teknik pengaturan 2
TRANSCRIPT
PEMODELAN PADA DOMAIN FREKUENSI
Pada bagian ini kita akan : Mengulang kembali transformasi Laplace Mempelajari bagaimana menemukan model
matematis, yang disebut fungsi alih (transfer function) untuk sistem listrik, mekanika dan elektromekanika yang linier dan waktu tidak berubah (time invariant)
Mempelajari bagaimana melinierkan sebuah sistem non-linier untuk menemukan fungsi alihnya
TUJUAN
• Sebuah sistem pengaturan loop tertutup menggunakan sebuah pengukuran keluaran dan mengumpankan mundur sinyal ini untuk membendingkannya dengan masukan yang diinginkan (reference or command)
Gambar :Block diagram representation of a system;and an interconnection of subsystems
Proses perancangan sebuah sistem pengaturan :
Overview• Persamaan Differensial yang diperoleh dari
pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya
• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).
• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.
Overview
• Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.
• Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.
• Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace
Persamaan Diferensial FormalPertimbangkan persamaan diferensial biasa coefisien
tetap orde n (Constant Coefficient Ordinary differential Equation, CCODF)
Using Convolution Integral
Menggunakan Transformasi Laplace
TRANSFORMASI LAPLACE - DEFINISI
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.
INVERS TRANSFORMASI LAPLACE - DEFINISI
Teorema Transformasi Laplace
Linieritas sFsFtftfL
saFtafL
2121
dt
dffsFsdt
tfdL
fssFdt
tdfL
00
0
22
2
dt
s
f
ssFdttfL
0
ssFtfst
limlim0
ssFtfst 0limlim
sFetfL s
• Differensiasi
• Integrasi
• Nilai awal
• Nilai akhir
• Pergeseran waktu
Contoh:Solusi Persamaan Differensial
s
sYyssYysysYs 15)(2)0(33)0´(02
tftydt
tdydt
tyd 5232
2
)23(5)(
5)()23(
5)(2332
2
2
22
2
ssssssY
sssYssss
sYssYssYs
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:
Fungsi unit step dari tabel transformasi
Laplace
Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace
Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi
Laplace
)2)(1(5
)23(5)(
2
2
2
sssss
ssssssY
23
)1(5)]()2[(
5)2(
5)]()1[(
25
)2)(1(5)]([
2
2
2
1
2
0
sssssYsC
sssssYsB
ssssssYA
s
s
s
)2)(1(5
)2()1()(
2
sssss
sC
sB
sAsY
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
)2(23
)1(5
25)(
ssssY
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
tt eety 2
235
25)(
Dengan t≥0
)(tuxeas
x at
Contoh 2 :
)()22()(
: didapat laplace, tabel pada mengacu Dengan)2(
2)1(
2)(
: Menjadi Persamaan
2 )1(
)2()1(
2
K menemukanuntuk
2 )2(
)1()2(
2
menemukanuntuk )2()1()2)(1(
2)(
)2)(1(2)(
2
22
21
2
1-1s
21
1
21
tueetf
sssF
KKs
Kss
Ks
KsKs
KsK
sK
sssF
sssF
tt
s
)()222()(
: didapat laplace, tabel pada mengacu Dengan)2(
2)2(
2)1(
2)2)(1(
2)(
: Menjadi Persamaan
2K )1()2(
)1(2
s ke atas di persamaan sikandiferensia K menemukanuntuk
2K )2()1(
)2()1(
2
2)(s dg mengalikan dengan dilakukan K Mencari
berbeda real dengan sama caranya ,2 menemukanuntuk )2()2()1()2)(1(
2)(
)2)(1(2)(
22
22
32
3122
3
22
321
12
22
1
22
212
2
tueteetf
ssssssF
KKs
sss
KsKsKs
s
KsK
sK
sK
sssF
sssF
ttt
s
s
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.
Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:
Transformasi Laplace
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:
)()()(
sDsNsF
))...()(()()(
21 NpspspssNsF
• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama
N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s)
denumerator (penyebut) dalam s
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
)(...
)()()(
2
2
1
1
N
N
psK
psK
psKsF
Ki (i=1,…,N) adalah
konstanta yang harus dicari
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
))...()()...()(()()]()[(
1121 Niiiiiii
issii pspspspsps
sNsFpsKi
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan berulang
))...(()()()(21 N
r pspspssNsF
)(...
)(
)(...
)()()(
2
1
11
1
2
1
1
n
Nrrrr ps
Kps
Kps
Kps
Kps
KsF
Kalikan F(s) dengan (s+p1)r
)()(...
)()()(...)()(
))...(()()()(
)()()(
1
2
11113
21211
21
1
1
n
rn
rr
rr
nr
r
r
pspsK
pspsKKpsKpsKpsK
pspspssNps
sFpssF
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
Mnnnnnn sssssssNsF
)2...()2()2()()( 22
222
122
• Kasus 3: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn ssBsA
ssBsA
ssBsAsF
)2(...
)2()2()( 22
222
22
122
11
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s
1!0;,....,2,1)()!1(
1
1
11
1
rids
sFdi
Kps
i
i
i
Secara umum, untuk mencari K sampai Kr
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
MnnnnnnN sssssssssssssNsF
)2...()2()2)()...()(()()( 22
222
122
21
• Kasus 4: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn
N
N
ssBsA
ssBsA
ssBsA
ssK
ssK
ssKsF
)2(...
)2()2(
)(...
)()()(
222
2222
122
11
2
2
1
1
Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab
Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
)()(
)(...)2(
)2()1(
)1()()( sk
npsnr
psr
psr
sDsN
0,......
)()(
011
1
011
1
mn
nn
nn
mm
mm
baasasasabsbsbsb
dennum
sDsN
• Ekspansi pecahan parsialnya adalah
]...[]...[
01
01
aaadenbbbnum
nn
mm
• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya
k(s) adalah direct term
• Perintah>>[r,p,k]=residue(num,den)
Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term
dari ekspansi pecahan parsial N(s)/D(s)
Contoh
13332
)()(
23
2
sss
sssDsN
• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:
Solusi dengan MatLab:>>num=[1 2 3];>>den=[1 3 3 1];>>[r,p,k]=residue(num,den)
Ekspansi pecahan parsialnya:
r = 1.0000 0.0000 2.0000
p = -1.0000 -1.0000 -1.0000
k = []