statistik pendidikan

BAB I

PENDAHULUAN

STATISTIK dan STATISTIK PENDIDIKAN

1. Pengertian Statistik

Secara etimologis kata ” Statistik ” berasal dari status (bahasa latin) yang mempunyai

persamaan arti dengan kata State (bahasa Inggris) atau kata Staat (bahasa belanda) kata

statistik diartikan sebagai kumpulan bahan keterangan (data), baik yang berwujud angka

( data kuantitatif) maupun yang tidak berwujud angka (data kualitatif) yang mempunyai arti

penting dan kegunaan yang besar bagi suatu negara. Dalam kamus bahasa inggris ada dua

macam kata statistik statistics artinya lmu statistik sedangkan kata statistic sebagai ukuran

yang di peroleh atau berasal dari sampel yaitu lawan dari kata ” parameter ” yang berarti ”

ukuran yang diperoleh atau berasal dari populasi ”. Di tinjau dari terminologi dewasa ini

(apabila kita membaca atau mendengar) dalam istilah statistik ada beberapa macam istilah

statistik yaitu :

1. Data statistik

2. Kegiatan Statistik

3. Metode Statistik

4. Ilmu Statistik

2. Penggolongan Statistik

Bedasarkan tingkatan pekerjaannya (tahapan yang ada dalam kegiatan statistik) statistik

sebagai ilmu pengetahuan dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu :

a. Statistik Deskriptif, yang dikenal pula dengan istilah statistik Deduktif, statistik

sederhana, dan descriptive statistics adalah statistik yang tingkat pekerajaannya

mencakup cara-cara menghipun, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan,

dan menganalisi data angka, agar dapat memberikan gambaran yang teratur, rigkas

dan jelas.

b. Statistik inerensial adalah statistik yang menyediakan aturan atau cara menarik

kesimpulan yang bersifat umum.

3. Ciri Khas Statistik

Pada dasarnya statistik sebagai ilmu pengetahuan ada tiga ciri khusus yaitu :

STATISTIK PENDIDIKAN 1

DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

a. Statisik selalu bekerja dengan angka atau bilangan ( dalam hal ini adalah data

kuantitatif).

b. Statistik bersifat objektif pengertian statistik selalu bekerja menurut data yang ada.

c. Statistik bersifat universal mengandung pengertian bahwa ruang lingkup atau ruang

gerak dan bidang garapan statistik yang berlaku untuk di semua bidang kajian.

4. Permasalahan Statistik.

Menurut Hananto Sigit, B.ST, dalam bukunya statistik suatu pengaturan 1996

mengemukakan ada tiga permasalahan dasar dalam statistik yaitu :

a. Permasalahan tentang Rata-rata (Average)

b. Permasalahan tentang pemencaran atau penyebaran (Variability)

c. Permasalahan tentang saling hubungan (Korelasi)

Suatu persoalan statistik lainnya adalah apa yang di kenal dengan nama ” dispersi ”

(dispersian) atau ” Variabilitas”. Sebuah persoalan lain lagi dari statistik adalah persoalan

tentang ” korelasi ” atau ” asosiasi ” persoalan hubungan.

5. Pengertian statistik pendidikan.

Telah di jelaskan bahwa istilah statistik dapat di beri pengertian sebagai data statistik ,

statistik pendidikan yaitu ilmu pengetahuan yang membahas atau mempelajari dan

mengembangkan prinsip-prinsip, metode dan prosedur yang perlu di tempuh atau

dipergunakan, dalam rangka megumpulkan, penyusunan, penyajian, penganalisisan bahan

keterangan yang berwujud angka.

6. Fungsi dan kegunaan dalam dunia pendidikan

Kemajuan atau perkembangan anak didik setelah mereka menempuh proses pendidikan

dalam jangka waktu tertentu sebenarnya yang bersifat kualitatif, akan tetapi diubah menjadi

data yang bersifat kuantitatif karena dalam kegiatan pernilaian hasil pendidikan cara yang

paling umum adalah dengan menggunakan data kuantitatif , maka tidak perlu diragukan lagi

bahwa statistik dalam hal ini akan mempunyai fungsi yang sangat penting sebagai alat bantu,

yaitu alat bantu untuk memperoleh, menganalisis dan menyimpulkan hasil yang telah di capai

dalam kegiatan penilaian tersebut.

a. Memperoleh gambaran baik, gambaran secara khusus maupun gambaran secara

umum tentang suatu gejala,keadaan atau peristiwa.



b. Mengikuti perkembangan atau pasang surut mengenai gejala keadaan atau peristiwa

tersebut, dari waktu ke kewaktu.

c. Melakukan pengujian, apakah gejala yang satu berbeda dengan gejala yang lain

ataukah tidak, jika terdapat perbedaan apakah perbedaan itu merupakan perbedaan

yang berarti (menyakinkan) ataukah perbedan itu terjadi hanya secara kebetulan saja.

d. Mengetahui, apakah gejala yang satu ada hubungannya dengan gejala yang lain.

e. Menyusun laporan yang berupa data kuantitatif dengan teratur, ringkas dan jelas.

f. Manarik kesimpulan secara logis, mengamil keputusan secara tepat dan mantap, serta

dapat memperkirakan atau meramalkan hal-hal yang mungkin terjadi di masa

mendatang, dan langkah konkret apa yang kemungkinan perlu dilakukan oleh seorang

pendidik.

DATA STATISTIK KEPENDIDIKAN

1. Pengertian data statistik

Data statistik adalah data statistik yang berwujudkan angka atau bilangan. Penelitian

yang bersifat apegatif artinya :

a. Bahwa penelitian itu boleh hanya mengenai satu individu saja, akan tetapi

pencatatannya harus dilakukan lebih dari satu kali.

b. Bahwa penelitian atau pencatatan hanya dilakukan satu kali saja, tetapi individu

yang dilihat harus lebih dari satu.

2. Penggolongan data statistik

a. Penggolongan data statistik berdasarkan sifatnya ditinjau dari segi sifat angkanya,

data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan yaitu :

Data kantinyu ialah data statistik yang angka-angkanya merupakan deratan

angka yang sambung-menyambung, dengan kata lain data kantinyu ialah data

yang deratan angkanya merupakan suatu kontinum.

Data Diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan.

b. Penggolongan data statistik berdasarkan cara menyusun angkanya ada tiga macam

yaitu :

Data nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya di dasarkan

atas penggolongan atau klasifikasi tertentu.



Data ordinal juga sering disebut data urut, yaitu data statistik yang cara

menyusun angkanya di dasarkan atas urutan kedudukan ( renking)

Data interval ialah data statistik di mana terdapat jarak yang sama di antara

hal-hal yang sedang di selidiki atau di persoalkan.

c. Penggolongan data statistik berdasarkan bentuk angkanya di bagi dua macam

yaitu :

Data tunggal ( ungrouped data ) ialah data statistik yang masing-masing

angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) dengan kata lain data tunggal

adalah data statistik yang angka-angkanya tidak di kelompokkan.

Data kelompokan atau data bergolong (qrouped data) ialah data statistik yang

tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka.

d. Penggolongan data statistik berdasarkan Sumber

Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan

pertama(tirst baud data)

Data sekunder adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber

dari tangan kedua (second bau data)

e. Penggolongan data statistik berdasarkan waktu pengumpulannya dibedakan

menjadi dua golongan yaitu :

Data seketika ialah data statistik yang mencerminkan keadaan pada satu waktu

saya (at a point of time)

Data urutan waktu ialah data statistik yang mencerminkan keadaan atau

perkembangan mengenai sesuatu hal, dari satu waktu ke waktu yang lain

secara berurutan. Data urut waktu ini juga sering di kenal dengan istilah

historical data.

3. Alat pengumpulan data statistik kependidikan

Di antara alat yang bisa di gunakan dalam pekerjaan pengumpulan data statistik

kependidikan dapat di kemukakan di sini misalnya :

a. Daftar atau daftar cek (check list)

b. Skala bertingkat (Rating Scale)



c. Pedoman wawancara ( interview gulde)

d. Questionnaire (daftar pertanyaan yang setiap pertanyaannya sudah di

selesaikan jawabannya untuk di pilih atau di sediakan tempat untuk

mengisi jawabannya.

PENGUMPULAN DATA STATISTIK PENDIDIKAN

1. Prinsip pengumpulan data statisrik pendidikan adalah :

Dengan waktu

Tenaga

Biaya

Alat yang sehemat mungkin, dapat di himpun data yang lengkap dan dapat

dipercaya.

a) Lengkap data.

Prinsip pertama yang harus dipegang adalah dalam pengumpulan data statistik

kependidikan kita harus berupaya semaksimal mungkin untuk dapat menghimpun data yang

selengkap-lengkapnya.

b) Tepatnya data.

Prinsip kedua ialah data yang di himpun hendaknya merupakan data yang tepat, yakni

tepat dalam hal :

1) Jenis atau macam datanya.

2) Waktu pengumpulannya

3) Kegunaan atau relevansinya sesuai dengan tujuan pengumpulan data atau tujuan

penelitian.

4) Alat atau instrumen yang dipergunakan untuk menghimpun data.

c) Kebenaran data yang di himpun.

Prinsip ketiga ialah data yang di himpun hendaklah data yang benar-benar dapat di

percaya atau dapat di jamin akan keselisihannya.

2. Cara mengumpulkan data statistik kependidikan

Sensus ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meneliti seluruh

elemen yang menjadi objek penelitian. Kelemahannya memakan waktu, tenaga,

biaya dan peralatan.



Sampling ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meniliti

sebagian kecil saja dari seluruh elemen yang menjadi objek penelitian.

Pengamatan mendalam (systematic observtion) yaitu pengamatan terhadap objek

yang akan di catat datanya, dengan persiapan yang matang dilengkapi dengan

instrumen tertent.

Wawancara mendalam (systematic intervalew) yaitu mengumpulkan data

berbentuk pengajuan pertanyaan secara lisan, dan pertanyaan yang diajukan dalam

wawancara itu telah di persiapkan secara tuntas, dilengkapi dengan instrumennya.

Angket yaitu cara pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan tertulis

melalui sebuah daftar pertanyaan yang sudah dipersiapkan sebelumnya.

Pemeriksaan dekomentasi (studi dokumenter) di lakukan dengan meneliti bahan

dokumentasi yang ada dan mempunyai relevansi dengan tujuan penelitian.

Tes seperti : tes hasil belajar , tes kepribadian, tes kecerdasan, tes minet dan

perhatian.

3. Sifat data statistik

a. Data statistik memiliki nilai relatif (relative value) atau nilai semu.

b. Data statistik memiliki nilai nyata (true value) atau nilai sebearnya.

c. Data statistik memiliki batas bawah relatif, batas atas relatif, batas

bawah nyata dan batas atas nyata.

d. Data statistik yang berbentuk data kelompokan memiliki nilai tengah atau titik

tengah (mid point)

e. Data statistik sebagai data angka, dalam proses perhitungannya tidak

menggunakan sistem pecahan, melainkan menggunakan sistem desimal

( sistem perpuluhan)

f. Data Statistik sebagai data angka dalam proses perhitungan menggunakan

sistem pembulatan angka tertentu.

4. Beberapa macam contoh data statistik dalam dunia pendidikan adalah :

a. Data Statistik yang berkaitan dengan prestasi belajar anak didik.

b. Data Statistik yang berkaitan dengan keadaan anak didik.

c. Data Statistik yang berkaitan dengan staf pengajar.

d. Data Statistik yang berkaitan dengan staf administrasi.

e. Data Statistik yang berkaitan dengan anggaran pendapatan dan belanja.



f. Data Statistik yang berkaitan dengan bidang perlengkapan.

g. Data Statistik yang berkaitan dengan bidang perpustakaan.

h. Data Statistik tentang angka presensi anak didik, staf pengajar dan staf

administrasi.

BAB II

MASALAH DISTRIBUSI FREKUENS



Setiap kali kita melakukan kegiatan pengumpulan data statistik, maka pada umumnya

kegiatan tersebut akan menghasilkan kumpulan data angka yang keadaanya tidak teratur,

berserak dan masih merupakan bahan keterangan yang sifatnya kasar dan mentah. Dikatakan

“kasar” dan “mentah”, sebab kumpulan angka dengan kondisi seperti yang disebutkan di atas

belum dapat memberikan informasi secara ringkas dan jelas mengenai ciri atau sifat yang

dimiliki oleh kumpulan angka tersebut. Oleh karena itu, agar data angka yang telah berhasil

dihimpun itu “dapat berbicara” dan dapat memberikan informasi yang berarti, diperlukan

adanya tindak lanjut atau langkah tertentu.

Sebuah contoh yang dikemukakan berikut ini kiranya akan memperjelas uraian di

atas.

Dari sejumlah 80 orang Mahasiswa Tingkat II Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Kalijaga

Yogyakarta, berhasil dihimpun data berupa nilai hasil Ujian Utama Semester I Tahun

Akademik 1984/1985 dalam mata kuliah Statistik Pendidikan, sebagai berikut :

60 47 35 52 74 45 55 40 56 53

45 79 58 45 38 50 64 59 58 40

50 45 65 55 48 63 80 49 39 58

30 55 51 45 41 30 53 40 49 43

34 54 68 51 57 56 44 52 37 77

50 57 36 66 71 46 50 31 59 56

70 45 32 61 55 45 42 30 59 35

55 35 75 50 57 30 67 54 80 40

Dapat kita saksikan dan kita rasakan bersama bahwa data yang berupa kumpulan nilai

hasil ujian semester dari 80 orang mahasiswa itu masih dalam keadaan tidak teratur dan

berserak, sehingga masih sangat sulit bagi kita untuk dapat menjawab dengan cepat

pertanyaan yang muncul di balik kumpulan data angka itu, seperti :

a. Berapa banyak mahasiswa yang memiliki nilai tertinggi dalam ujian semester

tersebut?

b. Berapa banyak mahasiswa yang memiliki nilai terendah?

c. Berapa banyak mahasiswa yang memperoleh nilai di atas 60?

d. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 60?

e. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya berkisar antara 60 – 69?

f. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya berkisar antara 70 – 79?



g. Berapa banyak mahasiswa yang memperoleh nilai yang sama?

Untuk dapat menjawab butir-butir pertanyaan seperti telah dikemukakan di atas,

tindakan pertama yang harus kita lakukan adalah : menghitung frekuensi yang dimiliki oleh

tiap-tiap nilai yang berada dalam deretan nilai-nilai tersebut, dan dengan jalan menghitung

frekuensi yang dimiliki oleh tiap-tiap nilai itu maka lebih lanjut akan dapat kita ketahui

distribusi frekuensi dari nilai-nilai hasil ujian semester yang berhasil dicapai oleh 80 orang

mahasiswa tadi.

PENGERTIAN VARIABEL

Kata “variabel” berasal dari bahasa Inggris variable dengan arti :”ubahan”,”faktor tak

tetap”, atau “gejala yang dapat diubah-ubah”. Dalam contoh yang telah disebutkan dimuka,

nilai-nilai hasil ujian semester dari sejumlah 80 orang mahasiswa itu kita sebut variable.

Variabel pada dasarnya bersifat kualitatif namun dilambangkan dengan angka.

Contoh :

“Usia” adalah gejala kualitatif, akan tetapi gejala yang bersifat kualitatif itu dilambangkan

dengan angka; misalnya : 17 tahun, 25 tahun, 50 tahun, dan sebagainya “Nilai Ujian” pada

dasarnya adalah gejala kualitas yang dilambangkan dengan angka, seperti 5,6,7,40,75,80,100,

dan sebagainya.

PENGERTIAN FREKUENSI

Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti:

“kekerapan”, “keseimbangan”, “keseringan”, atau “jarang-kerap”. Dalam statistik,

“frekuensi” mengandung pengertian : Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali

suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka

tersebut; atau berapa kalikah suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul

dalam deretan angka tersebut.

Contoh :

Nilai yang berhasil dicapai oleh 10 orang siswa SMA dalam Tes Hasil Belajar bidang studi

Ilmu Pengetahuan Alam adalah:

60 50 75 60 80 40 60 70 100 75

Jika kita amati, maka dalam deretan nilai hasil tes tersebut,nilai 60 muncul sebanyak 3

kali; atau bahwa siswa yang memperoleh nilai 60 itu sebanyak 3 orang. Maka disini dapat

kita katakan bahwa nilai 60 itu berfrekuensi 3.



Nilai 70 hanya muncul sebanyak 1 kali saja; ini berarti bahwa nilai 70 itu berfrekuensi

1.

Nilai 75 dicapai oleh 2 orang siswa, atau nilai 75 ada sebanyak 2 buah, disini kita

katakan

bahwa nilai 75 berfrekuensi 2. demikianlah seterusnya.

PENGERTIAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi berarti penyaluran, pembagian, atau pencaran frekuensi dapat diberi arti

penyaluran frekuensi. Dalam statistik distribusi frekuensi kurang lebih mengandung

pengertian: “ suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau

variabel yang dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi, terpencar.

Contoh : Jika data yang berupa nilai tes hasil belajar dalam bidang studi kimia dari 10 orang siswa

SMA kita sajikan dalam bentuk tabel, maka pembagian atau pencaran frekuensinya dari nilai hasil tes

itu akan tampak nyata :

NilaiBanyaknya

(orang)

100 1

80 1

75 2

70 1

60 3

50 1

40 1

Total 10

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi



Tabel distribusi frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai alat penyajian data

statistik yang berbentuk kolom dan lajur, yang didalamnya dimuat angka yang dapat

melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang

sedang menjadi objek penelitian.

2. Tabel Distribusi Frekuensi dan Macamnya

a. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Tabel distribusi frekunsi data tungal adalah salah satu jenis tabel statistik yang

didalamnya disajikan frekuensi dari data angka, angka data itu tidak dikelompok-

kelompokkan. Contoh : Distribusi frekuensi nilai tes hasil belajar dalam bidang studi kimia

dari 40 orang siswa SMA Negeri kelas XI IPA

Tabel II.1 Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa

SMA Negeri kelas XI IPA

Nilai Frekuensi

8 6

7 9

6 16

5 6

Total N = 40

b. Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokkan

Tabel distribusi frekuensi data kelompokkan adalah salah satu jenis tabel statistik

yang didalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, dimana angka-angka tersebut

dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka).

Contoh:Tabel II.2 Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia yang bertugas di

SMA Negeri Palembang.

