STATISTIKASTATISTIKAPendahuluan Statistik adalah ilmu terapan yang berhubungan dengan metode-metode dan teknik pengumpulan data, pengolahan data dan pengambilan kesimpulan tentang data tersebut.Data tersebut diperoleh dengan cara antara lain :pengamatan atau pengukuran dengan interview (wawancara)dengan kuesioner (angket)dengan percobaan di laboratoriumKeseluruhan data atau obyek yang akan diteliti disebut populasi. Dan untuk efisiensi tenaga, waktu dan dana, yang benar-benar diteliti adalah sebagian populasi yang disebut sampel (contoh).Agar kesimpulan dari hasil proses pengolahan data benar, maka data sampel harus representatif artinya data tersebut harus mewakili populasi.Ada beberapa cara untuk mendapatkan sampel yang efisien dan representatif untuk populasi. Cara yang mana yang baik bergantung pada struktur populasinya. Sampling acak dengan stratifikasi Disini populasi dibagi lebih dahulu menjadi strata (tunggalnya stratum), yaitu bagian populasi yang mempunyai sifat yang serupa terhadap karakteristik yang diselidiki dan kemudian dalam setiap stratum dilakukan pengambilan sampel.Sampling sistematisMisalnya unit populasi yang besarnya N, sudah diberi nomor 1 sampai dengan N. Untuk mendapat sampel, kita mengambil satu unit secara acak dari k unit yang pertama dan kemudian kita mengambil setiap unit yang ke k yang menyusul. Misal k = 10 dan unit yang pertama yang terambil secara acak ialah unit bernomor 7, maka unit lain dalam sampel adalah unit yang bernomor 17, 27, 37 dan seterusnya. Jadi pengambilan unit yang pertama sudah menentukan seluruh sampel sistematis. Sampling bertahapMisalkan setiap unit populasi dapat dibagi lagi menjadi unit yang lebih kecil, yang disebut elemen. Sebagai contoh satu kecamatan dibagi menjadi kelurahan/desa, setiap kelurahan/desa dibagi lagi menjadi RW dan setiap RW dapat dibagi lagi menjadi RT. Pertama dipilih sampel dari desa/kelurahan secara acak. Kemudian dipilih sampel dari RW-RW yang ada didesa/kelurahan yang sudah dipilih tadi juga secara acak, begitu seterusnya. Cara ini disebut sampling bertahap, karena sampel diambil secara bertahap. Contoh : Misal kita ingin meneliti/menyelidiki rata-rata tinggi mahasiswa PolinesPopulasi:mahasiswa Polines Teknik sampling:Sampling acak dengan stratifikasi Misal dalam suatu kelas/kelompok setelah diamati ada n stratum yang mempunyai tinggi sama, kemudian setiap stratum dipilih 1 mahasiswa secara acak. Sehingga didapat sampel dengan n mahasiswa. Jika n = 10 maka di dapat sampel dengan 10 mahasiswa. Selanjutnya setiap anggota sampel ini yang benar-benar diukur tingginya, dan kemudian dicari rata-ratanya.Sebagai karyawan kita ditugasi untuk menguji kuat tekan kubus beton.Populasi:seluruh kubus beton yang diproduksi suatu pabrikTeknik sampling:Sampling sistematisMisal kita ingin membuat sampel yang terdiri dari 20 buah kubus beton. Untuk mendapat sampel tersebut kita memberi nomor kubus secara acak dari nomor 1 sampai 100. Kemudian diambil 1 unit secara acak dari kubus yang bernomor 1 s/d 5, misal yang terambil adalah kubus dengan nomor 3. Maka kubus lain dala sampel adalah yang bernomor 8, 13, 18, 23, . . . , 98. Jadi kita mendapat sampel yang terdiri dari 20 buah kubus dengan nomor : 3, 8, 13, 18, 23,28, 33, 38, 43, 4853, 58,63, 68, 73, 78, 83, 88, 93,98.Selanjutnya setiap anggota sampel inilah yang benar-benar di test kuat tekannya di laboratorium. Misal kita ingin mengetahui pendapat masyarakat di suatu kelurahan di kota Semarang tentang kebijakan yang akan diambil pemerintah. Populasi:seluruh masyarakat kota SemarangTeknik sampling:Sampling bertahapUntuk