UNIVERSITAS INDONESIA

STUDI KOMPUTASI PENGARUH INTERAKSI

PERTUKARAN ANISOTROPIK TERHADAP TENDENSI

TRANSISI FASE KEMAGNETAN ORDE KE-1 PADA

La0,7Ca0,3MnO3 KRISTAL TUNGGAL

TESIS

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar M. Si

GOBI HEMERLI

1006786783

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA

KEKHUSUSAN FISIKA MURNI DAN TERAPAN

DEPOK

MEI 2012

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

PerpustakaanNoteSilakan klik bookmarks untuk melihat tau link ke hlm

ii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Tesis ini adalah hasil karya saya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

Nama : Gobi Hemerli

NPM : 1006786783

Tanda Tangan :

Tanggal : 30 Mei 2012

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

iii

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt yang telah melimpahkan berkat

dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Penulisan ini

dilakukan untuk memenuhi syarat dalam mencapai gelar Magister Sain pada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.

Saya menyadari bahwa bantuan dan dukungan dari semua pihak sangat berarti

dalam penyelesaian tesis ini, untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada

:

1. Dr. Muhammad Aziz Majidi selaku dosen pembimbing yang telah

menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran dalam rangka penyusunan tesis ini;

2. Dinas Pendidikan Provinsi jambi atas dukungan dana selama masa kuliah;

3. Pemerintah Kabupaten Kerinci atas izin belajar yang diberikan;

4. Suami tercinta Muhamad Khabib Junaini yang telah banyak membantu dalam

penyelesaian studi;

5. Orang tua dan segenap keluarga atas doa dan dukungan yang diberikan;

6. Anak-anak (Ahmad Hasbi Ramadhan dan Irfan Fatih Maulana) yang menjadi

penyemangat dalam hidup;

7. Om Yufri dan Tante Yuli atas bantuannya dalam menjaga anak-anak selama

studi;

8. Sahabat-sahabat yang telah membantu dalam menyelesaikan tesis ini.

Penulis berdoa semoga Allah swt memberikan pahala dan kebaikan kepada semua

pihak atas segala yang telah dilakukan, dan semoga tesis ini memberikan manfaat

bagi perkembangan ilmu pengetahuan.

Depok,

penulis

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di

bawah ini :

Nama : Gobi Hemerli

NPM : 1006786783

Program Studi : Fisika Murni dan Terapan

Departemen : Fisika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya : Tesis

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif(Non-exclusive Royalty-

Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :

Studi Komputasi Pengaruh Interaksi Pertukaran Anisotropik terhadap

Tendensi Transisi Fase Kemagnetan Orde Ke-1 pada La0,7Ca0,3MnO3

Kristal Tunggal

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti

Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan,

mengalihmedia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database),

merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama

saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai Pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok

Pada Tanggal : 30 Mei 2012

Yang menyatakan

(Gobi Hemerli)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

vi

ABSTRAK

Nama : Gobi Hemerli

Program Studi : Fisika

Judul : Studi Komputasi Pengaruh Interaksi Pertukaran Anisotropik

terhadap Tendensi Transisi Fase Kemagnetan Orde Ke-1

pada Bahan Oksida Mangan

Efek magnetokalorik pada material oksida mangan kristal tunggal diketahui

bernilai lebih besar dibandingkan dengan yang terjadi pada material oksida

mangan polikristal. Di samping itu, transisi fase kemagnetan pada oksida mangan

kristal tunggal dengan doping tertentu ditemukan berkarakter orde ke-1, yang

berbeda dari yang umumnya terjadi yaitu orde ke-2. Kenyataan umum

menunjukkan pula bahwa sifat-sifat anisotropik yang terdapat pada material

kristal tunggal menjadi tidak tampak ketika material tersebut berada dalam bentuk

polikristal. Fakta-fakta tersebut di atas mendorong sebuah hipotesis yang

mendasari penelitian ini, yaitu bahwa fase ferromagnetik pada oksida mangan

kristal tunggal dikontrol oleh interaksi pertukaran magnetik yang bersifat

anisotropik. Untuk menguji hipotesis ini, pada studi ini dilakukan pemodelan

sistem oksida mangan dengan Hamiltonian yang terdiri atas suku kinetik elektron

yang diturunkan dari pendekatan tight-binding dan suku interaksi magnetik

Double-Exchange antara spin-spin elektron dengan momen-momen magnetik

lokal Mn. Pemilihan model dengan melibatkan derajat kebebasan elektron adalah

untuk mengantisipasi penggunaan lebih lanjut hasil-hasil studi ini untuk prediksi

sifat-sifat transpor dari sistem. Model diselesaikan dengan metode Dynamical

Mean Field Theory (DMFT) dengan melibatkan koreksi interaksi pertukaran

Heisenberg anisotropik. Hasil perhitungan kami menunjukkan bahwa transisi

magnetik orde ke-1 dapat terjadi karena adanya pengaruh interaksi pertukaran

anisotropik, dengan kopling ferromagnetik pada arah planar, atau dengan kopling

antiferromagnetik pada arah axial. Walaupun magnitud dari koreksi anisotropik

ini sangat kecil, namun efeknya sangat signifikan dalam mereduksi temperatur

Curie sistem dan mengubah karekter transisi magnetik dari orde ke-2 menjadi

orde ke-1.

Kata kunci :

Oksida mangan, magnetokalorik, first-oder transition, interaksi pertukaran

anisotropik, Dynamical Mean Field Theory

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii

KATA PENGANTAR .................................................................................... iv

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

TUGAS AKHIR ............................................................................................... v

ABSTRAK ....................................................................................................... vi

DAFTAR ISI .................................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ ix

1. PENDAHULUAN ..................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ..................................................................................... 1 1.2 Valensi Mn pada Oksida Mangan.......................................................... 2 1.3 Efek Magnetokalorik ............................................................................ 5 1.4 Sifat Magnetokalorik dan Transisi Magnetik ............................... ........ 7 1.5 Tujuan Penelitian ................................................................................. 10 1.6 Hipotesis ................................................................................................. 10

2. MODEL PENDEKATAN ........................................................................ 12 2.1 Model Heisenberg dengan Anisotropik ............................................... 12 2.2 Model Tight-Binding ............................................................................ 16 2.3 Model Double Exchange ........................................................................ 17 2.4 Hamiltonian Model ................................................................................ 18

3. ALGORITMA PERHITUNGAN ........................................................... 20 3.1 Dynamical Mean Field Theory (DMFT) ............................................... 20 3.2 Fungsi Green ........................................................................................ 21 3.3 Algoritma DMFT ................................................................................. 22 3.4 Perhitungan Magnetisasi ....................................................................... 30

4. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................ 32 4.1 DOS ...................................................................................................... 32

4.1.1 DOS dengan Tight-Binding untuk Kisi Bethe ............................. 32

4.1.2 DOS dari Hasil Perhitungan dengan Pengaruh Double Exchange 34

4.1.3 DOS dari Hasil Perhitungan yang Memasukkan Pengaruh

Pertukaran Anisotropik ............................................................... 35

4.2 Pengaruh Exchange Coupling Anisotropik di Arah Planar dan Axial untuk Interaksi Ferromagnetik dan Antiferromagnetik terhadap

Magnetisasi ............................................................................................ 36

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

viii

4.3 Pengaruh Nilai Exchange Coupling Anisotropik yang Berupa Koreksi Feromagnetik di Arah Planar (Jp) terhadap Magnetisasi ..................... 38

4.4 Hasil Perhitungan Magnetisasi Paling Optimal ................................... 40

5. KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 42 5.1 Kesimpulan .......................................................................................... 42 5.2 Saran ..................................................................................................... 43

DAFTAR REFERENSI ................................................................................. 45

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Struktur oksida mangan perovskite kubik ideal ......................... 3

Gambar 1.2. Konfigurasi elektron pada orbital 3d ion Mn+3

dan ion Mn+4

.... 4

Gambar 1.3 Struktur elektronik dari oksida mangan (bagian atas saat x=1,

bagian tengah saat x terentu di antara 0 dan 1, bagian bawah

saat x=0) .................................................................................... 5

Gambar 1.4 Kurva ketergantungan magnetisasi terhadap temperatur pada

material La0.7Ca0.3MnO3 kristal tunggal ................................... 9

Gambar 2.1. Mekanisme double exchange ..................................................... 18

Gambar 3.1. Ilustrasi dari pendekatan DMFT ................................................ 20

Gambar 3.2. Ilustrasi bare-DOS untuk simple cubic ..................................... 24

Gambar 3.3. Ilustrasi gambar bare DOS untuk kisi Bethe melalui pendekatan

analitik ........................................................................................ 24

Gambar 3.4 Algoritma DMFT ........................................................................ 29

Gambar 4.1. DOS tight-binding untuk kisi Bethe ............................................ 33

Gambar 4.2. DOS hasil perhitungan dengan memasukkan pengaruh double

exchange (warna merah), garis putus-putus (warna biru)

menunjukkan posisi potensial kimia .......................................... 34

Gambar 4.3. DOS hasil perhitungan dengan double exchange dan pengaruh

interaksi pertukaran anisotropik ................................................. 35

Gambar 4.4. Plot magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) yang diperoleh dari

eksplorasi pengaruh interaksi pertukaran anisotropik pada arah

planar dan axial, (Warna merah dan biru) dengan coupling

antiferromagnetik, (warna hijau dan hitam) dengan coupling

ferromagnetik............................................................................. .. 37

Gambar 4.5. Plot magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) yang diperoleh dari

eksplorasi pengaruh interaksi pertukaran anisotropik dengan

coupling ferromagnetik pada arah planar .................................... 39

Gambar 4.6. Grafik magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) hasil perhitungan

yang paling optimal, (kurva hijau) ketika hanya ada pengaruh DE,

(kurva merah dan biru) masing-masing ketika diperhitungkan

koreksi anisotropik dengan coupling antiferromagnetik di arah

axial dan coupling ferromagnetik di arah planar. ........................ 40

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

1

Universitas Indonesia

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Oksida mangan adalah material yang sangat menarik untuk dieksplorasi, karena

sifat-sifatnya yang tidak hanya menjanjikan untuk diaplikasikan dalam teknologi,

tetapi juga menantang para peneliti untuk mengungkap mekanisme fisis yang

mendasari munculnya sifat-sifat tersebut. Di antara sifat-sifat menarik tersebut

adalah efek magnetoresistif yang bernilai sangat besar, seperti yang ditunjukkan

oleh film tipis La0,67Ca0,33MnO3 sebesar 127% pada temperatur 77 K dengan

aplikasi medan magnet luar sebesar 6 Tesla [1]. Efek magnetoresistif merupakan

efek perubahan hambatan listrik pada suatu material ketika diterapkan medan

magnet eksternal. Efek ini dimanfaatkan di dalam teknologi seperti sensor

magnetik, Magnetoresistive Random Acces Memory (MRAM), dan

magnetoresistive read/write head [2]. Sifat lain yang juga menarik dari oksida

mangan adalah efek magnetokalorik. Efek magnetokalorik adalah efek perubahan

temperatur pada material akibat medan magnet eksternal yang diterapkan secara

adiabatik. Efek ini dapat diaplikasikan dalam teknologi refrigerator magnetik.