Usia Frekuensi

50-54 6

45-49 7

40-44 10

35-39 12

30-34 8

25-29 7

Total 50 = N



c. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Dimaksud dengan tabel distribusi frekuensi kumulatif aialah salah satu jenis tabel

statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau selalu

ditambah-tambahkan, baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. Contoh :

Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa


Tabel II.3 Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa


Nilai (X) F fk(b) fk(a)

8 6 40 = N 6

7 9 34 15

6 19 25 34

5 6 6 40 = N

Total N =40 - -

Tabel diatas dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif data tunggal, sebab data

yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data yang tidak dikelompok-kelompokkkan (lihat

kolom 1). Pada kolm 2 dimuat frekuensi asli (yakni frekuensi sebelum diperhitungkan

frekuensi kumulatifnya). Kolom 3 memuat frekuensi kumulatif yang dihitung dari dari bawah

(fk(b)). Contoh berikutnya adalah Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia

yang bertugas di SMA Negeri Palembang

Tabel II.4 Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA

Negeri Palembang

Usia F fk(b) fk(a)

50-54 6 50 6

45-49 7 44 13

40-44 10 37 23

35-39 12 27 35

30-34 8 15 43

25-29 7 7 50

Total 50 - -

Tabel diatas kita namakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Kelompokkan,

sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data kelompokan. Tentang keterangan

atau lebih lanjut pada pokoknya sama seperti keterangan yang telah dikemukakan.



d. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif.

Tabel distribusi frekuensi relatif juga dinamakan tabel persentase. Dikatakan

‘frekuensi relatif’ sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya,

melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan.

Contoh :

1. Jika data yang disajikan pada tabel II.1 kita sajikan kembali dalam bentuk Tabel Distribusi

Frekuensi Relatif atau Tabel Persentase, maka keadaannya adalah sebagai berikut :

Tabel II. 5 Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40

Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA

Nilai (X) F Persentase(p)

8 6 15,0

7 9 22,5

6 19 47,5

5 6 15,0

Total N =40 ∑p = 100,0

Keterangan untuk memperoleh frekuensi relatif (angka persenan) sebagaimana tertera pada

kolom 3, tabel II.5, dipergunakan rumus :

P = f/N x 100%

Keterangan : f = frekuensi yang seang dicari persentasenya.

N = Number of Case (jumlah frekuensi/banyaknya individu)

P = angka persentase

e. Tabel Persentase Kumulatif

Seperti halnya tabel distribusi frekuensi, tabel persentase atau tabel distribusi

frekuensi relatif pun dapat diubah kedalam bentuk tabel persentase kumulatif (tabel distribusi

frekuensi relatif kumulatif). Jika data yang disajikan pada tabel II.5 dan tabel II.6 kita ubah ke

dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif, hasilnya adalah sebagai berikut :

Tabel II.7. Tabel Persentase Kumulatif (Tabel distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif) Tentang Nilai Tes

Hasil Belajar Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA

Nilai (X) Persentase(p) pk(b) pk(a)

8 15,0 100 15.0



7 22,5 85.0 37.5

6 47,5 62.5 85.0

5 15,0 15.0 100.0

Total ∑p = 100,0 - -

Penjelasan bagaimana cara memperoleh pk(b) dan pk(a)sama seperti penjelasan yang

dikemukakan pada tabel II.3.

Tabel II.8 Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif) tentang

usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA Negeri Palembang

Usia Persentase (p) pk(b) pk(a)

50-54 12.0 100 12.0

45-49 14.0 88 26.0

40-44 20.0 74.0 46.0

35-39 24.0 54.0 70.0

30-34 16.0 30.0 86.0

25-29 14.0 14.0 100.0

Total ∑p = 100 - -

CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUUSI FREKUENSI

1. Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal

a. Contoh pembuatan tabel distribusi frekuensi data tunggal yang

semua skornya berfrekuensi 1 (satu). Misalkan dari 10 orang mahasiswa yang

menempuh ujian ulangan secara lisan dalam mata pelajaran matakuliah statistik

pendidikan, diperoleh nilai sebagai berikut :

No Nama Nilai

1 Wahyu 65

2 Arianto 30

3 Syamsudin 60

4 Abdul Wahid 45

5 Dimyati 75

6 Sulistyani 40

7 Fathonah 70

8 Nur Kholis 55



9 Hamdani 80

10 B. Pramono 50

Jadi data diatas kita tuangkan penyajiannya dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Data

tunggal, wujudnya adalah seperti Tabel II.9.

Tabel II.9 Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Ulangan Lisan Dalam Matakuliah Statistik

Pendidkan yang diikuti 10 orang Mahasiswa.

Nilai F

65 1

30 1

60 1

45 1

75 1

40 1

70 1

55 1

80 1

50 1

Karena semua sekor (nilai) hasil ujian tersebut berfrekuensi 1, dan semua sekor nilai

yang ada itu berwujud data tunggal, maka tabel diatas dinamakan : Tabel distribusi Frekuensi

Data tunggal yang semua sekornya berfrekuensi 1.

b. contoh pembuatan tabel distribusi frekuensi data tunggal, yang sebagian atau keseluruhan

sekornya berfrekuensi lebih dari satu.

Misalkan dari sejumlah 40 orang murid SMA yang menempuh ulangan harian dalam

matapelajaran matematika, diperoleh nilai hasil ulangan sebagai berikut (nama murid tidak

dicantumkan).

3 8 6 4 6 7 9 6 4 5

3 5 8 6 5 4 6 7 7 10

4 6 5 7 8 9 3 5 6 8

10 4 9 5 3 6 8 6 7 6



apabila data tersebut kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka langkah yang

dapat ditempuh adalah sebagai berikut :

Langkah pertama :

mencari nilai tertinggi (sekor paling tinggi = highest score = H) dan nilai terendah (sekor

paling rendah = lowest score = L). Ternyata H = 10 dan L = 3

Dengan diketahuinya H dan L, maka kita dapat menyusun atau mengatur nilai hasil

ulangan harian itu, dari atas ke bawah, mulai dari 10 berturut- turut ke bawah sampai dengan

3 pada kolom 1 dari tabel distribusi frekuensi yang kita persiapkan adalah seperti yang

terlihat pada tabel II.10.

Langkah kedua :

Menghitung frekuensi masing-masing nilai yang ada, dengan bantuan jari-jari (=

tallies) ; hasilnya dimasukkan dalam kolom 2 dari tabel distribusi frekuensi yang kita

persiapkan (lihat kolom 2 tabel II.10).

Langkah Ketiga :

Mengubah jari-jari menjadi angka biasa, dituliskan pada kolom3 (lihat kolom 3 Tabel 2.10).

setelah selesai, keseluruhan angka yang menunjukkan frekuensi masing-maing nilai yang ada

itu lalu kita jumlahkan, sehingga diperoleh jumlah frekuensi (∑f) atau number of Cases = N

Tabel 2.10 kita sebut tabel distribusi frekuensi data tunggal yang seluruh sekornya

berfrekuensi lebih dari satu, sebab disamping seluruh sekor (nilai)nya merupakan data yang

tidak dikelompokkan, maka seluruh sekor yang ada itu masing-masing berfrekuensi lebih dari

satu.

Tabel 2.10. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ulangan Hatian Dalam Matapelajaran

Matematika yang Diikuti Oleh 40 Orang Murid SMA.

Nilai

(X)

Tanda/ Jari-jari/Tallies f

10 / / 2

9 / / / 3

8 / / / / 5

7 / / / / 5

6 / / / / / / / / 10



5 / / / / / / 7

4 / / / / 3

3 / / / 3

Total 40

a. Cara Membuat Tabel distribusi Frekuensi Data Kelompokkan

Jika penyebaran angka/nilai/sekor yang akan kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi

frekuensi itu demikian luas atau sebar, dan penyajiannya dilakukan dengan cara seperti yang

telah dikemukakan di atas, maka tabel distribusi frekuensi yang berhasil kita buat akan terlalu

panjang dan memakan tempat. Disamping itu ada kemungkinan bahwa sekor yang kita

sajikan frekuensinyadalam tabel ternyata berfrekuensi nol (0) karena sekor tersebut, tidak

terdapat dalam deretan sekor yang kita hadapi.

Untuk mencegah kejadian yang demikian itu, maka terhadap data statistik (yang

berbentuk angka/sekor) itu perlu dilakukan pengelompokkan labih dahulu, dan setelah itu

barulah dihitung frekuensi masing-masing kelompok nilai.

Perhatikan contoh berikut ini : Misalkan dari sejumlah 80 orang siswa kleas III SMA

jurusan fisika diperoleh nilai hasil EBTA (Evaluasi Belajar Tahap Akhir) dalam bidang studi

Biologi, sebagai berikut (nama sengaja tidak disebut);

65 54 68 70 57 61 58 62 58 60 65 65 50 60 53 74

59 67 47 63 57 60 77 55 71 55 65 53 49 65 56 70

57 60 73 58 65 57 52 66 57 66 59 69 56 64 52 58

78 55 60 54 62 75 51 60 64 62 60 61 55 58 72 56

54 61 51 59 61 60 63 59 50 60 65 59 60 67 45 80

Maka data tersebut dibuat kedalam tabel distribusi frekuensi, dengan cara dan langkah

sebagai berikut :

Langkah Pertama ;

Mencari highest score (H0 dan lowest Score (L); ternyata diperoleh H = 80 dan L =

45.

Langkah Kedua ;

Menetapkan luas penyebaran nilai yang ada, atau mencari banyaknya nilai, mulai dari nilai

terendah sampai dengan nilai tertinggi, yang biasa disebut Total Range atau sering disingkat

dengan Range saja dan diberi lambang dengan huruf R, dengan menggunakan rumus ;

R = H- L + 1



R = total range

H = highest score (nilai tertinggi)

L = Lowest score (nilai terendah)

1 = bilangan kosntan

Diatas kita telah kita ketahui : H = 80 dan L = 45, maka dapat denganmudah diperoleh

nilai R, yaitu R = 80 – 45 + 1 = 36. Angka 36 ini mengandung pengertian bahwa apabila kita

menghitung banyaknya nilai mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi pada data

yang telah dikemukakan diatas, akan diperoleh sebanyak 36 butir nilai. Karena H = 80 dan L

= 45, maka kalau kita menderetkan nilai mulai dari 45 sampai dengan 80 akan terdapat 36

nilai; perhatikanlah ; 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63,

64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 = 36 butir nilai.

Langkah ketiga :

Menetapkan besar atau luasnya pengelompokkan data untuk masing-masing

kelompok data. Yang dimaskud disini ialah : karena data berupa nilai hasil EBTA itu akan

disajikan dalam bentuk data kelompokkan, maka perlu kita tetapkan dulu, masing-masing

kelompokkan data (= masing-masing interval) akan terdiri dari beberapa nilai.

Untuk menetapkan besar atau luas dari masing-masing interval nilai yang akan kita

sajikan dalam tabel distribusi frekuensi, ada beberapa macam cara atau pedoman yang dapat

dipergunakan. Salah satu diantaranya yang diperkenalkan disini ialah sebagai berikut ;

R/i sebaiknya menghasilkan bilangan yang besarnya 10 s/d 20.

R = total range

I = interval class, yaitu luasnya pengelompokkan data yang dicari atau kelas interval.

10 s/d 20 maksudnya disini ialah bahwa jumlah kelompokkan data yang akan disajikan dalam

tabel distribusi frekuensi itu sebaiknya tidak kurang dari 10 dan tidak lebih banyak dari 20.

Langkah empat

Menetapakan bilangan dasar masing-masing interval yang dibuat dalam tabel.Para

ahli statistik mengemukakan pedoman dalam menetapakan bilangan dasar,sebagai berikut :

Pertama : Bilangan dasar interval itu sebaiknya adalah bilangan yang merupakan kelipatan

dari i. Dengan kata lain : bilangan dasar interval itu sebaiknya dipilihkan bilangan yang dapat

habis jika dibagi dengan i. Kalau pedoman ini kita terapkan pada data yang sedang kita

hadapi, maka bilangan dasar interval yang memenuhi syarat bilangan : 78, 75, 72, 69, 66, 63,

60, 57, 54, 51, 48, dan 45. Kedua belas bilangan inilah yang akan mengawali tiap-tiap

interval dalam tabel distribusi frekuensi yang akan kita buat.



Kedua : Dalam menetapkan bilangan dasar interval itu harus diperhatikan sedemikian rupa,

sehingga dalam interval yang tertinggi (interval paling atas) harus terkandung nilai tertinggi

(highest score) dan dalam interval yang terendah (interval paling bawah)harus terkandung

nilai terendah (lowest score).

Langkah Kelima :

Mempersiapkan tabel distribusi frekuensinya, yang terdiri dari tiga kolom. Kolom 1

diisi dengan interval nilai yang banyaknya 12 baris, kolom 2 adalah kolom yang

membubuhkan “tanda-tanda atau jari-jari” sebagai pertolongan dalam menghitung frekuensi,

sedang kolom 3 berisi frekuensi (Perhatikanlah tabel 2.11).

Tabel 2.11. Distribusi Frekuensi nilai hasil EBTA dalam bidang studi biologi dari sejumlah 80 orang

siswa kelas III SMA Jurusan Fisika.

Interval Tanda/Jari-jari f

78-80 / / 2

75-77 / / 2

72-74 / / / 3

69-71 / / / / 4

66-68 / / / / 5

63-65 / / / / / / / / 10

60-62 / / / / / / / / / / / / / / 17

57-59 / / / / / / / / / / / / 14

54-56 / / / / / / / / / 11

51-53 / / / / / 6

48-50 / / / / 4

45-47 / / 2

Total 80=N

Langkah keenam :

Menghitung frekuensi dari tiap-tiap nilai yang ada, dengan bantuan ‘tanda-tanda’

atau ‘jari-jari’ seperti terlihat pada kolom 2; setelah hal itu dapat diselesaikan , selanjutnya

jari-jari itu kita ubah menjadi angka biasa dan kita tuliskan pada kolom 3. Akhirnya semua

frekuensi yang telah kita tuliskan pada kolom 3 itu kita jumlahkan, sehingga diperoleh f atau

N sebesar 80.



Contoh :

1) Interval 50-54 kelas intervalnya (i-nya) adalah 5 (merupakan bilangan gasal). Midpoint

atau nilai tengah dari interval 50-54 adalah = (50=54) : 2 = 52 (midpoint berupa

bilangan bulat)

2) Interval 50-55 kelas intervalnya adalah 6 (atau : I = 6). Jadi disini interval classnya

berupa bilangan genap. Midpoint dari interval 50-55 itu adalah = (50 +55) : 2 = 52,50

(midpoint berupa pecahan).

3) interval 5-9 kelas intervalnya (i-nya) adalah 5 (merupakan bilangan gasal).

Midpointnya = (5+9): 2 = 7 (merupakan bilangan bulat).

4) Interval 5-10 kelas intervalnya (i-nya)adalah 6 (merupakan bilangan genap).

Midpointnya = ( 5 + 10) : 2 = 7,5 (merupakan pecahan).

E. GRAFIK SEBAGAI ALAT PENGGAMBARAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Tabel distribusi frekuensi mempunyai fungsi sebagai alat Bantu dalam penyajian

data statistic, lewat kolom dan lajurnya.Tetapi,penyajian lewat table distribusi frekuensi

kurang menarik karena kurang cepat dalam memberikan deskripsi data dan kadang kurang

dapat dimengerti.

Karena kelemahan dari table distribusi frekuensi adalah seperti penjelasan

diatas,maka dalam penyajian data,dapat menggunakan grafik atau diagram.

Dibandingkan dengan tabel distribusi frekuensi, grfaik memiliki keunggulan tertentu, antara

lain :

1. Penyajian data statistik melalui grafik nampak lebih menarik daripada tabel distribusi

frekuensi.

2. Grafik dapat dengan secara lebih cepat memperlihatkan gambaran umum dan menyeluruh

tentang sesuatu perkembangan, perubahan maupun perbandingan; tidak demikian halnya

dengan tabel.

3. Grafik yang dibuat menurut aturan yang tepat dan benar, akan terasa lebih jelas dan lebih

dimengerti.

Namun demikian grafik itu sendiri tidak dapat terhindar dari kekurangan atau

kelemahan. Diantara kelemahan yang memiliki grafik dapat disebutkan di sini misalnya :

1. Membuat grafik jauh lebih sukar dan memakan waktu, biaya serta alat, tidak demikian

halnya dengan tabel.



2. data yang dapat disajikan atau dituangkan dalam bentuk grafik amatlah terbatas , sebab

apabila datanya banyak sekali (bermacam-macam) maka lukisan grafiknya akan menjadi

terlalu ruwet dan meusingkan ; tidak seperti halnya tabel.

3. Grafik pada kebanyakkanya bersifat kurang teliti. Dalam tabel dapat dimuat angka sampai

pada tingkat ketelitian yang setinggi-tingginya.

Dengan demikian jelaslah bahwa baik tabel distribusi frekuensi maupun grafik, masing-

masing memiliki keunggulan dan kelemahan tertentu. Pada dasarnya kelemahan yang

terdapat pada tabel distribusi frekuensi merupakan keunggulan grafik, sebaliknya ;

keunggulan yang dimiliki oleh tabel distribusi merupakan kelemahan grafik. Itulah sebabnya

apabila didalam penyajian data statistik itu kita sajikan dalam bentuk tabel.

1. PENGERTIAN GRAFIK

Grafik tidak lain dan tidak bukan adalah alat penyajian data statistik yang tertuang

dalam bentuk lukisan garis , gambar, maupun lambang. Jadi dalam penyajian data angka

melalui grafik, angka itu dilukiskan dalam bentuk lukisan, garis, gambar atau lambang

tertentu dengan kata lain angka itu divisualisasikan.

2. BAGIAN-BAGIAN UTAMA GRAFIK

Sebuah grafik yang lengkap umumnya terdiri dari 13 bagian. Ketiga belas bagian

dimaksud adalah :

a. Nomor grafik

b. Judul grafik

c. Sub judul grafik

d. Unit skala grafik

e. Angka skala grafik

f. Tanda skala grafik

g. Ordinat atau ordinal atau

sumbu vertikal

h. Koordinat (garis-garis

perptolongan = garis-garis kisi)

i. Absis (sumbu horisontal)

= sumbu mendatar = garis nol =

garis awal = garis mula

j. Titik nol (titik awal)

k. Lukisan grafis (gambar

grafik)

l. Kunci grafik

m. Sumber grafik (sumber

data)





30

25

20

15

10

5

0

Nomor grafik Grafik no 1

Judul grafik Jumlah staf pengajar Tetap IAIN Sunan Kalijaga Tahun Akademik 1979/1980

Sub judul grafik Menurut keadaan s/d tanggal 30 Juni 1980

orangUnit skala grafik

Angka skala grafik

Tanda skala grafik

ordinat

Titik mula (titik nol)

absis

koordinasi

Lukisan grafis

Keterangan : Fak. Adab

Fak. Dakwah

Fak. Tarb.Yk

Fak. Syaria’ah

Fak. Usluhudin

Sumber grafik

(sumber data)

Sumber :

Laporan Tahunan Rektor IAIN Sunan Kalijaga Tahun Akademik 1979/1980

3. MACAM-MACAM GRAFIK

a. Grafik Balok atau grafik batang atau Barchart.

