Tahapan Penerapan EVT [Bensalah, 2000]1. Eksplorasia. Plot kuantil-kuantilPada tahap eksplorasi biasanya dilakukan kajian terhadap histogram data. Pada banyak metode penentuan VaR, pendekatan dengan sebaran normal merupakan asumsi yang medasar. Bagaimanapun, kebanyakan data deret finansial memiliki ekor yang gemuk. Grafik kuantil akan memungkinkan penaksiran kebaikan suai dari deret data terhadap model parametriknya.

Misalkan adalah rangkaian dari peubah acak yang iid, dan adalah statistic terurut, merupakan sebaran empiris. Catat bahwa dan merupakan hasil pendugaan sebaran parametric dari data.Grafik kuantil-kuantil (Q-Q plots) didefinisikan dengan cara

Apabila model parametric pas data, grafik yang dihasilkan haruslah linier. Kemudian, dengan grafik tersebut dapat dipergunakan untuk membandingkan beberapa penduagaan model dan memilih yang terbaik. Semakin linier plot kuantil-kuantil yang dihasilkan, semakin bagus model yang depergunakan. Begitu pula apabila sebaran asal data tidak diketahui, plot kuantil-kuantil akan memperlihatkan pencilan.Akhirnya, alat ini memungkinkan untuk menaksir seberapa baikkah model sebaran yang terpilih dalam mengepas dengan ekor dari sebaran empiris. Sebagai contoh, apabila deret amatan didekati dengan sebaran normal dan apabila data empiris merupakan data dengan sebaran berekor gemuk, grafik akan memperlihatkan lengkungan di bagian pojok kanan atas atau di pojok kiri bawah

b. Fungsi rataan pelampauanDefinisi

Misal merupakan peubah acak dan diberikan nilai ambang ; maka

disebut dengan fungsi rataan pelampauan yang melampaui batas ambang .

Apabila mengikuti sebaran eksponensial dengan parameter dan fungsi yang dihasilkan akan sama dengan untuk sembarang . Pada GPD,

Fungsi rataan pelampauan untuk ekor gemuk terletak antara fungsi rataan pelampauan konstan dari sebaran eksponensial dan GPD, yang linier dan menuju ke takberhingga untuk ambang yang tinggi hingga takberhingga.

Uji grafis untuk menentukan perilaku ekor sebaran dapat dilakukan dengan didasarkan pada bentuk dari sebaran rataan pelampauan. Misalkan peubah acak iid, dengan menyatakan sebaran empiris dan maka

Dengan menyatakan cacah anggota

Himpunan akan membentuk grafik rataan pelampauan.

Sebaran ekor gemuk menghasilkan fungsi yang menuju ke takberhingga untuk ambang-tinggi (bentuk linier dengan kemiringan positif). 2. Sampling maksimaDua pendekatan dapat dilakukan dalam membangun deret maksima atau minima. Yang pertama terdiri dari pembagian deret yang non-overlapping blok dengan panjang yang sama dan memilih nilai maksimum dari masing-masing blok. Asumsi yang dipergunakan adalah amatan iid berlaku dalam kasus ini. Memang, karena data finansial terdiri dari periode dengan volatilitas yang diikuti oleh periode-periode dengan volatilitas rendah (pengklasteran), pengambilan contoh maksima dengan teknik ini akan mereduksi fenomena itu seiring dengan penetapan lebar blok yang melebar. Bagaimanapun risiko kehilangan amatan yang ekstrim yang termuat dalam blok yang sama masih ada, membuat pilihan lebar blok menjadi persoalan.Pendekatan kedua adalah dengan menentukan nilai ambang (yang cukup tinggi) dan menetapkan nilai ekstrim adalah amatan yang melampaui ambang tersebut. Pemilihan nilai ambang adalah masalah yang simalakama (trade-off) antara keragaman dan bias. Dengan meningkatkan cacah amatan pada deret maksima (dengam menurunkan ambang) beberapa amatan dari pusat sebaran data akan termuat dalam deret nilai ekstrim dan indeks ekor akan lebih presisi (keragaman menjadi lebih kecil) tetapi bias. Di sisi lain, memilih ambang yang tinggi akan mereduksi bias tetapi akan menjadikan penduga lebih volatil (dengan lebih sedikit amatan).Resnick dan Starica menyarankan untuk menggunakan amatan yang distandardisasi guna mengepas beberapa parameter untuk mengatasi permasalahan tersebut.