Oksida mangan menunjukkan efek magnetokalorik yang besar, seperti yang

dilaporkan oleh Phan et al. dalam studinya pada La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal,

bahwa bahan ini menunjukkan efek magnetokalorik sekitar 70 % dari efek

magnetokalorik yang ditunjukkan oleh Gadolinium [3], dimana sampai saat ini

Gadolinium masih menjadi material yang paling banyak digunakan sebagai active

magnetic refrigerant (AMR) dalam refrigerator magnetik.

Refrigerator magnetik memiliki beberapa keunggulan dibandingkan dengan

refrigerator konvensional. Penggunaan material padatan sebagai AMR pada

refrigerator magnetik, memungkinkan refrigerator ini dapat dibuat dengan desain

yang lebih compact. Efek magnetokalorik yang besar akan menghasilkan efisiensi

yang lebih tinggi, dan material-material AMR lebih ramah lingkungan.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

2

Universitas Indonesia

Pada material oksida mangan fenomena-fenomena baik magnetoresistif maupun

magnetokalorik bernilai maksimum di sekitar temperatur Curie (Tc) [4]. Ini

menunjukkan adanya keterkaitan antara sifat-sifat material oksida mangan dengan

fase magnetiknya. Kenyataan ini memberi motivasi bagi studi ini, yakni untuk

mempelajari mekanisme fisis yang melandasi sifat-sifat unik oksida mangan,

dalam hal ini studi difokuskan pada sifat transisi kemagnetan pada kristal tunggal

La0,7Ca0,3MnO3.

1.2 Valensi Mn pada Oksida Mangan

Oksida mangan mempunyai formula umum R1-xAxMnO3, dengan R = unsur tanah

jarang/unsur deret lantanida bervalensi tiga (seperti La+3

, Nd+3

, Pr+3

), dan

A = unsur alkali bervalensi dua (seperti Ca+2

, Sr+2

, Ba+2

dan Pb+2

). Material yang

dijadikan objek pada studi ini adalah La1-xCaxMnO3 khususnya pada doping

x = 0,3 atau La0,7Ca0,3MnO3. Studi pada oksida mangan telah lama dilaporkan

oleh Jonker dan Van Santen (1950). Mereka melaporkan bahwa pada material

La1-xCaxMnO3 untuk senyawa dengan nilai doping x = 0 dan x = 1, material ini

menunjukkan sifat antiferromagnetik. Dan pada nilai x tertentu di antara nilai di

atas, material ini dapat bersifat ferromagnetik. Dari studi tersebut dapat dikatakan

bahwa material induk dari La1-xCaxMnO3 bersifat antiferromagnetik.

Fase magnetik material La1-xCaxMnO3 berhubungan erat dengan keberaadaan ion

Mn dalam material tersebut. Ketika nilai x = 0 di dalam material ini hanya

mengandung ion Mn+3

, dan untuk x = 1 di dalam material ini hanya terdapat ion

Mn+4

. Tetapi ketika doping x bernilai 0

3

Universitas Indonesia

oksida mangan perovskite kubik yang ideal tanpa doping. Formula umumnya

adalah ABO3, dengan A ditempati oleh ion La+3

, dan B ditempati oleh ion Mn+3

yang dikelilingi oleh 6 ion oksigen oktahedral. Jika x>0 maka beberapa ion La+3

akan digantikan oleh ion Ca+2

atau Sr+2

.

Gambar 1.1. Struktur oksida mangan perovskite kubik ideal [5].

Secara lengkap konfigurasi elektron untuk atom Mn dapat ditulis sebagai

Mn25=1s22s

22p

63s

23p

63d

54s

2. Di atas telah disebutkan bahwa ketika sistem di dop

dengan nilai x tertentu, misalkan dengan mensubsitusi sejumlah ion Ca+2

ke La+3

maka beberapa ion Mn+3

yang sesuai akan menjadi tetravalen yaitu Mn+4

, dalam

hal ini akan ada dua populasi ion Mn dengan keadaan valensi yang berbeda, yaitu

Mn+3

dan Mn+4

dengan konfigurasi elektron masing-masing adalah

1s22s

22p

63s

23p

63d

4 dan 1s

22s

22p

63s

23p

63d

3.

Hadirnya dua populasi ion Mn dengan valensi yang berbeda ini sangat

berhubungan erat dengan sifat magnetik dan sifat elektronik dari oksida mangan.

Orbital yang aktif secara elektronik adalah orbital 3d dari atom Mn. Lima orbital

3d atom Mn ini , masing-masing dapat mengakomodir satu elektron dengan spin

up dan satu elektron dengan spin down. Kelima orbital 3d ion Mn ini mengalami

splitting menjadi dua level energi yaitu : 3 orbital berenergi rendah yang disebut

dengan orbital t2g dan 2 orbital berenergi tinggi yang disebut dengan orbital eg

akibat adanya medan kristal oktahedral yang berasal dari enam ion oksigen yang

mengelilinginya. Dalam pengisian orbital 3d baik untuk ion Mn+3

maupun Mn+4

,

elektron-elektron akan menempati orbitalnya sesuai dengan aturan Hund, orbital-

orbital dengan energi yang sama, masing-masing diisi terlebih dahulu oleh satu

elektron dengan arah (spin) yang sama, kemudian sisa elektronnya diisikan

sebagai elektron pasangannya dengan arah (spin) berlawanan . Dengan demikian

B

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

4

Universitas Indonesia

konfigurasi elektron untuk orbital 3d ion Mn+3

adalah

, di mana 3 elektron

mengisi orbital t2g dan 1 elektron mengisi orbital eg. Sedangkan konfigurasi

elektron untuk orbital 3d ion Mn+4

adalah dengan 3 elektron pada orbital t2g.

Konfigurasi elektron pada orbital 3d ion Mn+3

dan ion Mn+4

dapat dilihat pada

gambar 1.2.

Gambar 1.2. Konfigurasi elektron pada orbital 3d ion Mn+3

dan ion Mn+4

[6].

Tiga elektron di orbital dari ion Mn+3

dan ion Mn+4

akan cenderung

terlokalisasi membentuk apa yang disebut dengan core spins dengan orientasi

spin yang searah, dan total core spins masing-masing adalah S=3/2. Sementara

elektron di orbital dari ion Mn+3

spinnya juga terpolarisasi searah dengan arah

core spins dengan nilai spin elektron s = 1/2.

Elektron yang ada pada orbital ion Mn+3

ini disebut juga dengan elektron

konduksi. Pada oksida mangan dengan nilai doping x tertentu, elektron ini dapat

berjalan atau hopping ke ion Mn+4

melalui ion oksigen dengan mekanisme yang

dikenal dengan Double Exchange (DE). Mekanisme ini diperkenalkan pertama

kali oleh Zener (1951) yang menjelaskan adanya interaksi pertukaran antara

ion Mn+3

dengan ion Mn+4

yang dimediasi oleh elektron melalui ion O-2

sebagaimana yang diilustrasikan pada gambar 1.3. Teori ini selanjutnya

disempurnakan oleh Anderson & Hasegawa (1953) dan De Genes (1960). Orbital

sangat berperan penting dalam menentukan sifat-sifat dari material

oksida mangan baik itu sifat listrik maupun sifat magnetiknya. Hal yang

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

5

Universitas Indonesia

juga sangat penting bahwa orbital ion Mn+3

ini mengalami splitting akibat dari

distorsi MnO6 oktahedral, yang dikenal dengan distorsi Jahn-Teller.

Gambar 1.3. Sruktur elektronik oksida mangan (bagian atas saat x=1, bagian

tengah saat x tertentu di antara 0 dan 1, bagian bawah saat x=0)

[5].

1.3 Efek Magnetokalorik

Ketika suatu material magnetik dikenai medan magnet eksternal, momen-momen

magnetik dari atom-atomnya akan terorientasi. Jika medan magnet luar

diterapkan secara adiabatik, temperatur dari material tersebut akan meningkat.

Selanjutnya, jika medan magnet eksternal dihilangkan maka temperatur material

akan turun kembali. Efek pemanasan dan pendinginan akibat penerapan dan

penghilangan medan magnet eksternal secara adiabatik ini disebut dengan efek

magnetokalorik .

Efek magnetokalorik ditemukan oleh Warburg diawal 1881, melalui pengamatan

terhadap perubahan temperatur adiabatik pada material besi [7]. Namun setelah

bertahun-tahun ditemukan, belum ada teori yang dapat menjelaskan tentang

fenomena tersebut, begitu juga dengan aplikasinya pada suhu ruang. Baru setelah

itu pada tahun 1918 Weiss dan Piccard menjelaskan tentang efek magnetokalorik

secara teori. Pada tahun 1926-1927 Debye dan Giauque menyarankan bahwa efek

magnetokalorik dapat digunakan untuk memperoleh temperatur yang sangat

rendah (yaitu di bawah 1 K) dengan menggunakan metode yang dikenal dengan

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

6

Universitas Indonesia

demagnetisasi adiabatik. Selanjutnya pada tahun 1935 MacDougall memverifikasi

metode yang diperkenalkan oleh Debye dan Giaque tersebut melalui pendinginan

suatu sampel dari 1,5 K ke 0,25 K . Atas keberhasilan penelitiannya tersebut

Giaque dianugerahi penghargaan nobel pada tahun 1949. Karena eksperimen

demagnetisasi adiabatik yang dilakukan oleh MacDougall telah menjadi sebuah

teknik standar dalam fisika eksperimen untuk memperoleh temperatur dari

beberapa Kelvin ke nano Kelvin, maka pada tahun 1976, Brown berhasil

membangun suatu sistem refrigator magnetik yang beroperasi di daerah suhu

ruang untuk pertama kalinya dengan menggunakan gadolinium sebagai material

AMR [9]. Sejak penemuan ini, sistem refrigerator magnetik suhu ruang mulai

berkembang secara pesat. Namun sebagaimana diketahui, harga Gadolinium

cukup mahal, hal ini membuat kegunaan dari material ini sebagai Active Material

Refrigerator (AMR) menjadi sangat terbatas [2]. Sehingga usaha untuk terus

menemukan material lain terutama dengan harga lebih murah dan menunjukkan

efek magnetokalorik yang besar di sekitar temperatur ruang dengan aplikasi

medan yang rendah terus dilakukan hingga saat ini.