Grafik balok ini ada 6 macam yaitu :

1. Grafik balok tunggal

2. Grafik balok Ganda atau Majemuk

3. Garfik Balok Terbagi

4. Grafik Balok Vertikal

5. Grafik Balok Horisontal

6. Grafik Balok Bilateral

b.Grafik Lingkaran atau Cyclegram atau diagram pastel

c. Grafik Gambar atau Pictogram atau Pictograph

d. Grafik Peta atau kartogram atau sta.

e. Grafik Bidang

f. Grafik Volume

g. Grafik garis, yang dapat dibedakan menjadi 3 macam yaitu :

1. Grafik garis tunggal

2. Grafik garis majemuk atau ganda

3. Grafik Poligon atau Polygon Frequency

F. CARA MELUKISKAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK

POLIGON (POLYGON FREQUENCY)

Dari macam ragam grafik tersebut, terdapat dua jenis grafik yang sering dipergunakan

dalam kegiatan analisa ilmiah, yaitu (1). Grafik Poligon atau Polygon Frequency dan (2)

Grafik Histogram atau Histogram Frquency.

Misalkan Data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi matematika

yang diikuti oleh 40 orang murid SMA seperti tertera pada tabel II.10 di muka tadi kita

sajikan dalam bentuk grafik poligon, maka langkah yang perlu dilakukan berturut-turut

adalah sebagai berikut :

a. Membuat sumbu horisontal (absis), lambangnya X

b. Membuat sumbu vertikal (ordinal), lambangnya Y

c. Menempatkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y

d. Menempatkan nilai pada absis X , berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai

terendah sampai dengan nilai tertinggi.



e. Menempatkan frekuensi pada ordinal Y

f. Melukiskan grafik poligonnya

GRAFIK 2.2

Poligon Frekuensi Tentang Nilai-nilai Hasil Ulangan Harian

Bidang Studi Matematika Dari Sejumlah 40 Orang Murid

Madrasah Ibtidaiyah

Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data

Kelompokkan.Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Biologi dari

sejumlah 80 orang siswa kelas III jurusan Fisika seperti yang disajikan dalam tabel II.11,

akan kita sajikan dalam bentuk poligon frekuensi. Maka langkah yang perlu dilakukan secara

berturut-turut adalah sebagai berikut ;

a. Membuat sumbu horisontal (absis), lambangnya X

b. Membuat sumbu vertikal (ordinal), lambangnya Y



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

c. Menempatkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y

d. Menetapkan/mencari nilai tengah (midpoint) masing-masing interval

yang ada.

Interval F Midpoint (X)

78-80 2 (78+80) : 2 = 79

75-77 2 (75+77) : 2 = 76

72-74 3 (72+74) : 2 = 73

69-71 4 (69+71) : 2 = 70

66-68 5 (66+68) : 2 = 67

63-65 10 (63+65) : 2 = 64

60-62 17 (60+62) : 2 = 61

57-59 14 (57+59) : 2 = 58

54-56 11 (54+56) : 2 = 55

51-53 6 (51+53) : 2 = 52

48-50 4 (48+50) : 2 = 49

45-47 2 (45+47) : 2 = 46

Total 80=N -

e. Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada

absis (X).

f. Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada ordinal (Y)

g. Membuat garis perpotongan atau koordinat

h. Melukiskan grafik poligonnya.

GRAFIK 2.3

Poligon Frekuensi Tentang Nilai Hasil EBTA dalam Bidang Studi Biologi,

yang Diikuti Oleh Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III SMA Jurusan Fisika



CARA MELUKISKAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK

HISTOGRAM (HISTOGRAM FREQUENCY)

Grafik histogram dapat dibedakan mejadi dua macam yaitu :

(1). Grafik Histogram Data tunggal

(2). Grafik Histogram Data kelompokkan

1. Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Histogram Data Tunggal.

Langkah yang perlu ditempuh :

a. Menyiapkan sumbu horisontal (absis = X)



17

16

15

14

13

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76

b. Menyiapkan sumbu vertikl (ordinal =Y)

c. Menetapkan titik nol (perpotongan X dengan Y)

d. Menetapkan atau menghitung nilai nyata (true value)

Nilai

(X)

f Nilai Nyata

10 2 9.50 - 10.50

9 3 8.50 - 9.50

8 5 7.50 - 8.50

7 5 6.50 - 7.50

6 10 5.50 - 6.50

5 7 4.50 - 5.50

4 3 3.50 - 4.50

3 3 2.50 - 3.50

e. Menempatkan nilai nyata pada masing-masing skores (nilai) yang ada pada absis X

f. Menempatkan frekuensi tiap-tiap sekor (niali) yang ada pada ordinal Y

g. Membuat garis perpotongan (koordinat)

h. Melukiskan grafik histogramnya

GRAFIK 2. 4

Histogram Frekuensi Tentang Tes Nilai Hasil Ulangan Harian Bidang Studi

Matematika dari Sejumlah 40 Orang Murid Madrasah Ibtidaiyah



2. Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Histogram Data

Kelompokkan.

Kita ambil kembali data nilai hasil ebta dalam bidang studi biologi, yang diikuti oleh

sejumlah 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan Fisika seperti tertera pada Tabel II.10. Untuk

melukiskan grafik histogramnya, diperlukan langkah kerja sebagai berikut :

a. Menyiapkan sumbu horisontal (absis = X)

b. Menyiapkan sumbu vertikal (ordinal =Y)

c. Menetapkan titik nol (perpotongan X dengan Y)

d. Menetapkan atau mencari nilai nyata (true value) dari masing-masing interval.

Interval F Midpoint (X)

78-80 2 (78+80) : 2 = 79

75-77 2 (75+77) : 2 = 76

72-74 3 (72+74) : 2 = 73

69-71 4 (69+71) : 2 = 70



10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5

66-68 5 (66+68) : 2 = 67

63-65 10 (63+65) : 2 = 64

60-62 17 (60+62) : 2 = 61

57-59 14 (57+59) : 2 = 58

54-56 11 (54+56) : 2 = 55

51-53 6 (51+53) : 2 = 52

48-50 4 (48+50) : 2 = 49

45-47 2 (45+47) : 2 = 46

Total 80=N -

e. Menempatkan nilai nyata pada masing-masing interval pada sumbu

mendatar/vertikal (absis =x)

f. Menempatkan frekuensi tiap-tiap sekor (nilai) yang ada pada ordinal

Y

g. Membuat garis perpotongan (koordinat).



BAB III

MASALAH RATA-RATA (AVERAGE)

1. Pengertian rata-rata

Nilai rata-rata juga dikenal dengan istilah ukuran nilai pertengahan (measure of

central value),sebab nilai rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai pertengahan dari nilai

– nilai yang ada.Selain itu,karena nilai rata-rata itu biasanya berposisi ada sekitar central

penyebaran nilai yang ada , maka nilai rata-rata itupun yang dikenal dengan nama ukuran

posisi pertengahann (measure of central position).

Rata – rata tidak lain adalah : tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari

rentetan nilai rat-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan saja,namun dengan satu bilngan

itu akan dapat tercermin gambaran secara umum yang berupa angka atau bilangan itu.

2. Ukuran rata – rata dan macamnya

Adapun macam – macam “rata-rata” atau “ukuran rata-rata” yang dimiliki oleh

statistic sebagai ilmu pengetahuan ialah :

1. rata-rata hitung atau : Nilai rata-rata hitung (Arithmetic mean,yang sering kali

disingkat dengan : mean saja ) yang umumnya dilambangkan dengan huruf M atau X;

2. Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak

(median atau medium),yang umumnya dilambangkan dengan : mdn atau Me atau

Mn ;

3. modus atau mode, yang biasa dilambangkan dengan : Mo ;

4. rata-rata ukur atau nilai rata-rata ukur (geometric mean),yang dilambangkan dengan

GM;

5. rata-rata harmonic atau nilai rata-rata harmonic (harmonic mean),yang biasa

dilambangkan dengan HM.

1) Nilai rata-rata hitung (mean)

Dalam bahasa inggris Nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean,atau

sering disingkat dengan mean saja.Mean dikenal sebagai ukuran yang menduduki terpenting

jika dibandingkan dengan ukuran tendensi pusat lainnya.



a. Pengertian Mean

Secara singkat pengertian tentang mean dapat dikemukakan sebagai berikut : Mean

dari sekelompok (sederetan) angka (bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka

(bilangan) yang Ada,dibagi dengan banyaknya angka (bilangan) tersebut.

b. Cara mencari Mean

1. Cara mencari mean untuk data tunggal

Ada dua mavam cara yang dapat digunakan untuk mencari mean dari data tunggal

(data yang tidak dikelompokkan),yaitu :

(1) Cara mencari mean dari data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi

satu,dan

(2) Cara mencari mean dari data tunggal dimana sebagian atau seluruh skornya

berfrekuensi lebih dari satu.

(3) Cara mencari mean data tunggal , yang seluruh skornya berfrekuensi satu

2. Rumus yang digunakan

Rumus yang digunakan untuk mencari mean data tunggal yang seluruh skornya

berfrekuensi satu adalah (seperti telah dicantumkan diatas):

Mx = mean yang kita cari

= Jumlah dari skor-skor (nilai-nilai ) yang ada

N = Number of cases (banyaknya skor-skor itu sendiri)

Contoh :Jika nilai hasil ulangan dari seorang siswa MAN tadi kita hitung Mean-nya

dengan menggunakan Tabel Distrtibusi Frekuensi,maka proses perhitungannya adalah

sebagai berikut :

Tabel 3.1.Perhitungan Mean nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi Agama

Islam,PMP,Bahasa Indonesi,Bahasa Inggris,IPS Dan IPA seorang siswa Madrasah Aliyah

Negeri.

X F

9 1

8 1



7 1

6 1

5 1

4 1

39 = 6 = N

Dari Tabel 3.1 talah kita peroleh : = 39,Sedangkan N = 6.Dengan demikian :

=

3. Cara mencari mean data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi

lebih dari satu.

- Rumus yang digunakan

Karena data tunggal yang kita hitung Mean-nya sebagian atau seluruh skornya

berfrekuensi lebih dari satu,maka :

2.Cara mencari Mean untuk data kelompok

a) Mencari mean data kelompokan dengan menggunakan metode panjang

-Rumus yang digunakan

Keterangan : Fx = Jumlah dari hasil perkalian antara Midpoint dari masing-masing

interval ,dengan frekuensinya.

-Langkah-langkah yang harus ditempuh

1) Menetapkan (menghitung) nilai tengah (midpoint) masing-masing inteval,diberi

lambang X.

2) Memperkalikan frekuensi masing-masing interval,dengan midpoint-nya,atau

dikalikan dengan X,Sehingga diperoleh Fx.

3) menjumlahkan fX,sehingga diperoleh Fx.

4) Menghitunh meannya dengan rumus :

b) Mencari mean data kelompokan dengan menggunakan metode singkat:

- Rumus yang digunakan



Keterangan :

M = Mean terkaan atau mean tafsiran

i = interval class (besar/luasnya pengelompokan data)

Fx’=jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah bantuan sendiri dengan frekuensi dari

masing-masing interval

- Langkah-langkah

1.Mencari Mean terkaan sendiri atau mean tafsiran sendiri (yaitu M’)

2.Menetapkan x’ (titik tengah buatan sendiri)

3.memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval ,dengan x’(jadi f dikalikan dengan

x’=fx’)

4.Menghitung Mean-nya dengan menggunakan rumus.

c. Penggunaan Mean

1.Bahwa data statistik yang dihadapi merupakan data yang distribusi frekuensinya bersifat

normal atau simetris;setidaknya mendekati normal.

2.bahwa dalam kegiatan analis data,kita menghendaki kadar kemantapan.

3.bahwa dalam penganalisisan data selanjutnya,terhadap data yang sedang kita hadapi atau

kita teliti itu,akan kita kenai ukuran-ukuran statistik selain mean.

d. Kelemahan Mean

1.Karena mean itu diperoleh atau berasal dari hasil perhitungan terhadap seluruh angka

yang ada,maka jika dibandingkan dengan ukuran rata-rata lainnya-perhitungannya relatif

sukar.

2.Dalam perhitungan mean , sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran.

3.sebagai salah satu ukuran rata-rata,mean kadang-kadang sangat dipengaruhi oleh angka

atau nilai exstrimnya sehingga hasil yang diperoleh kadang terlalu jauh dari kenyataan

yang ada.

2. Nilai rata-rata pertengahan (Median)

a. Pengertian Nilai rata-rata Pertengahan (Median)



Median ialah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data

kedalam dua bagian yang sama besar.dengan kata lain median adalah nilai atau angka yang

diatas nilai atau angka tersebut terdapat ½ N dan dibawahnya juga terdapat ½ N.

b.cara mencari nilai rata-rata pertengahan

1) Cara mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data

a. Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya

berfrekuensi 1.

- Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1

dan number of cases –nya berupa bilangan gazal.

Rumus : ( N = 2n + 1 )

Maka median nta terletak pada bilangan yang ke (n+1)

- Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya

berfrekuensi 1,dan number of cases-nya berupa bilangan genap .

Rumus : ( N = 2n)

Maka median data yang demikian terletak antara bilangan yang ke-n dan ke (n+1)

b. Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh

skornya berfrekuensi lebih dari satu.

Rumus :

Keterangan:

Mdn : Median

: lover limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung median)

: frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor yang mengandung median.

: frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median)

N : Number of cases

U : upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median).

: frekuensi kumulatif yang terletak diatas skor yang mengandung median

c.Penggunaan nilai Rata-rata pertengahan (Median)

1. kita tidak mamiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai

rata-rata Hitung (Mean)-nya.



2. kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang

tinggi,melainkan hanya sekedar ingin mengetahui skor atau nilai yang merupakan nilai

pertengahan dari data yang sedang kita teliti.

3. distribusi frekuensii data yang sedang kita hadapi itu bersifat asimetris (tidak

normal)

4. data yang sedang diteliti itu tidak akan dianalisis secara lebih dalam lagi dengan

menggunkan ukuran statistik lainnya.

d. Kebaikan dan kelemahan Median

-Kebaikan : sebagai ukuran rata-rata ialah mediannya dapat diperoleh dalam waktu

singkat,karena proses perhiyungannya sederhana dan mudah.

-Kelemahan : median sebagai ukuran rata-rata sifatnya kurang teliti.

3 . Quartile

Istilah quartil atau ”Kuartil” dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan

istilah kuartal.

Dalam dunia statistik yang dimaksud dengan kuartil ialah titikm atau skor atau nilai yang

membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sam besar yaitu masing-

masing ¼ N.jadi disini akan kita jumpai tiga buah kuartil yaitu quartile pertama (Q1),Quartile

kedua (Q2),Dan Quartile ketiga (Q3)

Untuk mencari Q1,Q2,Q3 digunakan rumus sebagai berikut :

- Untuk data tunggal

- Untuk data kelompokkan

Keterangan :

Q :Quartile yang ke-n,karena titik quartile ada 3 buah, maka n diisi dengan bilangan 1,2,3

lower limit(batas batas nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).

Fkb:frekuensi kumulatif yang terleta dibawah skor

i : interval class

catatan :



- istilah ”skor” berlaku untuk data tunggal

- istilah ”interval” berlaku untuk data kelompok

Diantara kegunaan quartile adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya

suatu kurva.Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut :

1) Jika Q3 – Q2 = Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva normal

2) Jika Q3 – Q2> Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva miring / berat kekiri

(juring positif)

3) Jika Q3 – Q2< Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva miring / berat

kekanan (juring negatif).

4. DECILE

Desile atau desil ialah : titik atu skor atau nilai yang membagi seluruh frekuensi dari

data yang kita selidiki kedalam 10 bagian yang sama besar ,yang masing-masing sebesar

1/10.jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desile,dimana kesembilan buah titik decile

itu membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam 10 bagian yang sama besar.

Lambang desil adalah D.jadi 9 buah titik desil yang dimaksud diatas adalah titik-titik

D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8,D9.

Rumus :


- Untuk data kelompok

Keterangan :

Dn = Decile yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan :1,2,3,4,5,6,7,8,atau 9)

N = number of cases

= lower limit

Fkb = frekuensi kumulatif terletak dibawah

Fi = frekuensi aslinya

5. Percentile



Percentile atau percentile yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang

membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar.karena percentile

sering disebut dengan “ukuran per-ratus-an.

Titik yang membagi distribusi data kedalam seratu bagian yang sama besar itu ialah

titik – titik P1,P2,P3,P4,P5,P6…………P99

Untuk mencari percentile digunakan rumujs sebagai berikut :


- Untuk data kelompok

Kegunaan percentile dalam dunia pendidikan :

Untuk mengubah raw score (raw data ) menjadi standard score (nilai standar).dalam

dunia pendidikan salah satu standard scire sering digunakan adalah elemen points

scale (skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of eleven yang

lazim dikenal dengan stanel.Pengubahan dari raw score menjadi stanel dilakukan

denagn jalan menghitung.P1-P3-P8-P21-P31-P6- P79 -P92-P97-P99

Percentile dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik itu

memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya.

Percentile juga dapat digunakan sebagai alat untuk menentapkan nilai batas lulus

pada tes atau selektif.

5.Saling Hubungan antara Quartile-Decile dan Percentile

Hubungannnya :

1. P90 = D9

2. P80 = D8

3. P75 = Q3

4. P70 = D7

5. P60 = D6

6. P50 = D5 = Q2 = Median

7. P40 = D4

8. P30 = D3



9. P25 = Q1

10. P20 = D2

11. P10 = D1

6. Nilai Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

a.Pengertian Nilai rata-rata Ukur

Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah : Hasil perkalian bilangan

tersebut,diakar pangkatkan banyaknya itu sendiri.

