tanggapan frekuensi rangkaian orde 1
TRANSCRIPT
TANGGAPAN FREKUENSI
Rangkaian Orde-1
Kita akan membahas tanggapan frekuensi dari rangkaian orde-1 dan orde-2
Persoalan tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai frekuensi
tanggapan rangkaian terhadap sinyal yang tersusun dari banyak frekuensi
atau
timbul karena impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda untuk frekuensi
yang berbeda
Rangkaian Orde-1
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Keadaan Mantap
Dalam analisis rangkaian di kawasan s kita lihat bahwa pernyataan di kawasan s dari sinyal di kawasan waktu
)cos()( tAtx
22
sincos)(
s
sAsX
adalah
Jika T(s) adalah fungsi alih dari suatu rangkaian, maka tanggapan rangkaian tersebut adalah
)())((
sincos
)(sincos
)()()(22
sTjsjs
sA
sTs
sAssTs
XY
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap
memberikan pole paksa
memberikan pole alami )())((
sincos
)(sincos
)()()(22
sTjsjs
sA
sTs
sAssTs
XY
n
n
ps
k
ps
k
ps
k
js
k
js
ks
2
2
1
1*
)(Y
Tanggapan rangkaian ini dapat kita tuliskan
komponen transien yang biasanya berlangsung hanya beberapa detik
komponen mantap yang kita manfaatkan
Dengan menghilangkan komponen transien kita peroleh tanggapan mantap di kawasan s yaitu
js
k
js
ks
*
)(Y
js
k
js
ks
*
)(Y
Nilai k persamaan ini dapat kita cari dari
)(2
sincos
)()(
sincos)()(
jTj
A
sTjs
sAsjsk
jsjs
Y
)())((
sincos)()()( sT
jsjs
sAssTs
XY
sehingga )()(2
)(2
jjj
ejTA
ejTe
Ak
Ini adalah suatu pernyataan kompleks yang dapat ditulis
jejTjT )()(
jse
jTA
jse
jTA
ejs
jTAe
js
jTA
js
k
js
ks
jj
jj
1
2
)(1
2
)(
)(
2
)(
2
)(
)()(
)()(
*
Y
Tanggapan keadaan mantap rangkaian di kawasan s menjadi
Dari tabel transformasi Laplace kita lihat
assF
1)(Jika f(t) = eat maka
Oleh karena itu tanggapan mantap di kawasan t menjadi
tjTA
eejTA
ejTA
ejTA
ty
tjtj
tjtjtm
cos)(
2
)(
2
)(
2
)( )(
Persamaan tanggapan di kawasan waktu ini menunjukkan bahwa rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dan mendapat masukan
sinyal sinus, akan memberikan tanggapan yang:
Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi sinyal masukan tetapi amplitudo maupun sudut
fasanya berubah dan perubahan ini tergantung dari frekuensi
berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi amplitudo sinyal berubah dengan faktor |T(j)| sudut fasa sinyal berubah sebesar sudut dari T(j), yaitu
.
tjTAtytm cos)( )(
Carilah sinyal keluaran keadaan mantap dari rangkaian di samping ini jika masukannya adalah vs = 102cos(50t + 60o) V.