Pada tahun 1996 Morelli et al.[10] menemukan efek magnetokalorik yang besar

pada LaMnO thin film dengan doping Ca, Ba, atau Sr. Material ini menunjukkan

efek magnetokalorik yang hampir sama besarnya dengan yang ditunjukkan oleh

Gadolinium. Setahun kemudian, sebuah terobosan yang luar biasa muncul pada

tahun 1997, Pecharsky dan Gschneidner menemukan efek magnetokalorik yang

sangat besar pada senyawa , senyawa ini menunjukkan efek

magnetokalorik yang bernilai dua kali lebih besar dibandingkan dengan

Gadolinium sehingga disebut juga sebagai efek magnetokalorik raksasa atau

Giant Magnetocaloric [11]. Meskipun efek magnetokalorik senyawa

sangat besar, tetapi memiliki Tc yang rendah yaitu sekitar 276 K, tentunya suhu

ini jauh lebih rendah dari Gadolinium yang mempunyai Tc ~ 294 K. Hal ini

membuat aplikasi dari senyawa menjadi sangat terbatas dan tidak dapat

diaplikasikan pada refrigerator yang daerah kerjanya di sekitar temperatur ruang.

Walaupun kelas material oksida mangan menunjukkan efek magnetokalorik yang

tidak sebesar Gadolinium ataupun senyawa , namun material oksida

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

7

Universitas Indonesia

mangan ini memiliki beberapa keunggulan untuk dijadikan sebagai kandidat

material AMR dalam teknologi refrigerator magnetik. Diantara keunggulan-

keunggulan itu adalah harganya yang relatif lebih murah dibandingkan dengan

material-material AMR lainnya, tidak beracun, tidak berefek pada pemanasan

global, dan rute sintesisnya lebih sederhana. Disisi lain oksida mangan memiliki

sifat-sifat yang menarik yaitu Tc dan magnetisasi saturasinya sangat tergantung

pada doping, sehingga cocok untuk diaplikasikan pada berbagai temperatur. Hal

ini membuat oksida mangan terus menjadi objek penelitian bagi para ilmuan

dewasa ini.

1.4 Sifat Magnetokalorik dan Transisi Magnetik

Besar efek magnetokalorik dalam suatu bahan magnetik dapat dievaluasi melalui

perubahan entropi magnetik (SM) dan perubahan temperatur adiabatik (Tad)

[12]. Menurut teori termodinamika klasik perubahan entropi magnetik yang

disebabkan oleh variasi medan magnet eksternal dari 0 hingga H0 dapat

diekspresikan melalui persamaan :

(1.1)

Sementara perubahan temperatur adiabatik , dihitung menurut persamaan

berikut:

(1.2)

Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa suatu material dapat memiliki

efek magnetokalorik yang sangat besar jika perubahan entropi dan perubahan

temperatur adiabatiknya besar, jika dihubungkan dari persamaan 1.1 dan 1.2

berarti efek magnetokalorik akan bernilai sangat besar ketika

nya bernilai

maksimum.

Dalam oksida mangan, baik efek magnetoresistif maupun efek magnetokalorik

sering diobservasi di sekitar temperatur transisi fase order magnetik atau di sekitar

Tc . Sehingga, apabila

dalam persamaan 1.1 dan 1.2 dihubungkan

dengan sifat transisi fase magnetik suatu material, maka nilai ini diharapkan

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

8

Universitas Indonesia

menghasilkan efek magnetokalorik yang sangat besar ketika terjadi transisi fase

magnetik.

Secara umum ada dua syarat yang harus dimiliki oleh suatu material magnetik

untuk bisa digolongkan sebagai material magnetokalorik, yaitu :

1. Memiliki magnetisasi spontan yang cukup besar sebagaimana yang

dimiliki oleh kelas logam-logam rare earth [11].

2. Magnetisasinya menurun secara tajam saat terjadi transisi ferromagnetik-

paramagnetik pada Tc, sebagaimana yang ditemukan pada senyawa-

senyawa logam transisi, termasuk di dalamnya adalah oksida mangan

[13].

Jika ditinjau berdasarkan transisi fase magnetik, terdapat dua kelas material

magnetik yang menunjukkan adanya efek magnetokalorik [4] , yaitu :

1. Material yang memiliki transisi fase magnetik orde ke-1 atau First Order

Magnetic Transition (FOMT).

2. Material yang memiliki transisi fase magnetik orde ke-2 atau Second

Order Magnetic Transition (SOMT).

Material FOMT adalah material yang sangat menjanjikan sebagai material AMR,

karena memiliki efek magnetokalorik paling besar pada saat terjadi transisi fase

magnetik, magnetisasinya turun dengan sangat tajam terhadap perubahan

temperatur, sehingga profil kurva magnetisasi (M) terhadap temperatur (T)

berbentuk sangat curam. Jika dihubungkan dengan Pers. (1.1) dan Pers. (1.2)

maka

nya bernilai sangat besar di sekitar Tc. Tipe material FOMT

memberikan efek magnetokalorik yang sangat besar dalam rentang temperatur

yang sempit. Sedangkan material SOMT secara umum transisi fasenya terjadi

pada kisaran suhu yang lebih luas, magnetisasi turun secara perlahan terhadap

perubahan temperatur dan memiliki efek magnetokalorik yang lebih rendah jika

dibandingkan dengan material FOMT. Jika dilihat dari grafik hubungan M

terhadap T maka material SOMT menunjukkan perubahan magnetisasi yang lebih

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

9

Universitas Indonesia

melandai terhadap perubahan temperatur. Dari beberapa material AMR, hampir

sebagian besar tergolong sebagai material FOMT.

Pada tahun 2004, Phan et al. melaporkan hasil studi dari efek magnetokalorik

dalam material La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal yang mengalami transisi fase

magnetik orde ke-1 pada Tc 227 K, sebagaimana ditunjukan oleh grafik

ketergantungan magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) pada gambar 1.4. Untuk

mengetahui seberapa besar efek magnetokalorik pada bahan oksida mangan,

mereka melakukan pengukuran terhadap perubahan entropi magnetik dan

perubahan temperatur adiabatik pada bahan La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal dan

juga La0,7Ca0,3MnO3 polikristal. Hasil yang mereka laporkan adalah bahwa efek

magnetokalorik pada bahan La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal ditemukan lebih besar

daripada La0,7Ca0,3MnO3 polikristal, hal ini dapat dilihat dari perubahan entropi

untuk La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal menunjukkan nilai yang lebih besar daripada

bahan La0,7Ca0,3MnO3 yang polikristal. Besarnya nilai perubahan entropi pada

La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal ini berasal dari penurunan magnetisasi yang sangat

tajam yang berhubungan dengan transisi fase magnetik orde ke-1 dari bahan

tersebut pada Tc [12]. Hasil ini didukung juga oleh penemuan yang sama pada

senyawa oleh Sande et al. (2001) , dan pada senyawa

La0,67Ca0,33MnO3 oleh Lin et al. (2006) .

Gambar 1.4. Kurva ketergantungan magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) pada

material La0.7Ca0.3MnO3 kristal tunggal dari hasil eksperimen

Phan et al.[12].

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

10

Universitas Indonesia

1.5 Tujuan Penelitian

Motivasi dari studi ini adalah untuk memahami sifat magnetik material oksida

mangan yang berhubungan dengan sifat-sifat magnetokalorik. Phan et al. (2004)

melaporkan hasil studi dari efek magnetokalorik dalam La0.7Ca0.3MnO3 kristal

tunggal yang mengalami transisi fase magnetik orde ke-1 pada temperatur 227

K sebagaimana yang diperlihatkan oleh gambar 1.4. Efek magnetokalorik dalam

La0.7Ca0.3MnO3 kristal tunggal dilaporkan bernilai lebih besar dibandingkan

dengan La0.7Ca0.3MnO3 polikristal. Fakta umum menunjukkan bahwa material-

material yang struktur kristalnya berbentuk kristal tunggal diketahui memiliki

sifat-sifat fisis yang bergantung pada arah yang dikenal juga dengan sifat

anisotropik dan sifat anisotropik ini akan hilang ketika material tersebut

mempunyai struktur berbentuk polikristal. Fakta-fakta yang tersebut di atas

memotivasi studi ini untuk lebih fokus dalam menyelidiki hubungan antara

transisi kemagnetan dengan sifat anisotropik yang dimiliki oleh material

La0.7Ca0.3MnO3 kristal tunggal.

Secara lebih terperinci tujuan dari penelitian ini dapat dituliskan sebagai berikut :

1. Mengeksplorasi ketergantungan magnetisasi (M) terhadap temperatur (T)

dengan menggunakan model double exchange.

2. Menginvestigasi pengaruh anisotropik pada exchange coupling baik

ferromagnetik ataupun antiferromagnetik.

3. Mencari parameter-paremeter yang optimal yang dapat menjelaskan data

eksperimen transisi fase magnetik orde ke-1 pada material oksida mangan

kristal tunggal.

