THE FINDING A PATTERN STRATEGY / STRATEGI MENEMUKAN POLA

OLEH

MELSIM IMELDA LALUS ( 1101031030 )

YOSEPHA PATRICIA W LAJA ( 1101031036 )

TIRZA E TANEO ( 0901030210 )

PROGRAM STUDI PEND. MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2013

A. PENGERTIAN

Salah satu kecantikan Matematika adalah kelogisan dan keteraturan yang menjadi

sifat alaminya. Kelogisan tersebut dapat dilihat secara fisik sebagai sutau pola atau

serangkaian pola. Matematikawan menggunakan pola sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan masalah dalam geometri, serta dalam bidang lainnya. Dalam kurikulum

sekolah menegah, kita juga dapat menemukan soal soal matematika yang dapat diselesaikan

dengan menemukan pola dari soal soal tersebut.

Contohnya : Tentukan 2 angka dari urutan 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , _ , _ !

Setelah melihat soal ini, pertama tama yang harus kita lakukan adalah mencari dan

mengenali pola. Kemungkinan pola masing masing angka setelah dua angka pertama

merupakan jumlah dari dua angka sebelumnya. Angka 4 merupakan jumlah dari dua angka

sebelumya yaitu 1 + 3, angka 7 merupakan jumlah dari 3 + 4 dan seterusnya. Urutan

bilangan tersebut merupakan salah satu contoh dari deret Fibonaci dimana dalam deret

Fibonaci, masing masing angka merupakan penjumlahan dari dua angka sebelumnya. Jadi

dengan mudah kita dapat menentukan 2 angka selanjutnya yaitu 29 ( 11 + 18 ) dan 47 ( 18 +

29).

Contoh diatas merupakan salah satu contoh penyelesaian soal matematika dengan

menggunakan strategi menemukan pola. Terbukti bawha dengan menggunakan strategi

penemuan pola ini, soal soal atau masalah masalah dapat diselesaikan dengan lebih

sederhana daripada menggunakan solusi pada umumnya.

B. PENGGUNAAN STRATEGI MENEMUKAN POLA UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAH DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI

Penggunaan strategi menemukan pola tidak hanya untuk menyelesaikan masalah

masalah dalam matematika saja tapi juga dapat menyelesaikan masalah masalah dalam

kehidupan sehari. Contohnya saat mencari alamat di suatu perumahan, sepanjang jalan kita

akan melihat serangkaian pola pada nomor rumah. Pada sisi kanan jalan terdapat rumah

bernomor ganjil dan sisi kirinya terdapat rumah bernomor genap. Tanpa kita sadari kita telah

menemukan pola pada nomor rumah dan pola tersebut mempermudah kita untuk menemukan

alamat yang dicari.

Contoh lainnya seperti polisi dalam menentukan modus operandi dalam menentukan

pola suatu tindak kriminalitas , para ilmuwan menggunakan pola yang mereka temukan

dalam penelitian untuk mengetahui bagaimana perkembangan virus dan bakteri, bahkan di

sekolah, kita juga dapat menemukan pola berulang tingkah laku beberapa siswa yang

membutuhkan perhatian dan bantuan khusus dari guru.

C. PENGGUNAAN STRATEGI MENEMUKAN POLA DALAM MENYELESAIKAN

MASALAH MASALAH MATEMATIKA

Berikut ini ada 10 contoh masalah matematika yang di selesaikan dengan

menggunakan strategi menemukan pola.

1. Tentukan jumlah ukuran sudut dari icosagon ( poligon 20 sisi ) !

Solusi :

Cara paling efisien untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menentukan pola.

Kita akan melihat berapa banyak sisi dan jumlah ukuran sudut pada poligon dan dimulai

dari segitiga, segiempat, dan seterusnya.

Perhatikan gambar !

