struktur medan galois - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2289/2/983114015_full.pdf ·...

STRUKTUR MEDAN GALOIS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh

LAMHOT 983114015

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

untuk Keluargaku dan Tanti


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Mei 2007

Penulis

LAMHOT


ABSTRAK

Untuk setiap bilangan prima p, terdapat medan berhingga berorder p, yaitu Zp.

Galois menyatakan bahwa medan berhingga berorder pangkat bilangan prima dapat

dikonstruksi jika dapat ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif atas Zp.

Pada kenyataannya, dapat ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif atas Zp.

Maka untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n, selalu dapat

dikonstruksi medan Galois berorder pn, dinotasikan dengan GF(pn). Lebih khusus, untuk

suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, terdapat satu dan hanya satu

medan Galois berorder pn. Dan banyaknya submedan dari medan Galois GF(pn) adalah

banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n.


ABSTRACT

There exists a finite field of order p, namely Zp, for any prime p. According to

Galois, a finite field of order a power of a prime could be constructed if an irreducible

polynomial of positive degree over Zp could be found. In fact, an irreducible polynomial

of positive degree over Zp can be found. Thus for any prime p and any positive integer

n, a Galois field of order pn, denoted by GF(pn), can be constructed. In particular, for

some prime p and some positive integer n, there is one and only one Galois field of

order pn. And the number of subfields of Galois field GF(pn) is the number of positive

integers that divide n.


PRAKATA

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kemampuan

yang telah diberikan-Nya kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini sebagai salah

satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana. Banyak pihak yang telah membantu penulis

dalam menyusun skripsi ini mulai dari mempersiapkan bahan, mendapatkan ide,

mengolah kreativitas, hingga terbentuknya skripsi ini menjadi sebuah karya ilmiah.

Maka dengan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Romo Frans Susilo sebagai Pembimbing skripsi dan akademik. Terima kasih atas

koreksi-koreksinya yang indah, juga ketelitiannya yang memberikan banyak

masukan kepada penulis.

2. Bapak Aris Dwiatmoko sebagai Dekan FMIPA yang selalu menjadi bapak bagi

mahasiswa-mahasiswanya.

3. Bapak Y.G. Hartono sebagai Kaprodi Matematika yang siap setiap saat menjadi

mediator bagi mahasiswa, juga banyak memberikan diskusi yang baik.

4. Ibu Any Herawati yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada penulis.

5. Bapak Andy Rudhito yang memberikan banyak koreksi dan masukan kepada

penulis.

6. Perpustakaan USD dan Sekretariat FMIPA yang banyak membantu mengolah data

dan kepentingan penulis.

7. Keluargaku tercinta yang dengan sabar mendampingi penulis selama mengikuti

pendidikan hingga selesai. Curahan kasih sayang, doa, dan bekal moral yang

diberikan sungguh menjadi pegangan hidup bagi penulis.

8. Bapak Y. Suroto dan Ibu Harum Juwita yang selalu memberikan semangat kepada

penulis.

9. Dik Tanti yang selalu mendampingi penulis dengan doa dan kebersamaan. Suka

duka yang telah kami alami bersama memberikan banyak pelajaran berharga

kepada penulis.

10. Adik-adikku Reni, Adi Nugroho, dan Vanda yang memberikan banyak senyum

dan kelucuan sebagai penghibur kepada penulis.

11. Sahabat-sahabatku yang memberikan banyak kenangan.

12. Pihak-pihak lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.


Tak ada gading yang tak retak, demikian pula skripsi ini tidak akan pernah

menjadi sempurna. Namun demikian penulis bersyukur karena telah ikut berpartisipasi

dalam mencerdaskan bangsa. Kesempatan yang penulis dapatkan sungguh sangat

berharga dan penulis berharap kelak dapat ambil bagian dalam mengembangkan

pendidikan. Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat.

Yogyakarta, Mei 2007


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERSEMBAHAN

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

ABSTRAK

ABSTRACT

PRAKATA

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Perumusan Masalah 1

1.3. Tujuan Penulisan 1

1.4. Metode Penulisan 2

1.5. Sistematika Pembahasan 2

BAB II GRUP DAN GELANGGANG 3

2.1. Operasi Biner 3

2.2. Grup dan Teorema Lagrange 4

2.3. Gelanggang dan Medan 20

2.4. Bilangan Bulat Modulo n 28

2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma 32

2.6. Polinomial 47


BAB III STRUKTUR MEDAN GALOIS 72

3.1. Perluasan Medan 72

3.2. Ruang Vektor 87

3.3. Medan Galois 93

BAB IV PENUTUP 109

DAFTAR PUSTAKA


BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Teori Galois merupakan salah satu teori besar dan elegan dalam aljabar abstrak.

Teori ini diberi nama demikian sebagai penghargaan atas ide dan hasil kerja dari

seorang matematikawan muda berkebangsaan Perancis, Evariste Galois (1811−1832).

Teorema Fundamental Galois masih menjadi topik menarik dalam banyak diskusi saat

ini. Karena merupakan teori besar, ruang lingkup teori Galois cukup luas. Salah satunya

adalah teori Galois pada medan berhingga (kemudian disebut sebagai medan Galois)

yang menjadi pembicaraan dalam tulisan ini.

Diawali dengan dibuktikannya Zp = {[0], [1], [2], …, [p − 1]} medan, kemudian

dapat dikonstruksi medan dengan 4 elemen, sampai pada akhirnya dapat dikonstruksi

medan dengan pn elemen untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat n > 1.

Pertanyaan menarik untuk ditanyakan adalah berapa banyak medan dengan pn elemen?

Apakah ada medan berhingga lainnya selain medan dengan pn elemen? Dan hal utama

untuk diselidiki pada struktur suatu sistem aljabar adalah berapa banyak submedan dari

medan dengan pn elemen?

1.2. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan

sebagai berikut:

1. Sifat-sifat dasar apa saja yang terdapat dalam medan Galois?

2. Apa kaitan medan Galois dengan teori Galois?


2

1.3. Tujuan Penulisan

Tujuan tulisan ini adalah untuk mengenal lebih jauh teori medan yang sudah

dipelajari dalam perkuliahan dan memperkenalkan medan Galois. Selain itu tulisan ini

juga mendeskripsikan beberapa konsep berkaitan dengan teori Galois.

1.4. Metode Penulisan

Penyusunan skripsi ini murni menggunakan metode studi pustaka.

1.5. Sistematika Pembahasan

Umumnya sebuah karya ilmiah, setiap pokok bahasan disusun secara sistematis.

BAB II membahas operasi biner, teori grup, teori gelanggang dan medan, bilangan bulat

modulo n, polinomial, dan homomorfisma gelanggang. Pembuktian beberapa teorema

dalam bab ini menggunakan teori himpunan dan teori bilangan yang cukup mendasar,

sehingga diasumsikan sudah dikenal dengan baik. Kemudian BAB III yang merupakan

bab inti, mencakup perluasan medan, ruang vektor, dan medan Galois. Pembahasan

tentang perluasan medan diuraikan cukup cermat sehingga diharapkan pemahaman

tentang medan dapat menjadi maksimal. Untuk menjaga materi tulisan yang padat tetapi

juga tidak terlalu banyak pembahasan, diasumsikan juga topik ruang vektor sudah

dikenal dengan baik. Tetapi penulis tetap membuktikan beberapa teorema yang

dianggap perlu. Dan pembahasan medan Galois berikut sifat-sifatnya dibuat dalam

suatu kesatuan pokok bahasan. Agar tidak terkesan kaku, bentuk-bentuk pernyataan

dalam BAB II dan BAB III disajikan bervariasi. Akhirnya BAB IV sebagai penutup,

berisi poin-poin penting secara keseluruhan serta mengulas secara singkat hasil kerja

dari Galois. Penulis juga berusaha memberikan contoh-contoh penjelasan.


BAB II

GRUP DAN GELANGGANG

2.1. Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan takkosong B adalah aturan yang mengaitkan setiap

dua anggota dalam B dengan tepat satu anggota dalam B. Lebih tepatnya, operasi biner

pada B adalah sebuah pemetaan µ : B × B → B. Berarti µ memetakan (mengawankan)

setiap anggota pasangan terurut (x, y) dari anggota-anggota dalam B dengan suatu

anggota µ(x, y) dalam B.

Elemen (anggota) µ(x, y) dinyatakan dalam bentuk x ∗ y. Karena x ∗ y ∈ B untuk

x, y ∈ B, maka himpunan B dikatakan bersifat tertutup terhadap operasi ∗. Selanjutnya

himpunan B yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ ditulis (B, ∗).

Contoh 2.1.1.

Pada himpunan semua bilangan real R, operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian adalah operasi-operasi biner sebab jika a ∈ R dioperasikan dengan b ∈ R,

masing-masing menghasilkan tepat satu a + b, a – b, ab dalam R. Sedangkan operasi

pembagian bukanlah operasi biner pada R, karena hasil bagi ba tidak terdefinisi untuk

b = 0.

Contoh 2.1.2.

Jika ∗ didefinisikan dengan m ∗ n = mn untuk setiap bilangan bulat positif m dan n,

maka ∗ adalah operasi biner pada himpunan semua bilangan bulat positif.


4

2.2. Grup dan Teorema Lagrange

Dalam membicarakan sistem aljabar, tidak ada aturan untuk mulai dari mana dulu.

Namun idealnya dimulai dari grup. Kemudian sistem aljabar lainnya seperti gelanggang,

daerah integral, dan medan hanyalah memperluas definisi sebelumnya.

Definisi 2.2.1.

Himpunan (G, ∗) disebut grup jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat

(i) operasi biner (disingkat operasi) ∗ bersifat asosiatif, yaitu

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ G

(ii) terdapat elemen identitas eG ∈ G dengan sifat

x ∗ eG = eG ∗ x = x, ∀x ∈ G

(iii) setiap elemen x ∈ G mempunyai invers x−1 ∈ G dengan sifat

x−1 ∗ x = x ∗ x−1 = eG.

Definisi 2.2.2.

Operasi ∗ dikatakan bersifat komutatif jika dan hanya jika a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.

Grup (G, ∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika operasi ∗ bersifat komutatif.

Contoh 2.2.1.

Himpunan semua bilangan bulat (Z, +) adalah grup sebab semua sifat dalam Definisi

2.2.1 dipenuhi. Dan karena a + b = b + a untuk setiap a, b ∈ Z, maka grup Z adalah

grup komutatif. Himpunan semua bilangan bulat positif (N, +) bukan grup sebab tidak

mempunyai elemen identitas.


5

Definisi 2.2.3 (Pangkat Suatu Elemen).

Misalkan G grup dan x ∈ G, maka untuk n ∈ Z didefinisikan

(i) x0 = eG.

(ii) Jika n > 0, maka xn = xn−1 ∗ x.

(iii) Jika n < 0, yaitu n = −m dengan m > 0, maka xn = (x−1)m.

Teorema 2.2.1.

(i) Hukum Kanselasi

Jika a ∗ b = a ∗ c, maka b = c untuk setiap a, b, c dalam grup G. Demikian juga

jika b ∗ a = c ∗ a, maka b = c.

(ii) Penyelesaian Tunggal dalam Persamaan Linear

Jika x ∗ a = b, maka x = b ∗ a−1 untuk setiap a, b dalam grup G. Juga jika a ∗ x = b,

maka x = a−1 ∗ b.

(iii) Ketunggalan Identitas

Grup G hanya mempunyai satu elemen identitas.

(iv) Ketunggalan Invers

Setiap elemen dalam grup G mempunyai tepat satu invers.

(v) Sifat-sifat Invers

Jika G grup, maka untuk setiap a, b ∈ G berlaku

1. (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.

2. eG−1 = eG.

3. (a−1)−1 = a.


6

(vi) Hukum Eksponen

Jika G grup dan a ∈ G, maka untuk m, n ∈ Z berlaku

1. am ∗ an = am+n.

2. (am)n = amn.

BUKTI.

(i) Ambil sembarang a, b, c ∈ G sedemikian sehingga a ∗ b = a ∗ c. Maka menurut

Definisi 2.2.1(iii), ada a−1 ∈ G sedemikian sehingga a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c).

Dengan Definisi 2.2.1, didapat b = c. Dengan cara yang sama, jika b ∗ a = c ∗ a

maka b = c.

(ii) Jika x ∗ a = b, maka dengan Definisi 2.2.1(i) dan (iii), x = (x ∗ a) ∗ a−1 = b ∗ a−1.

Dengan cara yang sama, jika a ∗ x = b maka x = a−1 ∗ b.

(iii) Misalkan eG dan fG elemen-elemen identitas dalam G. Maka x ∗ eG = eG ∗ x = x

dan x ∗ fG = fG ∗ x = x, untuk setiap x ∈ G. Jadi eG = eG ∗ fG = fG.

(iv) Ambil sembarang a ∈ G. Misalkan a1−1 dan a2

−1 invers-invers dari a dalam G.

Maka a1−1 ∗ a = a ∗ a1

−1 = eG dan a2−1 ∗ a = a ∗ a2

−1 = eG. Jadi a1−1 = a1

−1 ∗ eG =

a1−1 ∗ (a ∗ a2

−1) = (a1−1 ∗ a) ∗ a2

−1 = eG ∗ a2−1 = a2

−1.

(v) 1. (a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1) = a ∗ (b ∗ b−1) ∗ a−1 = eG. Jadi b−1 ∗ a−1 invers dari a ∗ b

(ketunggalan invers).

2. Menurut Definisi 2.2.1(ii) dan (iii), eG ∗ eG = eG = eG ∗ eG−1. Dengan hukum

kanselasi, maka eG = eG−1.

3. Karena a ∗ a−1 = eG untuk setiap a ∈ G, maka a = (a−1)−1.


7

(vi) Ambil sembarang m ∈ Z.

1. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 0, maka am ∗ an = am ∗ a0 = am ∗ eG = am = am+0 = am+n.

Langkah Untuk n > 0, diasumsikan benar untuk n = k, yaitu am ∗ ak = am+k.

Dibuktikan benar untuk n = k + 1.

am ∗ ak+1 = am ∗ ak ∗ a = am+k ∗ a = am+k+1.

Untuk n < 0, misalkan n = −p dengan p > 0. Sehingga am ∗ an = am ∗ a−p =

a−(−m) ∗ a−p = (a−1)−m ∗ (a−1)p = (a−1)−m+p = a−(−m+p) = am−p = am+n.

Jadi am ∗ an = am+n.

2. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 0, maka (am)n = (am)0 = eG = a0 = a m0 = amn.

Langkah Untuk n > 0, diasumsikan benar untuk n = k, yaitu (am)k = amk.

Dibuktikan benar untuk n = k + 1.

(am)k+1 = (am)k ∗ am = amk ∗ am = amk+m = am(k+1).

Untuk n < 0, misalkan n = −p dengan p > 0. Maka (am)n = (am)−p = ((am)−1)p =

(a−m)p = a−mp = am(−p) = amn.

Jadi (am)n = amn. ■

Grup Z mempunyai takhingga banyak anggota. Himpunan ({0}, +) juga grup,

tetapi hanya mempunyai satu anggota. Jadi banyaknya anggota dalam suatu grup dapat

berhingga atau takhingga. Banyaknya anggota dalam grup G atau bilangan kardinal G

disebut order G.


8

Definisi 2.2.4.

Misalkan G grup dan H ⊆ G. Himpunan H disebut subgrup dari G (ditulis H ≤ G) jika

dan hanya jika (H, ∗) grup di mana ∗ adalah operasi pada G.

Definisi 2.2.4 di atas mengatakan bahwa jika H ≤ G, maka (H, ∗) bersifat tertutup,

hukum asosiatif berlaku, mempunyai elemen identitas eH = eG (ketunggalan elemen

identitas), dan setiap elemen dalam H mempunyai invers. Jelas {eG} dan G merupakan

subgrup-subgrup dari G.

Teorema 2.2.2 (Uji Subgrup).

Jika G grup dan H ⊆ G, maka H ≤ G jika dan hanya jika

(i) H ≠ ∅,

(ii) (∀h1, h2 ∈ H) h1 ∗ h2 ∈ H,

(iii) (∀h ∈ H) h−1 ∈ H.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika H ≤ G, maka menurut Definisi 2.2.4, (i), (ii), dan (iii) terpenuhi.

( ⇐ ) Karena H ⊆ G dan berlaku (ii), maka H bersifat tertutup dan berlaku asosiatif.

Kemudian jika h ∈ H, maka dari (ii) dan (iii), h ∗ h−1 = eH ∈ H dan h−1 ∈ H.

Menurut Definisi 2.2.4, H ≤ G. ■

Teorema 2.2.3.

Jika G grup dan a ∈ G, maka ⟨a⟩ = {an : n ∈ Z} adalah subgrup dari G.


9

BUKTI.

Karena a0 = eG, maka eG ∈ ⟨a⟩ sehingga ⟨a⟩ ≠ ∅. Ambil sembarang am, an ∈ ⟨a⟩ untuk

suatu m, n ∈ Z. Maka am ∗ an = am+n ∈ ⟨a⟩ dan (am)−1 = a−m ∈ ⟨a⟩. Dari Teorema 2.2.2,

⟨a⟩ subgrup dari G. ■

Subgrup ⟨a⟩ di atas dinamakan subgrup siklik dari grup G yang dihasilkan atau

dibangun oleh a ∈ G. Teorema berikut menjelaskan apa yang terjadi jika dua elemen

pangkat dari a ∈ G sama.

Teorema 2.2.4.

Jika G grup dan a ∈ G sedemikian sehingga ar = as untuk suatu r, s ∈ Z dengan r ≠ s,

maka

(i) terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an = eG,

(ii) jika t ∈ Z, maka at = eG jika dan hanya jika n adalah faktor dari t,

(iii) ⟨a⟩ = {eG, a, a2, …, an−1} di mana eG, a, a2, …, an−1 adalah elemen-elemen yang

saling berbeda.

BUKTI.

(i) Jika ar = as dan r > s, maka ar ∗ a−s = eG ⇔ ar−s = eG. Misalkan n = r − s > 0, maka

an = eG. Menurut prinsip bilangan bulat, terdapat bilangan bulat positif terkecil n

sedemikian sehingga an = eG. Analog untuk s > r.

(ii) ( ⇒ ) Diasumsikan at = eG. Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat,

terdapat dengan tunggal bilangan bulat q, r sedemikian sehingga t = nq + r


10

dengan 0 ≤ r < n. Maka eG = at = anq+r = anq ∗ ar = (an)q ∗ ar = (eG)q ∗ ar =

ar. Padahal dari (i) diketahui bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil

sedemikian sehingga an = eG, maka haruslah r = 0. Ini menunjukkan bahwa

t = nq.

( ⇐ ) Jika n adalah faktor dari t, maka t = nw. Jadi at = anw = (an)w = (eG)w = eG.

(iii) Ambil sembarang am ∈ ⟨a⟩ untuk suatu m ∈ Z. Menurut algoritma pembagian

pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat u dan v sedemikian

sehingga m = nu + v dengan 0 ≤ v < n. Maka am = anu+v = anu ∗ av = (an)u ∗ av =

(eG)u ∗ av = av. Jadi am sama dengan tepat salah satu dari a0, a1, a2, …, an−1.

Untuk menunjukkan bahwa elemen-elemen a0, a1, a2, …, an−1 saling berbeda,

misalkan av = aw di mana 0 ≤ v < n dan 0 ≤ w < n. Jika v ≥ w, maka av−w = eG

dengan v − w ≥ 0. Dan menurut (ii), n adalah faktor dari v − w. Tetapi perhatikan

bahwa 0 ≤ v − w < n, maka haruslah v − w = 0, yaitu v = w. Demikian juga analog

untuk w ≥ v.

Jadi ⟨a⟩ = {eG, a, a2, …, an−1}. ■

Definisi 2.2.5 (Order Elemen).

Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an = eG, maka n

disebut order a dalam grup G, dinotasikan ο(a). Tetapi jika tidak terdapat bilangan bulat

positif terkecil yang dimaksud di atas, maka a dikatakan berorder takhingga.

Akibat 2.2.5.

Jika G grup dan a ∈ G, maka ο(a) = ⟩⟨a .


11

BUKTI.

Jika ο(a) = n, maka menurut Teorema 2.2.4(iii), ⟨a⟩ = {eG, a, a2, …, an−1}, sehingga

⟩⟨a = n = ο(a). Jika a berorder takhingga, maka tidak terdapat bilangan bulat positif

terkecil n sedemikian sehingga an = eG. Jadi ar ≠ as untuk setiap bilangan bulat r dan s,

sehingga ⟩⟨a takhingga. ■

Definisi 2.2.6.

Jika a ∈ G dan G = ⟨a⟩, maka grup G disebut grup siklik yang dibangun atau dihasilkan

oleh a.

Contoh 2.2.2.

Grup Z adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 1 atau −1. Perhatikan bahwa di sini 1n

adalah 1 + 1 + … + 1 = n1.

Jika G grup siklik yang dihasilkan oleh a ∈ G, maka setiap elemen dalam G

berbentuk ak untuk suatu k ∈ Z. Jika G berorder n, maka G = {eG, a, a2, …, an−1}.

Selanjutnya faktor persekutuan terbesar dari k dan n ditulis (k, n).

Teorema 2.2.6 (Sifat-sifat Grup Siklik).

Jika G grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a ∈ G dan 1 ≤ k < n, maka

(i) G grup komutatif.

(ii) Setiap subgrup dari G adalah siklik.

(iii) ak membangun subgrup berorder ),( nkn .


12

(iv) Jika (k, n) = 1, maka ak membangun G.

(v) Jika nk , maka G mempunyai tepat satu subgrup berorder k.

BUKTI.

(i) Ambil sembarang elemen-elemen am, an ∈ G. Maka am ∗ an = am+n = an+m = an ∗ am

untuk suatu m, n ∈ Z. Menurut Definisi 2.2.2, G grup komutatif.

(ii) Ambil sembarang H ≤ G. Jelas H = {eG} adalah subgrup siklik. Jika H ≠ {eG},

maka terdapat ak ∈ H untuk suatu bilangan bulat positif k. Misalkan m adalah

bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga am ∈ H. Selanjutnya akan

ditunjukkan H = ⟨am⟩, yaitu setiap elemen dalam H adalah pangkat dari am.

Ambil sembarang b ∈ H, maka b = at untuk suatu t ∈ {0, 1, …, n − 1}. Menurut

algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat

q, r sedemikian sehingga t = mq + r dengan 0 ≤ r < m. Maka at = amq+r = (am)q ∗ ar

⇔ ((am)q)−1 ∗ at = ar. Perhatikan bahwa am, at ∈ H, sehingga ar ∈ H. Kemudian,

karena 0 ≤ r < m dan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga

am ∈ H, maka haruslah r = 0. Jadi b = at = amq = (am)q.

(iii) Jika G adalah grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a ∈ G, maka an = eG.

Perhatikan bahwa ⟩⟨ ka merupakan bilangan bulat positif terkecil s sedemikian

sehingga (ak)s = aks = eG. Menurut Teorema 2.2.4(ii), aks = eG jika dan hanya jika

ksn . Misalkan g = (k, n). Maka menurut sifat bilangan bulat, g adalah kombinasi

linear dari k dan n, yaitu g = uk + vn ⇔ 1 = )()( gnvgku + untuk suatu u, v ∈ Z.

Jadi ),( gngk = 1. Jika ksn , maka sgkgn )()( . Akibatnya sgn )( . Ini berarti


13

bilangan bulat positif terkecil s adalah gn . Jadi ak membangun subgrup berorder

),( nkn .

(iv) Jika (k, n) = 1, maka dari (iii), ⟩⟨ ka = 1n = n = G , sehingga ⟨ak⟩ = G.

(v) Jika nk , maka n = ku untuk suatu bilangan bulat positif u dan (u, n) = u. Dari (iii),

au membangun subgrup berorder un = k. Jadi G mempunyai subgrup berorder k.

Akan ditunjukkan subgrup berorder k tunggal. Misalkan L dan M subgrup-subgrup

berorder k. Maka L = M . Jelas L = M untuk L = M = 1. Dari (ii), L dan M

adalah siklik, yaitu L = ⟨ar⟩ dan M = ⟨as⟩ untuk suatu bilangan bulat positif r dan s.

Karena eG = an, maka an dalam ⟨ar⟩ dan ⟨as⟩. Ini berarti an adalah pangkat dari ar

dan as, sehingga nr dan ns . Jadi (r, n) = r dan (s, n) = s. Maka menurut (iii),

⟩⟨ ra = ),( nrn = rn dan ⟩⟨ sa = ),( nsn = sn . Jadi jika ⟩⟨ ra = ⟩⟨ sa , maka

rn = sn ⇔ r = s, sehingga ⟨ar⟩ = ⟨as⟩ atau L = M. ■

Jadi dari teorema di atas, berarti banyaknya subgrup dari grup siklik berhingga G

adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi order G. Selanjutnya Lagrange

membuktikan bahwa order subgrup dari grup berhingga harus membagi order grupnya.

Dibahas dahulu tentang suatu subhimpunan dari grup yang dinamakan koset.

Teorema 2.2.7.

Misalkan G grup dan H ≤ G. Jika relasi ∼ pada G didefinisikan dengan

a ∼ b jika dan hanya jika b ∗ a−1 ∈ H,

maka ∼ adalah relasi ekivalensi pada G.


