tegangan 1 (soemono)
TRANSCRIPT
SOEMONO
TEMNGAN IPFII.IERtsIT ITTJ SANDUTiG 1989
6861 Ounpuoq qlt tlqrouod
CNOY\ ]CSrjolo
LNVONVO]I
Cetakan PertamaCetakan kedua
Cetakan ketiga
1980
1983
1989
Nl ILISTA I( \Ar'r
-l\i
tJ - o/Ja-Y6 ,:. p tl)j/Jt99' i
.,u:,,"offif r,#',1 i"l' ii
*
t
I
ttx:
i
Hak ciPta, 1983 Penerbit lT!--
O* t u,utog Praterbit
t"FX3:"? 1' - Bandung: Penerbit lrB' 1e8e
ix, 139 h',30 cm
624.1'76
rsBN 9793001-32-10
6uo.ras ue.rnluaT E'Vleuaq 6ue.f, 6uedure? {n1uag Z'i
1e641 uP;nJuaT T'?unlNS'r NSwow ? 8vs
T909
8V
(rs>terluo>i) 6ue1u11aur qEjte a{ 6uefued qeqeqnrad6uedr:re1 eped uen66ue9
de1al E-recas 6ueT1 selE rp ueue{a1 ue16equa6(9T' E 'Se) sTdTl 6ulPutP-req EdTd
nqns nele seued-1e[ef,ep uEqeqn:ad ?eqT{V\QJua+-Ia1 {81 sT1E4."_ TloS
fnlp.ra1 eJecas qPqn.raq e,{e6 uep 6uedurel senlde1a1
buedruel senl 'rn1e.ra1 €.reces e,{u:esaq qeqn.zaq edeg(6. E'S9) -rn1e.ral precas qeqn-raq .6rredug1 senT
sr.rluas erluenurastde1a1 (g't'89) dplal {PpT1 6uedurp1. senl uep edeS
(sn-rnT IepTG ) - o) ue.z6e1o(7'e'89) PIPq
>{nlun I -o ure;r6eTp nele 6ue[ued ueqeqn-rad urelEerqTS>{a.rox
9T'€vTeET'gz7'tII'€ot:tt-' ' 6't
8'€z't-
9'Es'e
v'tt'€
9V
svIV8ECE
zt,
TE
6Z
8Z
!T9Z
VZ
tzZZ
IZ
OZ
8TviET
ITZ
I
x:
Qa>1oo11 urffilnH. Z.t ,t-i^..-l%€
e?pf,aur uEbuebaJ, I't -rvwuoN NVoNveSl e 8vg
ue6ue6ag, g'Ze[ray ?'Z
6urpueqas 1e,{ua1 ?eJTs t'ZTSEuIf oJep sruof z'z
ue6ue6eg, er{u1nqurt6, I'ZNVCNVCII NVO TSVWUOJIO Z gvg
s1.re6.raq UPST>1nT
6ue[ue6 16ageTSrauI-sdltts
* e-ure1n lEsnqjT-?I:uT u5mofrqoluoc edEf,aqegT1fe uPp pns{PwvtsutNt Nvuvslg
9'T9'T?.I .{jz'1T'T
t svg
vlvxvud
rsr
53 4.4 lampang tidak homogen4.5 Beton bertulang
55 4.6 ?ulangan rangkap51 4.1 Cara dengan melukis atau cara grafis (c8.4.9)
59 BAB 5 GARIS TENTUR5.1 Garis lentur menunjukkan bentuk surnbu-balok
setelah melentur (akibat beban)60 5.2 Lenturan ke arah melintang
5.3 Balok terjepit sebelah (GB.5.4)62 5.4 Tafsiran secara geometri (moment area)64 5.5 Cara dengan satuan beban65 5.6 Menggunakan putaran sudut secara langsung
(GB.5 . 11)58 5.1 Lenturan.,mendatar (GB.5.12b)69 5.8 Batang i lingkaran dengan EI tetap terjepit
sebelah (GB.5.13)5.9 Balok di atas dua tumpuan
72 5.10 Dengan moment area73 5.11 Dengan cara putaran sudut (GB.5.18)74 5.L2 Cara dengan satuan beban81 - 5-.1-3 M6mei-inersia tidak tetali-82 5.14 Batang bengkok (GB.5.30)83 5.15 Garis l-entur pada batang bengkok (cB.5.3I)
5. 15 Kerja84 5.17 Balok statis tak tertentu'88 5.18 Lentriran serong (G8.5.37)90 5..19 Hukum timbal-balik
93 BAB 6 GAYA NORMAL EKSENTRIS6.1 Eksentris tegak (G8.6.1)
95 6.2 Hitungan tegangan: titik-inti atau ga1-ih97 6.3 Garis netral
6.4 Letak garis netral eksentris serong101 6.5 Galih atau inti104 6.6 Sebagian penampang diabaikan107 6.7 Beton bertulang108 6.8 Garis lentur111 6.9 Beton pratekan dengan tegangan kemudian
(prestressed concrete with posttensioning)
IL4 BAB 7 TEGANGAN GESER7.1 Sifat tegangan geser7.2 Hubungan antara cr danY
119 7.3 Tegangan geser akibat gaya-lintang -, )
122 7.4 Tumpukan balok123 7.5 Susunan balok kayuI25 7.6 Gaya bautL28 7.7 Sambungan- baut pada profil tersusun (G8.7.17)L29 7.8 Las untuk momen (G8.7.18)
vi soeruoruo, TEGANGAN 1
rT.r\
elerou up){elTp6uetr unqes-qTnq ITTn>i ue6uap ue6u'rpueq;e6 V'B
(E'B'BD) 1e:rds-:ad ne4e se6e6 t'Bt6esred 6uedureg, Z'g
(ue.re16u11) leTnq 6uedure; T'g(utrxna 'Nntd) tsuor I svs
Z1'LTT' LOT'L6'L
6tI
LEI
STTIETTET0tT
TSEIu-roJap ueeIra1ed ue>1eun66ua6-rn1u3T
sTdTl 6utputp.raq Eueduel ureTep rp .rasaD>tT-z?>teTe Pre3as ue6unqureg
w-.:-?,/Y
iI
)'
XT
ououaos
086T 1a.rEI^I '6unpueq
'e1Tlt ?e{EJeseur qalo e.(ulee;ueu TTctrrreTp ledep ueqppnur-qepnu 6ued rurn>Jnq uE)tlTq.rauou p,{uuppTpesa>l se?p EL11 lTqraua4 epedal ue>1n[n1 ez{eser{u.resaq-.rpsaqas r{Tsp{euT-ra? psp.r '1sEaT ?ou 4nq XspT 'ureTpq{n-rTwtv
'-reqrre6 lpnqueu buel ' gg,g epedueunlsuad 1er're6ad 'o1dng prepnes uPp 'TuT mtnq Pqoc {p1ac'ts:1a:o6u
-au ureTep Tp nlupguau 6ued (S,LO) TTdTS )tTu>{e6 ueual:edaq eped {Tu>Ia,lE>{Tup)toN ualsTsV 'osorns ':I epBda>t qrse{eurr.ra1 ueldecn6uau ez{eg
'ue{qaToqradtp6ued ue6ue6a1 n11ez{ 'ue>1n1ue11p 6uetr seleq tneduelau {EpTl edu:eseqqelede lpqrTau uep 'euecuor lnxnua\u umulTs{eu ueqaq I{aTo ue>iTnqulTlTp
6uez{ urnurrs>pu r.re6ue6e? 6trn?tq6uaru e1t1 'ueun6ueq qo{o>t TETruau {n1un'ueqaq leqT>ie leEeqas
ue6ue6a1 uep Tspru.rog:ap edu:esaq 6unltq6uaur >tnlun ueleun6rp ledep 6ue.{snun.r qelo.radureur pdpdns 'ue6ue6e1 upp rseulroJap 'ueqeq E-re?up ue6unqnquelnltiauau 6uez( urn{nq t.re[eladuaul E1r>{ Tur n{nq ueTep TC '(ue1ez(ua>1a1
Tfoal) n1ua1.ra1 seleq tedues reduue6ue6al uep TSeuLIoJep 'ueqeq -rEsaqp.rplue sn.rnT ue6utpueqeed nele ue6ulpueqesa>1 e{uepe de66ue6uatu elty'euluupbue6al e6nt uEp rsEurroJap reseq uT{eu 'ueueqaqu:ad resaq uT{PW
'ueTEp er{e6 >lnluaquau 6ued ueqeq ureTEp 1p ue6ue6al qeTouP>iTTsPI{Tp TUT saso.rd ' ,rlPTPO ue6uequrlesay, tedec.ral UPTX-ruap ue6uaq
'rluaq-raq Tseur-roJap e66u1qas'n1r Tseurrogap ez{u6uns6ue1.raqdepeq.ral ueu€AeTrad traqureur ueun6ueq ureTEp rp uEt{pB '}tnlueq ueqeqn
nple rsplrrf,olap rurpTB6uaur ueun6ueq 'Pxurs>{Par uep ueqeq ?pq-!}ip 're6eqag',.f,PnT ue6uequ:tesey,
euaf,E>{ r{ato uep 'Jen1 ede6 6uo1o6ra1 nltTS>{pa.r uep ueunbueq nlpns eped et.za>1aq
1.re[eladuau E1-!)t ,\ilIJ,VJS, n]inq ueTep -!q
r{ETTlsT ue>1eun66uau elT>[ n1rTS{ea.T Uep uPqag 'e.,{uuendurnl
6uez{ ueqaq E-relue ue6uequrtasel
VIV)VUd
1
z'r 'qD
'p.[usn.ralos uep trnqurns depeq.:ex uaurolu ^r lx
nquns depeq:a1 uauou *1 l,Xnqums depeq:e1 €Ts.rauT uoluoru = .*r
'- nE?E + u1>16unUltr uep x ld 1 od
=,x rx + ox =,x' ( z' T'qD) I/ / ,x
uep X//,y 6uepas ',tr,X,O uPunsnsuep IXO ueunsns depeq.xal ersrauT
upJesaq uel6utpueq ElT;1 '1esnd ers-JAUT nclums lnqasrp I upp x nqums
'6uedrue1 lereq {T1T? Tp I-{n?E[ O)i'F1T1 e66u1qes qepurdlp rxo leuTp-f,oo{ ueunsns Tese-{T?T1 6ue:e>1ag
'Io*] TsuauTp.raq e6nt uep - nple + TETTureq ledep ^x5 ue>16uepasa, toro'j-' ' rsuaurpraq uep JfiJsod'reftirrdq""-nTpTea rur ers.raur uE.rpseq-efluag
AyI+ Il_', - '_
= JP.*.f + .{P.I./ = ,{P(. A + zx)f =,E- /
rlp>rpu:l^+ x 'zz
>{-nT1,aaq nelp Jprod ets:aut -uaurourlnqesrp d1 6uepas nqtuns n?ens
depeq-re1 nlred tnqtnstaQ 'nelp f;|xe *ursrffiifaffim lnqosrp oI rr=p *r'ap,{x7 =
I-nqums uep x-nquns depeqralEuedurel 1e6n3.-r:1uu=-,r.ro* -
tr*g
'rP rdf = O >{T1T1depeqral buedurel e'1s:eur-ueutor:r =
d1
AP zx.f = I-nquns ^ depeq.rel 6ueduel prs.rauT-ueulour = "T
Jp df- X-nqunsdepeq-re1 6uedurel 61{r..l--.reurou: - *1
i
= .dreuare{ /1eqTT:e1 etru1n[ue1a5
'etE.raut-ueuou 6uo1o6.za1 ^*S .r"p
t't'qc
r:ere1adu.*,"rJ' :r;', :fi3ffi] Illr,;l;":r:::Xr1#;'"1:l:::;ue>1n1:adtp 6urfas 'ueun6ueq-qo>to)i nele ue6ue6o1 ue6unlri{ urpTpp ro
rruv Nvo onsxvw l't
vlsurNr NVuvslSil
nUJ
F---_-q-++
r*, =I(y,y2dr =[(y * ro)'ar'=Jy2aF + 2.yo.[vdr *y'far = r* +yo2F
sebab.[Vdr = 0, oleh karena sumbu-X itu garis berat tampang sedangJ ar = -F = luas tampang.ry, = J(xr)zd,F = I, + xlr (J xdr = O sebab Y juga garis berat).s*,r,= .f G * xo) (v * yo)ar =-fxy dF + yo -[xdr + xo /vdF + *oyo.fdr
= Sxy + xoYo F.
ilp = f e')'dr = r*, + rr, = r* * r, * (x] + vjln = rn + rjr.Momen-i{r,egsia terhadap sumbu-pusat atau titik-berat disebut "-BgI-eg)'--inersia-pribadi. Jadi I. dan fv di sini adalah momen inersia axialpi:-Uaai, In momen polar pribadi dan S*" momen sentrifugal pribadi.
Bebetapa pendapat di atas menghasiTkan daLiT:1) Momen-inersi.a- terhadap sesuatu surnlcu (garis) merupakan jumlahmomen-inersia pribadi terhadap sumbu yang sejajar dengan garis tadidan hasil perkalian antara luas dan kuadrat jarak antara kedua sumbuitu.2) Momen sentrifugal terhadap dua sumbu yahg tegaklurus satu samalain merupakan momen sentrifugal prii-:adi pada surnbu yang sejajarditambah dengan luasnya dikalikan jarak antara kedua sumbu yang seja-jar satu sama lain itu.3) Yornen l-r19{S:q*-p9f terhadap sesuatu titik sama dengan momeninersia polar pribadi ditanbah dengan hasilkali antara luas dankuadrat jarak antara titik tadi dan titik berat.
I.2 BEBERAPA CONTOH/\\i)s"*p..s -p?r9-e;} bh. (cb. r . 3)
a) Terhadap sumbu pusat X dan Y. UntukdF = b dy dan untuk I, diambil dF = h
menghitung I* kita ambildx.
rx
ry
I*;h
= f'y'bdyI.
- -h2
^r.= J x'hdx
1.-,D
= fr-rr,',
= fi. uti,.
.Ir,S*, = I' "y bdy = 0, sebab x = O
'12"
untuk tiap lajur bdy, sebab y = 0.
b) Terhadap sisinga :
ht2 l:rI*,=Ib=Jy-bdy=!bh-;
b
Iy, =In=rl'x2 irax = |
I
I
Gb. '1.3
2 SOEMONO, TEGANGAN 1
b3 h.
VISU]NI NVUVS3E
de66ue1p q edu1e66un?-TsTs 6ue,{ e61116as enp r.Iep r.rTpxa? uPsT{nT
ehurbbur4 srzeb dePeqta1, (P
!\.{ + *r = ,,*rz/
,rn.(,,tr)j = "*r,qD-o#:,o
1>lecund ITIT1TirEp -rn{nTp,,tr) lecund TnTeTeu 6ue.f, sele re[efas nqurns depeq-zag, (c
',uo + = r'{ f 'uo+ + uuof = .(ui)',:; il:= ,Jp
.( ,xloi =,*,
-- { - - '{ (,x - q)syzeb depeq:a;,
= ,rp.De - i) ,f ruo =
-+z
',uot=,uo€'1.T)=.(,e6n[ nexe ,ro { - rpro./ruo -
T
rcp Dqq =,,trP rQ = JP
./q\7=
. qq ql = np D(roTTZ
o ue6uae) Dq(D - T)iid'= ,trp,c = ,{P
(sPTe s1re6 Tf,EP .rn)tnTp
',qq T = (+ #) ,ro= ;[,, + . €
-r)r;4q 'r'Jq(l) - T)
,[) seTe
rQ
(q
, f ],uo
on.o(* - i)
pp(D - )uo =
:e[e[as y lesnd nqwns dePeq:a; l-a-t' ft ' t' ce1-=r'Fr-rras(g-l
= ,rr, L, = rpxi ra f = ono x"i = 'tr '*s
'urtf = .(-+)r + f,r ='^1 =
ur
,uc { * rro f = -(- +)r + *r =,*r = qr
'se1e Tp'TTTep ue>1eun66ueu nP?P
€r.t
1_
rcE,{ ?*
DPI{
trtr: (
,E- .I
-,!;?z^ f =*rqf.
= Ip ,* = n e>11[
oroG-l)=rP
(* -;)e = ,e
- ,:) = e : ,etrP,q = dP
seTE
t'I 'q0
'u z', L', .T'T
',uoi=
z'l
1.2
Gb. 1.5
Gb. 1.6
r=|,rrtnl +
Jika segitigab,, = b, = !a,
sebagai a1as. Dengan menggunakanhasil dalam b di-peroleh:
1b;)samakaki sehingga
'lemakar=Ab"h.
persegi EBFD dan
(:)o--.2-ajaran genjann'AB = bYerdiri airi aua degitiga ABD danBCD yang sama sebangun.
ill 3 I 1 21 I 3r*=2Lf rr, +ibh(;h) J = j;bh-ih . r 3
atau jusa I* =f y'bdy = # On
- |r''I 3-1**/1 t\'r*, = 2.a?' bh ' 2 -.,\3 .v
* | ur,(3 n)' = * on3 arauh_
r*, = 1'yzbdv = * on3. Ata,, iugao, 3 r r r jI*,=1ibh +7nri- =ioh.
(2b dan 2c).
Untuk menghitung ay, tampang dianggap terdiri daridua segitiga AED (atau dua segiti_ga BCF).
AE = ai EB = b - a; EG = ]tU" - r)Jarak antara titik-berat AAED (titik oi ) dan sr:rnbu Y =
1_ I=rb-Ea'|"*!o
L -2- I+7'abh-6.
IL2
-a)
lnI
12
I+-4
u'bh - IL2
u'h * *.'n 'br, =
3bh.
t
I
I
r, = fr-ru - u)'h . r[+ "'h * i".G r - * )']b3h - i *'nbh(a2 + b2).
Khusus untuk persegi panjang EBDF terdapat a = 0; jadi I"]r, in/, \r ab ^in,s*, -/^'*y dF=-/''(+-\iaybdy =iJ y dy=#abh2.
-ir, *' \i n/' " -in
-,, \'.4)igSapesium=... AB = b; DC = a. Hanya pada tampang yang simetris'ai6itun9 i". tit* berat o terletak sejauh Yo dari AB.
Menurut rumus, Yo = I (3u " b)5.
Untuk menghitung Ix,, tampang dianqgap terdiri dari AABD dan A,BCD.
4 soEMoNO, TEGANGAN 1
I
- P('q :-S)--l-t{19- z - t -- "^ =6T-Es-=^J =
,P("Q - o)+ + ,ue 3, = z"s + T"s = 's
'P(oq - q) + qoq = t.{ + t,i ='i'x leraq s1re6 X
{p141 ue{n?ue1 E1T)t EtuPl-eurP?'redtr buedwetr (g
q=e uE6uar rll"".u ;"1';";:l:l
VISU3NI NVUVSSS
8'I 'q0
/'r 'q0
ffi;"f
r{(.e + er= * .Qt *,o)+ = t^]rl=t; =,^l 'L T
q(EeE - Qr= + zqe + ,o)T =
[.G ? * = !r)(p - q)u{ *,[,= -')+]', T] . =
[,[,"-o,+'+.=fJ*f t"-q)f *u.[1=-orf] +] '='^r.OCJ, 6uetued 16as.rad upp gCvV Enp ITqurpTp ^I 6un11q6ueu >inlufl
'Eq (eE + otlf = ,u= +.+ ,t{Q { = o'-
'Q = P 6upCupd t6es:ad {n1un uep O = e e61116as {n1un
'Er{ (er+o)+= ru={+ rQs?="otgv seTP s-9-re6 dePeq:ag'
.ru=E= *r'6 =quep (e6T1r6as) ,uo?= *11edepf,a1 '0 =P
ue6uap '(6ue[ued 16as.rad) ,UO f - x1 ledepral q - e ue6uep snsnqx
',, i*.q+E )9€_+ -(q + p) I r,rg+3+.,t{(e+"rf= z
z*r
+
+
+
zxa
+'*r=
,rr 29 = E. T
oc gp2=c' T
,oI= E" T
()('uo3= €" T
*I
(zq + zP) 8T'rq" *----E- T
z
("x -, !)u= !"\ 7)-r " (.e * ,=) BT . uP--€' e T
c
v
tro{toqi
IcO\:l---u[ -.-
-- |
J\.
- \--\ \\\
A
znl
G+ .r)urf+
Z
t*r
1.2
I+I+rx -
=
r, =
(^Y - L)ez I
.rlh\, t-a(l - ")"\2 /
li+ a, ab-
djikae=:dan7=\2 I
vu)'* #,0 - bo)d3+
" $t? - 1)e3 + (7bo
T
)b:
e
3r+In2
d
)t
h
t
lb
o
3
h
h
'(
t-
IL2
blo
1
t2
b-.bo
r 1 t2(b-bo)d(y"-iul
-r)e("-;')']
( 0l lzingxaran dengan radius r'\r-/--T=T-Y * r
r = T + T = 2 r = ./-2ttpdP. p" =-p -x -Y o
I44 ltt
14,nt i a-
Gb. 1.9
Gb. 1.10
- i' raran\( 7) )nelanan Tins\..l,/ratr antara
-ti.tix berat o dan
garis tengah AB ialah:11Azaa
=
-e
3 It 31t
lz2aeB= t* * rn, .yo
114_84Z'4'(t = r* + *t- (t- 8\4 (g7-2-oq\,.=[an-*), =--jT;-,
f<a,- ' '*-:.\ 6 t Xesppgun r rngiaralT\zl-hat Gb. 1.11)Lere = 2ati Letg = 2a2idy = ds sin Q = r sin$d6.d,F = 2r sin @,dy = 2r2 sin20.d4.
Luas F =far = zr'.i'..in20a0.. ot
F =2rMomen
yaitu
S=2r
'l*r"r- o,)- f r"t., 2ar- sin o. ) ]
statis terhadap garis tengah XX
s = Jar.v.
' .i' ,rn'o cos@d@
{
14
ar
233J= l t (srn o, - srn dr)
Ordinat tampang AABB terhadap
sumbu XXr yo = i .
Mg$err-iners-i.a terhadap xx ialah.. 2
or,- :./'ary' = 2r* -f 'sin'6 ro.'6dd
--'/ o I
dt
= * ,a /' sin22O.d,2O= ol
xL----------
Gb. 1.1 1
6 SOEMONO, TEGANGAN 1
VISU3NI NVUVS]S
'Qe; f = rnrn, I = tn'P-f=,rp senTas @p -reqalas rolr:s ne[1+ b+lx
. rcT.r .qcL'gqi"1ar;y7;Ar=gf ul
,r9.! = trr fO = D ,qnuad uere>16u11 epe4r EZ
-
(nyu1.*-oz ursg +al -r|) ,9 =y T --r-- 'Yt -E)v Z
j(, .,r" { - 4+ - 0z urs f - of],, 9, = on(o.soc - r)ozurse i,, r,
=
Oe0rurs .7i ,, * = xprqTlI = 11
'@p@ uts r
=@utsep=Ip:@utsaZ=g11 6un11q6uau uele e6nt BlTx
'ft-qr'*=xr=:rtO = dfi !(Z - u)rz = g
]o uTs = zto u1s
l7O - )1, = zD UPp ?C =
1?O
'(eTT'T 'qe) xx rolauleTPdepeq.zal sT.r?auTs gg upp \lv (p
'Btrusn:a1es uep )L = zn JO = Dqnued uete46ur,1 (c
. r/5 -g) = *rr \ 8 tL) o-
)Lt J or t
-
=- = l\ .
7.V S,u! = g t9 = zD !o = IDzI)t
ueze>1buy7 ueqeTeg (q
r(nz.,rs+-4,, I=", t2= g r(nz u1s
+ - 4 r, = t'D= zrouepO='Itc
ueze76uy7 uewbeg 1e
: srTsEwrrETEsl-s)tr
.,=;=i{;l ;r=1.;=:l'ffii :-:i i=l.i'=;,=:depeq.:a1 ETs;ouT ueuour n11ed tII eXu.reseq 6unxlq6uem pns{Plllreq ExTx
'selp 1p ue6unlTq lrr:nueur xx selETp
o,( qne[as oXoX qeTET XX up6uep .:eCe[as 6ueX 6ueduel lPxeq sTreo
[i'o, ,rr" - zn7 u1s1* -,t" - t",
,rI =
7,'L
' ,v! = rT
ell't'q0
:r9=*r rr!=s! vIcZ
irtz
, ,!I
S
or{'J - *r = z
ox Jn urs a€€
1.2
dr* = f a.aap' = {ou|.ap.p'"o"'P = ! ,n .o='OdO.
a* = 1, ,ni ,rr'Od| = + ,n(Z * gt'zCI)
Y
Xo
(..rdd.
N'" \)'A
I
'S/"/ I
T
cr ) ., = 2! ! [email protected] = ; .' sin qoo
o^ z S 2 sinotU=rldF=ra;Yo=F=Jt d
ri = r* - E-y:
=,'(io**sin2o 3+)KontroL.' pada
" = [ terdapat
'i = 'n(5 h) , Yaitu belahanGb. 1.12
lingkaran dr" = i paO. dp.p' sin20 = i tnsin26ap.
," = i,o i.in'oao = i;9" - t sin 2a)
pada o = $- teraapat pula r! = f, nro (belahan lingkaran) .
-:-,' t0)ti Pipa atau geTangan bundar \\. I tr
Y;= {'rrr.dp.p2 = *oi - ,:) = | r:-G, + r,) trl * ,',t' t2
r* = ry = r = Iro =|nttr, + xr)frl * r'rl.
Gb. 1.13
Kita tulie ty - r', ='l
r = =r(r, + rr).F=rr(rr2 -r")=7ltebalnya.
8 SOEMONO, TEGANGAN 1
Gb. 1.13a
t, yaitu tebal dinding dan radius sumbu dindinq
tI
(rr + rr)t = 2ttrt = keliling sumbu dinding kali
(0T) sElPIBqTT
1zr + r:1 z+ zl
,( r','l
VISUsNI NVUVSSS
9 - (zz -'rtl9 = o^J
-'*r = *rB 'v v T z
' lo' + *r ='*r(zt + f,,rl (', + r:)+r
i ='*r
.I+
('z-T:).u9ne+e 'r t T
(t:+-r) gg={=o^tr+trl ,+', ? s -
(.t +'r',l lrl* f = (,7 - lrll = ,..r!=zt5..J=rs
eZ?' :,; =', \ ''.{ = Is
: ,1 depeqral sTle?s uoluo6
lzz +'r11r. I = t2, -'rrru I = t.{ - TJ = r'ru Z urBTPp ue:e>16u11 sPrif = ',1. zT
(zr + tr)+ o: p>tT[ o.r1tl =
= rPDf ue:e>16u11 Senl = rg
Ga.{""*r"?tJ.*.)
6uedurel eped 6uepas 'L = - -ueE
uep ,"tZ ' + = I uPp 1 ,, { l6etXedep:e1 sTdTl 6utpulp ePe4
D
.(i. T).rd z . ff = (.{a - e)
z
tryIzTrt't 'q0
:1edep.ra1 upp 'uEnAEs dePeq.rel
.r>> 1 p>teur 'sTdT+ 6u1pu1p:aq edld epe4
r.T-l
zrh .-l =t1e[ad P
A
+ z(? + =l) sf - ('r" - j=,? =,'etru1eqa1 11e>1 6utpurp nqums
6ut1t1a>1- (t= - r=)(t=+ TB) =2n- J==, Jl-Er= zP J1+e= re
:1edep:a1 eT'f 'q9 T?f,ades .re>16ues -rnfnq 6unqe1 epe61efad {n+ueq epedl.zep
uel6unlun6uaru qlqeT (6unqe+) 6ueqnTf,aq 6ueduel >{nlueq '11:e.raq 1u1
'r1= 1ledep:a1 letad 6uedurel eped 6uep",4r1= *l=, t.tsLx1 -- T - :t 1 ]1 ' z I
ue{Teqerp ledep ar, { e66u1qas
. rrJ v\FT* r).,'+= l.(*+-,) * .(-+. rlr{=
('rz+ 'rrlti,- )rlul= ti,-Iz1t. l=t'r+-a=zr', 1+r=r.r
Z'L
lf
.tt
1.2
kl-j
Gb. 1.15
I,^2
= 2Er'.,/ cos q da =o
2 3/7tI* = I*,- Fyo = tr [, -
I22I, = 2-f tds(r sin s) =o
Gb. 1.16
r.= -f ' pd0.dp. pcos
,2
d^
s=2.fds=!t(r'*, =.1'dE = z./lrtde =
r.dI* = j'paO.dp.p' .o='p -
"2
9r4rx= 2f dr* = f (r, -
ri= r* - ry3.
Apabila tebal dinding t kecilsekali, kita menggunakan r = radiussumbu dindinqr.
P = 2ftds = 2lr./'dct = zrtrOg
,l2
s = 2jf t-ds.r cos e =o
S2= \, --= -
rro F ll "'!,2.
t*,= 2t tds (r cos cr)'o
,IT
2tr" if cos cx dcr
i-l+
13, ltt-Y .
4r-tr)
,? ? I 32*'f sin'a da = * l6tr' .oZ
('i
L2) -P9!oyg.an 'pip-
-.(Gb. 1 . 16 )
f=r-v'lL - ! r- ,2i r -- |(rr+ rr) i11? = t + -
|. r = r _ _ {--I 2 -' -z - ! 2 -'
d.dF = pdQ. dp.rr
dF = .f '[email protected] = iGi- ,i)uO = rrdo.,2
cl r.F - 2l dF = 2trq.dS =..f 'a.arp cos4,2
- ':) cos O aO = t(:" * i .') cos @ d@.,1Q=5
_2, oi){2rEg i
cos@ dQ = ! ,.' (r,- *)sin c
v"=F='(r.=Jil"
4 /1tr)(ii,'iq*
- ,:).o"'odo.
f "i,,'o) =,'.(r* *lt"*|=i,,,a)
Pada cr = zr, terdapat Ix
* r,'(, . r).
x
I
S\Yo
10 SOEMoNo, TEGANGAN 1
t/- t2 \= nr \, * E) = !,zrrt rtft . *)
r
TTVISU]NI NVUVS3S
/!'t'qD
.{p (DzuTs Ix
'o = n]g 6uepes ^g : f r +noas e1T>i ue1n16ues-raq
6ued o^*s uep ,ox, ,o*r , t';,"f
- f{I - =oDZ61 roouE{Elrr'uplT>t rur 1e.ze.[s rqnuauou u.r"o *rlnl; .o = ol'?zo" ^*sz - rrz urs (nr-*r)-
'o - o^*g nele g = -j'p eleu ,ua:1s{a rpp[uaur D*1 etredng. orxra - = ";':5c ^*sz - Dz uTS (nr - *r)- = =II
(uer.rP^ )tP1) {r + *r = '^, * "lI1'Dz sor n'"s + Dz uTS (^: - *r)f = o^*,
.Dz urs ^*s * Dz soc (^r - -r)+ - (^t - "r)f = oo-
'irz uTs tr*s - nZ so) ({r -.rlf * (^r + "r)f = o"r
'(Dz soc -:!)+= DzuTS nElErrzuTs Z - T =DauTs -D.soc = t)zsoc
(DZ soc + D* = D"soc nElp T - Dzsoc Z = nzuTs - lrzsoc = DZ socL(7DZ uTs - = lc soc D urs ne1€ D soc n uTs Z = nZ uls
:1e6u16uaur TTqurBs n7 ue6uep n 11ue6 e11>1 6ue:e1eg
'(D.uTs - Dzsoc) ^*s * D urs(ot - *t) =
-DSOCnUtST{. z + ), soc ]c uTszx - irz.soc ^\'.f = dpo,(ox./'=
o^*s
'D soc rD uTs^"sz + Dasoc^r + Dauls*1 =
Jp(D soc D uTs Ax7 + r.rT"r[ + rC.soc 14 {= .{p arxlf =
o^1
'1, soc D uTSI*S Z - oauls^l + Daso3*1 =
gp(?O soc D urs AxZ - Dzurszx + Dzsor16).1'= ,lp "t-f= o*I
/ nursx-rlsora-oI| 'E---rilpursd+nsocx=-*[
r) lnpns >{n?uaquaur ^xo
ueunsnsdepeq:e1 6ued DI Dyg ueunsns
depeq.ral pr{';eTs:auT uerpsaq ue)in1-ue1 P1T>i ^*s,rnp ^r'x1 ue.zesaq
6un11q6uau qPTalaS '(LT' T 'q9)Euedupl ?E.raq >{T1T1 uebuap ue
-1tdur1:aq 6 edulese )iT1T1 6ued try6lpuTp.roo>{ ueunsns ue>iepe6uaur plTX
vwvtn lvsnd vrsu]Nr Nrwow t']
,r1=*tD ./ z
tq"r"
'sTdT? 6utpurp:aq edrd epe6
7:x7x ,-r, i),= cr r.r3-1 = 1
' '-2- x1 = oI
lc uTs:4edep.za1 uep ,uenles depeq.rel ue1Tpqp
eleu '.r >>.1 e66u1qes 't1e1as sTdTl elu6utpurp ellqedg
= :r uPp Jr, = re
z- -n 9\ I L- -l
f,J = l-Tlz - \D uts, .Z
-Tp qaroq +z-
t-z'l
(
DiAC
1.3
cos 2ao =
Gb. 1.18
t !tr. - rr)
Itr*-rr)'* si, 12;(r*-r" ) +
atas satu garis mendatar kita 1ukiskan OA = Ix,= S*, I OA (Cf. 1.18) Kita tentukan titik tenlah
; sin 2oto =+q- "xy
1))E(I"- ry)- + S;y
^2"*y
OB=Ird*T antara A dan B.
c"xy
|tr*- rrl'
r:.cara yang sama
TD = TA cos 0. =
Terdapatlah:
ot = |toe + oA) = *,r, + rr) i
ro = l ra = ]toa - oB) = *,r* - rr).rAo= rc =IFJ;G ==m
lcTA = arc tg -:- =2o.oilcBoT = 0o.t(rx_ry)
oAo = oT + TAo = *(t*+ r") +
= |tru+ ry) +
= !tr** rrl* j-tr*:- rr)
*,r"- rr)2 + s],
*,r,.- rr) 2 +' sl1
T(r*1;(I* - r" )2
.l ^2* t*y
+ Sxy
+ si,1'l= i(-*+ r")+ j(r*- r") cos 2cr6 - sxy sin 2oo =
Jadi I! dilukiskan oleh panjang garis OAo. Dengankita mendapat: CBo = OT - TA,o = Ii
Hasil akhir ! rnaks,.r^= ]{r*+ ry) t .2"xy
TC;Juga terdapat sebagai berikut: Tarik garis1
it-" - rr) cos 2ao.
DC = AC sin 2ao - - Sxy sin 2ao.
TAo= TC = TD + DC = +(I-- Ir) cos 2do - Sxy sin 2ao.OT+TAo=l
. - - 2 '-I "*Y Dlrl Z(rg r
|tr*+ rr) + |{r*- rr) cos 2do - s*, sin 2a" 2- ^- y. 21
OBo= 91' - TBo= :-(I*+ I )|tr*+ rr) - |tr*- ,rl cos 2oo + sxy sin
1.Z(r* -
2ry) +
ADI
xy o_ f o- rx '2oo = rf
r: * ,; = r* i r,, tetap tik berubah (tak varian).sumbu Xo dan Yo yang tegaklurus satu sama lain membentuk sumburnersja pusat utamat dan momen inersi4 terhadapnya dinamakan nrcmeninetsia pusat utamar yang satu ekstrem maksimum dan yang lainnyaekstrern minimum. Jika sekarang sebagai sumbu X dan y diambil sr:rnlcuinersia pusat utama (xo dan y,r), maka oleh karena s_- = so = 0 akanterdapat: xY xY
12 SOEMONO, TEGANGAN 1
*,r,.- rr)'r+ sl"
ATUTsdTTTa
VISU]NI NVUVSsg
e.Z--=do+Po+ 7'
- ," P urs ,tfll - x n61ocS-= D"otfr, =i= ds=
v >tT1T1 e.du1n[ue1as r{E{pupurle6eg .lf = q uep 1l = = uebuep6u1111a>1 sele Tp {p?aT.ro? v >tT1T1 fi11ed ,"t)"& rl.xe-raq TuJ
I.r_pzurs.(oT) +p.=o"(lT) _ rI) _ (lr) o."otr(lrl+n,urs.("T) z\ ^/ .\ x)
n = .(lr) , . _ ,{{l)
l, soc -t1fl -.{ '
" "." ,^a = ;-Z Z'o', Z -Z'r-Z\o:t Z,^
Lrr= = n/ .rA
:qe1o.rad1p Elr,ru,":r,ffi[I:Lrr=r: ::"S,; :j;" f;; 't, soc or{ + uurs ox - ^
! D uTs o^ - p soc Dx _ x
'oA/ox o6/o* uep A/x nc[lnns depeqtey 6/x Teurpzoo>{ eze}ue uebunqng
rIA= x rA = D soc D urs lrttal _..ril)] _o^ox
2-rn= n = P.uls .(if) + m.soc .(Xf) [ =od
depeqte4
'fl = D
'nr{ nx'd
'n ,{ .'rzz-
.rT=.(ff ) + mrsoc.("T) = o,(
= D soc D ursfjr -Xrl = n*S
6t'I 'q9
.J = bupduel sEnT . ue>[n?ua?-Tp "I upp ox Eurpln nquns qpTalas
, sr{nTau pilecas ersxauT ueuou.rpseq up{nluouau ledep e6n[ e11X
vrsulN!-sdtl'H ?'t
'PluP?n lesnd prs-raur-nquns re6eqas rnqurrl sr.xleurrs nqums ,>1r.r1auirs 6uptr 6updurel Eppd
.Dz urs t jr - Jr)f ='r"sDz soc rjr - "*r).!. - t jr * jrl{ =
o^rt ' 'T
roz soc tj, - jrf$ * tjr * fr)$ = ."-t ' 'T
?-t' t
I .4-5
Ini berarti garis OA dan sumbu xo membentuk garjs tengah sekanran didalam ellips tadi (garis singgung di titik A berjalan // xo).Jadi gambarlah e1Iips dengan a = il dan b - i;.
Untuk mengetahui I*o, tariklah garis tengah sekawan xd di dalam elIipsini (Garis oA) . Jarak antara A dan Xo = Yo.
Hasil ! I*o = F, yo2.
Supaya arah pengukuran sudut cto benar, sebagai pedoman kita ambil,bahwa sumbu elIips inersia yang terpanjang (yang menghasilkan I mini-mum) memotong bahan sebanyak-banyaknya.
Gb. 1.20
Terhadap diagonal:
1f =i(r +r )x.I 2 xL yI
I.5 SEGI PANJANG
Contoh
1) Sumbu utama sejajat dengansisinga.
^13o13ri=fr.bh-danrr=17bh;r--- --ii=r,v#,i;=bv+
2) Bujur sangkar (Gb. 1.20)
,i = ri = #..n, i = a rl-+ = o,zrea
f=xI
= l(rozx
yI
+ ro) =v
ro = Io.xy
Terhadap sumbu
Ol-eh karena I:
3\ SegitigaPnr&j-L x //r* = fi.rr,'
X dan Y seba:rang
=rimakarl-r"=0.Jadi,r,o I rro = l,-: + r;) - ri = *, ^^S = 0.
xyo
Berarti tiap sumbu pusat bersifatutama.
siku-siku (Gb.1.21)
bdanY//h.
Ib- 7'h2rb l2
-t -2hLe
I u' - ! o =
.Gb. 1.21
dF=b'dy=(]-f)our, x=?n z ?n' _Lb i(2s.r={ xydF= 2h{..3
- -n -Jn
i r, = * o'h($2,2) i
v.
r volina i, Ji"= - $a'n'
rYal t
14 SOEMONO, TEGANGAN 1
f;)r'u, = - 3v
ET vlsulNl NVUVS3S
.["* -1p * olf Jete -el + pz(p -o)+..('i -"')" + t{rP T='"
..qei -"o)n(p - c) +,p(p - o)+ *,(^ -'!r)" +,QP ? = "'
(p-q+t{) ?_ t="*;qr--F-ffiiT- /s-
(p-q+q).z=d=or{P(P - q) - zr{
T.x5
p(zp- ,r)1 *urn1=(P+ ell'" *ni''r=''s
zP(P - olf * ,'n 1= v l'z'{ + r'i !'r' ='xg
'p(p - q + t{) =.zJ + tJ =,{ :p(p - q) = zJ lqp - TJ
Gz'I 'q9) ? JnznLl edntas TrJord (v
oQ
9e1
zz'r 'q9
o?o uep t + r_t"nz 6+oc)A * ":r 61oc - = om 6i
on61-T
{'7 = ]t e6nt ne+v
=:r-^r+*t=lr
!tr+'+)a - r = tr
' ,, T = ,(4o +)(4-)T - 6uo'ras tsls depel{f,.l r
'q!=.{ z'1: ueT{Tuap
6un11q1p ledeP To-rluo1 le6eqag
'af =ii',rt= fe-T) =:''q, 68Z'o =
3]q = lT
,o?z= qL* q4=Ir 'r- T T v'
. f + - = tr*, ,
oe f = 11 = "t n T 'm11s 6uez{ lnpns eped 16eq s1:e6 le6eqas ledep'ra1 oy
'o9? = oD nele - - on7 ba
uep (ZZ'T'qO) O = zg-zl{ uep I{ = Q't1e>1-erIes e61116es eped snsnlI)i
. gy r 'q, ?n.rnu"* irttli €'"'"" uP{mIETTp l{Ep*,r qrqar e'{uue1ese1atrua6
ue>11rseq6uaur 6ue'{ #
= ooz ba
oaz soJ 6n7 61 = oD7 urs
q --t{ q-q --qq rr -*rt1dr11sod)'' ' = t
:: I =1;- - "aZ baqq ,\ra
'*s z-
. _?zv' T
.,?Z?. T
'q.4= qbLv
9't
= oDz
1.5
Gb. 1.23
s*y,= drr(x"- i.)(i h - y")-(u - alftru + d)-
Contoh dengan bilangan:d = O,2 hi h = 2 b.
*"1 (r"- i.).
!, = (2 + t - o,2)o,2b2 = 0156 52; yo =
*"=rffib=o,242b,,.= [#. o,2.g.+ o,4(1 - o ,745)2 - #.0,8.0,08 + 0,8.0 ,2.2.(o,74s - o,r),]uo
= 0,226 ba
-r= #.0,0o8.2 + o,2.2.(o,242 - 0,1)'* #.0,83. o,2 + 0,16. (0,60 - o,242)2
s*y= o,4o(o ,242 - 0,100) (1 - o ,745)b4- or16(o ,60 - 0,245) (O,745 - 0,1)ba
=-Q,o5L2b4.- o,Lo24tg Zao = - o,2iz-1,030 = O,52Li cos 2ao =
sin 2oo= tg 2uo cos 2oo = 0,462
,l = Ilto ,226 + o,o3o) - l,o ,226 - o,3o)- o,BBs
= (01128 + 0,087 - O,O27)b4 = 0r 242 b4 .