1.6 Hipotesis

Efek magnetokalorik pada material oksida mangan kristal tunggal diketahui

bernilai lebih besar dibandingkan dengan yang terjadi pada material oksida

mangan polikristal [12]. Di samping itu, transisi fase kemagnetan pada oksida

mangan kristal tunggal dengan doping tertentu ditemukan berkarakter orde ke-1,

yang berbeda dari yang umumnya terjadi yaitu orde ke-2. Kenyataan umum

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

11

Universitas Indonesia

menunjukkan pula bahwa sifat-sifat anisotropik yang terdapat pada material

kristal tunggal menjadi tidak tampak ketika material tersebut berada dalam bentuk

polikristal . Fakta-fakta tersebut di atas mendorong sebuah hipotesis yang

mendasari penelitian ini, yaitu bahwa fase ferromagnetik pada oksida mangan

kristal tunggal dikontrol oleh interaksi pertukaran magnetik yang bersifat

anisotropik

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

12

Universitas Indonesia

BAB II

MODEL PENDEKATAN

Untuk menguji hipotesis sebagaimana diajukan dalam bab I, pada studi ini

dilakukan pemodelan sistem La0.7Ca0.3MnO3 kristal tunggal dengan Hamiltonian

yang terdiri atas suku kinetik elektron yang diturunkan dari pendekatan

tight-binding (TB) dan suku interaksi magnetik double-exchange (DE) antara

spin-spin elektron dengan momen-momen magnetik lokal Mn. Pemilihan model

dengan melibatkan derajat kebebasan elektron adalah untuk mengantisipasi

penggunaan lebih lanjut hasil-hasil studi ini untuk prediksi sifat-sifat transpor dari

sistem. Model diselesaikan dengan metode Dynamical Mean Field Theory

(DMFT) dengan melibatkan koreksi interaksi pertukaran Heisenberg anisotropik.

2.1 Model Heisenberg dengan Anisotropik

Model Heisenberg merupakan model mekanika yang dapat digunakan dalam

menjelaskan fenomena-fenomena kemagnetan, seperti titik kritis dan transisi fase

dalam sistem magnetik . Dalam bab 1 telah dijelaskan bahwa

elektron-elektron yang berada pada orbital t2g dari Mn+3

dan Mn+4

terlokalisasi

membentuk spin inti (core spins) dengan spin total masing-masing adalah S = 3/2.

Spin inti yang terikat kuat dengan nukleus disebut juga dengan spin ion. Suatu

cara yang sederhana untuk menggambarkan adanya interaksi pertukaran antar

ion-ion Mn adalah dengan menggunakan model Heisenberg .

Beberapa material magnetik yang menarik secara keilmuan dan penting secara

teknologi, ada yang isotropik dan ada yang anisotropik . Sifat isotropik dan

anisotropik ini berkaitan dengan karakteristik dari besaran fisis suatu sistem zat

padat dalam merespon gangguan eksternal yang berupa vektor. Jika responnya

tidak bergantung pada arah maka sistem tersebut dikatakan isotropik. Sebaliknya

jika responnya bergantung pada arah, maka sistem tersebut dikatakan

anisotropik .

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

13

Universitas Indonesia

Sifat-sifat yang bergantung pada arah ini muncul dari struktur kristal atau tekstur

material yang khas. Karena itu, sifat-sifat yang anisotropik biasanya hanya

muncul pada zat padat yang dalam bentuk kristal tunggal. Ketika material berada

dalam bentuk polikristal, maka sifat anisotropik ini menjadi tidak tampak.

Sehingga pada umumnya material dengan struktur polikristal bersifat isotropik.

Dalam penelitian ini diasumsikan bahwa fase ferromagnetik pada oksida mangan

kristal tunggal dikontrol oleh interaksi pertukaran magnetik yang bersifat

anisotropik.

Untuk material yang bersifat anisotropik maka model interaksi pertukaran antar

spin-spin ion yang terdapat di dalam kristal dapat ditulis dalam model Heisenberg

dengan Hamiltonian yang dapat dituliskan sebagai berikut :

(2.1)

dimana dan masing-masing adalah spin ion pada site i dan j, adalah

exchange coupling antar spin-spin ion dan merupakan indeks sumbu-sumbu

kartesian dari matrik dalam koordinat x, y, dan z. merupakan parameter

yang menggambarkan kekuatan interaksi antara momen magnetik ion di site i dan

di site j. Interaksi spin-spin ion hanya terjadi antara ion Mn dengan ion Mn

tetangga terdekatnya, dalam hal ini memiliki nilai. Sedangkan antara ion Mn

dengan ion Mn yang bukan tetangga terdekat, tidak terjadi interaksi spin-spin

antar ion, dengan demikian bernilai nol.

Fisis dari model Heisenberg ini sangat tergantung pada paremeter . Jika bernilai

positif maka spin-spin ionnya paralel atau berinteraksi dalam keadaan

ferromagnetik, dan jika bernilai negatif maka spin-spin ionnya antiparalel atau

berinteraksi dalam keadaan antiferromagnetik. Jika persamaan 2.1 ditulis dalam

bentuk matrik maka bentuknya adalah :

(2.2)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

14

Universitas Indonesia

Untuk lebih menyederhanakan perhitungan maka dipilih sumbu kristal sebagai

kerangka koordinat, sehingga pengaruh anisotropik ditinjau hanya pada arah yang

berimpit dengan sumbu utama yaitu pada arah x, y dan z, dan responnya terhadap

arah selain itu dianggap 0 sehingga matrik J dapat disederhanakan menjadi :

(2.3)

Bentuk matrik J dapat juga dituliskan secara lengkap sebagai berikut :

(2.4)

dalam matrik suku pertama di atas adalah parameter coupling interaksi

pertukaran antar ion Mn yang pada dasarnya sudah terangkum di dalam

perhitungan DMFT dengan model TB dan DE murni. Sedangkan matrik suku

kedua sebelah kanan merupakan suku koreksi anisotopik yang akan

diperhitungkan di dalam penelitian ini.

Selanjutnya, untuk lebih menyederhanakan perhitungan maka diambil dua arah

koreksi anisotropik, yaitu arah planar dan arah axial. Arah planar diibaratkan

sebagai bidang dua dimensi, dalam hal ini ditentukan dalam arah sumbu x dan

sumbu y, sedangkan arah axial diibaratkan sebagai arah sumbu yang tegak lurus

dengan bidang x-y, dalam hal ini berimpit dengan arah sumbu z. Bila dikaitkan

dengan Pers. (2.4), perbedaan kedua arah tersebut mengikuti syarat berikut ini :

- Bila , dan , maka pengaruh suku koreksi

anisotropik diperhitungkan pada arah planar

- Bila , dan , maka pengaruh suku koreksi

anisotropik diperhitungkan pada arah axial.

Dengan definisi parameter di atas maka Hamiltonian untuk suku koreksi

anisotropik ini dapat dituliskan kembali sebagai :

(2.5)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

15

Universitas Indonesia

atau

(2.6)

Dalam koordinat bola operator spin dapat ditulis sebagai :

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Dengan mensubsitusikan Pers. (2.7), (2.8) dan (2.9) ke Pers. (2.6) maka akan

diperoleh Hamiltonian untuk interaksi pertukaran anisotropik sebagai fungsi sudut

polar dan sudut azimutal :

cos cos (2.11)

Di dalam studi ini pengaruh anisotropik tidak dapat dimasukkan ke dalam

algoritma DMFT, karena algoritma DMFT yang murni itu hanya dapat

menangkap gejala kemagnetan dan isotropik, selain itu di dalam DMFT terdapat

proses perata-rataan sehingga apabila pengaruh anisotropik ini dimasukkan ke

dalam perhitungan DMFT maka proses perata-rataan akan menghilangkan efek

anisotropik tersebut. Salah satu cara yang bisa diambil adalah dengan

memasukkan suku koreksi anisotropik ini secara ad hoc ke dalam aksi efektif

(Seff). Untuk lebih jelasnya perhitungan aksi efektif akan dibahas di dalam bab 3.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

16

Universitas Indonesia

2.2 Model Tight-Binding

Model Tight-Binding adalah model untuk menghitung struktur pita energi elektron

dengan menggunakan kumpulan pendekatan dari fungsi gelombang, yaitu

berdasarkan superposisi dari fungsi-fungsi gelombang atom yang terisolasi berada

pada setiap site atom .

Sesuai namanya model kuantum mekanik ini menjelaskan sifat dari elektron-

elektron yang terikat kuat pada zat padat. Elektron-elektron pada model ini harus

terikat kuat pada atom di mana elektron tersebut berasal, dan elektron-elektron ini

hanya mempunyai interaksi yang terbatas dengan keadaan-keadaan atau potensial

di sekitar atom-atom di zat padat tersebut. Akibatnya fungsi gelombang dari

elektron akan mirip dengan orbital atom dari elektron pada atom bebas. Energi

dari elektron ini juga berada dekat dengan energi ionisasi dari elektron yang

berada pada atom bebas atau ion, karena interaksi dengan potensial-potensial dan

keadaan-keadaan atom tetangga menjadi terbatas.

Jika digunakan penulisan secara second quantization, maka akan lebih mudah

memahami konsep model TB. Dengan menggunakan orbital atom sebagai

keadaan dasar (basis state), maka operator Hamiltonian dalam bentuk second

quantization adalah sebagai berikut :

(2.13)

dimana : = operator kreasi (anihilasi) elektron

= parameter hopping

= indeks untuk tetangga terdekat

= indeks spin polarisasi

Parameter hopping t menyatakan transfer integral atau kemampuan elektron

untuk berpindah tempat. Untuk kasus ekstrim, bila t bernilai 0 , maka tidak

mungkin elektron-elektron dapat hoping atau melompat ke site tetangga terdekat,

keadaan ini menunjukkan sistem atom yang terisolasi. Jika nilai hopping ini ada

maka elektron-elektron bisa hopping ke site tetangga terdekat.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

17

Universitas Indonesia

Dengan menggunakan transformasi Fourier, persamaan TB pada persamaan (2.13)

di atas dapat ditulis sebagai :

(2.14)

Dimana adalah spektrum energi. Spektrum energi untuk simple cubic adalah

seperti pada persamaan berikut ini :

(2.15)

2.3 Model Double Exchange

Mekanisme Double Exchange merupakan suatu tipe magnetic exchange yang

dapat muncul antara ion-ion dalam keadaan oksidasi berbeda. Teori ini

diperkenalkan oleh Zener (1951) dan kemudian di sempurnakan oleh Anderson

dan Hasegawa (1953) dan oleh De Gennes (1960).