Dengan demikian,GM dari dua bilangan adalah sama dengan akar pangkat dua dari hasil

perkalian kedua bilangan itu sendiri.GM dari 3 bilangan adalah sama dengan akar pangkat

tiga dari hasil dari perkalian ketiga bilangan itu sendiri ; demikian seterusnya ,atau secara

umum dapat diformulasikan sebagai berikut : GM dari N buah bilangan adalah sama dengan

akar pangkat N dari hasil perkalian bilangan-bilangan itu.Apabila bilangan-bilangan itu

dilambangkan dengan X1,X2,X3 dan Xn maka GM dapat kita formulasikan dalam bentuk

Rumus:

Adapun rumus untuk menghitunmg Geometric Mean dengan menggunakan Logaritma

adalah sebagai berikut :

7.Nilai rata-rata Harmonic (Harmonic Mean)

A. Pengertian Nilai rata-rata harmonic

Nilai rata-rata harmonic dari sekumpulan adalah kebaliakan dari nilai rata-rata Hitung dari

kebalikan bilangan yang termasuk dalam kumpulan bilangan tersebut.



BAB IV

MASALAH PENYEBARAN DATA

A. PENGANTAR

Ukuran Variabilitas Data (Measures of variability) atau Ukuran Penyebaran Data

(Measures of Dispersion).

B. PENGERTIAN UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistic yang dapat

dipergunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, atau homogenitas,

atau stabilitas data.

C. MACAM-MACAM UKURAN PENYEBARAN DATA

Macam-macam ukuran Penyebaran Data, dari ukuran yang paling sederhana (kasar)

sampai dengan ukuran yang dipandang memiliki kadar ketelitian yang tinggi, yaitu (1)

Range, (2) Deviasi (yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar), (3)

Variance, dan (4) Ukuran Penyebaran Relatif.

Ditilik segi relevansinya, maka dalam pembicaraan lebih lanjut hanya akan

dikemukakan dua jenis saja, yaitu (1) dan (2) Deviasi , dan pembicaraan tentang Deviasi pun

hanya dibatasi pada Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar.

1. Range

Range, yang dalam dunia statistic dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling

sederhana, yang karena itu juga sering disebut sebagai ukuran penyebaran data yang palin

kasar.

a. PengertianRange

Range diberi lambing R adalah salah satu ukuran statisik yang menunjukkan jarak

penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest Score) sampai skor (nilai) yang

tertinggi (Highest Score). Dengan singkat dapat dirumuskan :

R = H – L

R = Range yang kita cari

H = Skor atau nilai yang tertinggi (Highest Score)

L = Skor atau nilai yang terendah (Lowest Score)



b. CaraMencariRange

Tabel berikut mengemukakan salah satu contoh cara mencari range

Tabel. Perhitungan Range Nilai Hasil Tes untuk 5 Macam bidang studi, yang dikuti oleh 3 orang calon

yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon mahasiswa baru pada sebuah perguruan Tinggi Agama

Islam

No. Nilai Yang Dicapai

H L

R=H-

L

Jumla

h

Mean

Uji

PMP

Dir. Bhs Bhs Bhs. Nilai

Islam Ind Arab Ingg

1 85 55 75 45 65 85 45 40 325 65

2 58 65 72 60 70 72 58 14 325 65

3 65 65 65 65 65 65 65 0 325 65

Tabel diatas menunjukkan bahwa makin kecil jarak penyebaran nilai dari nilai

terendah sampai nilai tertinggi akan makin homogen distribusi nilai tersebut. Sebaliknya,

makin besar rangenya maka akan makin berserakan ( makin heterogenitas) nilai-nilai yang

ada dalam distribusi tersebut.

Selain itu, berdasar pada range kita juga dapat mengatakan bahwa kian kecil range

dari suatu distribusi data, kian cenderung bagi diri kita untuk menganggap bahwa mean yang

kita peroleh merupakan wakil yang representatif data yang bersangkutan; sebaliknya kian

besar rangenya kita akan lebih cenderung menganggap bahwa mean yang kita peroleh

sifatnya meragukan.

c. Penggunaan Range

Range kita gunakan sebagai ukuran, apabila didalam waktu yang sangat singkat kita

ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan

mengabaikan factor ketelitian atau kecermatan.

d. Kebaikan dan Kelemahan

Kebaikan



Kebaikan Range sebagai salah satu ukuran penyebaran data ialah dengan

menggunakan Range dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas

penyebaran data yang sedang kita hadapi.

Kelemahan

(1) Range sifatnya sangat labil dan kurang teliti, (2) DenganmengetahuiRange nya

saja, kita belum tahu secara pasti bagaimana sebenarnya bentuk Distribusi Data yang kita

hadapi mulai dari nilai Terendah dan Nilai tertinggi. Karena kelemahan itulah maka sebagai

salah satu ukuran penyebaran data, range sangat jarang digunakan dalam pekerjaan analisis

statistic.

2. Deviasi

a. Pengertian Deviasi

Deviasi ialah selisih atau simpangan dari masing-masing skor dan interval, dari nilai

rata-rata hitungnya (deviation from the Mean).

Deviasi merupakan salah satu ukuran variabilitas data yang biasa dilambangkan

dengan huruf kecil dari huruf yang digunakan bagi lambing skornya. Jadi apabila skornya

diberi lambing X maka deviasinya berlambangkan x, jika skornya Y maka dilambangkan

deviasinya y, jika skornya Z maka lambing deviasinya z.

Karena deviasi merupakan simpangan atau selisih dari masing-masing skor terhadap

mean grupnya, maka sudah barang tentu akan terdapat dua jenis deviasi, (1) Deviasi yang

berada diatas mean dan (2) Deviasi yang berada di bawah mean.

Deviasi yang berada diatas Mean dapat diartikan sebagai “selisih lebih” karenanya

deviasi semacam ini akan bertanda plus (+), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi positif.

Adapun deviasi yang berada dibawah mean dapat diartikan sebagai “Selisih kurang” oleh

karena itu selalu bertanda minus (-), dilazim dikenal dengan istilah Deviasi Negatif.

Guna memperjelas uraian yang telah dikemukakan diatas, marilah kita perhatikan

contoh berikut ini:

Skor (X) Banyaknya (f) Deviasi

8 1 8 – 6 = +2

7 1 7 – 6 = +1

6 1 6 – 6 = 0

5 1 5 – 6 = -1

4 1 4 – 6 = -2



∑X = 30 N = 5 ∑x = 0

+2 dan +1 adalah Deviasi Positif

-2 dan -1 adalah Deviasi Negatif

b. Deviasi Rata-rata

1) Pengertian Deviasi Rata-rata

Deviasi rata-rata yakni Jumlah Harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor, dibagi

dengan banyaknya skor itu sendiri. Dalam bahasa Inggris Deviasi rata-rata dikenal

dengan nama Mean Deviation (diberi lambang MD) atau Average Deviation (diberi

lambang AD), dalam uraian selanjutnya akan digunakan lambing AD. Deviasi rata-rata

tadi diformulasikan dalam bentuk rumus sebagai berikut :

AD = Average Deviation = Deviasi rata-rata

∑x = Jumlah harga mutlak deviasi tiap-tiap skor atau interval

N = Number of Cases

2) Cara Mencari Deviasi Rata-rata

a) Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Tunggal yang

masing-masing skornya berfrekuensi Satu.

b) Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Tunggal yang

sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu.

Rumus yang digunakan adalah :




∑fx = Jumlah hasil perkalian antara deviasi tiap-tiap skor dengan frekuensi masing-

masing skor tersebut

N = Number of Cases

c) Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Kelompokan

Deviasi rata-ratanya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus :


∑fx = Jumlah hasil perkalian antara deviasi tiap-tiap interval (x) dengan frekuensi

masing-masing interval yang bersangkutan.

N = Number of Cases

d). Kelemahan Deviasi rata-rata

c. Deviasi Standar

Deviasi rata-rata sebagai salah satu ukuran variabilitas data ditilik dari segi

matematika memiliki kelemahan yang sangat mendasar karena mengganggap sama antara

deviasi yang bertanda “plus” dengan deviasi yang bertanda “minus”.

1) Pengertian Deviasi Standar

Deviasi standar (Standar Deviation), yang umumnya diberi lambing δ atau SD.

Deviasi Standar, karena Deviasi rata-rata yang tadinya memiliki kelemahan, telah dibakukan

atau distandarisasikan, sehingga memiliki kadar kepercayaan atau reliabilitas yang mantap,

oleh karena itu, dalam dunia analisis statistic Deviasi standar ini mempunyai kedudukan yang

amat penting.

Maka rumus umum Deviasi Standar atau SD ialah sebagai berikut :

SD = Deviasi Standar

= Jumlah semua deviasi, setelah mengalami proses pengkuadratan

terlebih dahulu.

N = Number of Cases

2) Cara Mencari Deviasi Standar



a) Cara mencari Deviasi standar untuk data tunggal yang semua

skornya berfrekuensi Satu.


= Jumlah semua deviasi, setelah mengalami proses pengkuadratan terlebih dahulu.

N = Number of Cases

b) Cara mencari Deviasi standar untuk data tunggal yang sebagian

atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu.


= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing skor, dengan deviasi skor

yang telah dikuadratkan.

N = Number of Cases

(a) Cara mencari Deviasi Standaruntuk Data Kelompokan

Deviasi standar dapat dicari dengan mengunakan dua buah rumus , yaitu rumus

panjang dan rumus singkat. Rumus panjang kita pakai bila kita memiliki alat Bantu

penghitungan seperti kalkulator dan sebagainya, karenaa memerlukan tingkat ketelitian dan

kecermatan yang setinggi mungkin.

1) Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data kelompokan, dengan mengunakan

rumus panjang


= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing skor, denagn deviasi

skor yang telah dikuadratkan.

N = Number of Cases



2) Cara mencari Deviasi standar untuk Data kelompokan, dengan menggunakan

Rumus pendek


i = Kelas interval

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing interval , dengan

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing interval , dengan

N = Number of Cases

d) Cara lain yang dapat dipergunakan untuk menghitung atau mencari Deviasi

Standar

1) Cara lain untuk mencari Deviasi Standar Data tunggal yang seluruh skornya

berfrekuensi satu.

Ada tiga buah rumus dapat digunakan, yaitu :

Rumus Pertama =

Rumus Kedua =

Rumus Ketiga =


= Jumlah skor X setelah terlebih dahulu dikuadratkan.

= Jumlah seluruh skor X, yang kemudian dikuadratkan.

= Nilai rata-rata Hitung (=mean) skor X.

N = Number of Cases



2) Cara lain untuk mencari Deviasi Standar Data tunggal yang sebagian atau seluruh

skornya berfrekuensi lebih dari satu.

SD = Deviasi Standar yang kita cari

1 = Bilangan Konstan (yang tidak boleh diubah-ubah

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi tiap-tiap skor (f) denagn skor yang telah

dikuadratkan lebih dahulu

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi tiap-tiap skor (f) dengan masing-

masing skor yang bersangkutan (X)

N = Number of Cases

3) Cara lain untuk mencari Deviasi Standar Data Kelompokan

Deviasi Standar untuk data Kelompokan juga dapat ddicari atau diperhitungkan

berdasarkan angka kasar atau skor aslinya. Adapun rumus yang digunakan adalah :


= Jumlah hasil perkalian antara midpoint-2 yang telah dikuadratkan dengan

frekuensinya masing-masing.

= Jumlah hasil perkalian antara midpoint dengan frekuensinya masing-masing.

N = Number of Cases

d. Kegunaan Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar

Baik Deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran

untuk mengetahui variabilitas data dan sekaligus untuk mengetahui homogenitas data.

Dengan mengetahui besar kecilnya Deviasi rata-rata dan Deviasi Standar, kita dapat

mengetahui pula bagaimana Variabilitas dan homogenitas data yang sedang kita selidiki. Jika

deviasi rata-rata atau deviasi standar makin besar, hali ini berarti makin besarlah variabilitas



datannya atau semakin kurang homogen. Sebaliknya, apabila Deviasi rata-rata atau Deviasi

Standar kecil, data yang sedang kita teliti itu makin dekat kepada sifat Homogenitas.

e. Saling Hubungan antara Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar

Antara Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar terdapat saling hubungan sebagai

berikut

AD = 0,798 SD sedangkan SD = 1,253 AD

Artinya :

Bahwa besarnya Deviasi rata-rata (AD) adalah sekitar

0,798 atau 0,8 kali dari Deviasi Standar

Bahwa besarnya Deviasi Standar (SD) adalah sekitar

1,253 atau 1,3 kali dari Deviasi Rata-rata

f. Catatan Tambahan Tentang Penggunaan Lebih Lanjut dari Mean dan Deviasi

Standar Dalam Dunia Pendidikan

Sebagai catatan tambahan perlu kiranya dikemukakan disini bahwa mean dan deviasi standar

sebagai dua buah ukuran statistic yang dipandang memiliki reliabilitas yang tinggi, dapat dan

sering digunakan dalam dunia pendidikan, khususnya dalam rangka Evaluasi hasil belajar

anak didik. Dapat disebutkan disini misalnya:

1. Untuk menetapkan nilai batas lulus Aktual (minimum Passing Level atau Passing

Grade), di mana patokan yang digunakan untuk keperluan tersebut adalah :

Mean + 0,25 SD

2. Untuk mengubah Raw Score (Skor mentah) ke dalam nilai standar sekala 5 atau huruf

A-B-C-D dan E.

3. Untuk mengubah (mengkonversikan ) Raw Score menjadi niali Standar Sebelas

(Eleven point Scale = Standar Eleven = Stanel), yaitu nilai-nilai standar mulai dari 0

sampai dengan 10 (=11 Nilai Standar).

4. Untuk mengelompokkan anak didik ke dalam tiga ranking, yaitu : Ranking Atas

(Kelompok anak didik yang tergolong pandai), Ranking Tengah ( Kelompok anak

didik yang tergolong cukup/sedang) dan Ranking Bawah (Kelompok anak didik yang

tergolong lemah/bodoh)

5. Untuk mengubah (mengkonversikan) Raw Score menjadi Nilai Standar z (z Score),

dimana z Score dapat diperoleh dengan rumus :



6. Untuk mengubah (mengkonversikan) Raw Score menjadi nilai satndar T (T Score)

dimana T Score itu dapat diperoleh dengan rumus :

atau T Score = 50+10 X z Score.



BAB V

UJI VALIDITAS DAN RELIABILITAS

VALIDITAS

A. Pengertian Validitas dan Instrumen

Secara umum valid itu sama dengan ketepatan sedangkan instrumen itu mengukur apa

yang seharusnya diukur.

Syarat-syarat instrument yaitu :

1) Valid

2) Reliabel

3) Objektif

4) Sederhana

5) Daya Pembeda

6) Tingkat kesukaran

B. Macam-macam Validitas

1. Pengujian Tes Validitas Logis

Adalah validitas yang diperoleh atas dasar hasil pemikiran, validitas yang diperoleh

dengan cara berfikir secara logis.

Validitas Isi (Content Validity) adalah validitas yang dilihat dari segi

isi tes itu sendiri sebagai alat pengukur hasil belajar. Pada validitas isi ini, sebelum

kita menyusun tes terlebih dahulu membuat kisi-kisi soal.

Validitas Konstruksi (Construct Validity) adalah mengukur apa yang

seharusnya dikonstruksi dalam pembelajaran sesuai dengan TIK dalam RP.

2. Pengujian Tes Validitas Empiris

Adalah ketepatan mengukur yang didasarkan pada hasil analisis yang bersifat empiris.

Validitas ada sekarang (Concurrent Validity). Apabila hasil tes yang

dilakukan sesuai dengan pengalaman maka tes itu dikatakan Valid.

Validitas Prediksi (Predective Validity). Suatu tes dikatakan valid

apabila hasilnya sesuai denagn keadaan yang sebenarnya. Misalnya : tes masuk

Perguruan Tinggi, dan Tes Calon Pegawai.



C. Cara Menguji Validitas

Untuk validitas isi dan validitas konstruksi cukup dikonsultasikan saja dengan

minimal ddua orang pakar di bidangnya. Sedangkan untuk validitas ada sekarang dan

validitas prediksi harus dilakukan uji coba. Hasilnya dikorelasikan dengan hasil tes

lain yang sudah standar/hasil tes criterion.

REALIBILITAS

A. Pengertian Realibilitas

Secara umum realibilitas itu sama dengan Ketetapan. Suatu instrument yang

mempunyai hasil pengukuran tetap dan bias dipercaya.

B. Cara Mengukur Realibilitas

Konsistensi Eksternal

1. Metode Test-Retest maksudnya seperangkat test yang diuji dua kali hasilnya akan

dikorelasikan denagn korelasi produk moment. Pada koefisien korelasinya

menunjukkan kekuatan realibitas.

2. Metode Paralel maksudnya dua test paralel yang diujikan kepad sekelompok siswa

dalam waktu yang bersamaan hasilnya juga akan dikorelasikan dengan korelasi

produk moment. Item-item kedua test harus berbeda, namun eqivalen dalam

mengukur hal yang sama.

Konsistensi Internal

1. Teknik belah dua (Split-half). Seperangkat tes yang diujikan kepada sekelompok

siswa. Hasilnya dikorelasikan antar skor jawaban dari separuh tes tersebut yang

aada dua kemungkinan yaitu skor item ganjil-genap dan skor separuh item awal-

separuh item akhir.

2. Analisis diskriminasi item

Untuk mencari reabilitas tes penuh digunakan rumus Spearman

BAB VI

MASALAH PERBEDAAN ANTAR VARIABEL



(TEKNIK ANALISA KOMPARASIONAL)

A. Pengertian Komparasi

Istilah “komparasi” atau “komparasional” yang digunakan diambil dari kata

”comparison” yang berarti ”perbandingan” atau ”pembandingan”.

B. Pengertian Penelitian Komparasi

Penelitian Komparasi menurut Dr.Ny. Suharsimi Arikunto adalah penelitian yang

berusaha untuk menemukan persamaan dan perbedaan tentang benda, tentang orang,

kelompok, terhadap suatu ide atau suatu prosedur kerja. Dapat juga dilaksanakan dengan

maksud untuk membandingkan kesamaan pandangan dan peubahan pandangan orang, grup

atau negara terhadap kasus, terhadap peristiwa atau terhadap ide.

