teorema !:

“!umlah besar sudut"sudut suatu segiempat lebih besar dari %&00

+iketahui : segiempat AB,+

Adib :)-4)>∠+∠+∠+∠ DC B A

Bukti:

Pandang segiempat AB,+

5erdapat ∆AB, dan ∆A,+

Pernyataan Alasan

)

%% %3)>∠+∠+∠ C B A 5eorema 6

)

22 %3)>∠+∠+∠ C D A 5eorema 6 7

°+°>+∠∠+∠+∠+∠+∠ %3)%3)2%2% DC C B A A Aditif

°>∠+∠+∠+∠ -4) DC B A #terbukti$

Teorema ":

“Sudut"sudut pun'ak dari segiempat Sa''heri sama dan tumpul”

Bukti:

p dan q ⊥ m # p dan q melalui kutub m, yaitu P% dan P2$.

P%E dan P%8 ⊥ m.

P%E dan P%8 masing(masing ⊥ ' %E dan ' %8.

9aris k l dan m melalui ' % dan ' 2.

9aris p dan q melalui P% dan P2

m merupakan sumbu ermin dari k dan l .

Setiap garis yang menghubungkan P% dengan m dan P2 dengan m selalu ⊥ m. Maka P% dan

P2 kutub dari m.

k l dan m memotong p di titik +E dan , sekaligus memotong q di A 8 dan B.

+E 1 E, # k dan l simetris terhadap m$

A8 1 8B # k dan l simetris terhadap m$

∆' %+, dan ∆' %AB sama kaki

Bisa dibuktikan dengan garis tinggi ' %E dan ' %8

' %+ 1 ' %, dan ' %A 1 ' %B

#arak $o%ar

' %+ / ' %A

' %

P2

' 2

P%

B

,+ E

8

k l

p

q

m

A

A

B

,

+

%

% 2

2


5/6

)

%% *)〈∠=∠ CD K DC K

Maka )*)>∠=∠ BCD ADC atau dapat dikatakan )*)>∠=∠ BC

∆ P%A+ siku(siku di A ∠ P%+A lanip maka P+PA

PE 1 P8 P+ PA maka +E/ A8 sedemikian hingga +,/ AB.

Teorema &:

“Dalam segiempat (ambert ABCD dengan)*)=∠=∠=∠ C B A , maka sudut

keempat D tumpul”

Bukti:

' % dan ' 2 adalah kutub dari garis q. "adi garis k dan m yang melalui ' % dan ' 2 tegak lurus

dengan garis q di titik A dan B.

P% dan P2 adalah kutub dari garis m. "adi garis p dan q yang melalui P% dan P2 tegak lurus

dengan garis m di titik , dan B.

Perhatikan segiempat AB,+.)*)=∠=∠=∠ C B A .

Akan dibuktikan bahwa D∠ tumpul.

)embuktian*

;uas garis ' %, / ' %B #0arak polar q$

Berdasarkan 5eorema - maka °∠ ADC atau dapat dikatakan )*)>∠ D .

"adi D∠ tumpul. #terbukti$

Teorema ':

”+idak ada bujursangkar dalam geometri liptik”

Bukti:Andaikan ada bu0ursangkar dalam geometri eliptik. Berarti ada segiempat AB,+ dengan

semua sisinya sama pan0ang dan semua sudutnya siku(siku.

"adi 0umlah besar sudut segiempat AB,+ 1 DC B A ∠+∠+∠+∠

1 °+°+°+° *)*)*)*)

1 -4)o


6/6

"adi pengandaian salah. Seharusnya tidak ada bu0ursangkar dalam geometri Eliptik.

#terbukti$

Teorema (:

”Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen”

Teorema 1):

”(uas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari aksesnya yaitu

$# π µ −++=∆ C B A *

Bukti:

Ambil sebarang segitiga AB, pada salah satu belahan bola seperti pada gambar

berikut.

9aris b dan c bertemu pada titik A yang bertentangan dengan A!. >uas daerah

tersebut didefinisikan sebagai lune 2?.

Selan0utnya pada bola tersebut kita mendapatkan gambar seperti di samping.

Permukaan bola terbagi men0adi 3 daerah dengan @∆ adalah segitiga yang

daerahnya berada pada tempat yang berlawanan dengan tempat daerah segitiga

∆ . %∆∪∆ pada lune dst.

+aerah ∆ 1 daerah @∆ @%% ∆=∆ dst.

Selan0utnya %∆+∆ 1 daerah dari lune 1 2?

2∆+∆ 1 2

-∆+∆ 12

+an 0uga π γ β α π 2222262222 -2% −++=∆⇒=∆+∆+∆+∆

teorema geometri eliptik.doc

Documents