Mekanisme double exchange terjadi dengan adanya pertukaran coupling antar ion

yang saling bertetangga yang dimediasi oleh elektron yang berasal dari ion Mn+3

ke ion Mn+4

melalui ion O-2

. Tiga elektron di orbital ion Mn+3

dan Mn+4

cenderung membentuk spin inti dengan total spin 3/2, sementara satu elektron di

orbital ion Mn+3

overlap secara kuat dengan orbital 2p dari tetangga

terdekatnya yaitu oksigen. Sebagai contoh anggaplah interaksi ferromagnetik

Mn+3

-O-2

-Mn+4

sebagaimana yang diperlihatkan oleh gambar 2.1, orbital atom

Mn secara langsung berinteraksi dengan orbital 2p atom O, dan salah satu ion Mn

mempunyai kelebihan 1 elektron dibandingkan dengan atom Mn yang lainnya.

Dalam keadaan dasar, elektron-elektron pada masing-masing ion Mn diselaraskan

sesuai dengan aturan Hund, jika O memberikan elektron spin up nya pada Mn+4

,

maka orbital kosongnya selanjutnya dapat diisi oleh sebuah elektron dari Mn+3

.

Yang pada akhir dari proses ini telah terjadi transfer elektron dari ion Mn+3

ke ion

Mn+4

. Jadi dalam mekanisme ini elektron dari Mn+3

dianggap seolah-olah

melakukan hopping dua kali dari Mn+3

ke O-2

kemudian baru ke Mn+4

. Sehingga

mekanisme pertukaran coupling yang terjadi antara Mn+3

dan Mn+4

disebut juga

dengan mekanisme double exchange.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

18

Universitas Indonesia

Gambar 2.1. Mekanisme double exchange .

Untuk pemodelan double-exchange ini secara matematis digambarkan oleh

Hamiltonian dibawah ini :

dimana : = Hunds coupling

= spin ion ke-i

= spin elektron ke-i

Hamiltonian di atas merupakan pengambaran terjadinya interaksi antara spin ion

dan spin elektron di site i. Yang dalam hal ini adalah interaksi antara ion t2g dan

elektron eg dari Mn+3

kemudian elektron eg ini berjalan menuju ion Mn+4

melalui

O-2

.

2.4 Hamiltonian Model

Dalam penelitian ini akan menggunakan model yang mengacu pada model-model

yang telah dibahas. Secara lengkap model dalam studi ini dapat dituliskan sebagai :

(2.18)

dimana :

H = Hamiltonian total untuk seluruh sistem

= Hamiltonian untuk tight-binding

(2.16)

(2.17)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Double-exchange.PNG

19

Universitas Indonesia

= Hamiltonian untuk double exchange

= Hamiltonian untuk interaksi pertukaran anisotropik model Heisenberg

Dengan besar Hamiltonian masing-masing :

(2.19)

(2.20)

cos cos (2.21)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

20

Universitas Indonesia

BAB III

ALGORITMA PERHITUNGAN

3.1 Dynamical Mean Field Theory (DMFT)

Hamiltonian model yang telah dituliskan di dalam bab 2 selanjutnya akan

diselesaikan dengan metode Dynamical Mean Field Theory (DMFT). Asumsi

yang digunakan dalam DMFT adalah problem sistem banyak partikel yang saling

berinteraksi satu sama lain, atau bisa juga disebut sebagai problem kisi yang

disederhanakan menjadi problem satu site yang dipengaruhi oleh medan rata-rata

dari site-site di sekitarnya [24]. Ide dari perhitungan DMFT ini diilustrasikan pada

gambar di bawah ini :

Gambar 3.1. Ilustrasi dari pendekatan DMFT [25].

Studi ini dilakukan pada bahan oksida mangan, dengan asumsi bahwa di dalam

sistem tersebut selain adanya interaksi double exchange, juga dipengaruhi oleh

adanya interaksi pertukaran anisotropik antar ion-ion Mn. Dalam penelitian ini,

satu site yang dipandang sebagai site yang dipengaruhi oleh medan rata-rata dari

site-site di sekitarnya, terdiri dari 2 kali unit sel primitif yang dipandang sebagai

unit sel A dan unit sel B yang masing-masing ditempati oleh satu ion Mn.

Sehingga bentuk matriknya menjadi 4 x 4 yang mengakomodir spin up dan spin

down pada masing-masing unit sel.

Problem kisi yang sebenarnya Problem satu site dalam pengaruh medan

dari site-site yang ada di sekitarnya

DMFT

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

21

Universitas Indonesia

3.2 Fungsi Green

Penggunaan fungsi Green adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan

gelombang dari sistem banyak partikel. Bentuk matrik dari fungsi Green untuk

sistem yang berinteraksi adalah sebagai berikut :

(3.1)

z adalah frekuensi, dimana pada pemakaiannya nanti dilakukan perhitungan dalam

dua domain frekuensi yaitu frekuensi real dan frekuensi Matsubara, yang ditulis

secara matematis :

Dalam domain frekuensi real :

(3.2)

Dalam domain frekuensi Matsubara :

(3.3)

isinya adalah suku kinetik elektron atau , yang nilainya tergantung

pada bentuk kisi, dan kisi yang digunakan dalam penelitian ini adalah berbentuk

simple cubic yang dirumuskan dengan :

(3.4)

Sehingga persamaan 3.1 Juga bisa ditulis dalam bentuk :

(3.5)

Bentuk fungsi Green untuk sistem oksida mangan dalam studi ini dapat ditulis

sebagai berikut:

(3.6)

adalah matrik identitas, sebagaimana telah dituliskan di atas bahwa matrik

yang digunakan disini adalah matrik 4x4, yang mewakili spin up dan spin down

elektron di site A dan site B. adalah self energy yang merupakan suku yang

mengandung informasi seluruh interaksi yang dialami oleh elektron.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

22

Universitas Indonesia

Semua interaksi yang tidak berhubungan dengan elektron akan diperhitungkan

dalam aksi efektif Sef, termasuk dalam hal ini adalah interaksi pertukaran

anisotropik antar ion-ion Mn. Di awal perhitungan, self energy ini berupa tebakan

yang digunakan untuk menghitung fungsi Green, yang nilainya boleh saja

diambil nol.

3.3 Algoritma DMFT

Mengacu pada Hamiltonian model yang telah dirumuskan sebelumnya, secara

umum hamiltonian tersebut dapat juga dituliskan sebagai :

(3.7)

Dimana adalah Hamiltonian untuk sistem tanpa gangguan, yang berasal dari

suku tight binding murni. adalah semua suku interaksi yang dialami oleh

elektron dari sekitarnya, termasuk dalam hal ini adalah interaksi double exchange.

Bentuk matrik fungsi Green dari hamiltonian model pada persamaan (3.6) setelah

diinverskan adalah :

(3.8)

Dengan memasukkan nilai tebakan awal untuk self energy, maka akan diperoleh

fungsi Green . Dan selanjutnya dilakukan perata-rataan terhadap nilai ke

seluruh brillouin zones yang bertujuan untuk menghilangkan ketergantungan

terhadap momentum agar fungsi Green ini bersifat lokal dan tidak lagi tergantung

terhadap posisi sehingga diperoleh fungsi Green yang hanya sebagai fungsi z saja

tanpa mengandung . Untuk melakukan sumasi terhadap titik dalam brillouin

zones digunakan pendekatan , yaitu sumasi terhadap ditransformasi menjadi

integral terhadap variabel energi, proses ini mengacu pada :

(3.9)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

23

Universitas Indonesia

Atau

(3.10)

Dalam hal ini :

= integrand yang merupakan fungsi dari (spektrum energi

kinetik).

= bare density of states (DOS) atau rapat keadaan dasar dari spektrum

energi kinetik.

Di dalam model tight-binding, untuk kristal yang berbentuk simple cubic nilai

bare DOS dari spektrum energi kinetiknya dihitung dengan rumus :

(3.11)

Dengan mengacu pada persamaan 3.10 Perata-rataan fungsi Green ini akan

menghasilkan bar Green function, yang dapat ditulis sebagai berikut:

(3.12)

Atau dapat juga ditulis :

(3.13)

Mengingat tujuan studi ini difokuskan pada hasil secara kualitatif, maka dalam

pelaksanaannya dapat kita hitung dengan pendekatan analitik dengan tujuan

untuk menyederhanakan dan mempercepat proses perhitungan komputasi, dengan

syarat tidak mengubah batas-batas atau lebar dari bare DOS itu sendiri. Maka

bentuk bare DOS melalui pendekatan diasumsikan berbentuk setengah lingkaran.

Bare DOS untuk simple cubic menurut model tight-binding dapat dilihat

pada Gambar 3.2. berikut :

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

24

Universitas Indonesia

Gambar 3.2. Ilustrasi bare-dos untuk simple cubic [26].

Bentuk bare DOS simple cubic seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, akan

sedikit menimbulkan kesulitan dalam perhitungan. Sedangkan Bare DOS yang

berbentuk setengah lingkaran, akan memiliki deskripsi analitik, sehingga akan

memudahkan perhitungan. Bare DOS setengah lingkaran di peroleh dari kisi

Bethe. Kisi Bethe merupakan kisi fiktif, yang diciptakan semata-mata untuk

menghasilkan DOS yang memiliki deskripsi analitik. Ilustrasi bare DOS dari kisi

Bethe dapat dilihat pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3. Ilustrasi gambar bare dos untuk kisi Bethe melalui pendekatan

analitik [26].

Secara matematis bare DOS yang kita peroleh dari pendekatan dapat ditulis

sebagai :

(3.14)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

25

Universitas Indonesia

Dengan menggunakan nilai di atas, maka dapat diperoleh.

Langkah selanjutnya adalah mencari fungsi Green mean field, dimana dalam

langkah ini self energy diekstrak dari bar Green function, sehingga fungsi Green

mean field tidak lagi mengandung suku self energy. Secara matematis fungsi

Green mean field dituliskan sebagai :

(3.15)

Langkah ini dilakukan dengan terlebih dahulu menginverskan bar Green function,

baru selanjutnya mengekstrak self energy.