C. Teknik Analisa Komparasi dan Penggolongannya

Teknik Analisa Komparasi , yaitu salah satu teknik analisa kuantitatif atau salah stu

teknik analisa statistik yang dapat dipergunakan untuk menguji hipotesa mengenai ada-

tidaknya perbedaan antar variabel yang sedang diteliti. Jika perbedaan itu memang ada,

apakah perbedaan itu merupakan perbedaan yang berarti atau meyakinkan (signifikan),

ataukah bahwa perbedaan itu hanyalah secara kebetulan saja (by chance).

D. Teknik Analisa Komparasi dan Penggolongannya

Teknik Analisa Komparasional dengan variabel diperbandingkan hanya dua buah

saja, disebut Teknik Analisa Komparasional Bivariat (Misalnya : Apakah terdapat perbedaan

sikap keagamaan yang signifikan antara remaja yang berdomisili di lingkungan masyarakat

agraris dan remaja yang berdomisili di lingkungan masyarakat industri.

Adapun apabila variabel yang diperbvandingkan itu lebih dari dua buah, maka teknik

analisanya disebut : Teknik Analisa Komparasional Multivariat (Misalnya : Apakah secara

signifikan terdapat perbedaan sikap sosial dan sikap keagamaan remaja yang orang tuanya

berbeda status sosial dan tingkatan pendidikannya?)

BAB VII

UJI “ t”



PENGERTIAN Uji T ( t Test)

Uji t atau t test adalah salah satu tes statistic yang dipergunakan untuk menguji

kebenaran hipotesis nihil yang menyatakan bahwa diantara dua buah mean sample yang

diambil secara random dari populasi yang sama, tidak terdapat perbedaan yang signifikan.

Para ahli statistic melalui berbagai macam penelitian dan eksperimentasi pada

akhirnya meyimpulkan bahwa besar kecilnya kesalahan sampling itu dapat diketahui dengan

melihat besar kecilnya angka standar yang disebut standard error of the mean (SEM), yang

dapat diperoleh dengan rumus:

SEM = besarnya kesesatan mean sample

SD = deviasi standar dari sample yang diteliti

N = number of cases (banyaknya subjek yang diteliti)

1 = bilangan konstan

standard error perbedaan mean dua sample dapat diperoleh dari rumus sebagai berikut:

Besarnya “t” sama dengan selisih kedua mean sampel, dibagi dengan standard error

perbedaan dua mean sampel; atau apabila kita formulasikan ke dalam bentuk rumus, adalah

sebagai berikut:

t =

PENGGOLONGAN TES ‘T’

Berdasarkan keadaan samplenya itu, pada umumnya para ahli statistic

mengggolongkan tes ‘t’ menjadi dua macam, yaitu :

1. Tes “t” untuk sample kecil (N kurang dari 30)

2. Tes “t’’ untuk sample besar (N sama dengan atau lebih besar dari 30).

Tes “t” untuk sample kecil, dibedakan menjadi dua golongan, yaitu :

PENGGUNAAN TES “T”

I. TES “T” UNTUK DUA SAMPLE KECIL YANG SALING

BERHUBUNGAN



1. Rumusnya

Rumus untuk mencari “t” atau to dalam keadaan dua sample yang kecil (N kurang dari

30), sedangkan kedua sample satu sama lain mempunyai hubungan, adalah sebagai berikut :

to =

MD = Mean of difference nilai rata-rata hitung dari beda / selisih antara skor variable I dan

skor variable II, yang diperoleh dengan rumus :

MD =

D = jumlah beda / selisih antara skor variabeel I (variable X) dan skor variable II (variable

Y), dan D dapat diperoleh dengan rumus :

D = X – Y

N = Number of cases = jumlah subjek yang kita teliti.

SEM = standard error (standar kesesatan) dari mean of difference yang dapat diperoleh

dengan rumus :

SE =

SDD = devuasi standar dari perbedaan antara skor variable I dan skor variable II, yang dapat

diperoleh dengan rumus :

SD

N = number of cases

a. Tes “t” untuk sample kecil yang kedua sampelnya satu sama lain mempunyai

hubungan.

b. Tes “t” untuk sample kecil yang kedua sampelnya satu sama lain tidak ada

hibungannya.

Tes “t” untuk sample besar, juga dibedakan menjadi dua golongan, yakni :

b. Tes “t” untuk sample besar yang kedua sampelnya satu sama lain saling berhubungan.

c. Tes “t” untuk sample besar yang kedua sampelnya satu sama lain tidak saling

berhubungan.

1. Langkah Perhitungannya



a. Mencari D (difference = perbedaan) antara skor variable I dan skor variable II. Jika

variable I kita beri lambang X sedang variable II kita beri lambang Y, maka : D = X –

Y.

b. Menjumlahkan D, sehingga diperoleh D (tanda plus dan minus ikut diperhitungkan).

c. Mencari mean dari difference, dengan rumus : MD =

d. Menguadratkan D : setelah itu lalu dijumlahkan sehingga diperoleh D2.

e. Mencari deviasi standar dari difference (SDD), dengan rumus :

SDD =

f. Mencari standar error dari mean of difference, yaitu : SE dengan

menggunakan rumus:

SE

g. Mencari to dengan menggunakan rumus :

to =

h. Memberikan interpretasi terhadap “to” dengan prosedur sebagai berikut :

1) Merumuskan terlebih dahulu hipotesis alternative (Ha) dan hipotesis nihilnya

(H0).

2) Menguji signifikansi to, dengan cara membandingkan besarnya to (“t” hasil

observasi atau “t” hasil perhitungan) dengan tt (harga kritik “t” yang tercantum dalam

table nilai “t”), dengan terlebih dahulu menetapkan degrees of freedom-nya (df) atau

derajat kebebasannya (db), yang dapat diperoleh dengan rumus : df atau db = N – 1.

3) Mencari harga kritik “t” yang tercantum pada table nilai “t” dengan berpegang

pada df atau db yang telah diperoleh, baik pada taraf signifikansi 5% ataupun taraf

signifikansi 1%.

4) Melakukan pembandingan antara to dengan tt, dengan patokan sebagai berikut:

(a) Jika to lebih besar atau sama dengan tt maka hipotesis nihil ditolak;

sebaliknya hipotesis alternative diterima atau disetujui. Berarti kedua variable

yang sedang kita selidiki perbedaannya, secara signifikan memang terdapat

perbedaan.

(b) Jika to lebih kecil daripada tt maka hipotesis nihil diterima atau

disetujui; sebaaliknya hipotesis alternative ditolak. Berarti bahwa perbedaan



antara variable I dan variable II itu bukanlah perbedaan yang berarti, atau bukan

perbedaan yang signifikan.

i. Menarik kesimpulan hasil penelitian.

II. TES “T” UNTUK DUA SAMPLE KECIL YANG SATU SAMA LAIN

TIDAK ADA HUBUNGANNYA

1. Rumusnya

Rumus Pertama :

t

Rumus Kedua:


a. Untuk Rumus Pertama :

1) Mencari mean variable I (variable X), dengan rumus:

Mx atau M1 =

2) Mencari mean variable II (variable Y), dengan rumus :

My atau M2 =

3) Mencari deviasi standar skor variable X dengan rumus:

SDx atau SD1 =

4) Mencari standard error mean variable Y dengan rumus:

SDy atau SD2 =

5) Mencari standar error mean variable X, dengan rumus:

6) Mencari standard error mean variable Y, dengan rumus:



7) Mencari standard error perbedaan antara mean variable X dan mean variable

Y, dengan rumus:

8) Mencari to dengan rumus yang telah disebutkan di atas.

9) Memberikan interpretasi terhadap to dengan prosedur sebagai berikut :

a) Merumuskan hipotesis alternatifnya (Ha): “ada (terdapat)

perbedaan mean yang signifkan antara variable X dan variable Y.”

b) Merumuskan hipotesis nihilnya (Ho): “tidak ada (tidak terdapat

perbedaan mean yang signifikan antara variable X dan variable Y”).

10) Menguji kebenaran / kepalsuan ke dalam hipotesis tersebut di atas dengan

membandingkan besarnya t hasil,perhitungan (to) dan t yang tercantum pada table nilai

“t”, dengan terlebih dahulu menetapkan degrees of freedomnya atau derajat

kebebasannya, dengan rumus: df atau db = (N1 + N2) – 2. dengan diperolehnya df atau

db, maka dapat dicari harga tt pada taraf signifikansi 5% atau 1%. Jika to sama besar

atau lebih besar daripada tt maka Ho ditolak; berarti ada perbedaan mean yang

signifikan di antara kedua variable yang kita selidiki. Jika to lebih kecil daripada tt maka

Ho diterima; berarti tidak terdapat perbedaan mean yang signifikan antara variable I dan

variable II.

b. Untuk Rumus Kedua

1) Mencari mean variable X1 dengan rumus:

2) Mencari mean variable X2 dengan rumus:

3) Mencari deviasi skor variable X1, dengan rumus: (jumlah X1 dan X1 harus sama

dengan nol)

4) Mencari skor variable X2, dengan rumus:



5) Menguadratkan x1,lalu dijumlahkan; diperoleh

6) Menguadratkan x2, lalu dijumlahkan; diperoleh

7) Mencari to dengan rumus seperti telah disebutkan di atas.

8) Memberikan interpretasi terhadap to dengan mempergunakan table nilai “t”, dengan

cara yang sama seperti telah disebutkan di muka.

9) Menarik kesimpulan.

III. TES “T” UNTUK DUA SAMPLE BESAR YANG SATU SAMA

LAIN SALING BERHUBUNGAN

1. Rumusnya


a. Untuk Data Tunggal (Range-Nya Kurang Dari 30)

1) Mencari mean variable I (variable X):

2) Mencari mean variable II (variable Y):

3) Mencari deviasi standar variable I:

4) Mencari deviasi standar variable II:

5) Mencari standard error mean variable I:

6) Mencari standard error mean variable II:

7) Mencari koefisien korelasi “r” product moment (rxy atau r12), yang

menunjukkan kuat lemahnya hubungan (korelasi) antara variable I (variable X) daaan

variable II (variable Y) dengan bantuan peta korelasi (Scatter Diagram):



8) Mencari standard error perbedaan mean antara sample I dan sample II:

9) Mencari to dengan rumus:

b. Untuk Data Kelompokan (Range Sama Atau Lebih Dari 30)

1) Mencari mean untuk variable I:

2) Mencari mean untuk variable II:

3) Mencari deviasi standar variable I:

4) Mencari deviasi standar variable II:

5) Mencari standard error mean variable I:

6) Mencari standard error mean variable II:

7) Mencari koefisien korelasi “r” product moment (rxy atau r12), yang menunjukkan kuat

lemahnya hubungan (korelasi) antara variable I dan variable II (dengan bantuan peta

korelasi), dengan rumus:

8) Mencari standar error perbedaan antara mean variable I dan mean variable II, dengan

rumus:

9) Mencari to dengan rumus:

selanjutnya baik untuk data tunggal maupun data kelompokan setelah diperoleh harga

to, lalu diberikan interpretasi terhadap to dengan prosedur kerja sebagai berikut:

10) Mencari df atau db dengan rumus df atau db = N – 1.

11) Berdasarkan besarnya df atau db tersebut kita cari harga kritik “t” yang tercantum

dalam table nilai “t”, pada taraf signifikansi 5% dan taraf signifikansi 1%, dengan

catatan:



a) Apabila to sama dengan atau lebih besar daripada tt maka

hipotesis nihil ditolak; berarti di antara kedua variable yang kita selidiki, terdapat

perbedaan mean yang signifikan.

b) Apabila to lebih kecil daripada tt maka hipotesis nihil diterima

atau disetujui; berarti di antara kedua variable yang kita selidiki tidak terdapat

perbedaan mean yang signifikan.

12) menarik kesimpulan.

IV. TES “T” UNTUK DUA SAMPLE BESAR YANG SATU SAMA

LAIN TIDAK MEMPUNYAI HUBUNGAN

1. Rumusnya


a. Mencari mean variable X (variable I), dengan rumus:

b. Mencari mean variable Y (variable II), dengan rumus:

c. Mencari deviasi standar variable I dengan rumus:

d. Mencari deviasi standar variable II dengan rumus:

e. Mencari standard error mean variable I dengan rumus:

f. Mencari standard error mean variable II dengan rumus:

g. Mencari standard error perbedaan mean variable I dan mean variable II dengan

Rumus:

h. Mencari to dengan rumus:



BAB VIII

UJI CHI KUADRAT

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara : frekuensi

observasi/yg benar-benar terjadi/aktual denganfrekuensi harapan/ekspektasi



1.1. Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

frekuensi observasi (o) ® nilainya didapat dari hasil percobaan

frekuensi harapan (e) ® nilainya dapat dihitung secara teoritis

Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (²)

Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif.Bentuk distribusi ² tergantung

dari derajat bebas(v)/degree of freedom.

Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (²)

Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif. Bentuk distribusi ² tergantung

dari derajat bebas(v)/degree of freedom.

Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian

beberapa proporsi. (Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)

3.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A. Uji Kebebasan :

: variabel-variabel saling bebas

: variabel-variabel tidak saling bebas

B Uji Beberapa Proporsi :

: setiap proporsi bernilai sama

: ada proporsi yang bernilai tidak sama

3.2 Rumus Uji

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel

Kontingensi.

Bentuk umum Tabel Kontingensi ® berukuran r baris x k kolom



derajat bebas = (r-1)(k-1)

r : banyak baris

k : banyak kolom

: frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

: frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Masih ada persoalan lain beberapa persoalan lain yang dapat diselesaikan dengan mengambil

manfaat distribusi chi kuadrat diantaranya:

MENGUJI PROPORSI DATA MULTINOM

Misalkan sebuah ekperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa atau kategori-kategori

A1, A2,...........,Ak yang saling terpisah masing-masing dengan peluang p1 = P(A1),........,Pk =

P(Ak).

Akan diuji persamaan hipotesis

Ho : Pi = Pio, i = 1, 2, ......, k, dengan Pio sebuah harga yang diketahui

H1 : Pi ≠ Pio

Disini , tentu saja ∑ Pi = Pio = 1

Pengujian yang ditempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak berukuran n yang

didalamnya ada O1 dari kategori kesatu (A1), O2 dari kategori kedua (A2), ....., Ok dari

kategori ke k (Ak).

Dengan harga Pio yang diberikan, kita dapat menghitung masing-masing frekuensi

yang diharapkan E1 = np10, E2 = np20, ...., Ek = npko.

Jelas bahwa O1 + O2 + ....+ Ok = E1 + E2 + ....+Ek = n. Harga-harga O1, O2, ....., Ok

merupakan nilai-nilai yang nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E1, E2, .....,Ek

merupakan nilai-nilai yang diharapkan terjadi atau nilai-nilai teoritik.

Agar mudah diingat, adanya kategori Ai, hasil pengamatan Oi dan hasil yang diharapkan Ei dan hasil

yang diharapkan Ei, sebaiknya disusun dalam daftar sebagai berikut.

Kategori A1 A2 ....................... Ak

Pengamatan O1 O2 ....................... Ok

Diharapkan E1 E2 ........................ Ek

Untuk menguji pasangan diatas digunakan statistik :



ternyata bahwa statistik diatas berdistribusi chi-kuadrat dengan dk = (k-1). Kriteria pengujian

adalah: tolak Ho jika dengan α = taraf nyata untuk pengujian. Dalam hal

lainnya Ho diterima.

MENGUJI KESAMAAN RATA-RATA POISSON

Misalkan ada k (k ≥ 2) buah distribusi poisson dengan parameter λ1,λ2, , ......,λk.

Akan diuji pasangan hipotesis.

Ho : λ1 =λ2 = ......=λk

H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Dari setiap popoulasi diambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi kesatu,

n2 dari populsi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke-k. Untuk setiap sampel

dihitung banyak peristiwa yang mengikuti distribusi poisson. Jika banyak peristiwa ini

dinyatakan dengan X1, X2,.......,Xk maka rata-ratanya

statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis Ho adalah

dari tolak Ho jika dalam hal lainnya Ho diterima.

UJI INDEPENDEN ANTARA DUA FAKTOR

Banyak data hasil pengamatan yang dapat digolongkan kedalam beberapa faktor,

karakteristik atau atribut dengan tiap faktor terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori dan

golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena

demikian akan diselidiki mengenai asosiasi.

Asosiasi Antara dua Faktor dalam Daftar Kontingensi BxK

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n telah diambil, dimana tiap pengamatan tunggal

diduga terjadi karena adanya dua macam faktor, ialah faktor I dan faktor II. Faktor I terbagi

atas B taraf dan faktor II terbagi atas K taraf. Banyak pengamatan yang terjadi taraf ke-i



faktor ke-I (i = 1, 2,......., B) dan taraf ke-j faktor ke-II (j = 1, 2,..., k) akan dinyatakan dengan

Oj. Hasilnya dapat dicatat dalam sebuah daftar kontingensi B X K

DAFTAR KONTINGENSI B/K

UNTUK HASIL PENGAMATAN TERDIRI ATAS DUA FAKTOR

FAKTOR

I (B

TARAF)

FAKTOR II (K TARAF)

JUMLAH1 2 ............... K

O11 O12 .................. O1K N10

O21 O22 O2K N20

OB1 OB2 ................. OBK N80

JUMLAH N01 N02 ................ nOK n

Pasangan hipotesis yang akan diuji berdsarkan data seperti dalam daftar diatas adalah

Ho : kedua faktor bebas statistik

H1 : kedua faktor tidak bebas statistik

Pengujian secara eksak sukar digunakan, karenanya disini hanya kan dijelaskan

pengujian yang bersifat pendekatan. Untuk ini diperlukan frekuansi teoritik atau banyak

gejala yang diharapkan terjadi yang disini akan dinyatakan dengan Eii. Rumusnya adalah:

Eij = (nio x noj)/n

Dengan nio = jumlah baris ke-i

noj = jumlah kolom ke-j

demikianlah misalnya didapat :

E11 = (n10 x n01)/n : E12 = (n10 x n02)/n

E21 = (n20 x n01)/n : E22 = (n20 x n02)/n

Dan seterusnya.

Jelas bahwa n = n10 + n20 + .....+nBO = n01 + n02 + ....+ nOK

Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis diatas adalah

dan tolak Ho jika

dalam taraf nyata = α dan derajat kebebasan dk untuk distribusi chi kuadrat = ( B-

K)( K – 1 ).



Dalam hal lainnya kita terima hipotesis Ho.

