te – 1467 teknik numerik sistem...

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Mahasiswa mampu:

menghitung determinan matriksmenggunakan metode reduksi baris dan

ekspansi kofaktor

Tujuan Pembelajaran

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Selain digunakan untuk menghitung inverssuatu matriks, determinan memiliki aplikasi

penting dalam teori sistem linear

Objektif TEORI

Determinan Orde Tinggi

Determinan Orde 1, 2 dan 3

Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS

Teorema dan Sifat-sifat

EKSPANSI KOFAKTOR

Aplikasi

Contoh Simpulan Latihan

Definisi dan Notasi

Objektif TEORI

• Matriks bujursangkar

• Notasi:

det(A) atau |A| atau

Definisi dan Notasi

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

Contoh Simpulan Latihan

Objektif

Determinan orde 1, 2 dan 3 (1)

Orde -1: det(A) = det[a11]=a11

a11 a12

a21 a22det(A) = det = a11a22 – a12a21 Orde -2:

Orde -3:a11 a12

a21 a22det(A) = det

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

– a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

a13

a23

a31 a32 a33

Contoh Simpulan LatihanTEORI

Objektif

Determinan orde 1, 2 dan 3 (2)

Determinan matriks sama denganhasilkali elemen yang terletak pada panah positif dikurangi

hasilkali elemen yang terletak pada panah negatif

+-

a11 a12

a21 a22 Orde -2:

Orde -3:

+-

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

a12

a22

a32

a13

a23

a33

- - + +


Objektif

Determinan Orde Tinggi

Reduksi baris

Ekspansi kofaktor


Objektif

Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS (1)

Prosedur determinan melalui reduksi baris

Gunakan operasi baris elementer

Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga

Hitung determinan

Penghitungan menggunakan komputer

sistematis

mudah diprogram


Objektif

Efek operasi baris elementer (2)

Perkalian barisdengan k

Pertukaran baris

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

=

ka11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

k k

k

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

= –

det(B) = k det(A)

det(B) = – det(A)


Objektif

Efek operasi baris elementer (3)

Penambahan baris pada baris lain

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

=

a11 a12

a21 a22

a13

a23

a31 a32 a33

ka23 +ka22 +ka21 +

det(B) = det(A)

Contoh 1


Objektif

Teorema: (1)

A matriks bujursangkar

det(A)=det(AT)

Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0

lower triangular

det(A) = a11a22 ∙∙∙ ann

A matriks segitiga:

upper triangular

diagonal


Objektif

Sifat-sifat: (2)

A dan B matriks bujursangkar dengan ukuran sama

det(A-1) = 1/det(A)

Jika A memiliki invers

det(AB) = det(A)det(B)

Contoh 2


Objektif

EKSPANSI KOFAKTOR: notasi (1)

Matriks bujursangkar A

Minor entri aij: determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom

ke-j dihapus dari A

Notasi: Mij

Kofaktor entri aij

Cij=(-1)i+jMij

Cij= ± Mij

+ – ···

···

··· ··· ······

+ –

+– +–

+ – ···+ –

···+– +–


Objektif

Matriks bujursangkar A3x3

det(A) =

EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (2)

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

= a11

a11C11 + a21C21 + a31 C31

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A =

(a22a33 – a23a32 ) + a21(a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23– a13a22)


Objektif

Determinan dari matriks A dapat dihitung melaluiekspansi kofaktor pada baris atau kolom

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ∙∙∙ + ainCin

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ∙∙∙ + anjCnj

EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (3)


Contoh 3

Objektif

Aplikasi

Sistem linear

m persaman

n variabel

det(λI-A) = 0

Sistem memiliki solusi jika

A x = λ x

skalar(eigenvalue)

eigenvector

Contoh 4


Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 1Contoh 2Contoh 3Contoh 4

Objektif Teori CONTOH

Contoh 1• Dapatkan determinan dari matriks elementer berikut:

1000010000300001

= 3

1000000100101000

= –1

1000010000100501

Baris kedua dari I4 dikalikan 3

Baris pertama ditukar dengan baris ketiga

= 1 5 kali baris ketiga ditambahkan pada barispertama

Simpulan Latihan


Contoh 2

Dapatkan determinan matriks berikut menggunakan operasibaris:

−=

162963510

A

Jawab

Simpulan Latihan


Contoh 2

Tukarkan baris pertamadengan baris kedua:

0 1 5

3 –6 9

2 6 1

= 0 1 5

3 –6 9

2 6 1

–det(A) =

Keluarkan faktor bersama (3) dari baris 1: = 0 1 5

1 –2 3

2 6 1

–3

Tambahkan –2 kali barispertama pada baris ketiga: = 0 1 5

1 –2 3

0 10 –5

–3

Simpulan Latihan

CONTOH

Contoh 2

Tambahkan –10 baris keduapada baris ketiga: det(A)

Keluarkan faktor bersama (–55) dari baris ketiga: = 0 1 5

1 –2 3

0 0 1

–3(–55)

= 0 1 5

1 –2 3

0 0 –55

–3

det(A) = –3(–55)(1) = 165

Simpulan LatihanObjektif Teori

CONTOH

Contoh 3

Dapatkan determinanmatriks A melalui ekspansikofaktor:

−−−=

245342013

A

Ekspansi kofaktor: kolom ke-3

det(A)= a13C13+ a23C23+ a33C33

C13 = +M13 =

C23 = –M23 =

C33 = +M33 =

5 4

–2 –4 = 12

3 1–2 –4

= –10

= 0(12)+3(–7)+(–2)(–10)= –1

5 4

3 1 = –7–


CONTOH

Contoh 4

Dapatkan eigenvaluematriks:

=

2431

A

Persamaan karakteristik

024

31)det( =

−−−−

=−λ

λλ AI

0)5)(2( =−+ λλ

Eigenvalue A:

λ= −2 dan λ=5


Contoh SIMPULAN

Determinan

• Determinan dapat dihitung dengan menggunakandua cara, yaitu

reduksi baris

ekspansi kofaktor

LatihanObjektif Teori

Simpulan LATIHAN

Soal:

• Hitung determinan matriks berikut:

ContohObjektif Teori

−−

−=

510272963

A

Simpulan LATIHAN

Solusi Latihan:

Determinan dihitung dengan menggunakan ekspansikofaktor pada baris ke-3:

ContohObjektif Teori

C31 = +M31 =

C32 = –M32 =

C33 = +M33 =

7 –2

–6 9 = –51

3 –6–2 7

= 9

–2 –2

3 9 = –12–

det(A)= a31C31+ a32C32+ a33C33 = 0(–51)+1(–12)+(5)(9)= 33

te – 1467 teknik numerik sistem...

Documents