STATISTIK

daftar isi slide show

# CHY SQUARE TEST ( TES KAI KUADRAT )

# ANALISA –VARIANCE ( F- TEST)

# ANOVA ( ANALISIS VARIAN LANJUTAN )

* Digunakan untuk mengetahui a. Interdependensi antara satu variabel atau lebih dengan variabel lainnya ( chy square test for independence )

b. Kesesuaian antara frekuensi observasi variabel tertentu dengan frekuensi yang diperoleh berdasarkan nilai harapannya. ( distribusi probabilitasnya / expected value ) / test for goodness of fit

Tes Statistik

CHY SQUARE TEST ( Tes Kai Kuadrat )

eij

eijoijxc

2

2 )(

Oij adalah hasil yang diperoleh berdasarkan pengamatan ( Observasi ) terhadap random sampelnya

pada baris ke i dan kolom ke j dari variabel yang diamati

eij adalah hasil yang diperoleh berdasarkan distribusi probabilitas pada baris ke i dan kolom j atau merupakan nilai harapan ( expected value ) pada baris dan kolom observasi yang ada

Xc² adalah nilai tes statistik yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan random sampelnya dan nilai harapan pada masing-masing baris dan kolom kategori.

• Derajat kebebasan Distribusi X² Sangat ditentukan oleh bentuk tabel dan kategori

pengamatannya .

X² tabel memiliki derajat kebebasan / degree of freedom ( df ) =

df ( k-1 ) ∝ bila hanya ada 1 baris pengamatan sajadf ( h-1 ) ∝ bila hanya ada 1 kolom pengamatan sajadf ( k-1 ) , ( h-1 ) ∝ bila ada sejumlah kategori k pengamatan kolom & juga sejumlah kategori h pengamatan barisnya

Contoh : Data observasi pelemparan sebuah dadu sebanyak 60 kali

Mata dadu 1 2 3 4 5 6 tabel ( 1 x 6 ) Hasil frek. Obs. 8 12 10 10 13 7

Ujilah dengan = 5 % apakah dadu yang digunakan seimbang atau tidak .∝

Jawab : dalam pelemparan 1 dadu maka probabilitas keluar mata 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6 adalah P = 1 / 6

sehingga Hipotesis :

I. Ho : P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = 1/6 Ha : P1 ≠ P2 ≠ P3 ≠ P4 ≠ P5 ≠ P6 ≠ 1/6

II. = 5% ∝ nilai kritis df ( k – 1 ) = df 0,05 ( 6 – 1 ) = 11,070 ( Lihat tabel X² )∝ gunakan k – 1 karena ada 1 baris pengamatan

III. Daerah penerimaan Ho terletak bila Xc² ≤ 11,070 daerah penolakan Ho terletak bila Xc² > 11,070

∝ = 5 % ( Daerah penolakan Ho )

Daerah penerimaan Ho 11,070

IV. Tes Statistik Mata dadu 1 2 3 4 5 6

Hasil observasi 8 12 10 10 13 7

Expected 10 10 10 10 10 10 nilai harapan ( eij )

Pada masing-masing baris & kolom adalah probabilitas masing- Masing mata dadu keluar

X jumlah percobaannya yaitu 1 x 60 = 10 x

6

V. Keputusan = Ho diterima karena Xc² < 11,070 2,60 < 11,070

VI. Kesimpulan : Karena Ho diterima berarti bahwa Ho : P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = 1/6 Dan dapat disimpulkan bahwa dadu yang digunakan seimbang

10

)107(

10

)1013(

10

)1010(

10

)1010(

10

)1012(

10

)108( 2222222

xc

eij

eijoijxc

2

2 )(

60,29,09,0004,04,02 xc

Test IndependensiTabel mengenai efek tingkah laku yang dialami oleh

100 orang pecandu narkotik terhadap tinggi rendahnya kadar pemakaian narkotik tersebut

Dari data diatas ujilah apakah penggunaan narkoba membawa pengaruh / efek terhadap penderitanya ( ∝ = 5 % )

Efek

Tingkat PenggunaanTotal

Ringan Sedang Berat

Sukar tidur 10 5 7 22Malas kerja 11 7 18 36Perubahan Psikologi 6 11 7 24Tidak ada pengaruh 10 6 2 18

Total 37 29 34 100

Jawab : I. Ho : Penggunaan narkotika tidak membawa efek terhadap pecandunya ( pemakaian narkotika independen terhadap perubahan tingkah laku pecandunya ) Ha : Pemakaian narkotika membawa pengaruh / efek terhadap pecandunya ( tidak independen )