14

BUKTI.

Akan dibuktikan ∼ bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Karena a ∗ a−1 = eG ∈ H, maka a ∼ a, yaitu ∼ refleksif. Jika a ∼ b, maka b ∗ a−1 ∈ H,

sehingga (b ∗ a−1)−1 = a ∗ b−1 ∈ H, yaitu b ∼ a. Berarti ∼ simetris. Jika a ∼ b dan b ∼ c,

maka b ∗ a−1 ∈ H dan c ∗ b−1 ∈ H. Maka (c ∗ b−1) ∗ (b ∗ a−1) = c ∗ a−1 ∈ H. Jadi a ∼ c,

sehingga ∼ transitif. ■

Kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kanan dari H dalam G. Jika b ∗ a−1

diganti dengan a−1 ∗ b, maka kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kiri dari H

dalam G.

Akibat 2.2.8 (Bentuk Koset).

Misalkan G grup dan H ≤ G. Setiap koset kanan dari H berbentuk Ha = {h ∗ a : h ∈ H}

dan koset kiri dari H berbentuk aH = {a ∗ h : h ∈ H}, untuk suatu a ∈ G.

BUKTI.

Misalkan K adalah koset kanan dari H dalam G, maka K adalah kelas ekivalensi dari ∼

yang memuat suatu elemen a ∈ G, yaitu K = {b ∈ G : a ∼ b} = {b ∈ G : b ∗ a−1 ∈ H}.

Selanjutnya akan dibuktikan K = Ha. Ambil sembarang x ∈ K, maka x ∗ a−1 = h ∈ H,

sehingga x = h ∗ a ∈ Ha. Kemudian jika x ∈ Ha, maka x = h ∗ a untuk suatu h ∈ H,

berarti x ∗ a−1 = h ∈ H, sehingga x ∈ K. Jadi x ∈ K jika dan hanya jika x ∈ Ha untuk ∀x,

sehingga K = Ha. Dengan cara yang sama, maka setiap koset kiri dari H dalam G pasti

berbentuk aH. ■


15

Lema 2.2.9.

Misalkan G grup, H ≤ G dan a, b ∈ G. Maka Ha = Hb jika dan hanya jika b ∗ a−1 ∈ H.

BUKTI.

( ⇒ ) Karena b ∈ Hb, yaitu b = eH ∗ b dan Ha = Hb, maka b ∈ Ha. Ini berarti untuk

suatu h ∈ H, b = h ∗ a ⇔ b ∗ a−1 = h. Jadi b ∗ a−1 ∈ H.

( ⇐ ) Diasumsikan b ∗ a−1 ∈ H. Akan dibuktikan Ha = Hb. Ambil sembarang elemen

dalam Ha katakanlah h ∗ a dengan h ∈ H. Karena b ∗ a−1 ∈ H, maka (b ∗ a−1)−1

= a ∗ b−1 ∈ H, sehingga h ∗ a = (h ∗ a ∗ b−1) ∗ b ∈ Hb. Jadi Ha ⊆ Hb. Untuk

sembarang h ∗ b ∈ Hb, maka h ∗ b = (h ∗ b ∗ a−1) ∗ a ∈ Ha. Jadi Hb ⊆ Ha,

sehingga Ha = Hb. ■

Misalkan H subgrup dari grup G dan ∼ adalah relasi ekivalensi pada G yang

didefinisikan dalam Teorema 2.2.7. Maka kelas-kelas ekivalensi dari ∼ membentuk

suatu partisi dari G, yaitu subhimpunan-subhimpunan takkosong dari G yang saling

asing (atau saling lepas, tidak saling tumpang tindih) dan G harus merupakan gabungan

dari subhimpunan-subhimpunan tersebut. Jadi partisi dari G yang ditimbulkan oleh

kelas-kelas ekivalensi dari ∼ terdiri dari koset-koset kanan dari H dalam G. Di bawah

ditunjukkan bahwa H berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya. Jadi jika G

berhingga, maka banyaknya elemen dalam G kelipatan dari banyaknya elemen dalam H.

Lema 2.2.10.

Jika H subgrup berhingga dari grup G dan a ∈ G, maka Ha = H = aH .


16

BUKTI.

Didefinisikan µ : H → Ha dengan aturan µ(h) = h ∗ a, ∀h ∈ H. Pemetaan µ terdefinisi

dengan baik sebab untuk sembarang h1, h2 ∈ H dengan h1 = h2, maka h1 ∗ a = h2 ∗ a,

yaitu µ(h1) = µ(h2). Kemudian jika µ(h1) = µ(h2), maka h1 ∗ a = h2 ∗ a, sehingga h1 = h2.

Jadi pemetaan µ injektif. Jelas pemetaan µ surjektif sebab jika x ∈ Ha, maka x = h ∗ a

untuk suatu h ∈ H. Jadi pemetaan µ bijektif, sehingga H = Ha . Dengan cara yang

sama, maka H = aH .

Terbukti Ha = H = aH . ■

Teorema 2.2.11 (Teorema Lagrange).

Jika G grup berhingga dan H ≤ G, maka order H membagi order G.

BUKTI.

Grup G adalah gabungan koset-koset kanan dari H yang saling asing, yaitu Uk

iiHaG

1=

=

di mana Hai ∩ Haj = ∅, i ≠ j. Menurut Lema 2.2.10, iHa = H untuk setiap i. Maka

G = 1Ha + 2Ha + … + kHa = H + H + … + H = k H . Jadi HG = k. ■

Akibat 2.2.12.

(i) Jika G grup berhingga, maka order a membagi order G dan Ga = eG, ∀a ∈ G.

(ii) Grup G berorder prima adalah grup siklik yang dihasilkan oleh setiap a ≠ eG ∈ G

dan hanya mempunyai subgrup trivial {eG} dan dirinya sendiri.


17

BUKTI.

(i) Dari Akibat 2.2.5, ο(a) = ⟩⟨a . Karena ⟨a⟩ subgrup, maka ⟩⟨a membagi G . Jadi

ο(a) membagi G . Kemudian dari Teorema 2.2.4(ii), Ga = eG untuk ∀a ∈ G.

(ii) Diasumsikan G berorder prima p. Pilih a ≠ eG ∈ G. Menurut (i), ο(a) = ⟩⟨a = p,

sehingga G = ⟨a⟩. Berarti G grup siklik yang dihasilkan oleh setiap a ≠ eG ∈ G.

Kemudian jika H ≤ G, maka haruslah H = 1 atau H = p (Teorema Lagrange).

Jadi subgrup-subgrup yang memenuhi hanyalah {eG} dan G. ■

Sudah terbukti jika H ≤ G, maka G = k H . Jadi bilangan k ini adalah banyaknya

koset kanan dari H sebab setiap koset kanan dari H mempunyai H elemen.

Definisi 2.2.7.

Jika G grup dan H ≤ G, maka banyaknya koset kanan dari H dalam G disebut indeks

dari H dalam G, dinotasikan (G : H).

Definisi 2.2.8.

Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal (dinotasikan N< G) jika dan hanya jika

(∀g ∈ G) (∀n ∈ N) g ∗ n ∗ g−1 ∈ N.

Teorema 2.2.13.

Misalkan G grup dan N < G. Maka NG = {Na : a ∈ G} adalah grup terhadap operasi •

yang didefinisikan dengan Na • Nb = N(a ∗ b) untuk setiap Na, Nb ∈ NG .


18

BUKTI.

Terlebih dahulu dibuktikan bahwa operasi • dalam NG terdefinisi dengan baik. Ambil

sembarang Na1, Na2, Nb1, Nb2 ∈ NG sedemikian sehingga Na1 = Na2 dan Nb1 = Nb2.

Akan ditunjukkan N(a1 ∗ b1) = N(a2 ∗ b2). Jika Na1 = Na2 dan Nb1 = Nb2, maka menurut

Lema 2.2.9, a2 ∗ a1−1 = n1 ∈ N dan b2 ∗ b1

−1 = n2 ∈ N untuk suatu n1, n2 ∈ N. Sehingga

a2 = n1 ∗ a1 dan b2 = n2 ∗ b1. Perhatikan bahwa

a2 ∗ b2 = (n1 ∗ a1) ∗ (n2 ∗ b1)

= n1 ∗ (a1 ∗ n2 ∗ a1−1) ∗ a1 ∗ b1

= n1 ∗ n3 ∗ a1 ∗ b1 (N< G)

= n4 ∗ (a1 ∗ b1).

Sehingga (a2 ∗ b2) ∗ (a1 ∗ b1)−1 = n4 ∈ N. Menurut Lema 2.2.9, N(a1 ∗ b1) = N(a2 ∗ b2).

Selanjutnya ambil sembarang Na, Nb, Nc ∈ NG . Maka Na • Nb = N(a ∗ b) ∈ NG

sebab G grup. Berarti • bersifat tertutup. Kemudian, (Na • Nb) • Nc = N(a ∗ b) • Nc =

N(a ∗ b ∗ c) = Na • N(b ∗ c) = Na • (Nb • Nc). Sehingga • bersifat asosiatif. Terdapat

identitas NeG ∈ NG sebab berlaku Na • NeG = N(a ∗ eG) = Na = N(eG ∗ a) = NeG • Na.

Akhirnya, Na • Na−1 = N(a ∗ a−1) = NeG = N(a−1 ∗ a) = Na−1 • Na. Dan ini berarti Na−1

invers dari Na.

Terbukti NG grup. ■

Perhatikan bahwa operasi pada grup NG tidak terdefinisi jika N bukan subgrup

normal dalam G. Jadi NG adalah grup jika N normal dalam G. Dengan perkataan lain,

jika N < G maka terdapat grup NG (atau selalu dapat dibentuk grup NG ).


19

Definisi 2.2.9.

Grup koset-koset kanan dari subgrup normal N dalam grup G (ditulis NG ) disebut

grup faktor.

Lema 2.2.14.

Jika G grup komutatif dan N ≤ G, maka N< G dan NG grup komutatif.

BUKTI.

Ambil sembarang a ∈ G dan n ∈ N. Maka a ∗ n ∗ a−1 = n ∗ a ∗ a−1 = n ∈ N sebab G

grup komutatif. Menurut Definisi 2.2.8, N< G. Dan karena N normal dalam G, maka

terdapat grup faktor NG . Selanjutnya ditunjukkan NG komutatif. Ambil sembarang

Na, Nb ∈ NG . Maka Na • Nb = N(a ∗ b) = N(b ∗ a) = Nb • Na. Dengan demikian

NG grup komutatif. ■

Teorema 2.2.15.

Jika G grup berhingga dan N< G, maka NG = NG .

BUKTI.

Teorema Lagrange telah membuktikan bahwa G = (G : N) N di mana (G : N) adalah

indeks dari N dalam G. Maka NG = (G : N) = NG . ■


20

2.3. Gelanggang dan Medan

Dalam grup didefinisikan sebuah operasi bersifat umum, dapat berupa operasi

penjumlahan, pengurangan, perkalian, komposisi, dan sebagainya. Jadi jika G adalah

grup terhadap operasi penjumlahan, maka operasi tersebut yang dipakai.

Dalam gelanggang didefinisikan dua buah operasi, yaitu operasi + (penjumlahan)

dan operasi ⋅ (perkalian), bahkan kombinasi dari kedua operasi tersebut. Ini membuat

gelanggang sedikit lebih sulit daripada grup, tetapi hal ini justru membuat obyek-obyek

gelanggang kurang bervariasi dibandingkan grup, dalam arti grup lebih mudah untuk

dieksplorasi.

Definisi 2.3.1.

Himpunan (R, +, ⋅) disebut gelanggang jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat

(i) (R, +) grup komutatif,

(ii) operasi ⋅ bersifat asosiatif,

(iii) kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif, yaitu

(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c) dan c ⋅ (a + b) = (c ⋅ a) + (c ⋅ b) untuk ∀a, b, c ∈ R.

Dari definisi gelanggang di atas, akan diuraikan sifat (i) di mana R adalah grup

aditif (grup dengan operasi penjumlahan) yang komutatif. Untuk setiap a, b, c ∈ R,

maka sifat asosiatif berarti (a + b) + c = a + (b + c), sifat komutatif berarti a + b = b + a,

kemudian elemen identitas adalah 0 di mana a + 0 = a, dan invers aditif dari a adalah −a

di mana (−a) + a = 0. Selanjutnya dari definisi pangkat suatu elemen, maka di sini an

adalah a + a + … + a = na.


21

Definisi 2.3.2.

Gelanggang (R, +, ⋅) disebut gelanggang komutatif jika dan hanya jika operasi ⋅ bersifat

komutatif.

Contoh 2.3.1.

Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ⋅), himpunan semua bilangan rasional (Q, +, ⋅),

himpunan semua bilangan real (R, +, ⋅), himpunan semua bilangan kompleks (C, +, ⋅)

adalah gelanggang-gelanggang komutatif.

Gelanggang R merupakan grup aditif. Jika operasi ∗ dalam Teorema 2.2.1 diganti

dengan operasi +, maka dalam R berlaku hukum kanselasi aditif, penyelesaian tunggal

dari persamaan linear aditif, ketunggalan elemen identitas, ketunggalan invers aditif,

sifat-sifat invers aditif, dan hukum eksponen aditif.

Proposisi 2.3.1.

Misalkan R gelanggang dengan elemen identitas 0 dan a, b, c ∈ R. Maka berlaku

(i) 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0.

(ii) a ⋅ (−b) = (−a) ⋅ b = −(a ⋅ b).

(iii) (−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b.

BUKTI.

(i) Menurut Definisi 2.3.1, (0 ⋅ a) + (0 ⋅ a) = (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a = (0 ⋅ a) + 0. Dengan

kanselasi aditif, maka 0 ⋅ a = 0. Dengan cara yang sama, maka a ⋅ 0 = 0.


22

(ii) (a ⋅ b) + (a ⋅ (−b)) = a ⋅ (b + (−b)) = a ⋅ 0 = 0. Jadi a ⋅ (−b) adalah invers aditif dari

a ⋅ b, yaitu −(a ⋅ b) = a ⋅ (−b). Dengan cara yang sama, maka −(a ⋅ b) = (−a) ⋅ b.

(iii) Dari (ii) dan sifat invers aditif, maka didapat (−a) ⋅ (−b) = −(a ⋅ (−b)) = −(−(a ⋅ b))

= a ⋅ b. ■

Definisi 2.3.3.

Misalkan R gelanggang dan S ⊆ R. Himpunan S disebut subgelanggang dari R jika dan

hanya jika (S, +, ⋅) gelanggang di mana + dan ⋅ adalah operasi pada R.

Teorema 2.3.2 (Uji Subgelanggang).

Jika R gelanggang dan S ⊆ R, maka S subgelanggang dari R jika dan hanya jika

(i) S ≠ ∅,

(ii) (∀a, b ∈ S) a + b ∈ S dan a ⋅ b ∈ S,

(iii) (∀a ∈ S) −a ∈ S.

BUKTI.

( ⇒ ) Definisi 2.3.3.

( ⇐ ) Karena S ⊆ R dan berlaku (ii), maka operasi + dan ⋅ bersifat asosiatif, tertutup,

dan kombinasinya bersifat distributif. Jika diambil sembarang a ∈ S, maka dari

(ii) dan (iii), a + (−a) = 0 ∈ S dan −a ∈ S. Di sini S grup aditif komutatif sebab

operasi + pada R bersifat komutatif.

Menurut Definisi 2.3.3, S subgelanggang dari R. ■


23

Definisi 2.3.4.

Elemen 1R dalam gelanggang R disebut elemen satuan jika dan hanya jika untuk setiap

a ∈ R berlaku a ⋅ 1R = 1R ⋅ a = a. Jika R mempunyai elemen satuan, maka R disebut

gelanggang dengan elemen satuan.

Jadi elemen satuan merupakan elemen identitas terhadap operasi ⋅. Jika elemen

identitas 0 adalah elemen satuan 1R, maka gelanggang R menjadi gelanggang nol {0}.

Untuk selanjutnya gelanggang R dengan elemen satuan diasumsikan bukan {0}.

Definisi 2.3.5.

Misalkan R gelanggang dengan elemen satuan 1R. Elemen u ≠ 0 dalam R disebut unit,

jika mempunyai invers multiplikatif u−1 sedemikian sehingga u−1 ⋅ u = u ⋅ u−1 = 1R. Jika

setiap elemen taknol dalam R merupakan unit, maka R disebut gelanggang pembagian.

Lema 2.3.3 (Ketunggalan Elemen Satuan dan Invers Multiplikatif).

Jika R gelanggang pembagian, maka elemen satuan tunggal. Juga invers multiplikatif

dari setiap elemen taknol dalam R.

BUKTI.

Misalkan 1R dan 1R′ adalah elemen-elemen satuan dalam R sedemikian sehingga a ⋅ 1R =

1R ⋅ a = a dan a ⋅ 1R′ = 1R′ ⋅ a = a, untuk setiap a ∈ R. Maka 1R = 1R ⋅ 1R′ = 1R′.

Kemudian ambil sembarang u ≠ 0 ∈ R. Misalkan u1−1 dan u2

−1 adalah invers-invers

multiplikatif dari u sedemikian sehingga u1−1 ⋅ u = u ⋅ u1

−1 = 1R dan u2−1 ⋅ u = u ⋅ u2

−1 =


24

1R. Karena elemen 1R tunggal, maka u1−1 = u1

−1 ⋅ 1R = u1−1 ⋅ (u ⋅ u2

−1) = (u1−1 ⋅ u) ⋅ u2

−1 =

1R ⋅ u2−1 = u2

−1.

Terbukti elemen satuan dan invers multiplikatif tunggal. ■

Definisi 2.3.6.

Misalkan R adalah gelanggang. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian

sehingga na = a + a + … + a = 0 untuk ∀a ∈ R, maka n disebut karakteristik dari R.

Jika tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n yang demikian itu, maka R dikatakan

berkarakteristik 0.

Lema 2.3.4 (Karakteristik Gelanggang dengan Elemen Satuan).

Gelanggang R dengan elemen satuan berkarakteristik n jika dan hanya jika n1R = 0.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika R berkarakteristik n, maka na = 0 untuk ∀a ∈ R. Jadi n1R = 0.

( ⇐ ) Jika diasumsikan n1R = 0, maka na = a + a + … + a = (1R + 1R + … + 1R) ⋅ a =

(n1R) ⋅ a = 0 ⋅ a = 0. ■

Selanjutnya definisi gelanggang diperluas lagi untuk mendapatkan struktur baru.

Pada gelanggang R sudah didefinisikan R adalah grup aditif komutatif dan ditambahkan

sifat asosiatif pada operasi ⋅ dan bersifat distributif (kombinasi + dan ⋅). Kemudian jika

R juga merupakan grup multiplikatif (grup dengan operasi perkalian) yang komutatif,

maka kita mempunyai struktur baru yang dinamakan medan.


25

Definisi 2.3.7.

Misalkan F adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Maka F disebut medan

jika dan hanya jika setiap elemen taknol dalam F mempunyai invers multiplikatif.

Dari definisi di atas, dapat dikatakan (dengan cara lebih baik) bahwa F adalah

medan jika dan hanya jika

(i) (F, +) grup komutatif

1. Operasi + bersifat asosiatif dan komutatif.

2. Terdapat elemen identitas 0.

3. Setiap elemen a mempunyai invers −a.

(ii) (F#, ⋅) dengan F# = F − {0} grup komutatif

1. Operasi ⋅ bersifat asosiatif dan komutatif.

2. Terdapat elemen satuan 1F.

3. Setiap elemen u mempunyai invers u−1.

(iii) Kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif.

Contoh 2.3.2.

Gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah medan. Tetapi gelanggang Z

bukan medan sebab unit-unit dalam Z hanyalah −1 dan 1.

Definisi 2.3.8.

Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 adalah elemen-elemen dalam gelanggang komutatif R sedemikian

sehingga a ⋅ b = 0, maka a dan b disebut pembagi nol.


26

Definisi 2.3.9.

Gelanggang komutatif D dengan elemen satuan disebut daerah integral jika dan hanya

jika D tidak memuat pembagi nol (berarti jika a ⋅ b = 0, maka a = 0 atau b = 0 untuk

setiap a, b ∈ D).

Contoh 2.3.3.

Gelanggang komutatif Z merupakan gelanggang dengan elemen satuan yang tidak

memuat pembagi nol, sehingga Z adalah daerah integral. Juga gelanggang-gelanggang

Q, R, dan C semuanya adalah daerah integral.

Definisi 2.3.10.

Misalkan a, b, c dalam gelanggang R dengan a ≠ 0. Hukum kanselasi multiplikatif

(disingkat kanselasi) dikatakan berlaku dalam R yaitu jika a ⋅ b = a ⋅ c, maka b = c,

demikian pula jika b ⋅ a = c ⋅ a, maka b = c.

Teorema 2.3.5.

Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah daerah integral jika dan hanya

jika dalam R berlaku kanselasi.

BUKTI.

( ⇒ ) Misalkan a ≠ 0 dan a ⋅ b = a ⋅ c. Maka (a ⋅ b) + (−(a ⋅ c)) = a ⋅ (b + (−c)) = 0.

Karena R daerah integral dan a ≠ 0, maka haruslah b + (−c) = 0, sehingga b = c.

Jadi dalam R berlaku kanselasi.


27

( ⇐ ) Akan ditunjukkan bahwa jika a ⋅ b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Jika a ≠ 0, maka

persamaan a ⋅ b = 0 = a ⋅ 0 mengakibatkan b = 0, karena diasumsikan dalam R

berlaku kanselasi. Jadi R adalah daerah integral. ■

Sudah dibuktikan bahwa dalam daerah integral berlaku kanselasi. Berikutnya akan

dibuktikan bahwa dalam medan juga berlaku kanselasi sehingga setiap medan adalah

daerah integral.

Teorema 2.3.6.

Setiap medan F adalah daerah integral.

BUKTI.

Ambil sembarang a, b, c ∈ F. Dari Definisi 2.3.7, a ≠ 0 mempunyai invers multiplikatif

a−1. Berarti jika a ⋅ b = a ⋅ c, maka b = c. Maka dari Definisi 2.3.10 dan Teorema 2.3.5,

F adalah daerah integral. ■

Teorema 2.3.7.

Jika D daerah integral, maka D berkarakteristik prima atau 0.

BUKTI.

Misalkan D berkarakteristik n ≠ 0. Jika n = 1, maka 11D = 1D ≠ 0. Ini berarti 1 bukan

karakteristik dari D (Lema 2.3.4). Akan ditunjukkan bahwa jika n1D = 0, maka n harus

prima. Perhatikan bahwa n1D = 1D + 1D + … + 1D. Andaikan n bukan prima. Maka


28

44 344 21n

DDD 1...11 +++ = 444 3444 21444 3444 21

t

DDD

s

DDD )1...11( . )1...11( ++++++ , 1 < s < n dan 1 < t < n.

Sehingga jika n1D = (s1D) ⋅ (t1D) = 0, maka s1D = 0 atau t1D = 0 sebab D daerah integral.

Ini menunjukkan bahwa D berkarakteristik s atau t. Terdapat suatu kontradiksi dengan

D berkarakteristik n. Jadi haruslah n prima. ■

2.4. Bilangan Bulat Modulo n

Hanya ada dua metode standar untuk mengonstruksikan medan, yaitu medan hasil

bagi daerah integral (misalnya, medan semua bilangan rasional adalah medan yang

dikonstruksi dari daerah integral semua bilangan bulat) dan bilangan bulat modulo

prima p (nanti akan ditunjukkan bahwa terdapat medan berhingga berorder p). Medan

hasil bagi daerah integral, yaitu medan semua anggotanya direpresentasikan sebagai

hasil bagi anggota-anggota dari daerah integral, khusus untuk mengkonstruksi medan

takhingga. Karena tulisan ini akan membahas medan Galois (medan berhingga), maka

kita akan akrab dengan bilangan bulat modulo p dalam mengoperasikan elemen-elemen

dari medan Galois.

Definisi 2.4.1.

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Bilangan-bilangan bulat a dan b dikatakan

kongruen modulo n (ditulis a ≡ b mod n) jika dan hanya jika a − b = kn, k ∈ Z.

Teorema 2.4.1.

Relasi kongruensi modulo n adalah relasi ekivalensi pada Z, untuk setiap bilangan bulat

positif n.


29

BUKTI.

Akan dibuktikan relasi kongruensi modulo n bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Ambil sembarang bilangan-bilangan bulat u, v, w.

Karena u − u = 0 = 0n, maka u ≡ u mod n. Jadi relasi bersifat refleksif. Jika u ≡ v mod n,

maka u − v = kn, k ∈ Z, sehingga v − u = −kn, −k ∈ Z. Maka v ≡ u mod n. Jadi relasi

bersifat simetris. Jika u ≡ v mod n dan v ≡ w mod n, maka u − v = rn dan v − w = sn

untuk r, s ∈ Z. Ini berarti (u − v) + (v − w) = rn + sn ⇔ u − w = (r + s)n, r + s ∈ Z,

sehingga u ≡ w mod n. Jadi relasi bersifat transitif. ■

Kelas-kelas ekivalensi dari relasi kongruensi modulo n disebut kelas kongruensi

mod n. Kelas kongruensi mod n yang memuat suatu a ∈ Z adalah

[a] = {b ∈ Z : b ≡ a mod n} = {b ∈ Z : b − a = kn untuk suatu k ∈ Z}.

Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan

bulat q dan r sedemikian sehingga a = qn + r dengan 0 ≤ r < n. Ini menunjukkan bahwa

a ≡ r mod n dan [a] = [r]. Maka bilangan bulat a kongruen modulo n dengan tepat salah

satu bilangan bulat 0, 1, 2, …, n − 1. Misalkan juga [a] = [s] dengan 0 ≤ s < n, maka [r]

= [s], sehingga r − s = kn. Karena 0 ≤ r − s < n, maka haruslah r − s = 0, yaitu r = s. Jadi

jika r ≠ s, maka [r] ≠ [s], artinya kelas-kelas kongruensi [0], [1], [2], …, [n − 1] saling

berbeda. Misalkan Zn menyatakan himpunan kelas-kelas kongruensi mod n, maka

Zn = {[0], [1], [2], …, [n − 1]}

di mana setiap bilangan bulat terdapat dalam tepat satu kelas kongruensi di atas. Dengan

demikian untuk bilangan bulat positif n yang tetap, maka terdapat n kelas kongruensi

mod n. Selanjutnya Zn disebut himpunan semua bilangan bulat modulo n.


30

Contoh 2.4.1.

Untuk n = 3, maka terdapat 3 kelas kongruensi mod 3, yaitu

[0] = [−9] = [30] = [18] = {…, −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, …} ⊆ Z

[1] = [−2] = [−8] = [28] = {…, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, …} ⊆ Z

[2] = [11] = [47] = [−1] = {…, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, …} ⊆ Z

sehingga Z3 = {[0], [1], [2]}.

Teorema 2.4.2.

Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka Zn adalah gelanggang komutatif dengan

elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan

[a] + [b] = [a + b] dan [a] ⋅ [b] = [ab]

untuk setiap [a], [b] ∈ Zn.

BUKTI.

Ditunjukkan dahulu kedua operasi terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang [a1], [a2],

[b1], [b2] ∈ Zn dengan [a1] = [a2] dan [b1] = [b2]. Akan ditunjukkan [a1 + b1] = [a2 + b2]

dan [a1b1] = [a2b2]. Karena [a1] = [a2] dan [b1] = [b2], maka

a1 = a2 + sn dan b1 = b2 + tn untuk suatu s, t ∈ Z.

Sekarang, a1 + b1 = a2 + s n + b2 + tn = a2 + b2 + (s + t)n = a2 + b2 + un, u ∈ Z, sehingga

(a1 + b1) ≡ (a2 + b2) mod n, yaitu [a1 + b1] = [a2 + b2].

Kemudian, a1b1 = (a2 + sn) (b2 + tn) = (a2b2) + (a2tn) + (b2sn) + (tnsn) = (a2b2) + (a2t +

b2s + tsn)n = (a2b2) + vn untuk suatu v ∈ Z. Maka (a1b1) ≡ (a2b2) mod n, yaitu [a1b1] =

[a2b2]. Selanjutnya dibuktikan Zn adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.


31

Ambil sembarang [a], [b], [c] ∈ Zn. Jelas kedua operasi bersifat tertutup. Perhatikan

bahwa ([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [a + b + c] = [a] + ([b] + [c]) dan ([a] ⋅ [b]) ⋅ [c]

= [ab] ⋅ [c] = [abc] = [a] ⋅ ([b] ⋅ [c]). Berarti kedua operasi bersifat asosiatif. Kedua

operasi bersifat komutatif, yaitu [a] + [b] = [a + b] = [b + a] = [a] + [b] dan [a] ⋅ [b] =

[ab] = [ba] = [b] ⋅ [a]. Kombinasi kedua operasi bersifat distributif, yaitu ([a] + [b]) ⋅ [c]

= [a + b] ⋅ [c] = [(a + b)c] = [ac + bc] = [ac] + [bc] = ([a] ⋅ [c]) + ([b] ⋅ [c]) dan [c] ⋅ ([a]

+ [b]) = [c] ⋅ [a + b] = [c(a + b)] = [ca + cb] = [ca] + [cb] = ([c] ⋅ [a]) + ([c] ⋅ [b]).

Elemen identitas adalah [0] sebab [a] + [0] = [a + 0] = [a]. Invers aditif dari [a] adalah

[−a] sebab [−a] = [0] + [−a] = [n] + [−a] = [n − a] sehingga [a] + [−a] = [a] + [n − a] =

[n] = [0]. Elemen satuan adalah [1] sebab [a] ⋅ [1] = [a1] = [a].

Terbukti Zn adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. ■

Di atas sudah dibuktikan bahwa Zn gelanggang. Gelanggang Z6 = {[0], [1], [2],

[3], [4], [5]} bukan medan sebab [2] dan [3] adalah pembagi nol, yaitu [2] ⋅ [3] = [0].

Mudah dipahami bahwa Z2, Z3, Z5, Z7 tidak mempunyai pembagi nol. Secara umum,

teorema berikut membuktikan bahwa Zn adalah medan untuk setiap bilangan prima n.

Teorema 2.4.3.

Zn adalah medan jika dan hanya jika n prima.

BUKTI.

( ⇒ ) Diasumsikan Zn medan dan akan dibuktikan n prima. Andaikan n bukan prima.

Maka n = st di mana 1 < s < n dan 1 < t < n. Ini berarti [st] = [s] ⋅ [t] = [n] = [0].


32

Padahal [s] ≠ [0] dan [t] ≠ [0], berarti [s] dan [t] adalah pembagi nol dalam Zn.

Kontradiksi dengan Zn medan. Jadi haruslah n prima.

( ⇐ ) Ambil sembarang [a] ≠ [0] dalam Zn dan n prima. Akan ditunjukkan bahwa [a]

mempunyai invers multiplikatif. Karena n prima dan n bukan faktor dari a, maka

faktor persekutuan terbesar dari n dan a adalah 1. Sehingga dari sifat bilangan

bulat, 1 adalah kombinasi linear dari n dan a. Jadi terdapat bilangan bulat r dan s

sedemikian sehingga 1 = ra + sn. Berarti 1 ≡ ra mod n. Jadi pada bilangan bulat

modulo prima n, [1] = [ra] = [r] ⋅ [a]. Jadi jika n prima, maka [a] ≠ [0] dalam Zn

mempunyai invers multiplikatif [r], sehingga Zn medan. ■

2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma

Untuk mengkonstruksi medan nantinya, diperlukan suatu subgelanggang khusus

(menjadi salah satu kunci dari tujuan yang hendak dicapai) yang dinamakan ideal.

Definisi 2.5.1.

Misalkan R adalah gelanggang. Subgelanggang I dari R disebut ideal jika dan hanya jika

r ⋅ a ∈ I dan a ⋅ r ∈ I untuk ∀a ∈ I, ∀r ∈ R.

Teorema 2.5.1 (Uji Ideal).

Misalkan R gelanggang dan I ⊆ R. Maka I ideal dalam R jika dan hanya jika

(i) I ≠ ∅,

(ii) (∀a1, a2 ∈ I) a1 + (−a2) ∈ I,

(iii) (∀a ∈ I) (∀r ∈ R) r ⋅ a ∈ I dan a ⋅ r ∈ I.


33

BUKTI.

( ⇒ ) Definisi 2.5.1.

( ⇐ ) Ambil sembarang a, b ∈ I. Maka a + (−a) = 0 sebab R gelanggang dan I ⊆ R.

Berarti dari (ii), 0 ∈ I, sehingga I ≠ ∅. Karena 0 ∈ I, maka dari (ii), 0 + (−a) =

−a ∈ I. Dan a + (−(−b)) = a + b ∈ I. Kemudian dari (iii), a ⋅ b ∈ I. Menurut

Teorema 2.3.2, I subgelanggang dari R. Dari (iii), I ideal dalam R. ■

Teorema 2.5.2.

Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, maka (a) = {r ⋅ a : r ∈ R} ideal

dalam R, untuk ∀a ∈ R.

BUKTI.

Karena 1R ∈ R dan a = 1R ⋅ a, maka a ∈ (a), sehingga (a) ≠ ∅. Jika r1 ⋅ a, r2 ⋅ a ∈ (a),

maka (r1 ⋅ a) + (−(r2 ⋅ a)) = (r1 + (−r2)) ⋅ a ∈ (a) untuk suatu r1, r2 ∈ R. Jika diambil

sembarang r ∈ R, maka r ⋅ (r1 ⋅ a) = (r ⋅ r1) ⋅ a ∈ (a) dan (r1 ⋅ a) ⋅ r = (r1 ⋅ r) ⋅ a ∈ (a)

sebab R gelanggang komutatif. Menurut Teorema 2.5.1, (a) ideal dalam R. ■

Definisi 2.5.2.

Ideal (a) = {a ⋅ r : r ∈ R} dari gelanggang komutatif R dengan elemen satuan disebut

ideal utama yang dihasilkan oleh a ∈ R.

Contoh 2.5.1.

Untuk n ∈ Z, maka nZ = {nz : z ∈ Z} = (n) adalah ideal utama dalam gelanggang Z.


34

Teorema 2.5.3.

Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah medan jika dan hanya jika ideal

dalam R hanyalah {0} dan R.

BUKTI.

( ⇒ ) Jelas R mempunyai ideal trivial {0}. Misalkan I ideal taktrivial dalam R. Akan

ditunjukkan I = R. Pilih a ≠ 0 ∈ I. Karena diasumsikan R medan, maka untuk

setiap x ∈ R, x = a ⋅ (a−1 ⋅ x) ∈ I, sehingga R ⊆ I. Karena I ⊆ R, maka I = R.

Terbukti ideal dalam R hanyalah {0} dan R.

( ⇐ ) Ambil sembarang a ≠ 0 dalam R. Akan ditunjukkan bahwa a mempunyai invers

multiplikatif. Menurut Teorema 2.5.2, (a) ideal dalam R. Karena a ∈ (a), maka

(a) ≠ {0}. Karena diasumsikan ideal dalam R hanya {0} dan R, maka (a) = R,

sehingga 1R ∈ (a), yaitu 1R = a ⋅ b. Jadi ∃b ∈ R sedemikian sehingga a ⋅ b = 1R.

Terbukti R medan. ■

Definisi 2.5.3.

Jika R gelanggang komutatif, maka ideal I dalam R disebut ideal prima jika dan hanya

jika I ≠ R dan jika a ⋅ b ∈ I, maka a ∈ I atau b ∈ I, untuk ∀a, b ∈ R.

Definisi 2.5.4.

Jika R gelanggang, maka ideal M ≠ R disebut ideal maksimal jika dan hanya jika tidak

terdapat ideal sejati dari R yang memuat M.


35

Jika I ideal dalam gelanggang R, maka I subgrup normal dalam grup aditif

komutatif R, sehingga dapat dibentuk grup faktor IR dengan operasi penjumlahan dan

bersifat komutatif (Lema 2.2.14). Elemen-elemen dalam IR adalah koset-koset kanan

dari I dalam R yang berbentuk I + r dengan r ∈ R. Teorema berikut ini menunjukkan

bahwa IR adalah gelanggang. Seperti halnya grup faktor, maka syarat supaya IR

gelanggang adalah I ideal dalam R. Dengan perkataan lain, jika I ideal dalam R, maka

IR gelanggang.

Teorema 2.5.4.

Jika R gelanggang dan I ideal dalam R, maka IR = {I + r : r ∈ R} adalah gelanggang

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan

(I + a) + (I + b) = I + (a + b)

(I + a) ⋅ (I + b) = I + (a ⋅ b)

untuk setiap I + a, I + b ∈ IR .

BUKTI.

Sudah ditunjukkan IR grup komutatif terhadap operasi +. Tinggal ditunjukkan operasi

⋅ bersifat tertutup dan asosiatif, dan berlaku hukum distributif. Ditunjukkan dahulu

operasi ⋅ pada IR terdefinisi dengan baik, yaitu jika I + a1 = I + a2 dan I + b1 = I + b2,

maka I + (a1 ⋅ b1) = I + (a2 ⋅ b2). Jika I + a1 = I + a2 dan I + b1 = I + b2, maka a1 = n1 + a2

dan b1 = n2 + b2 untuk suatu n1, n2 ∈ I. Sekarang, a1 ⋅ b1 = (n1 + a2) ⋅ (n2 + b2) = (n1 ⋅ n2)

+ (n1 ⋅ b2) + (a2 ⋅ n2) + (a2 ⋅ b2) = n3 + (a2 ⋅ b2) di mana n3 = (n1 ⋅ n2) + (n1 ⋅ b2) + (a2 ⋅ n2).


36

Maka (a1 ⋅ b1) + (−(a2 ⋅ b2)) = n3 ∈ I sebab I ideal. Karena R grup aditif, maka menurut

Lema 2.2.9, I + (a1 ⋅ b1) = I + (a2 ⋅ b2). Ambil sembarang I + a, I + b, I + c ∈ IR . Jelas

di sini operasi ⋅ pada IR bersifat tertutup. Dan operasi ⋅ pada IR bersifat asosiatif,

yaitu ((I + a) ⋅ (I + b)) ⋅ (I + c) = (I + (a ⋅ b)) ⋅ (I + c) = I + ((a ⋅ b) ⋅ c) = I + (a ⋅ (b ⋅ c)) =

(I + a) ⋅ (I + (b ⋅ c)) = (I + a) ⋅ ((I + b) ⋅ (I + c)). Selanjutnya, ((I + a) + (I + b)) ⋅ (I + c) =

(I + (a + b)) ⋅ (I + c) = I + ((a + b) ⋅ c) = I + ((a ⋅ c) + (b ⋅ c)) = (I + (a ⋅ c)) + (I + (b ⋅ c))

= ((I + a) ⋅ (I + c)) + ((I + b) ⋅ (I + c)). Secara analog, maka (I + c) ⋅ ((I + a) + (I + b)) =

((I + c) ⋅ (I + a)) + ((I + c) ⋅ (I + b)), sehingga dalam IR berlaku hukum distributif. ■

Definisi 2.5.5.

Gelanggang IR = {I + r : r ∈ R} disebut gelanggang faktor.

Lema 2.5.5.

Jika R gelanggang komutatif dan I ideal dalam R, maka IR komutatif.

BUKTI.

Ambil sembarang I + r1, I + r2 ∈ IR untuk suatu r1, r2 ∈ R. Didapat (I + r1) ⋅ (I + r2) =

I + (r1 ⋅ r2) = I + (r2 ⋅ r1) = (I + r2) ⋅ (I + r1). Jadi IR komutatif. ■

Teorema 2.5.6.

Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan M ideal dalam R, maka M ideal

maksimal jika dan hanya jika MR medan.


37

BUKTI.

( ⇒ ) Ambil sembarang M + a ∈ MR dengan M + a ≠ M + 0. Maka a ∉ M.

Kemudian ditunjukkan bahwa M + a mempunyai invers multiplikatif. Misalkan

N = {(r ⋅ a) + m : r ∈ R dan m ∈ M}. Akan dibuktikan bahwa N ideal dalam R.

Karena 0 = 0 ⋅ a + 0 ∈ N, maka N ≠ ∅. Jika (r1 ⋅ a) + m1, (r2 ⋅ a) + m2 ∈ N, maka

((r1 ⋅ a) + m1) + (−((r2 ⋅ a) + m2)) = ((r1 + (−r2)) ⋅ a) + (m1 + (−m2)) ∈ N untuk

suatu r1, r2 ∈ R dan m1, m2 ∈ M. Untuk sembarang r ∈ R, maka r ⋅ ((r1 ⋅ a) + m1)

= ((r ⋅ r1) ⋅ a) + (r ⋅ m1) ∈ N. Dan karena R komutatif, maka ((r1 ⋅ a) + m1) ⋅ r =

((r1 ⋅ r) ⋅ a) + (m1 ⋅ r) ∈ N. Jadi N ideal dalam R (Teorema 2.5.1). Perhatikan

bahwa untuk ∀m ∈ M, (0 ⋅ a) + m = m ∈ N. Lagipula a ∉ M tetapi (1R ⋅ a) + 0 =

a ∈ N. Ini menunjukkan bahwa M ⊂ N. Padahal M ideal maksimal dalam R,

maka haruslah N = R. Jadi 1R ∈ N, sehingga 1R = (r ⋅ a) + m. Sekarang, M + 1R =

M + ((r ⋅ a) + m) = (M + (r ⋅ a)) + (M + m) = M + (r ⋅ a) = (M + r) ⋅ (M + a). Ini

berarti ∃M + r ∈ MR sedemikian sehingga (M + r) ⋅ (M + a) = M + 1R.

Terbukti MR medan.

( ⇐ ) Diasumsikan MR medan, akan ditunjukkan M ideal maksimal. Andaikan M

bukan ideal maksimal. Maka terdapat ideal N sedemikian sehingga M ⊂ N ⊂ R.

Jelas M ideal dalam N, sehingga dapat dibentuk gelanggang faktor MN . Akan

dibuktikan MN ideal dalam MR . Jika M + n ∈ MN dengan n ∈ N, maka

sembarang M + r ∈ MR dengan r ∈ R, (M + r) ⋅ (M + n) = M + (r ⋅ n) ∈ MN

sebab N ideal dalam R. Juga (M + n) ⋅ (M + r) ∈ MN . Jadi MN ideal dalam

MR . Dengan demikian {M + 0} ⊂ MN ⊂ MR . Padahal menurut Teorema


38

2.5.3, medan MR hanya memuat ideal-ideal {M + 0} dan MR . Timbul suatu

kontradiksi. Jadi haruslah M ideal maksimal. ■

Teorema 2.5.7.

Ideal sejati I dalam gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah ideal prima

jika dan hanya jika IR daerah integral.

BUKTI.

( ⇒ ) Sudah dibuktikan bahwa jika I ideal dalam R, maka IR gelanggang komutatif.

Akan ditunjukkan bahwa jika I ideal prima, maka IR daerah integral. Ambil

sembarang I + a, I + b ∈ IR . Jika (I + a) ⋅ (I + b) = I + (a ⋅ b) = I + 0, maka

haruslah a ⋅ b ∈ I. Karena I ideal prima, maka a ∈ I atau b ∈ I. Ini menunjukkan

I + a = I + 0 atau I + b = I + 0.

Terbukti IR daerah integral.

( ⇐ ) Ambil sembarang r1, r2 ∈ R. Jika r1 ⋅ r2 ∈ I, maka I + (r1 ⋅ r2) = I + 0. Karena

IR adalah daerah integral, maka jika I + (r1 ⋅ r2) = (I + r1) ⋅ (I + r2) = I + 0,

haruslah I + r1 = I + 0 atau I + r2 = I + 0. Ini berarti r1 ∈ I atau r2 ∈ I.

Terbukti I ideal prima. ■

Teorema 2.5.8.

Setiap ideal maksimal I dalam gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah

ideal prima.


39

BUKTI.

Jika I ideal maksimal dalam R, maka I ≠ R. Dari Teorema 2.5.6, IR medan. Karena

medan adalah daerah integral, maka dari Teorema 2.5.7, I ideal prima. ■

Berikutnya didefinisikan pemetaan gelanggang yang merupakan homomorfisma.

Definisi 2.5.6.

Misalkan R dan S adalah gelanggang-gelanggang. Maka pemetaan θ : R → S disebut

homomorfisma gelanggang jika dan hanya jika

θ(a + b) = θ(a) + θ(b) dan θ(a ⋅ b) = θ(a) ⋅ θ(b)

untuk setiap a, b ∈ R.

Contoh 2.5.2.

Didefinisikan θ : Z → Zn dengan aturan θ(a) = [a] untuk setiap a ∈ Z. Maka θ adalah

pemetaan dari Z ke Zn. Sekarang, θ(a + b) = [a + b] = [a] + [b] = θ(a) + θ(b).

Kemudian, θ(ab) = [ab] = [a] ⋅ [b] = θ(a) ⋅ θ(b). Maka pemetaan θ : Z → Zn adalah

homomorfisma gelanggang.

Definisi 2.5.7.

Misalkan θ : R → S homomorfisma gelanggang. Maka kernel θ (ditulis Ker(θ)) adalah

himpunan elemen-elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ(r) = 0S. Sedangkan image θ

(bayangan homomorfisma dan ditulis Im(θ)) adalah himpunan elemen-elemen s ∈ S

sedemikian sehingga s = θ(r) untuk suatu r ∈ R.


40

Proposisi 2.5.9.

Jika R, S adalah gelanggang-gelanggang dan θ : R → S homomorfisma, maka

(i) θ(0R) = 0S dan θ(−r) = −θ(r) untuk ∀r ∈ R.

(ii) Ker(θ) = {r ∈ R : θ(r) = 0S} ideal dalam R.

(iii) Im(θ) = {s ∈ S : s = θ(r), r ∈ R} subgelanggang dari S.

(iv) θ injektif jika dan hanya jika Ker(θ) = {0R}.

BUKTI.

(i) Karena θ homomorfisma, maka θ(0R) + θ(0R) = θ(0R + 0R) = θ(0R) = θ(0R) + 0S.

Dengan kanselasi aditif, maka θ(0R) = 0S. Kemudian untuk sembarang r ∈ R, maka

θ(−r) + θ(r) = θ(−r + r) = θ(0R) = 0S = −θ(r) + θ(r) sebab S gelanggang. Dengan

kanselasi aditif, maka θ(−r) = −θ(r).

(ii) Ker(θ) ≠ ∅ sebab 0R ∈ Ker(θ). Ambil sembarang a, b ∈ Ker(θ). Maka θ(a) = 0S

dan θ(b) = 0S, sehingga θ(a + (−b)) = θ(a) + θ(−b) = θ(a) + (−θ(b)) = 0S + 0S = 0S.

Ini berarti a + (−b) ∈ Ker(θ). Kemudian jika r ∈ R, maka θ(r ⋅ a) = θ(r) ⋅ θ(a) =

θ(r) ⋅ 0S = 0S dan θ(a ⋅ r) = θ(a) ⋅ θ(r) = 0S ⋅ θ(r) = 0S, sehingga r ⋅ a ∈ Ker(θ) dan

a ⋅ r ∈ Ker(θ). Menurut Teorema 2.5.1, Ker(θ) ideal dalam R.

(iii) Jelas Im(θ) ≠ ∅ sebab 0S ∈ Im(θ) menurut (i). Ambil sembarang s1, s2 ∈ Im(θ)

sedemikian sehingga s1 = θ(r1) dan s2 = θ(r2), untuk suatu r1, r2 ∈ R. Maka s1 + s2

= θ(r1) + θ(r2) = θ(r1 + r2) ∈ Im(θ) dan s1 ⋅ s2 = θ(r1) ⋅ θ(r2) = θ(r1 ⋅ r2) ∈ Im(θ)

sebab θ homomorfisma dan R gelanggang. Selanjutnya menurut (i), −s1 = −θ(r1) =

θ(−r1) ∈ Im(θ). Menurut Teorema 2.3.2, Im(θ) subgelanggang dari S.


41

(iv) ( ⇒ ) Jika a ∈ Ker(θ), maka θ(a) = 0S = θ(0R). Karena θ injektif, maka a = 0R,

sehingga Ker(θ) = {0R}.

( ⇐ ) Ambil sembarang r1, r2 ∈ R sedemikian sehingga θ(r1) = θ(r2). Maka 0S =

θ(r1) + (−θ(r2)) = θ(r1) + θ(−r2) = θ(r1 + (−r2)). Jadi r1 + (−r2) ∈ Ker(θ).

Padahal Ker(θ) = {0R}, ini berarti haruslah r1 + (−r2) = 0R, yaitu r1 = r2.

Terbukti θ injektif. ■

Pada Proposisi 2.5.9 telah dibuktikan bahwa jika θ : R → S homomorfisma

gelanggang, maka Im(θ) subgelanggang dari S, dan Ker(θ) ideal dalam R. Selanjutnya

teorema berikut membuktikan bahwa jika I ideal dalam gelanggang R, maka terdapat

suatu pemetaan α : R → IR yang merupakan homomorfisma surjektif sedemikian

sehingga Ker(α) = I. Pemetaan ini disebut homomorfisma kanonik.

Teorema 2.5.10.

Misalkan R gelanggang dan I ideal dalam R. Maka pemetaan α : R → IR dengan

aturan α(r) = I + r untuk setiap r ∈ R, adalah homomorfisma surjektif dan Ker(α) = I.

BUKTI.

Ditunjukkan dahulu pemetaan terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang r1, r2 ∈ R

sedemikian sehingga r1 = r2. Akan ditunjukkan α(r1) = α(r2). Karena r1 ∈ I + r1, maka

r2 = r1 = n + r1 untuk suatu n ∈ I. Di sini r2 + (−r1) = n ∈ I. Dan karena R grup aditif,

maka menurut Lema 2.2.9, I + r1 = I + r2, yaitu α(r1) = α(r2). Kemudian akan

ditunjukkan α homomorfisma surjektif. Perhatikan bahwa α(r1 + r2) = I + (r1 + r2) = (I +


42

r1) + (I + r2) = α(r1) + α(r2) dan α(r1 ⋅ r2) = I + (r1 ⋅ r2) = (I + r1) ⋅ (I + r2) = α(r1) ⋅ α(r2),

sehingga α homomorfisma. Jelas α surjektif sebab jika diambil sembarang s ∈ IR ,

maka s = I + r dengan r ∈ R, dan α(r) = I + r = s. Selanjutnya ditunjukkan Ker(α) = I.