Metode Khusus untuk Daftar Kontingensi 2 x 2

Jika daftar kontingensi berukuran 2 x 2 maka untuk pengujian hipotesis digunakan

distribusi chikuadrat dengan derajat kebebasan satu. Ternyata bahwa untuk hal ini koreksi

kontiunitas perlu digunakan dan telah ditemukan dengan nama koreksi Yates, yaitu setiap

harga mutlak I Oij – Eij I dikurangi dengan setengah.

Hasil pengamatan yang dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi 2 x 2 adalah seperti

dibawah ini.

Faktor kedua

Faktor

kesatu

Jelas bahwa n = a + b + c + d

Rumus X2 untuk hal ini bersama-sama dengan memperhitungkan koreksi Yates tersebut

diatas adalah:

hipotesis yang akan diuji adalah:

Ho : kedua faktor independen

Hi : kedua faktor tidak independent

Dan tolak Ho jika X dengan α taraf nyata dan dk = 1.

UJI KECOCOKAN

Untuk melakukan uji kecocokkan ini akan dibandingkan antara frekuensi hasil yang

sebenarnya diamati dengan frekuensi yang diharapkan berdasarkan berdasarkan model yang

diandaikan.Misalnya rata-rata µ ditakisr oleh x dan varian oleh s2. Distribusi chikuadrat yang

digunakan mempunyai dk = (k-g-1) dimana k = banyak kategori atau kelas interval dan g =

banyak parameter yang ditaksir. Demikianlah misalnya untuk menguji kococokan populasi

normal, karena ada dua parameteryang ditaksir, ialah µ dan varian. Maka dk untuk distribusi



Taraf 1

Taraf 1 Taraf 2 jumlah

A B a + b

Taraf 2 C D c + d

jumlah a + c b + d n

chikuadrat sama dengan ( k – 3 ) untuk menguji kecocokkan distribusi Poisson, distribusi

chikuadrat yang digunakan akan mempunyai dk=( k – 2 ).

PENGGOLONGAN TES CHI KUADRAT

Cara untuki mencari atau rumus untuk menghitung chi kuadrat, ada 6 macam

penggolongan, yaitu disesuaikan dengan keadaan data atau maksud penggunaannya.

1. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel tunggal.

Rumusnya:

Rumus yang kita pergunakan disini adalah:

= frekuensi yang diobservasi = frekuensi yang diperoleh dalam penelitian =

frekuensi sebagaimana yang nampak dihadapan kita.

= frekuensi teoritik = frekuensi yang diharapkan jika seandainya tidak terdapat

perbedaan frekuensi = perbedaan tidak ada atau saam dengan nol.

2. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel ganda, di

mana sel-selnya berfrekuensi 10 atau lebih dari 10.

Rumusnya:

Apabila variabel yang akan kita cari perbedaan frekuensinya adalah variabel ganda

dan sel-selnya berfrekuensi 10 atau lebih dari 10 maka sebagaimana dikemukakan

oleh Henry E. Garret,rumus yang dipergunakan adalah:

N = Number of case

A, B, C, D, masing-masing adalah lambang bagi sel yang terdapat pada tabel

kontingensi, yaitu sel petama, kedua, ketiga, dan keempat( dengan kata lain tabel

kerja kita adalah berbentuk tabel 2 x 2)

3. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel ganda,

dimana terdapat sel yang berfrekuensi kurang dari 10 ( dengan koreksi Yates )

Rumusnya:

Jika diantara sel-sel dalam tabel kontingensi kita terdapat sel yang berfrekuensi

kurang dari 10, maka dalam perhitungan untuk memperoleh harga kai kuadrat, perlu

dilakukan koreksi yaitu dengan menggunakan Rumus koreksi Yates sebagai berikut:



4. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan persentase.

Rumusnya;

Rumus chi kuadrat yang kita perguankan disini sama dengan rumus-rumus chi

kuadrat yang telah dikemukakan terdahulu. Hanya saja disini harus diingat harga chi

kuadrat yang kita peroleh adalah harga hi kuadrat yang merupakan angka persentase.

Karena itiu sebelum diberikan interpretasi terhadap chi kuadrat harus kita ubah

terlebih dahulu kedalam bentuk ngka frekuensi dengan rumus:

5. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes signifikansi korelasi.

Rumus yang kita pergunakan adalah

6. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes signifikansi Normalitas Distribusi

Frekuensi.

Chi kuadrat juga dapat digunakan untuk mengetes signifikansi normalitas distribusi

yaitu untuk menguji hipotesa nihil yang menyatakan bahwa frekuensi yang

diobservasi dari ditribusi nilai-nilai yang sedang diselidiki normalitas ditribusinya,

tidak menyimpang secara signifikan dari frekuensi teiritiknya dalam distribusi normal

teoritik.

Dalam pembicaraan yang lalu telah dikemukakan teknik analisis komparasional yang

mendasarkan diri pada perbedaan Mean antardua variabel,yang dikenal dengan Tes

“t”.Seperti telah disinggung pada bagian awal buku ini selain “t” Tes,dikenal pula teknik

analisis,komparasional lainnya,yaitu Tes”Kai Kuadrat” atau Chi SquareTest,yaitu teknik

analisis komparasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi dari data yang

sedang kita selidiki.Namun,sebelum sampai pada pembicaraan pokok mengenai Tes Kai

Kuadrat itu,terlebih dahulu akan dikemukakan sebagai contoh,masalah yang mungkin kita

temui dalam kehidupan sehari-hari selaku peneliti yang memungkinkan Tes Kai Kuadrat kita

butuhkan

Pada taraf signifikasi 5 % : tt = 1,96;

Pada taraf signifikasi 1 % : tt = 2,59.



Dengan demikian to (yaitu harga “t” yang kita peroleh dari hasil perhitungan di muka)

adalah jauh lebih besar ketimbang to yaitu:1,96 < 3,99 < 2,59.Karena itu Hipotesis Nihil yang

menyatakan tidak adanya perbedaan Mean Hasil Belajar..Berarti perbedaan dua Mean

Sampel itu adalah perbedaan yang signifikan.

BAB IX

ANAVA (Analisis Varian)

a. Uji Perbedaan Rata-Rata Beberapa Sampel dengan Menggunakan ANAVA Satu

Arah

Analisis varian (ANAVA) satu arah digunakan pada situasi dimana beberapa

sample/sub sample dipilih secara acak dari kelompok utamanya dan seluruhnya merupakan

subjek untuk mendapatkan perlakuan yang tidak sama.



Perhitungan dalam ANAVA berdasarkan pada variansi (SD kuadrat) yaitu

variabilitas ANTAR kelompok (between-groups) atau SSb, yang merupakan varian rata-rata

kelompok sample terhadap keseluruhan, dan variabilitas DALAM kelompok (within-groups)

atau SSw yang merupakan varian dalam masing-masing kelompok.

Jumlah kuadrat penyimpangan total, atau SSt yakni jumlah kuadrat selisih antara

skor individual dengan rata-rata totalnya dirumuskan:

SSt = SSb + SSw

Dimana:

Ho : µi = µj untuk semua i dan j

Hi : µi γ µj untuk sebagian i dan j dimana i tidak sama dengan j

Jika pada uji t kemungkinan error jenis I = α maka pada ANAVA kemungkinan error

jenis I = 1 – (1- α)N (experimental wise alpha level)

xi = (Xi - M)

Error baku rata-rata

Jika dikuadratkan:

Dimana:

Mi = rata-rata subjek kelompok I

M = rata-rata keseluruhan

k = jumlah subkelompok

k – 1 = df

dalam penentuan varian distribusi rata-rata sebenarnya, yaitu:

Atau



k-1 = df dalam penentuan varian populasi σ2 kiraan antara kelompoknya

Rumus ini untuk menentukan varian sebenarnya yang diperkirakan dari variabilitas rata-rata

sub-kelompoknya.

Varian kiraan adalah perbandingan jumlah kuadrat skor deviasi dengan nilai

derajat bebasnya, maka N.∑(Mi - M)2 sama dengan jumlah kuadrat untuk varian kiraan antara

kelompok yang merupakan varian populasi sebenarnya, sesuai dengan variabel

eksperimennya. Dalam ANAVA, varian yang merupakan hasil bagi SS dengan df dikenal

sebagai deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) disingkat dengan MS.

Dalam ANAVA, beberapa rata-rata dibandingkan dengan serentak, sehingga

distribusi F dipakai sekaligus diuji signifikansinya, dimana:

F signifikan, maka Ho ditolak, atau F tidak signifikan, maka Ho dipertahankan.

Contoh 1:

SubjekKelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3

X X2 X X2 X X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45

50

70

40

40

10

30

80

35

20

2025

2500

4900

1600

1600

100

900

6400

1225

400

10

55

35

50

65

30

45

40

20

25

100

3025

1225

2500

4225

900

2025

1600

400

625

50

90

40

70

80

35

25

55

75

45

2500

8100

1600

4900

6400

1225

625

3025

5625

2025

∑ 420 21650 375 16625 565 36025



∑∑X = 1360; ∑∑X2= 74300; N = n1 + n2 + n3 = 30; n1 = n2 = n3 = 10

Varian kiraan dalam-kelompok:

Jumlah kuadrat dalam-kelompok ini:

SSW = ∑x12 + ∑x2

2 + ∑x32 = 4010.0 + 2562.5 + 4102.5 = 10675.0

Jumlah derajat bebasnya = (n1 - 1) + (n2 - 1) + (n3 - 1) = 9 + 9 + 9 = 27

Varian kiraan dalam-kelompoknya:

Varian kiraanantara-kelompoknya dihitung sebagai berikut:

∑ = 136.0 = 6362.50

SSb = n ∑ (Mi - M)2 = 10(197.2) = 1972.0 dan df = K – 1 = 2

Jadi, varian kiraan antara-kelompoknya:

F0.05 = 3.35; F0.01 = 5.49

Jadi, F tidak signifikan, Ho dipertahankan.



Tabel Rangkuman Perhitungan ANAVA Satu Arah

Sumber VarianJumlah Kuadrat

SSDf MS F

Antara-kelompok

Dalam-kelompok

Total

1972.0

10675.0

12647.0

2

27

29

986.0

395.4

2.49

F0.05 = 3.35; F0.01 = 5.49

Asumsi Dasar ANAVA

Kenormalan

Setiap nilai dalam sampel didapat dari distribusi normal, distribusi skol sampelpun

akan normal. Kenormalan dapat ditingkatkan dengan memperbanyak sampel dalam-

kelompok, semakin besar n maka distribusi semakin normal. Apabila sampel tiap kelompok

kecil dan tidak normal, maka harus dilakukan transformasi.

Kesamaan Variansi

Tiap-tiap kelompok sampel harus berasal dari populasi dengan variasi yang sama.

Sampel yang sama pada setiap kelompok dapat mengabaikan kesamaan variansi, tetapi jika

banyaknya sampel berbeda, maka kesamaan variansi populasi sangat diperlukan, dan jika

diabaikan dapat menyesatkan pengambilan keputusan. Apabila variansi berbeda dan

banyaknya sampel perkelompok tidak sama, diperlukan transformasi nilai untuk

penyelamatannya, misal dengan logaritma.

Pengamatan Bebas

Sampel harus diambil secara acak agar pengamatan informasi independen.

Uji-t setelah Uji-F ANAVA Satu Arah

Uji-t dilakukan untuk membandingkan rata-rata setiap subsampel. Pengujian ini

tidak dianjurkan karena di dalam banyak uji-t yang dilakukan untuk mencapai hasil signifikan

diharapkan akan terjadi kesalahan dengan persentasi tertentu setiap sampling secara acak dari

populasi dengan rata-rata dan variansi yang sama.

Kenyataannya dari 100 uji-t sekitar 5 mencapai signifikansi 5 % yang disebabkan

karena ketidaksengajaan (bukan akibat perlakuan). Jika terdapat 7 subkelompok, misalnya,

satu uji-t signifikansi pada level 0.05 sepertinya diharapkan terjadi karena ketidaksengajaan



pada setiap pembandingan rata-rata subkelompoknya, dan semuanya ada (7*6)/2 = 21

pembandingan. Itulah alasan disarankannya uji-F ANAVA satu arah.

Jika uji-F tidak signifikan, tidak dapat diterima secara statistik bahwa perbandingan

untuk tiap pasang subkelompok signifikan pada t0.05 maupun pada tingkat keyakinan tertentu

yang lain. Jika uji-F signifikan, kemudian akan menjadi bermanfaat untuk menguji t setiap

individual guna menentukan signifikansi perbedaan antara pasangan rata-rata subkelompok,

walaupun secara statistik hasilnya tidak selalu benar. Signifikansi uji-t biasanya akan

didapatkan pada level lebih tinggi dari t0.05 dan t0.01.

Walaupun begitu beberapa hasil mungkin akan berguna untuk membuat hipotesis

baru yang eksperimen lebih lanjutnya perlu dilakukan. Misal, jika sepasang rata-rata dari

sekian banyak rata-rata memberikan hasil uji-t yang signifikan, peneliti akan dianjurkan

untuk melakukan eksperimen lagi dengan menggunakan hanya kedua perlakuan tersebut

untuk melihat kalau fenomenon itu dapat diulang, yaitu apakah uji-t akan tetap signifikan

secara statistik dengan sampel yang baru.

Dalam ANAVA satu arah yang melibatkan lebih dari dua kelompok, uji-f yang

signifikan menjadikan penolakan untuk keseluruhan hipotesis perbedaan rata-ratanya. Uji-F

signifikan memiliki arti bahwa paling tidak ada satu pasang rata-rata berbeda secara statistik,

tetapi tidak menunjukkan pasangan mana yang berbeda secara signifikan. Uji-F dalam

ANAVA adalah untuk untuk menguji keseluruhan. Sebagai hasilnya, keseluruhan uji-F tidak

menarik atau tidak berguna untuk kebanyakan peneliti. Secara umum, ketertarikan para

peneliti terletak pada perbedaan antara rata-rata kelompok tertentu saja. Contohnya, peneliti

pasar ingin membandingkan peningkatan dalam penjualan yang disebabkan karena tiga

macam rencana peningkatan: (1) membeli satu mendapatkan barang kedua dengan harga

setengahnya, dan (2) membeli dua dengan harga biasa dan mendapatkan satu gratis, tentu saja

yang (3) dengan harga biasanya. Keseluruhan uji-F ANAVA memberikan informasi kepada

peneliti bahwa ada perbedaan penjualan di antara ketiga strategi penjualan itu. Jika uji-F

signifikan, tidak dapat menjelaskan mana yang membuat berbeda. Oleh karena itu, peneliti

memerlukan alat lain untuk melihat ‘data lebih mendalam’, diperkenalkanlah uji Scheffè dan

uji HSD Tukey.

Metode Perbandingan Ganda Uji-T Guna Pembandingan Rata-Rata

Rumus uji-t dalam perbandingan ganda adalah:



Dimana:

tij = nilai t terhitung untuk membandingkan rata-rata kelompok i dengan kelompok j

Mi, Mj = masing-masing rata-rata kelompok i dan j

ζW2 = kuadrat rata-rata untuk dalam-kelompok, dan

ni, nj = masing-masing ukuran sampel untuk kelompok i dan j.

Nilai ζW2 didapatkan dari tabel rangkuman ANAVA dalam kolom ‘kuadrat rata-rata’

(MS) dan baris ‘dalam-kelompok’. Perkiraan ini didapatkan dengan mengelompokkan semua

jumlah kuadratnya dan dibagi dengan kelompok derajat bebasnya. Nilai t dievaluasi pada

level α, derajat bebas dan nilai kritis tertentu yang didapat dari tabel t-kritis. Untuk k

kelompok akan terdapat k(k - 1)/2 pembandingan yang mungkin.

Karena uji-t ganda memakai penyebut ζW2 yang sama, uji signifikansi statistiknya

tidak independen, walaupun perbandingan di antara rata-rata untuk populasi terdistribusi

normal adalah independen. Untuk derajat bebas yang besar, uji signifikansi biasanya

dianggap independen. Pada contoh berikut, perhitungan uji-t digambarkan. Dalam masalah

sebenarnya, hanya kelompok-kelompok yang dihipotesiskan berbeda yang digunakan dalam

perbandingan uji-t.

Uji-t perbedaan antara rata-rata subkelompok untuk data pada contoh soal sebelumnya.

df = 22, t.05 = 2.07, t.01 = 2.82

df = 23, t.05 = 2.07, t.01 = 2.81

df = 27, t.05 = 2.05, t.01 = 2.77

df = 28, t.05 = 2.05, t.01 = 2.76

Tiga perbandingan uji-t menghasilkan perbedaan antara rata-rata yang signifikan

pada level 0.01 (ditunjukkan dengan **). Sedangkan satu lagi perbedaan signifikan pada level



0.05. Kedua perbandingan lainnya gagal untuk menghasilkan perbedaan rata-rata yang

signifikan. Selanjutnya untuk menentukan berapa besar nilai t untuk menunjukkan nilai

signifikansi yang sebenarnya digunakan uji Scheffè (dikembangkan oleh Henry Scheffè):

t’.05 = √(k-1)F.05

t’.05 = nilai kritis t’ Scheffè

k = jumlah kelompok dalam ANAVA satu arah

F.05 = nilai F yang diperlukan untuk signifikansi dengan df(k - 1) untuk varian kiraan yang

lebih besar dan df = (N – k) untuk varian kiraan lebih kecil

N = ukuran sampel total

Setiap dan seluruh nilai t yang didapat lebih besar dari t’.05 dianggap signifikan pada paling

tidak level 0.05. Uji ini dapat diaplikasikan sama baiknya untuk ANAVA satu arah dengan

subkelompok yang ukurannya sama. Jika level t = 0.01 diharapkan, maka rumus yang

digunakan adalah:

t’.01 = √(k-1)F.01

Dengan memasukkan harga F.01 = 2.79 dan 4.20 yang masing-masing df-nya = 3 dan 50 untuk

varian kiraan lebih besar dan kecil, maka didapatkan:

t’.05 = √(k-1)F.05 = √3(2.79) = √8.37 = 2.89

t’.01 = √(k-1)F.01 = √3(4.20) = √12.60 = 3.55

Jika ini ini dibandingkan dengan nilai t pada uji-t sebelumnya maka perbandingan t23 dan t34

masih signifikan pada level 0.01, sedangkan t14 sekarang signifikan hanya pada level 0.05.

Jadi, perbedaan rata-rata subkelompok 2 dan 3, subkelompok 3 dan 4 benar-benar signifikan

pada level 0.01, dan perbedaan subkelompok 1 dan 4 berbeda secara signifikan pada level

0.05.