Berdasarkan gambar, dapat kita temukan pola yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Berdasarkan tabel, ketika jumlah sisi bertambah 1, jumlah segitiga juga bertambah 1 dan

jumlah ukuran sudut bertambah 1800 . Untuk Poligon 9 sisi, maka jumlah segitiga yang

terbentuk sebanyak 7 dan jumlah ukuruan sudutnya adalah 7 x 1800

= 1.2600 Jadi untuk

icosagon (poligon 20 sisi), karena jumlah segitiga yang terbentuk adalah 18, maka jumlah

ukuran sudutnya adalah 18 x 1800

= 3.2400

2. Misalkan kita mempunyai suatu mesin yang hanya dapat mengoperasikan bilangan

bilangan yang diberikan dan bukan bilangan lainnya. Jadi jika kita memasukkan angka 3,

mesin hanya akan mengoperasikan dengan 3. Mesin ini menngunakan operasi dasar dari

aritmetika ( penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian ) baik dalam operasi itu

sendiri maupun dikombinasikan. Berikut ini adalah tabel kelima hasil masukan dari x = 1

sampai 5.

Berapakah hasil yang diperoleh jika kita memasukkan angka 9 ?

Solusi :

Banyak siswa akan mulai mengerjakan masalah ini dengan mencoba menebak aturan dari

fungsi tersebut. Cara ini sangat sulit dan menghabiskan banyak waktu. Meskipun

demikian, disisi lain masalah ini dapat diselesaikan dengan mengunakan strategi

menemukan pola dengan beberapa alasan untuk menentukan apakah fungsi dari mesin ini

dapat dilakukan ketika kita memasukkan sebuah angka. Hasilnya akan tampak mendekati

hasil pangkat tiga dari bilangan yang diberikan. Hal tersebut dapat dilihat dalam tabel

berikut.

Bagaimanapun juga, karena hasil yang kita peroleh hanya mengandung angka yang

dimasukkan, kita harus menyatakan x3 sebagai x.x.x dan ( x -1) sebagai (x x/x ). Jadi

aturan kita untuk hasil operasi dari masukan x adalah ( x.x.x + ( x x/x ) ). Dengan

demikian apabila kita memasukkan angka 9 pada mesin tersebut maka hasilnya adalah

3. Tentukan jumlah dari 20 bilangan ganjil pertama !

Solusi :

Bilangan ganjil yang kedua puluh adalah 39. Jadi, kita akan menentukan jumlah dari 1 +

3 + 5 + 7 + + 33 + 35 + 37 + 39. Beberapa siswa mungkin menyelesaikannya dengan

menuliskan semua bilangan itu dan menjumlahkannya. Atau ada yang menekan setiap

bilangan tersebut pada kalkulator dan menemukan hasil penjumlahannya. Cara tersebut

memang baik, tapi menghabiskan waktu dan ada kemungkinan terjadi kesalahan. Ada

pula yang menyelesaikannya dengan mendaftar ke-20 bilangan tersebut, kemudian

mencatat jumlah dari bilangan ke-1 dan ke-20 yaitu 1 + 39 = 40, bilangan ke-2 dan ke-19

( 3 + 37 = 40), dan seterusnya. Karena ada 20 bilangan, maka terdapat 10 pasangan.

Untuk mendapatkan jumlahnya, maka dikalikan 10 x 40 = 400.

Kita akan menyelesaikan masalah ini dengan menemukan pola seperti yang ditunjukkan

dalam tabel berikut.

Dari tabel diatas, dapat dilihat dengan jelas bahwa jumlah dari n bilangan ganjil pertama

adalah n2. Jadi jumlah dari 20 bilangan ganjil pertama adalah 20

2 = 400

4. Perhatikan peta sebuah kota berikut. Billy tinggal dijalan Fairfield no.4 dan Betty tinggal

dijalan Appleton no.8. Jika Billy akan mengunjungi rumah Betty dengan arah

perjalanannya hanya timur dan utara, maka ada berapa banyak rute yang bisa ditempuh

oleh Billy ?