Ker(α) = {r ∈ R : α(r) = I + 0} = {r ∈ R : I + r = I + 0} = {r ∈ R : r ∈ I} = I. ■

Definisi 2.5.8.

Jika θ : R → S homomorfisma gelanggang yang bijektif, maka θ disebut isomorfisma

gelanggang. Selanjutnya R dan S dikatakan isomorfis (ditulis R ≅ S) jika terdapat suatu

isomorfisma dari R ke S.

Homomorfisma gelanggang disebut juga pemetaan yang mempertahankan operasi,

artinya bayangan dari jumlahan adalah jumlahan bayangan, dan bayangan dari perkalian

adalah perkalian bayangan. Beberapa sifat dari homomorfisma (Proposisi 2.5.9) adalah

elemen 0R dipetakan ke elemen 0S (analog, 1R dipetakan ke 1S jika R dan S mempunyai

elemen satuan), invers aditif dipetakan ke invers aditif dari bayangan, dan sebagainya.

Sedangkan isomorfisma gelanggang, selain mempertahankan operasi (karena

homomorfisma), disebut juga pemetaan yang mempertahankan sifat (struktur aljabar)

dari R dan S yang saling isomorfis. Dari definisi isomorfisma, jika R dan S isomorfis

maka R = S . Proposisi berikut menunjukkan beberapa sifat lain dari isomorfisma.

Proposisi 2.5.11.

Misalkan θ : R → S isomorfisma gelanggang.

(i) Jika R mempunyai elemen satuan, maka S mempunyai elemen satuan.


43

(ii) Jika R komutatif, maka S komutatif.

(iii) Jika R medan, maka S medan.

BUKTI.

(i) Ambil sembarang θ(r) ∈ S untuk suatu r ∈ R. Karena θ adalah isomorfisma dan R

mempunyai elemen satuan 1R, maka θ(r) = θ(r ⋅ 1R) = θ(r) ⋅ θ(1R). Dengan cara

yang sama, θ(r) = θ(1R) ⋅ θ(r). Jadi θ(1R) = 1S elemen satuan dalam S.

(ii) Jika θ(r1), θ(r2) ∈ S untuk suatu r1, r2 ∈ R, maka θ(r1) ⋅ θ(r2) = θ(r1 ⋅ r2) = θ(r2 ⋅ r1)

= θ(r2) ⋅ θ(r1) sebab R komutatif. Jadi S juga komutatif.

(iii) Karena R medan, maka untuk ∀a ≠ 0R ∈ R mempunyai invers multiplikatif b ∈ R

sedemikian sehingga a ⋅ b = 1R. Karena θ adalah isomorfisma, maka θ(a) ⋅ θ(b) =

θ(a ⋅ b) = θ(1R) = 1S. Ini berarti (∀θ(a) ≠ 0S ∈ S) (∃θ(b) ∈ S) θ(a) ⋅ θ(b) = 1S.

Dengan demikian S juga medan. ■

Jika R dan S isomorfis, maka semua sifat yang berlaku pada R berlaku pula pada S,

demikian juga sebaliknya. Teorema berikut membuktikan bahwa isomorfisma adalah

relasi ekivalensi pada himpunan semua gelanggang, sehingga isomorfisma membagi

himpunan semua gelanggang ke dalam kelas-kelas ekivalensi, di mana gelanggang-

gelanggang yang saling isomorfis berada dalam kelas yang sama dan mempunyai

struktur aljabar yang sama.

Teorema 2.5.12.

Isomorfisma gelanggang adalah relasi ekivalensi pada himpunan semua gelanggang.


44

BUKTI.

Jelas R ≅ R sebab pemetaan identitas ι : R → R adalah homomorfisma yang bijektif,

sehingga ≅ refleksif. Jika R ≅ S, maka terdapat θ : R → S yang merupakan isomorfisma

gelanggang. Ini berarti θ−1 : S → R bijektif. Ambil sembarang a, b ∈ S sedemikian

sehingga θ−1(a) = x dan θ−1(b) = y. Maka a = θ(x) dan b = θ(y), sehingga a + b = θ(x) +

θ(y) = θ(x + y) dan a ⋅ b = θ(x) ⋅ θ(y) = θ(x ⋅ y). Ini berarti x + y = θ−1(a + b) dan x ⋅ y =

θ−1(a ⋅ b). Perhatikan bahwa θ−1(a + b) = x + y = θ−1(a) + θ−1(b) dan θ−1(a ⋅ b) = x ⋅ y =

θ−1(a) ⋅ θ−1(b), sehingga θ−1 homomorfisma. Jadi S ≅ R, sehingga ≅ simetris. Kemudian,

jika R ≅ S dan S ≅ T, maka terdapat isomorfisma α : R → S dan β : S → T. Dengan

demikian (β o α) : R → T bijektif. Pemetaan β o α adalah homomorfisma sebab untuk

sembarang r, s ∈ R, maka (β o α) (r + s) = β(α(r + s)) = β(α(r) + α(s)) = β(α(r)) +

β(α(s)) = (β o α) (r) + (β o α) (s) dan (β o α) (r ⋅ s) = β(α(r ⋅ s)) = β(α(r) ⋅ α(s)) =

β(α(r)) ⋅ β(α(s)) = (β o α) (r) ⋅ (β o α) (s). Jadi R ≅ T, sehingga ≅ transitif.

Terbukti ≅ adalah relasi ekivalensi. ■

Sudah dibuktikan pada Teorema 2.5.10 bahwa setiap gelanggang faktor dari

gelanggang R merupakan bayangan homomorfis dari R. Selanjutnya teorema berikut

membuktikan bahwa setiap bayangan homomorfis dari R isomorfis dengan suatu

gelanggang faktor dari R, sehingga setiap bayangan homomorfis dari R merupakan

gelanggang faktor dari R.

Teorema 2.5.13 (Teorema Isomorfisma pada Gelanggang).

Jika θ : R → S homomorfisma gelanggang dan Ker(θ) = I, maka IR ≅ Im(θ).


45

BUKTI.

Didefinisikan α : IR → Im(θ) dengan aturan α(I + r) = θ(r), ∀I + r ∈ IR , r ∈ R.

Ditunjukkan terlebih dahulu pemetaan terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang I + r1,

I + r2 ∈ IR sedemikian sehingga I + r1 = I + r2. Maka r1 = n + r2 untuk suatu n ∈ I.

Dan α(I + r1) = θ(r1) = θ(n + r2) = θ(n) + θ(r2) = 0S + θ(r2) = θ(r2) = α(I + r2) sebab θ

homomorfisma dan n ∈ Ker(θ). Jadi jika I + r1 = I + r2, maka α(I + r1) = α(I + r2).

Pemetaan α homomorfisma sebab α((I + r1) + (I + r2)) = α(I + (r1 + r2)) = θ(r1 + r2) =

θ(r1) + θ(r2) = α(I + r1) + α(I + r2) dan α((I + r1) ⋅ (I + r2)) = α(I + (r1 ⋅ r2)) = θ(r1 ⋅ r2) =

θ(r1) ⋅ θ(r2) = α(I + r1) ⋅ α(I + r2). Jelas α surjektif sebab jika s ∈ Im(θ), maka s = θ(r)

untuk r ∈ R, yang berarti terdapat I + r ∈ IR dan α(I + r) = θ(r) = s. Kemudian untuk

membuktikan α pemetaan yang injektif, ekivalen dengan menunjukkan bahwa Ker(α) =

{I + 0R} (Proposisi 2.5.9(iv)).

Di sini didapat bahwa Ker(α) = {I + r ∈ IR : α(I + r) = 0S} = {I + r ∈ IR : θ(r) = 0S}

= {I + r ∈ IR : r ∈ Ker(θ)} = {I + r ∈ IR : r ∈ I} = {I + r ∈ IR : I + r = I + 0R} =

{I + 0R}. ■

Pada Contoh 2.5.2 sebelumnya, telah diperlihatkan bahwa pemetaan θ : Z → Zn

adalah homomorfisma. Cukup jelas di sini bahwa θ surjektif, sehingga Im(θ) = Zn.

Kemudian, Ker(θ) = {z ∈ Z : θ(z) = [0]} = {z ∈ Z : [z] = [0]} = {k ∈ Z : z ≡ 0 mod n} =

{z ∈ Z : z = kn, k ∈ Z} = nZ = (n). Selanjutnya dengan menggunakan Teorema

Isomorfisma di atas, maka )(nZ ≅ Im(θ) = Zn. Pada kenyataannya dapat dibuktikan

bahwa )(nZ = Zn.


46

Teorema 2.5.14.

Jika daerah integral D berkarakteristik prima p, maka D memuat subgelanggang yang

isomorfis dengan Zp. Jika D berkarakteristik 0, maka D memuat subgelanggang yang

isomorfis dengan Z.

BUKTI.

Didefinisikan pemetaan θ : Z → D dengan aturan θ(n) = n1D untuk setiap n ∈ Z.

Jelas aturan pemetaan terdefinisi dengan baik sebab jika m = n, maka m1D = n1D, yaitu

θ(m) = θ(n) untuk m, n ∈ Z. Pemetaan θ homomorfisma sebab θ(m + n) = (m + n)1D =

m1D + n1D = θ(m) + θ(n) dan θ(mn) = (mn)1D = (m1D) (n1D) = θ(m) θ(n). Perhatikan

bahwa Ker(θ) = {n ∈ Z : θ(n) = 0} = {n ∈ Z : n1D = 0}. Jika D berkarakteristik p, yaitu

p1D = 0, maka Ker(θ) = {n ∈ Z : n = kp, k ∈ Z} = (p). Menurut Teorema Isomorfisma,

Im(θ) ≅ )( pZ ≅ Zp. Ini berarti D memuat subgelanggang yang isomorfis dengan Zp.

Jika D berkarakteristik 0, maka Ker(θ) = {0}. Menurut Proposisi 2.5.9(iv), θ injektif,

sehingga Im(θ) ≅ Z. Jadi D memuat subgelanggang yang isomorfis dengan Z. ■

Teorema 2.5.15.

Jika medan F berkarakteristik prima p, maka F memuat submedan yang isomorfis

dengan Zp.

BUKTI.

Setiap medan F adalah daerah integral. Dari Teorema 2.5.14, F memuat submedan yang

isomorfis dengan Zp (sebab Zp medan dan isomorfisma adalah relasi ekivalensi). ■


47

Sedangkan jika medan F berkarakteristik 0, maka F memuat daerah integral B

yang isomorfis dengan daerah integral Z. Menurut Teorema Medan Hasil Bagi Daerah

Integral (pembuktiannya tidak diberikan di sini), F memuat dengan tunggal submedan

(anggota-anggotanya direpresentasikan sebagai hasil bagi anggota-anggota dari B) yang

isomorfis dengan medan Q. Jadi medan berkarakteristik 0 memuat submedan yang

isomorfis dengan Q.

Definisi 2.5.9.

Medan-medan Zp dan Q disebut medan prima. Submedan dari medan F yang isomorfis

dengan Zp atau Q disebut submedan prima dari F.

2.6. Polinomial

Polinomial (suku banyak) memegang peranan penting dalam mempelajari medan.

Seperti halnya himpunan, polinomial mudah untuk dipahami tetapi sulit untuk

didefinisikan dengan tepat. Dalam kalkulus yang banyak bekerja dengan fungsi,

polinomial f(x) di kenal sebagai fungsi bernilai real, dengan x adalah bilangan real.

Sebagai contoh, f(x) = 3x2 + 1 dikenal sebagai fungsi bernilai real dalam x di mana

koefisien-koefisien 3 dan 1 adalah bilangan-bilangan real. Jadi polinomial f(x) adalah

sebuah fungsi dari R ke R.

Di atas adalah sebuah contoh polinomial. Misalkan polinomial lain g(x) = x + 5,

maka f(x) + g(x) = 3x2 + x + 6, dan katakanlah hasil yang didapat barusan adalah

polinomial lainnya h(x). Demikian juga f(x) g(x) = 3x3 + 15x2 + x + 5 adalah polinomial,

katakanlah k(x). Jadi dapat dikatakan bahwa f(x), g(x), h(x), k(x) adalah anggota-anggota

dari himpunan polinomial-polinomial.


48

Dalam tradisi aljabar abstrak, biasanya kita mengijinkan polinomial f(x) dengan

koefisien-koefisien bilangan real juga berlaku untuk sembarang gelanggang R. Untuk

hal tersebut, hanya dipandang pada koefisien-koefisien dan memperlakukan x hanya

sebagai simbol taktentu (indeterminate). Jadi yang merupakan anggota dari R adalah

koefisien-koefisien dari polinomial. Nanti ditunjukkan bagaimana suatu gelanggang

dapat dikonstruksi yang memuat R dan x. Kemudian dalam bab ini juga ditunjukkan

bahwa setiap polinomial menentukan sebuah fungsi polinomial. Ini berarti dalam

menentukan akar-akar atau penyelesaian dari persamaan polinomial f(x) = 0, maka x

dapat diperlakukan sebagai peubah (variable).

Secara umum bentuk polinomial p(x) ditulis dengan p(x) = a0 + a1x + … + anxn,

atau dalam notasi sigma ∑=

=n

i

ii xaxp

0

)( . Kemudian ai disebut koefisien dari p(x) dan

aixi disebut suku. Jika an ≠ 0, maka bilangan bulat taknegatif n disebut derajat dari p(x)

(di mana n adalah pangkat tertinggi dari x) dan an disebut koefisien pemimpin.

Jika R gelanggang dan ai ∈ R untuk setiap i ≥ 0, maka polinomial p(x) disebut

polinomial dalam x dengan koefisien-koefisien dalam R, disingkat polinomial atas R.

Himpunan semua polinomial atas gelanggang R dinotasikan dengan R[x].

Polinomial d(x) = a0 disebut polinomial berderajat 0. Polinomial z(x) = 0 disebut

polinomial nol dan didefinisikan tidak mempunyai derajat (beberapa mendefinisikan

berderajat −1 atau −∞). Polinomial konstan adalah polinomial nol atau polinomial

berderajat 0. Jadi jelas semua anggota dalam R adalah polinomial-polinomial konstan,

sehingga R ⊆ R[x].

Misalkan juga q(x) = b0 + b1x + … + bmxm, maka p(x) dan q(x) dikatakan sama

jika dan hanya jika koefisien-koefisien dari p(x) dan q(x) untuk tiap-tiap xi sama, yaitu


49

ai = bi untuk setiap i ≥ 0. Ini berarti suku-suku dengan koefisien 0 dapat diabaikan,

seperti polinomial 1 + 0x + 0x2 + 5x3 + 0x4 + 0x7 sama dengan 1 + 5x3.

Penjumlahan polinomial ∑=

=n

i

ii xaxp

0

)( dan ∑=

=m

i

ii xbxq

0

)( didefinisikan

dengan

p(x) + q(x) = ∑=

+k

i

iii xba

0

)( di mana k lebih besar dari n dan m.

Sedangkan perkalian polinomial p(x) dan q(x) didefinisikan dengan

p(x) q(x) = ∑ ∑+

= =−

mn

i

ii

ssis xba

0 0

.

Teorema 2.6.1.

Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, maka R[x] gelanggang komutatif

dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian polinomial.

BUKTI.

Akan ditunjukkan R[x] gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Jelas operasi

penjumlahan dan perkalian polinomial tertutup. Ambil sembarang elemen-elemen p(x),

q(x), r(x) ∈ R[x].

(p(x) + q(x)) + r(x) =

+

+

∑∑∑===

r

i

ii

m

i

ii

n

i

ii xcxbxa

000

=

+

+ ∑∑

==

r

i

ii

k

i

iii xcxba

00

)(

= ∑=

++t

i

iiii xcba

0

)(


50

=

++

∑∑==

k

i

iii

n

i

ii xcbxa

00)(

=

+

+

∑∑∑===

r

i

ii

m

i

ii

n

i

ii xcxbxa

000

= p(x) + (q(x) + r(x)).

(p(x) q(x)) r(x) =

∑∑∑===

r

l

ll

m

j

jj

n

h

hh xcxbxa

000

=

∑∑ ∑=

+

= =−

r

l

ll

imn

i

i

ssis xcxba

00 0

= irmn

i

i

ssi

s

ttst xcba

0 0 0∑ ∑ ∑

++

= =−

=−

= ∑ ∑++

= =++

rmn

i

i

iljhljh xcba

0

= irmn

i

i

s

s

ttstsi xcba

0 0 0∑ ∑ ∑

++

= = =−−

=

∑ ∑∑+

= =−

=

rm

i

ii

ssis

n

h

hh xcbxa

0 00

=

∑∑∑===

r

l

ll

m

j

jj

n

h

hh xcxbxa

000

= p(x) (q(x) r(x)).

Jadi kedua operasi bersifat asosiatif.

p(x) + q(x) = ∑∑∑∑====

+=+=

+

k

i

iii

k

i

iii

m

i

ii

n

i

ii xabxbaxbxa

0000

)( )(

=

+

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii xaxb

00


51

= q(x) + p(x).

p(x) q(x) = ∑ ∑∑ ∑∑∑+

= =−

+

= =−

==

=

=

mn

i

ii

ssis

mn

i

ii

ssis

m

i

ii

n

i

ii xabxbaxbxa

0 00 000

=

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii xaxb

00

= q(x) p(x).

Jadi kedua operasi bersifat komutatif.

(p(x) + q(x)) r(x) =

+=

+

∑∑∑∑∑=====

r

i

ii

k

i

iii

r

i

ii

m

i

ii

n

i

ii xcxbaxcxbxa

00000 )(

= ∑ ∑∑ ∑+

= =−−

+

= =−

+=

+

rk

i

ii

ssissis

rk

i

ii

ssiss xcbcaxcba

0 00 0

)()( )(

=

+

∑ ∑∑ ∑+

= =−

+

= =−

rk

i

ii

ssis

rk

i

ii

ssis xcbxca

0 00 0

=

+

∑∑∑∑====

r

i

ii

k

i

ii

r

i

ii

k

i

ii xcxbxcxa

0000

=

+

∑∑∑∑====

r

i

ii

m

i

ii

r

i

ii

n

i

ii xcxbxcxa

0000

= p(x) r(x) + q(x) r(x).

Dengan cara yang sama, maka r(x) (p(x) + q(x)) = r(x) p(x) + r(x) q(x), sehingga hukum

distributif berlaku. Elemen identitas dalam R[x] adalah polinomial nol sebab p(x) + 0 =

(a0 + a1x + … + anxn) + (0 + 0 + … + 0) = a0 + a1x + … + anxn = p(x). Invers aditif dari

p(x) adalah −p(x) = (−a0) + (−a1)x + … + (−an)xn sebab p(x) + (−p(x)) = 0. Dan elemen

satuan dalam R[x] adalah polinomial berderajat nol e(x) = 1R sebab p(x) e(x) = (a0 + a1x

+ … + anxn) (1R) = (a01R) + (a11R)x + … + (an1R)xn = (a0 + a1x + … + anxn) = p(x). ■


52

Pada Teorema 2.6.1 di atas, perhatikan bahwa R[x] gelanggang komutatif jika R

gelanggang komutatif dan R[x] gelanggang dengan elemen satuan jika R gelanggang

dengan elemen satuan (cara penulisan teorema di atas hanya untuk keperluan praktis).

Kemudian jika R adalah daerah integral, maka (∀p(x) ≠ 0, q(x) ≠ 0 ∈ R[x]) p(x) q(x) ≠ 0

sebab koefisien pemimpin dari p(x) dan q(x) masing-masing an dan bm taknol, sehingga

anbm ≠ 0 di mana anbm adalah koefisien pemimpin dari p(x) q(x). Jadi jika R daerah

integral, maka R[x] daerah integral. Tetapi jika R medan, maka untuk p(x) = x dalam

R[x] tidak mempunyai invers multiplikatif sebab tidak terdapat q(x) ∈ R[x] sedemikian

sehingga p(x) q(x) = 1R. Dengan demikian jika R medan, maka R[x] daerah integral.

Teorema berikut membuktikan algoritma pembagian pada F[x], dan digunakan notasi

der(p(x)) untuk derajat polinomial p(x).

Teorema 2.6.2 (Algoritma Pembagian pada F[x]).

Jika p(x) dan q(x) polinomial-polinomial atas medan F dengan q(x) ≠ 0, maka terdapat

dengan tunggal polinomial-polinomial r(x) dan s(x) atas medan F sedemikian sehingga

p(x) = q(x) r(x) + s(x) di mana s(x) = 0 atau der(s(x)) < der(q(x)).

BUKTI.

Misalkan p(x) = a0 + a1x + … + amxm dan q(x) = b0 + b1x + … + bnxn. Karena

diasumsikan q(x) ≠ 0, maka bn ≠ 0, sehingga der(q(x)) = n.

Teorema dibuktikan untuk p(x) ≠ 0 sebab untuk p(x) = 0 trivial. Sehingga am ≠ 0 dan

der(p(x)) = m. Dengan Induksi Matematis pada m, akan ditunjukkan terlebih dahulu

terdapat polinomial r(x) dan s(x) sedemikian sehingga p(x) = q(x) r(x) + s(x) di mana


53

s(x) = 0 atau der(s(x)) < der(q(x)). Diasumsikan m ≥ n sebab untuk m < n, maka r(x) = 0

dan s(x) = p(x).

Pangkal Untuk m = 0, maka p(x) = a0 dan q(x) = b0. Jadi terdapat r(x) = b0−1a0 dan

s(x) = 0 sedemikian sehingga p(x) = q(x) r(x) + s(x).

Langkah Diasumsikan benar untuk polinomial u(x) berderajat < m, yaitu terdapat r1(x)

dan s1(x) sedemikian sehingga u(x) = q(x) r1(x) + s1(x) di mana s1(x) = 0 atau

der(s1(x)) < der(q(x)).

Akan dibuktikan benar untuk polinomial p(x) berderajat m.

Misalkan p1(x) = p(x) + (−ambn−1)xm−n q(x).

Maka p1(x) = (a0 + a1x + … + amxm) + (−ambn−1)xm−n (b0 + b1x + … + bnxn) =

(a0 + a1x + … + amxm) + ((−ambn−1b0)xm−n + (−ambn

−1b1)xm−n+1 + … +

(−ambn−1bn−1)xm−1 + (−am)xm) = a0 + a1x + (−ambn

−1b0)xm−n + (−ambn−1b1)xm−n+1

+ … + ((−ambn−1bn−1) + am−1)xm−1.

Ini berarti der(p1(x)) < m. Menurut asumsi di atas, terdapat r1(x) dan s1(x)

sedemikian sehingga p1(x) = q(x) r1(x) + s1(x) di mana s1(x) = 0 atau

der(s1(x)) < der(q(x)). Jadi p(x) + (−ambn−1)xm−n q(x) = q(x) r1(x) + s1(x).

Dengan demikian p(x) = q(x) ((ambn−1)xm−n + r1(x)) + s1(x).

Jadi terdapat r(x) dan s(x) sedemikian sehingga p(x) = q(x) r(x) + s(x) di mana s(x) = 0

atau der(s(x)) < der(q(x)), untuk ∀m ≥ 0. Selanjutnya dibuktikan r(x) dan s(x) tunggal.

Misalkan juga ada r2(x) dan s2(x) sedemikian sehingga p(x) = q(x) r2(x) + s2(x) di mana

s2(x) = 0 atau der(s2(x)) < der(q(x)). Maka didapat q(x) r(x) + s(x) = q(x) r2(x) + s2(x)

atau q(x) (r(x) + (−r2(x))) = s2(x) + (−s(x)).


54

Karena der(s2(x) + (−s(x))) ≤ maks {der(s2(x)), der(s(x))} < der(q(x)), maka persamaan

di atas dipenuhi hanya jika s2(x) + (−s(x)) = 0, yaitu s2(x) = s(x).

Karena q(x) (r(x) + (−r2(x))) = 0 dan F[x] daerah integral, haruslah r(x) + (−r2(x)) = 0,

yaitu r(x) = r2(x). Jadi r(x) dan s(x) tunggal. ■

Pada algoritma pembagian di atas, r(x) disebut hasil bagi dan s(x) disebut sisa.

Perhatikan bahwa algoritma pembagian di atas berlaku pada F[x] jika F adalah medan.

Algoritma pembagian di atas berlaku pada D[x] di mana D adalah daerah integral, jika

koefisien pemimpin dari q(x) merupakan unit. Kemudian algoritma pembagian di atas

juga berlaku pada R[x] di mana R adalah gelanggang, jika koefisien pemimpin dari q(x)

merupakan unit, tetapi r(x) dan s(x) tidak tunggal.

Definisi 2.6.1.

Elemen a ∈ F disebut pembuat nol (atau akar) dari p(x) = b0 + b1x + … + bnxn atas

medan F jika dan hanya jika p(a) = b0 + b1a + … + bnan = 0.

Teorema 2.6.3 (Teorema Sisa).

Misalkan F medan dan a ∈ F. Jika p(x) ∈ F[x], maka terdapat r(x) ∈ F[x] sedemikian

sehingga p(x) = (x − a) r(x) + p(a).

BUKTI.