Tahapan selanjutnya adalah mencari self energy lokal, yang membawa informasi

suku interaksi yang dialami oleh elektron dalam satu site, self energy lokal ini

akan dipakai untuk menghitung fungsi Green lokal. Di dalam penelitian ini ada

dua interaksi yang diperhitungkan yaitu interaksi double exchange dan interaksi

pertukaran anisotropik. Karena interaksi pertukaran anisotropik di dalam sistem

merupakan interaksi pertukaran yang dialami antar ion-ion Mn yang tidak melibat

elektron, maka interaksi pertukaran anisotropik tidak dimasukkan ke dalam self

energy lokal. Sehingga self energy lokal hanya mengandung interaksi yang

dialami oleh elektron karena adanya mekanisme double exchange saja. Self

energy lokal ini dapat ditulis sebagai berikut :

(3.16)

Hamiltonian dari model double exchange pada persamaan 2.6 pada bab 2 dapat

dituliskan kembali sebagai :

(3.17)

merupakan interaksi antar ion dan elektron di site i. Karena dalam

penelitian ini diasumsikan satu unit sel simple cubic yang terdiri dari dua unit sel

primitif yang dipandang sebagai unit sel A dan unit sel B, maka interaksi yang

dialami oleh elektron ditinjau untuk site A dan site B. Sebelumnya dihitung

terlebih dahulu dot product untuk masing-masing site, yaitu interaksi elektron di

site A dan interaksi elektron di site B.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

26

Universitas Indonesia

Untuk site A, dapat ditulis :

(3.18)

(3.19)

(3.20)

cos 00cos (3.21)

(3.22)

Atau :

(3.23)

Untuk site B dapat ditulis :

(3.24)

(3.25)

(3.26)

cos 00cos (3.27)

(3.28)

atau

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

27

Universitas Indonesia

(3.29)

Sedangkan untuk :

(3.30)

Persamaan (3.30) menjelaskan bahwa tidak ada interaksi antara ion di site A

dengan elektron di site B. begitu juga dengan ion di site B tidak berinteraksi

dengan elektron di site A.

Dengan demikian bentuk matrik dari self energy lokal yang lengkap, dapat

dituliskan sebagai :

(3.31)

Self energy lokal ini digunakan untuk menghitung fungsi Green lokal. Fungsi

Green lokal ini merepresentasikan fungsi Green untuk satu site dalam sistem yang

dapat ditulis sebagai berikut :

(3.32)

Tahapan dalam menghitung fungsi Green lokal ini dilakukan dengan terlebih

dahulu menginverskan fungsi Green mean field dan selanjutnya memasukkan self

energy lokal dan setelah itu diinverskan.

Seperti yang telah disebutkan di atas, bahwa fungsi Green lokal ini belum

merepresentasikan fungsi Green untuk sistem secara keseluruhan. Sehingga untuk

memperoleh fungsi Green yang merepresentasikan sistem secara keseluruhan,

perlu dilakukan perata-rataan secara termodinamika, yang bertujuan untuk

mencari probabilitas dari setiap spin untuk berada di setiap state. Perata-rataan ini

memerlukan pemberat termodinamika yang dalam hal ini menggunakan pemberat

Bolztman yang dirumuskan dengan :

(3.33)

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

28

Universitas Indonesia

Sef adalah aksi efektif, di dalam aksi efektif ini kita memasukkan suku koreksi

interaksi pertukaran anisotropik yang dapat ditulis sebagai berikut :

2 + +

+ + (3.34)

Suku kedua pada aksi efektif di atas berasal dari interaksi pertukaran anisotropik

antar ion Mn di site A dan ion Mn di site B, yang sudah diturunkan sebelumnya di

bab 2 pada persamaan (2.12). Jp adalah exchange coupling antar ion Mn di arah

planar dan Ja adalah exchange coupling antar ion Mn di arah axial. Dan suku

ketiga adalah pengaruh medan magnet eksternal (H).

Sedangkan Z adalah fungsi partisi yang diperoleh menurut persamaan :

(3.35)

Dengan menggunakan pemberat Boltzman dilakukan perata-rataan fungsi Green

lokal yang menghasilkan fungsi Green average, secara matematis ditulis :

(3.36)

Fungsi Green average ini sudah merepresentasikan fungsi Green sistem, sehingga

bila diekstrak nilai self energy-nya akan diperoleh self energy yang

merepresentasikan nilai self energy untuk sistem tersebut. Secara matematis

pengekstrakan ini dapat ditulis :

(3.37)

Self energy baru yang diperoleh ini selanjutnya digunakan untuk menghitung

fungsi Green dalam iterasi selanjutnya, demikian seterusnya dilakukan iterasi

mengikuti langkah yang sama hingga diperoleh perhitungan yang konvergen dan

diperoleh nilai self energy yang konsisten. Untuk algoritma DMFT yang lebih

skematif dapat dilihat pada Gambar 3.3.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

29

Universitas Indonesia

Gambar 3.4. Algoritma DMFT

Mulai dengan memberi

harga tebakan

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

30

Universitas Indonesia

Perhitungan yang konvergen akan menghasilkan fungsi Green, pemberat

Boltzman dan besaran-besaran lainnya yang dapat digunakan untuk menghitung

besaran-besaran fisis dari sistem La0,7Ca0,3MnO3. Beberapa besaran fisis yang

penting untuk diketahui dari sistem La0,7Ca0,3MnO3 ini adalah density of state

murni (bare DOS) untuk sistem tanpa koreksi yang hanya terdiri dari suku tight-

binding, DOS untuk sistem dengan pengaruh double exchange, DOS untuk sistem

dengan pengaruh interaksi pertukaran anisotropik, potensial kimia dan

magnetisasinya.

Besarnya DOS dapat dihitung dengan rumus :

(3.38)

Setelah DOS diperoleh, dan jika besar , T, dan b juga diketahui, maka

selanjutnya dapat dihitung besarnya potensial kimia untuk sistem yang di dop

dengan menggunakan persamaan berikut :

(3.39)

(3.40)

dimana adalah kerapatan partikel tanpa doping, adalah fungsi distribusi

Fermi-Dirac, adalah potensial kimia, adalah energi, dan adalah temperatur.

3.4 Perhitungan Magnetisasi

Dengan menggunakan perhitungan pada persamaan (3.33),

maka kita dapat menghitung besar magnetisasi total yang dialami oleh sistem

dengan rumus sebagai berikut :

(3.26)

Dimana MA dan MB masing-masing adalah magnetisasi yang dialami oleh ion Mn

di site A dan di site B yang diperoleh dari persamaan :

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

31

Universitas Indonesia

(3.27)

dan

(3.28)

Penghitungan magnetisasi ini dilakukan untuk setiap nilai suhu dalam interval

yang diinginkan, dengan mencari parameter-parameter coupling yang optimal

untuk dapat menjelaskan data eksperimen transisi orde ke-1 pada La0,7Ca0,3MnO3

kristal tunggal. Dengan diperoleh data magnetisasi, maka dapat diplot data

magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) untuk berbagai nilai exchange coupling

anisotropik, interaksi antar spin ion ditinjau secara antiferomagnetik dan

ferromagnetik. Untuk melihat ada tidaknya pengaruh koreksi anisotropik

terhadap tendensi transisi fase magnetik orde ke-1 pada oksida mangan, maka plot

data M terhadap T dari hasil perhitungan yang dilakukan dengan hanya

memperhitungkan interaksi double exchange. Sehingga dapat dibandingkan profil

M vs T ketika hanya ada suku double exchange dan ketika ada pengaruh suku

koreksi interaksi pertukaran anisotropik.

Untuk tambahan bahwa di dalam proses perhitungan DMFT semua konstanta

seperti konstanta Planck (h), konstanta Boltzman (k), konstanta kisi , tetapan

cahaya (c), dan integral hopping (t) diset sama dengan 1.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

32

Universitas Indonesia

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Di bagian bab ini akan didiskusikan data-data yang diperoleh dari hasil

perhitungan dalam studi ini. Data-data itu di antaranya adalah data DOS,

parameter-parameter coupling, potensial kimia dan data magnetisasi.

4.1 DOS

Data DOS yang didapatkan dari hasil perhitungan dalam studi ini ditampilkan

dalam bentuk grafik DOS terhadap energi. DOS yang ditampilkan antara lain

DOS tight-binding kisi Bethe, DOS yang dihasilkan dari perhitungan dengan

model double exchange murni, dan DOS yang dihasilkan dari perhitungan dengan

model yang memasukkan pengaruh interaksi pertukaran anisotropik.

4.1.1 DOS dengan Tight-Binding untuk Kisi Bethe

DOS yang diperoleh dengan memasukkan suku tight-binding untuk kisi Bethe

merupakan DOS dari perhitungan di mana Hunds coupling Jh diset sama dengan

nol, dan exchange coupling dari interaksi pertukaran anisotropik Ja dan Jp juga

diset sama dengan nol. Artinya baik pengaruh interaksi double exchange maupun

pengaruh interaksi pertukaran anisotropik sama-sama tidak diperhitungkan.

Perhitungan dilakukan pada temperatur 11,6 K.

Perhitungan DOS dengan tight-binding untuk kisi Bethe ini perlu dilakukan

untuk mengetahui apakah program yang telah dibuat dapat menghasilkan bare

DOS yang benar. Gambar 4.1 adalah hasil plot DOS dari perhitungan dengan

tight-binding untuk kisi Bethe. Dari plot DOS ini kita dapat memperoleh

informasi bahwa program yang dibuat telah berjalan dengan baik. Dalam

perhitungan ini semua suku interaksi yang dialami oleh elektron tidak

diperhitungkan, sehingga DOSnya berbentuk DOS kisi Bethe seperti pada

Gambar 4.1. Untuk nilai doping x=0 maka potensial kimia berada di bagian luar

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

33

Universitas Indonesia

dan sebelah kanan DOS yang berarti bahwa material bersifat isolator hal ini sesuai

dengan karakteristik bahan induk oksida mangan yaitu LaMnO3 yang bersifat

sebagai isolator.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

DOS

E (eV)

Gambar 4.1. DOS dengan tight-binding untuk kisi Bethe

Ketika bahan induk oksida mangan mendapatkan doping dengan mensubsitusi

Ca+2

ke La+3

dengan nilai x=0,3 maka akan tercipta hole atau sejumlah ruang

kosong pada posisi B pada struktur oksida mangan perovskite (dengan rumus

struktur ABO3). Dengan adanya doping, ion Mn yang dalam hal ini mengisi posisi

B dapat berupa ion Mn+3

atau ion Mn+4

. Ruang kosong yang tercipta akan

memungkinkan elektron untuk dapat berpindah dari Mn+3

ke Mn+4

. Potensial

kimia yang semula berada di bagian luar dan sebelah kanan DOS, karena adanya

doping dengan konsentrasi x tertentu akan bergeser ke dalam DOS, yang artinya

pita valensi yang semula penuh menjadi terisi sebagian dengan sejumlah elektron

yang tergantung pada konsentrasi doping tersebut, dan pada kondisi seperti ini

sistem berada dalam keadaan metal.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

34

Universitas Indonesia

4.1.2 DOS dari Hasil Perhitungan dengan Pengaruh Double Exchange

Dengan memasukkan interaksi double exchange dapat menjelaskan sifat metal

dari bahan oksida mangan. Hal ini berhubungan dengan adanya transfer elektron

dari Mn+3

ke Mn+4

akibat adanya doping. DOS yang dihasilkan dari model yang

memperhitungkan interaksi double exchange dapat dilihat pada Gambar 4.2. DOS

ini dihitung pada temperatur 11,6 K dengan J = 1,5.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.5

1.0

DOS

E (eV)

DOS TB+DE

MU

Gambar 4.2. DOS hasil perhitungan dengan memasukkan pengaruh double

exchange (warna merah), garis putus-putus (warna biru)

menunjukkan posisi potensial kimia.