3. Pemilihan ambanga. Grafik rataan pelampauanPada bagian sebelumnya telah dijelaskan.Ambang dipilih untuk pendekatan GPD dengan mendeteksi area dengan bentuk linier.b. Grafik Hill

Misal adalah statistik terurut dari peubah acak iid. Penduga Hill dari indeks menggunakan statistik terurut didefinisikan:

Grafik Hill didefinisikan sebagai

Ambang yang dipilih dari grafik ini adalah area stabil dari indeks ekor. Bagaimanapun pilihan tidak akan selalu jelas.Pada kenyataan, metode ini menerapkan GPD dengan baik atau mendekati sebaran GPD. Penduga Hill adalah penduga maksimum likelihood untuk GPD dan karena sebaran ekstrim konvergen ke GPD di atas nilai ambang (Pickland, Balkema dalam Haan), penggunaannya dapat dibenarkan. Untuk sebaran yang lain, beberapa peneliti menganjurkan alternatif lain dari grafik Hill untuk memudahkan pemilihan nilai ambang. Dress, de Haan dan Resnick (1998) mengajukan grafik yang didefinisikan sebagai himpunan titik-titik:

Pada kenyataan, mereka menggunakan skala logaritmik sebagai aksis dari . Hal ini memberikan ruang yang lebih lebar pada grafik untuk sejumlah kecil k. Mereka menemukan bahwa grafik Hill superior terhadap sebaran tipe GPD, sementara grafik alternatif tersebut memberikan adaptasi yang lebih baik untuk sebaran yang beranekaragam. Kuantifikasi dari superioritas adalah dalam hal waktu yang diperlukan di sekitar nilai sebenarnya dari indeks ekor. Persentase PERHILL dari waktu yang dilewati titik dalam persekitaran dari nilai sebenarnya adalah

Nilai mengkuantifikasi stabilitas di sekitar suatu nilai indeks yang terpilih, dan dapat digunakan untuk memilih satu di antara beberapa pilihan nilai indeks (beragam wilayah stabil pada grafik).

4. Pendugaan parameter dan kuantil

Parameter-parameter pada sebaran ekstrem dapat diduga dengan beberapa asumsi yang berbeda. Pertama, dapat diasumsikan bahwa amatan ekstrem mengikuti sebaran GEV. Kedua, dan kemungkinan lebih realistis adalah bahwa amatan secara kasar tersebar mirip dengan sebaran GEV. Lebih spesifik lagi, sebaran dari amatan merupakan domain maksimum atraksi (MDA) dari ; agar lebih jelas Berdasar hal tersebut, nilai dugaan kuantil dapat berbeda-beda. Terakhir, parameter dan kuantil diduga untuk sebaran pelampauan atas ambang (Peak Over Threshold).Pendugaan sebaran ekstremea. Pendugaan sebaran ekstrimMetode parametrik. Pengasumsian bahwa pengamatan ekstrem mengikuti sebaran GEV, MLE yang dapat digunakan untuk menentukan parameter. Sayang, tidak ada bentuk formula tertutup untuk menduga parameter, tetapi pendekatan numerik dapat dipergunakan.