= (01128 - OrO87 - O,O27)b4 = OrO14b4.
y?2- (t : 9,2\o,z b = 0,745 b.2 2r8
= 0,885
)+ 0,0512 ,O,4621 b4
IOv
.o].x 0,16 b.
Untuk lengkapnya, inersia etlips terlukis puIa.
16 SOEMONO, TEGANGAN 1
Xo
t66t I 766t .v .ItnErrI B,*Br
utttrtlsndJrd [aEurqrtrod
v,{vgYXZf 'oN l{},iONfl'!WOd
Un,.ilI V,\IYt i.iVUSvC l'l
ns.'!n).i3w 1[VV)i vJS,)d rild
VISU3NI NVUVS3S
T6ET ue{nq 6ue,{ g tT1Tl depeq-ra1 uauoul 6un11q6ueul P1T}t 6uere>1ag
Q=
(g
xT
o'
A
or
soc
'qlz'o = #*/ q = lr !q?6'o =
,q s?o'o = uQ(tTT'O - 8OT'O - OLZ'O\ =
olz -x op !o9? - xonz trzL'6 = oD7 u1s !969'o =!9+3 - oDZ
zxo'r = onTrba t?o'r - =# - - onz ba
vq, :cg:.'o = rQ 8'T'6 'o'z' o'f =^ *t
'rq ?TT 's = ,e(z'o'T'u', '1 + z'o'6zL'o'1 * r'Too'o'f) = ^,
oa 9z?to'= ;(vz't'6'o'f * 8'o'6'o'? * 8'r'o'f) = "
zqgg'O = J JqT'O =, | = p lqz = LI :ue6ue11q qo1uo3
(1 - t{) (p - q) ro1= c f '(x - q)+'1(P + q)z =^*s
'1zq(P - Qi +.(P - o){ + T + qrr# =
lrof '?(p - q) + 1,(P - r+]z + qrP
T = ^'
nz'L'q9
'12(1 - q) (P - ")+
+ ,1(P - o)? +rue f =
[rt. - ulf 'a(p - q) +ra(P - *)+]7 +,ue $ =
1(p - e)Z = zE 3qp =(tz't 'qil z-TTlozd
II
4
t:
9g'offi
9'r
I:,.o1x
= (11083 - Or82O - O,245)b4 =o
= Ir48 b; i, = 0 rL32 b.
I.6 LUKISAN BERGARIS
seringkali kita perl-u menghitung momen-inersia garis atau gabungangaris terhadap sesuatu sumbu. Di bawah ini kita ambil beberapa contoh.a) Lukisan bergaris seperti Gb. L.26, di mana ABCD berbentuk separohseksagon teratur.
.5-6
Gb. 1.25
AB = BC = CD = a,ZABC =IBoCD membentuk sud.ut 30" dengansejauh xo di kanan BC, yaitu
f--- Lza
Gb. 1.26
I8 SOEMONO, TEGANGAN 1
titik berat (cb, t.2Si.Sebagai contoh diberikan di sinibangunan segitiga siku denganh -- 2b dan titik 0 diambil dipuncaknya.
r =; bh = b2.'l ._s 4I*= ; bh-= 2b ;
le'ltrr= i b'h =; b (pasaI 2.2)
s*,= #, o'n'- * on.* r.J r,.] r'1tg2o.=M=01545
cos 2cxo= 0188; sin 2oo= 0149
,:= (+; . t.0,88 + !.o,ar)ao
= 2,L48 b'
o,oI8 b4
*" =*.za.la =*"Vi(r"
") * = -i' ,'u,
= L2Oo, sedang BC vertikal. Jadigaris datar. Letak titik berat o
.2dv
AB danjatuh
sebagai
tr__,II
7t=D".a^=Jy
a2
1:a6' .z t3 12a +a\aal
--f--f-:_]Y, jn=;"
ln/z-l-__L
i-(r"")* = i"'u, =#"'..2
t* = (2.+. ir)., = i ",.(Io")* dapat juga dihitungberikut:(r:B),. = #.fi.h' = 1l an2 =
(r^")*=!-i.1. *^"'=*73=i,^'
Iai
1
I
LI
6TVISU3NI NVUVSsS
LZ't'q9
'e^u>{E^upq-{p^upqes ueqeq 6uolouraur 1ox 1u1s 1p; umurTuTlu I up)tTrspr{
-6uau 6uezt eureln prs.raur nqlrns elnd xeqlTro$ .^r, *r euerEt jr , ir
Q::4 + w),2 =
,{,xS+ Z
s'o - x 7 + Fl
-'L =op ba
o=T-orc u, 1- ooru*
O = f - op 61' on7 6aoc Z + "o_6q
ootu* -
'- orz b4 o-
n baz
.A x)L ( I+ I)= oaz b4 r:-Ax
5a-o
tav - = Qp($ soc + T) @ uTs {rrr-
=^rS
talt =@p(@.soc+0 socz *11 jrrT=n,
,ru = Qeor.rr=ri taz = *!"
'1@soc + T)r r = X J0uTs f, T = I(Lz'I 'q9) sTrlaurT?ue ue:re>16urT upqElaq BnG (q
^e+I=^t !eaZ-*r,Tp=r tT-89-'1 ue6uap efes ue11TP]tTp edueq
sElp rp TTspr.I enues p>[pur 'E >> ? sTdTl 6ulputp:aq 6ueduBa eTTqedv
' e ? = (W * I * ZT\ E = E T \I T \/t
[,(s^ ?), .,(s]+)+ *.(-qy'='?)],= = [.("" - o+)= .,'':'+] z *o,*n = ^1
9'I
DEFORMASIDAN TEGANGAN
2.I TIMBULNYA TEGANGAN
Batang AB yang beratnya kita abaikan, dipegang pada ujung-atasnya Adan pada ujung bawahnya B, dibebani dengan benda seberat P (CU. 2.L).Untuk mencapai keseimbangan 1uar, yaitu supaya benda serta batangtidak jatuh, maka di ujung atas A (ujung pegangan) timbuflah gayareaksi = P, yang garis kerjanya berimpit dengan garis kerja beban P
sendiri. Timbulnya gaya reaksi ini dimungkinkan karena menurut penga-laman dan penilikan, ujung B pada batang AB turun, anggaplah sejauh6. Ini berarti batang AB memanjang (t.itik pegang A dianggap tidakdapat beralih tempat), atau batang AB mengalami perubahan panjang (disini perpanjangan) yang pada umumnya kita namakan perubahan bentuk,
perubahan bangun atau deformasi.Jarak semula antara tampang sebe-sar dx, sekarang berubah menjadidx + d(dx), tetapi kedua tampangsebesar tadi tetap sejajar satusama 1ain. Perubahan bentuk sepertiini terutama menimbulkan perubahanisi.
Tampang ujung B turun sampai suatubatas, yaitu 6 tadi. Pembatasan inidisebabkan karena bahan di daLambatang mel-awan deformasi itu se-hingga di dalamnya timbul tegangandan dengan demikian deformasi di-hentikan. Jika potongan T-T sumbubatang kita pela)ar!, maka bagiandi bawah potongan cenderung jatuh
ke bawah karena tertarik oleh beban P. Akan tetapi karena batang tetaputuh, haf ini tidak terjadi, yaitu dihalangi suatu gaya lawan ke atassebesar P juga di bagian atas potongan. Jadi, pada tampang atas bagianbawah bekerja gaya ke atas sebesar P dan sebaliknya, pada tampang bawahbagian atas bekerja gaya ke bawah sebesar P pu1a. Kejadian ini menyebab-kan keseimbangan pada potongan T-T dan oleh karena potongan ini terl-e-tak di dalam batang, keseimbangan itu kita namakan keseimbangan da7am.Gaya P yang satu sama lain berfawanan disebut gaga dalam pu1a. Gaya initergolong gaga normal (I tampang) atau gaqa axia7, (menurut sumbu) .Reaksi sebesar P (ke atas) di A dan beban p di B satu sama lain mem-bentuk keseinbangan luar dan gaya itu disebul gaga-luar, yang bersifat
20
P
Gb. 2.1
1
IZ NVDNV93I NVC ISVWUOJ3O
'telefes de4a1 6ueduel pnpa>{up{6uepas , (xp)p + xp tpe[ueu xp rrpp i{eqn]aq (6ue1pq nguns sn.:rnT
->1e6a1 ue6uo1od1 6uedurel Enp E.relue Xe.ref .et.Z q9 +n-rnuau uE)tsT{nTTpledep uep Teurf,ou edB6 r{aTo up>{TnqruTlTp T.Z .q9 eped 11-radas rsplu-roJaq
tsvwuojro stNlr z'z
'1nedue11p eduqo>1o>{-sp?Eq,qe1edtpecuau epuaq ,lnedurelrp nlT Tselu.ro;ep ue&eTeu uendureura>1 lees epEd
' weTep-ueurour 6uo1o6re1 1u1 TseulroJapuenpTau 6uez{ ueuo6 '6uedue1 ue6ue6e1 uelTnsa-r le6eqas "1ri :eseqes uemeT
-uauou qeTo ue{TelpqTp tu1 le6uaJr 'qnln de1a1 Epuaq pua.re{ qaTO '1e6ua:1pe[.ra1 ue>ip r{pd\eq Tdal eped e66utqas uet6eq 6utseur-6urseu eped e[-re1
-aq 6ue{ ezluuaurour t1n116uau relnd-raq ue>1e er{ur-rr}i ueuE>{ tp 6un[n enpa)t'nlTS 1p Euelutleur ue6uolod lenqtp E>tTf 'Tf,T>t o>t (x - p)d - (x - t)g
u€p ueue)i a1 ef-ra>iaq xV'zenf uawour 6uo1o6.re1 6uBd (x - p)d - (x - I)B= X[ = W uauou TnqurTl (d Tf,T>t Tp TuTs Tp)X 6uedue? n?ens Eppd
'up6ue6a1 TnqulTl eduurelep tp e66urqas Tseu.rolapdepeq.ral upqeq ueupneT-red eduepe ue>tqeqasrp TUI . g Tr{TqaTou {ppTl
de1a1 d 6ue6ad >lT1T1 eluun:n1 e66urq ,1se1eq1p TSEu.roJap tuts 1p e6ng'?npns ze7ndtaq ue{p1E>irp ,uTpT
eues n?es Qp lnpns {nluaquou uep xp 1e.re[.req 6uedurel enq .uEr{ruapr{ET>tppT1 6ue.re>1as ,uTeT eurps nles .re[plas pTnuas 6upd 6updurel pnp Tpp1'
'n11 >1o>i6uaq 6ued nqums sn.rn11e6a1 de1a1 6ue.re>1es nqruns sn.zn11e6a1 ETnur
-as 6upr{ 6uedruel ue>i6uepas '>[opuau]au sele tdal uep 6ue[ueueur qer"req 1da;'znfuaTaw >loTpq :up>ietupu elT>i TUT ueepea>[ ueTpq .>1o>16uaq
rpe[uau 6ue-re1as ,sn:n1 eTnuas 6ued 1o1eq nquns eleur , (.eduue>iutzr6uaur>tepT1 Eueueur up{e1aT.rad emqeq de66uerp1 un.rn1 >tEpT1 1oTpq 6un[n enpo]t
Eualex 'g qne[as qe1de66ue ,un.ln1 6 6ue6ad >iT1T1 e6n[ undeueure6eg'n1T SV
{oTpq uee.relue.rad ue6uap tedec-za1Tur -TEnT ue6uequnesa)i rurs rp
TpEf '6 - er{uqpTurn[ uEp d ue6uapueueneT-req e.duqe.re 6ue^d g upp V Tpue{E1aT.rad 1s>1ee.r eduepe 1.,1.r.r,r.,I
B
6ue[ .zen1 uebueqrulasal qeltedec-.r41 ueT)t1wap ue6uao'ue>{}ip?aT
-tp e.du6un[n enpa>1 pua.re{ qnleI{epT1 rur {oTPq uep 'gg 6ue1eq
nele {oTpq r4eTo 16ue1eqtp TUT ueqaq eduqnle; .d Te{T?raA upqaq >te?eT
-Jra1 nlT 6un[n pnpa{ e.relue .Fq 'G'Z 'qg) 1en1 dru1nc 6ue.f, ue>1eXa1-redselp Tp up>t>{plaTTp 6ulseur-6u1seu 6uerl ,g uep V edu6un[n Enpa>{ e.rElup
Tp telppuau 6ue?uequau 6uer{ {oTeq 6ueleqas t-releled e1r1 6uere4eg
'e1nd rseurJoJep r+-.reJaq 6uez{ ue>lapued.rad ue6uap t1ue61p up6ue[ued.rad qelrlst p[ps pdueH
. (upup)t T'z 'q3) (8) se4e 6un[n eped 6 ue6uap rueqaqrp uep (v) qp/qeq6un[n eped ue>1>1p1aTTp 6ue,{ gg 6ue1eq eped elnd mtpT.req se?p Tp uere.rn
z'z'q9
z- t'e
'e1nd TeTxe nele fpuJou
2.2-3
((dx;-/+
v:7,%1
-Y,MLL -Y.//////A Iw/1ta
Gb. 2.3
Lawannya sifat kenyal ialah -Z,rattanah liat lunak umpamanya. Padasesuatu saat besarnya beban yang
Deformasi lentur seperti padacb. 2.2 boleh dilukiskan menurutGb. 2.3b. Dua tampang berjarak dxberputar sudut satu sama lain se-besar [email protected] kedua deformasi ini sudutantara tampang dan bidang tepitetap tak berubah, jadi tak adaperubahan sudut.Deformasi seperti terlukis padacb. 2.3c disebabkan karena duatampang yang sejajar bergeser satuterhadap yang lain.Meskipun kedua tampang tadi tetapsejajar, namun sekarang terdapatperubahan sudut antara tampang danbidang-tepi, yaitu sebesar d7.Deformasi demikian ditimbulkanoleh gaya geser atau gaya lintang.
atau plastis, seperti terdapat padabahan yang liat meskipun mulai daribekerja tidak berubah (bertambah)
2.3 SIFAI KENYAL, SEBANDING
Selama deformasi yang disebabkan oleh beban tidak melampaui batas, makamenurut percobaan, deformasi bahan konstruksi seperti baja, lenyap samasekali setelah bebannya dihapuskan. Bentuk bend,a kembali seperti sedia-kala. Sifat demikian disebut, kengaT sempurna. Di sini deformasi ber-banding lurus dengan besarnya beban, sehingga ada hubungan yang tertentuatau tetap antara besarnya deformasi dan besarnya beban penyebabdeformasi. Sebagai umpama, kita sebut d(dx), d@ dan d7 pada Gb. 2.3masing-masing berbanding lurus dengan beban P yang menimbulkannya.
Hitungan tegangan didasa.rkan atas anggapan adanya sifat kenqaT sempurnadan perbandingan bahan bangunan. Kekenyalan yang antara lain menentukanperlawanan bahan terhadap deformasi itu dinyatakan dengan besaranyang disebut noduJus atau faktor kengaT (moduTe of eTasticitg) danlazim ditulis dengan lambang E.Di samping beberapa anggapan dasar tadi, pada bangunan teknik sipildianggap beban yang dipikulnya timbul dan lenyap secara perTahan-Lahanatau beransur-angsur (graduaTTg) r jadi tidak sekonyong-konyong atausekaligus; yaitu mulai dari niLai = O pada sesuatu waktu t1 sampaimencapai nilai penuh sebesar P pada waktu t2 r sehingga dapat tertulis:
t2p = f ap dengan arti t, , tri meskipun t, - t, kecil sekali, tetapi
t1
terbatas (tinite). Anggapan ini penting sekali di dalam hitunganpeker jaan.
:
t
I 22 SoEMoNO, TEGANGAN 1
--
EZNV9NVCSI NVC ISVY\IUOJ :'O
-6ue1as.ra1 dB66uetp e6nt 6ued 'ue{sndeqrp ueqaq P{Tlax 'uteTep eIJal6uo1o6:a1 uep fsparJogap e[zary ?nqasTp tut e[-ra; 'edu-resaq eures 6ued
e[.ra1 uE>{uETp[uaur e6n[ 'tsPuuog:ep lurele6uau 6up1eq nE?E >loTeq E{T1a>i6uepes zenT e{tery 6uo1o6ra1 TUT d ueqaq qafo ue>{TTSeqTp 6uezI e[.ray
's'u ftpefuau up>{TTsellrp 6uez{ e[.2a1 ueP d 9 = ertue1e.f,-E1er T€TTu e>1eur 'sn-rnT -I
ueTe[.raq de66uetp 6 ledures O -trep ueqaq edutpe[.ra1 e>1rg '(d EAp6 T1
-tadas .rns6up-irnsbue.raq E.reces TnqurTl e6nt n11 uauou q€qas) '0w ! = *n
T
ledep:ra1 'se1e Tp 'n'6un1rq6uau e.reo ue6uap 6o1eug 'Q qnetas nlreX,er{u6ue6ad 6uep1q relnuraur
"rr::::r+;l} :l#r"":rHHi;.L::lL:."#:}o TpTru.roq 'uel{BT-ueqel.zad e[:ta1aq ueqeq Eua.rE>[ ue)iqeqasTn { ]o1ryg
t'TeilrJou ede6 1e3ts.raq 6ue,{ 4 e,{e6 qaTo uP)tTTSeqTp 6uer( et.ze>i
n11ed ,g'u f
ueqeq r{aTo uE)tupTe[-Fp 6ue,{ et.reri qelurn[ lpec'rdP',d'c = 9P',d = oP
e[.ra1 up{UETEfuaru ueqaq e66utqas ,dp'c = gp:qne[as un.rn1 pdu6ue6ad >iT1T1 ',6p ue6uap
qpqueltaq TUT ueqaq lees eped 61 .d TeTTu.raq uPqaq'e.re1ue-1eesnlensas pped '(-rns6ue-:ns6ue.zaq e.recas TnquTl) 6 - qnued ez{uteltu
ledecuaur ledues Tou TETTuraq tPTnuI uPqaq e/{I{Eq de66ue1p e.du1n[ue1a5'de?e1 6uezl 1s:odo.rd .zo11EJ = c uebuap 'd'c = I
le6eqes sTTnlTp qaToq r1.ze-raq6ueI 6 er{u.resaq ue6uap sn.rnT 6utpueq.zaq I PIu.rPsaq 'se?p rp ue{re-rnrpr{ETa? llradeg'e[:e>1 ue{n>ieTaul d'n?T euere>t qaTo uep g qnetas un]n16 ede6 6ue6ad y;51I1 Z'Z 'q9 \eae T'Z'9, ur"Tep t1-redas upeppa>i PpPd
vrul) t'z
'ue6ulpueqasa{ uep
1edua1 ?pfTS sele ue{f,psPprp ue6unltq rur n)inq UIPTEp TC '1:lpuasJraluE>iTB.rnTp up>{E rur PreC 'uo4aq >{n1un undneu: e[eq >1n1un >lTeq t (ubTsep
olewTlTn Jo 1-lw'FT) 6ue.re>ias ueureI rp ue>ipun6rp 6ueu-rau uep TUT qaTaTau
IEfTS splp ue>{reseprp r{aToq e6nC qo>1o>1 ue6unltg '6ulpueqes uep 1e[ue>1r6e1 1ep11 €[eq'qe1ed lees eped Tpef 'qe1ed urnTaqas tpe[:41 6i:e^{
t (uayaoTd tburpTeyh) rawnTaur nPle qafalau lnqesTp uep '1eTT lEfrsreqe6n[ 'sE?pq rnedurelaur 6ued 6ue[ued ueqeqn;od lurele6uaur qelalas e[eB
'up>[Insputp qeu:ad ]tpp-51 nl>1p.ri\ -ro?{elTTdTs >lTu>Ial ueun6ueq eped qo>1o{ nele ue6ue6a1 ue6unlrq ureTep Tp 'TpEf
'de1a1 6uetr teltu ledecueurueqaq qETalas TspulroJap ez{u:eseq sexe qn-re6uad.raq >tEpT? rTe>ias Pues
n1T n?{er\ -ro1{pl: eu.rnduas 1edue1 6ue.,{ ueqeq eped ue>16uepes 'euendu:as1e11 6ueI ueqpq eped lseu.zoJap etru:eseq 1qn;e6uedueu n?{P/14 Jo?{PJ rpec
'ueqeq edu.zeseq ue6uap sn.rnT 6ulpueq.xaQ ryep11 tseu-.roJ:ep e,{ureseq uep 'sn-rouelu sn.ra1 6uns6uelreq qTsPrx rseur.roJap ',T6pT
v-t'z
= 6r'd f: r{eT
= ,-u'+ =u[.(," {)]' = ,un,ul: = oP./ = 'n = n
PT
: .Iesaqas
2.4-5
gara secara perfahan-lahan, kerja dalam ini dibebaskan (comes free)hingga bentuk batang kembali seperti sediakala, juga secara berang-sur-angsur pula. Jika beban ini bekerja sekonyong-konyong, umparmanyabeban seberat P jatuh pada balok AB yang membentang seperti cb.2.2,maka pada saat benda menyentuh ba1ok, bahan di dalamnya belum sempatmemberi perlawanan, sehingga balok melentur lebih besar daripada jikabeban bekerja berangsur-angsur. Kerja yang dijalankan olehnya jugamelebihi, dan i-ni harus dihasilkan oleh bahan balok. Setelah lenturanmaksimum tercapai, balok melentur ke atas, kemudian kembali ke bawah,dan seterusnya hingga kedudukan imbang tercapai; jadi balok bergetarbeberapa ka1i.Beban demikian bersifat dinamisr yang merupakan beban statis (sepertibeban mati atau tetap pada bangunan).Kerja yang dihasilkan oleh beban P yang bekerja berangsur-angrsur tadidapat dil-ukiskan dengan diagram kerja (Gb. 2.4) .
Gb.2.4
Besarnya deformasi yang ditentukanoleh turunnya titik pegang beban(yaitu 6) dilukiskan sebagai absisdan besar beban sebagai ordinat.OIeh karena adanya kesebandinganhubungan antara kedua besaran ituterlukis oleh garis lurus OA. Kerjayang dijalankan ol-eh P sebesar1
i PD dapat terlihat sebagai luas2-bidang OAB.Apabila bahan tidak bersifat kengaTserta deformasi tidak sebandi-ngdengan beban, Iukisan menjadi se-perti Gb. 2.5.Setelah beban lenyap, bentuk bendatidak pulih kembali sehingga ter-jadr deformasi tetap, terlukisoleh OO'.Kerja yang ditimbulkan oleh bebanketika bekerja dilukiskan olehIuas OAB =
.Pg = J au = ./e,d6.
Di sini a i , fn,l ridak bersifatlurus. Ketika beban melenyap,kerja yang menjadi bebas terl-ukisoleh luas O'AB. Dengan demikian
luas oAo' melukiskan kerja yang ketinggalan yang berwujud deformasiketinggalan atau tetap. Di sini terLihat beban sebesar p1 < p menim-bulkan deformasi yang tidak sama yaitu 6, dan 6". Jadi, tidak adahubungan yang tetap antara besarnya beban dan besarnya deformasi.
2.5 TEGANGAN
Pada sebuah bidang seluas dF'-) a bekerja gaya sebesar dp(Gb. 2.6).
24 soEMoNo, TEGANGAN 1
Gb. 2.5
9ZNVCNVCS1 NVO ISVhIUOJ]O
'zol>[oA ue6uapue>{sr{nTTp qaToq e6n[ uB6ue6a1 ,ez{e6 e.duleq rl.zedas ,e^du1nfueTas
'lrwc7S41 = trl = tol = gue6ue6a11
:r{eTET edursuaurtp e66urqas , JP ue6ue6e1 ,rsturg:ap lnrnue6' ue{r{eToqredrp 6ue.d e>i6ue
Tr{TqaTeu >{ppTl 'ue6un1tq lnxnuau ledep.ra1 6uez{ urnurts>1eur ue6ue6a1 qe1-ede ue111eq.rad E1T>['upunbueq ueqo{o{a{ 6unlrq6uau upTpp rp uer>{Turep
ue6uaq . (.resa6 uep ue>{e1 ,>iT.;re1 ue6ue6a1 teua6uaur) ue>yqaToqtadypbue6 uebuebal lnqasTp ueupuea>i-.ro?)ipl: ue6uep T6pqTp qeled ue6ue6e;
'ueun6ueq upr-leq eped ueleu{eqequau: 6uer{ uebue6aledurpe [.ra1 ueut>1Euruuar rnr{E1a6uaur {n1un ue>ipns>{plurp ueun6ueq
uer{o>to>ta{ ue6unXlg . tase6-qo4o{ nele .zase6 depeq.ral qeled qo{oluep upya? qo7o4 nplp ueuE>1a1 depeq.ral qeled qo>to>t ,4Tte1-qoyory.np?E4yrel-Tewlou ue6ue6a1 depeq.:a1 qeled-qo>to>i qpTT?sr epe TpEt
. qeqed-qo4o4 nele qr.p?pd uebuebe+ ue>{pueutp ue6ue6a1 ,TnedureTTp qeled ue>1
-qeqadueu 6uez{ ue6ue6a1 seleq eTTB 'sEleq tnedurelaur uE{Tnqurrllp 6uetrue6ue6a1 T1-rp-raq TUJ 'tnedurellp rseuLroJap ue/v\erau uendureure>1 elrqede
'qe1ed rpe[uaur ppueg .uebuebaq
TnqurTl ueqEq ureTep rp ,rsplxJoJepdepeq-re1 ueup&eT.rad 1eqr1e re6eq-as emqpq 'lnqestp qeIal sE?e TO
ue1n16ues-.zaq 6ued resa6-ede6 epuel ue6uap
ue>tTPnsasTp, >inlun - nplE + epueJ,' (TEu].Iou) ue4a? uebuebeT neqe
fT7ebau Tewzou uebueba1 lnqastp e.du
-6ueptq a1 n[nueu.r ezluqe"re e1t[ 'edu-{TTeqas' (Teuuou) 4-!te7 uebuebal
lnqasrp uep 'ue1n16ues-zaq 6uez{6ueptq ue11e66utuaur er{uqe-re e1t IEy7tsod lnqasrp Tplilrou ue6ue6a6dp
I'Z -q0
JP
=o
' (6uEprq urETEp rp)
(6uEprq sn.rn11e6a11
taseb uebuebal ?nqesTp SueX .$$
Tewrou uebuebay ?nqasrp 6ue.tr dP
:ledepueu p1T>t upr{ruap ue6uaq'ue1n16ues.zaq 6ued 6ueptq urpTep rp {E?eT.ra1 6ue.d
D UTS dp = 6p uauoduro>1 uep ,6ueprq Teuuou st.ze6 ln.rnuau D soc dp = Npuauodruo>1 ureTpp ue{rpf,nTp 4p e[eb eduesetg '6p ede6 qe.re ue6uap Eures
eztuqe.re buetr gp/Ap = d .resoqes ue6ue6e1 Epp n1T ledrua? Tp ue>ip1e>l E?I,I
9'Z
3 TEGANGAN NORMAL
3.I TEGANGAN 'UIERAIA
Jika pada setiap titik pada sesuatu bidang bertegangan p = $fr a.a"p
sama besar serta searah, kita katakan bidang ini menahan teganganmerata. Oleh karena arah gaya elementer dP sejajar satu sama lain,maka resultannya terdapat sebagai jumlahnya, yaitu:P = J'dP = tr> Jar = pF, dengan g = J.uas bidang.
Jadi jusa boleh ditulis n = F . =IKita dapat mengatakan bahwa gaya-luar sebesar P yang bekerja padabidang seluas r ini, melimpatrkan akibatnya pada bidang secara terbagirata sehingga pada bidang ini tirnbul tegangan merata sebesar p = ! .F.Dan pada khususnya, jika P bekerja tegaklurus bidang, tegangan yangditimbulkannya menjadi tegangan-nonnal dan tertulis o.
Po=FKita mengadakan susunan koordinat X-Y.Gaya P membentuk sudut a dengan garis normal bidang F.
u* = Jdr cos d.y = p coe o/yar = 3 .o" o.fyar = p.yo cos c
cr.x = p co.s c/xdr = | "o" aJxdr - p.xo cos o
ordinat titik-berat bidang.Jxdr*o = =il = absis titik-berat
bidang.
Gb. 3.1
26
Ini berarti, titik pegang gaya P
berirnpit dengan titik-berat bidangyaitu titik O. Jadi gaya yangbekerja melalui titik-berat bidangitu menimbulkan tegangan meratasebesar:
ffi atau i'Khus'us, apabila P bekerja tegak-lurus F, maka tegangannya menjaditegangan nozmal o.Penggunaaw Batang bersumbu lurrrsditarik (atau ditekan) dengan gaya
M=v
ro
.,[ae cos
Jyc =F
I!I
,\
\
1
LZ
giI
I
p1T)t uEPqocrad rJrPrPp Tp 'TuT uP6uap?Pdua1 g u:Ep V 6untn Pnpot TrEp qnE[
- o P/(ulEdep:a1 qsges '1ede1 6ue,:n:1
' fsueruppreg >JepTf 6ueIueqeqruad lrqasTp TUT 3 u?rEegg
-lvwuoN Nv9NV93l-
6trnqnq:ag ' renf pIp6 up6ue6addn:gnc 6ueI leduaf-?pdual eped
r{TsErr e,{u1n1aqas sEle TP TTSEH
1p;rpseds nP?E JffPfeJ 6uefued
t't'q$epea{ 1a'i+oT=T o?.
= ?v
UE
qaToq sElE Tp silunJ uep 6ueaeq
uPTep rp d = o ({TrEuau TuTs TP)d
Tpu[rou ue6ue6aX ue{Tnc[ulTueu E>[€u,sTrauas e[:a:1aq de66ue1p d sue:Px
'up6ue6a1 ue6uap Tsueup1)es
,TpPr '( uc 6>rl = |-.3 ' {l = tal iz- LTv dJ
;t4-g3&Lle6eqas TeuatTp 6upI ,,=ff = ,O,
: snunur "E6ff5p iil
-sptnTTp ledep TUT sP?P 1p Xedepua6'g 6ue+eq rreqeq 1er{ua1 snTnpou ue6uap
_ {Tfeqra+ 6uTpueqreq :ue{P?E)t Plpt qaToct eleu '1eIua:1 snfnpou = f,r,rp:Eseq TE{Elrplr E1p{ P{Tt ,6u€1eq ueqeq 1etrua1-1e;1s eped 6un?ue6:al, (p
'g 6uedrel sEnT ue6uap ,tTTeqzal 6uTpupq:as (c'0,6 ,pTnuas Euslcq 6uefued ue6uap sn:nf 6ulpueq:ag (q
.({TrEl) 6 er{e6 resaq ue6uep snJnf 6u1pu=q:ag (e: (sE1Pq
naenaas :e65ue1eu {ea prlreTas) ledep:a1 n?T 69 rpsaqes (uE6r,tpgupd:ad
TuTs Tp) 6uefued ueqeqn:ad 'eue1-e@arad 6ueI a)poH ueeqoc:ad ?n:nua]l' (E'e 'cp) d :rEaqas
up1en{a{ r:e6uap srr?uas erecos >11.re11p 6ue,{ (sT?ErrsTrd 6ueXeq; delaag 6uedue1 senl ue6uap 7 6uefuradas sn:nT 6ue?eq t6e1 1:efeladua E[!x
rxooH wnrnH z't,
'sfr?uas fEuaou e6r6 lnqasTp upT{Tuap er(pC '16 e[:a1r{Erp TlmtT6uau ue:[aueu nE?E rTireuau) g = s r;Ebqa6 Rlerar rsurrou
ue6ue6at Tncgu1? ,:toTBq 6trnCn Hrpa)tlrep qnef dn>1ro 6uetr g senl ue6uep
6ue:eqas 6updruB+ n?enses EpEd. (uTeT EurPs
nles 6ue1eq 6ueduel leraq. {T1T?ue:16tmqnq6uau 6uetr s1.re6 nEXe)
erlunqurs in:nuau e[:a1aq 6ue,{ 6
z- l't
z't'q9
3.2-3-4
ambil bagian tengah batang yang ujungnya Eiberi tanda. panjang antarakedua tanda ini sepanjang s, dinamakan panjang ukur percobaan,
^s oc=/l" -d E
Besaran EF yang berdimensi tkgl disebut faktor perLawanan terhadapperubahan panjang. Ol-eh karena yang penting ialah besaran e, panjangs tidak mempengaruhi (tetapi makin panjang s makin panjang As puladan makin seksama pembacaan As.Di bawah ini diberikan daftar nilai E(kg cm-2) untuk beberapa bahan:
Nilai E beberapa bahan bangunan, dalam kg cm-2
Baj a Besi tuang Tembaga Kuningan Brons Kayu Beton
2 ,10. lO6 I,r.106 rr2.1O66
IO- 8,5.10s 10' 1 ,4.I0 s
3.3 KOREKSI
Sebetulnya beban P bekerja secara berangsur-angsuri
11 = - kali, dengan angsuran sebesar dP tiap fcafi (IPanjang batang semula = Lo.P;;;-";";"rr-"" pertama, menjadi u" * $i l" = n,"(t
Pada "angsuran" kedua, menjadi .Q,r(, - #r) = .t.(1 *Pada akhirnya, setelah "angsuran" ke-n, menjadi:
/ D \n tt ,r t*l--rl l= I.c, = r"(r * #)"= s.[(r . k)=]*= ro.eff= e..uE= ro.""
e = bilangan Napier = 2,7Lg2g182g459.... dan. = f,hanya bilanganpembantu saja, jadi buka" * .
Akan tetapi di dalam praktek selalu rumus Hooke yang biasa digunakan;g" = !,o(t + e1 = .0" (r .+ il. = -in (r+.i-rr.)
^- - t /r'\{
3.4 DIAGRAM PERUBAHAN PANJANG ATAU DIAGRAM O . € UNTUK
BAJA (G8.3.4)
Hasil pengukuran pada percobaan menurut Gb. 2.3 sampai patahnya batang,dilukiskan seperti cb.3.4, yaitu e sebagai absis dan o sebagai ordi-nat (diagram o - t:). Bagian pertama, garis oA berjalan lurus menun-jukkan bahwa e betul berbanding lurus dengan o atau sesuai denganhukum Hooke.Ordinat titik a me.lukiskan batas proporsi yaitu o yang bernilai lebihkurang 22Oa kg cm-'. Mulai dari A, bertambahnya e lebih cepat daripadaberstambahnya o; mul-ai dari B perpanjangan berlangsung terus meskipuno tak bertambah, baja mulai meTeleh. Kemudian tegangan bertambahsampai titik C dan turun lagi hingga batang menjadi patah (titik D).
2A SOEMONO, TEGANGAN 1
anggaplahdP\= F-* o/'
p\* "EFi
= Lr'P\2
-tnEF /
6Z-lVnUON NV9NV93t_
I't'99 'uEun6ueqe^uqo>1o>{ reua6ueu uEure 6ueI
lntunlad r-raqueu el:os eledu 6uedTTSeq rlelapuaur dn>1nc n1t uede66ue1n-rnuou ue6unlrq fTsPq e66urq 'ue
-eqoc:ed TTseq-ITspq sple ue{resep-.roq u€{n1uo1Tp TUT g TETTU uPp
:se1eq nlensas qeivlpq Tp o PurETasde1a1 g LIeTo-qeloes 1pe[ 'n>{eT
-req e1ooH un{ng de66uerp ezlueselq'ueQun11q ue{qepnuaw Inlun tdplaJ,
o = o eped ledua>{-snTnpo, =t="(;E)
'n11 o eped
e1ef,-EleJ 1ez{ue1-snTnpour lebeqas uP{rlreTp qaToq E = '6 61 ue.resag 'o r '
.o TpTru nlpns {n1un 3 - o rle:6etp eped (0 6+) 6un66ursstrp6 sue6uel T+rpraq ruT pnqpq ledep:a1 g:g 'qg eppd 'n{ETraq {epTfa{oog un>{nq nele 'e.r{uTBSTlu delal 1e1 6ueI '(o) :s6ung: le6eqas ff, = "
:re6eqes rsrurJap TraqTp rur p{pur ,nlT ueqeq )tn1un leIue>1snTnpou TlJp ue)tepe6ueu npu B1T)t e{T1' '(>tT:e+ ue6ue6a1 ueqEuau ndueu
1e1 6uer{ :e1a6 ueqeq nlpq 'uo1eq) ue{auau IEJTSJoq o elueserq uep,6un16ua1 s1:e6 edn:aq 3 - o ue:6e1p ledeprel upqpq ueledueqa{ eppd
'deqaq TBTTU-raq g Tlref,aq ,sn:n1 uelef:aq 3 = o rxe.r6e1p e11f
'3g - = 3 rlElP E = = fTsel{ o
(snunr
'TsIPJluo>{edueq 1de1a1 'qe1ed urnTaqos I{aTaTau ueqeq e6n[ 'Tppl uesT{nT ue6uap
6o1eue 6ue,{ urB:6ezp ledeprol 'ueue{o1 lpe[uau {TTeqTp >11:e1-e.{e6 nr{Tc
ue6ue6e1 np?e qara 7aw ueaueoa? ?nqosrp s ueuer'{i"3l1i;t:Iilz'r^'r=liJ:;. (1s:odo-rd seleq > 1edue1 sPfeq) .resaq Eules PrT{-erT)t
TETTU rer{unduatu eduenpal euaf,E{, upI>[npE--rnduecyp TUT up-resaq Pnpa{
11e16u1res 'ys.zdozd seqeq ue6uapBpaq.raq 7efiue4 sefeq tmd11sa6
'?nqesJal Ts)tEf 1uo>t
uelleqeEuau Trqurps, f fOeC-TTSpr{
1n-rnuau TTqurETp qeled ue6ue6a1.resaq ,EIuurrzeT 1de1a5 '(f 'g 'q9
eped ,d ?er{TI) qeled unTaqas6uedruBl uP1rca{xad n11e.d '1s
-{erXuo)t rpe[ra1 qeled 4edue1 epe6'o {T1T1 +PuTpjro
r{aTo up>tsT{nTTp qeled-ue6ue6e1 lpeg
9-?'t
ledeprel g'g lesed uETpp ro
xvotl 3 - o) wvucvlo 9'e
,'t'q0
3.5
Bebetapa cantoha) Kita akan membandingkan hasil hitungan menurut rumus Hooke dan
rumus l, = l,oe"; di sini e hanya berarti $ l"ut bukan perubahan panjang
relatif menurut rumus Hooke.
E = 2,10.1010 kg cm-2 i o = i = rUOO kg *-'Dengan rumus Hooke . = $ = 0,0007 i L = .Q,o (1 + e) = 110007 [o
et =ao'ooo7 x 1rooo7.
b) Dua batang AC dan BC sepertL Gb. 3.6 diberi beban vertikal.Masing-masing batang menahan gaya normal tarik | "..o="=
cr dan dengan
demikian memanjang relatif, . = L = I . P :EF 2' EFsin2aCAr= CB'= As.gg,= -cA- = t" = l-3 .. ".S].nq S]-nO 2EFsin"AA ^, C'A r es cotg Acr
AAr (I + e)s
= ;--=- cotg d = e cotg aI+eBiasanya e < 01001 jadi Act < 0,001cotg o boleh diabaikan.Kejadian khusus: batang AC danbatang BC saling membentuk garislurus mendatar, sedang C dibebaniP (Gb. 3.6).Ini mengakibatkan terbentuknyasudut Acr antara batang dan garisdatar.
Gaya batang:-- P - P
-sinAa 2:'gLa'Gb. 3.6a
s =[secAo=l= l. +A,[
.I
A[=s-9"=1-9-2
ts3Aa=Ph-,r--lurus dengan P.
*n(t *!w'l".)
tg2Aa = P+ rr tg Aq
g tgAo = e. f[4 yans berarti tidak berbandins
Gb. 3.6
c) Beberapa batang prismatis dengan luas tampang berbeda-beda serta E,menahan satu gaya normal tunggal yang sentris (Gb. 3.7).
Gb. 3.7
30 SOEMONO, TEGANGAN 1
POr = i- i EI =
Por={i €z=-2
o1
Er
o2
E2
tg2Aa
TT
I
o,{g
-=ADd
s-o
.IVWUON NVCNV9]1
6't'q3I
'do z q ^d ' T '7.
.rd)."^/!)\r/e \d/
= (r{v) p
.T
do ,q.{(f,) =,lq/':.r(-qg:,{
O qe/Ylpq 1p z{ qnetas buedurel senT-d'uelrpqeTp ppuaq lp.rag .0 JT1>[TJ
->lecund tT1T1 {elaT nTnp ue{n1uatr'd - sTf,luos uPqa8
'q - Epuaq r66ur1 , Pg se1€ EueprqsenT , qJ - qeaaeq nele sele 6uep-rq
sPnT .srr?auTs >Je6a1 ,6uo1od.re1?ncnra>{ nelp seuTT {nluaq.raq epuag
(c'e 'ee) unrvurr vuvf,ts Hvgnu3g cNvdwvl svn.t [e
X3 3= 7V
.€?eg =ErvF
, 11 t^ ._ = 5ro+td +rd)
''"6', =''6v
Z-L---!- =
z9
{zd +ta1
' 'T "
=ttrvT*
= T3 l-,9= T9
'iIT.rTpuas lP.reg
t,{o
rrto6al
Eo
(ta
z-Jl. 75
?-o
T_, tl1.T
ue>[rPqpTp
stulNts vANvnwlstdvllt (e'e'ee) dvttl xvotr eNvdwvl svnl NVo VAVo 9.8
'efes uele>lapuadfeJTs.req eXueq sele Tp ue6unlrq ln.rnuau TTSeH .e,(uu1e1 e1 6ue1eq nles
ueq11e:ed 6un[n eped 1n1eq 1eda1 {epTl e6nt lpet 6ue1eq 6un[n rrep(6un[n Eueprq eped :esaq.ral -xeqe1 qne[as 6ue.zn>1 qTqaT) qnef dn>1nc
6ued 6uBdurel eped Tnlaq er(ueq rur ,eu{uurnlaqes lnqasrp r{ETal rl.radag'plerau de1e1 ueunsns qnrnTos rp ue6ue6a1 uel6equred de66ueTp TuTS TC
.73 C- t?t. +'.6's + 1.dTg = e?V + z.6V + T?V= "dV
t- e - tlF-,rlI ._ = -3 ! -
= "Otod
8't'q9
rrl
-n
L-9-9'e
3.7-8-9
Ah=D)d(ah) = #vn
D
i'+uoYaY
r"ya i'
(serau *=t€
{ffiGb. 3.10
3.8 GAYA BERUBAH BESARNYA SECARA TERATUR, LUAS TA'IAPANG TETAP
Sebagai contoh, benda prisma ber-diri sebagai akibat beratnyasendiri = G. Tampang sejauh y dibawah bidang atas menahan gaya
tekan sebesar n = #".PGo=F-=Ff,-v.
d6h) =9dy=
h . I - lGAh= f d(Ah) = #E tv dv = ; #-h. Dapat dirafsirkan sebagai barang6-'o
sepanjang h ditekan dengan gaya G di tengahnya (titik beratnya).