Jika p(x) ∈ F[x], maka menurut algoritma pembagian pada F[x], terdapat r(x) dan s(x)

sedemikian sehingga p(x) = (x − a) r(x) + s(x) di mana s(x) = 0 atau der(s(x)) < 1. Ini


55

berarti s(x) adalah polinomial konstan. Dengan demikian p(x) = (x − a) r(x) + f untuk

suatu f ∈ F, sehingga p(a) = (a − a) r(x) + f = f. Jadi p(x) = (x − a) r(x) + p(a). ■

Teorema 2.6.4 (Teorema Faktor).

Jika F medan, maka a ∈ F pembuat nol polinomial p(x) ∈ F[x] jika dan hanya jika p(x)

= (x − a) r(x) untuk r(x) ∈ F[x].

BUKTI.

( ⇒ ) Jika a ∈ F dan p(x) ∈ F[x], maka p(x) = (x − a) r(x) + p(a) untuk r(x) ∈ F[x]

(Teorema 2.6.3). Karena p(a) = 0, maka p(x) = (x − a) r(x).

( ⇐ ) Jika p(x) = (x − a) r(x), maka p(a) = (a − a) r(x) = 0. ■

Teorema 2.6.5.

Jika p(x) ∈ F[x] berderajat n ≥ 1, maka p(x) mempunyai paling banyak n pembuat nol

dalam medan F.

BUKTI.

Teorema akan dibuktikan untuk p(x) yang mempunyai pembuat nol dalam F dengan

Induksi Matematis. Sedangkan untuk p(x) yang tidak mempunyai pembuat nol, jelas

teorema benar.

Pangkal Untuk n = 1, maka p(x) = a0 + a1x untuk a0, a1 ∈ F di mana a1 ≠ 0, hanya

mempunyai pembuat nol −a0a1−1 ∈ F. Ini berarti p(x) hanya mempunyai 1

pembuat nol.


56

Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n = k − 1, yaitu setiap polinomial

berderajat k − 1 mempunyai paling banyak k − 1 pembuat nol dalam F.

Akan dibuktikan teorema benar untuk n = k.

Jika p(x) ∈ F[x] berderajat k dan a ∈ F pembuat nol dari p(x), maka menurut

Teorema 2.6.4, p(x) = (x − a) q(x), q(x) ∈ F[x]. Maka q(x) berderajat k − 1,

sehingga menurut asumsi di atas, q(x) mempunyai paling banyak k − 1

pembuat nol dalam F. Perhatikan bahwa jika b ∈ F pembuat nol dari p(x),

maka b = a atau b adalah pembuat nol dari q(x) (sebab (b − a) q(b) = 0 dan F

daerah integral). Ini berarti p(x) mempunyai paling banyak k pembuat nol

dalam F.

Terbukti p(x) berderajat n ≥ 1 mempunyai paling banyak n pembuat nol dalam F. ■

Teorema 2.6.6.

Jika F medan, maka setiap ideal dalam F[x] adalah ideal utama.

BUKTI.

Misalkan N[x] ideal dalam F[x]. Jelas N[x] = {0} = (0) adalah ideal utama dalam F[x].

Untuk N[x] ≠ {0}, pilih polinomial berderajat minimal m(x) ∈ N[x]. Akan ditunjukkan

bahwa N[x] = (m(x)).

Jelas (m(x)) ⊆ N[x] sebab jika q(x) ∈ (m(x)), maka q(x) = m(x) n(x) ∈ N[x] untuk suatu

n(x) ∈ F[x]. Ambil sembarang p(x) ∈ N[x]. Menurut algoritma pembagian pada F[x],

terdapat r(x) dan s(x) dalam F[x] sedemikian sehingga p(x) = m(x) r(x) + s(x) di mana

s(x) = 0 atau der(s(x)) < der(m(x)). Maka s(x) = p(x) + (−m(x) r(x)) ∈ N[x] sebab N[x]


57

ideal. Jika s(x) ≠ 0, maka der(s(x)) < der(m(x)). Padahal polinomial berderajat minimal

dalam N[x] adalah m(x), maka haruslah s(x) = 0, sehingga p(x) = m(x) r(x) ∈ (m(x)). Jadi

N[x] ⊆ (m(x)), sehingga N[x] = (m(x)).

Terbukti setiap ideal dalam F[x] adalah ideal utama. ■

Pembuktian Teorema 2.6.6 di atas menunjukkan bahwa jika N[x] ideal dalam F[x],

maka N[x] = (m(x)) di mana m(x) polinomial berderajat minimal yang membangun N[x].

Tetapi m(x) tidak tunggal sebab untuk b ≠ 0 ∈ F, maka bm(x) ∈ N[x] dan berderajat

sama dengan m(x), sehingga N[x] juga dibangun oleh bm(x). Jika dimisalkan koefisien

pemimpin dari m(x) adalah s, maka s−1m(x) ∈ N[x] dan koefisien pemimpin dari s−1m(x)

adalah elemen satuan 1F. Jadi hanya ada satu polinomial berderajat minimal dalam N[x]

dengan koefisien pemimpin elemen satuan 1F. Polinomial dengan koefisien pemimpin

elemen satuan 1F disebut polinomial monik. Dengan demikian ideal N[x] dalam F[x]

hanya dibangun oleh satu polinomial monik.

Dari pengertian di atas, akan didefinisikan faktor persekutuan terbesar dari dua

polinomial dalam F[x]. Sedangkan a(x) ≠ 0 ∈ F[x] dikatakan membagi b(x) ∈ F[x]

(dinotasikan )()( xbxa ) jika terdapat c(x) ∈ F[x] sedemikian sehingga b(x) = a(x) c(x).

Definisi 2.6.2.

Misalkan F medan dan f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 ∈ F[x]. Polinomial monik d(x) ∈ F[x] disebut

faktor persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x) jika dan hanya jika

(i) )()( xfxd dan )()( xgxd .

(ii) Jika )()( xfxh dan )()( xgxh , maka )()( xdxh .


58

Seperti halnya faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat, faktor

persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan (f(x), g(x)). Teorema berikut

menunjukkan bahwa faktor persekutuan terbesar dari dua polinomial atas F selalu ada

(pada kenyataannya telah diketahui bahwa polinomial 1F faktor dari setiap polinomial).

Karena definisi faktor persekutuan terbesar dari dua polinomial menyaratkan polinomial

monik, maka hanya ada satu faktor persekutuan terbesar dari dua polinomial dan

berbentuk kombinasi linear.

Teorema 2.6.7.

Misalkan F medan dan f(x), g(x) ∈ F[x] dengan g(x) ≠ 0. Maka terdapat dengan tunggal

faktor persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x) yang berbentuk a(x) f(x) + b(x) g(x) untuk

suatu a(x), b(x) ∈ F[x].

BUKTI.

Misalkan I[x] = {r(x) f(x) + s(x) g(x) : r(x), s(x) ∈ F[x]}.

Dengan Teorema 2.5.1 akan ditunjukkan I[x] ideal dalam F[x].

Jelas I[x] ≠ ∅. Kemudian, (r1(x) f(x) + s1(x) g(x)) + (−(r2(x) f(x) + s2(x) g(x))) = (r1(x) +

(−r2(x))) f(x) + (s1(x) + (−s2(x))) g(x) ∈ I[x]. Selanjutnya, k(x) (r1(x) f(x) + s1(x) g(x)) =

(k(x) r1(x)) f(x) + (k(x) s1(x)) g(x) ∈ I[x]. Jadi I[x] ideal dalam F[x] dan I[x] ≠ {0} sebab

g(x) ≠ 0 ∈ I[x]. Menurut Teorema 2.6.6, I[x] dibangun dengan tunggal oleh polinomial

monik d(x) ∈ F[x], sehingga )()( xfxd dan )()( xgxd sebab f(x), g(x) ∈ I[x] = (d(x)).

Kemudian, karena d(x) ∈ (d(x)) = I[x], maka d(x) = a(x) f(x) + b(x) g(x) untuk suatu

a(x), b(x) ∈ F[x]. Dengan demikian jika )()( xfxh dan )()( xgxh , maka )()()( xfxaxh


59

dan )()()( xgxbxh , sehingga )()()()()( xgxbxfxaxh + atau )()( xdxh . Dari Definisi

2.6.2, polinomial monik d(x) adalah faktor persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x). ■

Definisi 2.6.3.

Misalkan F medan dan f(x), g(x) ∈ F[x]. Polinomial f(x) dan g(x) disebut relatif prima

jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x) sama dengan 1F.

Definisi 2.6.4.

Misalkan F adalah medan dan p(x) ∈ F[x] polinomial takkonstan. Maka p(x) disebut

polinomial taktereduksi dalam F[x] (atau taktereduksi atas F) jika dan hanya jika tidak

terdapat faktorisasi p(x) = f(x) g(x) untuk f(x), g(x) ∈ F[x], dengan der(f(x)) < der(p(x))

dan der(g(x) < der(p(x)).

Perhatikan bahwa definisi di atas mengatakan p(x) taktereduksi atas medan F,

bukan definisi taktereduksi secara umum. Definisi di atas dapat digeneralisasi untuk

daerah integral D, yaitu p ∈ D disebut taktereduksi jika dan hanya jika p bukan unit dan

untuk setiap faktorisasi p = qr, q atau r unit dalam D. Jadi p(x) taktereduksi berarti

bahwa jika p(x) mempunyai faktorisasi p(x) = f(x) g(x), haruslah salah satunya f(x) atau

g(x) berderajat 0. Jelas setiap polinomial linear (berderajat 1) taktereduksi atas F. Tetapi

tidak semua polinomial linear dalam daerah integral Z[x] taktereduksi sebab unit-unit

dalam Z[x] hanyalah −1 dan 1. Jadi polinomial 4x − 2 ∈ Z[x] bukan polinomial

taktereduksi (disebut tereduksi) sebab 4x − 2 = 2(2x − 1), walaupun 2x − 1 berderajat

tidak kurang dari derajatnya 4x − 2.


60

Definisi taktereduksi (Definisi 2.6.4) di atas juga tergantung pada medan yang

didefinisikan. Polinomial x2 − 2 taktereduksi atas Q tetapi tereduksi atas R. Demikian

juga polinomial x2 + 1 taktereduksi atas R tetapi tereduksi atas C.

Polinomial q(x) ∈ F[x] disebut sekawan dari p(x) ∈ F[x] jika dan hanya jika p(x)

= d q(x) untuk suatu d ∈ F. Jadi faktor-faktor dari polinomial taktereduksi hanyalah

polinomial berderajat 0 dan sekawannya. Dari Teorema 2.6.4, maka setiap polinomial

taktereduksi atas medan F yang berderajat ≥ 2 tidak mempunyai akar dalam F.

Kebalikan pernyataan tersebut tidaklah benar. Polinomial x4 + 2x2 + 1 ∈ R[x] tidak

mempunyai akar dalam R, padahal x4 + 2x2 + 1 tereduksi atas R di mana x4 + 2x2 + 1 =

(x2 + 1) (x2 + 1). Tetapi pernyataan benar untuk polinomial kuadratik (berderajat 2) dan

polinomial kubik (berderajat 3). Teorema berikut ini menunjukkannya.

Teorema 2.6.8.

Jika p(x) ∈ F[x] polinomial berderajat 2 atau 3, maka p(x) tereduksi atas F jika dan

hanya jika p(x) mempunyai akar dalam medan F.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika p(x) tereduksi atas F, maka p(x) = q(x) r(x) dengan der(q(x)) < der(p(x)) dan

der(r(x)) < der(p(x)). Jika p(x) berderajat 2 atau 3, maka salah satu faktornya

adalah polinomial berderajat 1. Misalkan q(x) berderajat 1, maka q(x) berbentuk

x − a untuk suatu a ∈ F. Jadi p(x) = (x − a) r(x), sehingga p(a) = 0.

( ⇐ ) Jika p(x) mempunyai akar b ∈ F, maka dari Teorema 2.6.4, p(x) = (x − b) s(x).

Jadi p(x) tereduksi atas F. ■


61

Teorema 2.6.9.

Ideal taktrivial (p(x)) dalam F[x] adalah ideal maksimal jika dan hanya jika p(x)

taktereduksi atas medan F.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika (p(x)) ideal maksimal, maka (p(x)) ideal prima (Teorema 2.5.8). Andaikan

p(x) ∈ F[x] tereduksi. Maka p(x) = q(x) r(x) untuk q(x), r(x) ∈ F[x] dengan

der(q(x)) < der(p(x)) dan der(r(x)) < der(p(x)). Karena setiap polinomial taknol

dalam (p(x)) berderajat ≥ der(p(x)), maka q(x) ∉ (p(x)) dan r(x) ∉ (p(x)).

Kontradiksi dengan (p(x)) adalah ideal prima, yaitu untuk q(x) r(x) ∈ (p(x)),

maka q(x) ∈ (p(x)) atau r(x) ∈ (p(x)). Jadi haruslah p(x) taktereduksi atas F.

( ⇐ ) Misalkan N[x] ideal dalam F[x] sedemikian sehingga (p(x)) ⊂ N[x] ⊂ F[x].

Menurut Teorema 2.6.6, N[x] ideal utama. Jadi N[x] = (g(x)) dengan g(x) ∈ F[x].

Karena p(x) ∈ N[x], maka p(x) = g(x) q(x) untuk suatu q(x) ∈ F[x]. Karena

diasumsikan p(x) taktereduksi dalam F[x], maka salah satunya g(x) atau q(x)

berderajat 0. Jika g(x) berderajat 0, maka g(x) ∈ F. Misalkan g(x) = d, maka dd−1

= 1F ∈ (g(x)) sebab (g(x)) ideal. Dengan demikian ∀u(x) ∈ F[x], maka u(x) 1F =

u(x) ∈ (g(x)), sehingga F[x] = (g(x)) = N[x]. Sedangkan jika q(x) berderajat 0,

maka q(x) ∈ F. Misalkan q(x) = b, maka didapat p(x) = g(x) b, sehingga g(x) =

p(x) b−1 ∈ (p(x)). Ini menunjukkan bahwa ∀h(x) ∈ (g(x)), maka h(x) ∈ (p(x)),

sehingga (g(x)) = N[x] ⊆ (p(x)). Jadi (p(x)) = N[x].

Terbukti (p(x)) ideal maksimal dalam F[x]. ■


62

Perhatikan bahwa pada pembuktian ( ⇒ ) di atas, sebenarnya (p(x)) tidak perlu

ideal maksimal, cukup ideal prima. Teorema 2.6.9 dapat dibagi menjadi dua bagian.

Bagian yang pertama adalah jika (p(x)) ideal prima, maka p(x) taktereduksi. Dan bagian

yang kedua adalah jika p(x) taktereduksi, maka (p(x)) ideal maksimal. Karena setiap

ideal dalam F[x] adalah ideal utama, maka dalam daerah integral F[x] kebalikan

Teorema 2.5.8 benar, yaitu setiap ideal prima adalah ideal maksimal. Dengan demikian

pernyataan berikut juga benar, ideal taktrivial (p(x)) dalam F[x] adalah ideal prima

jika dan hanya jika p(x) taktereduksi atas medan F.

Lema 2.6.10 (Lema Euclides pada Polinomial).

Misalkan F medan dan p(x) polinomial taktereduksi atas F. Jika )()()( xsxrxp dengan

r(x), s(x) ∈ F[x], maka )()( xrxp atau )()( xsxp .

BUKTI.

Jika )()()( xsxrxp , maka r(x) s(x) ∈ (p(x)). Karena p(x) taktereduksi, maka (p(x)) ideal

prima dalam F[x], sehingga r(x) ∈ (p(x)) atau s(x) ∈ (p(x)). Dengan demikian )()( xrxp

atau )()( xsxp . ■

Akibat 2.6.11.

Misalkan p(x) adalah polinomial taktereduksi atas medan F. Jika )( ... )()( 1 xrxrxp n

dengan ri(x) ∈ F[x], maka )()( xrxp i untuk suatu i = 1, …, n.


63

BUKTI.

Dibuktikan dengan Induksi Matematis pada n ≥ 2.

Pangkal Untuk n = 2, teorema benar menurut Lema 2.6.10.

Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n = k − 1, yaitu jika )( ... )()( 11 xrxrxp k − ,

maka )()( xrxp i untuk suatu i = 1, …, k − 1.


Jika )()( ... )()( 11 xrxrxrxp kk − , maka )( ... )()( 11 xrxrxp k − atau )()( xrxp k .

Menurut asumsi di atas, jika )( ... )()( 11 xrxrxp k − , maka )()( xrxp i untuk

suatu i = 1, …, k − 1. Dengan demikian )()( xrxp i untuk suatu i = 1, …, k.

Jadi jika )( ... )()( 1 xrxrxp n , maka )()( xrxp i untuk suatu i = 1, …, n. ■

Teorema 2.6.12 (Faktorisasi Polinomial atas Medan).

Jika p(x) polinomial atas medan F berderajat n ≥ 1, maka p(x) taktereduksi atas F atau

p(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial taktereduksi atas F. Lebih lanjut,

faktorisasi dari p(x) yang berbentuk

kmk

mm xpxpxpaxp )]([ ... )]([ )]([ )( 2121=

di mana a koefisien pemimpin dari p(x), dan p1(x), …, pk(x) monik, m1, …, mk positif,

adalah faktorisasi yang tunggal.

BUKTI.

Akan ditunjukkan dahulu p(x) taktereduksi atau dapat difaktorkan menjadi polinomial-

polinomial taktereduksi dengan Induksi Matematis.


64

Pangkal Untuk n = 1, maka p(x) = a0 + a1x di mana a1 ≠ 0, adalah polinomial

taktereduksi.

Langkah Diasumsikan benar untuk polinomial u(x) berderajat < n, yaitu u(x) adalah

polinomial taktereduksi atau u(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-

polinomial taktereduksi.

Akan dibuktikan benar untuk polinomial p(x) berderajat n.

Jika p(x) polinomial taktereduksi, maka tidak ada yang perlu dibuktikan.

Sekarang jika p(x) polinomial tereduksi, maka p(x) = a(x) b(x) dengan

der(a(x)) < der(p(x)) dan der(b(x)) < der(p(x)). Menurut asumsi di atas, a(x)

polinomial taktereduksi atau a(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-

polinomial taktereduksi. Demikian juga b(x) polinomial taktereduksi atau

b(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial taktereduksi. Maka

p(x) adalah perkalian polinomial-polinomial taktereduksi.

Terbukti polinomial p(x) berderajat n ≥ 1 adalah polinomial taktereduksi atau p(x) dapat

difaktorkan menjadi polinomial-polinomial taktereduksi.

Untuk bagian kedua juga dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 1, maka p(x) = ax + b = a (x + a−1b).

Langkah Diasumsikan benar untuk polinomial u(x) berderajat < n, yaitu faktorisasi

dari u(x) yang berbentuk faktorisasi atas polinomial-polinomial monik

taktereduksi adalah faktorisasi yang tunggal.

Akan dibuktikan benar untuk polinomial p(x) berderajat n.

Misalkan faktorisasi dari p(x) berbentuk kmk

mm xpxpxpa )]([ ... )]([ )]([ 2121

dan rnr

nn xqxqxqa )]([ ... )]([ )]([ 2121 di mana a adalah koefisien pemimpin


65

dari p(x), dan pi(x), qi(x) polinomial monik taktereduksi, mi, ni positif. Maka

kmk

mm xpxpxpa )]([ ... )]([ )]([ 2121 = rn

rnn xqxqxqa )]([ ... )]([ )]([ 21

21 . Di sini

berarti rnr

nn xqxqxqxp )]([ ... )]([ )]([)( 21211 sehingga menurut Akibat 2.6.11,

)()(1 xqxp i untuk suatu i. Dapat dipilih q1(x) sedemikian rupa sehingga

)()( 11 xqxp . Karena q1(x) monik taktereduksi, maka faktor-faktor dari q1(x)

hanyalah 1F dan q1(x). Dan karena p1(x) ≠ 1F, maka haruslah p1(x) = q1(x).

)()(

1 xpxp = km

kmm xpxpxpa )]([ ... )]([ )]([ 21

21

1−

= rnr

nn xqxqxpa )]([ ... )]([ )]([ 212

11

− .

Jelas der( )()( 1 xpxp ) < n sebab p1(x) taktereduksi. Dari asumsi di atas,

faktorisasi atas polinomial-polinomial monik taktereduksi dari )()( 1 xpxp

adalah faktorisasi yang tunggal. Jadi haruslah m1 − 1 = n1 − 1 (yaitu m1 = n1),

m2 = n2, …, mk = nr, kemudian k = r dan p2(x) = q2(x), …, pk(x) = qr(x). Maka

kmk

mm xpxpxpaxp )]([ ... )]([ )]([ )( 2121= adalah faktorisasi yang tunggal.

Terbukti faktorisasi dari polinomial p(x) berderajat n ≥ 1 yang berbentuk faktorisasi atas

polinomial-polinomial monik taktereduksi adalah faktorisasi yang tunggal. ■

Contoh 2.6.1.

Faktorisasi-faktorisasi atas polinomial-polinomial taktereduksi dari 2x2 − 2 ∈ Q[x]

adalah (2x + 2) (x − 1), (x + 1) (2x − 2), 2(x + 1) (x − 1), ( 31 x + 3

1 ) (6x − 6), dan

sebagainya (ada takhingga banyaknya). Tetapi hanya ada satu bentuk faktorisasi atas

polinomial-polinomial monik taktereduksi dari 2x2 − 2, yaitu 2(x + 1) (x − 1).


66

Teorema 2.6.13.

Misalkan F medan dan α ∈ F. Didefinisikan pemetaan θα : F[x] → F dengan aturan

θα(a0 + a1x + … + amxm) = a0 + a1α + … + amαm

untuk setiap ∑=

m

i

ii xa

0∈ F[x]. Maka θα : F[x] → F adalah homomorfisma.

BUKTI.

Akan ditunjukkan dahulu aturan pemetaan terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang

p(x), q(x) ∈ F[x] sedemikian sehingga p(x) = q(x). Misalkan p(x) = a0 + a1x + … + amxm

dan q(x) = b0 + b1x + … + bnxn. Karena p(x) = q(x), maka ai = bi untuk ∀i ≥ 0.

θα(a0 + a1x + … + amxm) = a0 + a1α + … + amαm

= b0 + b1α + … + bnαn

= θα(b0 + b1x + … + bnxn).

Jadi θα(p(x)) = θα(q(x)). Selanjutnya ditunjukkan θα homomorfisma.

θα

+

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii xbxa

00

= θα

+∑

=

k

i

iii xba

0

)(

= ∑=

+k

i

iii ba

0

)( α

=

+

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii ba

00

αα

= θα

∑=

m

i

ii xa

0

+ θα

∑=

n

i

ii xb

0

.

θα

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii xbxa

00 = θα

∑ ∑+

= =−

nm

i

ii

ssis xba

0 0


67

= ∑ ∑+

= =−

nm

i

ii

ssisba

0 0α

=

∑∑==

n

i

ii

m

i

ii ba

00

αα

= θα

∑=

m

i

ii xa

0

θα

∑=

n

i

ii xb

0

. ■

Homomorfisma di atas disebut homomorfisma evaluasi pada α. Elemen θα(p(x))

= a0 + a1α + … + anαn ∈ F dinotasikan dengan p(α). Jadi setiap polinomial p(x) ∈ F[x]

menentukan sebuah fungsi polinomial p : F → F, yaitu p : α a p(α) = θα(p(x)).

Tentu saja homomorfisma evaluasi berlaku untuk gelanggang R.

Contoh 2.6.2.

Misalkan F = Q dan homomorfisma evaluasi θ2 : Q[x] → Q. Maka θ2(x2 + x − 6) =

θ2(p(x)) = p(2) = 22 + 2 − 6 = 0. Dan θ2(x3 − x − 7) = θ2(q(x)) = q(2) = 23 − 2 − 7 = −1.

Teorema 2.6.14.

Jika F medan dan p(x) ∈ F[x] taktereduksi, maka ))((][ xpxF medan dan memuat

submedan yang isomorfis dengan F.

BUKTI.

Jika p(x) taktereduksi, maka menurut Teorema 2.6.9 dan Teorema 2.5.6, ))((][ xpxF

medan. Misalkan I = (p(x)). Akan ditunjukkan bahwa N = {I + a : a ∈ F} ⊆ IxF ][

isomorfis dengan F.


68

Didefinisikan pemetaan α : F → N dengan aturan α(a) = I + a untuk setiap a ∈ F.

Ditunjukkan dahulu bahwa α terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang a, b ∈ F

sedemikian sehingga a = b. Karena a ∈ I + a, maka b ∈ I + a, sehingga b = n + a untuk

suatu n ∈ I. Ini menunjukkan b + (−a) ∈ I, sehingga I + a = I + b, yaitu α(a) = α(b).

Pemetaan α homomorfisma sebab α(a + b) = I + (a + b) = (I + a) + (I + b) = α(a) + α(b)

dan α(ab) = I + (ab) = (I + a) (I + b) = α(a) α(b). Cukup jelas α surjektif. Selanjutnya

dibuktikan α injektif. Jika I + a = I + b, maka a − b ∈ I. Karena setiap elemen taknol

dalam I = (p(x)) berderajat ≥ der(p(x)), maka haruslah a − b = 0, yaitu a = b. Jadi α

injektif. Dengan demikian N ≅ F.

Terbukti ))((][ xpxF medan dan memuat submedan yang isomorfis dengan F. ■

Teorema 2.6.15.