II. ∝ = 5 %, nilai kritis adalah X² 0,05 df ( k – 1 ) ( h – 1 ) X² 0,05 df ( 4 – 1 ) ( 3 – 1 ) X² 0,05 df 6 = 12,592

III. Daerah penerimaan Ho terletak bila Xc² ≤ 12,592 Daerah penolakan Ho terletak bila Xc² > 12,592

IV. Tes Statistik

eij

eijoijxc

2

2 )(

Cara Menghitung eij :  e 11 = 22 x 37 = 8,14 e 21 = 36 x 37 = 13,32  100 100

e 12 = 22 x 39 = 6,38 e 22 = 36 x 29 = 10,44  100 100

e 13 = 22 x 37 = 7,48 e 23 = 36 x 34 = 12,24  100 100

e 31 = 24 x 37 = 8,88 e 21 = 18 x 37 = 6,66   100 100

e 12 = 24 x 39 = 6,96 e 22 = 18 x 29 = 5,22  100 100

e 13 = 24 x 37 = 8,16 e 23 = 18 x 34 = 6,12 100 100

Efek

Nilai HarapanTotal

Ringan Sedang Berat

Sukar tidur 8,14 6,38 7,48 22Malas kerja 13,32 10,24 12,24 36Perubahan Psikologi 8,88 6,96 8,16 24Tidak ada pengaruh 6,66 5,22 6,12 18

Total 37 29 34 100

Xc² = 0,425 + 0,98 + 0,03 + 0,40 + 1,13 + 2,710 + 0,93 + 2,34 + 0,16 + 1,66 + 0,285 + 2,77

Xc² = 13,823

eij

eijoijxc

2

2 )(

88,8

)88,86(

24,12

)24,1218(

44,10

)44,107(

32,13

)32,1311(

48,7

)48,77(

38,6

)38,65(

14,8

)14,810( 22222222xc

12,6

)12,62(

22,5

)22,56(

66,6

)66,610(

16,8

)16,87(

96,6

)96,611( 22222

V. Keputusan : Ho ditolak karena Xc² > 12,592 ( 13,823 > 12,592 ) berarti Ha diterima

VI. Kesimpulan :Karena Ho ditolak maka berarti bahwa ada pengaruh

yang cukup signifikan antara tingkat pemakaian narkotika terhadap efek / pengaruh yang dialami oleh para pecandunya didalam perubahan tingkah laku sehari-hari.

Ho ditolak

Ho diterima ∝ = 5 %

12.592 BACKTes kai kuadrat selesai

ANALISA - VARIANCE ( F-TEST )

Adalah untuk menguji persamaan dari beberapa nilai means ( rata-rata ) secara serentak

* F tes untuk mengetahui kesamaan variance ( test the equality of variance )( untuk membandingkan 2 nilai means apakah memiliki variance yang sama / tidak )

Cara pengujian Ho = S1² = S2²Ha = S1² ≠ S2² ( Uji 2 sisi ) = S1² > S2² ( Uji sisi kanan ) = S1² < S2² ( Uji sisi kiri )

I. Cari nilai kritis untuk menentukan apakah Ho diterima atau ditolak pada ∝ tertentu

II. Test Statistik

Ho ditolak

Ho diterima ∝

Nilai kritisIII. Keputusan : Apakah menerima Ho atau menolak Ho

dengan membandingkan antara Fc dengan F tabel

IV. Kesimpulan

12

)22(11

)11(

2

12

2

2

2

n

XXn

XX

S

SFC

Contoh : Seandainya kita ingin mengetahui apakah ada perbedaan variance yang signifikan terhadap 2 kelompok mahasiswa bila dalam pemberian kuliah menggunakan 2 metode yang berbeda. Untuk itu dipilih sebanyak 5 orang mahasiswa , pada masing-masing kelompok , setelah dites menghasilkan data sebagai berikut :

Ujilah dengan ∝ = 5 %, apakah nilai kedua kelompok mahasiswa diatas mempunyai variance yang sama

Sampel mahasiswa

Kelompok 1 Kelompok 2

( Nilai ) ( Nilai )

1 80 60

2 75 70

3 75 70

4 90 60

5 80 65

Jawab : I. Ho : S1 = S2 Ha : S1 > S2 S1² = Ʃ (X1 –X1 ) ² , S2² = Ʃ (X2 –X2 ) ² n1 – 1 n2 – 1