-rlv
fo,
q_EFh
3.9 LUAS TA'YTPANG DAN GAYA BERUBAH SECARA TERATUR
sebagai contoh, benda seperti Gb. 3.1r berdiri sebagai akibat berat-nya sendiri = G. 'Jika benda diperbesar sampai titik o, beratnyamenjadi Go.
^33tbo - b, I Go = Ya . yb.
3v_
Gr= Go- G = t Co berarti berat tambahan benda.v
Berat bagian benda di atas tampang F terdapat:333
n = L Go - G, = LG" - +"o = *tv, - vjl.Y5 yb yb y;
^2F:Fo=yzryu
Go/t" r" ('
PA=-=F
v2i F=toF
I :\ o- 7 "^), t = ;-
32 soEMorlo, TEGANGAN 1
; d(Ah) - edy.
EE
" ,Eg
(-) z? -.,rtl- = (-) 'T
(+) '"6
,Eg= s
JS
-=V
exy qne[as )tapueuaur
TTV r{nPtas 6ueCueueur
.lVWHON NV9NV93J.
uer6eg
ue16eg
sc
,:
'qeqnf,aq 1e1 de1a1 "d = €V 1e:e[ upp d = 61 * V6uepas g -rpseqas e,{e6 qelo up{apa1 93 uetEeq upp v .resaqes e^f,e6
qaTo {Tf,ega1 OV ue16eg aS Tp uep V 1p eXuue6uebad Ts{ea.r qe>lederag'V r{pneq Tp rt qne[as 3 rp 6ue6ad:aq 6ue.6 p^f,e6 ue6uap sr.rluas upqaqTf,eqTp ,g upp V pfiu6un[n enpa>{ eped 6ue6ad1p 6ued EueXeq (Zf't .59)
'qo?uoc le6eqag 'Tseur;oJap ue6unlrq up{nTrauau n1ualra1 {p4 sr1pls TeoS
nlNllurl )rvl s[vrs lvos o]'e
...q.tg z--5- =
'9 uep r{ , q,{ , rg uelep ueleler{u;p +edep 1lseq lpet
qV JO = eJ snsil{)I
oar{ - o.{/, _::Jr _:J' , =
qr{
h/
/qd\",
*!i.,A. ') o,{sz q-(qd + q^tr(
+ '^) q----zz.dac:UV - :E:-q-;E;-- q* - -1v
g=*5=og,It
qr{ - ,q^ \ - .og -----!-- = "CIF - fl = t9 - og = 9
(,{-'x)\Il 't t
(:$. fr] + r)u'# =
I
qxE
Qor-ox'x*]x)
(tlz - q^n^
+ ox) (ort - tr{)ZZ
(q,{ + oo:o, - In.,
,"{u";'z
r ['t 'q9
qJ
'^["x j + x!l c^Le I z TJ
i.'^
^n(loi-^),{
q^qdg
-=
og
qAqJg
-=5- = qv
ox, (q - ox) = \.1, U = Q,{, oI rq - qx =P^,r
(# t/..)Z
"I - 9x(-^Z-'^d'tr1"tr;.d9
a
(qr{+qxttrattr;q ,7 Z
q.[ o,{gz7._qog
lx-]ssz _":)
0 l,-6't
3.10
Gb. 3.12
A
F
A.Q,. + AL, = o
Alr = (P - A) S2.
9., P[, P[,A = P \q= -[-t B = J-Jika arah kerja bahan diputar 90o(jadi tegaklurus AB), menuruthrtungan statika terdapat:
P[, _ PlrA- z danB=_j.!. 9.
Hasil- ini sama dengan hasil di atas(A dan B sendi). Soal diperluashingga menjadi balok AB = .[ denganEF tetap bersendi di A dan di B,dibebani dengan beberapa gaya seper-ti terlukis pada Gb. 3.12a.
Gb.3.12a
Jarak dari titik pegang gaya sampai A di sebut a dan sampai B disebutb, disertai nomer petunjuk (index) yang seurut (jadi ar dan b. untukP, dan seterusnya). tiap gaya diuraikan ke dalam komponen vertikal Vdan mendatar H, juga dengan index yang selaras (P. menjadi Vr dan H,dan seterusnya). Reaksi tumpu A dan B juga diuraikan ke dalam kompo-nen-vertikal dan mendatar (Vu; H.; Vo; Ho) dengan persetujuan:V", Vt ke atas positif, H., Ho ke kanan positif.Dengan menggunakan hasil di atas terdapat:
v"=|{vrb,*vrbr*Vrb,
uo=|tur"r*Vra2+v3a3
Hu = !{H.b, - Hr.b, -' H4b4)
,o=|t".ar-H3a3-Hnan)
Kejadian statis tak tertentu juga terdapat pada gabungan beberapabatang. Sebagai contoh, dua batang sama panjangr (l) tetapi dari bahanserta luas tampang yang berlainan, bersama-sama memikul satu beban P.
34 soEMoNo, TEGANGAIi 1
- vobn) = )W, u beban positif ke bawah.
- vnan) = rG= zFb, H beban
L
-.Huog.
positif ke kiri.
9e
(tt" +rn)zd *t.ta)
,(t.tu +1en +zn1 ra)
, t,.{g-O=.7UEp
tt
-IV]^IUON NVCNVDfT
t't z+: = v -ud +'d = s t
cn 4zn *In=V
n3
-=
Q=
T t.,'d + 1€n 4z-- I
z -jIE .r AS "fI =
-
!'ft =
- 'T 'x''f", tu - o, +
T
'.) td
qPTup{eueN
t.Eg
t'd (v - ta + ta)tJE
v
ztrv + rxv
g-=€'dV
o = €'dV+
t,{g t,trg
Etr(v -
'*,1,'u -""6
(ert'e 'qg)
-J=-
zd -'d) 'Tr
v) =zTy,-fgv+=rTV ttU
e,ure1:ed TPos uesenT.red (?TedS qoluoC
.6u1seu-6uTseur (gg) 6ue[ued-ueqeqn.rad depeq.:a1 ueueatelradrol{BJ ue6uap sn-rnr 6ulpueqzaq exe3as n{erreq upqeq uel6equad lpeg
'TToe{.ro1 6upr{ o r{TTrurau .e1TX'(zo_ ,Ig) uE{qeTog.redlp 6uez{ zo uep To e>{T[ "ta'6 ue>1nlueueu,{nXun.rul
. z_''o('r *ta *) = to
lE/tg ,'E = zo :
'g. rg z
-=_ nP?e -3=" o to
'dtg +-,{'E -----;---;-- t,.{ t E
(t, * +t.r) = '''o +'Eto =
zd. +td = d
To
13 tl't'qo
Z-d.
, tJtg +'J'E . _ r- --ft" o = ct
('d'g + t.trtg) , TJTE = d , 'd
',tr'g.r ',trtg=td r td
. 'rt = -rt"
'dE'z3 = T3 ne?e 'Tv ='xv
'J.'g. z rJrf, r ---= "d UPD
-=
-'x
T'a TTd v
'eu{u>1e.,{ueq purPS
'd = zd 1 16 6uepes zd enpeT 6ue.[ uep T6
'uebuebaq seqeq n11 6ue1eq
6uefueueur 6ue1eq pnpax
Tn{Tureur euel:red 6ue?egEnpaT TuPqaqTp unleqas
0 t't
3.10
Gb.3.14a
Gb. 3.14b
- ErF.a. + E3F3bx=
b) Tiga batang yang sama luastampangnya, memikul satu beban p(cb. 3.74b). Bandingkan contohsoal b) pada pasal 3.5.Batang AD dan BD masing-masingmemikul S, (sebab simetris) danbatang CD memikul S.2 S, cos cr * S = P
S.s,A"r=tr+=DA'=DBlc
A"=;F-; s=DDl
Titik D tetap menjadi titik tunggalketiga batang dan oleh karena ke-adaan simetris, bergerak secaravertj-kal dan jatuh di D', sehinggaDD' = AS, sec d = As.
S, SSJadi J s- sec oEE .'- '=;p' sedang
S = P - 25. cos q dan s] = s sec &;
zSrsecd=P -25, cos (x.
p cos2q= _____-__________ i
L + 2 cos-cr""a'o *
-
P
I + 2.o='o
c) Tiga batang sejajar satu samalain dengan P eksentris (cb. 3.74c).Tentukan dulu letak garis-berat rpada jumlah besaran EF batang.Jarak antara r dan batang No. 2 = x.- ErFla + E:F:b -= (ErFr + ErF, + E:F:)x
= x 2EF.
P (li.hat pasal 3.9) .
a="l
$=
2 cosa
dapat diketahui.2EF
Keadaan ini dapat diganti dengan P yang bekerja menurut garis r atausentris disertai momen = P (u + x) yang berputar ke kiri.Akibat P sentr-zsKetiga batang memanjang sama.
eo qo o
Ar: =A!.: =A0"r=\-l = i2= u =F!, sedans si+ sl+sf = p.E,Fr, ErFz 3 lo E,F, o ErFa
^s, =156P; s, =5ffiP; S, =
Sebagai akibatnya panjang batang
36 SOEMONO, TEGANGAN 1
dr,)oo(.r)
N
menjadi masing-maqing [''.
-IVtAUON NVDNVS:II
.7V = lnequ€6u€[u€df,ed + -rapuTTrs ue>(apuad.rad 'ct = €^u.rpsaq €ups rur Er(e6 enpa)
'6uefueuau uEp >tT.r81 ueqeuou lneq rs{ea: 're6eqes etrultleqas uep ueuE{a1upqeuau 6unqe1 e66u1qes {apuaulau 6unqe1 pua.uP}i ue>{qpqasrp ut>16unur
Tur .rnu up{p-rag 'utc s o3t = ,O unrnl up{p 'on .zelnd.req .rnu p>tT1'
enlr Epuaq enpe{ qeTo ueqelTp 6upI ue6ue6a1 qe>1ede.req on :e1nd1p :nuE)tTf '"g - er(u1etrua1 snTnpou upp =J I{ETEp€ 6uoso>1 .rapurTrs {nlueq
-:aq 6ued 6unqe1 6updueued senT 'qg - er(uledue>1-snlnpou uep qg = lneq
bueprq senl 'uc s 6uefuedas 4e.ra6raq .rnu '(tZ) o09t de{6ua1 ue:eXndde11 eped rxreJaq TUT '(urc) s qpTepe rnlu lneq eped -rt1n 1e.re[ nele
paadg pnds 'ue6ue6a1 spqaq Bf,e3as ue6un66ursreq 6u11ES nelP ,1eda1,p.recas Br{u.znur uep lneq-e1eda>1 e.rEluP Tp uP)t>lPlaTTp "d 6uB[uedas 6unqe;
(P?T't 'qg) -rnru uEue{a$ (P
==+=*:=-6bt xv ,7v ;7vTue1etlp 6ue.d lnpns ue.relnd
fs ue>pedepuour n1T qepnsas
{(x-Q)d+xP+1x+e1 }Ts(x - q)ir - *tr * 1x + e1 fs
(x + n)4 = trr1 = (jr sr.re6 nele) e ,tTTTx depeqral uawow Z
LE
:qPTeT V epueq qoro
'lsd - = ls uep lso =
'Tg ue>lledepueru 6ued (x + n)d =
(x + n)d =
. (x+ p)
(x-q)
-q)X=E
(x+e):x
t,{- gTT- ,{E
= t?v ,I
. t.{tE
-Jg
= T"dv ,I
c->
I
'Tv I
= tsI
irv,?V
ctt't'q0 tsd - = ts
(x+e): (x
IgD = rs
ll
E _t.'(:Taeeaul 7
-+: =
,-z*z- 1 -r-
t? -d=d
= 'xV ,^6 '=o = t'dv.s r ts ,
't7y ueAuop rapuau"* ,!n.r=r1r.16sptr uep fTy U=Srrc1 6uetr ,t7y
4e,{ueqas 6ueluewew T.rTIra? 6ueiBg.f, Sr.re6 uep
er{use1e gdal e-re1ue g, 6uo1od >tT+Tar6ur111a6uau .relndfaq V Ppuaq 'W1EqTT" re6eqag 'sn-rnT de1a1 nele
.rnluaTau {e1 nlrBr{ 'e66u1qra? {e?nne>1 de66ueTp v 6unqnq6uad epuag
(x + n)d = N Lrailow ]eqTr{V
0 t'0
I
A
3.10-11
Gb. 3.14e
MUR
_ 49" o'o s-9"360L
e^= 5; e. = b (tnueks s untuk-s Il ' "h F-s "tsilinder dan b untuk baut)
O" oht"=E;--r-=EbE-E sb
P+ ;-; = e yang mendapatkan"l- u
P
E" F=
e. +
Gb. 3.14d
besarnya P. Dremudiln o" = fo,-) dan oo =
ft-t+le) Batang p"nggZrux (pTunger) d"idaLam siLinderJarak-kerja (stroke, sTag) = s.Pergesekan antara plunyer dansilinder ketika bergerak ke bawah= P, dan ketika bergerak ke atas=DHitunglah radius engkol (crank) rsupaya betul menghasilkan jarak-kerja s itu. Panjang batangplunyer = [, Iuas tampangnya = F.P, menimbulkan perpendekan At, =DI'r EFP, menimbulkan perpanjangan A[, =
0
-2 EFA.Q, = A.Q,r + A[, berhasrat mengurangijarak kerjal yang ditentukan olehked.udukan penggerak paling bar,,rah
dan paling atas. Ini disebabkankarena engkol berputar.Jadi2r=s+A!,ir= (s + AI,).
3.II AKIBAI PERUBAHAN DERAJAIPANAS ATAU SUHU
Seperti diketahui, batang akanberubah panjangnya jika suhunyaberubah.
Besarnya perubahan panjang ini (A,t) be-rbanding lurus dengan panjangbatang sendiri .Q,, derajat perulcahan panas (C") dan konstanta bahanyang disebut koefisien atas faktor perkembangan panjang, di sini ter-tulis ^y
Al, = t.^1 .L, sedang t > 0 pada kenaikan suhu.Jika sebagai akibat perubahan suhu ini batang dihalangi untuk meman-jang atau memendek, maka batang itu menahan gaya menekan atau menarik.
38 SOEMONO, TEGANGAN 1
L2
ozf,m
F
6E
'Pxusnro?es uEpup)tTrseq6ueur6ue.d O = ztv +.tV
, r, z_zt z_
6- 1'-r=-3
trtr) = '?ts =TIVT- z* T-
J =t -,1'I = 13 !J= z9 l-i= .oto,d-d
.d resaqes ede6 ue6uapurET eurps n?ps trE>{auau ppueq pnpax
'r1 1er(ueqes nqns ue>{Teua>t lurele6uausele 6ue1eg .ue6ue6e1 seqaq
6ue1eq Enpa1 nqns n+pnsas pped'(egt't '59) -rn[nquau 6uequral
-req 6ue1eq.ra1 6ued 6ue1eq enq (q
' luoblVVe =f,3=s Z-x
9T000,0 =t - ,3 = 3
9E0OO'0 = n_07'Zt T'08 = l'1V -,sOZOOOTO = { iuro ?,0 = s,w OZ =
.6
S
ue{nluaXrp 6ue:re1eg'._*, b>I ?LL = z_uc
6>{eOI'glt,Z'n_oT .Z,I .0t - E3 = oI -ruc6>i ^0I'gT,Z=g
oT'gT'Z = g., E_0T'z'1 = /' jc oot = t1 - .? J0 j-s r ,r=d*e1-q qe?uoc
'ue6ue6a1 ppe >iEpT1 e[es nquel s >-- ,?V E>{T1'
.s3= o!\-,t(I+-za) =T =3 s ,TV's - 7,t(T1 * z1) = s - ^dV =,?V
's < T,t"(t+ - t+) = ?V
'1dn>1nc-uau {epT? Tpel ue:e66uo1e1 e66u'rqas 166u11 n1r6aq n1T :1 e>1tt eduue6u-e6aT qe>1ede.raq ,-rn[nqureu r{pre e>[ >1e.za6-raq spqaq n1t 1ai de66uerp e>itg
'T r{eTepp 1a.r 6ue[ued 6uepas !+ l=A*=" >{reu nqns ,leBS nlensasEped 'uc T
s epe ja .Ur," eped 1a: 6uE1eq E-re1ue (6eo^) ue.re66uo1a; (E
qoluo3
=f,3=O!Z-3
.lvt lUON NVCNVS:II
e9['t'q0
. r - 7tJ'U 0l'-\d
^\J' 6ue1eqfr ,^A
*vJ;:7
-e*ffe@* r"
,o*-.',.-.-
'a>1ooi{ffiQ ln.znuau TUT 3 ue6uap sp.reTas 6ue,{ o ue6ue6a1upfep Tp r{pTTnqurTl ,16ue1eq-6ue1eq1p 6uefued ueqeqn.:ad e>11f
1,1,=T =3 "6V
'?1tr = TV:nqns ueqeqn:ad 01 lEgT)tp 6uefued ueqpgn.rad L
,
\,lr,
rntupn
t t'0
.?
r3.1 I
c) Tabung dengan baut-mur sepetti Gb. 3.14d'Pada sesuatu suhu letak kedua benda tepat (pas) sekafi satu sama fain'Jika suhu naik dengan to c, berapakah tegangan yang timbul ? Tabung
berkehendak memanjang tetapi terhalang oleh mur. Jadi tabung menahan
gaya-tekan dan baut menahan gaya-tarik, masing-masing sebesar P.
A[" = ysrr, - d% [; alr = y,bts *;ft[, A[= = Al.o.
Py.t-." =Yot+
Selanjutnya, or=
P
%\ , dan dengan ini P daPat dihitung.
DP
- (+); o.=i (-).rr tb
Jika kedua benda itu terdiri dari bahan yang sama, jadi Yo = Yu maka
p = 0 dan juga jika Y" < Yb Pada t > 0.Tegangan timbul karena ada perbedaan antara Y (atau A0) '
A?
A
Kemudian
AAri BBri
BBz = BBr. - Br.B, = \ rti, -'# =
AA2:BBz=a:b
(ffi - Yitll), (t,tt, - H,") =,
dapat dihitung o, = 3 i 62 ='l
tg { dan seterusnYa.
d) Kejadian seperti Gb. 3.75b.Ungkit AB yang kaku serta daPatberputar di titik O, pada ujung A
dan B masing-masing dipegang olehbatang AAo dan BBo. SetiaP batangini dipegang teguh pada ujungIawannya Ao dan Bo. Pada sesuatu.saat, batang ungkit AB berbaringmendatar. Bagaimanakah kedudukan-nya jika suhu pada seluruh susunanturun dengah toC, dan hitunglahtegangannya di dalam batang Peme-gang itu.Jika A dan B dibebaskan, ujung-ujung ini akan turun Yaitu:AA. = Y, t.0r; BB I = \ zEL z.Pada urnumnya /{A , I se r.Pra = Prb; P, = P,i
P. 1,.AA, = ArAz - ArA = ;;1i - Ylt.Q,r.
P.l.^a^t +o -
L "t2""2 E2Fzb
:b:P-terdapat.I-
Pr.E.,-2
e) Beton bertuTang (Gb. 3.75c)Tampang bangunan terdiri dari.beton dan baja yang bekerja bersama-
sama untuk memikul beban tunggal.
49 soeuotrio, TEGANGAN 1
Gb. 3.15b
TN
'T6PTue{e.rPcTqTp >tpf Tpe[ urET eurEsnlps up)tsndeqEueur TUT .rrq>tp.ra1
6uez{ uauodruoy .1-1 st:e6 .re[e[esuauodruo>1 upp I-I st.re6 sn-rnf
->1e6a1 uauodruol ueTep uelrprnTpnpo.rd - spd .:reseqas :nsun-eu{eg'1-1 ue6uolod sn.zn11e6a1 s1:e6
ln.rnuau ,sEJB uer6eq eped e[.ra1aq6ue.d. ueqeq uelTnsa: 6unlrq6ueur
uep I-f ueqpTaq uelepe6uau BITX'._ruc 6>1 d
r{ETEpp Tprpp.r upqoq uep o.r qeTE}6u1pu1p nquns snTpeu .6urpu1p
feqe? eped e1e: 16eq:a1 de66ue-Tp r-IaToq ee{e6 'ed1d uelep snrper
'lVNUON NV9NVCf-L
9r't'q0
o.rd=l o.ld =J.
ue6uap ue>16u1pueqTp TTca{ 1u; 6ulpuTp Tpqal p>tT[ uep ,6urpurp Tpqelsnzn11e6a1 e[:a1aq lersua6uel e,{eg . (6un66urs-sr:e6 ln.Tnuaur) TeTs
-uebue7-e6e6 lnqrurl etru6ulpurp ueTep Tp e{Eu ,e1e:au 6ue.d 1qe6ua1 {T?T1rnrprau ne?e snrpEr ln.rnueu qe.rEraq) Terper ueqeq uer{puplu edrd e{Tc
(gt'e 'se) stdu eNtoNtoulg vdtd zt'c
'qo (",{u + q,q)
= d.u
= (T _ u) Trqurerp rurs1p'n1ua1 {ppT1 6ued-ue6ue11q u eua.re{ r{aTo uep,T6ef uE>{r-lppmuaur {n1un
'oo".{(T-u) + qoe,{
= eor-".{ + oo1'a-qo) = =o=J + oo]a = a
cdC,'-d = 'J = oJ
,UO1eq o11au senT
.oo,r-3--==o,3=3"E''o 'o -o
'93 = "3 :Tpp[ ,6up[upd pups >{apuauaur dp66uerp u€qpq enpaXo
.tl"E
.uo1oq ue6ue6a1(o1n.rq)
6uedruel qn.rnTas 6updruel senl = qg
:e[eq 6uedurel sErrf = sg
ueqaq 1eXue1 snlnpour = qg
te[eq 1er{ua>1 snlnporu - sg:qeTTlsT ede:eqaq srTnueu e1r)
'e[ps e>looH u]n{nq sp?e ue>{les-epTp ue6un1'rq , up>{qepnueu >[n1unrde1a1 / (de1e1 6uezI g teAundureu
>{epT1 ) a}iooH wn1nq T1n>lT6uaul>tEpT1 uolaq undrlse6 .6.9 lesed
ue6uap 6o1eue tut e.dulnlaqes
zt-tt'0
- qp !e[eq 1p ue6up6a1 - "o
,J "
c9t't 'q0
3.12
Komponen pertama terdapat Sebesar pds cos o = pro cos cldq,.
*.Jadi K = 2I pro cos cxdo - 2 ?ro = 2Ti T
bagian pipa sepanjang I cm. rni diimbangi oreh gaya masing-masingsebesar separohnya, jadi pro yang bekerja ke bawah. Gaya sebesar proini beker3a sebagai gaga normal (di sini gaya tarik) pada d.indingpipa, dan jika tebal dinding ini = t, maka menurut anggapan di atas.di dalam dinding timbul tegangan normal sebesar:
TPf.--2O=:-=-:-J<gCmtturaian di atas berlaku pula jika arah p dari ruar ke dalam, Hanya sajasekarang timbur gaya-normal tekan pada dinding yang menimbul_kan tegang-an-tekan pula. Juga hasil tadi berlaku apabila dinding tidak membentuklingkaran lengkap (CU. 3.17).Pelajarilah bagian unsur DCE = As.trp = pAs = proAo berpegangan di c yang akan kita uraikan dalam kompo-nen T menurut CD dan CE, yang menurut lukisan terdapat:
0, maka
bahwa T terbagi rata,rad.ius dalam. Jika bdi dalam dinding (a <
= pro kg c^-2. Kita ambil
cukup seksama apabila ! cukup
= radius luar dan r = radiusr < b) maka rumus yang seksa-
Tt
Anggapan di atas,kecil, di mana a =pada sesuatu titikma ialah:
O=
Gb.3.17
42 SOEMONo, ?EGANGAN 1
#t!
1; PAS
^-z- .1san t A0
llo* \\=;i;/T = pro dan
.1sr-n t ^0
^' ( b2\
",; $ * 7/n
1.
(tegangan tarik) jika p bekerja di dalam pipasebagai tekdnan dan
b2 /- a2\o = --z \I +
-) p (tegangan
D-a' rtekan) jika p menekan dari luarpipa.Sudah jelas o maksimum terdapat ditepi-dalam dinding (mengisi r = a)_ pr^Ctan>-.t
Dengan mengisi t = b - a dan1r = 7(a + b) kita membandingkan
hasil menurut pendekatan di atasLadi, yaitu, = ? dengan hasi] terahir ini.
,
l-
tv..IVI^IUON
NVDNV9]1
:r{eTpr trofuauaTa Te6nJrrluas eAe6 e66urqas,BT.t .q3 1n-rnuau (p + q)+ = "u
"r{Tt + = 1e6n;r.r1uas-ue1edac.re4Z
- b '(rEe1T^e-r6- 5) . = pssEur re.dundr.uau sp d rsTas uerrpc .e.duueledace{ .4 uEp , SPAJ
pxusrua[ lereq ,4. ,1e-re6.raq 6ue.d up.rrpo'6uedue1 senT qpTppe pu 3 = A
'-rTTEEuaur {epTl edld urelep rp u=rTec E}tTI n1e1.raq ==*, -nt1ralp.r"6uerTec ehuttTebuaut ueqedacal legr>tv
'uo1 TT FJ 6)t ZV,A- rZ9.0T = S
'Z?'o = "r 3 61 tog, = op ,._- 6l of = .rrp-upue{a1 ur 00T = d
'urc ZS E op lurc Og = p edld urelep-.reguraT :uebueTyq qoluoC
op ! soc= T -o Z'
-T[6]rl
'S resaqas 6ulseur-6u1seur ,€O upp VO 1n-rnuaur ueuoduoluefpp e{ up{Terntp g, eXeg . (VA uep VS) edu6un[n enpa>1 eped 6ue6ad
-tp er(ueseTq ,ru1 >1o:16uaq uer6eq sedal e,{u>1r:re1.ra1 rJppurq6ueru {nlu0
.orslira='ofu*Zru,
ozT
9olqfd
1
"plT
'(irenTa{) on -l urs otdg =uTs (P -q) o.rd7 =
t,I-qJ = 1,
'"n I uTs euf,d7 = 'g,T
? = D soc spo.rdr."uiz = atr,
8r'E'qc
u1s qo:d ? - ppp soc
'6un1tqe1T{ JO s1:e6 ln.rnuau ueuoduro>1
uelTnsau 'CO T uauodruo>1 uep )O //uauodruo>1 luplpp uE)tTeJnTp 1u1 er{e6
-er{eg 'upTep a>1 rde1a1 elnd sp"rd7- g,p er(e6 'ureTEp ue16eq ueqETaq
eped uep .rpnT qE.rE a>1 sp"rd7 = 6pe,{p6 e[:re>1eq :en1 ue16eq uer{ETeq
eped 'se?B Tp ue6un11q lnrnuapedrd weTep yp ueyo>ybuag (q
'urc o'z TTgrue luc a9 '1 = _!!9- = ffio. +
f.'OOZ>--6;=O tz-uc6>1 71 =d
'w) gZ nTnp rTs1el e1r1 o.r iluc gz - urpTpp-snTpeu;e,{u6utpuTp Teqal qe>lederaq , ,_v) 6X OOZ - g ue{qaloq.red
-rp 6ued edrd ueqeq eped >11:e1-ue6ue6a1 p)tTf .uru OOg = Eala rafaureTp6uepes ' (u?e ZT) f,Tp lu 0ZT ueupltal ue6uep JTe ue{rn1e.[.ueru .r1e-ed1a (e
qoluocu6,0T - ppaq OZ,O =ia ,*r,9 epe Epaq OT,0 =; >in1un ,qoluoc -re6eqag
ZL'T,
r3.12
dTr =-2dsv
FY ;-'F; danz-VI2!'Y
- sl-n :sz
mt -t-
uo'
, !"oY-- / cos odo9o
,%zf dT'
p.rL-- tgIr'
rni menimbulkan s'= ---T-cos J 0o
cos o = 2F"(
ts * o" yang dapat disuperposisi-
S.umbu putar melalui titik tengahgelang 0 dan berdiri tegaklurusbidangnya. Tebal gelang t = b - a,Iebarnya diukur tegaklurus bidanggambar = 6; y = berat jenis bahan.
Masa erementer: u* - t'ds.'6'Y'
- 6't'Y'ds . caya sentririgar-s
kan pada pendapat di atas.Contoh biTangan: Ukuran pipa seperti di atas yang mengalirkan airsebanyak Q = 400 liter sek-] , sedang Ro = 150 cm; oo = 45o.
E = * n 0,50' *.' = o,Lg6m2i v = $ =2 m s"k'
Selanjutnyadiisi: Y = 1,9= 10m sek-2; arl"=O,42.Lapisan air setebal 1 m mempunyai isi = 196 dm3 dan berat 196 kg.
1lS = 0,196.1.10.0,42 t = 0,033 t (tak begitu besar).
.- c) Gelang berputar
elementer 2 z
dp = pds = dml= 6.t.y.v2 t-
o=6tv'.' cIr^ 2
T=pr^=6ty-[kg]-os
2ds9:to
Gb.3.18a
2Tv--1o=fu =Yi tkgcxn'l
d) Benda silinder pejal dengan rad.ius = R dimasukkan ke dalam gelangdengan radius dalam r ( Rr tebal t dan lebar 6.Sampai berapa Co-kah gelang harus dipanasi supaya dapat dimasuki bendasilinder itu?Ini tercapai apabila r memanjang sampai )- R.(1 + yt)r = R jika y = faktor perkembangan memanjang.Persamaan ini menghasilkan to (C).Kemudian berapakah tegangan tangensial di dalam gelang setelah suhukedua benda sama?
R- r _ /R- r\-E_L = t_ti..L-rw--r\rl
T = 6.6.t.Tekanan yang dilimpahkan kepada silinder oleh gelang ialah:
Toth=-=-E ro6 ro
44 SOEMONO, TEGANGAN 1
st..IVY!UON NV9NVDSI
."o! =
rX.,ouIu. L
P{Pu ' -* = oo e>{T[ ledep-rea pOZ'€'qD ln.rnueur uesT)tnT eped d'6uedtue1 uen66up6 ezluepe ledural Tp ledep-ra1 "{"o ,eduurnurn epe6
'(qoz't'qil(1 z + r\oo - ""'o - - \P - -t:1edep.za1 sdt11a {nluaq 6ueqn1 rnTETau 6ued Euedurel €ppd
e 0z'0 'q0
tttlrttti'3x
pr
'ooE = o'p9= x i(4! *{-+ z)oo 3 = or \p€ -p "/ -T
, :1edep-:a1 6ueqn1 qe6ua1 {T?Tx 1f,1"1"* 6r1ed 6uedurel EpEaI': = "o eleur ,,{ = Esprq ue16eq rp 6uedurel-spnT p)tTf .o >> p d
.ralaureTp ue6uap.repunq 6ueqn1 ue6uap 6ue1eq uplsrlinTaw te7Z-€ -q9'urpT-uTpT uEp uETrce>[]ad r6ueqnl lltades 6uoz{uo>i_6uoduo>ies
B.rEses ?eduaxas 6ueduel spnT upr{Eqn-rad qETET 6uedurel eped uen66ue3
eNvdwvl vovd NVnccNVe ,t.t
'uPInlualrpledep 6ue11 {n1uoq uer{rruap ue6ueq
IIIIIIIiI
oa'- - aog = J
-o d --e Li /,Io".{=C-t,ElO=tr
ooo=J,Ti=+ rT - ,{-?
'c'?+'Ii=r'r,._ori=#'dp,E,t = ,{po
'o(JP = .{) = trp'J,(. + o,{'o - dpla? upup{e4 qelurn[ ededns ue)ieqpsnrq .T]Tpuas ?Eraq
lpqT>{p le6eqas ueup>[a1 e6n[ ueqeualu ,eduqemeq 1p 6 qnetas 6ueclurelo-Jt
'(6T'€ 'q9) t =, rPsaqos PlP.rau ueue{a? uPqPuau 6uet1 sele 6uep1g
6r't'q0
tt-er'0
dvlrl vuv)rs cNv[ svlv lo NVNvx]I Nvlev8wld t]'t
3.ts
3.15 PERUBAHAN PANJANG KE ARAH MELTNTANG (KONTRAKSI)
Kita kembali J-agi pada batang yang ditarik sentris dengan gaya P.
Selain memanjang (ke arah P) r' terlihat pula benda memendek ke arahtegaklurus p (melintang) r yang disebut kontraksi. Ukuran melintangyang semula = ao berkurang menjadi a ( do.
Ki.ta menulis e' = L yang bernilai negatif, sedang . = *
positif.
Jadi e' dan r berlawanan tandanya. Menurut beberapa percobaan terdapater berbanding 1urus dengan e (nilai mutlaknya).Faktor perbandingan lurus ini disebut kontraksi-modulus, m sehinggahubungan lurus antara e I dan e dapat tertulis:
1.Ier = - :e atau er = - VEr jika V = I .mr-mBilangan, = ; disebut angkabanding
Poisson (Ratio-Potsson). Ukuran
rjadi: a = ""(, - *t) .
Luas tampang yang semula Fo menjadi:/a \2 /, r \2F1 - t- | F = (1 - : c I F' \do/'-o \- i'/'o
F = (r - : e) .F =.m/'o
/- 2 zr /- 2 \- rr - a )F^ = (1 - - eJFo.m.,./_o._\-m_/Karena e bilangall yang kecil (biasanya
--< 0,001), maka e' dapat diabaikan ter-hadap satuan.Isi benda menjadi :
r = F.!,o (1 + q) sedang isi semulaIo= Fo.Q,o'.
r = G - *e)tr + e)Folo =(, - *' * ")r..Tentu saja I ).. Io, sehingga terdapat:
L - 2 e + e )r. l,"fr-' a L).. om 1-l
fit >27 2. atau v = il \\s 7.Jika benda ditekan, ukuran melintang memanjang, sehingga e' bernilaipositif sedang e negatif. Di sini tanda berlawanan lagi.
Gb. 3.21
Contoha) Benda
Px"xyz'
oxt**-
E '
e=-"xy
C=-'xz
Im
Im
prisma lurus menahan gaya nonnal P* rP, dan P".
o..=L ro-=n3lzx-xyov oz
a=-."YY - "
' "zz E '
E yy (kontraksi ke arah X akibat or) -
er, (idem akibat 6r) , dan seterusnYa.
i,t.&&Irrlre.
rc
46 SOEMONO, TEGANGAN 1
LVIVI^,IUON NVONVg]J-
tz't'q0
ztJJ3/6tl d
baiYrffiHn
b.g = ut>16unur og e>1eu ,_
." "(:
- .)+ = '(o + ro +*o) (n7 - T)+'T >> 3 qpqas ue{
L
-TeqETp '3. '3 6unpue6uaur 6uez{ n>1ng
'('s + da + *3 +T)"r -z('= + t)d(rs + T)x(*s + T)= r
(pTtruras epuaq rsT) z[x _ oT
{(do + *o)n - 'r} 5 = ,T= A'3 + *"3 + "'3 ='3
{(}o+'o)n-oo}5='1=*t3+'43+{d3=43
{("o + ^o)n - "o} E = ' ) T
='*3+tr*3+**3=*3
9l''e
'0+
= uT>{6rlnurur>16unu 9
d3 + *3 =
e6nC 1y uepEuaxe{ r{oTO
oror
-=-
"r-r rV
zz'E'q9
nPle
z^
fl
MOMEN LENTUR
4.1 LENTURAN TEGAK
Balok meientur disebabkan oleh momen. pada momen positif, tepi bawahmemanjang dan tepi atas memendek, sehingga pada tepi bawah terdapatteganga.n tarik dan pada tepi atas tegangan tekan. Di antara keduatepi terdapat serat-serat yang tidak berubah panjangnya, atau bebastegangan. Bidang yang mengandung serat demikian disebut bid.ang-netraTdan garis potong antara bidang netraL dan sesuatu tampang disebutgaris-netral tampang.Di sini kita anggap bidang momen terletak di dalam bidang yang me-ngandung sumbu inersia pusat utama pada tampang (sumbu-y) yang berdi-ri vertikal, sehingga bidang momen juga berdiri vertikal.
Gb. 4.1
Menurut BernouiTl-:, tampang yang semula rata, setelah melentur (berpu-tar-sudut) tetap tinggal rata. Jadi, perubahan panjang itu berbandinglurus dengan jaraknya sampai bidang netral (cb.4.2). Jadi pada seratsejauh y dari bidang-netral terdapat:e = Cyr di mana C = konstanta (bilangan tetap).Tetapi mgr]}tf-qg_Hgghg, _e "herbc4Q-i,19_*!r14rLq*dengarr o; jqdi o juga ber-
_banding lurus dengan y. (Hukum Navier).r --=._-
\ o = J<.Y.1-TElenlE'n'-tegangan ini menghasilkan momen-daLam sebagai resultan, yang
besarnya sama dengan momen luar pada tampangr. Karena gaya normal luarpada tampang tidak ada, tegangan-tegangan tadi tidak menghasilkan
4B
I*irt
iYoI
,flT
!o)-r-+--
63unl.N3-] N3t^,loti\l
'edu166ut1 ?prpPrutue6uap sunT butpueq.raq (M) t6as.rad {oTeq-qo{o>[ 'ue>{e1e>{ e1T>{ qaTos
'TrTpraq 6ue.d q e>1r[resaq r-ITqaT o uep qq 3 , q-q ? = 1t4 :1edepf,a1 'T.rrp.zaq 6ued q 1s1s e6
ZL:L-6u1qas ue>p{plaTrp q < q ue6uap rbes.rad >{oTeq p{TI' 'T€>tT1ra^ tirp:eq
.r€seqral buedtuel uErn>in e11t ledec:e1 6ueX 'ez{u.zesaq-r€seqas TeTTU
-.raq e.du1p.r1au-sT.re6 depeq-ra1 1 e66urqas ueTltTuapas ue)p{E?aTTp XoTeqpliT[ '.resaq n116eq {epT? o 6uera1 qEpns 'se1e 1p ledepuad ln.znualal
'(._urc 6>t OZt - gg n,{e>1 '.-*, 6>i OOS1 - 0OZT P[eq:ez{u1es1u) up>{u€ua>1.rJatp 6uer{ tqtqeTau L{oToq )iPpT1
uar?sra o E.duresag
ouo3 z" T - M _
I^i'N*ar1s)tg
g
9o 'M=_eel=*M=tM (L.,, z - er -Pr rr
- 1\ .T
-qq4=*r=r €" T -. (TE>tT1-rai' 'q2< q IsTs) rIg uE.rmln:aq t6as.red 6ueduefl .'snsnq]f snsP)I
(-) epuel.raq tg uep (+) Epuel.raq qo er{utrlpuas ue6uep TpPI'';11e6au
TETTu.raq ,! edutsuen>iasuo)t le6eqas qeqas ',ue>ieuaul .lpJTs.raq nE+E
JTlE6au Epuel.raq 1e:1au-s1re6 (se?p) 6ue.raqas uet6eq Tp uPp ]TlTSod(X nqums) Te.rlau s1:e6 qeneq 1p ue6ue6a1-ue6ue6a1 sTleuolo ere3as
'gr11sod ppuel TJaqTp (I{ely\eq a{ rurs rp) {r.re1f,o1 1da1 qele a>1rr{ e>11p
sele-tde1 ueuer,reT.f,od-uaurour = t' = "*
qervreq-tcial ueup/vleTtad-uaurour = T = o*
(fr+p6au ue-r1s{a) "+ = ; = ", hI "AW
(tr+Tsoa uarls{a) * ==,fo = oo
'sple 1da1 uep qP/vleq Tdel Tp 1edep.ra1 ua-r1s>[a uebue6eg,'eIu1e.r1au srrp6 depeq.ral 6uedueX
eTs.rauT-uauou ue{T?f,eTp I E>tT[ '{ ^
= o : srTnlTp qaToq edule>16uts {nlun * r -, jlI=o
1=raW=xr>{ W.14
= gp.r{,f>i
W = d.JpoJf
'XoTeq-nqwns TnTeTaw Terleu bueppq nele >[oTeq-nqunssElp rp {e1eTra1 Tou }tT1T1 uEp 1e-raq-st.re6 = fPJlou-stre6 tpep
'6uedure1 leraq-sTf,e6 tnlelau x-nquns Tlreraq TUI
o = dpX.f nele o =,{ptr-f>t
O = JP'o_f
'ueXfnsar te6eqes 1eu:ou-ele6
d
t'?
r
4.2
4.2 BENTUK TAMPANG YANG HEMAT
Oleh karena yang menentukan kekokohan balok hanyalah o yang ekstremsaja, yaitu tegangan di tepi, dapat dimengerti bahwa cara yang ekono-mis ialah mengusahakan supaya W. atau Wo tercapai sebesar-besarnya,tetapi dengan penggunaan bahan sedikit-dikitnya. fni dapat tercapaisecara menempatkan bahan sebanyak-banyaknya di dekat tepi dan sedi-kit-dikitnya di bagian dekat bidang-netral. Dengan demikian terdapattampang yang pada tepinya lebar sekali dibandingkan dengan tempat-tempat di antaranya.Berhubung dengan itu balok baja yang menahan momen diberi bentukseperti huruf f, U atau z (Gb. 4.2).Bagian yang berdiri disebut pe-7.at tubuh dan yang berbaring disebutfl.ens atau kuprngan. Bentuk tampang baja biasanya disebut profil yangdalam perdagangan diberi nomor. Umpamanya I DNP 40 berarti profil Idengan ukuran tinggi h = 40 cmr lebar flens b = 1515 cm, tebal tubuhd = 1,44 cm, 4l = 2116 cm (tebal f lens)F = r18 crn2{ T* = 292L0 cmai ry = 1160 cma. w* = 1460 cm3,Wv = 149 cm- '
Ttf
lulr--J
Gb. 4.2
DNP = Deutsch Normal Profil.persegi dengan b dan W tetap
Jika profil ini kita ganti dengan profil-l
2sama/ maka i b.40- = 1460i t = 5,4 cm
bsehingga F = 5 ,4.4O "*' = 2I5 cm- yang jauh melebihi II8 cm2 padaprofil l, yang berarti tidak hemat. Bentuk huruf T (profil-t) jugatidak tepat untuk menahan momen. Sebab y < y. .'aw =I ,*. =r"a ya "b yb
MMoo=*oto"=4'
Jika oo = 6 (yang diperbotehkan), o" masih < o, jadi bahan tidak di-gunakan secara efisien.
ContohBalok baja dengan profil-f membentang bebas dengan 9. = 6,0 m serta
muatan penuh merata n - 3l/m'. Tentukanlah profilnya jika o = 1250 k9-1 1)1c*-'. M,"r" = f el' = 13,50 tm = 1350.000 kq "*-'.