Misalkan F[x] gelanggang semua polinomial atas medan F dan I ideal yang dibangun

oleh p(x) ∈ F[x] berderajat n. Maka setiap elemen dalam IxF ][ dapat diekspresikan

dengan tunggal dalam bentuk I + s(x) untuk suatu s(x) ∈ F[x] dengan der(s(x)) < n.

BUKTI.

Ideal I dibangun oleh p(x), maka I = (p(x)) = {q(x) p(x) : q(x) ∈ F[x]}. Ambil sembarang

g(x) ∈ F[x]. Maka menurut algoritma pembagian pada F[x], terdapat r(x), s(x) ∈ F[x]

sedemikian sehingga g(x) = p(x) r(x) + s(x) dengan s(x) = 0 atau der(s(x)) < n. Karena I

ideal, maka g(x) + (−s(x)) = p(x) r(x) ∈ I, sehingga I + g(x) = I + s(x). Jadi setiap elemen

dalam IxF ][ dapat diekspresikan dalam bentuk I + s(x) dengan der(s(x)) < n.


69

Selanjutnya dibuktikan ketunggalan dari I + s(x).

Misalkan juga I + u(x) adalah ekspresi dari I + g(x) dengan der(u(x)) < n. Maka I + s(x)

= I + u(x). Ini berarti s(x) + (−u(x)) ∈ I = (p(x)). Karena setiap elemen taknol dalam I

berderajat ≥ n padahal der(s(x) + (−u(x))) < n, maka haruslah s(x) + (−u(x)) = 0, yaitu

s(x) = u(x). ■

Teorema 2.6.15 di atas mengatakan bahwa setiap elemen dalam IxF ][ berbentuk

I + s(x) dengan der(s(x)) < n. Jadi untuk I + f(x), I + k(x) ∈ IxF ][ , maka dari bukti

Teorema 2.6.15, (I + f(x)) (I + k(x)) = I + (f(x) k(x)) = I + s(x) di mana s(x) adalah sisa

dari pembagian f(x) k(x) oleh p(x). Dengan perkataan lain, setiap koset dalam IxF ][

mempunyai representasi tunggal polinomial berderajat < n dalam F[x]. Ini sama halnya

elemen-elemen dalam Zn direpresentasikan oleh tepat salah satu bilangan-bilangan bulat

0, 1, 2, …, n − 1. Ini memudahkan kita mengoperasikan elemen-elemen dalam IxF ][ .

Akan diberikan contoh-contoh penjelasan maksud tersebut sekaligus menutup bab ini.

Contoh 2.6.3.

Misalkan F = R dan p(x) = x2 + 1. Maka dengan Teorema 2.6.15, setiap elemen dalam

Ix][R di mana I = (p(x)) = (x2 + 1), berbentuk I + (a + bx) dengan a, b ∈ R.

Contoh 2.6.4.

Dari Contoh 2.6.3 akan ditunjukkan bahwa )1(][ 2 +xxR isomorfis dengan medan

semua bilangan kompleks C.


70

Didefinisikan pemetaan α : Ix][R → C dengan aturan α(I + (a + bx)) = a + bi untuk

setiap I + (a + bx) ∈ Ix][R .

Ambil sembarang I + (a + bx), I + (c + dx) ∈ Ix][R . Jika I + (a + bx) = I + (c + dx),

maka menurut Teorema 2.6.15, a + bx = c + dx, sehingga a = c dan b = d. Dengan

demikian α(I + (a + bx)) = a + bi = c + di = α(I + (c + dx)). Jadi aturan pemetaan

terdefinisi dengan baik. Kemudian ditunjukkan α homomorfisma.

α((I + (a + bx)) + (I + (c + dx))) = α(I + ((a + bx) + (c + dx)))

= α(I + ((a + c) + (b + d)x))

= (a + c) + (b + d)i

= (a + bi) + (c + di)

= α(I + (a + bx)) + α(I + (c + dx)).

α((I + (a + bx)) (I + (c + dx))) = α(I + ((a + bx) (c + dx)))

= α(I + (ac + (ad + bc)x + bdx2)).

Perhatikan bahwa ac + (ad + bc)x + bdx2 = bd (x2 + 1) + (ac − bd) + (ad + bc)x. Jadi sisa

dari pembagian (a + bx) (c + dx) oleh x2 + 1 adalah (ac − bd) + (ad + bc)x sehingga

menurut Teorema 2.6.15,

α((I + (a + bx)) (I + (c + dx))) = α(I + ((ac − bd) + (ad + bc)x))

= (ac − bd) + (ad + bc)i

= (a + bi) (c + di) (i2 = −1)

= α(I + (a + bx)) α(I + (c + dx)).

Ker(α) = {I + (a + bx) ∈ Ix][R : α(I + (a + bx) = 0}

= {I + (a + bx) ∈ Ix][R : a + bi = 0}


71

= {I + (a + bx) ∈ Ix][R : a = b = 0}

= {I + 0}

= {I}.

Menurut Proposisi 2.5.9(iv), pemetaan α injektif. Jika c ∈ C, maka c = a + bi untuk

suatu a, b ∈ R. Ini berarti ada I + (a + bx) ∈ Ix][R dan α(I + (a + bx)) = a + bi = c.

Dengan demikian pemetaan α surjektif. Jadi )1(][ 2 +xxR ≅ C.

Perhatikan juga karena i ∈ C adalah akar dari x2 + 1, maka (x2 + 1) + x ∈ )1(][ 2 +xxR

adalah akar dari x2 + 1.


BAB III

STRUKTUR MEDAN GALOIS

3.1. Perluasan Medan

Sudah diketahui bahwa polinomial x2 − 2 tidak mempunyai akar dalam Q. Tetapi

x2 − 2 mempunyai akar dalam R. Demikian pula contoh klasik lainnya, yaitu polinomial

x2 + 1 tidak mempunyai akar dalam R tetapi mempunyai akar dalam C. Padahal sudah

diketahui bahwa Q ⊂ R ⊂ C, yang berarti bahwa Q submedan dari R dan C, kemudian

R submedan dari C. Maka dalam hal ini R adalah perluasan dari Q, kemudian C adalah

perluasan dari Q dan R. Jadi x2 − 2 tidak mempunyai akar dalam Q tetapi mempunyai

akar dalam perluasannya, yaitu R dan C. Demikian pula x2 + 1 tidak mempunyai akar

dalam R tetapi mempunyai akar dalam perluasannya, yaitu C.

Definisi 3.1.1.

Medan E disebut perluasan dari medan F jika dan hanya jika E memuat submedan yang

isomorfis dengan F.

Definisi di atas bersifat lebih umum, dalam arti F submedan dari E merupakan

kejadian khusus E perluasan dari F sebab F ≅ F. Pada bab terdahulu telah dibuktikan

bahwa medan berkarakteristik prima p memuat submedan yang isomorfis dengan Zp,

sedangkan medan berkarakteristik 0 memuat submedan yang isomorfis dengan Q. Jadi

medan berkarakteristik p adalah perluasan dari Zp, dan medan berkarakteristik 0 adalah

perluasan dari Q.


73

Jika medan F isomorfis dengan suatu submedan dari medan E, maka F dikatakan

dapat dimasukkan (embedded) ke dalam E, atau submedan dari E tersebut diidentikkan

sebagai F. Dengan perkataan lain, dapat diasumsikan F submedan dari E. Jadi untuk

selanjutnya dapat diasumsikan Zp submedan prima dari medan berkarakteristik prima p,

dan Q submedan prima dari medan berkarakteristik 0. Juga dalam Teorema 2.6.14 dapat

diasumsikan F submedan dari medan IxF ][ di mana submedan N = {I + a : a ∈ F}

dalam IxF ][ diidentikkan sebagai F. Perhatikan juga bahwa F perluasan dari dirinya

sendiri sebab F submedan dari F.

Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan α ∈ E. Maka terdapat

homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E yang didefinisikan dengan aturan θα(f(x)) = f(α).

Jika f(x) = g(x) h(x), maka f(α) = θα(f(x)) = θα(g(x) h(x)) = θα(g(x)) θα(h(x)) = g(α) h(α).

Dengan demikian f(α) = 0 jika dan hanya jika g(α) = 0 atau h(α) = 0 (sebab E medan,

tidak memuat pembagi nol). Jadi α ∈ E adalah akar dari f(x) jika dan hanya jika α

adalah akar dari g(x) atau h(x).

Perlu diingatkan kembali bahwa setiap polinomial takkonstan f(x) merupakan

polinomial taktereduksi atau faktorisasi atas polinomial-polinomial taktereduksi. Ini

berarti dalam setiap faktorisasi dari f(x), terdapat sekurang-kurangnya satu faktor dari

f(x) yang merupakan polinomial taktereduksi. Keterangan-keterangan di atas kiranya

dapat menjelaskan teorema di bawah ini.

Teorema 3.1.1 (Teorema Kronecker).

Jika F medan dan f(x) ∈ F[x] polinomial takkonstan, maka terdapat medan E yang

memuat F dan suatu akar dari f(x).


74

BUKTI.

Misalkan f(x) = p(x) q(x) dengan p(x) taktereduksi atas F. Menurut Teorema 2.6.14,

))((][ xpxF = E medan yang memuat F. Misalkan I = (p(x)). Akan dibuktikan terdapat

α = I + x ∈ E sehingga p(α) = 0. Misalkan p(x) = a0 + a1x + … + anxn, ai ∈ F.

Homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E memberikan

θα(p(x)) = p(α) = (I + a0) + (I + a1)α + … + (I + an)αn

= (I + a0) + (I + a1) (I + x) + … + (I + an) (I + x)n

= (I + a0) + (I + a1x) + … + (I + anxn)

= I + (a0 + a1x + … + anxn)

= I + p(x)

= I.

Karena I = I + 0 adalah elemen identitas dalam E, maka α ∈ E akar dari p(x). Ini berarti

α adalah akar dari f(x). Jadi medan E memuat F dan suatu akar dari f(x). ■

Teorema di atas mengatakan bahwa setiap medan mempunyai perluasan dan

setiap polinomial takkonstan mempunyai akar dalam suatu medan. Dari kedua

pernyataan tersebut, pemahaman tentang perluasan medan dikaitkan dengan akar dari

suatu polinomial. Jadi seperti yang sudah disampaikan di awal bab, medan C dipahami

sebagai perluasan dari medan R yang memuat akar dari x2 + 1.

Pada Teorema 2.6.5 sudah dibuktikan bahwa polinomial p(x) dalam F[x] yang

berderajat n, mempunyai paling banyak n akar dalam medan F. Jelas bahwa p(x) juga

mempunyai paling banyak n akar dalam perluasan dari F. Polinomial x3 − x2 + x − 1

mempunyai satu akar dalam R yaitu 1, tetapi tiga akar dalam C yaitu −i, 1, i.


75

Polinomial x3 + x2 − 8x − 12 = (x + 2)2 (x − 3) = (x + 2) (x + 2) (x − 3) mempunyai

tiga akar dalam Q termasuk akar berulang dari −2 (untuk menentukan akar-akar suatu

polinomial digunakan Teorema Faktor). Jadi −2 akar berulang 2, dan 3 akar berulang 1

dari x3 + x2 − 8x − 12, sehingga x3 + x2 − 8x − 12 mempunyai tiga akar dalam R dan C.

Definisi 3.1.2.

Misalkan medan E perluasan dari medan F. Elemen a ∈ E disebut akar berulang m ≥ 1

dari f(x) ∈ F[x] jika dan hanya jika f(x) = (x − a)m g(x) untuk suatu g(x) ∈ E[x] dengan

g(a) ≠ 0.

Tampak bahwa Definisi 3.1.2 di atas diturunkan dari Teorema Faktor. Di sini juga

berarti b ∈ F adalah akar berulang m dari f(x) ∈ F[x] untuk E = F. Jadi Definisi 3.1.2

bersifat lebih umum, dalam arti berlaku untuk perluasan dari F. Dan pernyataan g(a) ≠ 0

pada definisi di atas ekivalen dengan (x − a)m+1 bukan faktor dari f(x).

Definisi 3.1.3.

Misalkan medan E perluasan dari medan F. Polinomial f(x) ∈ F[x] dikatakan membelah

dalam E[x] (atau membelah atas E) jika dan hanya jika f(x) dapat difaktorkan menjadi

polinomial-polinomial linear dalam E[x].

Teorema 3.1.2.

Jika f(x) ∈ F[x] berderajat n ≥ 1, maka terdapat medan E yang memuat medan F

sedemikian sehingga f(x) membelah atas E.


76

BUKTI.

Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 1, maka f(x) linear dan E = F.

Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n = k − 1.


Jika f(x) ∈ F[x] berderajat k, maka dari Teorema Kronecker, terdapat medan

E1 yang memuat F dan suatu akar dari f(x), katakanlah a1. Jadi dalam E1[x],

f(x) = (x − a1) g(x) untuk suatu g(x) ∈ E1[x] (Teorema Faktor). Maka g(x)

berderajat k − 1, sehingga menurut asumsi di atas terdapat medan E yang

memuat E1 sedemikian sehingga g(x) membelah atas E. Dengan demikian

g(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial linear dalam E[x]. Ini

berarti f(x) adalah perkalian polinomial-polinomial linear dalam E[x]. Jadi

f(x) membelah atas E.

Terbukti terdapat medan E yang memuat medan F sedemikian sehingga f(x) membelah

atas E, untuk ∀n ≥ 1. ■

Perhatikan bahwa jika f(x) dalam F[x] membelah atas medan perluasan dari F

(misalkan saja E), maka E memuat semua akar dari f(x) termasuk akar-akar berulang,

juga benar untuk kebalikannya (Teorema Faktor). Medan E yang demikian itu disebut

medan pembelah (splitting field) dari f(x) atas medan F. Dan Teorema 3.1.2 di atas

membuktikan bahwa medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Contohnya,

C adalah medan pembelah dari polinomial x2 + 1 ∈ R[x] (karena x2 + 1 = (x + i) (x − i)

di mana (x + i), (x − i) ∈ C[x]).


77

Pada bukti Teorema 3.1.2, medan E dipilih sebagai medan pembelah terkecil dari

polinomial f(x) ∈ F[x]. Dari bukti Teorema Kronecker, medan )2(][ 2 −xxQ memuat

suatu akar dari polinomial taktereduksi x2 − 2 ∈ Q[x]. Karena x2 − 2 berderajat 2, maka

x2 − 2 membelah atas )2(][ 2 −xxQ . Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 2.6.4,

medan )2(][ 2 −xxQ adalah medan K = {a + b 2 : a, b ∈ Q} ⊂ R ⊂ C.

Definisi 3.1.4.

Medan perluasan terkecil E dari medan F yang memuat semua akar dari f(x) ∈ F[x]

disebut medan pembelah dari polinomial f(x).

Definisi di atas menunjukkan bahwa medan pembelah dari polinomial f(x) ∈ F[x]

adalah irisan semua medan yang memuat F dan semua akar dari f(x).

Lebih lanjut, setiap dua medan pembelah yang ditentukan oleh suatu polinomial

saling isomorfis. Dengan perkataan lain, hanya ada satu medan pembelah dari suatu

polinomial. Medan pembelah dari polinomial x2 + 1 ∈ R[x] dan anggota-anggotanya

berbentuk koset adalah )1(][ 2 +xxR . Dan pada Contoh 2.6.4 telah ditunjukkan bahwa

)1(][ 2 +xxR ≅ C. Akan tetapi, untuk pembuktian secara umum ketunggalan medan

pembelah dari suatu polinomial, dalam tulisan ini tidak diberikan karena pembuktiannya

menggunakan Teorema Perluasan Isomorfisma (ini merupakan bagian permulaan dari

teori Galois).

Perlu diingatkan bahwa definisi medan pembelah dari suatu polinomial f(x) ∈ F[x]

tergantung pada medan F yang didefinisikan. Untuk menjelaskan maksud tersebut, akan

dikonstruksi suatu medan. Idenya berdasarkan pada F[x], yaitu himpunan semua


78

polinomial dalam x atas F. Telah diketahui bahwa F[x] bukan medan melainkan daerah

integral yang memuat F dan x. Untuk hal tersebut, gelanggang faktor yang memegang

peranan penting dan homomorfisma evaluasi dapat digunakan secara bersama-sama.

Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan α ∈ E. Maka terdapat

homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E dengan aturan θα(f(x)) = f(α) untuk ∀f(x) ∈ F[x].

Dan Im(θα) = {f(α) ∈ E : f(α) = θα(f(x)), f(x) ∈ F[x]} daerah integral dalam E sebab E

tidak mempunyai pembagi nol. Maka menurut Teorema Isomorfisma, Im(θα) ≅ IxF ][

di mana I = Ker(θα) ideal dalam F[x]. Perhatikan bahwa α adalah akar dari ∀f(x) ∈ I

sebab I = {f(x) ∈ F[x] : θα(f(x)) = f(α) = 0}. Karena setiap ideal dalam F[x] adalah ideal

utama (Teorema 2.6.6), maka I = (p(x)) untuk suatu polinomial p(x) ∈ F[x]. Karena

Im(θα) daerah integral, maka ))((][ xpxF juga daerah integral. Akan tetapi ini berlaku

hanya jika p(x) = 0 (sebab )0(][xF ≅ F[x]) atau p(x) taktereduksi (Teorema 2.6.14).

Jadi jika p(x) = 0, maka Im(θα) adalah daerah integral yang isomorfis dengan F[x].

Dan menurut Teorema Medan Hasil Bagi Daerah Integral, E memuat dengan tunggal

submedan K = { )()( αα hg : g(α), h(α) ∈ Im(θα), h(α) ≠ 0}. Medan K ini isomorfis

dengan medan semua fungsi rasional F(x) = { )()( xhxg : g(x), h(x) ∈ F[x], h(x) ≠ 0}

dan K medan terkecil yang memuat F dan α.

Sedangkan jika p(x) taktereduksi, maka Im(θα) merupakan medan yang isomorfis

dengan ))((][ xpxF . Karena ))((][ xpxF adalah medan terkecil yang memuat F dan α

di mana α adalah akar dari p(x), maka Im(θα) medan terkecil yang memuat F dan α.

Untuk lebih mudahnya (juga dalam kedua kasus p(x) di atas), medan terkecil yang

memuat F dan α dinotasikan dengan F(α), yang tertuang dalam definisi di bawah ini.


79

Definisi 3.1.5.

Jika E perluasan dari medan F dan α ∈ E, maka F(α) disebut submedan terkecil dari E

yang memuat F dan α.

Contoh 3.1.1.

Misalkan F = R, E = C dan α = i. Karena i merupakan akar dari polinomial taktereduksi

x2 + 1 ∈ R[x], maka homomorfisma evaluasi θi : R[x] → C memberikan R(i) = Im(θi) =

{θi(k(x)) ∈ C : k(x) ∈ R[x]}. Maka R(i) = C sebab setiap elemen dalam R(i) berbentuk

a + bi = θi(a + bx) untuk a, b ∈ R.

Definisi 3.1.6.

Misalkan medan E perluasan dari medan F dan a ∈ E. Elemen a disebut elemen aljabar

atas F jika dan hanya jika f(a) = 0 untuk suatu polinomial monik f(x) ∈ F[x].

Contoh 3.1.2.

Bilangan i ∈ C adalah elemen aljabar atas Q dan R sebab i adalah akar dari x2 + 1.

Bilangan real 2 adalah elemen aljabar atas Q sebab 2 adalah akar dari x2 − 2.

Tetapi bilangan real e dan π bukan elemen aljabar atas Q sebab e dan π bukan akar dari

setiap polinomial takkonstan f(x) ∈ Q[x] (pembuktiannya tidak diberikan di sini).

Elemen-elemen demikian (yang bukan elemen aljabar) disebut elemen transendental.

Misalkan p(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi dan α ∈ E adalah akar dari p(x).

Maka jelas α adalah akar dari setiap polinomial takkonstan g(x) ∈ F[x] di mana g(x)


80

merupakan hasil perkalian p(x) dengan polinomial lainnya. Sebagai contoh, bilangan

kompleks i adalah akar dari polinomial taktereduksi x2 + 1 ∈ R[x], maka i juga adalah

akar dari polinomial-polinomial (x2 + 1) (x + 3), (x2 + 1) (x3 − 7x2 + 5), (x2 + 1) h(x).

Kemudian untuk suatu r ∈ R, maka r (x2 + 1) adalah polinomial berderajat minimal dari

semua polinomial takkonstan atas R yang mempunyai i sebagai akar. Tetapi hanya ada

satu polinomial monik berderajat 2 dalam R[x] yang mempunyai i sebagai akar, yaitu

polinomial x2 + 1.

Lema 3.1.3.

Misalkan E adalah medan perluasan dari medan F dan p(x) ∈ F[x] polinomial monik

taktereduksi berderajat d yang mempunyai α ∈ E sebagai akar.

(i) Jika f(x) ∈ F[x] mempunyai α sebagai akar, maka d ≤ der(f(x)).

(ii) Polinomial monik berderajat d dalam F[x] yang mempunyai α sebagai akar

hanyalah p(x).

BUKTI.

(i) Misalkan I = {f(x) ∈ F[x] : f(α) = 0}. Jelas I ideal dalam F[x] sebab terdapat

homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E di mana Ker(θα) = I ideal dalam F[x]. Jika

f(x) ∈ I, maka (f(x), p(x)) = k(x) ∈ I sebab k(x) = f(x) r(x) + p(x) s(x) (Teorema

2.6.7). Karena p(x) polinomial monik taktereduksi, maka polinomial monik yang

membagi p(x) hanyalah 1F dan p(x). Tetapi 1F ∉ I, maka haruslah k(x) = p(x),

sehingga )()( xfxp .

Jadi d = der(p(x)) ≤ der(f(x)) untuk ∀f(x) ∈ F[x] yang mempunyai α sebagai akar.


81

(ii) Misalkan juga m(x) polinomial monik berderajat d yang mempunyai α sebagai

akar. Maka p(x) − m(x) ∈ I, sehingga p(x) − m(x) mempunyai α sebagai akar.

Andaikan p(x) − m(x) ≠ 0. Berarti der(p(x) − m(x)) < d, kontradiksi dengan (i).

Dengan demikian haruslah p(x) − m(x) = 0, yaitu p(x) = m(x). ■

Proposisi penting di bawah ini merangkum situasi-situasi di atas.

Proposisi 3.1.4.

Jika E medan perluasan dari medan F dan α ∈ E elemen aljabar atas F, maka

(i) terdapat polinomial monik taktereduksi p(x) ∈ F[x] yang mempunyai α sebagai

akar,

(ii) jika f(x) ∈ F[x] mempunyai α sebagai akar, maka p(x) membagi f(x),

(iii) satu-satunya polinomial monik berderajat minimal dalam F[x] yang mempunyai α

sebagai akar adalah p(x),

(iv) ))((][ xpxF ≅ F(α).

BUKTI.

(i) Jika E perluasan dari F dan α ∈ E, maka θα : F[x] → E merupakan homomorfisma

evaluasi. Karena α adalah elemen aljabar atas F, maka Ker(θα) ≠ {0}. Dan karena

setiap ideal dalam F[x] adalah ideal utama, maka Ker(θα) = (p(x)) untuk suatu

polinomial monik p(x) ∈ F[x]. Dari Teorema Isomorfisma, ))((][ xpxF ≅ Im(θα).

Karena Im(θα) daerah integral, maka ))((][ xpxF juga daerah integral. Menurut

Teorema 2.5.7, (p(x)) ideal prima. Dari bukti Teorema 2.6.9, p(x) taktereduksi.


82

Karena p(x) ∈ (p(x)) = Ker(θα), maka p(α) = 0. Jadi p(x) adalah polinomial monik

taktereduksi yang mempunyai α sebagai akar.

(ii) Dari bukti Lema 3.1.3.

(iii) Lema 3.1.3.

(iv) Karena α adalah akar dari p(x), maka Im(θα) adalah medan terkecil yang memuat

F dan α, yaitu Im(θα) = F(α), sehingga ))((][ xpxF ≅ F(α). ■

Ketunggalan polinomial monik p(x) pada Proposisi 3.1.4 disebut polinomial

taktereduksi untuk α atas F (atau polinomial berderajat minimal untuk α atas F).

Karena 2 ∈ R adalah elemen aljabar atas Q, maka polinomial monik taktereduksi

untuk 2 atas Q adalah x2 − 2. Tetapi polinomial monik taktereduksi dalam R[x] untuk

2 adalah x − 2 sebab x − 2 berderajat minimal dan x − 2 membagi x2 − 2.

Polinomial monik taktereduksi dalam R[x] untuk 1 + i adalah x2 − 2x + 2.

Proposisi 3.1.5.

Misalkan medan E perluasan dari medan F. Jika α ∈ E adalah elemen aljabar atas F

dengan p(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi untuk α berderajat n, maka setiap β ∈ F(α)

dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk β = b0 + b1α + … + bn−1αn−1 di mana

bi ∈ F.

BUKTI.

Homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E memberikan Im(θα) = {f(α) ∈ E : f(α) = θα(f(x))

untuk suatu f(x) ∈ F[x]}. Diketahui α adalah elemen aljabar atas F dengan p(x) ∈ F[x]


83

polinomial taktereduksi untuk α berderajat n. Sehingga ))((][ xpxF ≅ F(α) = Im(θα)

(Proposisi 3.1.4). Perhatikan bahwa setiap elemen dalam F(α) berbentuk polinomial

dalam α dengan koefisien-koefisien dalam F. Kemudian dari Teorema 2.6.15, maka

setiap koset dalam ))((][ xpxF dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk

(p(x)) + s(x) dengan der(s(x)) < n. Ini berarti setiap koset dalam ))((][ xpxF dapatlah

direpresentasikan dengan tunggal dalam bentuk polinomial s(x) berderajat < n kecuali

untuk koset (p(x)) + p(x). Jadi setiap elemen dalam F(α) dapat diekspresikan dengan

tunggal dalam bentuk polinomial s(α) berderajat < n kecuali untuk p(α) sebab p(α) = 0.

Jadi setiap β ∈ F(α) dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk β = b0 + b1α +

… + bn−1αn−1 di mana bi ∈ F. ■

Hasil-hasil yang sudah didapat dikaitkan sebagai berikut, dalam Contoh 2.6.4

ditunjukkan bahwa )1(][ 2 +xxR ≅ C. Dalam Contoh 3.1.1 ditunjukkan R(i) = C. Dan

Proposisi 3.1.4 membuktikan R(i) ≅ )1(][ 2 +xxR . Kemudian dengan Proposisi 3.1.5,

elemen-elemen dalam R(i) lebih mudah ditentukan, yaitu R(i) = {a + bi : a, b ∈ R}.

Dengan demikian sekarang dengan mudah dapat ditentukan medan pembelah dari

polinomial taktereduksi x2 − 2 ∈ Q[x] yang isomorfis dengan medan )2(][ 2 −xxQ ,

yaitu medan Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q} (ini jika dibandingkan dengan cara yang

sama seperti pada Contoh 2.6.4, yaitu dengan menunjukkan )2(][ 2 −xxQ isomorfis

dengan K = {a + b 2 : a, b ∈ Q}).

Dengan demikian, medan semua bilangan kompleks yang sudah kita kenal dengan

C = {a + bi : a, b ∈ R} dikonstruksi dari R dengan menggunakan Proposisi 3.1.4 dan


84

Proposisi 3.1.5 (juga berpegang prinsip pada Teorema Kronecker). Penggunaan huruf i

(berpautan dengan kata imaginary) merupakan suatu tradisi untuk menyatakan akar dari

x2 + 1, yaitu i2 + 1 = 0 (yang kemudian didefinisikan i2 = −1).

Jika α ∈ F, maka jelas F medan terkecil yang memuat F dan α. Proposisi 3.1.4

dan Proposisi 3.1.5 juga dapat menunjukkannya. Jika α ∈ F, maka polinomial monik

taktereduksi dalam F[x] untuk α adalah polinomial linear x − α, sehingga medan

terkecil yang memuat F dan α adalah F(α) = {b : b ∈ F} = F. Ini juga berarti F(α) = F

adalah medan pembelah dari x − α.

Misalkan g(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi berderajat k dan α1, α2, …, αk ∈ E

(perluasan dari medan F) adalah akar-akar dari g(x). Dari Proposisi 3.1.4, ))((][ xgxF

isomorfis dengan F(α1), F(α2), …, F(αk), sehingga F(α1) ≅ F(α2) ≅ … ≅ F(αk). Jadi

))((][ xgxF memuat semua akar dari g(x) atau ))((][ xgxF adalah medan pembelah

dari polinomial taktereduksi g(x) ∈ F[x]. Ini berarti bahwa jika α ∈ E adalah akar dari

polinomial taktereduksi g(x) ∈ F[x], maka F(α) adalah medan pembelah dari g(x), yaitu

medan terkecil yang memuat F dan semua akar dari g(x).

Sebelumnya sudah disinggung bahwa medan pembelah dari suatu polinomial

tergantung pada medan yang didefinisikan. Medan pembelah dari x2 + 1 ∈ R[x] adalah

R(i) = C, tetapi jika x2 + 1 ∈ Q[x], maka medan pembelahnya Q(i) = {a + bi : a, b ∈ Q}

(submedan dari C). Artinya, medan terkecil yang memuat Q dan semua akar dari x2 + 1

adalah Q(i).

Semua contoh medan pembelah di atas dari polinomial taktereduksi, padahal

menurut Teorema 3.1.2, medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Berikut ini

diberikan contoh-contoh medan pembelah dari polinomial tereduksi.


85

Contoh 3.1.3.

Akan ditentukan medan pembelah dari x3 − 1 ∈ Q[x].

Karena 1 ∈ Q akar dari x3 − 1 ∈ Q[x], maka x3 − 1 tereduksi dalam Q[x], yaitu (x − 1)

faktor dari x3 − 1. Dengan pembagian yang panjang, didapat x3 − 1 = (x − 1) (x2 + x + 1).

Dan x2 + x + 1 tidak mempunyai akar dalam Q, sehingga x2 + x + 1 taktereduksi atas Q

(Teorema 2.6.8). Jadi )1(][ 2 ++ xxxQ medan pembelah dari x2 + x + 1 ∈ Q[x]. Karena

1 ∈ Q ⊂ )1(][ 2 ++ xxxQ , maka )1(][ 2 ++ xxxQ medan pembelah dari x3 − 1 ∈ Q[x].

Kemudian Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 digunakan untuk menentukan medan

yang isomorfis dengan )1(][ 2 ++ xxxQ . Dengan menggunakan rumus kuadrat yang

sudah dikenal, maka w = 2)31( i+− ∈ C merupakan akar dari x2 + x + 1. Dengan

demikian Q(w) = {a + bw : a, b ∈ Q} medan yang isomorfis dengan )1(][ 2 ++ xxxQ .

Karena a, b ∈ Q dan w = 2)31( i+− , maka medan pembelah dari x3 − 1 ∈ Q[x]

adalah {c + di 3 : c, d ∈ Q} = Q(i 3 ) ⊂ C (sebab polinomial monik taktereduksi

dalam Q[x] untuk i 3 adalah polinomial berderajat 2, yaitu x2 + 3).

Contoh 3.1.4.

Akan ditentukan medan pembelah dari x4 − x2 − 2 ∈ Q[x].

Polinomial ini tidak mempunyai akar dalam Q tetapi tereduksi atas Q, yaitu x4 − x2 − 2

= (x2 − 2) (x2 + 1). Dari contoh-contoh di atas, maka Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}

medan pembelah dari x2 − 2 ∈ Q[x], dan Q(i) = {a + bi : a, b ∈ Q} medan pembelah

dari x2 + 1 ∈ Q[x]. Tetapi 2 ∉ Q(i) dan i ∉ Q( 2 ), sehingga Q( 2 ) dan Q(i)

kedua-duanya bukan medan pembelah dari x4 − x2 − 2 ∈ Q[x]. Dapat ditunjukkan bahwa


86

{a + b 2 + ci + di 2 : a, b, c, d ∈ Q} medan pembelah dari x4 − x2 − 2 ∈ Q[x]

(pembuktiannya analog dengan Contoh 3.1.5 di bawah).

Pembahasan tentang perluasan medan di atas, yaitu medan pembelah dari suatu

polinomial f(x) ∈ F[x] dan submedan terkecil dari medan E yang memuat medan F dan

α ∈ E, telah memberikan gambaran tentang medan-medan lainnya selain medan-medan

Q, R, dan C yang sudah kita kenal. Medan-medan Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q} dan

Q(i) = {a + bi : a, b ∈ Q} dapat diperiksa kembali apakah tertutup terhadap operasi

penjumlahan, perkalian, dan invers multiplikatif. Jelas kedua medan tertutup terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian. Invers multiplikatif dari a + b 2 ≠ 0 ∈ Q( 2 )

adalah )( ca − 2)( cb di mana c = a2 − 2b2. Invers multiplikatif dari a + bi ≠ 0 ∈ Q(i)

adalah )( da − idb )( di mana d = a2 + b2.

Definisi 3.1.5 dapat digeneralisasi. Misalkan elemen-elemen α1, α2, …, αn ∈ E

(medan yang memuat medan F). Maka terdapat medan perluasan terkecil dari F yang

memuat {α1, α2, …, αn}, ditulis F(α1, α2, …, αn). Jadi suatu medan dapat dihasilkan

dari F dan {α1, α2, …, αn}, yaitu dengan mengoperasikan berulang-ulang penjumlahan,

perkalian, invers aditif, invers multiplikatif setiap elemen dari F dan {α1, α2, …, αn}.

Kemudian jika α1, α2, …, αn merupakan akar-akar dari suatu polinomial f(x) ∈ F[x],

maka F(α1, α2, …, αn) adalah medan pembelah dari f(x).

Contoh 3.1.5.

Akan ditentukan medan perluasan terkecil dari Q yang memuat { 2 , 3 }.


87

Dengan memfokuskan ketertutupan operasi penjumlahan dan perkalian dari 2 dan

3 , sepertinya Q( 2 , 3 ) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ Q}. Tetapi akan

digunakan Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 untuk menunjukkannya. Perkalian dari

2 dan 3 adalah 6 , sehingga polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk

6 adalah x2 − 6. Dengan Proposisi 3.1.5, maka Q( 6 ) = {a + b 6 : a, b ∈ Q}.

Tetapi Q( 6 ) tidak memuat 2 dan 3 . Padahal Q( 2 , 3 ) harus memuat 2 dan

3 , sehingga Q( 2 , 3 ) ≠ Q( 6 ). Misalkan α = 2 + 3 , maka α2 = 5 + 2 6 ⇔

α2 − 5 = 2 6 ⇔ (α2 − 5)2 = 24 ⇔ α4 − 10α2 + 1 = 0. Ini berarti polinomial monik

taktereduksi dalam Q[x] untuk 2 + 3 adalah x4 − 10x2 + 1. Dengan Proposisi 3.1.5,

maka Q(α) = {e + fα + gα2 + hα3 : e, f, g, h ∈ Q}. Perhatikan bahwa α3 = ( 2 + 3 )3

= (5 + 2 6 ) ( 2 + 3 ) = 11 2 + 9 3 . Maka Q( 2 + 3 ) = {a + b 2 + c 3 +

d 6 : a, b, c, d ∈ Q} (memuat 2 dan 3 ). Dengan demikian haruslah Q( 2 , 3 )

= Q( 2 + 3 ). Di sini Q( 2 , 3 ) adalah medan pembelah dari x4 − 5x2 + 6 ∈ Q[x]

(juga medan pembelah dari x4 − 10x2 + 1 ∈ Q[x]). Perhatikan juga bahwa Q( 2 , 3 )

adalah Q( 2 ) ( 3 ) atau Q( 3 ) ( 2 ), yaitu medan terkecil yang memuat medan

Q( 2 ) dan 3 , atau medan terkecil yang memuat medan Q( 3 ) dan 2 .

3.2. Ruang Vektor

Ruang vektor dapat digunakan untuk mempelajari perluasan medan. Diasumsikan

topik ruang vektor sudah dikenal dengan baik, di sini hanya diingatkan kembali dan

teorema-teorema yang berkaitan dengan perluasan medan saja yang dibuktikan.


88

Definisi 3.2.1.

Ruang vektor V atas medan F adalah grup komutatif (V, +) bersama dengan operasi

perkalian skalar dan dipenuhi

(i) ru ∈ V,

(ii) rs(u) = r(su),

(iii) (r + s)u = (ru) + (su),

(iv) r(u + v) = (ru) + (rv),

(v) 1Fu = u

untuk setiap skalar r, s ∈ F dan setiap vektor u, v ∈ V.

Contoh 3.2.1.

Jika F medan, maka Fn = F × F × … × F = {(a1, a2, …, an) : ai ∈ F} merupakan grup

komutatif terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan operasi perkalian skalar dengan

ru = (ra1, ra2, …, ran) di mana u ∈ Fn dan r ∈ F. Jelas Fn adalah ruang vektor atas F

sebab memenuhi sifat-sifat ruang vektor. Sudah dibuktikan bahwa jika p prima, maka

Zp medan, sehingga npZ adalah ruang vektor atas Zp dengan banyaknya elemen dalam

npZ adalah pn.

Contoh 3.2.2.

Misalkan F medan dan F[x] gelanggang semua polinomial atas F. Didefinisikan operasi

perkalian skalar dengan rv = r a(x) = r (a0 + a1x + … + anxn) = (ra0 + ra1x + … + ranxn)

di mana a(x) ∈ F[x] adalah vektor dan r ∈ F adalah skalar. Maka F[x] adalah ruang

vektor atas F. Sifat-sifat ruang vektor dipenuhi sebab F[x] daerah integral.


89

Contoh 3.2.3.

Misalkan medan E perluasan dari medan F. Didefinisikan operasi perkalian skalar

dengan rw = ra di mana a ∈ E sebagai vektor dan r ∈ F sebagai skalar. Maka E ruang

vektor atas F.

Definisi 3.2.2.

Subhimpunan W ≠ ∅ dari ruang vektor V disebut subruang dari ruang vektor V jika dan

hanya jika W adalah ruang vektor terhadap operasi yang didefinisikan dalam V.

Contoh 3.2.4.

Himpunan ⟨v1, v2, …, vn⟩ = {a1v1 + a2v2 + … + anvn : ai∈ F, vi ∈ V} adalah subruang

dari ruang vektor V atas medan F.

Definisi 3.2.3.

Subruang W = ⟨v1, v2, …, vn⟩ dari ruang vektor V atas medan F disebut subruang yang

direntang (atau dibangun) oleh subhimpunan {v1, v2, …, vn} dari V. Dan vektor-vektor

v = a1v1 + a2v2 + … + anvn ∈ W disebut kombinasi linear dari v1, v2, …, vn.

Definisi 3.2.4.

Misalkan V ruang vektor atas medan F. Vektor-vektor v1, v2, …, vn ∈ V dikatakan

bebas linear atas F jika dan hanya jika persamaan a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 untuk ∀ai

∈ F, dipenuhi hanya jika a1 = a2 = … = an = 0. Selainnya disebut takbebas linear atas

F, yaitu terdapat sekurang-kurangnya satu ai ≠ 0 ∈ F dan a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0.


90

Definisi 3.2.5.

Misalkan V ruang vektor atas medan F dan v1, v2, …, vn ∈ V. Himpunan {v1, v2, …, vn}

disebut basis dari V atas F jika dan hanya jika {v1, v2, …, vn} merentang V dan vektor-

vektor v1, v2, …, vn bebas linear atas F.

Contoh 3.2.5.

Himpunan {(1F, 0, …, 0), (0, 1F, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1F)} merupakan basis (disebut

basis standar) dari Fn atas F sebab {(1F, 0, …, 0), (0, 1F, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1F)}

merentang Fn dan (1F, 0, …, 0), (0, 1F, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1F) bebas linear atas F.

Dalam ruang vektor dibuktikan bahwa setiap dua basis dari ruang vektor V atas

medan F mempunyai banyak vektor yang sama, disebut sebagai dimensi dari V atas F

dan ditulis dimF(V). Sebagai contoh, C adalah ruang vektor atas R di mana {1, i} basis

dari C atas R sebab {1, i} merentang C dan 1, i bebas linear. Tetapi {−1, i} juga basis

dari C atas R. Banyaknya vektor dalam setiap basis dari C adalah 2, yaitu dimR(C) = 2.

Kemudian dibuktikan juga bahwa setiap n vektor bebas linear dalam ruang vektor V

berdimensi n (terdapat n vektor merentang V) adalah basis dalam V. Jika dimF(V) = n,

maka setiap m vektor dari V (m > n) adalah vektor-vektor takbebas linear atas F.

Teorema 3.2.1.

Misalkan V ruang vektor atas medan F dan v1, v2, …, vn ∈ V bebas linear atas F. Maka

setiap elemen (vektor) v ∈ ⟨v1, v2, …, vn⟩ dapat diekspresikan dengan tunggal dalam

bentuk v = a1v1 + a2v2 + … + anvn, di mana ai ∈ F.


91

BUKTI.

Misalkan v mempunyai ekspresi v = a1v1 + a2v2 + … + anvn = b1v1 + b2v2 + … + bnvn

dengan ai, bi ∈ F. Maka (a1 − b1)v1 + (a2 − b2)v2 + … + (an − bn)vn = 0. Karena elemen-

elemen v1, v2, …, vn bebas linear atas F, maka a1 − b1 = a2 − b2 = … = an − bn = 0,

sehingga a1 = b1, a2 = b2, …, an = bn. ■

Teorema 3.2.2.

Jika V ruang vektor berdimensi berhingga atas medan F, maka V mempunyai basis.

BUKTI.

Misalkan subhimpunan minimal {v1, v2, …, vn} merentang V. Akan ditunjukkan bahwa

v1, v2, …, vn bebas linear sehingga {v1, v2, …, vn} basis untuk V. Andaikan v1, v2, …, vn

takbebas linear atas F. Maka terdapat a1 ≠ 0 ∈ F sehingga a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0.

Jadi v1 = (−a1−1) (a2v2 + … + anvn). Karena V direntang oleh {v1, v2, …, vn}, maka

untuk sembarang v ∈ V, v = b1v1 + b2v2 + … + bnvn = b1(−a1−1) (a2v2 + … + anvn) + b2v2

+ … + bnvn. Ini berarti {v2, v3, …, vn} merentang V. Terdapat suatu kontradiksi, karena

diasumsikan V direntang oleh subhimpunan minimal {v1, v2, …, vn}. Sehingga haruslah

v1, v2, …, vn bebas linear.

Terbukti setiap ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai basis. ■

Definisi 3.2.6.

Dimensi medan perluasan E (sebagai ruang vektor) atas medan F disebut derajat dari E

atas F, ditulis [E : F]. Jika [E : F] berhingga, maka E disebut perluasan berhingga.


92

Teorema 3.2.3.

Misalkan medan E perluasan dari medan F. Jika α ∈ E elemen aljabar atas F dengan

polinomial taktereduksi p(x) ∈ F[x] untuk α berderajat n, maka F(α) adalah perluasan

berhingga berderajat n di mana basis dari F(α) atas F adalah {1E, α, α2, …, αn−1}.

BUKTI.

Jika α ∈ E elemen aljabar atas F dengan polinomial taktereduksi p(x) ∈ F[x] untuk α

berderajat n, maka menurut Proposisi 3.1.5, setiap β ∈ F(α) dapat diekspresikan dengan

tunggal dalam bentuk β = b0 + b1α + b2α2 + … + bn−1αn−1 di mana bi ∈ F. Jadi setiap

elemen β ∈ F(α) kombinasi linear dari 1E, α, α2, …, αn−1, sehingga {1E, α, α2, …, αn−1}

merentang F(α). Akan ditunjukkan bahwa 1E, α, α2, …, αn−1 bebas linear atas F

sehingga {1E, α, α2, …, αn−1} basis dari F(α). Jika b0 + b1α + … + bn−1αn−1 = 0, maka

q(α) = 0 untuk suatu q(x) = b0 + b1x + … + bn−1xn−1 ∈ F[x]. Karena p(x) taktereduksi

(berderajat minimal) yang mempunyai α sebagai akar, maka haruslah q(x) = 0. Ini

berarti b0 = b1 = … = bn−1 = 0. Dengan demikian 1E, α, α2, …, αn−1 bebas linear. Jadi

{1E, α, α2, …, αn−1} basis dari F(α) atas F, sehingga [F(α) : F] = dimF(F(α)) = n. ■

Sebagai catatan, jika F(α) adalah perluasan berhingga, tidak berarti F(α) adalah

medan berhingga. Contohnya, R(i) = C adalah perluasan berhingga berderajat 2 atas R.

Definisi 3.2.7.

Medan perluasan E dari medan F disebut perluasan aljabar jika dan hanya jika setiap

elemen dalam E adalah elemen aljabar atas F.


93

Teorema 3.2.4.

Jika medan E perluasan berhingga dari medan F, maka E perluasan aljabar.

BUKTI.

Karena E perluasan berhingga dari F yaitu [E : F] = n, maka n + 1 elemen dari E

takbebas linear atas F. Ini berarti bahwa jika α ∈ E, maka 1E, α, α2, …, αn takbebas

linear atas F, yaitu terdapat bi ∈ F tidak semuanya nol sedemikian sehingga b0 + b1α +

b2α2 + … + bnαn = 0. Dengan demikian α adalah akar dari suatu polinomial q(x) = b0 +

b1x + b2x2 + … + bnxn ≠ 0 ∈ F[x] (kemudian q(x) dikalikan bn−1 ≠ 0 untuk mendapatkan

polinomial monik).

Terbukti setiap α ∈ E adalah elemen aljabar atas F. ■

3.3. Medan Galois

Sudah diketahui bahwa Zp adalah medan berhingga berorder p jika dan hanya jika

p prima. Ini berarti Z4 bukanlah medan. Tetapi terdapat medan berorder 4, tentu saja

medan ini bukan Z4 melainkan perluasan dari medan Z2. Medan perluasan dari Z2 ini

adalah ))((][2 xpxZ di mana p(x) adalah polinomial taktereduksi berderajat 2 atas Z2.

Akan ditunjukkan sekarang, bahwa karena 0 dan 1 dalam Z2 (demi kepraktisan, tanda

kurung siku dihilangkan) bukan akar-akar dari polinomial p(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x],

maka p(x) taktereduksi atas Z2 (Teorema 2.6.8). Telah ditunjukkan bahwa ))((][2 xpxZ

medan perluasan dari Z2 dan memuat semua akar dari p(x). Misalkan α ∈ ))((][2 xpxZ

akar dari p(x), maka menurut Proposisi 3.1.4, ))((][2 xpxZ isomorfis dengan medan

Z2(α), yaitu medan di mana semua elemennya adalah 0 + 0α, 1 + 0α, 0 + 1α, 1 + 1α


94

(Proposisi 3.1.5). Jadi Z2(α) = {0, 1, α, 1 + α} medan berhingga berorder 4. Tampak

bahwa Z2(α) ⊃ Z2. Karena α adalah akar dari p(x) = x2 + x + 1 yaitu α2 + α + 1 = 0,

maka α2 = −1 + (−α) = 1 + α (elemen dalam Z2(α) berbentuk polinomial dalam α

dengan koefisien-koefisien dalam Z2), sehingga (1 + α)2 + (1 + α) + 1 = 1 + 2α + α2 + 1

+ α + 1 = 1 + 2α + 1 + α + 1 + α + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) + 2α + 2α = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Jadi α dan 1 + α adalah akar-akar dari x2 + x + 1 ∈ Z2[x]. Di bawah ini tabel lengkap

penjumlahan dan perkalian setiap elemen dalam Z2(α). Penghitungan seperti di atas.

Tabel 3.1. Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk medan Z2(α)

+ 0 1 α 1 + α ⋅ 0 1 α 1 + α 0 0 1 α 1 + α 0 0 0 0 0 1 1 0 1 + α α 1 0 1 α 1 + α α α 1 + α 0 1 α 0 α 1 + α 1

1 + α 1 + α α 1 0

1 + α 0 1 + α 1 α

Dengan cara yang sama, medan berorder 23 = 8 dapat dikonstruksi dari Z2, dengan

polinomial taktereduksi berderajat 3 yaitu x3 + x + 1 ∈ Z2[x]. Semua elemennya adalah

0, 1, α, 1 + α, α2, 1 + α2, α + α2, 1 + α + α2. Dan akar-akar dari x3 + x + 1 ∈ Z2[x]

adalah α, α2, α + α2. Polinomial x2 + 1 taktereduksi atas Z3, maka dapat dikonstruksi

medan perluasan dari Z3 berorder 32 = 9 dan memuat semua akar dari x2 + 1 ∈ Z3[x].

Medan berorder 9 tersebut adalah {0, 1, 2, α, 2α, 1 + α, 1 + 2α, 2 + α, 2 + 2α} dan

akar-akar dari x2 + 1 ∈ Z3[x] adalah α dan 2α. Kemudian polinomial x3 + x2 + x + 1

taktereduksi dalam Z3[x], maka dapat dikonstruksi medan berorder 33 = 27. Demikian

seterusnya.


95

Galois menyatakan bahwa medan berorder pn selalu dapat dikonstruksi jika dapat

ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif n atas medan Zp.

Sekarang, polinomial-polinomial x dan x − 1 taktereduksi atas Z2, maka )(][2 xxZ

dan )1(][2 −xxZ semuanya adalah medan berorder 2. Tetapi )(][2 xxZ ≅ Z2(0) = Z2

dan )1(][2 −xxZ ≅ Z2(1) = Z2, sehingga )(][2 xxZ ≅ )1(][2 −xxZ . Jadi )(][2 xxZ

dan )1(][2 −xxZ merupakan medan Z2. Di atas ditunjukkan bahwa )1(][ 32 ++ xxxZ

medan berorder 8. Di sini )1(][ 232 ++ xxxZ juga medan berorder 8 sebab x3 + x2 + 1

taktereduksi atas Z2. Misalkan ω ∈ )1(][ 232 ++ xxxZ adalah akar dari x3 + x2 + 1,

maka )1(][ 232 ++ xxxZ = {0, 1, ω, 1 + ω, ω2, 1 + ω2, ω + ω2, 1 + ω + ω2}. Dengan

membuat tabel-tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk )1(][ 32 ++ xxxZ dan

)1(][ 232 ++ xxxZ di mana penghitungan dilakukan dengan mendefinisikan α3 = 1 + α

dan ω3 = 1 + ω2, tampak bahwa )1(][ 32 ++ xxxZ ≅ )1(][ 23

2 ++ xxxZ . Hal ini sedikit

menggambarkan bahwa setiap dua medan yang berorder pn saling isomorfis untuk suatu

bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n. Lema berikut gambaran lebih lanjut.