Medan magnet luar pada awalnya diberikan sebesar 57,5 T untuk memagnetisasi

sistem. Seiring dengan berjalannya perhitungan besar medan magnet luar ini

dikurangi secara bertahap sampai bernilai nol.

Hasil plot data DOS pada gambar 4.2 menunjukkan bahwa adanya interaksi

double exchange, menyebabkan DOS mengakami splitting menjadi dua keadaan

yang digambarkan dengan munculnya pita konduksi. Potensial kimia yang semula

berada pada pita valensi dengan adanya interaksi double exchange bergeser ke

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

35

Universitas Indonesia

pita konduksi dan berada hampir pada nilai maksimum DOS. Hal ini

menunjukkan bahwa sistem berada dalam keadaan metal.

Terpecahnya dua keadaan DOS akibat adanya interaksi double exchange juga

dapat dijelaskan atas dasar asumsi bahwa transfer elektron berlangsung dengan

memori spin, dan integral hopping t tergantung pada sudut antara spin yang

berdekatan sehingga menghasilkan keadaan dengan energi positif dan keadaan

dengan energi negatif. Keadaan-keadaan ini berkaitan dengan sudut antara spin

elektron dengan spin ion Mn. Bila dilihat kembali pada persamaan self energy

lokal, persamaan yang dirumuskan menggambarkan bahwa interaksi antara spin

ion dengan spin elektron dipengaruhi oleh sudut antara keduanya. Keadaan

dengan energi positif berhubungan dengan cos() yang bernilai negatif.

Sedangkan keadaan dengan energi negatif berhubungan dengan cos() yang

bernilai positif.

4.1.3 DOS dari Hasil Perhitungan dengan Memasukkan Pengaruh

Interaksi Pertukaran Anisotropik

DOS yang dihasilkan dari perhitungan dengan memasukkan pengaruh interaksi

pertukaran anisotropik dan interaksi double exchange dapat dilihat pada

Gambar 4.3.

Pada gambar tersebut ditampilkan dua profil DOS. Profil yang pertama

merupakan DOS dari hasil perhitungan yang memperhitungkan pengaruh

anisotropik yang berupa koreksi antiferromagnetik pada arah axial. Nilai

parameter-parameter yang digunakan dalam perhitungan diambil pada Jh = 1,5

dan Ja = -0.001. Sedangkan profil yang kedua merupakan DOS dari hasil

perhitungan yang memperhitungkan pengaruh anisotropik yang berupa koreksi

ferromagnetik pada arah planar. Nilai parameter diambil untuk Jh = 1,5 dan

Jp = 0.001. Kedua profil ini merupakan hasil perhitungan yang dilakukan pada

temperatur 11,6 K.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

36

Universitas Indonesia

-2 -1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

DOS

DOS Jh=1,5 Jp=0,001

DOS Jh=1,5 Ja=0,001

MU Jh=1,5 Jp=0,001

MU Jh=1,5 Ja=0,001

E (eV)

Gambar 4.3. DOS hasil perhitungan dengan double exchange pengaruh interaksi

pertukaran anisotropik.

Kedua profil DOS yang dihasilkan pada perhitungan ini tidak memiliki

perbedaan. Demikian juga bila dibandingkan dengan profil DOS hasil perhitungan

yang dilakukan hanya dengan memasukkan pengaruh interaksi double exchange.

Hal ini berarti bahwa interaksi pertukaran anisotropik tidak banyak

mempengaruhi dinamika elektron, sehingga tidak banyak berpengaruh pada DOS.

Hal ini dapat dipahami, karena suku koreksi interaksi pertukaran anisotropik

merupakan interaksi yang terjadi antar ion-ion Mn yang tidak melibatkan elektron

sehingga perhitungannya hanya dilakukan secara ad hoc di dalam aksi efektif Sef

di luar fungsi Green. Dengan demikian penambahan suku koreksi pertukaran

anisotropik ini menghasilkan DOS yang tidak jauh berbeda dengan DOS yang

dihasilkan dari perhitungan yang hanya melibatkan adanya interaksi double

exchange.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

37

Universitas Indonesia

4.2 Pengaruh Exchange Coupling Anisotropik di Arah Planar dan Axial

untuk Interaksi Ferromagnetik dan Antiferromagnetik terhadap

Magnetisasi

Hasil ekplorasi pengaruh koreksi pertukaran anisotropik pada arah axial dan

planar terhadap magnetisasi ditampilkan dalam bentuk grafik magnetisasi sebagai

fungsi temperatur. Eksplorasi dilakukan pada nilai Jh = 1.5. dan hasil yang

diperoleh dapat dilihat pada Gambar 4.4. Eksplorasi dilakukan untuk suku koreksi

anisotropik yang berupa koreksi ferromagnetik dan antiferromagnetik pada arah

panar dan axial.

Gambar 4.4. Plot magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) yang diperoleh dari

eksplorasi pengaruh interaksi pertukaran anisotropik pada arah

planar dan axial, (Warna merah dan biru) dengan coupling

antiferromagnetik, (warna hijau dan hitam) dengan coupling

ferromagnetik.

Dari profil magnetisasi yang dihasilkan, kecenderungan adanya transisi magnetik

orde ke-1 ditunjukan oleh dua profil. Pertama adalah profil magnetisasi dari

pengaruh suku koreksi pertukaran anisotropik berupa koreksi ferromagnetik

dalam arah planar (kurva berwarna hijau). Kedua adalah profil magnetisasi yang

0 50 100 150 200 250

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

M/M

SA

T

Temperatur (K)

Ja = - 0,005

Jp = - 0,005

Ja = 0,005

Jp = 0,005

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

38

Universitas Indonesia

dihasilkan dari pengaruh suku koreksi pertukaran anisotropik berupa koreksi

antiferromagnetik dalam arah axial (kurva berwarna hitam). Sedangkan dua profil

magnetisasi lainnya , yaitu koreksi ferromagnetik dalam arah axial dan koreksi

antiferromagnetik dalam arah planar cenderung memimik profil transisi fase

magnetik orde ke-2.

Grafik pada Gambar 4.4 juga memperlihatkan bahwa profil magnetisasi yang

menunjukkan kecenderungan terjadinya transisi magnetik orde ke-1, memiliki

nilai Tc sekitar 130 K, nilai ini sangat kecil bila dibandingkan dengan nilai Tc

yang diperoleh dalam eksperimen Phan et al. (2004) [12] yaitu sekitar 227 K.

Nilai Tc ini terlihat mengalami reduksi yang cukup signifikan. Hal ini mungkin

disebabkan oleh nilai parameter-paremeter coupling yang digunakan dalam

perhitungan seperti coupling Hund (Jh), exchange coupling untuk

antiferromagnetik axial (Ja), ataupun exchange coupling untuk ferromagnetik

planar (Jp) belum merupakan padanan yang pas. Untuk itu perlu dilakukan

eksplorasi lebih lanjut dalam menentukan padanan nilai parameter-parameter

coupling yang dapat menghasilkan data magnetisasi yang menunjukkan

kecenderungan terjadinya transisi magnetik orde ke-1 dengan Tc yang mendekati

nilai eksperimen.

4.3 Pengaruh Nilai Exchange Coupling Anisotropik yang Berupa Koreksi

Ferromagnetik di Arah Planar (Jp) terhadap Magnetisasi

Ekspolasi pengaruh nilai parameter exchange coupling anisotropik terhadap

transisi fase magnetik ditampilkan pada Gambar 4.5. eksplorasi dilakukan pada

pengaruh anisotropik yang berupa koreksi ferromagnetik di arah planar. Koreksi

ferromagnetik di arah planar ini dipilih semata-mata karena hasil yang diperoleh

dari perhitungan sebelumnya (pada Gambar 4.4) lebih menunjukkan tendensi

transisi fase magnetik orde ke-1 dengan Tc yang lebih tinggi, artinya ada

kecenderungan bahan untuk mempertahankan magnetisasinya sebelum drop

pada Tc.

Eksplorasi dilakukan pada nilai Jh yang lebih besar yaitu Jh = 2,0. Nilai Jh

diperbesar dengan asumsi dapat memperbesar pengaruh interaksi double

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

39

Universitas Indonesia

exchange, dengan harapan nilai magnetisasi dapat dipertahankan ketika

temperatur dinaikkan. Sedangkan nilai Jp divariasikan mulai dari nilai yang

terkecil, yaitu pada Jp = 0,0005, Jp = 0,001 dan Jp = 0,005. Dari hasil perhitungan

diperoleh untuk nilai Jp = 0,005 menyebabkan pengaruh koreksi pertukaran

anisotropik terhadap jatuhnya magnetisasi terlalu besar, sehingga magnetisasi

terlalu cepat drop ketika temperatur dinaikkan. Sedangkan untuk nilai

Jp = 0,0005 memberikan profil perubahan magnetisasi terhadap temperatur yang

lebih bertendensi pada transisi magnetik orde ke-2.

Hasil yang lebih memadai terlihat ketika nilai Jp diset sama dengan 0,001.

Sedangkan medan magnet luar diberikan diawal perhitungan sebesar 57,5 T dan

akan berkurang seiring dengan berjalannya perhitungan sampai medan magnet

luar ini bernilai nol.