50 soEMoNo, TEGANGAN 1
n 6foc
'€luc 060T =
lrlo-rd TaqPl
'rluJ 080T =
uu" f,uo S
tr1 ue6uap 99 1 'dNO:ledepuaul e11>1
upe.rPlupred ue6ueo
*r-!9il =!o^ € 0000stT W a--M
Or\--=O '_. w
.{:.p 6r/sl\ - = o
\.r/
unl-Nl-t N3ruOUV
e9'' 'q0
=661
_- K
,','q9tA
r{ .z
.QT- = X tqL +
T
/-Q r61
" ( .i)- ,z, CI,
u* (t)- =\z t
- ,trTt x bf / -\-:- ' \"r/ .^
/ Ir \ r*w\ - = I-- ll.=-lx\*r/\nwi
- ror, b1'{r- )x\ I/
,trr. .p 6? (+.). ,2,,
=^
=^
B6+
=n'xI
qz=.{
. (eg-7 .qil eduleslur6urp.ro6 lqq r6as.rad 6uedueg, (p
:qoluoc
'efruyeTqnw re1Tu TTqueTp rc 61 tu-rs rq'X nquns ue6uap g lnpns {nluequau 6ued g rnTETau sn.rnT s1.ze6 ledepra;
r *rU =:xnw ,1*w
'0 = O LIPTET Tp.rlou-sr.re6 1e.re.[g.0 leraq )iT1T1
' TnTeTau p[es n1ua1 6ued ,Te.r1eust.rp6 r{pf,e ue{n1ua1 e1T>i 6ue:e1ag
i_ *r .__j_r_
- ^^ , x^ x^w d*'tl= rJr u=oledep-re1 6/x)>tT1T1 nlPnsas {n1un .0 urs w
= r14 ueuoduro>1 uep D soc W =
*W
ueuodruol ureTep e{ ue)tre.rnrp uauro6'(t't 'q9) x eupln lesnd Brs.reur-nqums ue6uap rc lnpns {nluaquaur
(.rElEpueur) uauou-iro1{a^ .Tp{r1.reATTqure e1r>1 6ue[ upp , ptup?n-prs.reur
nquns 6trnpue6uau {epT1 uauou 6uep1g
eNouts NVUnlNt] t'tt','q0
so1
t-7,'v
/M"oa = lln;
.
lM, ..rn :l"b \ t-_z\ =.bh6
4.3
Gb. 4.5b
My\
5{/ =
. M,\* tFn)
=
M, sin a\
--/.
/ o\ /M cos cr
[m/'\ n .
ol I"1 cos0bh \- h \
6lM cos0 Msincl\-c- -bh\ h --J--/* 6 /Mcoso, Msino\-d = ui, i-T- - r-iKasus khusus: diagonaT Tetak men-datar (Ct.4.5a).
hh3tSo=O;.rB=-F
Msinab
garis netraltidak sejajar
b
(a'* *
tidak mendatarvektor M.bhd-, SIn0=e
_Mdb---bh' b
1.garis
Jadi,atau
cos 0Gb. 4.5a
o"=#,(#.#) =#=u#*,Jika diletakkan dengan sisi h vertikal,ooaks = 6 MU jadi lebih kecil daripadaefisien.
terdapat:hasil di atasr yang berarti
^ _-6Mekstrer -
a31+I tetap g ,a- terhadap sumbu
sebarang (I, pasal 6.2).Jifa ailetakkan d.engan diagonal
M vertikal:
-Mb-=; O =-bh' b
b) Tampang bujur-sanqkar bersisi a (cb. 4.5b)Jika diletakkan dengan sisi vertikal, terdapat:
j
ir
i.t!
$i;:;i
-M1vekstren- - -fi2T,A
lebih besar Iagi.tg8=-tgo=-netral mendatar.
d=+6
tgcl=1; jadi
\v;a
c) ProfiL-Z (Cf. 4.5c)Juga seringkali sebagai balok gording (Gb. 4.5c).Tentukan dulu sumbu inersia utamanya, X dan y (I, pasal 6.5) yang
52 soEMoNo, TEGANGAN 1
I
I
I
I
I
ipI
I
TEunl-N3-I N3l toy!
uEr6pq rp uo+ag '6uedure1 senr- r{nrnlas eped e1e-r t6eq-ra1 de66uerpr{aroq 6ue^d >1t.re1 Teur.rou ede6 ueqeuaur ue6up1n1 6ue1eq upr{Tuap ue6ue6
'(+eTad Inlun urc g,f z< {oTeq{n1un urc t + TEqalas uo+aq lTTn>i qalo l6unpuTTTp sn.req qrspru tdela1)
>{r-re1.ra1 1da1 eped edule>1ep-1p>topas ue{>[e?aTrp ue6ueln? ,1da1 tp>lPlar]a1 .r€soqra+ {Tfp1 ue6ue6e1 Euare>[ qaro '>{Tfe1 ue6ue6a1 ueqeueu
6ued ue6ue1n1 te6eqas p[eq 6ue1eq up>{Eperp {r-re?ra1 uer6eq tp tut ue6u-ap 6unqnq-raq u€p ,>tr.re1-ue6ueba1 ueqeuau ledep >{epT1 de66uerp uolag
cNvtnlur8 Noltg 9'?
'IrE] nEle Izuc 6>t]rsuaurlpJeq uEp .rnlueT-ueApTau uen{p{o>t .ro1}ief lnqasTp Ig uprEseg
'ez{u 19 ue6uap sn.rnr 6urpueq-zaq 6uedurel eped uatuoui uet6eqtued rpel(rrrg +.r=g) _
'r'tr w
'I'g t =r=g = rI :=r u ='W, tW
9'''q9
yv,{.. , ( 'r 's + "r "a) s-_
t^l r-----=::-= tlTgW
-o-6u1seu-6utseur enubue[ued ueqeqn-red /1e-r1au st-re6 r-zep
e[eq uep nde>1 1e.ras eped 'e[eq uep nhe>y rseurquo>i qeTeT
NteowoH xvotr
v.Ilr _
,W
vs^ , f I--
9.--hl=
'=w+{w=
s^ ,=g 'g u.-=-to {o
'ua:1s>1e 6ueIue6ue6a1 eduresaq uep 1edue1"
Tff{p1a>{Tp ledep upT{Tuop up6ueq'edusn-ra?as uep
o > Ex ue6uap 3 .=! = 'o € xnr,r t^*w,{- x-
o > zx ue6uep 4* . --* = 'o
^- x- I.l-r
-
r _^
'xnt{ T^xw
'DuTSW=dWlnsocr{="W'leuTpJroo{ nquns te6eqas teledlp
9-v-t'?
s_'rou={=w=
"rW
v'o
''o ., = 'o#) =\ s,/{9 : -zesaq eures
qne[ eu:es 6uedqoluoc re6eqag
cNvdwv L ?'?
/)\AY -\ (>4|..y1fl]-()r1 -\--}-
4.5
tertarik meskipun ad.a dan harus di dalam keadaan sehat dan utuh, di-abaikan sama sekali, dan hanya beton di bagian tertekan yang dianggapbekerj a.Meskipun beton tidak mengikuti hukum Hooke, tetapi untuk memudahkanhitungan, dianggap mempunyai modulus kenyal Eb yang tetap seperti hal-nya pada baja dengan Es tetap.,Jadi n = ft."r,.pakan bilangan tetap, dan menurut pengalaman, jikaOb Ee rv"Ys+4lrq'r, JL
n = 15 hasil hitungan mendekati kenyataan yang cukup memuaskan. Tetapisekarang diadakan koreksi, yaitu ditentukan oleh perbandingan antaraE"3t tegangan yang diperbolehkan pada baja dan beton yang bersangkutan/o-\(;-). Berarti dipengaruhi oleh mutu betonnya.\ob '/
Jaiak antara tepi tertekan dan titik-berat turangan kita sebut h yangmempunyai arti penting, sebab resultan tegangan tarik dianggap terpusatdi titik berat tulangan itu. Kulit beton di bagian luarnya tidak ikutdihitung. Garis netral terletak sejauh y dari tepi tertekan.
eb,es=y:(h-y)=FrF"u "s: (h - y) = noo: o"
o_= F. --a: n
'' 6o E': (I-E)=n:p
Gb. 4.7
1
Ao" =;byob,Namakanlah ul
Ltd=j.
zp
M = Do6 +
M=*uvou(h
j ikaA=-bh
t=4=le(t-ir", kscm-2
5"=rF( +)=,G i,
(Do melalui titik berat diagram tegangan tekan).
- i ,, kedua anggota dibagi dengan bh2.
v melukiskan I d" sebab:natas)ob = nv : u atau o" = D i oo.
untuk mendapatkan ukuran tampang biasanya rebar b ditentukan dan
kemudian oo - do dan o" = d= i jadi p = 5 d.p"t diketahui.
54 SoEMoNo, TEGANGAN 1
)
flfJi
fit.j
Jika pada diagram tegangan panjang garis u melukiskan oo (tegangan
tekan di tepi), .panjang garis
os: ob= n(h - y) : y (lihat div:u=(h-x):xijadio":
--),vIhF
T1 6=;hataup="\3I= = Db (Du = resultan teganganEekan) di beton dan T" = gayatarik di tulangan.
A = luas tampang tulangan.Kedua anggota dibagi dengan bho=.
ie
HnJ.N3-l N3t^tol J
z-up 6{ o? = eo ) z-uo 6r te = ffi = .-3 = oo
uro 61 0ozT = "g > ,-ruc 6>1 08TT = W - "o/f = "o
.-ruc6>1 6'L=#=4=r,zleoo'e = (atr'o + r)aoo'o = (? i - O, =
"o
s,z:=ff'or=#I=u'8?'o = (e + tA - Tlvz'o - = f = :
.e = $ !?Z,o = B00,O.oE - rou
8OO,O = 53 = o, zurc t6'6 ={ On = o'ul:1 SL'? = W Jurc 6? = t{ iurc gZ = e tt4o7uoC
/II*rr+r-\mu-=7 \ z ' L )"g-oil 7 - lcnuz + z?
(.ue ue6uap 16eq1p se+e rp e1o66ue Bnpe{) } 1 = (? - T)mu
'Te.r4eu s1:e6 depeq.ral up{a1ra1 ue16eqspnT sT?E1s uauou = IE.rleu s1:e6 depeq:a1 vu sTlp+s uauour Tl;eraq TUI
'uB{a1.re1 6ue.f, uoleq 6uedurel sEof = I p)tT[ 'o 1, = ,^q1= (,{-t{)vu
'", fh u =
so 6uepas qoxq + = "ov
'"o 'uepe, 6un11q6ueu sn:eq uep er{uue6ue1n1 E?.res ue;n1n Tf,eqTp 6ue.zo1ag'1ue6ue1n1 depeq:ra1 uo?aq lnurTas >{nseut:ol) uo ES r >{oTeq r66ut1 I{PTunf
,*, ?e'TT = * r, TTqurprp '.*, OT = .*, 8V'SZ'::??O'O = V.rrc 8? = u,,
fth) = u
'6t oooot = 3 t*, ,r; W
utc 6)t 0009t? - ur1 SL'? = yt :qoTuoC
'qq EE36g'O = qqm = V : uerpnlueX
'rnr{€1a{rp ledep * hi=q e{eul
4 = x ?n.rnuer^J
_BJ
._uc 6rr tE'B = r7G'+ - r)+'+ = { :e6n[ nels
z_uc 6>[ EE,8 = # = "o jG) =,
+=; +=(rf -,)'={€e8oo'o = oi' =* =, roos'o =loff ='*u = ?
od=ot=3=dTpBr'o
'OE = u J z-ruc 6l Oa = 9g '.-tuc 64 00ZT = "! r{o?u6c le6eqeg
9'?
,,
r4.6
4.6 TUTANGAN RANGKAP
Menurut hasil di atasr tinggi kerja h pada beton dengan tulangan sebe-lah terdapat h ,{Y. Apabila h terbaras, mungkin kepada sarat initidak dapat dipenuhi, dan kita terpaksa mengad.akan tulangan di bagiantertekan pula (seluas Ar); dengan demikian terjadi istilahz tulanganrangkap,Luas tulangan-tekan = At = orbh.e: = E! = perpendekan, relatif di tempat setinggi A' pada baja danpada serat beton. or = ndj; ol r ob = (y-a) : y
Tampang Ar mengurangi luas betondengan luasnya sendiri, jadi:
1
Do = i. byou = Aro;, Ds = A'oJ
= A I noo..1D = Db+Ds = j.tryoo+ (n-1)A'oj.
Jadi luas tampang tulangan tekanAr senilai dengan (n-1) Iuas tam-pang beton yang letaknya sama jauhdari garis netral.
oleh karena besar n dalam hitungan hanya didasarkan atas anggapan saja,maka selanjutnya ditentukan juga bahwa n-1 p n. (Iihat 3.14e). Berartl_pengurangan Luas tampang beton diabaikan akibat adanya tulangan tekan.
Gb. 4.8
t = #T = * r(r- i r).(n)t:'(r - fll(r - il.
sumbu tulangan tarik* D" . (h-d, )
* ,) . (n) a' ()d) oo (h - a' ) i dibasi densan bh2 oo :
garis berat tuTangan-tekan
* oor"(rlu,), aiuaet densan bh2o :
T"=Do*D"1 n,.(y-ar)A6==rbyob+n
y
Momen terhadap
u=oo(h-*r)
= | uvoo(r, -
Momen terhadap
M = Aos (h-a,1
k l- d'\-
= 0l lI - :-los \ h /
Contoh biTangan:6 = 1200 kg "m-'i du = 40 kg cm-2 i n = 30
M= 7r5 crn; b = 25cm; h = 50 cmi d' = 4.*, Ibh = l-250 cm2 i bh2 = 625o0 cm3; k = M; = fz lq
bh'Hitungan. mendimensi atau mencari tulanganKita tentukan o= - d"; oo- do, jadi p = ff=
56 soEMoNo, TEGANGAN l
,= j*no,(E-g'lh)-- 2p pEp
(dibagi dengan bho" ) .
- l n'(i - #)
= 0108-acm'
30.
Lg unlNS-t N3l^IOw
.OE//pc !OZ//cq !OI//qe !Oo//eU:?Er{rT.re? 6ue1eq uo6rlod epe4'vu = II I upp rvu = I0 :Tf,T{ a>{ 0 }tT1T1 J.Iep vu upp ,vu uerpnuF}
'exusnra?as upp 'E = ?e tt1. = eZ !zg. = ZI rrJ = T0:ueue>[ e{ ue>tsT>lnTTp uolaq -rn1e[ senl ,qn?n>t r:re.r6e1p epe6
' eIu6ueleq uo6rlod .reque66uar.up1T{ qn+$t ure.r6e1p uee.rplup.red ue6uag '(TEJleu s1.re6 .re[e[asy ]plepuaur
e,{e6 le6eqas de66ueTp gu upp ,qu ,TuT:n1e[ de11as sen.J .e[usn.r
-a1as uep €g".{"g e.<{usen1 6ue.d .rn1e[ ureTpp 16eq-16eqTp uolaq 6uBduref,,
'0 - Tef,1au st.zB6 depeq:a1 rvu uEp 4.{ 'vu sr1pls-uauro6 3:rl.rptaq 6ueX g = (,p-tr).,VU - Xl.oa - (x-q)vu -T
o = ao
"# .u,v - ,o^c,+ - oo
ffi ,r.o
'o = "o v - ooxq ! - "ov r I -T
(c'r 'ec) suvuc vuv) nvlv st>tnllw NveNto vuv) t'?
' z_luc 6>t OTTI =
6r€'0=60T'0+0TZ'0
='o j ruc 6v o, =98 =oo/1 = z- zI )i
. (# - r)sos'o'1 =.g0g,o a.=-=flE67'0'OE
o_6e '62 = 'od
/g0g'o : I- -\ eo'oi) sroo'o 'or
q0
qo,t
Jsog'o = ZTo'r + Log'o - - g9L'o +LSZ, O+ LOS'o - = ?
'g9L'0 = (80'0 -!L6s'o = (Eroo'o + ?zro'o)o€ =
s700'o+?ZTo'0)09=gn:g+,n/1 +D-=t
0 = 0 - 1'pZ + z3 !O = Fl/,p,m + o)uZ-(,m + m)uZ + z1
7 -, lli;3" (Y' i:3"; :': =::: ffiu = u uqEv"- \q7,p- /
&_f,,(*) .{=,.s?oo,o =YJ = ,n lvz1o'o = 6ffii =
qq = o :prpas.raf,,
oo ,rrp "9 6unl1q6uaur e11>1 To;+uo>t le6eqeg
uc Lg'S - ! Or r.* g't = OSZT'9g00'0 = qq,o) = ,V z __ _ ,,8o.ulc 8t'sT = j Qv, z*c g',tI = o9z1'7TT0',9 = qqm = g
z _. _ ,L s
D _'se1e Tp i ueledepuad ltseq ue6uap
e6n[ nele rTTTo'o = vs'o'eroo'o'r + T = (h- r),r("9) . { =,
eeoo' o = ffi =,o ti8'o',moe Z+'+= or'o11 tao '(#-r),'".(;-')?f=-
er,o = * !or,o =9L=+,+= (di*) = ?
t-9'l
fuAuab
bc
cd
BS
Gb. 4.9
Dari A kita tarik garis sejajar sErmpartitik potong ini ditarik garis sejajarnA di titik B.Dari B ditarik garis sejajar OfI sampai memotong sisi poligon bagianbeton yang terakhir di titik S.Terdapatlah ) momen gaya mendatar terhadap garis sejajar yang melaluiS = nol-, berarti garis netral atau garis berat tampang yang bekerjamelalui S pula. Setelah y terdapat, kita dapat menghitung oo dan o".ol = n(Y-a') o.."yb
// "0/i t0
// zo// sO
// u0
,o(n - i, . Ds(h-d,)
*or'oo(" - i v) * ,,.e'
- (h-v) (1-E )o. = tT oo = t-E-os < nob.
=M
. q+o-,= M yang menghasilkan oo.Ybdo_ =po_.r,
memotong garis kerja nAr, darifO yang memotong garis kerja
Jika tulangan hanya ada sebeLah, lebih mudah lagi.Gaya nA' lenyap, kita memasang sepotong garis OI ke kiri pada diagramkutub yang melukiskan besarnya nA. Dari A ditarik garis sejajar oOyang memotong garis kerja nA di titik B, kemudian dari B. ini menarikgaris sejajar Os yang menshasilkan titik S.
-tlh-f
tI
_l
-Fh ,o-,1- -ls
Gb. 4.10
h---i----;
58 SoEMONO, TEGANGAN 1
Gb. 4.11
_Ln
6S
: TpeI
uExTeqprp qaroq (H) "=rrturep uebuec 'rrp>[as
z\ AP'/
'1 ue6ueltq dePeqlalXD
rTco{ e6n! ,i = 0 6+
e66urqas 'TTe{as TTca{ uE.rn?uaT 's€1P Tp lnqesTp eueurtebeqag
zxq/ ^ zP=l
.(z(xpl^p)+r)xp/trp
- z -l?.
z$P/ ^P) +'l
06+Psp
.(f,)..
0p_0PlT- soc/T- UTEIp - 0 6+ P
/ OP \106+P,=19=,16 o+ n/\ sP ) sP
'1edua1as ue>1o16uaqurad sntpe'r snunu
dp=2-= J
xp7.
= =0P
TTT A .3 = - nP1'WT
rgz
-=-xpfl 3
'11edua1as uiruo[ =
' (ledrualas uelol6uaqued
'xP ,
IS l-,zNnTpe
N
IS
xp
Iz
1Tp
W)
sn
,*(F:) = 061 " ,liE)y xp = sp
0 soc= Ozcas =TJrrsil-zjoo =
xp
1{-_
=-xps
=-=303
.r)-=r ,zJ:XP=ZiXP3
(T'E 'qg) xPa >ledueqas
6uelueuraru Terlou s1:e6 qertleq Tp zqnefas ?ef,as'uT€T eules n?Es $p .xeseqes lnPn? 're1nd:eq'uTeT EUIPS nlPs
xp 1e:efas :e!e!as 6uedure+ eno' 1'=1=pt'"* 6ueluequreru-*::":::,]toTPq)etes 1e7p\traA ezecas r{TTe.zaq de66ue1p qaToq {oTeq nqulns Bped xTaTl
->tT?T1'e,f,u6ue?.ueque6uapue>lbulpueqTpTTeresTTca>{1nges'zalleuTpxoEuafP>[ qalg 'er{usTScIE depeq:e1 ne+e BXu+edura1 depeq'ra1 ts6un;; te6eqas
eIu)tT?T1 lpuTpf,o ue>[nlueuour ledep eueurle6eq t>1tpt1ez{ueul elT>{ ruTs TC
(Nvsls rvs lxv) unrNlllwl{Vl]l3s)olvg-ngwns)nlN]8Nv)InrNnN]wunlN:t15lUYe1.9
r'9'q9
UNINll SIUVE
s .1-2-3
I I d2vr = * atau : (derajat-perbengkokan).d'y/d:<' r dx'
Lenturan mempunyai arah ke bawah sehingga bagian konvex ada di tepibawah (yang konkaf di tepi atas). Lenturan ini disebut positif. Jadi,ordinat lentur positif jika diukur ke bawah, sedang momen yang melen-turkan balok demikian juga positif.Menurut Gb. 5.2, yang melukiskan lenturan positif itu, terlihat u
dg
berkurang, jika x bertambah. Ini
r positif. Supaya hasil menurut
Gb. 5.2
berarti d'Y b..rrilai negatif, sedangclx ^
I d'y Mrumus, ; = # = ;; cocok positif_2
5.2 TENTURAN KE ARAH AAELINTANG
Balok yang melentur secara positif, tepi-atasnya tertekan dan tepi-bawahnya tertarik. Menurut uraian di dalam Pasal 3.2O, maka ke arahmelintang, tepi atas memanjang dan tepi bawah memendek.Jika serat membujur sejauh z dari gari.s netral berubah panjang seba-nyak edx, maka lebar tampang b dengan z yang sama berubah panjang
Gb. 5.3Ke arah melintang, balok membengkok
secara berlawanan dibandingkan dengan ke arah membujur, jadi pada I{positif pembengkokannya berbentuk konvex di atas konkav di bawah.Di bawah ini kita pelajari soal garis }entur pada beberapa kejadiandengan anggapan, f tetap pada seluruh balok.
5.3 EALOK TERJEPIT'SEBELAH (GB. 5.4)a. Akibat satu beban P (vertikal) di ujung
60 SOEMONO, TEGANGAN 1
sedang $ senairi negatif, rumus2dx
1 M -d2harus ditulis, ! = * = -o I .r EI au2dx(M sendiri positif).Jadi persamaan garis-Ientur ialah:d2 v -r,ldx2 Er
densan - Erb = -(*)ro (cu. s.3).Kedua sisi tampang berputar sudut
satu sama lain sebanyak drf = += -(*) Q . *"aius perbenskokan ke
arah melintang = r'. g'b : z = b : r'..zzr' = ;T = -* i , .sedang radius per-
bengkokan membujur : r = ? .
Jad,i r'= - rr\E
unrN3'1 sruvc
9'9'q9 .(,=- ,=Tr)u3 + = {(:"- I"rr)'u' " (:' - l=ur) 'a + (" - '."t)
I a) 'Iez =1
.J nelePr{ n11er{ ,v {ofEq seqaq 6un[n
eped ue:n1uaT qeTPl 6u11ued 6uetr'ue='d tpdues ze=zd ledures ,Te=rd
ledures o +lda[->tT1T1 TrEp {ErEg V
ueqaq ede,zeqag 1q
'de1a1
'0 6+ = 06+ ,(..= f * .= fl# - tr:v ueuP{ 1p n qne[as )tT1T1 EpPd
( "
e - ze'6 +)T = (e., f *r= )+ = '0 61 q + '^ = qd
= s:\E T z - r/d \-z r r r/d .sunr de1a1 {or=q
nqrns nElE lnpns uerelnd epe >p1 1pe[ 'ueulou epe {e1 gv ue16eq epe6.e ue6uep T+uE6Tp 7 1de1e1 ,e,{tnrnleqes TTspI{ ue6uap ednres TUT TTSeH
. rEE ='=*1x;="[ rIE =
.='(59) =.q ='6 61
r Pd , zpd $P/'(*e - x€l\(rE\=r\r r z T/\d/(." + - .*'+X+)=;E
(;r_P,(T) =q_=#'e >--x eurpTas D{eT.req (x - p)d- =
*},I
T:Ep P qnefes r-rrpxaq ""::]:i:5
'l = rTE
= t=*(x)
="'rEd
#='=.(;; ==*
'lx9- x'x Z\rE=^\e T z - t)d
(,"i-"')+=;E=o6a=o:TpP1' O=zc<- 0=tr !O=x
('r*."+-"r+)+=n' Q = to *- o = fr !6 = x
('r*,"+- "r)(+)=;E(x_"d)+=+=#
(x - T) d- = "rrl
e'9
5.3-4
c) Beban terbagiDi sini digunakan hasil dalam contohdengan x dan p dengan d,p = q*dx.
Klrusus apabila gx = g tetap, f =
b), tetapi besaran a diganti
6 = Y'= # #" (3e'x2-*')d*
by"= # -f |c.|^*' - *')d*.Pada muatan merata penuh q,a=0danb=n.
f = y-= * ;(39.x2-*')dxra 6EI d \r
o"=# jr'u*=#Juga boleh dihitung secazasung:M*=-|nto.-x)2
+=-**= atg.-*),dx2 - -Er - ZE-r t
=#U.2 -29.x+yzy
o -4+= =g(e-'* - !.x2 +' ctx 2EI \
v = *(i s.'*' - f r*' *o" =fE) =71'\OX,/ x=t 6EIf = Y. = *(y)*=r= #
diisi
q9,4
8EI
Tang-
1 sri x )'I a'i" ).
GB. 5.8
-2rrdY=-M
-z"xdx,r* =Ero-/r,u,
xEry =--ffu*a,x.Jika bidans;- dianggap seJragaisebelah di ujung lawannga (di A)muatan setempat r analog dengan
62 SoEMoNo, TEGANGAN 1
5.4 IAFSIRAN SECARA GEO'ITETRI(i^oMENT AREA)
Kita tinjau lagi hasil pendapat:d'y
= _M*dx2 Er
bidang muatan pada, kita menafsirkanordinat beban q*.
balok terjepitM* = ordinat
G8.5.7
l-
t9
:r{eTEr x deper{f,a1 xT.rr>{ r{eTeqas uelpnur-6ueprq uauow
'(," + * ,*x - "rr) ff = o
: ledep:re1 ez{uurnlaqeE
'Qrg' (r* * z*.6t - xzzt)b I =
n[r(x-r) -,r]b i = ., ,^ 7-u 9, = *
T.rT{ r{eTaqes Tp ueqaq-6ueprq spnT'uEqaq
?PuTp.ro le6eqas de66uetp ,ab I = t1i,l .b e1e-zeu qnued uElenu 6ue:e>1ag
'(q." f * ," f)# - q'{ n=1e (r,"'1* ,= f)u = (e+e 2),"u1=
o^r,
'snrnT g uep V pJElup .rnluaf-sr.re6 T+
-.rp.raq 6uez( PQ -
qp nele ,"u 1= E T;T)t 1p 6ueprq qn.rnTas senT - qqrg
,J # - .x nele ,=d 3 = = I. -"u 3 = ,drs
X ='g nele ,"uu|= ueqaq-6rin=otur,*"a5"t"r"} = "gra!"i"a rococ , (r"
?'- .*= 1ru = x :1edep.za1 eu{uurnleqag
'drs = (," i - ,t f)u =
-ov rri-nrrrri-mrrmtffi
6'9'q0
urtl.NSt stuv9
.01's'qD
^*a 2 --xed Z = *I'-"u 1 - "3-*=u E-T z -T Tz-T --T:rpe[ueur I depeq.ral ueuro6 .
r"u + spnTes e6t1r6as 6ueprq = zg ue6uap16ue.rn1gp xEd spnTes t6es-rad 6uep1q
= T.{ , le6eqas de66ue1p qaloq 6ue.[urnrsade-r1 ednreq rur 6uep1g .
T.rTpuas1g depeq.ral x Trr{ qefeqes Tp uelenur
-6ueprq lpqT{p_ uourolu = ,llg .e1nd>1ococ rpet '(,* _! - xe)a = Q1g nele
( _" 1- ;i+'= * 1 o :1edep.ra1\z I / d ,{p -' ':---
T.s TESed upTpp 6uepes (_" ! - *r\a=x{{x-e)a*""}f = x rrr} u=1.*." 1;
ueuou 6ueprq senT - X 1p 6ue1u11ue6uap e6r1r6es edn-zecl uauour 6uepTg
ede6 - {fU .e6 166u11 uep p - seTe'6 ue11da[ T:ep e qne[as rrTp.raq d
e1r>1 6ued uerpefe>1 ede.raqeq eped ue>pun6 eq1>1 ,"r'il]luJ;"j]'ill:;. h,s lqze:aq,,e,{uueruourtr,r"r rr,*rj;=lilHt=;:}t::;-ll:l ;l} r1-rPreq ledurelas ,,6ue1u11-er{E6,, eleu ,efiuuewer 6un{n eped qeleqas lrdac -Ja? >{oTEq eped ,upqaq 6uep1q,, le6eqas de66uerp uauour Sueprq e{TF TpBf
'xp"6-f - = *w ue6uep 6o1eue 'ledurelas ueuour lEurpro = xp"wJ-f- = r(rg'xp*b7- =
*O
ue6uep 6o1eue ,ledureles 6ue1u11 er{e6 leulpJo = xpxw_f _ = OIE
v'9
A;.oC
^)
5.4-5
12*sIu'[x-(1,-z (9.-x)
I .1 z I - 3
, slt "" + 5 tt'u
(Pasa1 5.3, c)
11223u)ldu = * q J (xu-- Lu-+ u-)duZ (!.-xl
s I 4\9.x+7;x).=EIy
5.5 CARA DENGAN SATUAN BEBAN
Di t,itik yang akan kita hitung ordinat Lenturnya yr kita kerjakan gayafiktif K = I (satuan.beban , unit Load) r yang menimbulkan momen sebesarm pada sesuatu tampang ,9.Di sanrping itu ada momen sebesar M dari pembebanan. Kita tulis M" =
M + m dan tampang S berputar sudut sejauh d0 = M. S tS--fl. Berhubung
dengan ini momen M" menjalankan pekerjaan sebesar au = |u"aQ =*: ffi.(lihat Pasal 2.4). Juml-ah pekerjaan deformasi momen pada seluruhbangunan menjadi:
u =-f*1 ffi. = I<v **)' H = /M'ffi. .,f*' H *,for* H .
U = U. * U* * Urrn.
Hasil ini juga dapat diperoleh dengan cara sebaqai berikut. Mula-mulakita kerjakan lebih dulu K = 1 sendirian. Ini menghasilkan pekerjaandeformasi sebesar u- = f*'5 .,n_EfKemudian menyusul pembebananr yang melentur titik pegang satuan bebansejauh y, sedang satuan beban K = I ini sudah ada sepenuhnya. Dengandemikian K = 1 ini menghasilkan pekerjaan luar sebesar Ut = Ky = y.Kerja deformasi akibat pembebanan ialah U, =..fu2 dsJumlah kerja lerdapat, ' r -' 2ET
Ul = U. + U, + U" sedang U = Uoo * U, * Lrr,rrn.Ur = U
ur = i**; y =/* H.Jika kita akan mengtritung putaran dudut O = Hi, maka kita mengerjakan
momen satuan (momen = 1) di situ, yang pada sesuatu tampang Smenghasilkan momen sebesar m.Secara analog terdapat rumus O = /* H .
Cara ini kita terapkan pada beberapa contoh:a) Balok terjepit: OA = L dengan EI tetap dibebani P di titik B sejauha dari O atau b = .Q, - a dari A(cb. 5.10a).Kita menghitung lenturan y di titik X sejauh x _-( a dari O. ,Jadi disini kita mengerjakan satuan beban K = 1. Pada penampang S sejauhs -( x dari O terd.apat: M = -P(a - s); m = -I(x - s)
^dsP*y =JMm Er = Er ! r" - s)(x - s)ds = #,i.*' - **',padax=amenjadiy=y"=gJD 3EIIni juga ter{apat secara memindat K,= I di B sehingga m = S= -(a-s),jadi yo= P -[b - s)'ds = 3 EI.
64 SOEMONO, TEGANGAN 1
I-T1+-4
4tLLlL-22u I ==q(:Ix)U.-x) 2 '\2
i,
t
ttttt
I
r
l
I
I
h
' (s - e) d = =6 1edep.:a1pOT.g :q9 rX:ades {oTpq eped
'=6 1n1tm >FT1nu TeTTu Trqure p1T>t
TuTs Tp "=p #(s - x) "w ..[ = tr
r{PTer x rp u=.rnluar rpPf 'S '^ -sp= Qp e66urqas 's14 ueuour uer{Euaug 6ueduel 'ueqeq leqT{e le6eqag
6'Qp(s - "){ = trp-f-.f,.rn1ua1au
I 6uedurel e>1eru '0p lnpns .re1nd;raq
unIN3"t STUVD
r r'9 '89
El----
X upp V ef,B1ue 6ueduel deTl p>{T1' 'Qp(s - x) = dp qne[os un.rn1 up{eV Trep s < x qnefas y 6ueduel eleyq 'Qp qnefes lnpns -re1nd-raq v Treps qnefas g 6uedurel ledepral V Tp lTda[.ra+ 6ued gV sn.rnT 6ue1eq epe6
(tt's 'ge) cNnseNvl vuvxs rnons NVUVlnd Nv)vNnecNlw 9'9
q0r'9'q0
+ *rt 't,T z
sr'62 + sxxz - =.t - *ril[ -Et = sp(s.- x).(s - il+ja$ = o
j-l-T-------vfx g a-
"
- W :1edep:a1 O TrEp I >-- s
{T1T1 Tp T = ; ue>ge[:a6ua61de1e1 ,sP?E 1p 11.redeg 1q
np q. Tg7 9 ru' ;' - '0 = --'= = sPI(s - E) J - = 6
Ap .=d '; d ',
(""9+n!\Ig= \ z T e Il d
= sp(zs + sx - sez- xe +r")/+ = (0 + sp(s - x + e)(s - q jfE = x'(s - x)-=ur Ie=6:1edepre1 I ueup{Tpn >\\ s qne[as Surar*i,"dd=p=u
.(s - x + e)T-= u :(s - e)d-= 14:1edep:e1O fxep.E >-- s qne[as 6uedurel epe6
:I -rnXuaT XEuTpro 6un1rq6ua6'g uPuP{ Tp q } x qnefas X {T?T,I
.*P= (*z -*=\rf,= v7p- \2"T "-/ d.-
rs'- -'i+=*rru^r f =o =E6(= - =,/ d sp -,, r - v
?npns ue.relnd t;l; :rH-;:::3r"3
9- 9'9
,r)f ]xx ,( z\ rgzz" 1l 6
/ZT I ><-\r T
sp(es -.sx +
qne Ias
e0I'9'q9
.*= ("3+-x?-".r)#= Ap\sIZ
= sp(zs + sXZ -=0
.(s-x)-=ur!r(s -X)b+-g 6uedrlel EpEd 'O TrEp x qne[as y'(qgf 'E 'q9) ele.reur qnued b ueqaq
5.6
y=Pada
y=
s. 0 = -fa| = h 1," - s)ds.
pembebanan penuh mgrata, M, = ir\ - ")'.#,u - =)' (x - s)ds dan O = r# fW - =)'d=.
Penggunaan cata gang telah diuraikanKita ambil batang ABCD dengan EI tetap yang terjepit di A dan dibebanidengan P di ujung bebas D (Cf. 5.12).
a) Dengan persaraan diferensiMomen positif apabila tepi dalam tertarik.Batang AB:M" =2- P{(a -
"- * = p(adx
"r 9L= P(axctx
.1EIy = P(; ax
.Lz"I0o=
P(7 a.'l
EIyr= ea'(5Positif jika a
Batang BC
dan nol jika a = 1r5c.
x) - c]=-P(a - c - x).
-c-x)
2
U-_2dxkeduanya positit.
x2)
I :.-=a)b
1cx-,l2-r"*
ac)
1-Ttl2zL,5c
M* = p" r tetap. Batang BC berputar sudut sejauh 0o tce dalam terhadap
garis vertikal dan tampang C berputar sudut sejaun ffi terhadap tam-
pang B yang berkehendak memutar garis normalnya ke arah luar, sehinggaterdapat:810" --elQu + Pbc = P(- * u' * ac * bc), keluar terhadap kedudukan
semula (yang mendatar)
ury.= sryu = r.'tt " - !.1.
Batang CD
Momen dan
Gb. 5.12
66 SOEMONO, TEGANGAN 1
M*=P(c-x)2
Er g+ = P(c - x)dx-dvI
"-;}=P(cx -i"' +cr)dvx=0r"r#=EIQ"=P(+Cl)=
Lzn(-ta +ac+bc)12Cr= Gi" +ac+bc)
7-
L9UN]-N3I SIUVD
:nlre^ ,g 3:n.rnq ue6uap sTTnlTp uauou 6uep-rq spnT .sE1e a>i ,g:r1e6auuauou Eueprq rpeI ir{p/,Ieq o{ Te>{rf.rea ede6 rebeqas de66uerp frlTsod uauou 6ueptg 'werep rdaT eped >1TJE1 ue)trnqurueur E>{r[ ,JT+Tsod uauo6
(eZf.g .qg) eare luawow ue6uaq (c
'[(,+ - "+),' * *(,q *," *,=! -; * (,* 1 -,*,f)]u =
= (',1 + x'o * 'I)rE = ^rE :1edep.ra1 eXu-zrq1e
eped eleru ,un.rn? 6un[n 3 6uepes renT r{p.rp a>t (cq + op +_p !-fIqnefas :e1nd.req 3 6ueduel rp=a 1=*ro"t=lr=u-1r.1;rrTqjTfi
/ *9 - .*rf)u = sp(s - x)(s - r)_ u =otrrs \e T (s - x)* = ur ,(s - c)d+= w
.Bu.rnduras lrde[.ra1 de66ue1p 3 6un[n p.reluauresqg 6ueqeg
.(ro*ce+zef-)*='*qnefes .renT o)t :e1nd:aq 93 6ue1eq eped 3 6ueduel Tpurou sr:e6 tpep'uerpp r{e-rp a{ (r= - .= f)* qnefas *a="n qe.rE e>{ .re1nd:aq g 6untg
'(rpnT r{pre aI) ced = xp)-f 6 = 'QIu !T - = ur lcd -= ti{q
.renT a1 .re1nd-:eq 6ue.r{ C Tp I = ) uouol[ uele[:a6uaur ue6uap , cp 6unltq6ueu up)tp p?TX
'(:e1nd-:aq ledep 1e11 eu.enduras 1ldet-re1 de66uerp E 6untn ereluauras3g 6ue7eg
."trrs = (, f -, +).ed =qu{1g
ureTep r{Pf,P e{ , Qe - ," !)u =qqrg
o
-c -e){ a=$rtr xz1
_x(c - e)l la ="LJ
- s - E)-f d = rtrux
J(J - s - e)d- = W
gV 6ueqeg
ueqeq upn?ps etec ueduaq (q
e +).e * ("o + ce +," + -),*r, f]. =oo*
,7(,o * "= l.= f -)" * ,* i - ,*" f]u =
^r"= z) ,(,
+ - = f).r.d = c,(rs = ,{rE ,o = x
*(rq * cP +ee 1 -) . r" i - ,", f]u = drs
* t, = [ * I - "(o -e)14 = xp(s^P Lz T 'l-
[* e -Lzr o
= sp(s - x) [s -(c - e)]/ a = sP(s - x) (rx
(s - x)- = ur
f (, z -L\T
[(.'+-=f1."* (cz - =!\, \ T TIZ
[', *
g'.9
5 .6-7
Gb. 5.12a
SIyu=)Fxo-- Fn(*n)o- F.(x3)b =
b) Menghitung yu
"rya F, (xr)u + F, (xr)6 + F, (x
= of L ^' ! /-L2-'3=t-bcc+ac(c_ f I t / L z=P[_5c + (-r" r-ac+
Gb.5.12b
DC -P (c-s)
CB Pc
AB P (c-s )
c) Dengan momentLuas bidang momen
'lt2F, = P.) c'; (xr)a = ;(Jarak gaya dari titikF, = P.bc; (xz)a = cFr=P.ac; (xr)u=c-(x:)u = I ^'l ,Fn = P ') a' (ke atas) ;
(xa)a =t^ - c, (xa)u
Menghitung
2l.5 a - ac.'
-rl.)l
c.
D)
Iiu'
2=5"'
yb
u)=nu'(i"-ia)
n(+ "' .).
,)a +
I-,
bc) c
Fn (xn), =
\ | z/2, + ," \tuz/L I*"\5a_'
5:7 TENTURAN i,tENDATAR (cB. 5.12b)Kita akan menghj-tung peralihan titik D ke arah mendatar, tertulis 6_.
a) Dengan cara biasaJika B jepit sempurna, maka ujung C melentur ke arah luar (ke kanan)
sejauh Er6oh = p + b2c = Er6:h
Tetapi ujung B berputar ke dalam
sejauh slQr = oG "' - ac) r
sehingga cenderung memindah C ke
daLam sejauh EI6'r,= nO(; .' - u..) ;
Hasil akhir; Er6"n = EI6on =
= n [] b2c - o(] "' - ".)], ke kanan.
b) Dengan muatan satuan (unit Toad)Kita mengerjakan gaya mendatar ke kanan K = 1 di D.Hitungan secara daftar:Batang M m
baEr6dh = 0 * p {"y dy + p f rc - s)bds.
OO
= ,(i b2c r- abc
area (Gb. 5.12c)F dianggap sebagai graya mendatar sebab peralihan
0
vb - * ;r)-
68 soEMoNo, TEGANGAN l
4J ,/
'e.dusn.ralas uep Qpln soc - O soc) (O uTS - T) /r.16 - 6.ue,f = qglu
' (o soc - $ soc;: *=
X q=1=p. 1 leduresedu>1e-ret 6ued relepuau p^r{p6 re6eqes de66ueTp .tp , ug ,ir,1trn .se1p
Tp ITSeq ue6uap eures, (0 uTs - p urs) (O uTs - Il irrd = x.{p/ = ^gtg'(0 uls - ,, urs).r = X uoluolu ue6ua1 '6un1tqrp x xi+r+ depeq.ral ueuour
upTpnua{ ,1e111.raa pde6 re6pqas de66upTp Ep .rnsun , ^9 6un11q6uaur >{n1u6'0pt0 uTs - T) ard = sp(Q uTs - T)f,d - Jp uauour 6ueptq .rnsun spnT
eere luawow uebua1 (q
I u = uogrg qalo:ad1p ,! =
T)p soc + pzuTs + - " soc p
soc+Qsoc0uTs -Dsoc-Qp(n soc - g soc) (O uTS - D i ef,d =
qgrs
(n soc - $ soclT - = tu gde1a1, ({uTs* - T)rd- = W
'TrTlt a>{ T = H ue>[rJoq p1T>t qg 6unlrq6uau {nlun
lpz urs + 1'+.,:):"1 : ,;::'";:=:":, -l=,i" Ji:::"*
0p(0 ufs - D UTS) (+ UTS - T){ erd -- sp u[^r j = no6
I6p, = =p, (o urs - n uTs)T- = ur r (0 urs - t)ra -= fi .T = A TE{T1-I3^
ede6 ue>1'r.raq E1T>t ^9 6unltq6uaur >1n1u61
ueqaq uenJes uebuap ezeS (E
. qg relepuau uep "9 1e>111.raaueuoduro>1 lrreTep a>{ up>{Te.rnTp uer{Tfp.red
'o ?npns r{eTo u€{n1ualTp eiu1e1a1 6ue.f,x >tT?T1 ueqlle.red 6un1tq plTx '6 e,{e6 ue6uepg seqaq 6*[n
(ers'ee)eNvlvs 8'9
[o(." + - r=) + cf'.c]a = q(u, -'r) *of''r + o'r,{ = uner'
uauoru 6unlrq6ueur E?Tx'reque6 'ueprq ""r";;=;:l'l=fi::xfilr'":f:l 6ueptg 'Tf,Tlt e>1 ;11e6au upp ueue{ e>[ ]r+rsod '.rplepuaur tpe[-ra1 ledural
6-8-t'9
69
.ANE UPP AXV.6ueqec Enp r-rep
uet6eq uep r.rr>[ uer6eqa TtPp q qne[as uep v
'ft(
l(p soc - {
'0pt0 urs n
UNIN]-I SIHV9
nq1e,{ ,leurproo>{ upunsns enp up{epe6uau eltyTirTp.ral rnluaT st.re6 e>1eu , ueuTpTf,eq J upue>1eped ueurour ueeures.red puere>{ qeIO . (7T-S .qg)' Tf,ep e qnefas C Tp d TE>tT1.re^ ueqaq nlps (e
Nvndwnl vno svlv ro Iolvs 6'9
n ueltsr6uaur ue6uaq)
- o uTsl -f,d = )L
o
$ socl f rrd =
TuPqeqTp
Hvrrsrs ildtrull dvrlM NveNlo NVUV)|eNtl tI
tr'9'q0
(
5.9
Po/tb=L-a
G8.5.14
Cabang kiri
'; = n(3)"'d y /P \rbrilr=-\;i\7/xue*=- #(i*'*.)