Nilai kuantil-p didefinisikan maka

Dengan MLE dimungkinkan untuk melakukan pendugaan dari ketiga parameter secara simultan dan hal itu dapat dilakukan pada deret maksima per blok. MLE juga memberikan pendugaan yang baik pada saat kasus . Sebagaimana pada sebagian besar data finansial yang memiliki .

b. Metode semi-parametrik

Asumsi yang menyatakan bahwa pengamatan ekstrim konvergen atau menyebar dengan fungsi terlihat sangat kuat. Dengan mengendurkan asumsi tersebut, pengamatan menyebar secara kasar mengikuti sebaran GEV, maka yaitu sebaran dari amatan akan menjadi anggota MDA dari . Jadi pendugaan kuantil dan parameter dari bagian metode parametrik.

Misal merupakan peubah acak yang iid, dengan sebaran . Hal ini ekuivalen dengan

Pada kasus :

Dengan adalah fungsi bervariasi lambat, atau lebih tepat

Sedemikian sehingga untuk yang besar yakni diperoleh

Kuantil ke-yang didefinisikan sebagai

maka

Kuantil yang tinggi yang biasa menarik untuk diselidiki dari deret data ini, dengan kata lain, pendugaan di-luar-sampel. Untuk tujuan ini, ambil dengan adalah ambang yang sangat tinggi, merupakan nilai peluang yang terkait (peluang dari sebaran empiris dari deret dengan panjang dan adalah amatan urutan ke- dari statistik ) dan adalah peluang untuk kuantil ke-yaitu maka

(1)

(2)

Membagi (2) dengan (1) dan , maka

Indeks dari ekor dipilih dari wilayah stabil pada grafik Hill yang terbentuk.Pengepasan untuk data yang melampaui ambang (Fitting excesses over threshold)Pendugaan GDP terdiri dari dua tahap1.

Pemilihan ambang . Grafik rataan pelampauan dapat dipergunakan dengan memilih sedemikian sehingga mendekati linier untuk (linier terhadap GPD).2.

Pendugaan parameter untuk dan dapat menggunakan MLE.

Saat sebaran dari pelampauan ambang sudah diduga, sebuah pendekatan dari sebaran yang tidak diketahui (yang menghasilkan amatan ekstrem) dan pendugaan dari kuantil-darinya dapat digunakan untuk menduga VaR ekstrem.

Ambil sebagai ambang, dan peubah acak yang melampaui ambang tersebut (mengikuti sebaran) dan deret yang melampaui ambang (). Sebaran pelampauan dari adalah:

Dan sebarat dari pengamatan ekstrem, dinyatakan sebagai

Hasil ini membuat pendugaan terhadap ekor dari sebaran awal manjadi mungkin dilakukan, dengan secara terpisah melakukan pendugaan dan . Mengacu pada hasil yang diperoleh Picklands, Balkema dalam Haan, untuk setiap :

dapat diduga dari sebaran empiris dari amatan:

Dan

Pendugaan kuantil-untuk ambang tertentu dengan menggunakan sebaran tersebut.

5. VaR ekstrem

Per definisi, VaR adalah kuantil ke-untuk sebaran dari data perubahan log dalam harga. EVT membuat pemodelan terhadap sebaran empiris menjadi mungkin berdasarkan amatan ekstrem. VaR ekstrem didefinisikan sebagai kuantil-$p$ yang diduga dari sebaran ekstrem. Beragam penduga dapat digunakan bergantung pada metode dan asumsi yang dipergunakan.VaR diduga dengan mengasumsikan bahwa amatan ekstrem mengikuti tepat sebaran GEV (metode parametrik)

VaR diduga dengan mengasumsikan bahwa pengamatan mendekati sebaran GEV (semi parametrik)VAR dalam-sampel

Dan VaR di luar sampel:

Pendekatan pelampauan atas ambang dengan GPD membawa pada penduga berikut:

Biasanya pendugaan dengan menggunakan GPD dilakukan berulang untuk memperoleh grafik kuantil. Bisa jadi hasil yang diperoleh beragam, kuantil untuk wilayah stabil pada grafik dan kuantil yang berkaitan dengan versi pesimistik (lemah). Metode ini disebut POT (Peak over threshold). McNeil & Saladin.