S1² = 150 = 37,5 , S2² = 100 = 25 5 - 1 5 – 1Perhitungan :

X1 X2

80 60

75 70

75 70

90 60

80 65

X1 = 80 X2 = 65

( X1 - X1 ) ² ( X2 - X2 ) ²

0 25

25 25

25 25

100 25

0 0

Ʃ ( X1-X1)² = 150 Ʃ( X2- X2)² = 100

II. Nilai kritis F ∝ df ( n1 – 1 ) , ( n2 – 1 ) F 0,05 df ( 5 – 1 ) , ( 5 – 1 ) = 6,39 ( 4, 4 ) Numerator , denominator

Tolak Ho

Terima Ho

6,39 III. Tes statistik

IV. Keputusan : Terima Ho karena Fc ≤ 6,39V. Kesimpulan : karena Ho diterima maka variance antara

kelompok 1 dan 2 adalah sama ( tidak berbeda ) tidak ada perbedaan yang cukup berarti antara kedua metode diatas .

Tolak Ho bila Fc > 6,39

Terima Ho bila Fc ≤ 6,39

Fc = S1² = 37,5 = 1,5 S2² 25

Uji Distribusi F bila Jumlah sampels means >2 ( k >2 )

Contoh : Seorang produsen ban mobil memproduksikan 3 merk ban mobil dengan teknologi yang digunakan berbeda pula . Dari hasil pengujian yang telah dilakukan terhadap semua merk ban tersebut diperoleh informasi sebagai berikut :

k=3 ( A,B,C )

n

SAMPELLAMA PEMAKAIAN

MERK A MERK B MERK C

1 4 5 6

2 3 56

3 4 5 6

4 6 6 7

5 3 4 5

Ujilah dengan ∝ = 5 % , apakah merk ban diatas memiliki perbedaan rata-rata lamanya pemakaian atau tidak, dan apakah wajar bagi produsen tersebut memberikan harga yang berbeda bagi masing-masing merk ban tersebut ? I. Ho : μA = μB = μC Ha : μA ≠ μB ≠ μC II. Nilai kritis F

( k – 1 ) ( 3 – 1 ) Numerator

F∝ df = F 0,05 df

k ( n – 1 ) 3 ( 5 – 1 ) Denominator  2 = F 0,05 df = 3,89 12

Tolak Ho

( 1- ∝ ) ∝ Terima Ho

3,89 III. Tes Statistik ( Fc )

Tolak Ho bila Fc > 3,89Terima Ho bila Fc ≤ 3,89

XASampel 1 (XA)

XBSampel 2 (XB)

XCSampel 3 (XC)

( XA - XA ) ² ( XB - XB ) ² ( XC - XC ) ²

4 0 5 0 6 03 1 5 0 6 04 0 5 0 6 06 4 6 1 7 13 1 4 1 5 1

XA = 4 n = 5

Ʃ( XA - XA ) ² = 6

XB = 5 n = 5

Ʃ( XB - XB ) ² = 2

XC = 6 n = 5

Ʃ( XC - XC ) ² = 2

SA ² = Ʃ( XA - XA ) ² , SB ² = Ʃ( XB - XB ) ² , SC ² = Ʃ( XC - XC ) ² n – 1 n - 1 n – 1

SA ² = 6 SB ² = 2 SC ² = 2 4 4 4

SA ² = 1,5 SB ² = 0,5 SC ² = 0,5

Б ² B = Besarnya Variance within samples

Б ² W = Ʃ S1) ² = 1,5 + 0,5 + 0,5 = 0,833 k 3

Fc = Б ² B Б ² W

Б ² B = variance antar samples

= n Ʃ( Xi - μ ) ² k – 1

= 5 ( 4 – 5 ) ² + ( 4 – 5 ) ² + ( 4 – 5 ) ² 3 - 1 = 5 1 + 0 + 1 = 5 2

IV. Keputusan : Karena nilai tes statistik ( Fc ) > 3,89 maka hipotesa nol akan ditolak dan hipotesa alternatif

diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata lama pemakaian antara ban merk A, B, C memiliki perbedaan yang signifikan , sehingga sangatlah wajar bagi produsen untuk memberikan harga yang berbeda untuk merk ban tersebut.