Lema 3.3.1.

Jika F medan berhingga berorder q, maka setiap elemen dalam F adalah akar dari

polinomial xq − x.

BUKTI.

F# = F − {0} adalah grup multiplikatif berorder q − 1. Dengan Akibat 2.2.12, aq−1 = 1F

untuk ∀a ∈ F#. Ini berarti aq = a, sehingga aq − a = 0. Dengan demikian setiap a ∈ F#


96

adalah akar dari xq − x. Tetapi 0 juga akar dari xq − x. Jadi setiap elemen dalam F adalah

akar dari xq − x. ■

Setiap medan berhingga F harus berkarakteristik prima p sebab tidak mungkin F

berkarakteristik 0 (memuat submedan prima yang isomorfis dengan Q). Jadi F memuat

submedan Zp. Lema 3.3.1 di atas menunjukkan bahwa jika F berorder pn, maka F adalah

medan pembelah dari npx − x ∈ Zp[x]. Sebelumnya sudah dijelaskan bahwa setiap dua

medan pembelah dari npx − x ∈ Zp[x] saling isomorfis untuk suatu bilangan prima p dan

suatu bilangan bulat positif n, sehingga Lema 3.3.1 memberikan gambaran ketunggalan

medan berorder pn. Medan berorder pn ini disebut medan Galois, dinotasikan dengan

GF(pn), di mana dikonstruksi dari Zp dengan polinomial taktereduksi berderajat positif n

atas Zp. Ketunggalan medan Galois berorder pn untuk suatu bilangan prima p dan suatu

bilangan bulat positif n, tetap dapat dibuktikan walaupun ketunggalan medan pembelah

dari suatu polinomial tidak dibuktikan di sini. Di bawah ini akan dibuktikan bahwa tidak

ada medan berhingga lainnya selain medan Galois.

Teorema 3.3.2.

Jika F medan berhingga, maka F = pn untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan

bulat positif n.

BUKTI.

Jika F medan berhingga, maka F memuat submedan Zp untuk suatu bilangan prima p.

Ini berarti F adalah ruang vektor atas Zp. Jelas F berdimensi berhingga, sehingga dari


97

Teorema 3.2.2, F mempunyai basis di mana banyaknya elemen dalam basis tersebut

adalah dimensi dari F atas Zp. Misalkan basis dari F atas Zp adalah {v1, v2, …, vn}

dengan vi ∈ F adalah vektor-vektor. Maka setiap vektor v ∈ F dapat diekspresikan

dengan tunggal dalam bentuk v = b1v1 + b2v2 + … + bnvn sebab v1, v2, …, vn bebas linear

(Teorema 3.2.1) dengan bi ∈ Zp. Maka total semua kombinasi linear dari v1, v2, …, vn

adalah pn. Jadi medan berhingga F berorder pn. ■

Akan dibuktikan pernyataan Galois bahwa ada medan berorder pn untuk setiap

bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n. Diawali lema-lema pendukung.

Lema 3.3.3.

Jika F adalah medan berkarakteristik prima p, maka nnn ppp baba )( +=+ untuk setiap

a, b ∈ F dan setiap bilangan bulat positif n.

BUKTI.

Ambil sembarang a, b ∈ F. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 1, maka menurut Teorema Binomial,

(a + b)p = ap +

1p

ap−1b +

2p

ap−2b2 + … + bp, )!(!! ipipip

−=

dengan

1 ≤ i ≤ p − 1. Karena i! dan (p − i)! kedua-duanya tidak dibagi oleh p tetapi

hanya p! yang dibagi oleh p, maka p membagi bilangan bulat positif

ip

.

Jadi jika F berkarakteristik p, yaitu pm = 0 untuk ∀m ∈ F, maka


98

ip

m = )!(!

)!1( )!(!

!ipippm

ipip

−−

=−

m = (sp)m = s(pm) = s0 = 0. Dengan

demikian (a + b)p = ap + bp.

Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n = k, yaitu kkk ppp baba )( +=+ .

Akan dibuktikan teorema benar untuk n = k +1.

111

)( )( ) ( ))(( )(+++

+=+=+=+=+kkkkkkkk pppppppppppp bababababa .

Terbukti nnn ppp baba )( +=+ untuk ∀n ≥ 1. ■

Lema 3.3.4.

Misalkan E medan berkarakteristik prima p dan n adalah bilangan bulat positif. Maka

g(x) = xq − x dengan q = pn tidak mempunyai akar berulang > 1 dalam E.

BUKTI.

Jelas 0 akar berulang 1 dari g(x) = xq − x = x (xq−1 − 1). Misalkan a ≠ 0 akar dari g(x)

dalam E, maka g(x) = (x − a) h(x). Akan ditunjukkan a bukan akar dari h(x) sehingga

g(x) tidak mempunyai akar berulang > 1. Perhatikan bahwa g(x − a) = (x − a)q − (x − a).

Karakteristik dari E adalah p, maka dari Lema 3.3.3, g(x − a) = xq + (−a)q − x + a.

Karena aq = a dengan q = pn, maka (−a)q + a = 0 untuk setiap p (sebab (−a)q + a = aq + a

= a + a = 2a = 0 untuk p = 2, dan (−a)q + a = −aq + a = −a + a = 0 untuk p > 2). Dengan

demikian g(x) = g(x − a) = (x − a)q − (x − a) = (x − a) ((x − a)q−1 − 1) dan di sini a bukan

akar dari (x − a)q−1 − 1 = h(x).

Terbukti g(x) tidak mempunyai akar berulang > 1 dalam E. ■


99

Teorema 3.3.5 (Eksistensi Medan Galois).

Untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n, terdapat medan

berorder pn.

BUKTI.

Jika g(x) = xq − x ∈ Zp[x] dengan q = pn, maka menurut Teorema 3.1.2, terdapat medan

E yang memuat Zp dan semua akar dari g(x). Jadi dalam E[x], g(x) = (x − a1) (x − a2) …

(x − aq). Karena E medan berkarakteristik p, maka menurut Lema 3.3.4, a1, a2, …, aq

saling berbeda. Misalkan K = {a ∈ E : g(a) = 0}, maka K = q = pn. Selanjutnya tinggal

ditunjukkan bahwa K adalah submedan dari E. Ambil sembarang a, b ∈ K, maka aq = a

dan bq = b. Menurut Lema 3.3.3, (a + b)q = aq + bq = a + b, sehingga g(a + b) = 0.

Kemudian, (ab)q = aqbq = ab, sehingga g(ab) = 0. Dan g(−a) = (−a)q − (−a) = 0 sebab

(−a)q − (−a) = aq + a = a + a = 2a = 0 jika p = 2, dan (−a)q − (−a) = −aq + a = −a + a = 0

jika p > 2. Berarti a + b, ab, −a ∈ K. Karena 1E ∈ K, maka K adalah subgelanggang

komutatif dari E dengan elemen satuan. Dan akhirnya, g(a−1) = (a−1)q − a−1 = (aq)−1 − a−1

= a−1 − a−1 = 0, yaitu a−1 ∈ K.

Terbukti K medan berorder pn. ■

Di atas sudah dibuktikan terdapat medan berorder q jika dan hanya jika q adalah

pangkat bilangan prima. Sebelum membuktikan ketunggalan medan berorder q = pn

untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, ditunjukkan terlebih

dahulu bahwa grup multiplikatif dari setiap medan berhingga adalah grup siklik. Untuk

hal tersebut, akan digunakan suatu konsep dalam teori bilangan.


100

Didefinisikan fungsi Euler φ(n) dengan φ(1) = 1 dan untuk n > 1, maka φ(n) =

banyaknya bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima terhadap n. Sebagai

contoh, φ(18) = 6 sebab bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari 18 dan relatif

prima terhadap 18 adalah 1, 5, 7, 11, 13, 17.

Teorema 3.3.6.

Jika m dan n adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka ∑ nmφ(m) = n.

BUKTI.

Misalkan G = {eG, a, a2, …, an−1}, yaitu G grup siklik berorder n yang dibangun oleh a.

Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah aplikasi dari Teorema 2.2.6. Jika nm , maka G

mempunyai tepat satu subgrup (dan siklik) H berorder m. Karena elemen berorder m

membangun subgrup berorder m, maka elemen-elemen berorder m dalam G semuanya

di dalam H. Misalkan H dibangun oleh ab = h. Maka hk berorder m jika k relatif prima

terhadap m dengan 1 ≤ k < m. Berarti banyaknya elemen berorder m adalah φ(m). Dan

karena order setiap elemen dalam G membagi n (Akibat 2.2.12), maka jelas jumlahan

dari φ(m) sama dengan n untuk setiap m yang membagi n, yaitu ∑ nmφ(m) = n. ■

Contoh 3.3.1.

Bilangan-bilangan bulat positif yang membagi 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Jadi φ(1) = 1,

φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(6) = 2, φ(9) = 6, φ(18) = 6. Dan φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(6) + φ(9) +

φ(18) = 18.


101

Teorema 3.3.7.

Subgrup berhingga G dari grup multiplikatif dari medan F adalah siklik.

BUKTI.

Jika F medan, maka F# = F − {0} adalah grup multiplikatif dari F. Misalkan G ≤ F#

berorder n. Akan ditunjukkan bahwa G memuat elemen berorder n sehingga G siklik.

Misalkan bilangan bulat taknegatif ψ(m) adalah banyaknya elemen berorder m dalam G.

Dibuktikan dahulu pernyataan-pernyataan berikut benar

(i) ψ(m) ≤ φ(m) untuk setiap m yang membagi n,

(ii) ∑ nmψ(m) = n,

(iii) ∑ nmφ(m) = n.

Jika ada elemen h berorder m dalam G, maka h membangun subgrup siklik H berorder

m dalam G. Jadi setiap elemen dalam H adalah penyelesaian dari persamaan xm = 1F.

Karena G memuat paling banyak m akar dari polinomial xm − 1F, maka G memuat

paling banyak m penyelesaian dari persamaan xm = 1F. Ini berarti H memuat setiap

penyelesaian dari persamaan xm = 1F. Dengan perkataan lain, elemen-elemen berorder m

dalam G semuanya di dalam H. Dari bukti Teorema 3.3.6, H memuat tepat φ(m) elemen

berorder m, sehingga ψ(m) = φ(m). Jika tidak ada elemen berorder m, maka ψ(m) = 0.

Jadi ψ(m) ≤ φ(m) untuk setiap m yang membagi n. Maka (i) benar. Karena order setiap

elemen dalam G membagi n, maka (ii) benar. Dan Teorema 3.3.6 membuktikan (iii).

Dari (i), (ii), (iii) menunjukkan bahwa ψ(m) = φ(m) untuk setiap m yang membagi n.

Berarti ψ(n) = φ(n) ≥ 1, yaitu G memuat elemen berorder n. Jadi G siklik. ■


102

Teorema 3.3.8.

Jika F medan berhingga, maka grup multiplikatif dari F adalah grup siklik.

BUKTI.

Teorema 3.3.7 sudah membuktikan bahwa setiap subgrup berhingga dari F# = F − {0}

adalah siklik. Karena F# adalah subgrup berhingga dari F#, maka F# siklik. ■

Contoh 3.3.2.

Z3# = {1, 2} adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 2. Grup K# = {1, α, 1 + α} dari

medan K berorder 4 adalah grup siklik yang dihasilkan oleh α dan 1 + α, di mana

polinomial taktereduksi berderajat 2 atas Z2 yaitu x2 + x + 1.

Akibat 3.3.9.

Jika F medan berhingga, maka F = Zp(a) untuk suatu bilangan prima p dan a ∈ F.

BUKTI.

Jika F medan berhingga, maka F adalah perluasan dari Zp untuk suatu bilangan prima p.

Kemudian dari Teorema 3.3.8, F# adalah grup siklik yang dihasilkan oleh a ∈ F. Karena

Zp(a) adalah medan yang dihasilkan dari Zp dan a, maka haruslah F = Zp(a). ■

Teorema 3.3.10.

Jika K dan L medan-medan berorder pn untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan

bulat n > 0, maka K dan L isomorfis.


103

BUKTI.

Jika K, L berorder pn untuk suatu bilangan prima p dan bilangan bulat n > 0, maka K, L

perluasan berhingga dari Zp. Dari Akibat 3.3.9, maka K = Zp(α) untuk suatu α ∈ K,

sehingga α adalah elemen aljabar atas Zp (Teorema 3.2.4). Menurut Proposisi 3.1.4,

terdapat polinomial taktereduksi g(x) dalam Zp[x] yang mempunyai α sebagai akar

sedemikian sehingga Zp(α) = K ≅ ))((][ xgxpZ . Perhatikan bahwa g(x) berderajat n

sebab [K : Zp] = n dan [Zp(α) : Zp] = der(g(x)) (Teorema 3.2.3). Karena α adalah akar

dari xq − x ∈ Zp[x] dengan q = pn (Lema 3.3.1), dan g(x) polinomial taktereduksi untuk

α atas Zp, maka g(x) harus membagi xq − x (Proposisi 3.1.4). Di lain pihak, akar-akar

dari xq − x semuanya adalah elemen dari L. Maka dalam L[x], xq − x = (x − β1) (x − β2)

… (x − βq) di mana βi ∈ L. Dalam L[x], tidak semua (x − βi) relatif prima terhadap g(x)

karena jika semua (x − βi) relatif prima terhadap g(x), maka (x − β1) (x − β2) … (x − βq)

= xq − x relatif prima terhadap g(x). Kontradiksi dengan g(x) membagi xq − x. Ini berarti

(x − βi) dan g(x) mempunyai faktor persekutuan berderajat 1 untuk suatu βi ∈ L. Maka

haruslah di sini (x − βi) membagi g(x), yaitu g(x) = (x − βi) h(x) untuk suatu h(x) ∈ L[x],

sehingga βi adalah akar dari g(x). Karena g(x) taktereduksi atas Zp, maka dari Proposisi

3.1.4, Zp(βi) ≅ ))((][ xgxpZ . Dan menurut Teorema 3.2.3, [Zp(βi) : Zp] = der(g(x)) = n.

Karena [L : Zp] = n dan homomorfisma evaluasi iβθ : Zp[x] → L menunjukkan bahwa

Zp(βi) ⊆ L, maka haruslah L = Zp(βi). Jadi K ≅ ))((][ xgxpZ ≅ L. ■

Sudah dibuktikan di atas bahwa hanya ada satu medan berorder pn untuk suatu

bilangan prima p dan suatu bilangan bulat n > 0. Berikut ini akan dibuktikan sifat lain


104

dari medan Galois GF(pn), yaitu grup aditif dari GF(pn) untuk suatu bilangan prima p

dan suatu bilangan bulat n > 0, isomorfis dengan n-tupel grup aditif Zp × Zp × … × Zp

(dapat juga ditulis dengan Zp ⊕ Zp ⊕ … ⊕ Zp, dan disebut jumlahan langsung).

Akibat 3.3.11.

Grup aditif dari GF(pn) isomorfis dengan npZ = Zp × Zp × … × Zp untuk suatu bilangan

prima p dan suatu bilangan bulat n > 0.

BUKTI.

Menurut Teorema 3.3.10, jika medan-medan K dan L berorder pn untuk suatu bilangan

prima p dan suatu bilangan bulat n > 0, maka K dan L isomorfis. Jadi (K, +) dan (L, +)

isomorfis sebagai ruang vektor atas Zp. Karena npZ adalah ruang vektor atas Zp di mana

npZ = pn, maka (K, +) isomorfis dengan n

pZ = Zp × Zp × … × Zp. ■

Meskipun bukti eksistensi medan Galois dalam Teorema 3.3.5 tidak menunjukkan

konstruksi langsung dari polinomial taktereduksi atas Zp seperti dinyatakan oleh Galois,

teorema berikut menunjukkan bahwa polinomial taktereduksi berderajat positif n atas Zp

selalu ada. Maka medan Galois selalu dapat dikonstruksi. Tetapi tidak ada rumus umum

untuk menghasilkan polinomial taktereduksi berderajat n atas Zp.

Teorema 3.3.12.

Untuk setiap bilangan bulat n > 0 dan setiap bilangan prima p, terdapat polinomial

taktereduksi berderajat n atas Zp.


105

BUKTI.

Teorema 3.3.5 membuktikan terdapat medan berorder pn. Dalam bukti Teorema 3.3.10

telah ditunjukkan terdapat polinomial taktereduksi g(x) berderajat n atas Zp. ■

Teorema berikut ini generalisasi dari Teorema 3.3.12 untuk setiap medan berhingga.

Teorema 3.3.13.

Untuk setiap bilangan bulat n > 0, terdapat polinomial taktereduksi berderajat n atas

medan berhingga F.

BUKTI.

Misalkan F = pm. Maka setiap elemen dalam F adalah akar dari mpx − x (Lema 3.3.1).

Kemudian untuk setiap n > 0, terdapat medan E berorder pmn (Teorema 3.3.5). Berarti

setiap elemen dalam E adalah akar dari mnpx − x. Ditunjukkan dahulu bahwa jika a ∈ F,

maka a adalah akar dari mnpx − x, yaitu

mnpa = a untuk ∀n. Ambil sembarang a ∈ F.

Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n = 1, maka 1mpa = a sebab a adalah akar dari

mpx − x.

Langkah Diasumsikan benar untuk n = k, yaitu mkpa = a.

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.

aaaaammmkmmkkm pppppp )(

)1(

====+

.

Jadi jika a ∈ F, maka a adalah akar dari mnpx − x untuk ∀n. Jadi F submedan dari E.

Karena E = pmn = (pm)n, maka E adalah perluasan berderajat n atas F, yaitu [E : F] = n


106

(tetapi E adalah perluasan berderajat mn atas Zp). Dengan cara yang sama seperti pada

bukti Teorema 3.3.10, maka terdapat polinomial taktereduksi berderajat n atas F. ■

Contoh 3.3.3.

Polinomial q(x) = x2 + x + 1 taktereduksi atas Z2. Maka dapat dikonstruksi perluasan

dari Z2, yaitu K = {0, 1, α, 1 + α}. Terdapat polinomial taktereduksi berderajat 2 atas K,

yaitu r(x) = x2 + x + α (sebab semua elemen dalam K bukan akar dari r(x), di mana

penghitungan dapat dilakukan dengan mendefinisikan α2 = 1 + α).

Akhirnya, akan dibuktikan sifat utama medan Galois, yaitu banyaknya submedan

dari medan Galois GF(pn) adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n.

Dibuktikan dahulu teorema penting berikut ini.

Teorema 3.3.14.

Misalkan m, n adalah bilangan-bilangan bulat positif dan p adalah bilangan prima. Maka

pm − 1 membagi pn − 1 jika dan hanya jika m membagi n.

BUKTI.

Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan

bulat q dan r sedemikian sehingga n = mq + r dengan 0 ≤ r < m.

Perhatikan bahwa pn = pn + (pn−m + pn−2m + … + pn−m(q−1) + pn−mq) − (pn−m + pn−2m + … +

pn−m(q−1) + pn−mq) = pn + (pn−m + pn−2m + … + pn−m(q−1)) − (pn−m + pn−2m + … + pn−m(q−1) +

pn−mq) + pn−mq = (pm − 1) (pn−m + pn−2m + pn−3m + … + pn−mq) + pn−mq.


107

Dengan demikian pn − 1 = (pm − 1)d + pn−mq − 1 = (pm − 1)d + (pr − 1) di mana d = (pn−m

+ pn−2m + pn−3m + … + pn−mq). Jadi pm − 1 membagi pn − 1 jika dan hanya jika pr − 1 = 0

jika dan hanya jika r = 0 jika dan hanya jika m membagi n. ■

Teorema 3.3.15.

Misalkan m, n adalah bilangan-bilangan bulat positif dan p, q adalah bilangan-bilangan

prima. Maka GF(qm) submedan dari GF(pn) jika dan hanya jika p = q dan m membagi n.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika GF(qm) submedan dari GF(pn), maka menurut Teorema Lagrange, order

grup aditif dari GF(qm) harus membagi order grup aditif dari GF(pn). Jadi qm

membagi pn. Karena p, q adalah bilangan-bilangan prima, maka haruslah p = q.

Order grup multiplikatif dari GF(pm) harus membagi order grup multiplikatif

dari GF(pn), sehingga pm − 1 membagi pn − 1. Menurut Teorema 3.3.14, haruslah

m membagi n.

( ⇐ ) Dari Teorema 3.3.5, terdapat medan GF(pm) dan GF(pn) untuk setiap bilangan

bulat positif m, n dan setiap prima p. Kemudian jika nm , maka n = mk untuk

suatu bilangan bulat k > 0. Dari bukti Teorema 3.3.13, maka GF(pm) submedan

dari GF(pmk) = GF(pn). ■

Contoh 3.3.4.

Bilangan-bilangan bulat positif yang membagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Maka GF(212)

mempunyai tepat 6 submedan, yaitu GF(2) = Z2, GF(22), GF(23), GF(24), GF(26), dan


108

GF(212). Ketunggalan setiap submedan dijamin Teorema 3.3.10. Submedan-submedan

dari GF(26) adalah Z2, GF(22), GF(23), dan GF(26). Submedan-submedan dari GF(24)

adalah Z2, GF(22), dan GF(24). Submedan-submedan dari GF(23) adalah Z2 dan GF(23).

Submedan-submedan dari GF(22) adalah Z2 dan GF(22). Jadi GF(22) bukan submedan

dari GF(23). Juga GF(23) bukan submedan dari GF(24), dan GF(24) bukan submedan

dari GF(26). Teorema 3.3.15 juga menjamin bahwa Z2 bukan submedan dari Z3, Z5, Z7,

Z11, Z13, dan sebagainya. Ini juga berarti bahwa GF(22) bukan submedan dari GF(34),

GF(76), GF(1312).


BAB IV

PENUTUP

Dari uraian sebelumnya, maka akan diberikan beberapa poin penting yang menjadi

dasar dan berkaitan dengan struktur medan Galois.

1. Setiap medan mempunyai perluasan dan setiap polinomial takkonstan mempunyai

akar dalam suatu medan.

2. Medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Setiap dua medan pembelah

dari suatu polinomial saling isomorfis.

3. Medan berorder pn selalu dapat dikonstruksi dari medan Zp jika dapat ditemukan

polinomial taktereduksi berderajat positif n atas Zp. Pada kenyataannya, selalu ada

polinomial taktereduksi berderajat n atas Zp. Maka medan berorder pn selalu ada

untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n.

4. Setiap medan berhingga harus berorder pn untuk suatu bilangan prima p dan suatu

bilangan bulat positif n.

5. Untuk setiap bilangan bulat positif n, terdapat polinomial taktereduksi berderajat n

atas setiap medan berhingga.

6. Polinomial 1 +npx merupakan polinomial tereduksi atas Zp.

7. Setiap dua medan berhingga yang berorder sama saling isomorfis.

8. Setiap elemen dalam medan Galois GF(pn) berbentuk polinomial berderajat < n

dengan koefisien-koefisien dalam Zp. Dan seluruh operasi bekerja pada modulo

p(x) di mana p(x) adalah polinomial (monik) taktereduksi berderajat n atas Zp.

9. Setiap elemen dalam GF(pn) adalah akar dari polinomial xxnp − .


110

10. Grup multiplikatif dari GF(pn) adalah grup siklik berorder pn − 1.

11. Grup aditif dari GF(pn) isomorfis dengan grup aditif Zp × Zp × … × Zp (n-tupel).

12. Banyaknya submedan dari GF(pn) adalah banyaknya bilangan bulat positif yang

membagi n.

Inti dari Teorema Fundamental Galois sendiri adalah suatu eksplorasi hubungan

antara grup semua automorfisma dari medan pembelah E dengan struktur submedan F

dari E. Yang menjadi tema sentral dari Teorema Fundamental Galois adalah terdapat

suatu cara umum dalam menentukan penyelesaian dari persamaan polinomial f(x) = 0

yang tidak dapat diselesaikan dengan penarikan akar-akar (by radicals) untuk f(x) yang

berderajat ≥ 5. Meskipun dalam waktu yang relatif singkat, abstraksi dan hasil kerja dari

Galois dianggap sebagai perintis usaha pengembangan aljabar ke dalam satu aktivitas

matematika yang lebih spesifik yaitu aljabar abstrak.


DAFTAR PUSTAKA

Cameron, P.J. (1998). Introduction to Algebra. New York: Oxford University Press.

Durbin, J.R. (1985). Modern Algebra. 2nd Edition. New York: John Wiley & Sons.

Fraleigh, J.B. (1996). A First Course in Abstract Algebra. 4th Edition. Reading:

Addison-Wesley.

Herstein, I.N. (1996). Abstract Algebra. 3rd Edition. Upper Saddle River: Prentice-Hall.

McCoy, N.H. (1987). Introduction to Modern Algebra. 4th Edition. Boston: Allyn and

Bacon.

Rotman, J.J. (1998). Galois Theory. Universitext (UTX). 2nd Edition. New York:

Springer-Verlag.


struktur medan galois - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2289/2/983114015_full.pdf ·...

Documents