memilih kelurahan mana yang akan kita jadikan sampel, kita lakukan secara bertahap.Tahap pertama kita memilih secara acak kecamatan-kecamatan yang ada di kota Semarang. Misal yang terpilih kecamatan A. Tahap berikutnya memilih secara acak kelurahan-kelurahan yang ada di kecamatan A, misal yang terpilih kelurahan B. Selanjutnya masyarakat di kelurahan B inilah yang kita mintai pendapat tentang kebijakan yang akan diambil pemerintah. Proses Pengolahan Data Data statistik yang diperoleh dengan cara teknik pengumpulan data berupa data kasar dan tidak teratur. Sebelum data-data ini dapat digunakan sebagai dasar untuk suatu evaluasi, data-data tersebut harus diolah atau diproses antara lain : diurutkan, dibuat tabel frekuensi, dilukis atau digambar, menghitung karakteristik data misal rata-rata, variansi, deviasi baku dan lain-lainDiurutkan Untuk mendapatkan campuran beton yang memenuhi syarat, kontraktor telah mengirimkan 30 buah kubus beton ke laboratorium untuk di test. Hasil percobaan kuat tekan dicantumkan dalam tabel I berikut Tabel ISheet1Nomor Kekuatan 1729.7Kubus tekan N/mm21838.1133.21934.0228.92029.4332.42136.7435.72231.8524.82330.7634.82425.2739.22533.5837.42621.7927.32736.31031.42841.31142.92932.11237.53033.81326.81427.81523.71634.4Dari data yang tercantum pada tabel I ini, sukar untuk menarik kesimpulan mengenai kekuatan beton dan campuran beton. Agar mudah dipahami, informasi yang tercantum dalam tabel I dapat disusun menurut pola atau aturan tertentu, yaitu kita dapat menyusun menurut harga-harga numerik dari rendah ke yang tinggi (diurutkan dari harga rendah ke harga tinggi).Tabel II menunjukkan susunan hasil test kubus beton setelah diurutkan.Kekuatan tekan ( N / mm2)21,727,831,834,037,423,728,932,134,338,124,829,432,434,838,525,229,733,235,739,226,830,733,536,341,327,231,433,836,742,9Tabel IIMenggunakan tabel II kita dapat memperoleh informasi kwantitatif mengenai test laboratorium relatif lebih mudah bila dibandingkan dengan membaca data kasar pada tabel I. misalkan kita akan lebih mudah untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :Berapa kekuatan tekan terkecil dan terbesar ?Jika disyaratkan kekuatan tekan beton minimum 22,4 N/mm2, apakah campuran beton tersebut baik.Dan Jawabannya adalah :Kekuatan tekan terkecil 21,7 N/mm2Kekuatan tekan terbesar 42,9 N/mm2Yang kuat tekannya < 22,4 N/mm2 ada 1 kubus atau . 100% = 3,33% dari total kubus yang di test.Dengan demikian dapat dikatakan bahwa campuran kubus beton tersebut baik. Distribusi frekuensi Untuk memperoleh informasi atau gambaran yang jelas dari datar, data itu digolongkan dalam beberapa kelas dan kita tentukan frekuensi setiap kelas. Dengan demikian kita memperoleh distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Dari tabel frekuensi kita dapat mengetahui penyebaran data dan kecenderungan data itu memusat atau mengelompok pada suatu harga tertentu. Cara umum membuat tabel distribusi frekuensi:Tentukan jangkauan, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil.Tentukan banyaknya interval, kira-kira dengan rumus k = 3,3 log n + 1 k = banyaknya interval kelasn = banyaknya dataTentukan lebar atau panjang kelas kira-kira dengan rumus : Tentukan frekuensi tiap-tiap kelasContoh : Buat tabel frekuensi dari tabel IIJangkauan = 42,9 21,7 = 21,2 k = 3,3 log 30 + 1 = 5,87kita ambil k = 6 lebar kelas = kita ambil lebar kelas = 4 25,9521,9527,924,023,920,027,9523,9519,95Akhirnya diperoleh tabel frekuensi seperti berikut :Kekuatan tekan dlm N/mm2 Frekuensi Kelas 20,0 23,9 24,0 27,9 28,0 31,9 32,0 35,9 36,0 39,9 40,0 43,9 256962Tabel IIIData