Uji Perbandingan Ganda HSD Tukey

Perbandingan antara dua rata-rata kelompok akan signifikan jika harga absolut beda

di antara kedua rata-rata lebih besar dari nilai HSD (Honestly Significant Difference).

HSD = qk.v √ζW2/n

qk.v = nilai ‘studentized range statistic’

ζW2 = varian kiraan kelompok

n = jumlah subjek dalam tiap kelompok

Nilai q didapatkan dari tabel distribusi ‘studentized Range Statistic’. Diketahui rata-

rata k berdasarkan pada n yang sama, rentang studentized q adalah perbedaan antara rata-rata

terbesar dikurangi dengan rata-rata terkecil dibagi dengan kiraan error baku. Jika besarnya k



berbeda dan df serta ζW2 berasosiasi, rentang studentized dapat ditentukan. Agar dapat

menggunakan tabel distribusi q, maka harus diketahui tingkat signifikansi (α), derajat bebas

untuk dalam-kelompok v = (NT - k), dan jumlah kelompok (k).NT adalah jumlah total

pengamatan dan n adalah ukuran sampel untuk tiap kelompok.

Idealnya agar rantang studentized dapat bekerja dengan baik, kelompok yang akan

dibandingkan harus memiliki ukuran yang sama. Statistik q dan HSD akan tetap dapat

dilakukan jika ukuran kelompok sampel tidak terlalu berbeda satu sama lainnya, diberikan

bahwa n diganti dengan nh (rata-rata harmonik jumlah pengamatan):

Dimana k = jumlah kelompok dan n1, n2, … , nk = ukuran sampel untuk tiap kelompok.

Penggunaan nh tidak dapat dibenarkan jika perbedaan antara ukuran sampel besar.

Menggunakan data pada soal sebelumnya yang sama, perbedaan mutlak antara rata-rata

kelompok dihitung:

D12 = 5.1; D13 = 3.0; D14 = 7.1; D23 = 8.1; D24 = 2.0; D34 = 10.1

Selanjutnya, menentukan derajat bebas dan k:

df = NT – k = n1 + n2 + n3 + n4 - k = 15 + 15 + 14 + 10 - k

k = jumlah kelompok = 4. Jadi, df = 54-4=50.

Tentukan q dengan melihat tabel untuk df = 50, k = 4, dan α = 0.05 dan 0.01, maka:

q.05.50 = 3.77 (nilai terinterpolasi)

q.01.50 = 4.65 (nilai terinterpolasi)

sebelumnya telah dihitung ζW2 = 32.1, kemudian dihitung,

nh = 4/[(1/15) + (1/15) + (1/14) + (1/10)] = 4/0.3048 = 13.123

Jadi,

HSD.05 = 3.77√(32.1/13.123) = 3.77√2.4461 = 3.77.1.56 = 5.90

HSD.01 = 4.65√(32.1/13.123) = 4.65√2.4461 = 4.65.1.56 = 7.27

D23 = 8.1 dan D34 = 10.1 > HSD.01, perbedaaan antara rata-rata kelompok 2 dan 3 serta

kelompok 3 dan 4 signifikan secara statistik pada level 0.01.

D14 = 7.1 > HSD.05, perbedaan antara rata-rata kelompok 1 dan 4 signifikan secara statistik

pada level 0.05.

Hasil di atas ternyata konsisten dengan hasil uji Scheffè sebelumnya.



BAB X

ANAVA DUA ARAH

ANAVA dua arah menguji pengaruh serentak dua variabel bebas atau faktor-faktor

eksperimen pada suatu variabel terikat. Tiap variabel bebas memiliki dua atau lebih tingkatan

(kelompok). Sebenarnya ada beberapa variasi ANAVA dua arah yang berbeda-beda. Tetapi

disini hanya dibahas yang sangat sederhana dan paling sering digunakan, yaitu rancang

faktorial. Jika ada p tingkat faktor eksperimen dan q tingkat faktor eksperimen lainnya,

rancang ANAVA faktorial dua arah terdiri dari kombinasi pq eksperimen. Subjek harus

dipilih secara acak sesuai dengan rancang eksperimen pq ini, dimana setiap subjek akan

mendapatkan hanya satu kombinasi.

Verifikasi Jumlah Kuadrat Interaksi

Jumlah kuadrat interaksi harus dihitung dengan cara lain guna meyakini bahwa

metode perhitungan data telah memberikan hasil yang benar. Deviasi rata-rata subkelompok

dari deviasi keseluruhan (Mi - M) dapat dipandang sebagai yang memiliki pengaruh baris

(MRi - M), pengaruh kolom (MCi - M), dan pengaruh interaksi. Guna mendapatkan perbedaan

deviasi yang disebabkan karena interaksi, kurangkan dengan kedua pengaruh lainnya:



(Mi - M) - (MRi - M) - (MCi - M) = Mi – MRi – MCi + M

(penyimpangan karena interaksi)

Jumlah kuadrat interaksi akan didapatkan seperti halnya jumlah skor deviasi kuadrat

lainnya, yaitu dengan mengkuadratkan deviasi karena interaksi dan mengalikannya dengan

jumlah kasus (n), sehingga didapatkan:

Uji Perbandingan Ganda HSD Tukey

Penggunaan HSD Tukey pada ANAVA dua arah bergantung pada bagaimana rata-

rata diartikan, yaitu perbandingan didapat antara rata-rata sel individual atau antara rata-rata

subkelompok (tingkatan variabel bebasnya). Perbandingan mengambil bentuk beda skor di

antara rata-rata. Perbedaan skor signifikan secara statistik jika harga absolut beda di antara

rata-rata lebih besar dari nilai HSD (Honestly Significant Difference).

HSD = qk.v √ζW2/n

qk.v = nilai ‘studentized range statistic’

ζW2 = varian kiraan kelompok

n = jumlah subjek dalam tiap kelompok

Nilai q didapatkan dari tabel distribusi ‘studentized Range Statistic’ menggunakan

derajat bebas dalam kelompok (NT - k). Harga k berbeda-beda bergantung pada apakah

perbandingannya adalah antara rata-rata sel individual atau rata-rata subkelompok. Harga k

untuk membandingkan pasangan rata-rata tingkatan (subkelompok) yang berbeda dari

variabel bebasnya sama dengan jumlah tingkatan (subkelompok) dalam variabel bebasnya

(faktor eksperimen). Harga k untuk membandingkan pasangan rata-rata sel individual sama

dengan jumlah total sel atau kombinasi faktor eksperimen.

SIMPANGAN BAKU

Barangkali ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan

baku atau deviasi standar. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk

sampel, simpangan baku diberi simbol s, sedangkan populasi diberi simbol σ (baca: sigma).

Variansnya tentulah s2 untuk varians sampel dan σ2 untuk varians populasi. Jelasnya, s dan s2

merupakan statistik sedangkan σ dan σ2 parameter.

Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, … , xn, dan rata-rata (

), maka statistik s2 dihitung dengan:



V(5)…………………………

Untuk mencari simpangan baku (s), dari s2 diambil harga akarnya yang positif.

BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI

Misalkan kita mempunyai sebuah sampel berukuran n dengan data x1, x2, ..., xn,

sedangkan rata-ratanya = , dan simpangan baku = s. Dari sini kita dapat membentuk data

baru z1, z2, …, zn dengan rumus:

V(11)……………………… untuk i = 1, 2, …, n

Jadi, diperoleh penyimpangan atau deviasi data dari rata-rata dinyatakan dalam

satuan simpangan baku. Bilangan yang didapat dinamakan bilangan z. Variabel z1, z2, …, zn

ternyata mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1. Dalam penggunaannya, bilangan

z ini sering diubah menjadi keadaan atau model baru, atau tepatnya distribusi baru, yang

mempunyai rata-rata 0 dan simpangan baku s0 yang ditentukan. Bilangan yang diperoleh

dengan cara ini dinamakan bilangan baku atau bilangan standar dengan rata-rata 0 dan

simpangan baku s0 dengan rumus:

V(12)………………………

Perhatikan bahwa untuk 0 = 0 dan s0 = 1, rumus V(12) menjadi rumus V(11), sehingga

bilangan z sering pula disebut bilangan standar.

ANALISIS VARIANS

1. JENIS VARIANS

Telah kita kenal beberapa jenis varians seperti varians sampel (s2) dan varians

populasi (σ2). Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variasi

nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut. Variasi ini

dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selanjutnya, kita juga telah mengenal varians

sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang , untuk proporsi diberi

lambang dan untuk statistik lainnya.



Secara umum varians dapat digolongkan ke dalam varians sistematik dan varians

galat. Varians sistematik adalah varians pengukuran karena adanya pengaruh yang

menyebabkan skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan ke arah

lain. Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah varians

antar kelompok atau kadang-kadang disebut varians eksperimental. Varians ini

menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara kelompok-kelompok hasil

pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena adanya perbedaan antara kelompok-

kelompok individu.

2. ANALISIS VARIANS SATU ARAH

Cara menguji kesamaan dua rata-rata populasi yang masing-masing berdistribusi

independen, berdistribusi normal, dan memiliki varians yang homogen, digunakan uji t jika

kedua varians tidak diketahui, dan uji z jika kedua varians diketahui. Sekarang kita akan

membahas perluasannya, yaitu menguji kesamaan k, (k > 2), buah rata-rata populasi.

Tepatnya, misalkan kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi yang masing-masing

berdistribusi independen dan normal dengan rata-rata µ1, µ2, …, µk dan simpangan baku

berturut-turut σ1, σ2, …, σk. Akan diuji hipotesis nol H0 dengan tandingan H1:

H0 : µ1 = µ2 = … = µk

H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Selain asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga akan

dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen yaitu .

Dari tiap populasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n1

dari populasi pertama, n2 dari populasi kedua, dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke-

k.Data sampel akan dinyatakan dengan Yij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil

dari populasi ke-i. Untuk memudahkan, sebaiknya data sampel disusun seperti dalam daftar

berikut.

Data Sampel dari k Buah Populasi Berdistribusi Normal

Dari Populasi Ke

1 2 3 ….

k



Dat

a

Has

il

Pengamata

n

Y11 Y21 Y31 ….

Yk1

Y12 Y22 Y21 ….

Yk2

Y13 . .

. . .

. . .

. Y2n2 .

. .

Y1n1 Y3n3 .....

Yknk

Ju

mlah

J1 J2 J3 …..

Jk

Rat

a-rata

…..

Untuk menguji HO dan melawan H1 kita akan menggunakan varians antar kelompok

dan varians dalam kelompok. Dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas,

ternyata bahwa rasio varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk

statistik F, tepatnya:

XIV(2)………………

Statistik F inilah yang digunakan untuk menguji H0.

Jika kedua varians dalam statistik F di atas dituliskan menggunakan jumlah kuadrat,

maka rumus XIV(2) untuk menguji H0 berubah menjadi:

XIV(3)………………

Dimana:

Yij = data ke-j dalam sampel ke-i

i = 1,2, …, k dan j = 1,2, …, n1

(ni = ukuran sampel dari populasi ke-i)



= = rata-rata untuk sampel ke-i

Y = = rata-rata untuk semua data

Ternyata bahwa statistik di atas berdistribusi F dengan dk pembilang υ1 = (k -

1) dan dk penyebut υ2 = (n1 + … + nk - k). Kriteria pengujiannya adalah: tolak H0 jika F ≥ F(1-

α) (υ1.υ2), dimana F(1-α) (υ1.υ2) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang (1 - α) dan dk =

(υ1.υ2). Disini α = taraf nyata untuk pengujian.

Untuk memudahkan perhitungan, rumus XIV(3) diubah seperlunya dan akan

digunakan simbol-simbol berikut:

Ry = J2 / ∑ ni dengan J = J1 + J2 + J3 + … + Jk

Ay = ∑ (Ji / ni) - Ry

∑ Y2 = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatan

Dy = ∑ Y2 – Ry - Ay

Ry, Ay, Dy, dan ∑ Y2 merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK) yang berturut-turut berdasarkan

sumber-sumber variasi rata-rata, antar kelompok, dalam kelompok, dan total. Setiap JK

sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk rata-rata dk = 1, untuk antar

kelompok dk = (k - 1), untuk dalam kelompok dk = ∑ (ni - 1), dan untuk total dk = ∑ ni.

Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians untuk

masing-masing sumber variasi yang disini disebut kuadrat tengah (KT). Dengan jalan

membagi KT antar kelompok dengan KT dalam kelompok, maka diperoleh harga:

XIV(4)……………….…………

Yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi. Jika

harga F ini lebih besar dari F daftar dengan dk pembilang (k-1) dan dk penyebut ∑ (n i - 1)

untuk α yang dipilih, maka hipotesis nol (H0) ditolak.

Analisis untuk menguji kesamaan k buah rata-rata populasi yang dibicarakan disini

dikenal dengan analisis varians satu arah karena analisisnya menggunakan varians dan data

hasil pengamatan pengaruh satu faktor.



BAB XI

STATISTIK NONPARAMETRIK

Metode statistika nonparametrik atau sering disebut pula metode statistika bebas

distribusi. Beberapa metode nonparametrik yang sederhana:

UJI TANDA

Dalam banyak eksperimen, kita sering ingin memebandingkan pengaruh hasil dua

perlakuan. Untuk data yang berpasangan satu sebagai hasil perlakukan A dan satu lagi hasil

perlakuan B, ternyata untuk memebandingkan kedua hasil perlakuan itu dapat digunakan uji

tanda. Uji ini sangat baik jika memiliki syarat-syarat berikut dipenuhi:

1. pasangan hasil pengamatan yang sedang dibandingkan bersifat independen

2. masing-masing pengamatan dalam tiap pasang terjadi karena pengaruh kondisi yang

serupa.

3. pasangan yang berlainan terjadi karena kondisi yang berbeda

sebagaimana namanya menyatakan uji tanda ini akan dilakukan berdasarkan tanda yakni +

dan – yang didapat dari selisih pengamatan Xi dan Yi masing-masing terjadi karena

perlakuan A dan B. Misalkan n menyatakan banyak pasangan yang menghasilkan tanda-tanda



positif dan negatif setelah dihilangkan pasangan Xi = Yi. Selanjutnya misalkan h menyatakan

banyak tanda + atau – yang paling sedikit. Bilangan h ini dapat dipakai untuk menguji

hipotesis:

Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan

H1 : tidak dapat perbedaabn pengaruh kedua perlakuan

Dalam hal ini pengaruh diukur oleh rata-rata sehingga sebenarnya, uji tanda ini dapat

digunakan untuk menguji kesamaan dua rata-rta populasi.

Untuk menolak atau menerima hipotesis Ho dalam taraf nyata 0,01 atau 0,05 sebuah

daftar. Daftar tersebut berisikan harga-harga h sebagai batas kriteria pengujian untuk harga n

yang didapat. Kriteria tersebut adalah tolak Ho jika harga h dari perhitugan lebih kecil atau

sama dengan harga h yang didapat dari daftar untuk taraf nyata yang dipilih. Dalam hal

lainnya Ho diterima. Dari daftar nampak agar supaya pengujian dapat ditentukan hasilnya,

diperlukan paling sedikit n = 6.

Apabila n lebih besar dari 95, maka harga h dapat dihitung dengan jalan mengambil

bilangan bulat terdekat yang lebih kecil dari:

dengan k = 1,2879 untuk α = 0,01 dan k = 0,9800 untuk α = 0,05

Statistik nonparametrik adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi

tentang bentuk distribusi. Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa

memperhatikan bentuk distribusi populasi. Metode statistik nonparametrik dapat digunakan

untuk situasi :

1. Apabila ukuran sampel demikian kecil sehingga distribusi statistik pengambilan

sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat

tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber sampel.

2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan

informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah, atau sama dengan

item lainnya; data ini sama sekali tidak menyatakan ukuran perbedaan).

3. Apabila data nominal digunakan. (Data nominal adalah data di mana sebutan seperti

”laki-laki” atau ”perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada implikasi di dalam

sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item

lainnya).



Metode nonparametrik yang digunakan secara meluas :

UJI TANDA (SIGN-TEST)

Prosedur uji tanda didasarkan pada tanda negatif atau positif dari perbedaan antara

pasangan data ordinal. Pada hakikatnya pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan

dan bukan besarnya perbedaan itu

Prosedur Uji Tanda dengan Sampel Kecil

a. Menyatakan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Sebagaimana halnya dalam menyatakan penguji hipotesis, langkah pertama adalah

prosedur uji tanda adalah menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Pengujian

tanda dua-arah (two-tailed test) ataupun satu-arah (one-tailed) dapat dilakukan, dan

fakta ini tentunya akan menentukan bentuk hipotesis alternatif.

b. Memilih Taraf Nyata

Setelah menetapkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif langkah kedua adalah menetapkan

kriteria penolakan ataupun penerimaan hipotesis nol

c. Menghitung Frekuensi Tanda

Langkah berikutnya menghitung tanda positif, tanda negatif dan nol

d. Menentukan Tanda Beda antara Pasangan Observasi

Setelah hipotesis nol dan hipotesis alternatif ditentukan, dan taraf nyata dipilih,

langkah selanjutnya ialah menghitung selisih antara satu observasi dengan observasi

lainnya secara sistematis, dan kemudian mencatat apakah perbedaan tersebut positif

atau negatif.

e. Menentukan Probabilitas Hasil Sampel yang Diobservasi

Responden atau pasangan observasi yang relevan bagi analisis hanyalah responden

atau observasi yang perbedaan rasanya (positif atau negatif) telah dicatat.

f. Penarikan Kesimpulan Statistik Tentang Hipotesis Nol

Peraturan pengambilan keputusan yang harus diikuti dalam melakukan pengujian

tanda dengan sampel kecil guna mengambil keputusan statistik adalah :

Menerima Ho jika α ≤ probabilitas hasil sampel

atau

Menolak Ho dan menerima H1 jika α> probabilitas hasil sampel

Prosedur Uji Tanda dengan Sampel Besar

Jika jumlah sampel cukup besar, dan jika pendekatan normal dapat dipakai terhadap

distribusi binomial, maka aturan pengambilan keputusan yang berlaku sesuai dengan

aturan distribusi Z dimana rasio kritis (CR dari nilai Z) dihitung sebagai :



Dimana R = jumlah tanda positif

n = jumlah pasangan observasi yang relevan

UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON

Uji peringkat bertanda Wilcoxon digunakan jika besaran maupun arah perbedaan

relevan untuk menentukan apakah terdapat perbedaan yang sesungguhnya antara pasangan

data yang diambil dari satu sampel atau dua sampel yang saling terkait.