Pb l1 r \r --ffi\ex- + c * c'/...X = O. y = 0 --> Cr = O
Cabang kanan
M, = r f,u./1\ d2v
- P a\f,
du. Ef g, -.dv _ pa/t
2
du - Ei\, "Pa/I 3
W - -
-
I -
r.
EI,T \5 *(2)
**)
+Ku
U = 0r V = 0
->
l(, = 0
Di titik C kedua cabang bertungga.t an garis singgung dan ordinat./dvt /dv\\a;i *="= - \ilr/,= b'
(y)*="= (v)r=r.
-r(! "' * c) = * .(| r' * K) (r)
o(* "' * cu) = "(* n, * xr) (rr)
- * u'o' - bzc = !.bt + abK l
*.,o+aicc=|au'+abK I-c(ab *bzt =*.'a*lu,a, +!.rr.-cb.t = (*. . tu)au, e = - | a(a+zb) = - *a(s + b).r( = - f utza + ut = - *b(r + a)
o = $i.= #ol*"({, + b)-**,J ,r,= S*= #"1*b(.e, + "r_ !,,}.r = *ft-u{atl, + b)x - *'} , =#..{up +a)u _,r,}
HasiT pendapatan khusus..o = /9$ _ Pab - (!,+ b) _ ptr.(g2._tr2)
\ax/*=o- ffi-g 6EIg,
7O soEMoNo, TEGANGAN 1
IL
',1 >tT1T1 uPueI ueT6eq
unlNf-I stuv9
u€p TJT){ uPT6€q ueIPp T6eqTp uPqaq Turs Tp P6nIt"b qeuypzo uebuap ybeqta7 ueqaa (c
{(." f_,, l)* .* (." | -,r €)=".I # = ,
. uX. . . , zr, Iy lnqes e111 edu
-ueue{ Tp uep ud" ''za'ra ue{€ueuelTlt ,t T.rT>t tlPTaqas Tp uEqag 'f,,
)tT1T1 n11e,{ '6ue1ueq qe6ua1 {-tlT1rp uprn?uaT T)tTpTTaduau uP)tP PITX
Te1Tazo^ uegaq edeteqeg (E
'ue>1e1e1:ad>{T1T1 upp ueqaq e.rEluP 1e>{apza7 6ued >1e:e[ edueq te>1edla1 6ued
o=.'
9r'9'q0
TPPf
"o(J)
'^
/nz - \z T
' Q, 1-., :)# = '1=.(o) =
., :)l* = [,, i - 4(e + ?)o]= ry ='i="1,,; =o"(r)up>{pupu e1r>1 e^du1nfue1as rut qe6ual uprnluaT
qe6ua1 r.rep qnef {EpT1 unurs{Elu ueJnluaT rpeccn ,o = e ue6uap uep T 1=
tn ,,6 ! =, ue6uaq
'O,r=*.,r"O'.(lrruTT) ^6e Ls,o =
!A, =
/ z,o
\eZ
"n=6:1il?=r'I.).rf= (=*z)qf=r.
+-1e+r)e{ NDo=;E=4
'?P.IES lnf,nuau 3 uPp g P-rE?uPtut's rp rpet '6uefuedral 6uer{. ue:6eq tp ledep.ral umuTs>{plu up-rnluaT
'(p'. I e) 16e1 urnun uelpefa1 a{ ue{rTequa{ plTX
P,'q
TIE E=-
,Q rtd
TTSI -,a r'd
'(r-rlaurrs) o = "O r rg 9J rq = *b
=#=r='^X + = Q = P :snsntl{ snsPy
ro - "r,tEa! = (.o f - o= 2 + qxi)" T ="^
- P + ?)+* = {ra -te + r)rc}% =o="(n) ='A
",rs9T--jpd = (e +r)ffi =
o='t*;; =o^
'z z"'("-q)?+g: = G i-
o= ? *,r f)q$ ="0
T).=] 7rB ="*1.d1 =1
=(q
6'9
(c - q*rlffi = {r" -(q *qd
q
ag4tfr
G8.5.16t
s .9-10
Di dalam hasit pendapatan diatas, besaran a dan b dibuatvariabel, P diganti dengan dp =qx dan K dengan dK = q*db.
r = # { ln."(* u'- r.')a. * J?n,.b(* t - iu')ar}Kasus khusus... g* = g tetap, serta penuh merata.
r = 2. # l"t* e"'z- ,"')a. = # ",Juga boleh dihitung secara langsungi M* = t n(t" - *')-2
- = - "H(r*
- "')dx '!4 \
s*=-*Gr*'-**'*c) ,
* = ! r, 3f = o; c = - * ,'y - - zft(* r3x - * u"' * #*o), :* = - #(# u'- r*' * t *').- / \ sog.at=\Y)*=|r=TdaE
o.= oo = (3I).=, = *-
5.IO DENGAN MOiAENT AREA T
Cara seperti di dalam pasal 5.4 juga boleh digunakan. Kita mulai dengansatu beban (vertikal). Bidang momen berupa segitiga dengan puncak di
Pblt Pa/L bawah P' yang tingginya = f a"t'sekarangr dianggap sebagai bidangmuatan. Jika b > a, earis beratbidans ini terlerak sejaul t(r - Idi sebelah kanan Pr atau t(U..)dari A a"" |(l + u) aari
". ",r.tbidans uerai = (ry) .l t. = * ,*.Reaksi letak sebagai akibat bebanialah:
^ = i.i r."u.|(r*n) = -!l+!t
B
- -'BzI
I
I
rPbI
I
It*ffij Pta
I Pab
Gb. 5.17
p.g 1!. + a)Sedang 0.= ffi (lihat pasal
" = +.* n"r.](r '") = ru*rlo ,
72 SoEMONO, IEGANGAN 1
s. e)
sedang 05 _ Pab (1, + a)6 EII,
r-i,/(
tL
lTvg s1re6ys Tp uep lrgy sr:e61 v Tp ,n?uaT
st.re6 eped 6un66uts 1tre1 plTX'V TIPP
P > x qne[as X Tp ^
Jn?uaT ?euTpro6un1rq eqTX 'g Tirpp e -
.6, c e nelp trT.rpp E qnefas C Tp d ue6uap Tueqaq
-1p de1a1 1g ue6uap ? = EV IoTEA(ers 'se) rnons
NVUVrnd VUV) NVoN3o t 1'S
"=p rg lf = Q0 = "q 6uepas
' -Tb
'e.[usnlelas-xb 4 - 6utseru-6u1seu up{plarirad tsleag
T
lloqered ednreq 6ue^) ueruou-6uepTq sEnT:1edep:e1
unl-N3'l sluv9
8t'9'qD
E|-"&! = x €- T
,eduprupdurn b qnued €1e.raul uplenu epe4 'er{uureT uelPnu e6n[ n)tpT.requ€qaq 6ueprq le6eqas ueurou-6uepTq u€{uq1e[uau ue6uap P:ec e[es nlueJ,
.eIusn:a1es uep ,qd = zgTg e66uTqos zE >tT1T? Tp s>tT1T1 rnTeTau 6ue,{ 1e411.ran sT.re6 6uolouau e66utq 6ue[ued:ad1p (rcrvlrpe+ uauoru st.rp6 eped r.r11 6ueqec PQlg nele v rs>iPa.r 6un11q6ueu {n1un
'o,f,rs = j--- 2'1- 1e + X)qEd T T
:qpTpr ,,up1emu, 6ueptq eped g u€{P?oT.rad 1s>p411
'1e+"d)*u + =(e - ?) (e + 7;e6 9 =1.e
:r{ETeT zgrg s1:e6 depeq.za? e,{uueurour sTle1s
'-ed9-exd.!= z - T "- T
'vtvtov s€nT - tvrvtgv sEnf = uaruotu 6uepTq sEnT'ed = Zv-v e66u1qas zy
)tT1T1 Tp \f {T1T1 rnTPTau 6ued 1e>1t1.IaA sr;p6 6uolouau E{euI '(C'g) 6upt-uedradlp d upqaq leqT{P te6eqas ueuoul-sT.re6 eped ueue{ 6ueqec P>tTf
'q4r nele "f ue>in4ueueu >in?un uTET pfec'uefnluaT-lEurp.ro = TuT,up+enulr
eped uaurour.upp .rn?uaT lnpns = Tu-F ruelenur eped 6ue1u11 er{e6 '19ue6uap T6EqTp qeTalas uep uelenu 6ueptq le6eqas de66uetp ledep uoluolu
6ueprq ,.rn1ue1 s1.ze6 ue>{n+uauaur {n1un PryrqEq 16e1 114nqre1 ruTS TO
'ArE =[r.- "(p+'r)=] # =
'rrs = {r*-*(q+?)=} *€ = *f'*i'"ts -:<s = *14
: splp rp lnqes;a1 6uedurel eped uaulol^i
.rrs = [," 1-(q + n" ?] k f@ (q fu = * 3-'*
'f,rs= 1,"1-(e + I)q+l k ="f'"'rso= 1,"1- (q+zr=?l k="+'+-v=*o :g r.r€p n qne[as 6uBdruBl uEp v Trpp x qne[as 6uedrle? eped.6ue1u77 e6e9
rt-0t'9
!. xb9= ZZ" T
- .?)ea 2 = " i'."u fr - ti'=ru f
., !..r Z.n la - flg = nlr,l
TTE
.x
-dq
x_5a
-V=*d
-g=nd
Sekarang tinggal menghitung 0. atau 810a.
t0. = BBr= n = fru- s)do +.;[buaq = rf,r=(!. - s,H.Ers$a= (?i,u - s)ds + (T)y"'." = (?)(i r" - i
= (T)(+ t- I r'a - I t * ?nr - In'* tn')
5.il-12
y = *0.- q sedang n = 1," - s)d$/ Pt\\ XEIy = Elxgu - (i=)J s(x - s)ds =
= ./ u.(* - :, # (Pasa1
, Pbx-Efqa- 6g" .
= H[,u + b)x - "']j r"u")
(#)ta(Q, + b) - :x2| =
PL'5.6) dan M.= Ur
=*nore.'-it1_ 1r+b)= 6 PaD-T-1-.(1,+b) lPbx36'-" 9" 6 9"
- sr0a - ,.juA = er(qu-(g + b) rpb\t ?= Pa 6t - \r-T)T * --
/"'," # 'z 1-zra+tb,
= | n.l(r, + b) =
dvdx
BI0u
EIY
EIO
Secara tukar menukar antara a dan b kita dapatkan:
- a ) dan untuk y di x sejauh x < b dari B.6 6 j
{b(L + a) - 3x2}69"
Apabila kita menggambar garis momen pada muatan yang berbentuk bidangsegitiga ABC, dengan perantaraan diagram kutub, kita peroleh poligonbatang. Jika kita menarik sisi pertama dan sisi terakhirnya, yaitugaris singgung di A dan di- B, titik jtrrnpa kedua garis ini (titik T)menentukan letak garis berat vertikalnya pada bidang ABC itu, dan yangabsisnya terhadap titik A adal-ah xo atau uo = [ - xo terhadap B.
xo (0. + 0b )= AA,.06.,DXo = (o.;lf =
_ gQu.
ab([ + a)0-'-ab([.+br.8. o.)= |tu * a); uo = *,n + b) .
Pb/l
GB. 5.19a
.]4 SoEMoNO, TEGANGAN 1
f,ihat hasil pendapatan di dalampasal 5.4 (cara dengan daerahmomen) .
5.I2 CARA DENGAN SATUAN BEBAN
Kita arl[ci1 J-agi balok seperticontoh di atas juga dengan titikX di sebelah kiri beban P di C.
a)Ordinat Tentur C rcb. 5.19a)l4engerjakan beban K = I di X
PaTL
9LUNJ-N3I SIUVD
.x 7r9Pd
XD7.'dp
Y
V !e = 39 Euepas ,-rnfup6uaur6uetr 3
'qPpnurJel etec up{edn-raur elp^u-re1 Ea.re ?uauou
"6.-d - - p
' xTe6un[n eped
tnfuebuant
d-= W
e[ra>1aq 6>{oTeA (p
: TPOS
= l-"x
XD
-:- rg =^p
-(q9* \ z- T
{.*g - (q
nr9-,19 "T Z 1)"lG)"f-l(*)
ue6uap e.reC .'ueTndutrsay
"69
+ l)etqazT
I.o= f *t." -pG *
T+
TnPa
x
"qdxsQa
x* nx_S
T-s
+ - "(.o f + qx 1-
=t =l'*T
o= ! * (* , z - * 9z' T \ z I r T
({\ *\ral
T{6ueqe3
= [r*'
=[-
@=,, 1*.q+- e"rl+.r+-)=l *=
? - "(rf - "x +n." i r"l(*) =
-," i), - e e(x - ,,+l [1" *lrd] = .p.
sp(x - =,=i(h)- (spzs) I * "n.=/(#) =
: (ueuE{ a>{) x Tp T = uolEour uele[-ze6ua6(qGT'g 'qil $ Tnpns uerelnd (q
"69
onx -f
q
trts
xn?
(x-s) - 7F6-xffi')
"6
nPdx
sqdx
sqd
q > n'cg
x < s'ox
x > s'xv
= "p."i(*) . 'n"l(*l - "n.=.lGr'J = ors
q > n'cg
x < s'Jx
x > s'xv
zt'9
6ueqe3
5.12
dy Pa/1 z \&=m\r" *c)Pazl 3 \
Y = "-\6-x
+ Cx), tak ada konstanta lagi, sebab (y)*=o =0.PadaX=.Q,rmakay=O:1n3 L^z6* * Ct = 0i C = _
tU-,, = ;ft(* *'- tu' - *),
:I=;fu(*"'-*u'), Pa 9" palQ.=-6;1r0o=*ffiM, = -P(a-u)
d"=-2du/dvr\ari,=dv
=du\r" =
ft't.-,r ;
o=0o=P/il\"' -(v) =
c) Momen pada keduaKedua momen bekerjat4 - (.0-x) M *X-.* & -d [Mo
# Ir.(u"-l# I*. (, u"'
Y=0.
#=:,(",-1,'**)*ffi.,K=+*u".l-zl\Zu + i y"a)
P /L z L 3 r \ p*(; au' - t "' * i u".") = !;1 r' 1.Q,*.1
Ini juga boleh ditafsirkan sebagai berikut. Jika B jepit sempurna,C turun sejauh ,"" = H . Kemudian ditambah dengan a t9 0r = #menqhasirkan: v. = H . # = # a2 1t + a1
bl Momen pada ujung baTokDi dalam contoh a), Mt = - pa.Jadi jika pinggur tadi dihapuskan dan pada ujung B diberi momen sebe-sar Mo yang berputar ke kanan, hasil pendapatan di atas boleh dipakaijika besaran Pa diganti dengan nl: jaai: 6. = * ffi dan Qo = - Hdengan mengingat bahwa I1.,, negatif .
r''{ ,[ I ,t i^ i^l i'i ,l-'-t?'a.; i b^ +
Gb.5.21a
dy
-=-dx
v --
x - 9";
Gb. 5.20
Gb.5.21b
uJungnegatif (sesifat).
= f {or. tl-*l + r.rox}
*') * ,o.* *' * "l
- * "') * ,0.* *' * c,,|
76 soEMoNo, TEGANGAN l
:( x E
\r T
x:(xc
LL
ll
i
(r-rlaurTs) un.rn1/11eu )iepTl ; qe6ue1 {T+T1
UNJ.N]I SIUV9
,o= 4*(o) =l. Il9 qa pa
-+=U=QTW
-x?2)lE*=,r . I/w
-x7Z1rru-=I z1/
,z'9'q9
(x*x"6-"6:\Tru-IP \z 7 1/ tA Ap
qT
,X?-=llO=At'6-
rs xp(C + rx -x"6)X ht - = E
rg zxP (xz_z)z w _ =F
*z-x)! = xL - w =*w ll WCot) -f, - = -
- = VWZ
Xp , rE .*P =:---=- Ap w A-pt1r,1 .'snsnq>1 snsby
x7! cL
*! rT
N-= eW uep W+ = PW
frqureTp snsnq{ uerpefa>1 le6eqagepuel ueueileTraq 6un[n uau]ohl (p
(to)= f Snlun.I
,,rprpp rp .(;il u=.r=saq ue>11eqe6uau e1T>{ ",.,J'[:T[.:1" rur Epag
'ueteyburf rnsnq {n?uaq.req .rn+uaT s1.re6 T1f,pf,aq 'de?a1 .z
uep w eua.re{ ,r=p '# - .r nele I*-= + snun.r ln.rnuau 1de1a; ' (.x-x71o I
ue6uap 6o1eue '(rx-x^61w f ,Ue1e1 e^[uuaurou-s1.re6 uep ]'i = de1a1
Tur rrplenur leuTpro 'uelenur 6ueptq le6eqas de66uetp uoluoru 6uepTq p{Tf
'1oqe.zed edn:aq (rx -x"61* +'+ = (*? -.")# - = ,{
Q = 4*(;E)
tz'9'80
,1-=,(c +x)rE - I,{
'de1a1 W = *W JQW =
TETTu TsTTp qW uep "W
oO,-19*r1t*="0 ' ?qw ?'w
'd11e6au
:{n1un eiqqpq le6ut6uaur ue6uep + - rg9 -TYw "d"w
[t.z-.*e I
qw+( zTZ- tx'-x?e) "^]gl=P = ;E
Itx.t-rx)ow*1* ,xz-r*-r*ze I "^]'*1' = o
zor,l'3 - z'tu'! z- I z- T
Jo=Tc+ r"row{+,atT
zl,'9
zz'9'q9
e)
Mx
gv.dxdvdu
v
5.12
Gb. 5.25
Momen-7uar di antata titik tumpuan_2Mx --dyo "* , 2'-dx)
ltltl 3 r M d-v=
"rl,(i " + CxJi Mu = 7; = -Er ;;t.M lL 2 \=E'I7\rt +Kl'
MlL 1 \=-;11\;'u- +Ku/'L z rl -z \
0"^= -0"o, ;"- i C = *\t b + K/
yo = vc i * " * c. = -(! u' * Kb)
Kedua persamaan ini menghasilkanC dan K.
e =- *ru'- 3b3) ; K = lVu.'.- s* I
Jika menggunakan bidang momen seba-gai bidang-beban (moment area),maka luas AACCI = - , f; a2 yar,g ai-anggap sebagai gaya ke atas dan
I M _2luas ABCCz= + iib- yang dianggaP
sebagai gaya ke bawah.
Reaksi A
Mp=--29,2
Ma2=--29"
z2u 't'
_2MI)
!-' 29"
(,-34
o'(o- 1
L
2
5b M u) * r'.+ "lL zL' I -"('- ?
3
f) Pelengkung separoh Tingkatan (Gb. 5.26)
G8.5.26
Cabang
u ) aan seterusnya.
Tumpuan A sendi dan B ro1. Garis ABterletak mendat,ar. Beban P di titikX yang letaknya ditentukan olehbesar sudut ATX = o. Ditanyakantergesernya roda B, yaitu sejauh 6o.Kita menggunakan cara dengan bebansatuan, yaitu memberi gaya K = 1 diB mendatar ke arah luar.Secara otomatis dihasilkan H. = I
M
er ltr + cos
nr |tr - cos
IIuar; V. = P.;(I + cos q); Vu =
-- I nr' {
{ l*"oso)Jg(r-"orq 1 si-n{do
rsing
rsinQ
'l
P.:(1 - cos a).z
r (l-coso,lj f r-"o"0) sin0a6|
cr) (1 - cos 0)
o) (1 - cos 0)BX
juga ke arah
Er6o =,fm*a.
.78 SOEMONO, TEGANGAN 1
UNIN3'I SIUV9
|x=qe =l,xleqns!= tJ
zo-"Tul=ztt1e-.61onrf = t,
P E _ a. , e ^ Z t_q(xie) T - oi!' fi-lx6-
o T = d
€'QA = P6 I (e-Z) on = "W
'xd=?qA n€1p L=on xd'V Tf,pp E > x qnefas 3v 6ue1l eped 1 rp d u€qag (T
.Tg Itr 'E = 35 n^J- uer>fruaP ue6uag
o^I{PTPpE gg st.re6 ue6uap 1s1a.f,o.zd >tT1T? Ejrplue Tp>tr1.raA >1e.ze[ uep ,ru16ue1eq nele uer6€q nquns eped uelts>1a^do-rd e1t>1 ez{u1eiraq >{r1T1 , de1a1edu-Jg 6uE^ (6ue1pq) uer6eq derl epe6'. (:eque6 1er{TT) .reque6 6uep1q
eped sn.zn11e6a1 T.rTp-raq uel6ueu{eq p1T>t sp w-f = d senras uauou 6uppTs
6L
eLz'g'q9
'.zelepuaa qe.rp aI >lT1T1 ueqTTezad 6unltq6uaur elT)t qeqas'.re4epuau e,{e6 te6eqes de66up elT>t qaroq 6uez{ I,[ 6uep1q -rnsun senf = dp
'^' #f - d'sp(I,)f = # ^^.f = # *,f =
qe rper
'93 6ue1ed eped de1a1 q=.r( uetl:a6uadue6uap) d = ur qpfepp B
leqT{e g 6uedureued
6ue1ed '11g ue6uap Ca
Tp (T=X) u€nlps upqaq lpqT{p upp W r{pTppp upqeqTp uauow 'upnlps upqaq ue6uap p.rec Te{Euau eXTX
'-relEpuour gy 6trnqnq6uad sr.reg . qIE uebuap q3uep CV 6uerg, .Tof, g uep rpuas qpTEpe g uendurng,
sir.r?aurs p+Jas r>[e1ewes wnTsadezq TelJod (6
alelepueu e[.re1aq
(urnuTs{eu) ,rd f = oot, ,
e>lT[ qg qeledereg
= D .'SnSnqrY SnSPX
dZ
u
[o.,r.r f. to "o, - T) -
' (.rPnT a{) pzuTs Eird
+ T)- rc ,-" -1 (o =o, ' T'
zT
Z
T
Z
T
t.=l z ,s
* ') l,
l(o u-= z
l\ z r
ZL'9
t)UTS+D
* /n .r-s ! \z T
r"Iqn
- rc soc+r) (m ="r-r)- xr soc - r) (n soc
.rd
i
i'
5.12
F4=
6o= lo_Fv-EIo 4' 4-
"] .fi|n,.r'l
tak berdimensi.
Khusus pada x=a, terdapatJika P bekerja mendatar kepatan di atas x kj-ta qanti
l o ,o (t -a+a) = LbP*, o; = h
,1, ," = # {uroi + (F2+F3 lvlJ *t
*[ s tl x(a-x) 1. .h L 2
'Ler. 1; a -'t(a+x)a*r"'1(.) aLo
. t(a+x);*r".i=#[rpqtli(._:).+] .il
* ]] a""van k = (il(i.) sebasai biJansan tetap
oo=iP(i-.i).kanan segitiga z < h dari AB, dalam penda-dengan z dan a dengan h, jadi:pada z=h terdapat u" = #(l u . ]). u".ro" pbhz ll L z'\ Ioo=Ei,,--\t-6?)*roan
Gb. 5.27b
M. = V..ai Ma = Vo.a
F, =|".Vo.d, vl =f i,.
F, =t"Vr.a; t:=|h;F, +F,
r, = * b(va+vb), + ! on"(f) =
^ =r"r - r[- g" I, bob=Lef-'L-rr..jn*r%
= ;?r [+ n . 1. *(,- ])lBO SoEMONO, TEGANGAN 1
- Pbhx l.-/L f *' ',- Er" l^\, - u 7)
menghitung peralihan titik D ke arah vertikal, yaitu 6u, kita berikanbeban satuan vertikaf di D, d.an untuk menghitung peralihan mendatar666, diberikan K=} mendatar ke kanan di D.Hasif akhir positif, berarti peralihan searah dengan beban satuan yangkita berikan.2) Beban P di U pada palang CD sejauh u < b dari C. (cb. 5.27b).
P
Va'3Vra
W i^ \fifyuI
_ a _ _1 _
1= P., sa.
".* ol"*"ftr))(.*,. (r - *) ) l
o;y3=h.
T8
Ii
I
I
F
1
UNIN3'I SIUVo
'e6T+r6as r1E>{epuaiuun6ueq-raq €^ueserq 6ue.,{. tdal .rn1e[ eped r1en3e>{ ,:n1e[ qe6ue1 eped 1tq x f x--*=Tp
"1 uep x14 ue.resag 'ueqaq e.f,e6 tp6pqas ue>lTpp[Tp r,av = G
-^)"0
ueresaq upTpnue{ u€p xV jreqaTes rnle[ ede"zaqaq ureTep a{ sr>inT-ra1r.IpTal 6ued uelenur 6uep1q l6equaru ue6uap ue?e>{apuad e_zec teled e1t>1
,up{pues>teTrp f,pIns nTef.ral nele ledep Ip1 1set6a1u1 ue6unlrq elrqedg
8Z'9'q9
'BZ'g 'q9 eped fpqTT.ral urET upp rr?€S' [lEduralas upqaq le6eqas de66uerp
xTxpf+)*w = mp u€.rEsaql uelenur-6uep1q te6eqes de66ue1p (rslnpa.rrp) \'r,z xT
uE{se-rETesrp I{pTa1 6ue,{ 6ueprq e{pu 'sP-reTes Sued; ue6uap (Ts{npoitrp)
ue{TTe{Tp e.duleutp-ro 'ueruour 6uep1q eped qela*.]''.r=o.r1i.r=qr"a e>16ue
le6eqas e^dueq 'Tsuaurrp.roq >tepT1 6upd ue-zesaq ueledn.raur 6uerelas :"tx- xD
'(4).^ - =fro oru
'edule6eqos uep 'urnurrs>tpu n€1e unurrutur 6ued 'edu>1e1e1 snsnq{ truef, 6upa-ure+ eped edulesrur 'ue6urpueq.red egs.raur-ueuour le6eqes oI ueTl:e6uad
Xrry Xpue6uap o1g ue6uap ue{rIe)tTp TuT snun.r eltt qepnu qTqeT ' + - = +: - x,.I ArP
'"I sTTn? e1r1 ledrua?as ers;aur .uauou 'de1a1 {epTl eTsraur-uauroru elrqedg
dvrll xvolr vrsu]Nt-Nrwow el's
q__'(+ . ,r
+)#* -oe 16=r ledep'ra1 (q rp a)q
t,l,-zL'g
'q+=11
- n eped
nElE (O Tp
ledep-re1 "r'* 9
d)0 = n ePPd
!Dg
5.13-14
Contoh hitungan dengan integrasirdl.',oa
il=;T=J.x ux xM* = - P(x-s)
Gb. 5.29
_2ctvEr T
-.-3- -dxdvrT A_
odx
EIv=Ps
C, dan C,dv
bahwa =-dxs + 1,.
o": (x-s) = ps3 (L - ar)
_ 3/ 1 s - \Ps (- - * ---- * L- r\ x 2x" L/
'(-un* - *. crx + c2)
dihitung dengan sarat
=0dany=0untukx=
Y-y=U;y=f-U.
"f lIUdF = o; r-f i u. - -l^ar =
Fr=--- rlFJ- uv=r-t'r) I
2
fY cF=--/vds*rJ-69=- Y-y ' r-y- ,[Vdr - Fy..cA (dd l
A/h ' ' r ct
EA (d0) M
-d0- = r%
^ _ ry^(c0) = M f y \" (r-y)d0 Fy \r-yl
tepi bawah:
(cr. s.29).
s .,
I
I
- --i0I
-J
s.r4 BATANG BENGKOK (GB. s.30)Mometr positif cenderung memperbesar radiusnya. Garis netral tidakberimpit dengan garis berat, Letapi berjarak sejauh yo di bavrahnya.Serat sejauh y di bawah garls netral dengan panjang semula = (r-y)d{rnemanjans densanyA(dS) sehinssa e =##h=$atau o =t{#}.Di sini r dan A (d0) belum diketahui.
/o.dr = o; E^{p- I* dF = o
/o. dr.y = M
uoJuOl f y' dF = ydQ " r-Y
(1)
(2)
Gb. 5.30
Tegangan ekstrem,
MYa
di tepi atas dan
yl Yb
Fv'rt)
)'
82 SoEMONO, TEGANGAN 1
Igssp
CO
i
I/{
(ep) p
e66urr{as , sn.ln1 p.recas
6ue:m1-raq ur)ieur 0p (^-r)
unrNS-] sluvc
vrur)t 91'9
Is'9'q9
'1esad r{TqaT qequrp?raq E3 = oqpqureljraq (sp) n1retr , p.duue6ue[
= sp urEJEp Tdel rlp>lapuau uT>{EW
9
SDP1-ros , ', - 3
(sp) v-ued-red Euepas
[.-*'
urcTT + - qI gurc 9T - =
:>ledueqas e[;a1
ue>[up1E[uaur n116aq u€6uap ""p'# d = dg qnp[as un.rnl 6 6ue6ad->tT1T,t
-n1uar nlted 'v,s 'q, 'ru'n .r*u ,r*r"n Tp ,r;i";il":r:1":.1il:1t"ffi
. (Z' * rs\- = sp : .=P\ ,{ ''rt) (pP) P A
,P
'=
l Ig s-, or\ ^',o
a o
\s -^*E /- sp = DP-rcP
-(!'"-"'P = oop tpe[ ,^*: sp = osp' sP o-r
Trqurerp L{aros .- = onp
"sp'S '^ ue6uaP
qequplreq Tur lnpns 's1q uawou e^6.uepe
Puere{ tilelel ,} = op 'qecpr:eq 'sp. >tepT? ur1o16ueq-zad sn1pef, e>lTf
'S Tp uep V tp 6un6
-6u1s s1.re6 p.re?u€ lnpns = lf, = ,e'rnlueTeu l{eTaqes uE
-r6eqas sp = BV uep -rn?uaTau urnTeqasnqurns uet6eqes qeTEpP osp =
oEoV
(te's 'se) xo)eNrscNvrvg vovd unlNS'l Sluve st'g
'z_ruc ort SF * = .ro* + = e'no :sn.rnr {oreq pppd
Oat 67=19 = g . T'_0-09 _ c^ ,tTgZ _ = 9L T'002 _"c -r{vl wwgTI^r
fx+u 1)- = P.,{ rruc r = f, - o.:r
= oI Jurc 69 = fst = .,
'q rs'o = * brq. = (#uro = #or'o = ftl,r{e =,{Jurc St = q
+ -o.f, = Q-z Juc'gL = tl,! 1or =
n:r
= oz. 'urc 0E - q ,luc OZ = g t6es.rad 6uedruel :qoluoJ
9l.,-gl,-yL'g
'llrc 09
s .16-17
r ^ z 2'2u = ;
p.6n - n' *.L (p bekerja secara sratis).Kerja ini tergoLonq kerja l-uar.Sekarang kita pela)ari kerja-da7.am,Jika pada tampang x bekerja Llyr maka tampang berputar sudut d0 = M* *(Pasal 5.1, cb. 5.1), sehingga momen M" menjalankan kerja sebanyak" Er
| *,.d0 = u2. ffi,, ,.rrn tergorong kerja dalam.
Jum1ah kerja-dalam pada seluruh balok menjadi:
v =[M:. b= #t{Ar* * /or'','a,)
, = #(/(p 3*)'a* * yo(p ?*)'.du = *1]^'o'* ].'u') = #.Jadi ternyata kerja-luar = kerja-dalam.Sekarang kita tinjau kejadian seperti pada pasal 5.9rnuh merata q. Persarnaan garis-lentur : V = fi(j l'"Titik pegang beban unsur 4p = qd.x beralih sejauh y dan
Isebanyak I tdx.V.
dengan13'=llxb
beban
muatan pe-1 qr*T;* )'
bekerj a
u-luar = i+q dx.y = #; /G u,-
u-datam = [*1* = # ic aj x -Jadi, juga di sini U-luar = U-da1am.tul = tksml .
A
,fu
1:1- Er* * DI:16'* *D*
q\ o'Ltvl=j-__^ / 24oErr 2^54\ q x,J=-/ 24a st
5.T7 BATOK STATIS TAK TERTENTU
r) DUA BALOK YANG SALING BERPOTONGNI
a) Kedua balok terjepit sebelah, masjng-masing di A dan di B, dan ber-tunggalan ujung di C.
Gb. 5.32a
84 SOEMONO, TEGANGAN 1
AC = [, deng,an ErI, dan beban = q,BC = .0, dengan ErI, dan beban-=-gz
Kita anggap balok AC membantubalok BC, yaitu memberi reaksi keatas sebesar X di C pada balokCB dan sebaliknya menerima teka-nan ke bawah sebesar X.f!n= lenturan ujung C pada balokCB jika balok CA tidak ada.
4
^ q".q,..'f]o= ;ffi(ke bawah)
flo= Ienturan C pada balok CB
x.e:akibat[=-ffitn.atas)l'2
A
Igc'
a...-.-- _i
J=o:]+o- =Q'J J'J =
- 'r'g 8v
t,,
up1eleT-rad XT+Ta
V
'qelaqas 1'rde[-re1
S€I >toTeq eped 3
11g {oTeq eped 3
UNIN3'I SIUVC
czt'g 'q9
{oTeq nles (c
Tp uauou - o'w
Tp UOIIIOIII = "tW
qzt'g'qD
'seqaqBnp sPle 1p eduurel
,r* L - lr,u L
=
tr* {
..; r71b ! =
V
"il* "3t= "J,'rt, ?8e - Pc,
F-o', oir*ol:={'J.zrzg. ?Bt _ eor H-ffi- o' u
qo cr3,f + :.J
= oit ,o
o3J
OJ
-jo
.c, _ PJt _ P3rr - ,' ,r'
. TrTgE -e)a t tr'uz TrrEE
= ", -.-----=;Ir*
e |za iru o
. c Tp qv {oTEq Tn{rluoru gg
>1o1eq tpe[ '(1n66uerueu 6ue,{)q 6un[nrp d ueqeg zT = gg le = QJ J"d = DV
"1=r'b1=a, f *.7'b f = v :ue>{e1e1.rad Ts{eau
-rta?8t 'r'gv7t y'T'!8v , TrrES?1----::- --7;=-='-T-'n
|zns 'rt'os a "rt 'rt )
J_
, zlzs. Bf e3-'
-_
= ,l;7x
c- - J_
9cr,J
'e.f,u1t1eqes r+rpf,eq O
)toTeq 6u1seu-6u1seu
'-'rw_=lr*'6u1seur-buTseu Euelueq qe6ua1 Tp {p1eT.ra1
3 6uo1od )tT1T,t 'seqeq ue{p1aT.red enp sele Tp ledep-re1 {oTeq enpax (q
'cg: eXu;eseq e6n[ J0 - uaurour
ledural r{pTue{n1ua1 uep 'ez{uueuou p1.rasaq 6ue1u11-eXe6 6uep1q l{eT.requre9
''xx +'J'" +- = Qil rttx - lr-u 1- = nw
'x -'l'b = I Jx + r?rb = v :ue{e1a1.rad Ts{peu> X e{T[ aTn?aq 6ueueru sple rp ue{n1ua1rp 11;edas
eped y qpre Tpue6ueur uede66ue 'O < X 1pdep.rol eITf
. 'r'EB . zrzE8 - ,zr.zgt * !'*\. r cr - .cr - ecr -1;G-qb- [-T--T)^ a- r
vu e' t"tf='iJ+"j;=n"J
'
-,+ = "?, uEp t# = "3r :vc {oreq
eped 3 6un[n 6ue.re>1a5 'uer{TqeTa>l sTlpls ede6 lnqes p+T>t n1t y e.deg
I = q?J + qfJ = {"J :ez{u.zrq1e epe6
tr'ftrtb
i,
2) BaTok di atas tiqa titik-perletakanReaksi letak B dianggap sebagai statis kelebihan; sementara tumpuan B
dihapus kita pelajari balok AC. Lenturan titik B akibat beban adalah
Gb. 5.33
6! " remudian diadakan gaya sebesarB ke atas di titik B (tanPa adanYabeban), sehingga titik B melentursejauh 6j *e atas atau negatiP.Oleh karena perletakan B tidakboleh naik,/turun, maka 6u = 6i + 6'
= 0 yang mendapatkan besarnYareaksi B.Sebagai contoh diambil AB = BC = l.dengan EI tetap..o I 5 Q*1a"r ]^(2S)3or= f.IE'Z- I -Ef-,ob= - 48 'E-.6o=69o+6i=gr!=
Reaksj perletakan:
5.17
,.(#.'#)=(ftx+'l . i ,i4, dan seterusnya.
o"=|s.Qe')=*-
I ^n- , Y&'4
IA' = Q' - - rB =
I8
q9,.
^1sf.; c"= i etzll
5_ -
qja.16
-1A = Ao+A' = ] al, c = co+C' = -*nu'
Moo = c" .9. = I q9,2i u' = - *ru = - i ru'i Mo = r'li+uo = - i ru'.
Gambar dan pelajarilah bidang gaya-lintang.dan momennyai tempatmomen menjadi maksimum dan no1; besarnya M1.."'Sekarang kita ambil Mo sebagai gaya kelebihan'Kita adakan sendi di i.ubuh balok di atas tumpuan B dan dengan demiki-an kita mendapat dua balok AB dan BC yang masing-masing statistertentu. " og.1Beban q di atas AB memutar ujung B pada balok BA sejauh $o" = ffi(Iihat akhir Pasal 5'9).ujung B pada balok BC tidak berputar sudut karena tidak ada beban,jadi Si. = O. Sebagai hasil akhir ialah terjadinya rengat dr bagian
Gb. 5.34- 5.34a
atas B sebesar Oi = Oi" * 01" =
balok utuh. SuPaYa balok tetaP
-3Y-, sedang pada hakekatnYa di situ24ET'
utuh, kita berikan momen Mb Yang
negatif, sebab momen demikiancenderung menimbulkan rengat dibawah B. Momen Mb Yang bekerjapada ujung BA dan ujung BC disebutmomen petalilan. Rengat Yangdisebabkan olehnya terdapat sebesar:
q
7*thBth"F- * " --- ,t
Gb. 5.35
86 SOEMONO, TEGANGAN 1
,i
II:l,
Jt$IilrnlE!i
&
/oUNINJI SIUVC.
..ru+ - xp(!-"llr1='^:ledepuau p1T>{ e1e-raur qnuad e.[uueqaq e)tTf .rse-:6a1ur ue6unltq
lenquau uep xpb=6p ue6uap d r1ue66uau elT{ ,b e1e;eu upqaq eped'Taqprrp^ x lpnqueu uep x-Z-e 'x-q st1n1 elTj
-a=L *5=v r(qs'r+T) .r*= .N qd
,o f * 'r,, + - ",r)* = q - h = s
.cr11e6au e[.ze1aq, (fi)ru f = "^
'(#/)'u = (ffi)ona =$':0 = :0 :uepures-red t6e1 qaloradrq
Ifft ea
ffi = ;0 :-resaqas uer"rel-1e6uer up{Trseq6uauruep;:t1e6au e[:e>1eq 6ue,{ ny,i uelt:raq ElT>l ,1ur 1e6ua-r sndeqbuaru In?un
(6'E respir lpqTT) (?rI2)qe6 = 16 :-rpsaqas sele ueroeq q \ q+'dtp 1e6ue.r ue{Tnquruau ueqag 'epe dela? g uendurnl 6uepas ,Tpuas ue6uap
pluc5rp V lTdaf .ueqrqaTe>i etre6 ueledn-ratu V Tp "r{ 11da[_ueuou 6ue-re>1eg
.B
[,o f.Gi -,),(o * n)] 4 =
rpuas n+T C e>g[ 'ezt .q9 1n]nuou'TE+pd-="w
x(rsft) ,'d= I ro = ls*ls =
oe
IEt q - TgZ IUt q_=---=
,?B Q ."d ,rd o "
Tp rTser{ ue6uep {ococ) Tb ; =
'xb9r -=:') ,rb9r =L= "Tt"u-Tqw-
'un-rn1/Ireu ledep >1epr1 6uetrleos ue6uap edn-ras edulnleqas TuI
9t'9'q0
.u€r{-!qaTa{ srle+s 're6eqes de66uerp g ue{elafrad . (S) eXu-uTpT 6un[n eped 1o.r sElE rp upI>{efaTrp V Tp r{ETaqas l1dat-za1 {ofpg (t
]e+ia+la+'s trb2J=x row
'0=oC!0=
'?b 2I - = r "T
fa=a,Tb+=,v*= Tfl lnb 2r - - I 1-Tow
' (sE4P
[= V o
H
]a txrl=la,^ab1= ov'(ETnuros
de66uetp t1-radesl drle6eu eC-ra>1aq 6uez{ xb Z = QN ! rgVg
= fge z- T -- ,?b Tqwz
']0 = lO : srTnl e?r>{ e{Eur , (e^uepupl) :qez.e ueueteT-;raq 6ut1es ez{uenpa>{ E^\r{Eq lnqasrp qppns puef,px .ue>lsndeqbuar:r 6u11essn.zeq t]O uen lOl 1e6ue-r enpa{ selaC qepns ,r{nin de1a1 {oTeq e,tedng
;=' = qru'r
* ]turt ='lo * "lo = lo "t'l,rz ?'w "tr-w r ' I I
LL, 9
5 .17-18
/7l-\2
o=(1.*)nu=;I
Beban ; U[ ba9ian
4) BaLok terjepit
aLi!=
kiri: l,lu =
pada kedua
I\3- ilqy = B--
q[.L32
,{ (+) u* = # q.Q,2 , dan seterusnya.,
ujungnga (CA. 5.36). Beban e sejauh adari A atau b = .Q,-a dari B.Momen jepit i,lu dan Mo merupakangaya kelebihan.
o: = n"r(ffi); oi = e"r(*F-), M-!, M-1, , M-[ M,!,r'- -g- r -.iL-. a = i- + -I-' A 3EI 6EI' 'b 6EI 3EI
(Pasal 5.9c) .Besaran 0' aiambil nilai mutlaknya,sebab berlawanan dengan besaran $o.Oj = O:, 0i = 0f. aesaran dikal-i-
EIkan dengan l- .
lr.=lr"49"'
u-=pa{;M,=pa2+9"'
Keduanya bekerja aktif.
menimbulkanOA = 6" dan
q dan kita pelajari
Gb. 5.36
l ,.* * *o= * ,"o(P) (1)
* ,.* * *o = * ,"o(&#) e)
I *.* * *o= r nr"o(p) ... (1)
^ - Pb , /Mu-Mu) ^ Pa r!]!to=1.\ [-liB= [-\ I /Oleh karena ujung A dan B terjepit sehingga masing-masing tidak dapatberputar sudut, maka putaran sudut antara A dan B = noI, tertulis:
'B t ^I=6,J/tu..d*=0./ uo = o, {*, ir - -, Er o/ -x *
Ini berarti jumlah nilai aljabar luas bidang momen antara A dan B =nol, atau luas bidang Ml = luas bidang M*, jadi luas segitiga AoCoBo =luas trapesium AoAlBlBo.