CONTOH:
Penyelesaian:Transformasi rangkaian ke kawasan s
Fungsi alih rangkaian ini
50
50
1002
100)(
sssTV
Karena = 50 , makao
1
45
)50/50(tan22 2
1
5050
50
5050
50)50( j
jV e
ejjT
Jadi keluaran keadaan mantap:
)1550cos(10)456050cos(2
210)( ooo
o tttv
Pernyataan Tanggapan Frekuensi
Fungsi Gain dan Fungsi Fasa
Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(j)| disebut fungsi gain
Pengubah fasa disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ()
Baik fungsi gain maupun fungsi fasa merupakan fungsi frekuensi
Jadi kedua fungsi tersebut menunjukkan bagaimana amplitudo dan sudut fasa sinyal sinus dari tanggapan
rangkaian berubah terhadap perubahan frekuensi atau dengan singkat disebut sebagai
tanggapan frekuensi
Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di samping ini
Penyelesaian:
1000
500)( : rangkaian alih fungsi
ssTV
Berikut ini kita gambarkan perubahan gain dan perubahan sudut fasa
1000
500)( : fungsi
22 jTgain V
1000tan)( : fasa fungsi 1
1000
500)(
jjTV
CONTOH:
Pada frekuensi rendah terdapat gain tinggi yang relatif konstan;
pada frekuensi tinggi, gain menurun dengan cepat
Pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah tetapi kemudian cepat
menurun mulai suatu frekuensi tertentu
-90
-45
01 10 100 1000 10000 1E+05
[o]
0
0.5
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain
1000
500)( :
22 jTgain V
1000tan)( : fasa 1
Perhatikan bahwa sumbu frekuensi dibuat dalam
skala logaritmik
0
0.5
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain passband stopband
C
0.5/2
Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh ini menunjukkan bahwa
sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami perubahan amplitudo dengan
faktor tinggi
Gain rendah di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang
berfrekuensi tinggi mengalami perubahan amplitudo dengan faktor rendah
Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband sedangkan daerah frekuensi dimana terjadi gain
rendah disebut stopband
Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan stopband
disebut frekuensi cutoff , C.
Nilai frekuensi cutoff biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan faktor 1/2 dari gain maksimum pada passband.
Gain
Dalam contoh di atas, rangkaian mempunyai satu passband
yaitu dari frekuensi = 1 sampai frekuensi cuttoff C , dan
satu stopband yaitu mulai dari frekuensi cutoff ke atas
Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah frekuensi rendah saja
sehingga disebut low-pass gain.
Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika passband berada hanya di daerah
frekuensi tinggi saja seperti pada contoh berikut ini
Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di samping ini
Penyelesaian:
Fungsi alih rangkaian adalah
2
25
10
5,0)(
10
5,0
1000/10
500)(
j
jjT
s
s
ssT
V
V
0
0.5
1 10 100 1000 10000 1E+05
0.5/2
C
Gain stopband passband
0
45
901 10 100 1000 10000 100000
[o]
; 10
5,0)(
42
jTV
21o
10tan90)(
CONTOH:
Gain biasanya dinyatakan dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai
)(log20 dB dalamGain jT
Pernyataan gain dalam dB dapat bernilai nol, positif, atau negatif
Gain dalam dB akan nol jika |T(j)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo sinyal
keluaran sama dengan sinyal masukan.
Gain dalam dB akan positif jika |T(j)| >1, yang berarti sinyal diperkuat.
Gain akan bernilai negatif jika |T(j)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.
Decibel
Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi cutoff,
nilai gain adalah
dB 3)(
2log)(log20)(2
1log20
dB
maks
maksmaks
jT
jTjT
Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah frekuensi di
mana gain telah turun sebanyak 3 dB
Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K kali , jika K = 1; 2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ? Dan berapa nilai gain jika terjadi pelemahan dimana K = 1/2 ; 1/2 ; 1/10; 1/30; 1/100; 1/1000 ?
Penyelesaian:
Untuk sinyal yang diperkuat K kali,
KjTjTKgain log20)(log20)(log20
dB 601000log20 : 1000
dB 40 100log20 : 100
dB 30 30log20 : 30
dB 20 10log20 : 10
dB 6 2log20 : 2
dB 3 2log20 : 2
dB 0 1log20 : 1
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
dB 60 : 1000/1
dB 40 : 100/1
dB 30 : 30/1
dB 20 : 10/1
dB 6 : 2/1
dB 3 : 2/1
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
gainK
Penguatan Pelemahan
CONTOH:
Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik; jika gain dinyatakan dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik sebagaimana didefinisikan, maka kurva gain
akan berbentuk garis-garis lurus
Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass gain pada contoh sebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di samping ini. Gain hampir konstan 6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan kemiringan yang hampir konstan pula.
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain [dB]
6
C
9
Kurva Gain Dalam Decibel
High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh sebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir konstan 6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir konstan pula
Gain [dB]
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
6
C
9
Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula, sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita memiliki karakteristik band-pass gain.