yang disusun seperti tabel frekuensi disebut data yang digolongkan. Dalam menggolongkan data tersebut ke dalam kelas kita menghilangkan data aslinya (data individu). Kita anggap semua data dalam satu kelas mempunyai nilai yang sama dengan nilai Titik tengah kelas.Pada tabel III di atas ada 6 interval kelas, yaitu 20,0 23,9, 24,0 27,9, dst 20,0 dan 23,9 disebut limit kelas.20,0 = limit bawah, 23,9 = limit atas.19,95 23,95, 23,95 27,95, dst disebut batas kelas.19,95=batas bawah 23,95=batas atasSelisih batas atas dan batas bawah disebut lebar atau panjang kelas.Lebar kelas=23,95 19,95 = 4Titik tengah interval kelas disebut titik tengah kelas atau nilai tengah kelas.Pada tabel III titik tengah kelas adalah = 21,95 , 25,95 ,. . . , 41,95 Frekuensi Relatif Frekuensi relatif sebuah kelas adalah frekuensi kelas dibagi dengan jumlah total pengamatanFri=Fri=frekuensi relatif kelas ke-iNi=frekuensi kelas ke i N =jumlah total pengamatanContoh:Lengkapi tabel III dengan limit kelas, batas kelas, tanda kelas atau nilai tengah kelas, frekuensi kelas, frekuensi relatif dan presentasi pengamatan.limit kelasbatas kelas tanda kelas frek kelasfrek relatif prosentasi pengamatan20,0-23,924,0-27,928,0-31,932,0-35,936,0-39,940,0-43,919,95-23,9523,95-27,9527,95-31,9531,95-35,9535,95-39,9539,95-43,9521,9525,9529,9533,9537,9541,952569620,06670,1670,200,300,200,06676,6716,72030206,67 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kadang-kadang kita memerlukan informasi mengenai jumlah pengamatan yang harga numeriknya kurang dari harga yang diberikan. Informasi ini tercakup dalam distribusi frekuensi kumulatif. Dari tabel frekuensi dapat disusun tabel frekuensi kumulatif kurang dari. Daftar atau tabel frekuensi kumulatif kurang dari merupakan daftar yang menyatakan jumlah seluruh frekuensi nilai data yang lebih kecil dari tepi atau batas atas pada setiap interval kelasnya. Contoh:Buat tabel / daftar frekuensi kumulatif kurang dari, dari tabel frekuensi (tabel III). Kekuatan tekan (N/mm2)Frekuensi Kumulatif < 23,95 < 27,95 < 31,95 < 35,95 < 39,95 < 43,952713222830Tabel IVPenyajian Dalam Bentuk Grafik Meskipun distribusi frekuensi adalah suatu langkah yang efektif dalam menjelaskan bagian yang penting dari susunan data dan mutlak diperlukan untuk langkah perhitungan, penyajian dalam bentuk gambar dari data yang sama sering kali menunjukkan karakteristik yang penting dari data tersebut untuk lebih mudah dan cepat dapat dipelajari.Kita hanya akan mempelajari yang sangat dasar yaitu histogram dan lengkungan (ogive).Histogram Sebuah histogram adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi yang disusun dengan membuat kumpulan batang atau balok segi empat yang masing-masing mempunyai alas pada sumbu x, yang lebarnya sama dengan besarnya atau lebarnya interval kelas dan luas yang sebanding dengan frekuensi kelas. Jadi sumbu horizontal untuk interval kelas dan sumbu vertical untuk frekuensi kelas.Contoh : Gambar histogram untuk tabel frekuensi pada tabel IIIFrekuensi 41,9537,9532,9529,9525,9521,95kekuatan tekan369Ogive : Distribusi frekuensi kumulasi dapat digambarkan oleh satu grafik yang disebut polygon frekuensi kumulasi atau o give yang melukiskan frekuensi kumulasi terhadap btas atas kelas.Contoh : Gambar histogram untuk tabel frekuensi kumulasi pada tabel IV30Frekuwensi 1523,9519,9543,9539,9535,9531,9527,95kekuatan tekanUkuran Tendensi Sentral / Ukuran-Ukuran LokasiDari tabel frekuensi dan grafik dapat digunakan untuk menyimpulkan dan menjelaskan data secara kuantitatif. Meskipun cara-cara itu mampu memberi gambaran lebih jelas mengenai sifat-sifat