5.r8 TENTURAN SERONG (cb. 5.37)Sumbu inersia utama X dan Y pada bidang tampang terletak serong, bebanbekerja vertikal, sumbu-balok mendatar. Sumbu inersia X membentuksudut o dengan garis datar. Beban q diuraikan ke dalam 9" = I sin cr
menurut sumbu X dan g, = I cos cr menurut sumbu Y.
qx menimbulkan My yang bersangkutan dengan I, dan g, danM* yang bersangkutan dengaD f*. M* menimbulkan lenturanM'" lenturan OB = 6* .
Sebagai contoh kita ambil beban penuh merata
Ienturan di tengah-tengah bentangi M = * nr'L.zL2M* = 6-
gr[- = ; S[ cos 0 = M cos q
BB SOEMONO, TEGANGAN i
rA-
68UNIN3.I SIUVS
q/t'g'q9
' (3r11e6au , ,BO)
^r.g zr ^rg8?,f,t- D soc zT rw ,T*d
'rg8t ^- =-=l
,7^d '"= xAd
{ = 1*t?
,W = ?a.jl Jn soc d = xd uep D uTs d -Id'n1Ts Tp f,E1€pueu 6 e^f,.e6 uele[.:a>1rp
rur 6uelueq qe6ua1-qe6ua1 IT1T1 efiedns,^J ='J !p soc *J
- ={*J Jn urs ^J =u'J+^dJ =^J tp uTs *J =^*J Jrc soc ^J =^^J
(,vo) ' - ,,]'"=,tl 13 UrS z? , Id
rcsocrW-=16lnulsrW
P)tEur '-rPlppuau -rn?uaTeu {ppTl
'::";'I:";i.lnrgSr x- 'PuTszTW f=
J*rgg?
^.,{q *rutgE
^- -..........-='xU'-=-J 9 v- S
- rc urs -Tb I =-.d*b az
Jn soc ,XW '
xl uTs wgT=trw
ezt'g 'q5
'vl -I
V
'uiI
8 t',9
5.18-19-.r --t I -l .fy = f, sin o.; f*n= - fi cos q (pos)
€t - E' , gr - A'Al + B'Bl,h - .yh , rxh
Sarat: fn I fn = O yang mendapatkan P.
5.I9 HUKUM TIMBAL.BATIK
,f -I Yo,
c
Gb. 5.38
di k sendiri), uurl ylj = pf 82dsET
a) Antara gaga dan gagaDi suatu titik k bekerjalahdan kita menghitung ordinatnya di titik j, tertulis yjr<(ordinat lentur di j akibatP di k).
gaya P
l-entur-
9aya
Kita menggunakan cara dengan bebansatuan. Momen di penampang S(yaituM") akibat adanya P adalah pq dandari beban satuan (e = t1 di jadalah B; dulu d.engan istilah: M
dan m (Pasal 5.5).rerdapat y.*= f p.o.B ffi =
^ ds ^dsPJ .s.S. ",
, dulu M.m.J EI .
Sekarang beban P di pindah di titikj dan kita akan menghitung y;r.(ordinat lentur di k akibat bebanP di j).M* akibat P = 1 (beban satuan) diO = 3 = q dan akibat p di j ter-
P
dapat PB. Dengran demikian y*. =r-dsr^ds, Pi{-cx P rcx-ts.
-.EI EIJadi terdapat: ylx = yri .Ini menunjukkan adanya hubungantinbal--bal.ik antara lenturan di jakibat adanya P di k, dan lenturandi k akibat P di j.Sebag.ai konsekuensi terdapat yxk
= F J ,x E (tenturan di k akibat p
(lenturan di j akibat p di j sendiri).
b) Antara nofien dan momenKita memberi-kan beban momen M
sudut tr: di penampang j akibatdan M = 1 (satuan momen di j)terdapat ojk = J MorB* HJika M dipindah ke tampang iJadi terdapat lagi tdrx= trl4, =
90 SOEMONO, TEGANGAN 1
pada penampang kMdikitu.Mdimenghasilkan M"
dan menghitung putarank menj-mbulkan M"= Mo,.
= B*. Secara analog
terdapat:u -f q.B.
= .f r,ro*B*. SKemudian.** = M -f *; H ,
0rjdsEI .
7
T6unl.Nlt stuvc
qnrebued rollef lnqasrp qaroq 'r-rrpuos e^ur.rrp lpqT{e rp6Eqas ,edueI--re{ r{E-re a>{ rd etre6 6ue6ed IT1TI ueqrle-rad sele qnre6ued.rol>1ef ={rg
'tlnJ ua*o* r{aTo u€>tTTSeqTp 6ued ,e,{uet.za1 qe:eln"rnuau 16 ede6 6ue6ad {T1T1 ueqrle-rad depeq.ral qn-re6uad :o11.3 =trg . rd ede6 leqT>{E ,eduet-r51
qe;P rn-rn,,au, rw uauou 6ue6ad :qr: fi,:]:ffi:l; ::;=;H:_,;lHi"=JI
-et.za>1 qp-rp lnrnueu 16 e[.za>1 6ueptq ue-re1nd sele r{n-re6uad .:o11ptr = [rO
.114 ueurour qaTo ue{qpqasrp 6uez{ ,eu{uqe.ze
1n-rnueu !6 uaruour 6u_p6ed 6uep1q ue.relnd depeq;e1 qn-ze6ued .ro1>1eg: - rCq. f{g = r!9 e1e.,{ura,I . ta 1r=p Tpsp.raq ,eu{ue[ra>1 qe-re
Jnjrnuau Id ede6 6ue6ad {T1T1 ueqrle-rad depeq.ral qn-re6uad ro11eg: -rtg'{d ede6 T.rep Tpsproq ,e,{uet-ze>1
qpJp 1tr.rn.l"* [d edp6 6ue6ad {T+T+ ueqrle-rad seqe qnte1uad l:o1>ye1 =\lg: T1f,v
'lo t^ = # o*r1t^ = t]o , 't o'd
. !!Ot!{ = * lelt^ = tim r{r6rw SP Z'
. tr0r^ = # *o,g/f^ -(r, I r[prrnr
=
rg=-sp
IU=-spIE ut
sp
*gn1Id =rtm
ohlrw =rrm
0'n/{w =r!m
' ttg'u = # dlta = it,{, "9'd = # .of'd ='r,{
r f',gcd = $nrcg1ta = !,x r rtg ra = $0r1ra = >rc.6
.edure6eqasuep [ 1p et.:a>1eq 6ued uauou f'^ ,r{ rp e[:e>1eq 6uez{ 6 er(e6 rrr=r.q'lu
'.(n rp d l=qr>{p "
,=,.".uiti;-:*il: :;=il""=l:;1,.:*;trili; #,H;:T J (x Tp d lpqT{p g ue.zasa6) *og = e*,I ,s Tp d leqT)ie x >rT1T1 ue.rnfuaT
:qelledepro1 . (E >tT1T? ueqrle.zad :re[etaslg Tp d = >t
Pz{e6 uP-ITf,eq_g1T>{ (JT'9 lesea_) q uep eLZ.9 .qe T+:adas ueun6uEq EpEd'"1^ =
*lr rc.reque6 !*9m = 9*o : q.reqrue6 I*a,{ = *{^ :e requrcc
. gt. g reque6 eped 1eq1T.ra? ureT purps nles. t,'o = {lm ,11seg
' S *so/a = # o'gu1= !r,t rper
'p r.{eTppe { Tp T = d legT{e uep'm r{PTepe >l Tp T = d ?egT>{e uep ug6
ledep;ra1 tr Tp ru+a .resoqas ueuou leqT1e s6 : (ueurou r{aTo ue)tTnqurT?TpqPqes.'{ g:n.znq eped ,uas{E. s{epuT ue6uapl E{.d nlre^ ,>f Tp uPJnluaT
' # -nr/u = S
*onay = rtm ledep.ze;-'g ,{rT=p= [ rp uenles uauou leqT{p upp Dd = 6 1eq11e "6
'up1em{a{ e.de6 qelo ue)iqeqesTp eua.rp{ ,o 3ntnq eped ,ues>{ers{epuT Tr{nqnq p1r>l TuTs TO . {to sTTn+ro1 ,Tpe? { Tp d e,{e6 1eq1>1e6uedueued ?npns ue.zelnd 6un11Q elr{ uep >1 rp et.zelaq (uo1) 4 e,{eg
N uewan uep d efreb ezeluy (c
.edusn.zalas uep ,# :rJ^ = ttm
uep T;rrpuas >{ Tp I^i leqT{e le6eqas >1 6uedueued lnpns ue.:e1nd n11e,{
6t'9
5.19
pribadi gaya Pk.011= faktor pengaruh terhadap putaran bidang pegang momen M* menurutarah kerjanya, berasal dari diri sendiri, jadi juga merupakan faktorpengaruh pdbadi.Nilai aljabar faktor pengaruh antara gaya dan 9aya, momen dan momen,gaya dan momen mungkin positif atau negratif, lergantung pada arahkerja yang satu terhadap yang lain.Pada Gb. 5.38 terlihat 6i1= 6xi, Qjr= 0x1; 0jr= 0llyang semuanya posi-tif. Apabila P5 diubah menjadr bekerja ke atas dan Mo bekerja ke kiri,terdapatlah 6ir- 6rj, 0ir= Qrj, 0]*= +ii negatif. telapi faktor penga-ruh pribadi (6rx, 6jj, $rx, 0::) selalu positif, sebab peralihan titikp9an9 gaya akibat gaya itu sendiri atau putaran bidang pegang momensebagai akibatnya sendiri selalu searah dengan gaya atau momen itusendiri, berarti positip. Juga terlihat pada rumus"f"' H atao/cui ffiyang menurut matematika selalu positif.Kesimpulan terakhir:6*t= 6ir; Oxi= Ojx , 0j*= 6ii ; 6:*= 0i:Ini adalah hukum tinbaT baTik l[axwe'77r yang sering digunakan di dalamsoal statis tak tertentu.
92 SoEMoNo, TEGANGAN 1
t6
undneu {Tjreuau leJrs.raq 6uer( >1teq ',(nTnp t.rep buedurtduaurl JTlTSod lnqasplr{ nTeTas "o 11:e.zaq TuT ,TpBf ''O ue6uap EuIEs IeJTS P>tT[ ]TlTsod epuel
-up+ T.raq e111 6ue.d *o lnqas PlTlt TuT W qaTo ue)tTnqulTltp 6ue^f, ue6ue6aJ
'Teggvrg :6uedure1 ?e-raq s1re6 Tp Tou leurp'rof,aq 6ue'{ e6rX16as
edn.req ue6ue6el ure.r6e1c'ed.uqemeq Tp I-inlP[ >I e>tT[ ueue>1 a>{ uep 0 sPlE
Tp qnle[ 1e,{e6 {T1T1 e>{T[ TjtT>t a>1 .re1nd-zaq 6ued 3N-W ueuou leqT>lv (q
..VrVoVoV t6as.rad edn-zaq ue6ue6a1 ure.r6etq '6uedure1 qn.InTas tp ez{u1e11u
deea: 6uer{ 9 = 'o Eleleu Teu.rou ue6ue6a1 I{PTTnqurTl srrluas N leqT{v (EN
.ue1euew de66uetp N TUTS Ta '(Z'9 'qD)
xn)tT.Iaqte6eqasue{TEfnTpI-IaToqnlTsT.Iluas>1ae[:ra>1eq6ue,{NlEcr.r>{E, a>1oo11 un>{nq Tln{T6uau E1:ras (ua6ouoq) patez{uas leJrs'raq 6ued uerieq epPd
'sr.r?uas e[.zo>1eq N 'O=ce66u1qas O 1E-7eq )tT1T1 rnTETau 5 ellqede uep ueln{6uesreq 6ue^d 6uedurel
epedsptluas{aet:a>laqNTEuI-Iou-e'{e6ue1e1P)tTp'tutup6uap6unqnq'rag
I'9'q5
'uesTrAues>{a-a>f lnqesTp 'c'o nlTe'[ 9 6uedurel feraq
->[T171 redures e,{u1e.re[ vep eheb-]tTlT+ ue}Ieupu P+T>l TuT X 6uo1od >tT1T,f
:11-nqr*" de66uerp1 eurc?n lesnd eTS-Iaur ncsrlns sPlE rp >1e1a1'ze1 6uez(
>I )tT1T1 Tp (sTl?euTs {n?ueq-raq 6uez{) 6uedure4 6uolouaur 1tr leur:ou eIeg
(r'g 'sc) xvelr slulNls)l 1'9
SIUINlS)1
x
1VWUON VAVE
6.1
yang menekan. Kemudian, akibat dari a) dan b)aljabar (superposisi) sehingga terdapat: o =
kita gabungkan secaraon * onr'
ATAU
ionr*4-rk---------,l
Omb
ATAU
Ao
Gb. 6.2
Sekarang ada dua kemungkinan:1) Seluruh tampang menahan tegangan sesifat atautimbul tegangan positif. Jika K jatuh di atas 0,minimum pada tepi-bawah.ob = on 4 omb > 0 dengan arti o*5 < 0Dan apabila K di bawah 0, tegangan-minimum ada dioa = or, * o.. > 0 sedang omd < 0.
2) Sebagian tampang menahan tegangan positif dantegangan negatif.ob = o, * omb < 0 jika K di atas 0.o" = o,, * 6*^ < 0 jika K di bawah 0.
94 SOEMoNO, TEGANGAN 1
A1
pada seluruh tampangtimbullah tegangan
tepi atas.
sebagian lainnya
Sr--
-.ra1 PIUPI{ 'fT1e6eu nele
'J=, .M
"il+ne1Eo=r*1 -ers=qo
eltqede rpe[.ra1 snsnq{ uerpe[a;c uesTrluas)fa-a{ epeda>1 6unque6"'o 'de1a1 6ued p TeTTu ue6uaq
SIUI.N]S)3'IVl^IUON VAVC
t'9'q0
'o=(c\= "o nele qg
.e[psJTllsod n1t
'eduteltu de1a1 eduenp-enpa>1 6uez{
Td 4cm--= U^dNI ^._ ,{ _cN*_= PAN
0 1P.raq-{T1Tl sElP rp
q. a:(a^ M J y=-T-=
CNN.ur,^ tM ,{ __= CNN
0 r{E/vrPq Tp x_>tT1Tr
. o*-g-CNN
. "M ,iI
CN'N_ q^oEd
T='Muepi=PMr{pTTlsT ue>1epe6ue6
a*o + 'o = Qo
='T'ot*O+'O="O=stEEO
epE X e.de6-1r119, (p
q^I
to
(q
qo
no
Hnve nvtv llNt-)ilI[ :NVCNVC]r NVCNnI|H Z.g
'X )iT1T1 lqne[uau nTETes elras 6ued-rup1 ureTpp -rp ledep:aq (7 uelpete>1 eped uep 6uedurel .zpnT rp ledep:aq
Tpt?au s1.ze6 (T upTpete{ pped .1p.raq_sr.rp6 ue6uep pups t6e1 1ep116ued 7e-r1au-srte6 lnqasrp O = *g + tb = g lE.res rqnuuau 6ued sr-reg .eu{uue6ue6a1 gtllsod nleJas nlT X >tT?T1 6unpue6uaru 6ueX6uedureq upr{eTeq qeqas ,yg qere Trqurerp nTeTas JT4TSod l_nqums r{e.rq
z-1,'9
I
I
-lqxI
I
_t_0;j"v
;
I
6.2
Gb. 6.5
W.
t' = t. = OK" = radius-inti atasK" = inti-titik atas.
^NNc-Wud_ = O; - - :: = 0 ataU a = F- .A'FW"w
i = ko = oKb = radius-inti bawah
Ku = titik-inti bawah.Besaran k. dan ko dapat pula dima-sukkan ke dalam hitungan tegangan.Ki.ta namakan OK = c.
Gb. 6.4
NNcN6=-+:::=-(k.tC)."b F-Wo Wb
N ,r- + ^\ - Nr^ila(Kb a c) = Neb = momen-inti bawah atau M*o."a
ptf" * .1 = Ne. = momen-inti atas atau Mka.L,
Jadi jika c , k" atau > ko, maka e" atau eo negatif dan sela1u terd.a-pat sebagian tampang menahan tegangan negatif.
Contoha) Tampang persegi bh
'low.= wb=w= ;bhzi k"-ko= k = # = |r,.
/l\rI -h + g)N(k t c) "\6 /=#W L.-z
7bho
Pada o.r, = 0 terdapat c = | n a""1r,3-- _2N_._0..k"- 'n'L, - bh - zvn'
=bh6
b) Tampang Tingkaran_ I 4 _ 2 _- I 1_ 3t=ilrT,.T=rtr;W=T=4n,
W1V=---=-rF 2 -'
6=v maks, nin - 1 j
- ilf4
Pada o^rn = 0 terdapat c = * r.'4
1
,, 2No = IJ.";' -;
= 26^.naks I I
- 'fit 'llt4
96 SOEMONO, TEGANGAN 1
NNcNo- =-t-'-=L(kbtc)dFwawa
Onaks, .i.
/t\N\artc, i
L6SIUI-Nf S)3'IV]^IHON VAV9
'^uo + **o + ,o = o: ,(-
'* = "o i "r {u, = Aro l I *ia _r*o Nx"'-7hl=
rc = A,,o ,=r=, ,l^=u=i='='L= ":
*c = *xO >1e.re[ J+x qpre = *x - O
'I ncgms sPlP Tp X 1s1az{o.zd = IX'X nquns sele rp y rs>1ado-rd =
*x
'lT+Tsodup.rpen>i rpefue,tr nTETas TuT x )tT1T? bunpuebuew 6uerl tr19 ueunsns eped
uetpenx'Elupln ers.rouT nclums sple Tp {elaTJe+ r6e1 1ept1 ; e.de6->tT1T,I
cNouss srurNrs)r] ]vulsN stuvc )vrl] ?'9
d=or{-"M
= c iO = "^c
'0
= c lg - q^dc
rIu 6l- - .
.{- T t0 =
= to Jql
-Ern= t"
IJE'*-r rnTPTOru N
4'rt-^e
-=T
z
9r
"d,.{
I
o^d
TI z'
ThTETAIII
nele e;)r{n.rnTas
.g = qo lP;1
N :1nIr-raq te6eqas qalo-zedtp ledep e6n[ tut ueledepuad-1rseg
o"{ ort = -i = c j'd - = tI tqx rnTeTaur Nz'
">1 = 9d
- c !9I - = ,r{ J"x rnrerau N 'tz'qr{- ne?e "d - = or(
: rst6uaur E?r{ TE-r1eu-st.zp6 upeues:ad ueTep TA ' (qX
TluT->tT1T? TnTeTauI N TpE[ 'fT+Tsod ue6ue6e1 ueqeuau Euedurel
1lrerag '6updure1 rdal 6un66utdueur Te.rlau-sT.rp6 .'snsnqy snspx
tT) o.9'9 'q0
TT z' z''x >te1eT uP>tnluauau ledep
elT>[ '1o.[ ue:esaq nITEI) Tnq€1a{TpTe.rlau st:e6 >1e1e1 e>1t[ 'ez{u>1t1eqag'x-nqums depeq.rel y >tT1T1 eduueaa,el
qeTaqes 1p s1re6 {e1eT rlf,E.raq snuTulc,. epuPJ, ' r_ = -z\ qnetas X -rP[P[es
sn.rnT s1re6 ueeuestad ue>lednreur tu1o- c T"^ -- - = ^
JO - { z'.+ TT"c Z,
0 = o q"IPT Te.rlau-Sr-ze6 1e:e5
T.'(^ .=. r)* = (o+, * T)* =*,* .* : *o +'o + o
'rvullN sruvc t'9
.JIZ,-T+-
v-t'?
6.4
xry
+ Ncxo=+*u""t
I,-r
terdapat o = 0.
!=oYangmelu-av
Gb. 6.7
cx.xo1a-=O;Xo=-
IY
kiskan garis lurus.Garis netral ini memotong sumbu X
di titik C dengan absis xo danmemotong sumbu Y di titik D denganordinat yo.xo diperoleh jika diisikan y = 0.
yo diperoleh dengan mengisikan x = 0; yo = -Setelah itu, garis-netral CD dapat ditarik.
Garis grafisJika kita memakai nilai mutlaknya, kita mendapat:
.2.rv
xo = li- atau X. : ir. = i, r c*"x
Kita melukiskan titik B di atas sumbu Y sehingga OB = i, dan kemudianmenghubungkannya dengan titik Kx. Sekarang kita tarik garis dari titikB yang tegaklurus BKx, sehingga memotong sumbu X di-:titik C. Di dalamAKXBC dengan lB = 96" sedan! Bo I CK* terlihat: Bo2 = co . oK*.
, ''ii=co.cxatau"o=3.Jadi panjang CO = Xo.Sekarang ambitah OA = i* di sumbu X, A dihubungkan dengan K, dankemudian ditarik garis I M, dari titik A yang memotong sumbu Y diritik D.Dengan cara serupa terdapat OD = y".Jika sebaliknya Earis-netral ditentukan Iebih dahulu sehingga C dan D
diketahui, kita dapat memperoleh letak titik-gaya K yang selarasdengan cara di atas (terbalik urutannya).
Hubungan poTaritasKita pelajari titik gaya K dengan ke-eksentrisan C^ = ul dan C- = vr .
Persamaan garis-netralnya, yang kita sebut garis a berbunyi:u,x v,y
, * -- * :i- = o (1). Di sini x dan y merupakan besaran variabel.1.. I.-t^
Sekarang titik gaya kita pindah ke titik K, yang terletak di atas garisnetral a tadi dengan koordinat x, dan y. ; jadi c* = Xt dan cy = yr .
)l-..
v
I2
i*cy
= *(t * ., 5 * .*. +)- a* Iy
zI-.2i*=F:danir=Pada garis-netralI + cy. 5 * .*.
ax
98 SOEMONO. TEGANGAN 1
SI UI-N3S)3 IVIAIUON VAVC
' z_uc6I d :eseqas e?e.rau Tplrlrouerpcas TueqeqTp JCAS n?Tetr ,6uedure1
uetEeqag '(q6'9 'qg) r{=CV T6-6rT+ uep q-Eg sele 6uelued ue6uep
ASV TIe{Pures e61116as ltqure eltyqnuad 4e1 eaerew ueqag (q
',I uep ,y ue6uesed depeq-f,e1 r{eToq {epT1 TpE[ ,n1r I upp
x eueln nqur[s depeq-ra1 ue{n1ua1rpsn.rpl{ Ic uep *c uesT.rlues{ee)
'edu1nfgeTas ue{eun6.zed e+r{ sn.rpr{6uer{ ^1 uPp *r ,edueureln €TsJaur
uoluolu 6unqtqrp edu.rrqle pppd '(.rr{o6ue;re>16ur1) tr uep x eueln nquns
,i _ x_.rlp.re up{nluauau (r{-rr)
- =on7 b7,"^rs Z
'(,tr rep ,y depeq-re1) ^Is,r=p 1r ,fu :6unlrq6uaurElTlt't'T Tesed urerep ue>1se1a[1p 11rada5 'n1T O >lr1T? rnlelau 6ue.f,
gV.re[eCas ,I nqurns uep Cg f,E[e[as rX nqums lEnqTp uerpnua1 .O Ae.raq->tr1T1 {p1ar rre{nluauau e4r>{ pue?-puex.rad '.{ }tr1T? TTqurerp e.de6->1t1r1
te6eqe5 'e6'9 .rpqureg eped 1eq1T.re? rl.rades ggq3gg Inluaq'r.re[e1ad elry:Z l:ntnq buedwel (p
6uotes sfJ+ues>1e uebuap uebun7yt4 t4oluoC
'selpreTo<I uebunqnq lnqesTp ez{u1e:qau-s1.re6 uep eu{e6 >{T1T1 EirE?uE up-T>tTtrap ue6unqn11 ')I TTsp p^p6 >{T1T1 TnTeTarr 6ued n-req Te.r?au sr:e6 qe1
-ledep.raq ,e.f,u1e:r1eu-s1.xe6 selp Tp )tT1T1 e1 qepurdrp y e,{e6->tT1T1 E>tTt'?n>tr.req teEeqas uellndurlsTp +edep sple rp uere.rn
uppue6uesed up{T1er{rod8'9'q9
'x >tT?T1 rnTeTaue6n[ 6uer{ zq s1:e6 qedep.ral Tp.rlau
s1:re6 re6eqas e>1eu 'eX uep zx
+puTp.roo>t ue6uap e6n[ e st-re6 se4eTp
z X >IT?T? e>1 qepurdrp e.r{e6 >lT?T+E>tTf 'x )iT+T4 rnTETau q Te.rleu
s1.ze6 T?f,e.raq Tuf '(Z) ueeureseed
rqnueuau ta - n uep Tn = n tper 'l'nleurp-roolt ue6uap X {T?T? ue{npnp
-e{ r{oTo rrp>tTTseqrp (T) rrpEuresxad'TaqeTxP^
ue.zpseq le6eqas A upp n ue6uap
-l(
G) o=l_*j*. .{\'^ n'x:1edep.ze1 'q st:e6
n11e,{' e^f,u1e-rleu s1.re6 upeups-xed
v'9
e6'9 'q0
(i,). /uq\\r,i
6.4
vf,3h
Berapakah jarak y antara A dan CCsupaya tegangan di D, yaitu oo
menjadi ekstrem maksimum?Sebelumnya, kita menulis besarantertentu yang kita pergunakankemudian.Letak titik berat O sud.ah jelas
't
setinggi ; h di atas BB, jadi2-1Yu=TnrYo=ih.
cb.6.9b r=r*=*on'iF=|urt,wu=L=)un';wu=L=*on'
n" = F = * n, ko = F = # n, :.' = * = * n,.
Titik berat trapesium seperti BBCC tidak begitu mudah mendapatnya.Untuk memudahkan hitungan kita tulis:No = pFi Nl = p. Luas AACC = i tiliN = No - Nt.No menghasilkan oo = p d.i mana-mana, jadi juga di D.(oa )o = p.
N, bekerja eksentris dengan " = ! (h - y).
(ou ), = -(*) {,. 3(f)} densan k" = F = } r,.
2,(oa)r =-n+G -4+q)=rq,1 $lSupaya (oa )r menjadi eksrrem, *.ru {$, - 0, , = ! n (ekstrem
maksimum) (oa. ) maks = "(i
- *) = i r.oumaks = (,.9p = r,25 p jadi > daripada jika dibebani penuh.
(ou)i= "(p) l..:try)) = -n(" f) = -n(?- 3) = - |,.
oa = (ou)o + (or), =
Catatan: oo = L,25 p terdapat se-panjang garis BB, jadi ou = otb .Kita menggunakan hubungan polJii-tas, yaitu menganggap titik osebagai titik gaya dan garis CCadalah garis netralnya. Kitamengisi: c = r"= + h; yc= - * =
'I
- e h, yaitu letak garis CC diatas garis berat, atau sejauh
Yb+h
(, - ?)" - -0,25 p.
Gb. 6.9c
100 SoEMONO, TEGANGAN 1
IOT
EIuIeJTS pues 6uE^ ue6ue6a1 ueqeuaulEuedurel qn.rnTas 'TUT t{TTe6 urelep 1p
6ue6ad->1t1T1raq .ren1-ede6 PuIeTaS'6uedwel r1ut OuePrg nPlE
qTTeb :ue{euieu e1t1 etruureTep TPepe 6ued 6ueprq uep dn1n1.re1 s1.ze6ednreq 'uTeT eules n+es I-lTTp6 >tT1T1uel6unqnq6ueu 6uez{ srire3 'e66utq-ra1 {p1 e6n[ tlur-]tT1T4 edulez{ueq uep
TluT-)iT1T1 nlES ue>i11seq6uau 6un66uts-st.re6 de11 er,rqeq leqrTaur e1T)'(rnqela{-!p CO = o,{ uep
co = ''x eleur , TraqTp oc euorp{ qeTo) x {T1T1 er{u.r1q1e uep , ^x ,=p *x
IT1T1 ue>iledeptp upr>[ruap ue6uap e66utqas ^)o = rc uep *ro = xc 6un1
^c xc
-tq6ueur =*T, ':-; ',{ uep j - = ox 'sele tp ueledeprrad ltseq TrPo
esrTeue uebuep ezeS (Z
SI UIN]S)3 IVIAIUON VAV9
t r'9 'q0
0r'9'q9. qTTe6_>tT1T?
te6eqas ?pJrs.raq 6ueX x e^e6-)tT1T1rs>1ado.rd qpTET TuT ^x upp *x )tTaTr'^x ,rT+T+ rp I' nquns 6uo4oureur 6uer{
vc T sr.re6 TUT v )iT1T1 rrep qPT
->lTJreX upp 'v ue6uep g qeluel6unqng'"x >tT+T+ Tp x nqurns 6uolourau 6ue^d
aC T sT-rE6 lTre+lp g Tjtep trerpnu-a{ uep 93 sg.re6 qpT>{rf,p; '(qemeq
e>[ nP?P sPlP a{) ^T = go ue6uep,I nqums sE?P Tp s >tT1T1 elnd ue1
-n1ua1 uep (ueup{ a{ nplp TjrT>{ aI)*T = VO e66u1qas x nquns sele rpv >{T1T1 qeTuP>{n?ual '6'9 'q9 ?rur
-nuau eJec ue>lTTeqa>i ue>ledn.zaui tu1
(oT'9 'sD) srlezb ezeS (r
'e..{u>1e1a1 ue{n1ua1rp qelaq 6uez!
Tpr?eu-sr.re6 ue6uep sereTes 6ue.f, tut x I{TT€6 >tT1T1 {e?aT r.rPcueu up{Ep?Tx 'i/ffe6 nele T+rT-4T17? lnqes ElTlt TUT er'r11s1:ed ue6uap sP.rETas
6ueu{ X E^p6->{T1T.l '(>to{6uaq st.ze6 edn:eq 6uedurel tsts e>1t[) eu{ueped
6un66u'rdueur ne?E 6updurel 1s'rs ue6uep ueltdurt-zaq e.du1E-Ileu-sT.re6 11:e:aq6uer{'0 ='r'o'lTurTT uelpefe>1 eped '6uedurel splpq renT Tp r{n?p[ sn.zeq
Tp.r?eu s1.ze6 ,lEJTSas 6ue.,( ue6ue6e1 ueqeuaur 6uedurel qnf,nTos ez{edng
rrNt nvlv Htlvc 9'9
'(os reuobelp :te[e[as)v tp e.de6 {r1T1 eped +3X-::":-]:;'r:;rJ-;"$r::'urnuTs>{pru uells{e eo ef,edns ue>[n?uaueu n1te.[ 'c6'g 'qD qCg111 16as:ed
leos eped ue1eun61p ledep ruT E.rPC 'rueqaqrp I-IaToq 33gg ue16eq e.dueq, (JT+Tsod) unrnTs{eu uafls{a rpefuaur po ededns Tpec 'dTle6au 6ue.,{ po ue>1
-11seq6uau OC sele qeTaqes Tp ueqeq {epT1 uep O = po uP>tTTseq6uau 'n1T DC
Tp.rxau slreb splp rp ueqaq de11 qeqas 'v I{ElvrPq rp q 9 = q, ? - ,9 = ^ ';E'T'Tz
9-V'9
6.5
(positi-f ) .Garis singgung di sini mempunyai art,i terbatas, yaitu meskipun menying-gung pada sisi-tampang atau garis-ke1i1ing tampang, tidak boleh me-motongnya. Dari Gb. 6.11 terlihat, garis singgung pada titik c tidakberraku, sebab tujuan kita ialah tak lain supaya seruruh tanpangbenar-benar menahan tegangan sesifat atau positif. Jadi perkataan yanglebih tepat ialah garis-bungkus,Pasangan batu umpamanya, dianggap tidak dapat menahan tarik, sehinggadiusahakan supaya resultan gaya luar tidak memotong tampang di ruarbidang galihnya.
Contoh (Gb. 6.72) .a) Tanpang persegiSisi tampang sendiri membentuk garis singgung atau bungkusnya. Di siniada 4 garis bungkus, jadi bidang galihnya juga mempunyai 4 sudut. Titik1 bersangkutan d.engan garis r, titik 2 dengan garis rr dan seterusnya.'l 'l
0I = 03 = e hi 02 = 04 = ; b.
Gb. 6.12
b) Tantrnng-I simetrisBanyaknya garis bungkus juga ada 4 yaitu garis rrrr,rrr dan rV, jadibanyaknya sudut galihnya juga empat.
c) TamEEng TBanyaknya garis bungkus sekarang ada enam (r s/a Vr) oan dengan demi-kian bidang intinya bersudut enam pula. Titik L,4,3 dan 5 terletak diatas sumbu inersia utama, oleh karena garis bungkus yang bersangkutansejajar padanya (I, II, III dan V).
M
d) Lingkaran14,1f=;r;F=nr'ii'=.l
102 SoEMoNo, TEGANGAN 1
Lzzt
tmI
I
%I
I
brr
t0I
} S, LgZ1 0?o?-1 0,gv
1 8,0?
A O, Z9T
rtu L'u, = #+.=QM !
vu SZ'V L =
" sl'zv =
'uu og'TE =
z't's'r Ig'T'g't' I1 8T'S'8I
= 'M ,, ggL'O
gL,g = ,2.6
og'€T = T'BT a
LZ
slulN3s)3 tvl lEoN vAVg
t9 uelequraI ueuelatr
= t3 : r{pup? 1p.rag
= 'g ,1n66urd 1p.rag
= tg , suaTf lPirag:1e1r1-zaa edeg
=N
=1-+
"I=-,I
*r
9t+
'uroT'T=,f,=ort !
. os'E a6
e* Z'IZ = n7* = \
LZ d e__
2.,'IZ qM
8T+
+ ,t'e '
+. t'9 b
J
-z* - -1
=t*rq-
=A
ZITZ1T
,a
?EqT>{e q€uE1 ueuP{o& ',1
'zV1 0'T = b qeuel sElE rp uelpn6
* 'g = e TrTpues leJrag '1 0'07 ="3:ueleqruaf uendurnl ueue{af,
:TeXTlraA (E:1n>1rdg[: 6ue,{ ueqag
'f=(o+-ostr).6+=rte66u;qas ,ogE = Q qeuel-pn1eg,
.O, Z = 1,[" qeuel sluef
le.rag '8'T = /, '1e>16ued ueqeq sruaf1e.reg 'ur OO'g - eu{u.reqa1 ,ur OO't =
sele ledua? Tp 6uefued :1n66u1a'u 00't TBqel
tur O0'9 reqaT 'derles nele suaTJu0O'S=et66utg,
:uetn\n'se?e 6ueprq eped r1e1as
eues de.dual e66urq '6ue:rn>1raq uT>teursElP e{ uT>Ieu er{u1n66u1d nele qnqn,tr
'rB6uns qeTaqas ue16eq 1p edusualg:ue6uap & JnJnq ednraq sele 6uep1q
reu(undueur 'n?eq ue6uesed TjrEp r.rTp-ro1 ue?equaI uu1ela1.red-1e>16ue6
(tf'S 'qg) uebunqyq qoluoC
'e1nd sn.rnT rsrs.raq 6ue.6
11u1 ter{undurau nlr sn.rnT rsTS r{eTo TselPqrp
zw) / btt, .ffi aw )/6tt st' I
,u/7 o't=
@
6ued 6uedureX eduurnurn epe617L
, rrui = T = P1 le6n[ nelg
- = dc
= *c !a-= o.r{ =
ox
ur 0g'Z = Og' E- ) - t^d lur gg'E= 56211* ., =m
w Lz = 6 + BT = t'E + 9't = z,{ +'.{ --J spnr:6uedure1 up.rEsaq up6un1rH '6 lnqasrp b
:tpeq1:d qeup? upup>{aJ, '? O,S = X :ura: edeg: ze1epueg1 (q
'tg r1n66urd sElE Tp r{pu€? 1e-rag
er'9'q9
t-.r - -
si8
| 1oz=o9I
I
1
hl
l
'(zresed)'.r+=*=,? _oi _ =
r* ba. f-=-TA. -?-
9"9
TT7,
Tz'
I{omen terhadap titik-berat tampang
Ke kiri atau negatif:
= 5010 t= I0r0 t= 5r0 t= 6510 t(ritik o) :
Ke kanan atau positif:M"z = 4015 . 1r50 = 60,75 ym
Mct = 4510 . 2,5O = 112150 tm
IM* = 173,25 tm
M = 173,25 - 375,3 =-2O2,O5tm(ke kiri)
6.5-6
Gaga-mendatar:
r = !v.ur,' tr' (nt"- f) =
Q = qbh ,r'(nt"- \) =
Gaya rem K
OK=c=di dalam
vnaks - un
'r., ,O. 6.U' .+lrJ
H
al-as
Mx = 5r0 5.q
Mr= 5OrO.;M^= 10,0.1M"o= 40 r0 2
M", = 162 ,0 I
2u- _ 375,3M 2O2,O5 ,1 m .N 297,5 vf '
galih.L R _ N M 297,5
mFwa27
'J = N
- M ='lo-'7 -2O2'O5 -"min F WO - '"r ' 2l ,2
(sebagai kontrol).
tm
k. = 0,785 m, jadi titik K masih jatuh
.'#= (10,7+G,t)1 = r,75 kscm-2-J, t m-
+(10,7 - 9,6)! = O,I1 kg cm-2 > 0.m
25,O
83 ,3
25,O
80,0
162,O
tm
tm
tm
tm
tm
6.6 SEBAGIAN PENAiAPANG DIABAIKANBahan yang bersifat "getas" (btittle, oros) seperti pasangan batu,beton (tak bertulang) dan sebagainya praktis dianggap tidak mampumenahan tegangan tarik. Gaya normal menekan N eksentris yang titikpegangnya K jatuh di tuar garih, menimbulkan tegangan tarik padasebagian tampang itu. Jika bahannya di anggap tidak dapat menahantarik, maka supaya arnan, bagian yang tertarik ini, diabaikan di dalamhitungan, dianggap seolah-olah tidak ada.
Rumus garis netral: I + "* + + cy.} didasarkan pada F, I, dan I,
ty lx
sefuruh penampang tidak memenuhi persaratan bahwa bagian tertarik di-abaikan, Jadi jelas, rumus itu tjdak dapat digunakan.untuk memecahkan soal-, kita menggunakan cara berasal dari GUrDr.seranjutnya bagian tampang yang tertekan kita namakan tampang-kerja.Kita ambil kejadian eksentris tegak (Gb. 6.14).Diagram tegangan o berbentuk segitiga denqan ordinat nol di garisnetral DD dan maksimum di tepi yang terdekat pada N. Jadi o berbandinglurus dengan jarak y dari garis netral. rni dapat dirumuskan:o = qy dengan arti q, bilangan tetap (konstanta).dN=odP=oydF.11 =;/-aU = o.fydF = clS jika S = momen statis tampang kerja terhadapgaris netral.dM=dNy=qy2dF.
IO4 SOEMONO. TEGANGAN 1
SIUTN]S)3 IVWUON VAV9
:qqs- c_-==AO-OdsZ NA
c.€E = "q TPe[ 'P + 'I{
i, ='+ a =''q
e[-re>i r66u11 =oe.1e{ep-ra1 6ue,{ 1da1 uPp } e,{e6 {T1T1 €jIEluE >[E.rPg = e
(gT'9 'qg) qq uP-rn1n-raq t6as;rad 'snsnq{ Xnluag 'qnln>{
ure:r6etp -reque66uau ue>{e e{T1e>{ TJTpuas uE{n1ua1 P?T}t H qnln{ ue6ua1T
'ue{qaToq-rad1p 6uez( ,-- sn-req 6uez{ +g ' : = $rtuo
.PrN
r.*'r . ;"j'l ;": ; ]=:":,:::,==T,;=:*=,::";.; NN
'ooJ spnT =vTx3v senl e6$utq 'edn-r uPr{ruraPas o uep
3 rp 6ue1eq EA.rn{ 6uolourau 6uer{ rX T.rep sn.rn1 s1.xe6 11Tf,Puau Pqpsnf,aqe?T)t (P[-re{ 6uedruel seleq) Terlau s1.re6 {e1aT ue>lnluauau {n1un Tpef
'(rTsirpTp 6ued 1eqt11 vrxov senT - ccc sPnT
vroccv sEnT z ='ootx e61116as senT z.
vTcccvsenT z = Tqo'a
. Tco sT:86 6uefuedlvrgqcv senT TTP]1 7 = ! = " "t'Tq61 s1-re6 6uetued TTE>1 H = S
'','""SiI :"T;;':J ;;:l= ;':";"i
, (g1 ueueT€r-I '6'1'lesed JT P)tr?P1S 1PI{-FT1 6ue1eq uo611od T'roa1 ln'rnuew'dnlnuad st-ze6 eped q rs>1a'{o:d qel€pe tG
"'p'3 >tT?T1 Tp E^
_:n{ buolouau CrX 6unqnq6ued srreg 'r.re3 e1t1 6uer{ Tp-r1au {T1T1 s1:e6 ep
-ed 1e1a1.re1 ezr-In1 eped q >tTlT? qe1de66ug 'IX 'E^e6 {T1T1 ue>iis>1a,{orduauplT>t (Te1r1.ra^ 6un66u1s s1;re6) eXudnlnuad s1le6 epe6 '(TrT{ :eqrue6 leqTT)e,{u6u1eq p4fn{ ue>1.requre66uaru e11>1 '(lequle6-ra? {81) g ue6ua1 ue6uap qnln>t
ure.r6e1p ueE.rElup-red ue6uao .eTTd 1-retefes er{e6 le6eqas de66ue1p 6ued gp
spnTes X purpln nqums .ze[e[as .rn1e[-.rn1et urelep t6eq-t6eq1p 6uedureue6's13:e:6 pf,ecas uele[:e>1tp IPos ueqecaulad
'Tnl{€1a{rp urnTaq s uep 1 1de1a1,a r.IETEpe Terlau s1.re6 uep N e.rPlue >{P.ref
'TPrleu s1:te61n=gP.,{j[n=WP/=tl
'uf =! = . r;urf = s riuuf = r
l!=!=auepaN=wrpe[ IWdepeqral e[:41 6uedurpl eTsJauT uauout - I eueu Tp
?I'9'q0
9'9
6.6
Gb. 6.15
Gb.6.l6
alr
-2N2NOmaks =oy=ho=bh"=3b"
Jalan lain: Titik K menjadi titikinti tampang kerja d.engan tinggiho.Pada bentuk persegi, terdapat ra-
Idius inti_n =_i tingginya. Jadi dirL ]i 1sr-nl a = \Z - f,)h" = Jh", ho = 3a.