Prosedur uji peringkat bertanda Wilcoxon

a. Menyatakan hipotesis dan α

b. Menentukan besar dan tanda perbedaan antara pasangan data

c. Menyusun peringkat perbedaan tanpa memperhatikan tanda

d. Pemberian tanda atas peringkat yang telah ditetapkan

e. Menjumlahkan peringkat

f. Penarikan kesimpulan statistik tentang hipotesis nol

PENGUJIAN MANN-WHITNEY

Pengujian Mann-whitney digunakan jika hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak

ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan di mana data tersebut

diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.

Prosedur pengujian Mann-Whitney

a. Menyatakan hipotesis dan α

b. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sampel

c. Menjulahkan peringkat menurut tiap kategori sampel dan menghitung statistik U.

Rumus yang dapat dipakai :

U = n1n2 + atau

U = n1n1 +

Di mana R1 = jumlah peringkat yang diberikan pada sampel dengan jumlah n1

R2 = jumlah peringkat yang diberikan pada sampel dengan jumlah n2

d. Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol



Aturan pengambilan keputusannya ialah : Tolak hipotesis nol jika nilai hitung U sama

atau lebih kecil dari nilai dalam tabel U.

RUNS TEST UNTUK MELIHAT KEACAKAN

Tujuan runs test (uji deret) adalah untuk menentukan apakah keacakan akan terjadi

atau pakah terdapat suatu pola yang mendasri urutan data sampel. Pengujian didasarkan pada

jumlah deret dari hasil yang identik pada data berurut. Runs test merupakan prosedur

pengujian hipotesis lain yang dirancang untuk membantu para pengambil keputusan.

Prosedur pelaksanaan runs test adalah :

a. Merumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif, hipotesis

Hipotesis untuk runs test adalah :

Ho : Data berurut DJIA yang dianalisis tersebut bersifat acak

H1 : Data berurut DJIA yang dianalisis tersebut mempunyai pola

Runs test dirancang untuk mendekati pola dalam data berurut, tetapi tidak bis

mengungkapkan hakikat dari pola tersebut.

b. Menghitung jumlah deret

c. Menghitung frekuensi kejadian

d. Menarik kesimpulan statistik

KOEFISIEN KORELASI PERINGKAT SPEARMAN

Koefisien korelasi peringkat spearman, rs, adalah ukuran erat-tidaknya kaitan antara

dua variabel ordinal; artinya rs, merupakn ukuran atas kadar atau derajat hubungan antara data

yang telah disusun menurut peringkat (ranked data). Koefisien korelasi (r) dihitung dengan

menggunakan nilai aktual dari X dan Y.

Prosedur penghitungan koefisien korelasi peringkat Spearman

a. Menyusun peringkat data

b. Menghitung perbedaan antara pasangan peringkat

Perhitungan sistematis atas perbedaan peringkat. Perbedaan ini, yang diberikan notasi

D.

c. Menghitung rs

Koefisien korelasi Spearman, yang didefinisikan sebagai berikut :

rs = 1 -



Untuk menghitung rs harus mengkuadratkan perbedaan antara setiap pasangan

peringkat dan kemudian menjumlahkan perbedaan yang dikuadratkan tersebut yaitu

ΣD2 dalam pembilang rumus diatas. Apabila rs bernilai nol maka tidak ada korelasi,

seperti halnya r, jika rs adalah +1,00 atau -1,00 maka terdapat korelasi sempurna.

Penguji signifikasi rs

Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk menentukan apakah benar-benar

ada hubungan statistik seperti diisyaratkan oleh rs. Jika ukuran sampel lebih besar dari 10,

kita bisa melakukan pengujian hipotesis dengan menghitung rasio kristis (critical ratio = CR)

sebagai berikut :

CR = rn

Prosedur untuk menghitung dan menguji koefisien korelasi peringkat Spearman



Start

Rumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

Tentukan taraf nyata (α)

Kumpulkan data dan kemudian susun peringkat data tersebut

Hitung

rs = 1 -

Bandingkan nilai CR yang dihitung dengan nilai dari tabel tdengan

menggunakan derajat kebebasan n -

Hitung perbedaan antara pasangan peringkat

Stop

Jika n > 10, hitung

CR = rnTarik kesimpulan statistic tentang H0

UJI WILCOXON

Uji ini merupakan perbaikan dari uji tanda yang dijelaskan dalam bagian yang lalu.

Dalam uji wilkcoxon bukan hanya tanda yang diperhatikan tetapi juga nilai selisih (X-Y).

Caranya adalah sebagai berikut:

1. beri nomor urut untuk setiap harga mutlak selisih (Xi – Yi). Harga mutlak yang

tekecil diberi nomor urut atau peringkat 1, harga mutlak selisih berikutnya diberi

nomor urut Z dari akhirnya harga mutlak terbesar diberi nomor urut n. Jika terdapat

selisih yang harga mutlaknya sama besar, untuk nomor urut diambil rata-ratanya,

2. untuk tiap nomor urut berikan pula tanda yang didapat dari selisih (X – Y).

3. hitunglah jiumlah urut yang bertanda positif dan jumlah nomor urut yang bertanda

negatif.

4. untuk jumlah nomor urut yang didapat di 3, ambillah jumlah yang harga mutlaknya

paling kecil. Sebutlah jumlah ini sama dengan yang dipakai untuk menguji hipotesis.

Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan

H1 : terdapat perbedaan pengaruh kedua perlakuan

Untuk menguji hipotesis diatas dengan taraf nyata α = 0,01 dan α = 0,05. kita

bandingkan j diatas dengan j yang diperoleh dari daftar. Jika J dari perhitungan lebih kecil

atau sama dengan J dari daftar yang berdasarkan taraf nyata yang dipilih maka Ho ditolak.

Dalam hal lainnya Ho diterima.

KOEFISIEN KORELASI PANGKAT

Misalkan pasangan data hasil pengamatan (X1, Y1), (X2, Y2),.......,(Xn, Yn) kita susun

menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Nilai Xi disusun menurut urut atau



peringkat 1, terbesar kedua diberi peringkat 2, terbesar ketiga diberi peringkat 3 dan

seterusnya sampai kepada nilai Xi. Terkecil diberi peringkat n.Demikian pula untuk variabel

Yi. Sekarang kita bentuk selisih atau beda peringkat Xi dan peringkat Yi yang data aslinya

berpasangan. Sebutlah beda ini bi. Maka koefisien korelasi peringkat r antara serentetan

pasangan Xi dan Yi dihitung dengan rumus:

UJI RUNTUN

Runtun adalah barisan huruf-huruf atau tanda-tanda yang identik yang didahului atau diikuti

oleh sebuah huruf atau atau sebuah tanda yang berbeda, panjang runtun ditentukan oleh

banyak huruf atau tanda yang ada dalam setiap runtun.

Contoh:

Deretan tanda positif dan negatif berikut:

++++++ --- +++ - +

terdiri atas lima runtun dimana runtun pertama panjangnya enam (++++++), runtun kedua

dan ketiga masing-masing panjangnya tiga (--- dan +++) sedangkan runtun keempat dan

kelima masing-masing panjamnganya satu (- dan +).

Deretan bilangan ini dapat dianggap terdiri atas delapan runtun. Runtun-runtun yang didapat

dari sampel II telah diberi garis dua buah untuk membedakan dengan runtun-runtun yang

didapat dari sampel I yang diberi garis bawah sebuah.

Dengan adanya runtun ini kita dapat menguji hipotesis tentang:

A. data pengamatan telah diambil secara acak daris ebuah populasi atau sampel yang

diambil darai sebuah populasi adalah acak.

B. Dua sampel acak berasal dari populasi yang sama atau dua populasi mempunyai

distribusi yang sama.

Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis diatas adalah banyaknya runtun dalam

deretan yang akan kita nyatakan dalam u.

Untuk melakukan hipotesis yang dicantumkan di A ialah :

Ho : data sampel telah diambil secara acak daris ebuah populasi melawan alternatif.

H1 : data sampel diambil tidak secara acak

Kita tempuh langkah sebagai berikut :

1. tuliskan data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya atau urutan

terjadinya.

2. tentukan besarnya median sampelSTATISTIK PENDIDIKAN 90


3. data yang harganya lebih besar dari media supaya diberi tanda positif sedangkan data

yang lebih kecil dari median diberi tanda negatif.

4. hitung berapa banyak data positif diberi simbol n dan berapa banyak tanda negatif

diberi simbol n2.

Dengan mengambil taraf nyata 0,05 bandingkanlah harga u yang didapat dengan harga u dari

daftar sebagai nilai kritis.

UJI MEDIAN

Hipotesisnya yang dihadapi adalah :

Ho : dua sampel acak telah diambil dari dua populasi dengan median yang sama atau telah

diambil dari populasi yang sama.

H1 : kedua sample itu berasal dari dua populasi dengan median yang berlainan atau dari dua

populasi yang berlainan.

Langkah yang harus ditempuh dalam pengujian hipotesis ini adalah

1. gabungkan kedua sampel menjadi sebuah sampel berukuran (n1 + n2) dengan n1 =

ukuran sampel yang diambil dari populasi kesatu dan n2 = ukuran sampel yang

diambil dari populasi kedua.

2. tuliskan ke-(n1+n2) buah data dari sampel gabungan ini menurut urutan besar nilainya

3. tentukan median dari sampel gabungan ini

4. dari setiap sampel tentukan banyak data yang ada dimuka median. Nyatakanlah hal ini

dengan A1 untuk sampel I dan A2 untuk sampel II. Tentukan juga data yang ada

dibawah median dan nyatakanlah hal ini dengan B, untuk sampel I dan B2 untuk

sampel II.

5. bentuklah sebuah daftar kontingensi 2 x 2 seperti dibawah ini

Di atas median

Sampel I Sampel II

A1 A2

Di bawah median B1 B2

Dengan menggunakan data yang telah disususn dalam daftar kontingensi tersebut untuk

menguji hipotesis Ho digunakan uji chi kuadrat.



Selanjutnya kita tolak hipotesis Ho jika X2 dari perhitungan lebih besar atau sama dengan

dengan dk = 1 dan α = taraf nyata. Dalam hal lainnya Ho diterima.

UJI KENORMALAN

Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan X1, X2, ....,Xn. Berdasarkan

sampel ini akan diuji hupotesis nol bahwa sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi

normal melawan hipotesis tandingan bahwa ditribusi tidak normal melawan hipotesis

tandingan.

Untuk pengujian hipotesis nol tersebut kita tempuh prosedur berikut:

1. pengamatan X1, X2, ....,Xn dijadikan bilangan baku Z1, Z2, ....,Zn dengan

menggunakan rumus ( dan s masing-masing merupakan rata-rata dan

simpangan baku sampel).

2. untuk tiap bilangan baku ini dan menggunakan daftar distribusi normal baku,

kemudian dihitung peluang F(Zi) = P(Z≤Zi).

3. selanjutnya dihitung proporsi Z1, Z2, ....,Zn yang lebih kecil atau sama dengan Zi.jika

proporsi ini dinyatakan oleh S(Zi). Maka:

4. hitung selisih F(Zi) – S(Zi) kemudian tentykan harga mutlaknya.

5. ambil harga yang paling besar diantara harga-harga mutlak selisih tersebut. Sebutlah

harga terbesar ini Lo. Untuk menerima atau menolak hipotesis nol, kita bandingkan

Lo dengan nilai kritis L yang diambil dari daftar untuk taraf nyata α yang dipilih.

Kriterianya adalah tolak hipotesis nol bahwa populasi berdistribusi normal jika Lo

yang diperoleh dari pengamatan melebihi L dari daftar. Dalam hal lainnya hipotesis

nol diterima.



BAB XII

REGRESI LINEAR SEDERHANA

Pengertian Regresi

Studi ketergantungan satu variabel tak bebas pada satu atau lebih variabel lain yang

menjelaskan dengan tujuan untuk menaksir atau meramalkan nilai rata-rata hitung (mean)

atau rata-rata populasi variabel tak bebas, dalam pengambilan sampel berulang dari variabel

yang menjelaskan (explanatory variable)

Tujuan Regresi

1. Mengestimasi nilai rata-rata variabel tak bebas dan nilai rata-rata variabel bebas

2. Menguji hipotesis mengenai sifat alamiah ketergantungan (sesuai teori ekonomi)

3. Memprediksi atau meramalkan nilai rata-rata variabel tak bebas dan nilai rata-rata

variabel bebas tertentu

Perbedaan dengan korelasi

Korelasi : mengukur kekuatan atau tingkat hubungan antara dua variabel (simple

correlation) dan tiga variabel (multiple correlation)

Dalam analisis regresi, ada asimetris antara variabel tak bebas dan variabel

bebas.variabel tak bebas bersifat acak atau stokastik dimana variabel bebas

diasumsikan mempunyai nilai yang tetap dalam pengambilan sampel berulang

Dalam Korelasi, ada simetris variabel tak bebas dan variabel bebas.



Fungsi Regresi Populasi dan Fungsi Regresi Sampel

Contoh : Fungsi permintaan barang (Y) dengan variabel penjelas tingkat harga (X)

Asumsi: data Y dan X tersedia, maka nilai yang dicari nilai pengharapan atau nilai rata-rata

populasi pada berbagai tingkat harga (X)

...................... 1)

Dimana adalah rata-rata atau pengharapan Y pada berbagai X

Sedangkan dan adalah parameter atau koefisien regresi

Koefisien Slope mengukur tingkat perubahan rata-rata Y per unit akibat perubahan X

Persamaan 1) adalah fungsi regresi populasi dalam bentuk linier

Karena data populasi sulit didapatkan sehingga diambil data sampel dari populasi dan

dikembangkan konsep fungsi regresi sampel :

...................... 2)

Dimana, adalah penaksir

dan adalah penaksir dan

Tujuan mengestimasi fungsi regresi populasi dan didekati oleh fungsi regresi sampel.

Dalam dunia nyata, tidak ada unsur kepastian maka perlu ditambahkan pengganggu atau

faktor acak ( ) sehingga persamaan 1) dan 2) dapat ditulis kembali:

Bentuk PRF stokastik

Bentuk SRF stokastik

SRF dapat diestimasi dengan metode OLS

Unsur pengganggu :

1. Karena ketidakjelasan atau ketidaklengkapan teori

2. Ketidaktersediaan data

3. Kesalahan manusiawi

4. Kurangnya variabel pengganti

5. Prinsip Kesederhanaan

6. Kesalahan bentuk fungsi

7.

Metode Kuadrat terkecil (OLS): Carl Frederich Gauss

Metode untuk menaksir parameter hubungan ekonomi SRF sebagai penaksir yang benar

untuk PRF

Alasan penggunaan OLS:

1. Hasil estimasi mempunyai ciri optimal

2. Prosedur perhitungan sederhana



3. Dapat digunakan dalam range hubungan ekonomi yang luas dengan tingkat ketepatan

4. Mekanisme sederhana dan mudah dimengerti

5. Komponen penting bagi teknik ekonometrik lain

Pendekatan Gauss:

See: Dokumen dalam Word!

Ciri-ciri Penaksir OLS:

1. Penaksir dinyatakan dalam besaran sampel

2. Penaksir titik dengan sampel tertentu, tiap penaksir memberikan satu nilai tunggal

parameter populasi yang relevan

3. Garis regresi yang diperoleh beberapa sifat :

a. Garis regresi melalui rata-rata sampel X dan Y dibuktikan dengan ..........

b. Nilai rata-rata Y yang diestimasi sama dengan nilai rata-rata Y sebenarnya dimana

dalam kenyataan ............

c. Nilai rata-rata residual ei=0

d. Nilai residual tidak berkorelasi dengan nilai estimasi Y

e. Nilai residual ei tidak berkorelasi dengan X

Asumsi Regresi Linier Klasik

1. Model regresi linier dalam parameter

2. Nilai X tetap dalam sampel yang dilakukan berulang-ulang

3. Nilai rata-rata unsur pengganggu = 0

4. Homokedastisitas tetap untuk semua pengamatan

5. Tidak ada otokorelasi antar unsur pengganggu

6. Nilai kovarian pengganggu dan X = 0

7. Jumlah observasi n harus lebih besar dari jumlah parameter yang diobservasi

8. Nilai X bervariasi

9. Spesifikasi model harus benar

10. Tidak ada multikolinearitas

Apabila asumsi linier klasik dipenuhi, maka didapatkan model penaksir yang tidak bias, linier

dan terbaik (best linear unbiased estimator = BLUE)

1. Linier, jika parameter suatu fungsi linier dari variabel acak Y dalam model

2. Parameter tidak bias, terutama dalam sampel besar sehingga penaksir parameter kira-

kira mendekati nilai parameter sesungguhnya

3. Parameter mempunyai varian minimum atau efisien



4. Nilai Statistik, Koefisien Determinasi

5. See : dokumen word!

DAFTAR PUSTAKA

_____http://terminaltechno.blog.uns.ac.id/2009/10/06/distribusi-frekuensi/.

(d iakses 7Novemver 2012)

_____http://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata. (diakses tanggal 7 Novemver 2012)

_____http://statistikpendidikanii.blogspot.com/2008/04/mean-rata-rata.html. (diakses

tanggal7 Novemver 2012)

_____http://violetatniyamani.blogspot.com/2007/09/teori-validitas.html. (diakses tanggal 8

Novemver 2012)

_____http://id.wikipedia.org/wiki/Korelasi . (diakses tanggal 8 Novemver 2012)

_____http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t- (diakses tanggal 9 Novemver 201 2)

_____http://ineddeni.wordpress.com/2007/10/11/t-test/ . (diakses tanggal 9 Novemver 2012)

_____http://gorgeousdoctors.blogspot.com/2010/07/statistik-anova-anava.html.(diakses

tanggal 10 Novemver 2012)



http://terminaltechno.blog.uns.ac.id/2009/10/06/distribusi-frekuensi/.%20(diakses

http://terminaltechno.blog.uns.ac.id/2009/10/06/distribusi-frekuensi/.%20(diakses

http://ineddeni.wordpress.com/2007/10/11/t-test/.(diakses

http://en.wikipedia.org/wiki/Student's_t-%20(diakses%20tanggal%209%20Novemver%202012)

http://id.wikipedia.org/wiki/Korelasi.(diakses

http://violetatniyamani.blogspot.com/2007/09/teori-validitas.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata

statistik pendidikan

Documents