utama dari distribusi data, namun kita masih memerlukan diskripsi numerik yang tepat. Ada kecenderungan, bahwa data-data itu mengelompokkan dirinya sendiri disekitar sejumlah harga tertentu. Harga tertentu itu dinamakan ukuran-ukuran lokasi atau ukuran tendensi sentral. Ada tiga ukuran tendensi sentral yang biasa dipakai , yaitu mean , modus dan median. Dan yang akan dibahas disini adalah ukuran lokasi yang sering digunakan yaitu mean dan ukuran penyebaran data ( dispersi ) terhadap nilai rata-rata nya.Mean :Mean atau harga rata-rata merupakan sebuah konsep yang banyak sekali digunakan. Kita sering membaca, mendengar atau mengatakan tentang banyak hal yang berkaitan dengan rata-rata. Misalnya : curah hujan tahunan rata-rata, rata-rata pengeluaran perbulan, pendapatan rata-rata per bulan dan sebagainya.Untuk n buah pengalaman atau data dengan harga x1, x2, xn, rata-ratanya atau mean diberi simbol dan didefinisikan sebagai : Dalam menghitung mean dari distribusi frekuensi, dihitung sebagai berikut : xi =data ke i atau titik tengah kelas ke ifi =frekuensi data ke i atau frekuensi kelas ke iContoh:Hitung rata-rata atau mean dari data pada tabel III dan dari tabel frekuensi pada tabel IIIDari tabel II : ==32,44Dari tabel III : = ====32,35Dispersi Ukuran-ukuran lokasi memberikan keterangan yang penting mengenai kecenderungan data itu memusat di suatu harga tertentu, tetapi tidak memberikan informasi mengenai aspek lain yang sama pentingnya, yaitu penyebaran (dispersi) data-data itu terhadap mean. Misal perangkat data :24, 25, 26, 27, 28 mempunyai mean 26 dan 3, 17, 18, 34, 58 juga mempunyai mean 26.Kedua perangkat data ini mempunyai mean yang sama, tetapi perangkat yang pertama memiliki harga-harga yang lebih terkumpul di sekitar mean dibandingkan dengan perangkat yang kedua. Jadi kita juga membutuhkan suatu ukuran untuk menyatakan penyebaran (dispersi) harga-harga disekitar meannya. Jangkauan Ukuran penyebaran atau dispersi yang paling sederhana adalah jangkauan (range). Besaran ini menyatakan selisih harga tertinggi dan harga terendah dalam suatu perangkat data pengamatan. Dalam kedua contoh diatas jangkauan perangkat pertama : 28 24 = 4, sementara jangkauan perangkat kedua : 58 3 = 55. Kelemahan dari jangkauan adalah bahwa jangkauan hanya melibatkan harga-harga ekslim saja, tanpa memperhitungkan perilaku harga-harga diantaranya. Deviasi Baku (Simpangan Baku) Ukuran penyebaran yang paling penting dalam statistik adalah deviasi baku atau standart deviasi. Deviasi baku dari mean sering kali digunakan dalam statistik untuk menyatakan derajat penyebaran (dispersi). Besaran ini memperhitungkan juga penyimpangan masing-masing harga dari harga meannya.Setelah kita menentukan ukuran deskriptif yaitu mean dan deviasi baku, kita baru dapat membandingkan suatu data dengan data lainnya dan kemudian menarik kesimpulan. Perangkat data yang baik adalah yang mempunyai deviasi baku yang kecil. Dengan deviasi baku yang kecil berarti data itu telah mengelompok disekitar harga rata-ratanya. Dua perangkat data yang mempunyai deviasi baku yang berbeda, perangkat data yang mempunyai deviasi baku lebih kecil yang lebih baik dari perangkat data lainnya.Perhatikan kembali hasil test 30 kubus beton pada tabel II. Dengan menghitung mean dan deviasi baku dari data tersebut dan membandingkan dengan harga-harga kuat tekan dan deviasi baku yang diijinkan, seorang ahli pondasi dapat secara mudah menyimpulkan kwalitas campuran beton itu.Deviasi baku dihitung dengan rumus sebagai berikut : Contoh : Hitung deviasi baku pada tabel II Jawab : ===2==27,69=5,26 N/mm2