Menurut gambar, K = K^ (titik intiatas), jadi ob = 0.Ob=O.*Omb-0;Omb=-Onsedang or. = - omb = o, (sj_metri) .Onaks = ou = o^ * o..= O, * Or) = 26n
2N=-bh.
contoh: dinding penahan air dari pasangan batu berbentuk segitiga ber-sudut lurus (cb. 6.16).Ketentuan: tebal dinding h = 4r5 m; tinggi aix z = 6 tmi berat jenispasangan batu Y5 = 1'8; air, Yu = I.
oo.
II
!
olqrI
O,O2 kslcm2
--==-= 1,06 ks/cm2
b
Kita ambil potongan dinding sepanjang b = 1 m dan kita pelajari denah-nya yang berukuran b = I m; h = 4150 m, titik beratnya = 0.
a) Sisi yang miring tekena airGasa vertikaT: c^ = +hz^(u = 1.n,r.6.1 = l-3,5 t sejauh (i - )a =
0,75 m di kiri 0; ., = +6zya *.n,t.6.!,8 = 24,3 t sejauh 0,75 m dikanan 0.N = G. * Gu 3718 t.
1.06 soEMoNo, TEGANGAN 1
h1= 3,24
== 2pkstcm2
I
I
I
r,s9:15l
h = 4.50
LOI
'6i:edrlel -rpnT rp qnlp[ x ede6 >lT1T1 pueu rp , L1-.9 .q9 lpqrT /qo]uoc re6eqagdepeq.ral rTETes ueqel e6n[_eteq qeqas) de>16ue.z,r=O.rr1r.,1,H[]:l
'up>{e,,a1 uet'eq rp ue{ppptp e6nt elrqede' ,r{ETaqas ue6ue1n1 u={eueu -Tp ,{r.rp1-ra1 6ued uet6eq Tp epe ez{ueq ue6ue1n1 p>iT1, ./lleTnqteq uolaq lnqasrp eduri,tzel 6ued ,eteq uep uoloq "r=1,r, rseurquo{ qeltpet:a1 'ueue{a1 ueq=uour rre>ras ndrue,r 6ued ueqeq ueledn-rau uo?aq eua-r'>{ qaTO .rtebueTnl lnqasrp 6ued ,eleq r;ep t..qr.* 6ue1eq r1-zedas '>{Trpl Ue6ue6a1 Ue>11rSeq6ueur ndureu 6ued nlted ,reTn, upqeq rJpp lenqjraf epueq r{aTo ue{TTSeqTp ledep ru1 .6uedrue1
Ip >tTrel e6e6 epe snJeq ue6uequrrase>1 redecuaru rnluo 'N e[;ra>1 sr.re6 ue6uap lTdurrJoq ledep >t€prf e66utqes '6uedrue1 6ur1r1a1 r-rpp -renT a>i utl6unur >tppr1 rut 'ueduel
rsTPa.r e[-za>1 st.re6 e6n[ undeuerute6eq qeqos'.edurslea-r te6eqes ,{pol 6ueduel e,{e6 uep N -rpnT ez{e6 e-re1ue ue6uequrrese{ tedec,e1 r{er{epr? ue}t -TPqeTp >ITre1 ue6ue6e1 6uepas ,6uedrue1 -rEnT'Tp r{n1p[ X eXe6_>tTlTf p]tr1,
eNvtnIUlS Nollg t g
(ue)to1) g:rltsod eledu-ra1 , ._ruc6>1 ZO,O =
,r*o
'ue{rloToq.red:p 6ued > sn.rpq ._uc6>{ 90,T = ",{.,olU
irz,s +v,s) =;#+r*=#=*= uru,sxEuo
'ue>to1.:ra1 6uedurel qn.:rn1es rpe[ ,>[ > ur gL, O = tJ3 = I = " 'tu1 g' Lr = z,Br - 9t = 9L,o.t, vz - z.gr = w rl t?v2'= ol = * -rTe r{pTaqas Tp Tp>lr1_ro^ 6uez{ rsrg (q'uP{qeToq-zedrp 6ued >-- sn.:eq ._uc6>terz = ,* - vz't _ "qq
a EZ g,LEz = TZw vZ' t = et = "q e[.ra>1
7qi=P lr?urrEnT
= { < ur LTrT = ur
slul-Nls)l tvWUON VAVC
/ t'9 'q0
s{Pu I
166urg,
Tp qnlP[ X Tpef9 8,LC Nz=G=fr=' depeq:a1 uaurour g
H : zelepuew e6.eg
'rx 80'I = LI,T - gZ,Z = c _
'uIf T'V? = T,g+9e
'ur E4'O = ?s'v
= 9L' 0(S,tT-t,VZ)+ Z'gl = 6 nlreF 6w Z = z! :66urfes 1 gT = n)rz ! - I f uL - nro.I
t-9'9
'0 sEle Tp
6.7-8
Kita menggunakan cara melukis Guidi, seperti pada Gb. 6.14 tetapidiperluas.Penampang betonnya dibagi dalam jalur yang mendatar seluas dF (sejajardengan sumbu x), yang dikerjakan sebagai gaya. Luas tampang bajasetempat dikalikan dengan ., = p menjadi nFs yang juga dianggap se-obbagai gaya mendatar. Kita menggambai diagram kutub dengan lengan kutubvertikal H sepanjang To dengan skala 1 cm = sekian cm-. Gaya dFb di-pasang dari titik O ke kiri (mengambil urut jalur dari atas ke bawah),besaran nF" dari titik O ke kanan. Kemudian menggambar poligon batang-nya. Untuk bagian baja terdapat: sisi AI // o't (vertikal), sisi I-fI// 7T, II-IIr // 2T dan IrI-Iv // 3r.Untuk bagian beton terdapat poligon (kurva) di sebelah kanan, yaituABC yang menyinggung pada garis Af. Dari titik K ditarik garis menda-tar yang memotong perpanjang4n garis fV-fII di titik K. (memproyeksikanK pada garis fV-III). Sesudah itu, dari titik K.r kita menarik garislurus yang memotong kurva ABC di titik D dengan maksud supaya luas K.BDKI = luas A-I-II-III-B-A (Iihat bagian di arsir).Penjelasan (setelah menarik garis mendatar DDr).r = ro '1 nrs = 2H. luas' ABDDI rrr-rr-r-A.S = H panjang garis DDr.Ii = . = jarak antara K, dan DDr.
eS = Ii e.H.DDr = 2H luas ABDDT III-II-I-A.2 luas KrDDl = 2 luas ABDDr rII-II-I-A.Iuas KrDBK = luas A-I-II-III-B-A.
oonaks = (*)H)ourarik = "(*) (3r), di F.3
Titik B juga punya arti yang penting, yaitu menentukan letak garisberat kombinasi F; + nq tertekan dan nF= tertarik (nF"3 ), yaitu garisBB. Sebab menurut teori poligon batang, momen statisnya terhadap garisBB ! H kali panjang titik B = 0. Jadi pada kejadian adanya momen murnilil yang senilai dengan N" r garis netralnya jatuh pada garis BB itu(lihat cb. 6.9 dulu)Jika tulangan diadakan sebelah, jadi hanya ada Fs3 , titik 1,2; I dan IIlenyap. Pada diagram kutub kita pasang sepotong garis 03 = 23 = nF"3.Titik III pada poligon batang jatuh pada garis vertikal yang ditarikdari A. Kemudian dari titik III baru ini kita tarik garis sejajar garisT, (baru), dan seterusnya (lihat Gb. 4.9) .
6.8 GARIS LENTUR
a) Gaga tarik (Cb. 6.18)M* = P(. - ,)-2d y -P,__n=; (c_y,oxP -2===k;c-v=u;ET
1OB SOEMONO, TEGANGAN 1
60rSI UINSS)3 IV1AIUON VAV9
6t'9'q9
,, Iiqsoc
,"1r{s03 zT
- ," It{soo - =
T{izqsocZ=r - "d>r I -q=o, z-r L c
'T -
z Xlr uurs 7
"'T Tliqsoc-T T
777.T>t r.lsoc li + "d>t t{soc : = Trt i .{soc
'r, ,r,-ti. ! = z ' 'z
T Trr
f usoc l>r f uurs
Id-(x-"d)"u +
=
I ->tdusoc )i =
.(^rx f u,,r" *o1h-!I--Tt - ,, +
qsoc - .)+ = 4=*14 = "r"^
'(n1 quts ml+*:r= - *,{ qsoc - ,)+ = (x-z)*b +
=
(. - *,, r{urs lr+hffi + *,r qsoc)4 1x-71xb ! =
(," - x)x # + (T-x,t)u'r' ffiS} 11 * *,t
T{ quTs ,{d("d>t l{soc - I) -f5_
+ T{ r.rurs zx + Trr,:":r$
uep v tp ledeprel uiluTs>teul uaulohl
'6 ue6uap snrnT 6ulpueq.raq {PpT+ ,trnlueT s1:e6 lPurpro 6uere>1as lpeg
(yt--" * EA"')+ = (-,-" *.rr+ = x{ qsoc rrJrt = x
,W
r
=zx
#=tx*--o=tr!9=x#.," - rl" # quls zv a z>1
(x -r)* 9E ., - tr.{ = q*FJu
(6T'g 'qila uebueP
'. t- ##ti 'x 2< x e\rc'8 Tp
,{a _ (r* _
FelresTp b eferaw
q=o, '; = tr
rg .*P - - =- Ad ^.P
x'6 1b ! = "1n1
qnuad uelenq
8r'9'q0
. ?>{ quTsx>t t{uTS
7t I{uTsc(Tlt l{so3 - T)
f, li
(T>t l{soc - T)+(x>t t{soc - T)c = r -'J = z{
= Z11 .<- ?{ quTs zx + "d>t L{soc c = 3
c=oiO=^!^6=Xc=TX<-c=fltQ=.[!g=x'x>t quTs z>I + x>[ q"o, 'x - x- c =
11
xptr{ =fu "z-xD xp
.z-z'El: = 7-p ZZ
8'9
6.8
,Jadi M".*" =
b) Gaga tekaM" = P(c+y1
s,_(_ 1 \k'\' "ornlx/n
=Pu
-5 -r--- - ef-ic ,. ciAB
Gb. 6.20
-2 -2dy_du-2 - 2dx ctx
dengan k =
U = C+y =x=0iy=
k.e, -_--.---+ Kz
=-ku.fPY",Kr cos kx + K, sin kx.0i+Kr=c.
(1 - cos k.Q,)=.-_--1-cos i k.e,
x =9,1 y=0; C = C cosk.[+ Kz Sin
/ f-cos k[y=c[-1+coskx+#sin\ sln KjC
/ I-cos kl, \M-= Pc(cos kx + -- sin kx)" \ slnK)c /M =M -
Pc" maks "*=1+ - 1' cos , kja
q (1-cos k.Q.)"'2 Pk2 sin k'o
. I-cos kl. - \Kx + -----:------:--- s1n kx - I/-s1n kjd /q/ 1 \
= ---;( ---_- - f - !k'L,)Pk' \cos ! k!. 8 /
2
- ( l-cos k.Q.) \i(x + sr' k[ - sin kx - ,),
L, Y = O
o/----:- \ cospk' \
*=;,
o")'
=Pc(""" |r.) (e. - 2x)
.o" I ul
Kejadian menjadi berbahaya (kritik)
Muatan penuh merata q dan p axiaL't
M*=iqx({,-x) +Py.
d'y - P qx(l-x) .2 k'q-.- = -:- --
,lx2 Er I 2Er '- -Y 2p
y = Krcos kx + Krsin O" - #x ([ - x) -X=0rY=0 Kr=*
PK
X=
y=
vmaxs
"/M*= l\cos
j ika cos
x (.Q, - x)
0 sebab M.aks = -1
1k9" =
o
^._2rJa
f xtr
_qAErk'
M="maks
Juga berbahaya apabila ."= | k!, = O.
Pada kejadian P menarik (lihat a) , soal bahaya ini tidak nampak olehkarena bagaimanapun juga, X -( .Q, sehingg" HF+; --< t. Jadi keadaan
menekan axial lebih membahayakan daripada keadaan menarik.Kejadian kritik timbul apabila .o= | kr- = 0.
t1rni berarLi;k9" = O,ir, t
I10 soEMoNo. TFGANGAN 1
-x)
1 -\ q!.2
-:-
-r,-
-.o=!ka" / 8Erk2
2q/ r -\-.t_- _ Ilk'\.o= ! k[ /
2
SI UIN]S)3 -1VI/!UON VAV9
(6ue1ueq qe6uo1 tp) ,'6b=t 17rl ! t.b z"
delef uelenur qelu:nt = Ib + ''6 - belef,aur e6n[ 'de1a1 {p1 nelp 1e-ra6-raq ueqaq - b
(e1e-raur 1rqurerp) delaf .rpnT ueqaq = 16
>iofeq Tf,rpuos 1e-raq = qq/. -"6'q2 = J = r, qq! = m r.H.q =,s 'T M z" T
g,Z = ('r66ut1 nlnu;aq) uolaq stua[ leraq - /,.7 = 6ueluaq ue6uap seqaq uendunl >iT1T1
enp sple rp 'r{'q t6as:ad 6uedureued-raq }iofeq TTquIe p1T>i TUT l-leueq TC'(se1e rdal
eped 1t-re1 'qe/,req tde1 eped ue{41) edullleqas ueepeo>{ ue>11rseq6uaurqemeq tdel 11e1epueu 6uez{ st;1uas{e ue1a? ele6 6uepas 's€1e 1de1 epedue{a1 ue6ue6a1 E1.res qervreq "rde1 eped {Trel ueoue6al ue{Tnqurueu uawol^l
'JTlTSod ue{e1 ue6ue6a1uerliruep ue6uep uep '(r-repurqrp sn.req qeqes) 3"r1e6au ue1e1e.[urp uolaq
Tp >iT.rel ue6ue6e1 'rut ue6uep 6unqnq.reg '-renT qeqaq uouroru qaTo uoleqTp {Tre? uebue6al edutpe[:a1 T]epuTqbuau: tut sr-rluasxa ueue{a1 pnsTp6
'(:equre6 eped laqe>{ }te1oT leqTT) N resaqos ede6 ue6uep srr?uas>la uE{e1--r01 )ioTeq e66utqes 'uelequrel qaTo r6ueleq-6uETpqrp tur tdeleJ, '>Jepueulau
uE>te ,ue16ue6a1Tp urnfoqas pfnuras 6ue[ued tedecueur {epueqa>i.raq e[eg' (de{uaT N {r.reuour -ren1 ede6; Suolodrp {oTeq .JenT Tp Toqe>l ue
-T6eq uerpnua{ uep >tofpq 6un[n eped lequelrp Ieqel 6un[n p1eu'ue6un1rq1n-rnuau sp.reTes 6ue^d p TeTTU tpdecueu Taqp{ eped 1r-re1 etre6 El.ras
, (16) dela? f,enT ueqaq + ("6) >ioTeq r-rrpuas ?efaq nlted ,6 = uouEur.rodnele rleu 'de1e1 ueqaq qeTurn[ = ueqaq lEEs EpEd 'e6n[ rupqoqrp {oTeq
.rns6ue-.rns6uereq E-rpces '6ue[ueuaur E66urqas ez{u>ltreuaur uebuap 6ue5altpTeqp{ ,sere>[ dn>1nc uo]oq qpTolas 'e[eq Teqe{ ede-zaqeq ue>iledurauerl
{nlun ez{uurelep Tp ue-rnTEs-ue-rnTps uP>lPTpesTp ,5uen1tp uolaq n1{EA eped
Iz'9 'qc
(cNrNotsNrusod Hlrrn lttu)No) olssturslud)NVrOnWr) NVONVoIT NVCNTO NV)HIVUd Nolts 6'9
.4n1.a1 teue6uaur lesed ueTep 1n[ue1 qTqaTue>i6ue-za1rp ue>{p bue[ t (burrYcnq) ryn>ta+ ez{eqeq lnqesrp upa{rruep ez{eqeg
I =ur'lT
8
T
_r-+P
t:
l:,'
.T .L
rgz7,f ,u9 =l\
6-8'9
,u = \' ,t '? - >1 6uepas t -qPTTrqurv
6.9
NNoo= F = b-[, tegangan di garis berat tampang, jadi di tengah tinggi_tampang._ N Nc /- c\o.=FtF-=oo\r tg/.
^-*M9.^-*Mn"n- - w t 'q-Tepi atas ! o"n = ," (, - nt), oa,e = o." * F
Mqou.gq=o."n+il
Tepi bawah: ob, = oo (a . i), ob,e = oo, - Fn = ^ -'n-bngq "bng W
Diusahakan supaya:1) o"r,eq.= o = o-r lihat ArAn pada d.iagram tegangano.re = o = (yang nilainlia kita tentukan) , A,Az pada diagram.
o.,rn - oans = o - o' = F, jadi w = * on' #Jika b atau perbandingan f; aite.rtukan maka diperoleh ukuran tampangb.h.2) ob.s = o = dr garis BrB, Pada diagram tegangan
1- N No"= l(o + o') = ; = h .
TerdapatN=ltJ+o')bh.lrzM
Mn= t g[' memindahkan titik gaya K sejauh KK. = ;9. nu"S.n begitukeeksentrisan menjadi OKr= ct= c - KKr.
N Nc, 'l - / c,\ -oo.s = , . -fr = ;(o + o')\. . t') = o
r * :'- = 42, a = =4-- 1 yans mendaparkan cr.k O+Ot K o+olPada akhirnya: c = cl + I(Xr..Jadi sekarang sudah terdapat semuanya yang kita perlukan, yaitu ukuranbalok b.h, besarnya gaya N (yang menentukan luas tampang kabel) dankeeksentrisan c. Ternyata ukuran balok hanya dipengaruhi oleh besarnyaI,1o saja, Ms tidak mempengaruhinya.
fi=(o-o' )
Makin mendekati tumpuan, makin berkurang momennya, sehingga keeksen-trisan juga ikut berkurang. Di tempat tumpuan, momen = 0 sehinggakeeksentrisan c,. -( k, boleh ditentukan co = 0. oleh karena garis momenberbentuk parabol, garis kabel juga dibuat sebangun. persamaannya
menjadi: y = (!.x - *'I *jika c = keeksentrisan di tengah bentang.9."
Contoh dengan biTanganBentang I = 15 m; \ = 2r5i o
1f2 soEMoNo, TEGANGAN 1
= 100 kgcm-2 = 1000t;F
ETT
'uauou uPr{eua\u
TUT TeH '(lde Ela.re{ Tof,ednres {n1uaq sTuouo{a
SIUIN3S)] -IVWUON VAVC
6ue,{ efeq {oTeq 6uedruel {nluaq ueEuap 6o1eue
llrades) sT.rlauTs {e1 nelP sT-rlaulTs I Jnf,nqr{TqaT 'leuraq {EpT1 edulnlaqas 16as:ad ln1uag
0's +
o ' 00T+
s'z6-
g'z6+
s'L6+
s'L +
g '98-
s'gg+
0'?8T+
o'5L -
g, T€I+
9,TTT-
g'zg+
g'zg+
urc 6vQ^ c-
.-uc 61Pp
b6uOt"1 h
bw6toM6^
oI^Uo
M
cN,{N
?+t+z+1vc+z+1t(,+1ZT
utc6>1 9tZ6 =z-
._uc6r[ g'98 =
Es90'0 a'l
926 =ffi =\E9s0'0 ^t
LUg :
8v "w
\u7
-+UI
z
1I
l
,
._urc6>t E,TST = s'29 .s,z = ""(*) = u*(p[p6uas ue6uepl .-ruc6>1 g'zg = (s . ])+ = oo = *
.._ruc61 9'6 redues ue{?eTnqTp 'i9 uep e9 6un1:q6uaur 'Torluo)t le6eqaguilr Ed ?P/',Ie{ ZT ! laqe{ seln I qaTo uP)tTTsPqTP 1 ZBT = N
grz =- = J Juc o? = c Jrro 96 = q luc 9E = q .'aunsau"07c
u O7'O * c rpe[ueu ue{lETnq u 8O?' O = ?92'O + ?V1'O = I'XX + c - c
uvgz,6=4=j='yy 8v uw
ur ??T'O = 9T'O'6'0 = rc Tpe[ J6'0 = T - 9O:T - T -'ll9 = =' z'oztc', =Tl+ = u racre>r
er{uleXueq UPT>tTuaP ue6uaP '?nlES rpplr '(ue{qeToq-zed1P 6ued
6uedruel senl ledundurau
'1'lu1 8? = .rU j =
q'Eu E99o'O - e96'O'9€'0 'i=
,ur 9t'O = q uPP (uPua T6EqTP
ue{TTspr{uau 6ued o:9=!:9 = . ^r{ TpeI z'\s' g t'
g, tZ = Tp e,{e6 ue11lseq6ueu ledep Taqe1
e[eq ue6ue6e11 =* =ss 6uepas zw) getz107
'urul g 0 lEJ'/\plt zT TrEp T.rTprel TagB{ nles
ZBr = s?t,o'(os + ogoT)f = r(,o+o)f = N
uw ,I s'T = sE9'o + s98lo = T6 + "6 = 6'lU
' i ssa'o = 9?t'o 's'z = qq,{" =06
M lzu gVt.'O = tIg = E 'uI 9T'0 = r.{ 'f =,ledep ue6ue11q1 uI 96'0 = Q :I{eTue{n1ua;
o_
-=!{ T
o= UO-l=
z" T
'ur ,6' 0 ^, r{
'tI V' O = e lrqure ueruoped 1e6eqa5
U iur1 Z, Ig = z9l'9'alu
'= 9'T +
': 9O'0 =
_lu b !-1
09 =z-
g8g'o = t6
urc61 g = ro
=UI
7.
1
6'9
096 (OS - OOOT) (, o-:)Z,I9 Z,TS bW
71U TEGANGAN GEsER
7.1 SIFAT TEGANGAN GESER
Kita memperajari prisma-tegak yang tak terhingga kecirnya, berukurandx.dy.dz. Pada bidang sisiny4 bekerjarah tegangan geser c ke kanansejajar x. untuk mengimbangi ini, pada bidang bawahnya terdapat jugategangan geser t ke kiri sejajar x. ResuLtan teganoan ini yang masing-masing sebesar tdx.dy menimburkan kopel sebesar r.dx.dy.dz. yang
berputar ke kanan. Sarat-timbangmenuntut adanya kopel lawan(kontra-kopel) yang sama besarnya,dan ini dapat dihasilkan oleh ada-nya tegangan geser c yang bekerjasejajar Z pada bidang sisi kiridan kanan, dan yang resultannyamasing-masing - t'.dy.dx. Kopelyang dihasilkannya terdapat r'.dy.dz.dx. Supaya kedua kopel itusaling menghapuskan, tdx.dy.dz =r'.dy.dz.dx.
Dali7.. Tegangan geser t se1a1utimbul berpasangan, yaitu padaGb' 7'1 bidang yang tegaklurus satu sama
lain dan arah kerja t itu tegaklurus garis potong antara kedua bidangini. Jadi sepasang r terletak di dalam bidang tegaklurus garis potonqantara kedua bidang itu. Akibat teqangan ini, sudut antara keduabidang yang semula siku itu, menjadi berubah sehingga menyebabkandeformasi. Jadi deformasi akibat tegangan geser bersifat perubahansudut yang lazimnya ditulis sebagai y (momen menimbulkan putaran sudut) .
7.2 HUBUNGAN ANTARA T DAN YKita pelajari batang yang menahan tegangan normal menarik meratasebesar o. Kita mengadakan tampang AoBo -L o (tegaklurus bidang gambar).Ambillah titik sebarang 0 pada garis AoBo dan kemudian buatlah bidangOA dan OB yang tegaklurus satu sama lain serta tegaklurus bidang gambar.IAoOA = q dan LB.OB = S sedang o, + B = 90o.Kita pelajari bidang oA
Pada bidang ini bekerja gaya p. = o luas bidang OAo yang diuraj-kan kedalam komponen N, = P. cos o dan Q, = P. sin o.
114
i{irq11---
STT
.B UTSD UTS
U
: sTTnlurs UTS D UTS
--
= (T+ut)Z o
U]S]9 NVDNVC]I
e1T)i '1 uep /" uel6unqnq6uaur {n1un
'g uTS o rr.=(] * 1), = o/,
\t /ledep-ra1 uele 6o1eue 6rrcz{ e.r€c ue6uao
urs ri + rl: - D UTS/e
- 'l ' 'T ?o so3 (ul/T + I)e3.puTS=vo
en uTS o 61oc
", + = o uTS ,VTV = .V,VI
xl soo P'3 = ro soc rvv = tv'V'To'o + zY,q'=,,vzv + zv,v =,1v,v
VO ,,VO p,
,,VrV ,,V,V,VOV 7 -
p,A" 1er{ueq lnpns .zelnd.zaq gg 6ueptq n1r6eq ue6uag
'p 61oc ='I = ovo': + = ,yry ue6uep ,v Tp qnlp[ ru
B uTS n uts(I + r):z = ol *"1 = l
tu(-t.T
: e6nI
T): = D soc D
'xl sociu ba
L
e66urqas (rs>{E-r1uo>t)6uelutlaur qp-re a>t lnsns.raq 6ue1eq-6uedupl 1de1a;'p3 = EV =
Tq17 ue6uep ,v Tp qnle[ ueXE v ]tT1T,lsP = EV npfe i = * = 3 ue6uap 6ueCuetueur VoV 1e-zas
TTTep e,{u1n1eq 6ue1ue1 r6pT T1{nq ueledn.raur rul'g uTS xl urs = ] = 9J = t:. :Tp€f
'g uTS rc uTs o = qr :esaqas 936ueprq rrpTep 1p :esa6 ue6ue6a1 ue>lledepuau e1T>[ edn:as 6ued e-rec ue6ueq
'(p - o06 = B qpqas)g UTS n urso =
PUTSDSOcO=vo 'pTq senTvo 'pTq sEnTpL
n urs''vo'prq sEnT o"0'n1T VO buepTq upTep Tp 'J, :esa6 ue6ue6a1
up>lTnqrrueur 6ue,{ uep Eueprq ureTep 1p et.ralaq n11e.{ ,i6;e6:e1egle6eqes "O.rep y6 6ueprq sn.rn1>p6a1 Tpurrou e{e6 leEeqas e[.za1aq PN
z'L 'q0
og
--+-)
(---?-0 <---+
.1,?
TESed urETEp Tp
I
'4.\
q,t,
z'/
(--
7.2
y = ; analog dengan t = i, o sin o sin 0 = tr = 1 2(m+r)GEm
c = ;f;;l-1e = nfo;1 disebut modutus seser 'Ol-eh karena 2 < m < \ (Pasal 3.I9) maka: | "
. "
Cara Tain:Benda menahan tegangan normal merata tarik dan tekan masing-masingsebesar o yang arah kerjanya tegaklurus satu sama 1ain. Di daLam bendaini kita pelajari prisma tegak ABCD yang tebalnya = l, diukur tegak-lurus bidang gambar, sedang ABCD berbentuk bujur-sangkar dengandiagonal sejajar arah o. Bidang CD menahan gaya p, dan pr, masing-masing sebesar o. * " lT yang tidak menghasilkan resultan sebagaigaya normal (N:. = N2 = 0) dan hanya menghasilkan resultan sebagai
1_zo.|alz
1< - E.2
gaya-geser Q = = Oa.
Gb. 7.3
Jadi bidang CB ini hanya menahan tegangan 9es€r T =nya menuju ke titik B.
= o yang arah-
Dengan uraian senrpa terdapat bidang DB yang tegaklurus CB juga mena-han tegangan geser r = o yang juga berarah ke g. Jadi ini memperkuatkebenaran daliI di dalam Pasal 7.1.serat oB sepanj.,rs l a (T memanjans densan G - *ri uE =
e (r + il l uE".i..,s , = $ .
Serat oC memendek sebanyux (, . *.)l atfA =.(r * *)i./7.
gaa
i
I
I
I
I
I
I
l,-.
$t;P.
116 SOEMONO, TEGANGAN 1
LLL U]S39NV9NVC:II
eped 'ueT{ruap ue6uaq 'TSTS dprlas pped uE{ueTEI E1T)t rur rspTndtueq.pr! e6nt edureseq 6ue.d g )iT1T? Tp ue{e[-re>1 e1t>1 (ueue>i ue'r6eq) eluurel
'qof,pdas eped 6ue.[ uep,er! edu:esaq 6ued q 6un[n {T4T1 rp ue>1et.ra1 "Te1T>t TfT>l qe1aqas gy qo.redas 6u€[uedas JCI]. resaqas.rnsun ez{e6 uellnsag
,'/ 'qc
fl\"#e-i+
99' G'L 'q9 ue>16uTpupq) elu.reseq EUrss t
ue6ue6e1 Enuas 'se1e rp rrrpp ?n.rnueu p>1eu'uter Eues nles sn.rn1>1e6a1Tur Tsrs 6ueptq pua.rE{ qeTo '.rasa6 ue6ue6a+ ueqpueu ez{ursrs 6ueprq
del1es 6upI , (requre6 6uep1q snenl>1e6a+ .rn{nTp) T=? Tpqa+ uep e - TsTS6uefued ue6uap qpgg .re>l6uesrnfnq {n+ueqreq rnsun t:e[eladueu Elrx
(q uep eV.1 .C.9) rbeT ureT eteg.e1nd
" (ry=9:1edepr.1
3 = ,L srlnuaur ue6uaq
r, = o ouepas,(r+u); ; = ({ *t;=z = r
GI . ,. = )3:Tppr
L * , (i ..)3 + r IEt" i<i * r)= * r| ,so1- =rE---
-rl =ffi='cr8o761
i-r (i.i).-r lgl=f{.T*-)= ,r
xl* t /. n+1*r
^= = #-
= (4 - "s?)61 = 3'807 61
o 1 - 1- rTP>[esTTca>{n1T l6uepes rli- ogl=,JrEIOTnp+p L2= o9? - CBOT=J,gO7-CSO7
e66urqes r3rEO7 Tppfuau qeqnf,ae og? edurpel 6ued 9397 ueT{ruap ue6ueq
z't
(p)
/Y'./
,,X. ,)'1...,b.t) tx' tra"
, '^t ). ,"tt'
7
7.2
setiap titik ujung terdapat sepasang gaya yang tegaklurus satu sama
lain, masing-masing sebe=.r ! ra (yang satu sejajar AB atau mendatar,yang lainnya sejajar AC atau vertikal). Kemudian tiap pasang gaya ki-taganti dengan resultannya sehingga terdapat gaya D = , ru{i yang ber-sifat menekan di A dan di D; gaya tarik T = *-"fr juga terdapat di Bdan di C.Gaya di D dan A menghasilkan tegangan tekan pada bidang crA. seruas
i^'li, jadi terdapat oo = #o, = r yang arahnya sejajar diagonal AD.
Secara analog terdapat gaya T di B dan di c menimbulkan tegangan tarikot = r sejajar diagonar BC. rni berarti serat yang sejajar AD tertahandengan tegangan sebesar t dan yang sejajar AC tertarik dengan tegangansebesar t pula.
Kesimpulan.. diagonal AD memendek dan BC memanjang.
Kita pelajari Aaca dengan sisi Ga = 69 = 16.
sisi cA memendek sampai menjadi GA' = *d: d(f . k)= }ul, - (iX, . *)) .
secara anaros terdapat GBr = |a{r * (;) (t . *)}.l.oA'B,=zoAB *ir= 45o **t.
tszA,oB,= tg(as"**r) ='* tn;"=sebab
y keciJ- sekali (r)z' r-Es+ L-,
tgLOA'B'=#= ' . (;)(, . *) '.,,
GX' - -r).(r * I)\m/----
m
" - 261-, '
(2)I-
(1)=(2)-1i^( =
t2(m+I) r-y=_:_aEau'EtnG
Deformasi dilukiskan pada gambar b.Peristiwa ini dapat ditimbulkan oleh gaya geser yang negatif, e- .Pada bahan yang tak tahan tarik, gaya tarik T menimbulkan retak yangtegaklurus terhadapnya atau retak serong 45o terhadap arah gaya geseratau gaya Iintang Q.
Contoh di daTam praktekGambar c. Tembok pasangan batu di atas dorpel pintu atau jendela.Luluhan atau spesi ketika mengering, menyebabkan proses susut setinggitembok mengurang dan unsur penyusunnya berhasrat turun. Unsur yang adadi atas dorpel tidak dapat mengikuti proses penyusutan yang ada di luarbentang dorpel. Terjadilah gaya geser Q pada bidang pemisah Q- di ujungkiri yang menyebabkan retak serong 45o seperti kejadian pada garnbar.b, dan Q* di ujung kanan dengan retak serong 45o yang berlawanan.Gambar d. Balok betcn bertulang di atas dua tumpu bebas, L dan R yang
118 SoEMoNo, TEGANGAN 1
lq.
6TTU3S]D NV9NV531
sr.re6 e{Tf 'pTnd 6uo-ras rpE[ edu6un66urs sr;eb 1n]nueur rasa6 up6u-e6a1 qe.re nlTS Tp p>(eur '6uores 6uedurel 6utdures rsrs pi{T1' '(Te{T1.raAez{ueserq) *fl ;etetas 6upz{ :esa6 ue6ue6a1 I{pTpT TuTs Tp pns{Eturp 6u€I
'{*o=,:snurnr ?n.rnuau ledepral edule.rlau sr.re6 rrep ,{. qnefas ledural eped
e.dureseq 6ued uep'xf, refelas qp]e.req 6ued 1.rasa6 ue6tre6e1 ledep-ra16uedurel n?enses eped et.za>1aq 6ue.d xO 6ue1ur1-e,{e6 leqr>1e rebeqas 'TpeC
'(n1T 6ueprq pnpo>{ e.rplup 6uo4od s1.re6 snrn11e6a1 nlted) Te1rlaeAelta4aq 6ued r -resaqas :asa6 ue6ue6a1 epe e6n[ sn;pq n1r 6ueptq snrnT
->1e6a1 bue[, buedwel weTep 1p'se1e Tp TTTep ln.rnua6'sE1p Tp pns{eu.ra1ll.zades .zplppuau .rnfnquaur 6ueptq ureTpp rp e[ra>1aq upp g ledural
-as 6uedurel f,eqaf 6ue[uedas e1e: r6eqral de66upTp TUT -zasa6 ue6ue6ag,
rq(.
.Xz fq xPU=--=-Ls Twp
s r - xp'q'r *fiP
e66urqas ,xp.q 6ueprq Tp rjrr{ a{ :.-rasa6 ue6ue6a1 qalo r6ueqrnTTp TuI'ueue>i a1 e[:e>1aq 6ue.d g -l- = g,p
*wp.resaqes eIe6 1edep.re1 Trspq re6eqag
'Terlau-srteb depeqzaq 3-3 ue6uolod qeaa,eq
rp 6ueduel ue16eq sr?E1s-uauou = S
r{r^ 's q6q =tn',! *5f* = rP (or+o)Jror{
= ,trP * J, : uE,up{ 6uedurel uer6eq epe6
i,lPo Ji = ,f,
q-
:e.[e6 qETeT o ue6ue6el uElTnsa.r uet6eqes ledep-za+ TrT>t 6uedureluet6eq pppd 'lnqes.ral ue6uo4od qEr\pq tp 6ueduel uet6eq r:e[eleduaur
upp Te.rlau-s1re6 r-rep .d qnefes C-C reXppueur ue6uolod ue>1epe6uau e1r;'f t.r, + *w) =
op + o upuE1 6ueduel eped uep * ,^ = 9 1edep.zal TrT)t 6uedurel epe6. G't 'qg) urpT purps nlES xp :e[p[as 6uedure? enp tre[eladuaur exly
uo*roiu uep 6ue1ut1 ede6 ueqeuau n?r rueqaqtp 6ue,{ 6ueluequra;'[;:]9NVlNtl-VAVe rVSt)V Utslc NveNvgll e.t
; ede6 .re[eces eduqe.re 6uez{ ,efeq 6ue1=o =;]":;;
;:::j:":::"Hl;ue>inl.radtp Tu-t qe6acueur >tn1u6 .nXr 4eduel Tp >{oTEq nqunxs depeqrel og7
6uo-res {E1a.r qelrpef.:eX ,uo1aq qaTo uer{811p ledep 6ue^,{ >1r_re+ o < }-rpsaq e>{Tf 'r. Tu.rnu :ese6 ue6ue6e1 edueq ,1eu.zou ue6ue6a1 up1{eueur
>tEpT1 >{oTpq TEJrlau 6uepTq ureTep rp rnsun .u le>Iop or"'6 upp T ?E>top""i6 ,uendurnl {T1T1 1e>{ap 1edep.ra1 'r"i6 6ue4ur1 e.deg .rupqaqrp
t-z't
9'Z 'qC
+- lp +1
r ,{.
's J = dpz.F + = "Dr "; --fi
--,lx DF-
7"3
Gb. 7.5a
S makindS=-
v.- -fyds
T-
Gb. 7.6
Jadi,ftdr = 3, = Q, cocok dengan kenyataan.
berkurang dengan makindF. y.
v
=*fi'dr:r
tbri
iv_-9_ _
singgung ini memotong sumbu simetriY di titik T, drah tegangan geserrs searah garis yang menghubungkantitik T ini dengan titik-kerja r"(Gb. 7.5a).Dengan demikian ada komponen rtyang bekerja mendatar melintangsebesar r tS 0=_:_-^_sehingga r. =(tz+(t')'. Tetapibiasanya yang dipakai di dalamhitungan itu ialah hanya r (yangvertikal) saja.- Q* - .ll'
,/tdr =, /'t fr sedanS dF = b.dy
a- I" Q*.frdl = 3 /"=dy = i[r. -fvas]l^_ J_ _yb
S = O pada y = y. dan pada y =-ybijadi suku yS lenyap.
bertambahnya y, jadi S
neSatif, atau
Contoha) Tampang persegi bh'lrI = --- 51't- .
' = o(* .-r11} h*y) = i "(i ,1- o')r=os =g ^(!-v')' ' br bh "\4 h2/Jadi t adalah fungsi (y') yang ber-arti perjalanan garis r dari tepiatas sampai tepi bawah berupaparabol.
*niI
*-I
*ri
l_Tmaks = (r)
r=o
(r).,--r, = 0
3Q2bh
(tepi)
b) tampang I, = jan'- jr b - d) t'+ [o - ar t.tri, - rl]'
Potongan di dal-am f Lens (1)
s = u(]n- r)i(i'*y)
I2O SOEMONO, TEGANGAN 1
I. rl- z
,o \an
I
tL
1- al
- -b:u-
serupa parabol.
o soc .r
u3s39 NV9NV93L
_E 'rcSOCDUTS I-= 7',c7U
f'o =o, nurs zr = lpitaq-sTrp6 depel{f,a1 wov sr1els-uauow ZA zEDt D urs r I = + .r l' :n = lP.roQ sT:E6 depeqral edu
E Z ouTs Zz-sT1E1s uauou TpPI' ' - g= , ! = 1E.req-sT.re6 Tpdues leraq-{r1T1 >tpf,PI'
- DUTS Z a' .rD = Iu i = \fVO xo+Ias senT' ru ! = I
TP6Pqas.( x- 'Z
.r{pz_3e- Trqulerp
sT1els uauoul-$$OQ sT1P1s-u?Uol[ = $:uPT{
-Tuep TPrlou sTre6 sPlE l{eTaqas TpW qnqnl-uP6uolod eped S 6un11q6uaur
{n1uo 'sueTJ uI"TEP-Tda1 Tp } sTrE6eped uelecuoT ePe TuTs TP P6nf' 'q =
oI +tx 6uepas qr( ueP ",{ uelnlueuaurPfpcas o-o '6uedure1 1e:eq-s1.re6
{P?eT ue{n1ua1Tp nTnqPp l{rqaTraf,,6 6uedute6 (c
e.{u.zeqa1 Eua.rP{qeTo qPI
IP
lnrni =,^p?- lnn f = woo
zzus'(Pu.L uplelepuad
1e11erd ureTep TC
-vTuete>16uy7 (p
8'/'qc
.e,{uqepnu {n1un Il# = "".r. Trqurerp '>1e11e:rd urerep Tq
'reseq uT>lplu qe6uaueu uT{eul 1de1a1 'e,{u:eqe1 6ue[uedas e1e.r 16eq.ra1 n1TsuaTJ ue16eq 1p :rasa6-ue6ue6a1 dereqlp qaToq {BpTl n1T eue.re{ qaTo
',V uPp V Erelue 1p 1edep.ra1 {epT+sele rp "E:, er{u1n1aqas tpef ':ase6 ue6ue6a1 seqaq ,gr7 .:n[nqurau 6uep18
. oJ] = "r"l
.1oqe.red =Tr." uelefreq suex [.n -.(* --il} + + +e'r =* U = ,
{.^ -.(*-u?)}ef +?rs = (^*r-*;)i'(^-r-uf)r ."s = s
.rPqaT ) V-V qPl}req
T-
-u
7(1- q)i'1
(+ - q)i 1eL
1p 6tms6ue1rq
(1 - q);'1qt
PE- P L-q
(z) qnqn+ rnTeTaw ue6uolo4
'p tedues g Tf,ep 6ue.rn>1.zaq 6uoduo>1-6uor(uo1as
redurBs "e:, 1:rep ?PcuoTau :, TPTTu nlTs rp rpef
6 = e".:,
'(P =ledure6
O ="tl
rz'qc
. (q = reqaT)v-v se?e tp 6rms6ue1 1edua1 ePe6
'(+-u)f'+a = rs = ssueTg eped
weTep-7da7 TnTeTaw v-V uebuolod
t'I
k---q--------{
r___E______J
7.3-4
Gb. 7.9
Gb. 7.10
n4
i"\ (
9. D
.=qL = g2t3:rsr_nq1arV r' .2 sincr
4 0 .2= T *; sr-n 0."nt
a:Q:-,tr2 F 'o '
42a = TTo Sl-n 04
'naks 3 r o
e) Segitiga samakaki (cb. 7.70)l- .r 1I=I*=3;-ah-iF=;bh.