Gambar 4.5. Plot magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) yang diperoleh dari

eksplorasi pengaruh interaksi pertukaran anisotropik dengan

coupling ferromagnetik pada arah planar.

Hasil eksplorasi ini selanjutnya akan digunakan sebagai acuan eksplorasi

selanjutnya, khususnya pada penentuan parameter-parameter yang menghasilkan

0 20 40 60 80 100

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

M/M

SA

T

Temperatur (K)

Jp = 0,0005

Jp = 0,001

Jp = 0,005

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

40

Universitas Indonesia

data yang paling optimal. Hasil yang paling optimal yang dimaksud adalah data

magnetisasi yang menunjukkan transisi magnetik orde ke-1 dengan Tc yang

paling besar. Untuk tujuan ini, maka dengan berpatokan dari hasil yang sudah

diperoleh, ekplorasi dilanjutkan dengan memperbesar nilai Jh dan nilai exchange

coupling anisotopik dipilih sebesar 0,001. Perhitungan selanjutnya akan dilakukan

untuk kedua sifat interaksi yaitu untuk koreksi ferromagnetik di arah planar dan

koreksi ferromagnetik di arah axial.

4.4. Hasil Perhitungan Magnetisasi Paling Optimal

Berdasarkan hasil perhitungan dengan berbagai variasi parameter yang telah

didapatkan, maka dilakukan perhitungan dengan satu set nilai parameter yang

diharapkan dapat memberikan hasil yang paling optimal. Perhitungan dilakukan

dengan nilai Jh = 2,4 dengan Ja = -0,001 dan Jp = 0,001.

Gambar 4.6. Grafik magnetisasi (M) terhadap temperatur (T) hasil perhitungan

yang paling optimal, (kurva hijau) ketika hanya ada pengaruh DE,

(kurva merah dan biru) masing-masing ketika diperhitungkan

koreksi anisotropik dengan coupling antiferromagnetik di arah axial

dan coupling ferromagnetik di arah planar.

Hasil perhitungan magnetisasi dari satu set nilai parameter ini ditampilkan pada

Gambar 4.6. gambar tersebut memperlihatkan bahwa dengan hanya meninjau

0 100 200 300 400

0.0

0.5

1.0

M/M

sa

t

Temperatur (K)

Jh=2.4 Jp=o Ja=0

Jh=2.4 Jp=0 Ja=-0.01

Jh=2.4 Jp=0.01 Ja=0

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

41

Universitas Indonesia

pengaruh interaksi double exchange saja (yang ditunjukkan oleh kurva merah)

tidak dapat menjelaskan adanya tendensi transisi fase kemagnetan orde ke-1 pada

bahan oksida mangan kristal tunggal, ini ditunjukkan oleh profil kurva

magnetisasi terhadap temperatur yang cenderung memimik profil transisi fase

magnetik orde ke-2.

Namun ketika pengaruh interaksi pertukaran anisotropik diperhitungkan di dalam

sistem, diperoleh hasil koreksi yang sangat signifikan dalam menghasilkan

tendensi transisi fase kemagnetan orde ke-1, hal ini dapat dilihat dari profil kurva

ketergantungan magnetisasi terhadap temperatur, dimana nilai magnetisasinya

tiba-tiba drop dengan sangat drastis terhadap temperatur. Ketika nilai Ja diambil

sebesar -0,001, yang artinya pengaruh anisotropik berupa koreksi

antiferromagnetik di arah axial, diperoleh nilai magnetisasi jatuh secara drastis di

sekitar temperatur 116 K. Demikian juga ketika pengaruh anisotropik berupa

koreksi ferromagnetik di arah planar, nilai magnetisasi sistem jatuh secara drastis

disekitar temperatur 92 K.

Hasil eksperimen Phan et al. (2004) [12] pada Gambar 1.4 menunjukkan bahwa

jatuhnya nilai magnetisasi pada La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal terjadi disekitar

temperatur sekitar 227 K. Bila dibandingkan dengan hasil perhitungan di atas,

maka nilai tempertur Tc hasil perhitungan mengalami reduksi yang cukup

signifikan. Akan tetapi kurva magnetisasi yang dihasilkan dari perhitungan

memiliki profil yang cukup mendekati hasil eksperimen. Maka bila dilihat dari

profilnya, dapat dikatakan bahwa interaksi pertukaran anisotropik berpengaruh

pada adanya tendensi transisi magnetik orde ke-1 pada La0,7Ca0,3MnO3 kristal

tunggal, yang dapat terjadi jika koreksi anisotropiknya yang berupa koreksi

ferromagnetik di arah planar dan koreksi antiferromagnetik di arah axial. Untuk

kedua sifat koreksi ini, niai Tc bisa saja berbeda.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

42

Universitas Indonesia

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dalam studi ini telah dilakukan perhitungan dengan menggunakan model yang

memperhitungkan adanya pengaruh interaksi pertukaran anisotropik untuk

mempelajari tendensi transisi fase magnetik orde ke-1 pada bahan oksida mangan

kristal tunggal. Metode yang digunakan dalam perhitungan adalah metode DMFT.

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan

beberapa hal antara lain :

1. Pendekatan yang hanya memperhitungkan pengaruh double exchange yang

dihitung dengan algoritma DMFT hanya dapat menangkap gejala kemagnetan

dan sifat isotropik saja. Sehingga pengaruh pertukaran anisotropik

dimasukkan secara ad hoc ke dalam aksi efektif. Penambahan suku koreksi

anisotropik ke dalam aksi efektif ini tidak banyak mempengaruhi dinamika

elektron sehingga bentuk DOS-nya tidak jauh berbeda dari profil DOS yang

hanya memperhitungkan interaksi double exchange saja.

2. Dari hasil perhitungan diperoleh tendensi transisi kemagnetan orde ke-1 dapat

terjadi jika terdapat koreksi anisotropik yang dapat berupa :

- Koreksi ferromagnetik di arah planar

- Koreksi antiferromagnetik di arah axial

3. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa koreksi anisotropik yang optimal

dapat menghasilkan transisi fase kemagnetan orde ke-1 pada nilai Jh=2,4,

Jp=0,001 dan Ja= -0,001. Walaupun magnitud dari koreksi anisotropik ini

sangat kecil, namun efeknya sangat besar dalam mereduksi Tc sistem dan

mengubah transisi magnetik dari orde ke-2 menjadi orde ke-1.

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

43

Universitas Indonesia

5.2 Saran

Meskipun studi ini cukup memberikan gambaran adanya tendensi transisi

magnetik orde ke-1 sebagai akibat dari adanya pengaruh interaksi pertukaran

anisotropik pada La0,7Ca0,3MnO3 kristal tunggal, namun masih ada beberapa hal

yang belum cukup baik bila dibandingkan dengan hasil eksperimen. Terutama

nilai Tc yang diperoleh masih cukup jauh dari nilai yang diharapkan. Untuk itu

ada beberapa hal yang disarankan untuk studi selanjutnya, antara lain :

1. Perlu dilakukan eksplorasi terhadap pengaruh nilai konstanta Jh pada Tc.

Dalam simulasi ini digunakan nilai Jh=2,4 yang dianggap optimal, namun

dengan nilai Jh=2,4 seakan-akan memberikan Tc yang jauh lebih rendah dari

eksperimen. Tc yang bernilai lebih rendah ini mungkin juga dapat disebabkan

oleh penggunaan skala energi yang tidak sesuai dengan skala energi kisi Bethe

pada tight-binding.

2. Interaksi yang terjadi di dalam sistem kristal hampir seluruhnya dipengaruhi

oleh elektron. Karena keterbatasan perangkat perhitungan maka dalam

perhitungan DMFT ini koreksi pertukaran anisotropik hanya diperhitungkan

secara ad hoc di dalam aksi efektif (Sef) yang hasilnya tentu tidak seakurat

hasil yang diperoleh dari perhitungan yang sebenarnya. Oleh karena itu akan

sangat menarik apabila kita dapat membuat suatu model yang dapat

mengakomodir segala bentuk interaksi yang terjadi di dalam suatu sistem

kristal, paling tidak dapat mengakomodir interaksi untuk beberapa sel yang

saling berjauhan dan memecahkan model tersebut tanpa pendekatan ad hoc,

sehingga hasil yang diperoleh dapat lebih eksak dan studi yang dilakukan

tidak hanya sekedar meninjau problem satu site saja, tapi lebih dari itu dapat

melakukan perhitungan untuk problem banyak site yang saling berinteraksi

satu sama lain sehingga lebih mempresentasikan dinamika interaksi yang

sebenarnya. Jika hanya didukung oleh perangkat perhitungan sederhana

tentunya banyak keterbatasan, misalnya dengan menambah unit sel berarti

memperbesar ukuran matrik di dalam program, hal ini tentunya akan

memperberat kerja dari perangkat PC yang digunakan dan proses running

dalam memproduksi data menjadi sangat lama. Sehingga untuk dapat

melakukannya maka kami menyarankan pada studi selanjutnya agar dapat

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

44

Universitas Indonesia

mengupayakan suatu perangkat perhitungan yang jauh lebih baik dari hanya

sekedar PC ataupun laptop (seperti penggunaan cluster atau paralel

computing).

Studi komputasi..., Cobi Hemerli, FMIPAUI, 2012

45

Universitas Indonesia

DAFTAR REFERENSI

[1] S. Jin, M. McCormack, T. H. Tiefel, dan R. Ramesh. Colossal

magnetoresistance in La-Ca-Mn-O ferromagnetic thin films, Journal of

Applied Physics, 76, 6929 (1994).

[2] A. R. Dinesen, Magnetocaloric and magnetoresistif properties of

La0.67Ca0.33-xSrxMnO3, Ph.d Thesis, Technical University of Denmark

(2004).

[3] M. H. Phan dan S. C. Yu, Review of the magnetocaloric effect in

manganite materials, Journal of Magnetism and Magnetic Materials,

308, 325-340 (2007).

[4] S. Jeppensen. Magnetocaloric materials, Ph.D Thesis, Niels Bohr

Institute, University of Copenhagen (2008).

[5] G. J. Snyder, Magnetism and electron transport in magnetoresistive

lanthanum calcium manganites, Ph.D Tesis, Department of Applied

Physics, Standford University (1997).

[6] L. P. Gorkov dan V. Z. Kresin, Mixed-valence manganites:

fundamentals and main properties, Physics Reports, 400, 153 (2004).

[7]