Fc = 5 = 60,833

Ho ditolak

Ho diterima ∝

3,89 Fc = 6

BACKF tes selesai

ANOVA( Analisis Varian Lanjutan )

# Tujuan untuk mendapatkan pemecahan terhadap masalah didalam melakukan suatu eksperimen yang terdiri dari 2 atau lebih populasi ( k ≥ 2 )

# Untuk mengukur besarnya variasi-variasi yang terjadi

Terdiri dari : a. One way classification : didasarkan pada satu kriteria saja b. Two way classification : didasarkan pada dua kriteria

Misal Eksperimen terhadap 3 jenis varietas padi dan penggunaan 4 macam pupuk yang berbeda-beda , Bagaimana efek terhadap hasil produksi ?

# One way : Mengukur variasi yang terjadi didalam suatu eksperimen terhadap 3 jenis varietas padi saja, tanpa memasukkan pengaruh penggunaan 4 macam pupuk yang berbeda

# Two way : Mengukur variasi yang terjadi karena perbedaan 3 jenis varietas padi dan juga variasi yang disebabkan karena perbedaan penggunaan 4 jenis pupuk terhadap hasil produksi.

Variasi SS df MSS Fc

Kolom SSS ( k – 1 )

S1² = SSC ( k –1)

( MSSC )

S1² = MSSC S2² MSSE

Error SSE k ( n –1 )

S2² = SSE k ( n –1)

( MSSE )

Total SST n.k -1

Contoh : Dalam penelitian yang dilakukan terhadap 5 jenis padi yang baru saja ditemukan ( k = 5 ) , dimana masing-masing jenis padi ini diambil secara random sebanyak 5(n ) sampel dan ditanam pada seluas tanah masing-masing 2 Ha. Ternyata setelah dipanen meghasilkan data-data produk dari kelima jenis padi sebagai berikut :

Ujilah : Apakah ada perbedaan rata-rata produksi per Ha-nya diantara kelima macam jenis padi yang baru ditemukan itu ? ( ∝ = 5 % )

A B C D E T

10 18 6 4 14

8 14 10 6 12

16 16 4 8 18

12 12 6 2 8

6 8 14 8 14

Ti 52 78 40 28 66 264

Jawab : I. Ho : μA = μB = μC = μD = μE Ha : μA ≠ μB ≠ μC ≠ μD ≠ μE

∝ = 5 % , F tab = F ∝ df ( k-1 ) , k ( n-1 ) = F 0,05 df ( 5-1 ) , 5 ( 5-1 ) = F 0,05 df ( 4 , 20 ) k = 5 ( A, B, C, D, E )n = 5

F 0,05 df ( 4 , 20 ) = 2,87

Ho diterima bila Fc ≤ F tabelHo ditolak bila Fc > F tabel

II. Fc Tabel ANOVA

Variasi SS df MSS Fc

Kolom( A,B,C,D,E)

SSC

317,68

k-1

( 5-1 )

SSC = 317,68 ( k –1) 4

= 79,42

( MSSC )

Fc = MSSC MSSE

Fc = 79,42 11,524

= 6,89

Error

SSE

230,48

k (n-1)

5(5-1)

SSE = 230,48 k (n –1) 20

= 11,524

( MSSE )

TotalSST

548,16

n.k -1

25-1

Perhitungan :

k n

SST = Ʃ Ʃ ( Xij ) ² - ( T..) ² i=1 j=1 n k

= ( 10 ) ² + ( 18 ) ² + ........ ( 14 ) ² - ( 264 ) ² (5) (5) = 548,16

k

SST = Ʃ Ti ² i=1 ( T..) ² n1 n k

= ( 52 )² + ( 78 )² + ( 40 )² +......+ ( 66 )² - ( 264 )² 5 5 5 5 (5) (5) = 317,68

SSE = 548,16 - 317,68 = 230,48SSE = SST - SSC

Kesimpulan : F ∝ df ( k-1 ) , k ( n-1 ) F 0,05 df ( 5-1 ) , 5 ( 5-1 ) F 0,05 df ( 4 ) , ( 20 ) = 2,87

Fc = 6,89Fc > F tabel berarti Ho ditolak dan Ha diterima . Hal ini menunjukkan bahwa kelima jenis padi tersebut memiliki rata-rata produksi yang berbeda ( ada perbedaan yang cukup berarti / signifikan antara kelima jenis padi tersebut dalam hal produksinya ). Tolak Ho

Terima Ho

2,87 Fc = 6,89

Thank you .....