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain [dB]
3
C
Frekuensi cutoff pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff
disebut bandwidth (lebar pita)
Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde-2 yang akan kita pelajari lebih lanjut. Walaupun demikian kita akan melihat rangkaian orde-2
berikut ini sebagai contoh
CONTOH: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde-2 di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
+
+Vo(s)
Vin(s) 1100
s 105/s
Penyelesaian:
)1000)(100(
1100
101100
1100
/101100
1100)(
525
ss
s
ss
s
sssTV
2222 1000100
1000)(
)1000)(100(
1100)(
jT
jj
jjT
V
V
0
0.7
1.4
1 10 100 1000 10000
Gain
11/2
passbandstopband stopband
Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan diperoleh adalah
-40
-20
0
1 10 100 1000 10000 1E+05
Gain [dB]
3
C
CONTOH: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
Penyelesaian:
28226
62
642
62
642
62
5
5
10)10(
10)(
1010
10)(
1010
10
/101,0
/101,010
10)(
jT
jjT
ss
s
ss
sssT
V
V
V
passband stopband passband
0
0.7
1.4
1 100 10000 1000000
11/2
Gain
Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada antara 100 10000 dan dua passband masing-masing di daerah frekuensi
rendah dan tinggi
Karakteristik gain seperti ini disebut band-stop gain.
Kita lihat Low-Pass Gain
Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low-pass gain adalah:
s
KsTV )(
Tentang tetapan K kita memahaminya sebagai berikut: K yang bernilai positif kita fahami sebagai K dengan sudut K = 0o K yang bernilai negatif kita fahami sebagai K dengan sudut K = 180o
Tentang pole dari suatu fungsi alih, kita ingat diagram posisi pole seperti di samping ini:
Jika rangkaian yang kita tinjau adalah rangkaian stabil maka ia harus memiliki pole dengan bagian riil negatif karena hanya pole yang demikian ini yang dapat membuat rangkaian stabil. Komponen transiennya menuju nol untuk t . Hanya rangkaian stabil saja yang kita tinjau dalam analisis tanggapan frekuensi.
Bode Plot
/1)( maka
j
K
j
KjT
Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah
)/(tan)(dan )/(1
/)( 1
2
KVK
jT
Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi
2
dB)/(1log20/log20)( KjTV
Komponen-pertama fungsi gain ini bernilai konstan untuk seluruh
frekuensi
Komponen-kedua fungsi gain Ini tergantung dari frekuensi
Komponen-kedua ini pula yang menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (/) =1 dimana komponen ini
mencapai nilai 20log2 3 dB
Jika fungsi alih rangkaian yang kita tinjau adalah:
Komponen-kedua inilah yang menyebabkan gain berkurang dengan naiknya frekuensi
s
KsTV )(
Pendekatan Garis Lurus dari Kurva Gain
Jadi frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole fungsi alih, yaitu
C
Perubahan nilai komponen-kedua dari gain sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan = 1000 adalah sebagai berikut
Untuk frekuensi rendah, (/) << 1 atau << , komponen kedua dapat didekati dengan
01log20)/(1log20 2
/log201)/(log20 2
Untuk frekuensi tinggi, (/)>>1 atau >>, komponen kedua tesebut didekati dengan
dB
[rad/s]
-60
-40
-20
0
1
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
C
log((/)2+1)
pendekatan garis lurus
Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis nol untuk 1<< dan garis lurus 20 dB per dekade untuk >.
Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada (/) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff.
Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa
Pendekatan Garis Lurus Kurva Fungsi Fasa
)/(tan)( 1 K
Komponen-pertama fungsi ini bernilai
konstan.
Komponen-kedua memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola
perubahan tanggapan fasa
[rad/s]
-90
-45
0
1
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
[o]
tan1(/)
pendekatan garis lurus
C
Pada (/)=1 (frekuensi cutoff) tan1(/)=45o.
Pada =0,1C tan1(/)≈0o.
Pada =10C tan1(/)≈90o;
Untuk >10C tan1(/)=90o.