Potongan CC sejauh y dari A, sele-bar b.
r'=lry; ,=lb-fls Fi 1,- '2.b =_i-= 5th!-Y )
. = ffi= (*)(ny-y')
= (k)'r(f fr) , parabol.
t ekstrem naaa $| = o; y =
r-"u. = fg = t':Q = 1,5 to.MKs ah F
2s=J2
3
3r sl-no =2?
"r Sl-rr 0
3rsino 2cos (l?3
I,h'
7.4 TUMPUKAN-BALOK
Kita bandingkan tumpukan tiga kotak selebar b serta jumlah tinggi = h(Gb. 7.11a) dan satu balok utuh berukuran bh (cb.7.11b). pada tumpukan
balok 4ianggap masing-masing anggota sama tinggi, yaitu I rr.
ro = j u rlnl' = # . * on'; r, = 3ro = # on'i wo = *"(ir)'112 1)= e . nbtu W' = 3Wo = ibh'.
Pada balok utuh terdapat:ls3zr=1j,bh--3ro=3-I;'lr2
, = tbh' = 3-Wo = 3 W'.
Jika momen sebesar M dipikul oleh tumpukan ba1ok, menimbul-kan teganganM
ekstrem o' =t 3i; dan jika dipikul oleh satu balok utuh, teganganW'
L22 SOEMONO, TEGANGAN 1
i
I
utslD f{v9NV9:}l-
-asTp ,se1e Tp pns{eurTp Tlradas 6un66uts 6ueptq prplup 1e1t'6uad 1e19'unsnz{uad {oTeq 6uedurel qelunI ue6uep
eures edu6uedurel 6ued 1o1eq 6ue1eq nles tebeqas e[-ra1aq TUT >ioTpq
ue6unqe6 e66u1qas {oTeq 6ue1eq qTqaT nele enp unsnz{uaut P;e3as -!ur uP1
-rfnsa{ rsele6ueru ledep efT>t 'eduue>lledepuaur rTP1as -rP)ins nele u116unur
{epT1 e66utq ,.lesaq uer{ruopas 6ueA >{oTeq Euedurel ue{nfrauaur elTI e>{Tr
n^vx lolvg NVNnsns 9't
.uTpT eures nles n1t 6ueptq enpe>i edusedal ;tcut1a6.ra1 nele -rasa6
--re1 r6ueleq-6ue1eq6uau lPrseq.raq 6ue,{ tut 6un66u1s 6ueptq eped :asa6ue6ue6a1 qeT Tnc1uTl rnluoTau ueepea>{ ureTep rp e>{eul 'ledecrp T'lT e{TC
. UTETpues nles 1E-ra uE>{{P1i)Trp p,{u6un66u1s 6ueptq euPuleTTq qe6aclp ledep
TuI 'sp1e Tp lnqasrp eueurte6eqas {oTeq edu:tcut1a6re1 uelqeqa,{uau 6uer{r{ETTuT upp '{apuaurau ez{uqerv\eq rp epe 6ued {oTEq 6ueptq 6uepas '6ue[
-ueuau {oTEq nlensas qemeq 6uepTg 'uTef euPS nlES 1e{r-ra1 >lepT1 e.due.z
-e1up 1p 6un66uts 6uep1q eua.re{ qaTo ureT euPS nlPS :1cu11a6:41 {oTeqe6r1ay 'eTnulas t1:redas e1e.z-6ueprq nles ueTep rp {E1eT.ra1 t6e1 XepTl
etru6un[n 6ueprq uelndunl eped emqeq ue1>1n[unuau 6uetr 'TT'L '99 eped1er{rT.ra1 up.rnluaT leqT{p re6eqas )tnluaq UPI{Eqnrad '1ndurn1.ra1 6ue,l loTeq
P.reluP uenlPsa{ er(uepe IEpTI eua.rP{ ue}tqeqasrp TUI 'ue1ndun1 qaTo th}t-TdTp ledep 6uer{ uauou ue6uap ue>16u1pueq1p eduteseq TTP){ u 6ue,{ uauou
fn{Turaul ledep qn?n {oTEq 'u = uelndurnl edwledueq e11 t 'edr-rurnurn epe6'>toTPq
e61? ue{ntiunl depeq.:a1 edu:resaq TTE>1 e611 6ue,{ uauoul Tn{Tuau ledepqn?n {oTpq 'pures 6uer{ ua.z1s>1e ue6ue6el sele ue>{.respp-raq 'edullTeqas
-e M'.I)- =-T = O tuAJlS{a . T W'
t r'l 'q0
ffiEr--q -'l
ffi#9-V't
7"5
lenggarakan berupa dube7, yaitupotongan kayu keras yang yang di-letakkan di dalam lekukan (lubang)pada bidang singgung itu (Gb.1.L2.atas), atau antara gigi-gigi.Berhubung dengan arah kopel yangbekerja pada dubel atau gigi, kitaharus waspada dalam menentukan"arah keserongannyar'. Dubel menahanresultano tegangan geser membujuryang bekerja sepanjang jarak antaraGb.7.12
dubel As, maka galza yangAs ds
K = b j1a* = j g..3 u* =xI
satu sarB,a lain.Jika lebar balok
ditahan oleh dubel-:Asc^c
=Jat4 =AM.:.IJ(I
D=T={(cu.z
b dan jarak antara
7. 13) .
muatan
Jika gaya-dubel yang diperbolehkan Ko, dan diusahakan supaya semuagaya dubel tetap Ko maka:
TAM=;Ko retap.Untuk mencapai ini, ordinat M,aks kita bagi dalam n bagian yang samadan kemudian menarik garis melalui titik-titik bagi ini sejajar sumbubalok, sehingga memotong garis momen.Dengan demikian tercapai beda-momen antara dua titik-potong dengan
garis momen selalu tetap = | M."*" Ini berarti dubel ditetakkan padakedua-titik potong itu.Kita juga dapat menghitung sebagai berikut:
D+AD=T+AT=AMK=AD=[f=-
M+AM
Supaya K = Ko tetap, AM = Kozharus tetap pula.Jika di bagian balok sepanjangjarak antara lvlx=0 dan Mx=M".k"memerlukan n dube1, maka:
., = M-^1." = f.1" dengan z =AM Koz
2
-=3h
(tampang persegi)
Cantoh:Bentang-teori .0 = 8,00meratapenuhq=0r5O0
(yang diperbolehkan).
Is
Gb. 7.13
J=tM="naks
bn2 )t,
kgcm')ql- =
mit;J;
Ambir o : ln,h >..1o flE ..
4,0 tm = 400000 kgcm
..1!# = 24ooo crn3.
'lIliadi |h- = 24000 cm
= 36 cm;
100
Ia
- M."ksb:-=
o
124 soEMoNo, TEGANGAN 1
szr u3s39 NV9NVCI1
. (1a^r-r) 6u'97a4 ?npq nelpleqJlns lneq tznw-7neq nltez{ ,lneq ueleun66uau elr{ edueserq ,urpT purpsnlps e[eq 6ue1eq enp selaEuau nele ue>lEunqruedueu ,ue>16unqnq6ueu >{nlun
Tl.rpreq lwc LZ = ,3#-l
'6utseu-6ursEur
<\1 'uc 8T = q
Invg vAVe 9't
-urc + uern{n.req {or€q z z8Tue6uep Teqnp eduel eltg
( ._ruc6>1 oT >- ) r{eToq qrseru , ,_ruc6>i 9 = ._urc6>1 %# = s-Q
= r'tuc gT - {oTeq .reqaT Euepas ,rlc OZ ! s qTs_raq {eref
.w sz = u,r(sr6,o _ ooo,T)oo7 =(i1 i/) r f = "i,sy
:Troe1 ln.Inuaur ruT ,r{o1uoc ureTppTO '-renT.re1 6ued Taqnp enpa{ E-relue 1p ledep_ra1 ( "TrsV) Taqnp enp
erelup rrca)tral {E-ref '-rpseq'n1t6eq }[EpT1 e^du1e-ras r{Ef,e a{ nde>1 epedue{qeToq.redtp 6ued :esa6 ue6ue6e1
enl{eq 1e6u1 sn-req e1r>1 e.(u1n[ue1e5.sy 6ue[uedas
*6 6ueprq senT - *"UJ = *wV
'eues 6utseur-6urseruedusenl 6ued ue16eq g ureTep T6pqTp6ue1ur1-ede,6 6ueprq 1Er{TT.re1 p6ng
'eutusn.ralas uep ?\r+
={x. . ,}r\tl =t"
,8 A*1 ="
,rr/rr+ _Lx lG =,* o/l'r --JL
'EsrTeue E.reces 6un11q1pledep uauour s1.re6 ue6uep 6uo1od
>tT1T1 de11as {e1aT eleur 'loqetededn.req ueuou-sTre6 eua-re1 qalg'(tt'L 'Sg) erues 6ueI ue16eq g
weTep t6eq e41>1 s:{EU1n1
lpulp.ro rpef
?t'[ 'q0
' (lpTnq ue6ue11q snf,er{) t * ry = -wV- = u
'un tEg,O = u1 LgZtO .f = zo) = 14y
'u LgZ,g = uc L'gZ = u3 07.9 = , i1Z =oN laqnp edeg
.uc 0z y gf ue.rn{nraq Surseur-6uTseu >foTeq 6ue1eq enp unsnz{uau ElT>{ rpef'urc o?= 9T '06'O '
. (>{oreq .r=,rr.*n##; : ;;t# ;l ;:::rg96 ez{ueq de66ue elT>{ ,eurnduas }tepTl Taqnp TTspr{ pua_rp{ qeTO
'Taqnpede-reqeq ue6uep uelnles.radrp 6ue['-requa1 {oTeq enp ue6uap 11ue6 e+1y
'rur .resaqas'ue.rn>[nraq {oTEq uelledepueu {n1un rTp{as ITTnS .uro gT - q
9-9'/
I
7.6
a) Sambungan atau J..as tunggal (Gb. Z.L5 atas) .Dua batang atau perat baja disambung dengan perantaraan satu peTatpengambung (7asp7aat) - Anggaplah lebar-pelat masing-masing b -cm,
dantebalnya't cm; diameter baut (di sini baut sumbat) adalah d cm. Bagai_manakah kokohnya sambunqan ini? Lebar-netto pelat bo=(b-d) cm dan luasnettonya Fo=(b-d)t cm2. Jika o = 6_ (yang diplrbotehkan) maka pelatdapat menahan gaya tarik p_-,-- = Fo6 kg.
TUN GGAL
u'u#i ll S*-
RANGKAP
Gb. 7.15
Baut mendesak pada pelat sehingga timbur tegangan yang kita namakantegangan-desak (-stuik spanning), tertulis: ok yang biasanya diperbo-lehkan sampai 2o., )adi_ 6n = 2o: Satu lubang baut menghasilkan gayasebesar Br = Ft6* = dt61 = 2 dtjo (gaga-baut berdasu.k.r, tegangindesak). Baut menahan tegangan geser sebesar r sedang luas tamplrrgrry.'l ,Fo = f, nd'.oleh karena baja melereh sebelum patah, maka tegangan qeser dianggapmerata pada seruruh tampang baut. seranjutnva aiamrir i' = o,;;.Dengan demikian satu tampang baut dapat menghasilkan gaya en = fof =
L26 SOEMONO, TEGANGAN 1
i/\
U35]9 NVDNVC31
' -uc a n: qJ ue6uap ulc ?9',2 - u:t| = p lnPq iralaurPTclz- tJJc ?' T'9T = fg ue.rn>{n.raq efeq (1ETad) dr:1s ena :qoluoC
'6ue1eq qolo>l -o-
ue6unqures-qo{o>{ er{Bdns ledecueur ue)i€ pns{Pllllaq ueT{Tulap e.rPO '9 t- +e66u1qas n1T d f,esaq sP4P ue>{.resepTp 1u1 1e1ad-u€.rn>tn n.r1sn[ 1de1a,1
.ue16un11q:adrp {epTl eduueleqlla>1 (6u€1pq) 1e1ad qalouer{E?Tp 6ued 4 .ren1 etre6 1pe[ 'rrlelaz lPJrs-raq TUT sP1€ 1p ue6un11g
,\pz=3=,, o,{ slPud
: tpe[uaru u lneq edu1e,{ueg')tg LIeIeT uExnlueuau 6up.d 6ue:e1es lpeg
= rtg nf re.d r{Eqn.roq >1e1 de1a1 1g 6uepas o-p, ! =
69--z'z
'1e66un1 E-rec ue6uap ue>16u1puEqTp e,{u11e1 enp tpe[-uau 69 uET1Tuep ue6uaq . (de16ue.r 6uedure4:aq1 eA.u.rasa6 ue6ue6a1 ue6uap6r.redurel Bnp ue{TTseq6uaur lneq 1pe[ 'enp epe 6unqurpduad-1e1ad e,{u1e,{ueg
(qeweq gT'I 'q9) de>76uez seT nele udbunqteg 1q
e9t't'q0
'(18 ) P)'g.uu lro+z
(-
-
= paZ e1e,l 69 = rg e.(edns 'rg ,
up6unqrues r{eTTlsT ue6uap renses)
';ese6 sE?P ue>t.resPp.raq lneq e6eb
9't
--+
.egT'I 'qg ln.rnuaur ledepzal lneq de1?as P.rP?uE IE.:P1''g+(pru - q) = go.{ =
s{Pud upp '(pu - q)= og eleu '(T e^uPq qoluoc +n-r
-nueull lneq u ue{1edua?1p ledep n?T leTad eped 6ueluTTau qe-re a)t e{T.eq
. qg
8'o - .P't ug
", =_6;_--fP'it-=
-nXualTp u lnEq e.duler{ueq e>1eur '6unquesrp 6uez{ rrtpuas edu4elad nele6ue4eq ue6uep qo1olt eutes n?T ue6unqures e.f,edn5 '(TToe>t.ra1 6uer{ lneq
e,{e6) 6a qeTeT respp re6eqes 1e>1ed1p 6ued u lneq e.du1e.,{ueq ue{n+uau
-aur {n1un r1.rp.raq 6uer{ rg I 69 4edepzal Tebbunl uebungures eped 1pe4
- SXEU au ! -"'-d = og'u te^dedns ue1
lts
9.nui = 6s 6uep"ltr;, =-r;"';t"I .pLx 1 nele aZNp eIuesela - T '11e66un17e66un1 6uedweqteg ue{e1e{Tp lnesn1tp,{ o-px:= 08'o'-p'r'Z = t-pvZ ' -. L - L L T
/
7.6-7
6 = L25o kgcm-2.I'c = (b- 2d)9, = (16 - 2.2,54)Ir4 = I5,3
Las atau sambungan tunggaT0,8 Fb - 4 (cm2) .
n=#= a (Gambar kiri)Las rangkap2 d,t = 2.2t54.Lr4 cm2 = 7r1 cm
15 .3n=-fr=3 (Gambarkanan).
7.7 SAMBUNGAN-BAUT PADA pROFtr TERSUSUN (cB. 7. t6)
Gb.7.16
Rasuk terdiri dari:1 pelat tubuh, tebal tebal t = l 12 cm, tinggi
80x 804 profrlLf masing-masing dengan d = 15r1
4" = 2134 cm.7"2
h=80cm2--4cm ; I*," = 8715 cm' ;
22 tmi F, = 3 r87 cfi.2
6600 = 44600 cma
= 60000 cma-
I = l-65.600 cma
2 strip masing-masing 20 x L,2 cm'i baut 0 * EBesaran FrS dan I didasarkan atas nettonya.u
1Tubuh, i rl = (4O - 2,2).L,2 cm2 = 45,3 cm2.tProfill. ; E2 = 2(t5,1 - 4,4.L,0)cm2 = 2L,4 c_m2
'I
strip - , ir, = 15,6 . I,2 "*'= lg,7 cm2
,, = ri . L,2 . ga3- 2,2 . 2,4. 35,52 = 5r.2oo -12 = 4:.87,5 + l-5. 1. 37 ,662 - (2 ,2 .3s ,52 + 2 ,2 .3g ,52 )l- 4(2L49O - 6200)It = 2. 18,7 . 40 ,62
S, = 2L,4 37 ,66 cm3 = 830 cn .Sj = 18,7 . 40,6 cml = 780 cm3
S =1610 cm3 (strip + profil L ) .Menghitung jarak antara baut A satu sama lain.
I28 SoEMoNo, TEGANGAN 1
6Zt
-rp lpdpp 6upA ueurour n1te.d ,ll (-' z\. . . ,
yrG) rrz 9--. .. ,12 '
1
- = A .=- =!X t)! =zX :) =rX -z>l z 'z)l 'z>l
'9 = ur " Trgue e1r{ qoluoc te6eqe5 -T'X qeTlnqes ':esaq:a1 6uetr e.de6
eur.raueu 1da1 eped 1e1ep-ra1 Sued?nPq E{Elu '1e.r1au s1.re6 r-rep edu
->tprp[ ue6uap sn.rnT 6utpueq-raq n1Tuauou o pua.re>1 qaTO 'ue1r6n:au tpeC
'01 6ue:n{.raq ur>[eu u .rpsaq ur{plu
E/vtqEq ,1e6ut6uau TTqups :_9,'.2 = 5- ulPS, T - I-I
'p s'e'(T - ru) + pz'z ?<14.
:1edep.re1 Egt'L 'q, ln.rnuaue>geur 'p = elu.ralaureTp 6uepas ur n1T
sr.rEq nlPs Tp lneq ez{m1ez{ueq er11g'g'"M = N 'uEI{P1rp ledep 6ued uauo6
\Z
U]S]9 NVDNV9fI.
rz>lz = zx( =Iw
zt't'q0
'"r71,t/
qeT€pE ez{uo11eu ETS.zauT
1e1ad eped 1edep.ral ruI
,(z).,(z)r,)l
. J = og e>1eur ,eXu166ut1 nlT q p{Tf . oI-r
uaurow 'unsnsral 1rg:o.rd >tnluaquau 6ued qnqnl
(tt't 'sc) Ntwow )nrNn sv.t g.t
'1rr3 gT = p = q :up>{nxual elT)t TUTS TO
urc gr - unururru p <,rc r?FJ-08r .9 =:9 = e,p.rElr,rp >[ExEfOO9S9T L'L I X
.1neq-eu{e6 ue>11rseq6ueu 6ued , ,"u}u*rtu;:;"\:r3tr;":"t;:;':;3=;r:1tu]r}-ue1 nlensas eped 'r-Inqnl uep -l 1t;o:d eped dr.:1s 6ue6aurau sn.req d lneE
a +neg
'urnuTuTluTeTTU n1te.d 'de1a1 T€TTu Trqurerp ,ueeues>1e1ad uelqepnuau >1n1un 1de1
r{Equpl;eq qaToq e e66urq ,6ue:n>J.raq uT{pur qe6ue1 aI uT{eu x[ undt>1se6
'(umurrurui p) llrc gT qeTu${n?ua? ,uc ,gT = 0T9T . 97 = = 00999T 9'g'1 9,9 = 6>t O9ZT . gz,g = 61 Tppf
' ._ruc6>1 ogzr = g uep uendurnl >{T1T1 sele rp) 1 o? = "{"'[ qe11rq,rq^ sxPu,
.:. '='= p uep =."'""6f , I E - -S'urnurtsleur 6uez( xfl TTqurpTp TuTs TO
'"n-6f * = *r*'1= rB = s(luc).p >1ereIas
1n€q enp E.rE1u€ e[:a>1aq 6ue^d .rasa6 ue6ue6e1 Tsele6uau sn.req ru1 edeg'g gz'g = DZ,I ' Ztc,'Z
- o1p z = rg lneq-ede6 qeTpT ue{n?uauau 6ue^d i66utqas de>76uet 6ued-welzaq 6ueX qnqnl 1e1ed eped d1.r1s epas 1rg:o:d ue>1n1e^dueu TuT V lneg
8-t'I
'"p"y* = * ,n"t
7.8-9
hasilkan oleh satu baris baut yang terdiri dari m baut.Kita mengisi- f = gaya baut B, yaitu yang terkecil di antara Bn dan B*.
Banyaknya baut yang diperlukan menjaditermaksud d.i atas.
7.9 SAMBUNGAN SECARA TISTRIK
Yang dimaksud sambunqan secaralistrik ialah hubungan dua bendabaja satu sama lain yang diperolehsecara melel-ehkan baja elektrodasepanjang tempat pertemuan keduabenda itu.Lelehan el-ektroda ini menyatukankedua benda dan dapat menghasilkangaya K melawan terlepasnya keduabenda tadi. rni dianggap hasiltegangan r di dalam bidang A-A(cr. 7.18).K = tt. . ,rtfi = oo,4.ce" \f;..Q, = panjang sambungan.Supaya sambungan bermanfaat LOO%,maka 2K = P.
2oO,4t9. {i = ,At.^bbL = - E --= atau lebih mudah
o'e {' r'1serta aman .0 = b.Jika P bekerja eksentris, sepertiumpamanya pada profil L (cb.j.L9) ,maka panjang sarnbungan di kanan,/kiri tidak sama, supaya resultanK, dan K, berimpit dengan gaya pyang bekerja melalui titik-beratprofil L itu.K,a = KrbKr:Kr=b:aL, z 9"2 = b : aUntuk memendekkan sambungan, bolehrliadakan sambungan melintang, disini menurut A-Br yang sebetulnyalebih kokoh daripada sarnbungan mem-bujur, tetapi di dalam hitungandianggap sama kekokohannya.
Gb. 7.19
130 SOEMONO, TEGANGAN 1
n=mft:rn"M=wo6sePerti
Gb. 7.18
II
I
tl[.
U3S]9 NVDNV9]I-
'o(Taqer.rEA) p UTS zza - p soo .r . pr1 .f = S
D.1 = TPqal ,f = 6utpurp-nqums snrpEE
uete46ur7 ueqeTeg (q
(?-q)
tz'L'ce
0z'z'q0
,0
'3,8,V
G) =''(+-1:B;;.1s1.xe6 Txpp a qnefes ledep:a1 g rese6 qesnd ezlu1e1e1 ,6 =
zO e>1eur ,1e1
-T1raA e[:a1aq I eue.re>1 qaTo ..rp?ppueu e[ee>1eq ,tu('nf t)f = .? = tU
-:a,' e[.za{aq u=p qnqn? ueroeq arol;r 6uepTq s€nT = (1 - q)'b = u"o*6t]'}}'ttn -ttll *tb = *b
:e.[ue1e.r-e1e.r rETTU uep loqe.redp.recas uele[.raq qnqnl uet6eq Tp AoTg
' ,(a - q)e? +rs =
{+ - u){'n(1 - q)+ +Ts = s>{eu-s
. r O = b Jz tr+T+ rp aora'sn.rnr s{Plu-s z
uelef:aq e6n[ 1 - O Tf,Pp floB e{Eur'sn.rnT uele[.raq 1 ledues O Tf,ep S
puere{ qaTo 'o = ob ,o }tTaTl Tp dor,{j O = Tb rT )tT1T1 Ip noTe ,s
'(1 - i{)+' (ri - e) = suels-r l#ro nq,rns
l.-------+Pi-q
s1re6 +n.rnueu e[:e>1eq rrloTd
Gz 'L 'qg) l rTJord (E
:qoluoc'TuT >tT1T? rnTeTeur snjrEq 6ue1ut1-e,{e6 e[ea1-s1:e6 'u111d:a1 >1epr1 6ued
-ure? e,{edns '(aJfuac buyteaqs) zasab +esnd->tT+f? up{eupu E1T>t edule.zaq->tT?T1 6ued uep '6uedue1 6utputp nqums-sTre6 1+n>116uau 6ueX ao+>taA
le6eqes ue{sT{nTTp ledep r4ofJ +nqesrp 6ued ( _ uc6{)+ 6 = f,q uprpsaec- D .Eduseleq
1s1s refefes uelet.raq 6uedurel ure1Ep Tp e[re{aq 6ueX:,.rase6 ue6ue6e1T?rEf,aq TUI 'Gg uep 3q s1.re6 sn.rn1>1e6e1 uauodtuol redunduaur {ppT? 6uedr:re1
ureTep Tp l Tpe[ 'ue6ue6a1 seqaqrclrgclg uPp ,crvJv rnfnquratu 6uepTs
'TETVEV6trBpTq uep 6uedurel 6ueptq E.rE?trE
6uo?od sr:e6 :e6eqes gg s1.re6snrnl>1e6a1 ez{uqe.ze 6uer{ 6uedureX
6uepTq eped r e6n[ uellnqulTueur TUI. E O = :- eluunTaqes ueledepuad
S-TTsEq lnrnuau tJ. rn[nqulaur :asa6ue6ue6a1 1edep.ra1 :requre6 6uep1q
sn.zn11e6a1 6ue[ rE rVBV 6uep1q epe4. (OZ .
f . q9) 6urputp sn.rnT
1e6e1 gy ue6uolod uolepe6uau elTx
ffi
01" I
stdrr cNloNloulSeNvdwvl wvlvo lo ulslc 01'l
7.10
21t 2
I -- 2f *do, (r cos a)
Gb. 7.23
1) Potongan di U Pada bagian AB
= z*' f cos2 odo = I ntt' (tetaP)
soq=O=--*.ZSan(l.LTr
odMo= gds.r = 2 Er sin odcr
(momen terhitung titik).l,tn=../Tdt"tn= r+ /=ir, ctdcr = *r.,
=QeL. = ; r = OrS
c) Separoh seksagon teratut(cb. 7.23)AB = BC = CD = a; IAEO =ZDEO = 3Oo,
tebal dinding = 1.Kita hitung lebih dahulu I = I*(besaran tetap)
' F z'ls = r. z-iv'avI"b= Id"= tJY c a
7 t' 2
=Dtt'atau juga r"r = * AB (Yu - Yo )'
r"b= lrj*tr.- ai'f + aa[ttv.- vor']t/ t r 9\. t 1 --t=\r? 'i+ 16/t" =E'u'l3
16"= 1! ta
, = (r.J. #..' = f, t.'.
, = #yds = 2tjvdv = t(.''Y2) atau
s = ;.au.|ta+y) =t.2(a - v).)(a + v1 = t(a2 - v')
s = P = (?) r(a2- v') .
q,= Y= (9)i ,^' = l?, sab = ln a'e.u= ea. =1iqds = (?) zt ,i ru'- y')dv =
Komponen vertikalnYa: Vab= ; Q*= a Q'
2) Bagian BC (vertikal)
s=S**?or=1g32+As
As = r/ vdv = .(+ ^'- +v').t." rs-= t(|" - v)'(*'.')' = ] *'- .(* ^'- , r') =.(* "'- io')
Hi*'=+.#o=*0.
Gb.7.22
Vcd
ocd I .'\L-'.rl-LVab
t-
L32 SOEMONO, TEGANGAN 1
?T
ttT
TPPI
tas06
XD
= 1-' !ez{uueurourAD
z'
UfSl9 NVONVg:t1
ue6uep 6o1euy
p6nI n€1e
= "oA = too
1- sxPu -D=D
1_---pso
'uauoul ue-rnluaT Eped 5 - = ^W
sTf,E6 ue6uap ednf,es rese6 leqT{E
'*w
' (cvz'L .qe) xp . * rt =
xpZ
x-; Z..*b
.rnluaT st-re6 tpegJ?
= xp*O /'P = d rt"nx;1 JD
- xP
n "l--70' t orrt - xp/, - Apxp
rt nele or ! = srPur
E
!,4
d9 xp ,{9-T-=T6p-fi
,qq'-5=
o:. 6ueDr= 33 -e = "t=*1 ,ez{ueuedurn- oE16as.red 6ueduel epe6
. P1e.r-e1P.r
= sreul lnqos plTX ,ue{qepnueul >{n1un
uele>{epuad e.rec le6eqes upp , s{PuJ,
nz'L 'cc
(e)
Z
Tqq
ue6ue6a1 =* = ot e>[T[ orrt
J
I
l-I
.TuT s:(Pu.l. = r 1e1ed elT)t Tlupu
lpdppral nlrs Tp qpqas '>[oTeq nqumseped runu4sleu /. lnpns rrEqeqn.rad
'cVZ' l 'qO tlredes .rnlueTau {oTpq'n11 ue6uop 6unqnqreg' (Tp)tr1-zaA
TrTp-raq e,{uelnrues n11 6ueduel p}tTC)
TE>1T1:aA st:e6 eped 6un66utIuau el{u
-1praq-{r1T1 ledua? Tp uep (CVZ'L 'qDeped s11npa? Tpadas '(mnTeqcs
'6uydtequ) "6uTqT>t,, 1pe[uau up{uTeTeul
'e18f, 1e66u1+ de1e1 t6e1 >1eP11 Jn?
-uaTau 6ueduel e{Tfa>( e{eur 'elerau)tEpTl I Puarpx '6uedue1 nlensas epedr ue6ue6al qpTTncluTf ,0 lEqT{B te6eqaS '.InlueTeul TpEt 'e,{udepeq.ral xp,l"
qnefas un.rnl ueue>l TsTs '6ue6ed1p r-rr{ rsrs e)iTf 'GVZ' L 'qr) t rese6ue6ue6a1 lpqT{E le6eqas /, lnpns ueqeqn.rad lurele6uau xp Eue[uedas :nsu6
unlNtl t l'l
'9lei=rr!=.ffi'6;=s$"e6= (a-s&)O
1P"6 uep q"O ,{.To TnrETTp) 0 = f, >{T1T1 depeq-ra1 uauour 3
'()rococ) O = O(? .; r- +) = P'A *"oA *wA = A 3
fX . :J = (qb -%)': +abe = "eo
vz s - /?z -t) ,=, (*) = ^pb { oz t- \T -Z
' = 0T: ,8 . 9./:\ =,=^b _6t -,'T t\6/-
'02= ul(; -'6!=6 Z
(x9- \z T e":)'(*)
r t-0t'l
7 .1r
Contoh:a) ^galok dengan muatan penuh merata, q*,-2/ci v\ Ul+l:--^
\a*'/, cF Y'
fq'I --l--o(x+c.)\dx/s GF L'
* = )r, fif = ot lt. * ci o --..-- c, =
u lL'-Lp.**"^\.Ye q\r" 2 ./x = 0, y = o Cz = o.
v"/l r *') = !- M..Ye =6;\;r'x-;: ,/ GE
t- -n2"
= g tetap.
I ug02 =8gFLenturan di tengah-tengah bentang:
Dulu terdapat (Pasa1 5.9): f. = #f = f.* fs = f, (1 + uJ)
fo 48u EI m, = il = -E- ff u.orng G =2(* _ 1)
Pada tampang persegi bh terdapat 1.t =
Ambillah * = { jaai } = 2,6.
,=f * 2,6.*#=3,12(3)'.
F_9ad_'ET
E atau E- = z(tG\3 I L -z-.---h2'F-12"'
u
-MGF maks
h1Pada umumnya f.= ,f; sehingga o -< 3,I2t.Jadi jika di dalam hitungan lentur akibat geser diabaikan (sepertilazinnya) maka pada kejadian menurut contoh ini, kesalahannya t 3tboleh diabaikan.Sekarang kita ambil profil DNP r 40.
S tubuh - 1,44.20. 102 = 288 cm3S flens = 14,06. t8,7 = 578 cm3
Smaks :-!frfr:
zgzto .*n (t"b.l),S..k"
I,44 292t0
i-f-
T'maks
T='o
F= 118 cm3856
t\+ -1.
111 /
ff = o,n'
=n-=a\o=dr1
tg=n-E x 118866 118
= 2r4" 2g2LO . L,44
.2r292LO2.1i =F=ffi= 248 cm ; i = 15,7 cm; ;=s = € I 2,4.2,6.(0,4)' (*)' = e,6 (i)' .
Dengan I = 0,1; tl = 9r6t yang agak tinggi.b) Muatan P di tengah-lengah bentang- I Pt - l Pt''s 4 tGF' ^m 48 Er
to F T,=;;=12ueF
I34 SOEMONO, TEGANGAN 1
l^
U]S]9 NV9NV9Jl
'ur TS{E.r?uo{ snTnpou E^urPsoq eped 6un1ue6
-"rel nfre[ n1ua1re1 n116aq >ie1 6uez( -rof,IpJ ueledn:aur g ue-rPsaq 16e1edy'eureslas 1e6ues 6ued e:Bc ue{upTP[uaru pun6.raq n116eq ]t€1 TpP[ 'ue{reqeTp qaToq .rasa6 leqT)te TsEllrJoJap er{uesetq 1de1a; 'er{uue1ue1e[ueur qesns
qTqa1 TuT Tspuuogap ueef:a1ad ?n-rnuaur I 6upduel tn?un rt 6un11q6ua6'ureTep n - .renT n eledu.zeJ,
. JD 0z = Jcrt I =
Jg "o3 i z = po ru,Tpp uee[*a1a6
"6?.dt lrd I xp z 1;T
'd TrT>{ ue16eq {n1un a! = "6 T-'{3 0z = *1 9 = uru I = 'n renr uee[.ra>ie6 "6zd t lrd T -* T
! = n 6ue-re1es ueouap Pn I = u,9 td T -
:1edepra1.6ue1eq qe6ua1-qe6ua1 1p d TlenurTp 16as"zad 1oTeq pped
_ oI 'S€1e tP i;eleunb-rp ruades
-
= rt EpedTrep eues{as qrqaT rur eJec lnJnuau rt .ro1}(eJ s)leu ]'roes-rid 6uedurel {nlun n1eT-raq 6uex 5 - rt ro11ef epe TuT,s To
,xp j O.g = gp '6uedure1 qnrnTas eped ele-z 16eqra1 I E>t-Ifoft
'xp'/.6n!= xpnr .;. + - "n 5n f = nn
= o:. ue6uap ueTpnua)'QQ = d e>lT[
vvT. ^= oLt ,1 -';- Ja' " ,==' -r= :! xpz
' (v'D (,^ - .u f)o f = r,,ucf =,. :1edep-ra1 qq uP.rn>tn.raq t6es:ed 1o1eq epe6
'(I) 1s6un;; ueledn.raur s uep q ue-resaq Tu-IS To
- o.r- -Ie
ox- , '^-,(p.s
+-"f # . rO = ? 'onor-,r"pf= r.'Op ,f "pi = nn . ..; ^Y c L "r L "^
tpe[uau 6ueduel r{nf,nTas eped rpeI
'xplOp f "n= {Op qalo uelueleftp 6ued e[;ay ' { O = ] 6uppas trpqr
= f,p:asa6-ede6 e[.za1aq ru1 6uedurel eped'dp = edut66u11 uep ledrualesq = e.{u;reqa1 6uez{ ,X nqums:e[e[es:n1e[ ederaqeq ureTEp T6pqTp 6uedurBJ,
ETT
.,{6
'(#b)+ 'r = *eS'- z = xo/ x - r '\zsa
u9_
," 1)" !, !i
Ifl)'-
rsvwuojlo Nvvfulxrd NVIvNnecNlw zrl
.9'Z .V,Z .f,f = o : 07 I.dNC TTfofd T,O = .(u1),
.({).' '
zl-L|','l
= dYI ,'r..!.ZT = o :t6as-red 6uedrue6.)q/t
E ToRsr (prlrN, puNTrR)
8.r TAMPANG BUIAT (tTNGKARAN)
Kita mempelajari bidang aksia] (yang melalui sumbu) ; OOrAAr.sebagai akibat torsi atau piIin, titik A yang atas beraiih-ke a' (bi-dang tanpang bawah dipegang) sehingga bidang oolArA' bukan ragi bidangrata, yaitu menjadi ',kibing,, (wharping) .IOAA' = dU; OA = r.
Gb. 8.1
Titik B yang terr-etak di dalam bidang oolAAr berarih hingga jatuh diB' dengan oB = 0 < r(sebarang); z BB,B' = i. iejadian ini *..r,.rrirrt:.r1bahwa pada bidang oorAA, ada tegangan geser yang berarah sejajar sumbubatang dan secara otomatis di dalam bidang tampang juga terjadi tega-ngan geser r. Kedua kel0mpok t berarah tegaklurus garis oA.,r=BB'=Pdg, ds ds , berbanding lurus dengan p jadi dengan jarak sampaisumbu batang.
_ GpdUL-UY-........:-.'dsTegangan t di bidang tampang mengimbangi momen_torsi M,r.
136
B'-9#
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
"ot
i\ AiI-
l\i\ii \lr;.ii .k
ri-Lt,\(Ull.Nnd 'Nl-l ldr ISUOI
'eIps rs.rol lEqTIe u€{-resPp-raq 6unlrqrp -rr1?uaT
.s exuqequel.raq uebuap q=qur'l-raq (+:.4#. = r,-
'ureTep qeTaqes tp ledep*a1 nTeTas
sp6ad eduqeled n11 ue6uap 6unqnqreg ' TI- Z.L = or 6uepas 't +'t =
qr tpeg'1en1-radurau 6u11es rur unuTs{pur pnpax
(u=Tep r{praqes) I )tT1T1 To '(p?'8 Tpsed) # = ft
o = zr urnur-5s>1eur
rasab ue6ue6a1 ue>{TnquTuaur 6ued d-6 6ue1ut1-ede6 ppe qrs€lu n11 6uldures
,u9 rT'lW = 1:, :unuTSIeuI :resa6 ue6ue6a1 up{Tncluruau rul'Ed - '1111 reseq
-as Tsrol-uauou ueqeuau 6upd 6ue?eq-6uedure1 nlenses t.re[eladuau ElT)
1e:1ds 6ue1eq iu snrpp.r,=u,"; ;"::lE:1rTfi::r:;=T:ll}=t::3'Tl:::'sB6ed nqums depeq.ral snrn11e6al {P1eT.r31 ue.re>16ur1 6ueptq dp66ue ElT)
(e'g 'ge) TVutds-utd nvtv Sverd t'8
TC
;ll,L
lld Z
:1edep.ra1 r-I >-- q e>{T1' '6ue[ued.:41 rsrs qe6ua1-qe6ua1 tp TnquTlnTpTas 6uer{ ,urnuTs{eul r leua6ueur 1t.r1dua snunf ue>1eun66ueur dn4nc e1t1
lrdrs-1tu1a1 ueun6upq {nlun .6uTqTl -rpe[ueur p6nt 6uedrue4 6ueptq ',ue.z
-e16ut1 6uedupl ue6uap ueuTPT-rag 'qPpnlu n1r6aq {PpT1 rur Teos ueqeceued
rclsurd eNvdwvL z'8
' ("rE>t6uEsentnql g'V3 + ca'o u
'(r{cEs) :6V- + t
= rt 'e = g eped snsnqy
q-q= rt ue6uep |!.-n =
tx'*:-
t, =riTl '{rrt - llu!, =
ut ureTep-snTpEJ = Tr uep senT-snTpE.r =
ue6ueP 'treEueleE 6ued
-ure1 eped mtpT;aq e6n[ tut -] TTSPHz'8'q9
1S
-=sPYt
I9. rr-.t^lsp
.,2. t [
= j.rlw
= r=d1
- s)tPu]
,?w a' JtnlueT uotuolll +eqT>lp
T0p uep
Ii = o ue6uap 6o1eug
d-= 4,p J+ "1W = sp'rfip/,g = r
. dr = ,tP r"w =
url38, \e,.w 4roc -\4n7-
"'^:,.:;:1$I
e-z- t'8
tr8.3
Tampang AB berputar dr! = ,...h=PRdSGrn
CCr = adU.
dd = CC' = CCr.! *at =aPada tiap putaran (ulir)
6- = pR2.2 lR - 2nPR3, GIo Gfn
.Tika lanyaknva ulir = n,melentur:6 = nd, = 2rn PR3
. __ Gfn
.Iika P menekanr dan U =antara batang, maka 6r=
atau p --< GIo A- supaya.
2?TR
jadi persentuhan.
SOAL
PR2 S,GI
nenjadi
titik c
jarak bebas
,nS o.uurp
tidak ter-
fLr)
a) Roda alat dengan bilangan_putaranI tiaf menit, menghasilka; da;;kerja & Hp. (horse power). HitunglahtebaL poros-roda yang berbentuk IinS_karan peja1, sedang i aiuiir."".Kecepatan sudut tiap detik =I, = m. . n.2t (radial).Momen torsi M;, yang bekerja padaporos menjalankan pekerj."r,
"-"ti.pd::-rk U, = oMt, sedang "fut ,"."gt__silkan pekerjaan setiap detik U =75 k. kgm (dianggap t rp = 75 kgm) .
Gb. 8.3
U*=U;Mar=M
- - "trrnaks - 1-3.1n'
,' ,-- M'L.T,n'
Contoh denganIttl = Z6- e00
1M.'= 3fr 7s
75 k. kgm.
bilangan: k =
2n=30r
L25. )u = l- ksrn
50;n=9OO;i=SOOkgcm-2
12500= --
kgcm.
d E 6,6 cm., r- r'Pcm 83,3 cm;
' 'n
'too
138 soEMoNo, TEGANGAN 1
--f "_l
l-
:66t 'V '.t ,:.:,t q \1l,f*ir..u, i{riJ trofot,
5EI(Hrl-Nnd'Nntd) tsalol
vAvgvx lsz€ '"N N;*nt^:t- J?x ''n' I.il'
Xnltll" vl{ivf HVuavO N\
.i5\zpueln>16ues:aq 6ue.,{ psup.r? sn:n14e6e1 rmtnTp n?T {T?T1 tp e.f,uue6uorasa)i
ue6uap sn.rnT 6ulpueq:aq n?T tTlTX nlensas Tp I .reseq qelledep:ag,'PsupJ? ?nqesrp 6uez{ srre6
-s1re6 ue6uap eduue:n1ue1ad eures 6ue.f, >1tX11 de11es uol6unqe66ueru e11y..rnXueTau eS6urqas ,edulesru E-rppn up€x
-elueead ue6uep eJe.rau up>te1Tp n11 s1d11 6ue.[ 111m1 ueTpnurax 'e,{u6u11-TTe{ 1s1s eped ue>ptplaTTp 6ue.[ uep n?T 6uedurel ue6uep un6ueqas 6ued
(wrl deos) unqes-qTnq lTTmt ?encnuou slTt 'Tsxol-uauou qeTo ue{Tnq-t[T1Tp 6ue.t( 6upduel {n1uaq nlpnses eped :. uel6eqruad r.reCeladuau {n?un
vrvulwNV)3lrO oNVA NnsVS-Hlng Uln) NVoNIO NVCNtONVsUrJ
''8
| 6(,t. I
'ntI
{
I
. uao=
'xN rl
lunl T otb
'r*r 6unlTqTp ueTpnuex
! = l'aru I ='S>[Ettrr?1q T"T.6ue1ueqqe6ua1 Tp Tou'Tpef 'qnuad P?E.:rauI ueqaq leqT>{p ueledn:aur 6ue.t{ 6ue1ut1
ede6 6uep1q edn:aq toTeq eped 1s:o?-6uppTq ueuelef:a".[+] soTb =reul
r{pTET Te;.TnT r{aTo {oTeq epedal uelqe&u11tp 6ueu{ ,u de11 rs.rol-uaupl^l
9'8'qc
(?'g 'CA) 1 6ueluaq ue6uap qq uprn>tnf,aq uolaq TZep TelTnT->{ofq .q
7-t'8
x.
rlI
r. .L -tIT tT