Solusi :

Pada umumnya, siswa mencoba menggambarkan rute pelajaran yang bisa ditempuh Billy

sesuai dengan arah perjalanan yaitu dari arah utara dan timur. Tapi ini tidak mudah.

Kemudian siswa menyadari bahwa ada 5 jalan yang bisa di tempuh melalui arah utara dan

4 nomor yang bisa ditempuh melalui arah timur, sehingga siswa dapat membuat daftar

rute yang berbeda dengan menyusun 5 huruf U dan 4 huruf T, seperti : UUUUUTTTT,

TTTTUUUUU, UTUTUTUTU, dan seterusnya. Maka kita bisa menentukan rute yang

berbeda dengan menggunakan rumus kombinasi, yaitu C (9,5) atau C (9,4) dan hasilnya

adalah

Penyelesaian alternatif lainnya adalah dengan menemukan pola dari rute perjalanannya.

Perhatikan gambar peta berikut !

Angka pada gambar menunjukkan banyaknya cara pada titik tersebut yang bisa dilalui

baik melalui arah utara maupun timur yang dimulai dari titik rumah Billy sampai titk

rumah Betty. Jika kita perhatikan, angka angka pada setiap titik sama halnya dengan

angka pada segitiga pascal. Perhatikan segitiga pascal berikut ini.

Jadi banyaknya rute perjalanan yang dapat ditempuh oleh Billy adalah 126

5. Enam suku pertama ditampilkan pada gambar. Jika barisan berlanjut dalam pola seperti di

bawah ini, berpa banyak persegi yang akan terbentuk pada suku kesepuluh dan berapa

banyak persegi yang akan diarsir ?

Solusi :

Tentunya kita dapat melanjutkan gambar diatas dengan menambahkan baris pada bagian

atas dan bawah hingga kita mendapatkan gambar yang terbentuk dari persegi yang

kesepuluh. Kita akan mudah menghitung banyaknya persegi yang ada dan berapa banyak

persegi yang diarsir. Akan tetapi jika kita mengurutkan data dalam tabel, kita mungkin

akan menemukan pola yang terbentuk dan pola tersebut akan membantu kita dalam

menyelesaikan soal ini. Dengan memisalkan kesimpulan dari data diatas kita dapat

menuliskan dalam tabel berikut.

Permisalan yang pertama dengan melihat total atau jumlah persegi. Disini ada pola yang

terbentuk yaitu beda antara setiap suku adalah 4, 6, 8, 10, ...

Dengan kata lain, dan seterusnya.

Setelah itu kita melihat jumlah persegi yang diarsir, ditemukan lagi suatu pola bahwa

beda antara setiap suku adalah 2, 4, 4, 6, 6, ... Dengan demikian kita dapat melengkapi

tabel sampai suku ke-10.

Hal ini berarti pada gambar ke-10 akan ada 109 persegi dan 59 diantaranya adalah persegi

yang diarsir. Kita dapat menguji hasil ini dengan menggambar suku ke-7 dan memeriksa

kebenaran dari pola yang telah kita temukan (lihat gambar di bawah !!). Dengan begitu,

pertanyaannya, untuk mendapatkan 55 persegi, apakah 31 persegi yang terarsir? Ya. Jadi,

kita dapat menyimpulkan bahwa pola yang kita temukan benar dan berlaku untuk semua

suku yang akan dibentuk.

6. Jika kita melanjutkan menulis bilangan bulat dari 2 sampai 1.000 pada tabel dibawah ini,

manakah kolom yang terisi dengan angka 1.000 ?