Jadi dalam selang 0.1C<<10C
perubahan fasa dapat dianggap linier 45o per dekade.
Dengan pendekatan garis lurus, baik untuk fungsi gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum dalam dua tabel di bawah ini.
Gain Frekuensi
C =
=1 1<< >
Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)
Komponen 2 0 0 20dB/dek
Total 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20dB/dek
Frekuensi
C = =1 0,1<<10 >10
Komponen 1 K K K
Komponen 2 0 45o/dek 0
Total K K 45o/dek K
Perhatikanlah bahwa nilai komponen-pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen-kedua mempunyai nilai
hanya pada rentang frekuensi tertentu.
Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa ini, dengan mengambil = 1000 adalah sebagai berikut
[rad/s]
-40
-20
0
201
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
Gain [dB]
20log(|K|/)
20dB/dek
C =
[rad/s]
-135
-90
-45
0
45
1
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
[o]
45o/dek
0.1C 10C
K
Perhatikan bahwa penurunan gain dimulai dari C sedangkan penurunan sudut fasa terjadi antara 0,1C dan 10C
Kita lihat High-Pass Gain
Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass gain adalah
/1)( sehingga )(
j
Ks
j
KsjT
s
KssT
Fungsi alih ini mempunyai zero pada s = 0.
Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah
)/(tan90)(dan
)/(1
/)( 1o
2
K
KjT
)/(1log20log20/log20)( 2dB
KjT
Dengan menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut
Gain dalam dB:
Gain FrekuensiC =
=1 1<< >Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 20dB/dekTotal 20log(|K|/) 20log(|K|/)+20dB/dek 20log(|K|/)+20log(/1)
Gain FrekuensiC =
=1 1<< >Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 20dB/dekTotal 20log(|K|/) 20log(|K|/)+20dB/dek 20log(|K|/)+20log(/1)
-45
0
45
90
1
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
[o]
[rad/s]
45o/dek
0.1C
10C
K
K+90o
-40
-20
0
20
40
1
10
10
0
10
00
10
00
0
1E
+0
5
1E
+0
6
Gain [dB]
20log(|K|/)
+20dB/dek
C = [rad/s]
CONTOH: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih: 100
20)(1
ssT
Penyelesaian:
21dB1
211
)100/(1log20)2.0log(20)(log20)(
)100/(1
2.0)(
100/1
2.0
100
20)(
jTjT
jTjj
jT
Gain FrekuensiC = 100 rad/s
=1 1<<100 >100Komponen 1 14 dB 14 dB 14 dBKomponen 2 0 0 20dB/dekTotal 14 dB 14 dB 14 dB 20dB/dek
-60
-40
-20
0
20
40
1
10
10
0
10
00
10
00
0
[rad/s]
Gain [dB]
C
Komp-1Komp-2
Gain
[rad/s]
-60
-40
-20
0
20
40
1
10
10
0
10
00
10
00
0
Gain [dB]
Komp-2
Komp-1 Komp-3
Gain
CONTOH: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih:
Penyelesaian:
100
202
s
s(s)T
2dB2
222
)100/(1log20)log(20)2.0log(20)(
)100/(1
2.0)(
100/1
2,0
100
20)(
jT
jTj
j
j
jjT
Gain FrekuensiC = 100 rad/s
=1 1<<100 >100Komponen 1 14 dB 14 dB 14 dBKomponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dekKomponen 3 0 0 20 dB/dekTotal 14 dB 14 dB +20 dB/dek 26 dB
Kita lihat Band-Pass Gain
Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde pertama dengan
menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).
Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.
Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai kaidah rantai dan akan berbentuk
s
K
s
sKTTT 21
21
22
21
2121
/1 /1
/)(
/1/1
)()()(
KKjT
j
K
j
jK
j
K
j
jKjT
)/(1log20)/(1log20
log20/log20)(
22
21dB
KKjT
Dengan membuat >> maka akan diperoleh karakteristik band-pass gain dengan frekuensi cutoff C1 = dan C2 = .
Course Ware
Tanggapan Frekuensi
Rangkaian Orde-1
Sudaryatno Sudirham