Solusi :

Angka angka yang tetera pada tabel tampaknya setiap letak dari huruf huruf di atas

memberi ciri tertentu sesuai dengan sebuah pola. Misalkan, kita mencoba untuk

menggambarkan pola apa yang terbentuk. Dalam tabel, terdapat 8 kolom yang dibentuk

oleh 8 huruf, apabila angka angka dalam setiap kolom dibagi dengan 8 maka :

Setiap angka dalam kolom A memberi sisa 1

Setiap angka dalam kolom B memberi sisa 2

Setiap angka dalam kolom C memberi sisa 0

Setiap angka dalam kolom D memberi sisa 3

Setiap angka dalam kolom E memberi sisa 7

Setiap angka dalam kolom F memberi sisa 4

Setiap angka dalam kolom G memberi sisa 6

Setiap angka dalam kolom H memberi sisa 5

Misalkan kita membagi angka 1.000 dengan 8, maka akan diperoleh sisa 0. Dengan

demikian,angka 1.000 akan terletak pada kolom C.

Catatan : Untuk menetukan suatu tempat/ letak seperti soal diatas, kita dapat

menyelesaikannya dengan menggunakan sistem modulo.

7. Berapa banyak sudut yang dibentuk dari 10 garis berbeda yang berasal dari titik awal

yang sama ?

Solusi :

Menggambar garis dan menghitung sudut yang terbentuk dimulai dari 1 garis, 2 garis, 3

garis, 4 garis, lalu memperhatikan pola hubungan antara banyak garis dan sudut adalah

langkah-langkah yang bisa kita lakukan untuk menyelesaikan masalah ini

Pola yang terlihat dalam gambar, kita masukkan dalam tabel.

Tanpa perlu menggambarkan 10 garis dan menghitung banyak sudutnya, kita bisa

menentukan banyaknya melalui pola bilangan yang tercipta berdasarkan tabel yaitu 0, 1,

3,6, 10, 15, 21, . . . merupakan barisan aritmatika yang mempunyai beda 1, 2, 3, 4,5, . . .,

maka jika kita teruskan barisan aritmatika tersebut sampai suku ke 10 yaitu 0, 1, 3, 6, 10,

15, 21, 28, 36, 45. Jadi, banyaknya sudut untuk 10 garis adalah 45 sudut.

8. Tentukan hasil penjumlahan berikut.

Solusi : Untuk menjumlahkan keseluruhan suku di atas, perhatikan pola penjumlahan

berikut ini dimulai dari 1 suku pertama, 2 suku pertama, 3 suku pertama dan 4 suku

pertama.

Berdasarkan pola diatas, maka kita bisa menemukan pola jumlah deret pecahan tersebut

yaitu bilangan perkalian dari penyebut suku terakhirnya. Jadi penjumlahan deret diatas

sampai

sebagai suku terakhir adalah

Penyelesaian alternatif lainnya, yaitu dengan mengenali pola bentuk lain dari pecahan

berikut ini:

9. Berapakah hasil penjumlahan dari ?

Solusi :

Setelah melihat soal ini siswa akan menggunakan kalkulator untuk menentukan hasil

penjumlahannya. Tetapi apabila kita tidak mempunyai kalkulator, maka kita dapat

menyelesaikan soal ini dengan strategi menemukan pola.

Perhatikan data diatas, angka angka dalam kolom terakhir yaitu 1,3,6,10, ... merupakan

triangular numbers ( angka segitiga ). n angka segitiga dibentuk dengan mengambil

jumlah pertama n bilangan bulat. Artinya , jumlah angka segitiga pertama [1 = 1] ,

jumlah angka segitiga kedua [ 3 = ( 1 + 2 ) ], jumlah angka segitiga ketiga [6 = ( 1 + 2 + 3

) ], jumlah angka segitiga keempat [ 10 = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) ], dan sebagainya . Dengan

demikian , kita bisa menulis ulang masalah kita sebagai berikut :

Jadi jumlahnya adalah

10. Selesaikan persamaan untuk nilai x

Solusi :

Dari soal tersebut dapat kita temukan pola yaitu, munculnya sebanyak 2 kali.

Kita misalkan , maka :

dimana dan

Subtitusi dalam persamaan :

merupakan bilangan imajiner

DAFTAR PUSTAKA

Posamentier, Alfred S & Krulik, Stephen. 1998. Problem-Solving stratgies for efficient and

elegant solutions : a resource for the mathematics teacher. Corwin Press: California