SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR

LAPORANLaporan ini ditujukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik

Disusun Oleh:

Aditya FauziAsep SyamsudinAgung TrisnandarAgus GunawanDindin HeryanaMarkus Dwi PriyonoMuhammad ManshurNono HeryanaRini MayasariSulistiya Saptarini

0804117700--0804117700190804117700--0804117700—0804117700—080411770002080411770046080411770008080411770018090411770144

FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI

UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG

2009

Kata Pengantar

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa

yang telah memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan tugas ini

dapat diselesaikan.

Tugas ini disusun untuk diajukan sebagai tugas mata kuliah Metode

Numerik dengan judul “Solusi Persamaan Nirlanjar” di Univeritas

Singaperbangsa Karawang Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknologi

Informasi dan Komunikasi.

Terima kasih disampaikan kepada Bapak Aries Suharso, S.Si. selaku dosen

mata kuliah Metode Numerik yang telah membimbing dan memberikan kuliah

demi lancarnya tugas ini. Selanjutnya kepada rekan-rekan satu tim yang telah

bersusah payah mengerjakan tugas dengan hasil baik, walaupun tidak mudah

mencapai kesimpulan.

Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi

tugas mata kuliah Metode Numerik. Tak ada gading yang tak retak begitu pula

dengan laporan yang penulis buat. Penulis amat mengharapkan kritik dan saran

yang membangun demi kesempurnaan laporan-laporan yang akan datang. Terima

kasih.

Karawang, Desember

2009

Penulis

Daftar Isi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Laporan ini menggunakan metode studi literatur, kemudian

diimplementasikan ke dalam program computer yang ditulis dengan bahasa

pemrograman Pascal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah : 1)

mengidentifikasi masalah, 2) menentukan solusi, 3) menulis program, 4)

menguji program dan 5) menulis dokumentasi. Hasil dari laporan ini adalah

program komputer dengan bahasa Turbo Pascal yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode iterasi titik

tetap, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Newton rhampson dan

metode sechant ditinjau dari banyaknya iterasi.

1.2.Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan laporan ini adalah:

1.2.1. Memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Metode Numerik

1.2.2. Mendalami Materi Tentang Solusi Persamaan Nirlanjar

1.2.3. Memahami Materi Tentang Solusi Persamaan Nirlanjar

1.2.4. Memenuhi salah satu komponen penilaian pada mata kuliah Metode

Numerik

1.3.Rumusan Masalah

Persoalan mencari solusi persamaan nirlanjar dapat dirumuskan secara singkat sebagai berikut: tentukan x yang memenuhi persamaan

f(x)=0

yaitu nilai x=s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol.

BAB II

PEMBAHASAN

1.1.Pengertian Solusi Persamaan Nirlanjar

Penyelesaian persamaan nirlanjar adalah penentuan akar-akar persamaan nirlanjar.Dimana akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema sisa.Sehingga tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan

x– e-x= 0Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier

merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.

1.2.Metode bisection

Metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tdk mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Untuk menggunakan metode biseksi, tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah: x = a + b : 2

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar : f(a) . f(b) 0, maka a=x, f(a)=f(x), b tetap setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah & batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yg mempunyai akar.

Algoritma dan Resume Metode Biseksi Algoritma :

Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya. Tentukan nilai a dan b. Tentukan torelansie dan iterasi maksimum N. Hitung f (a) dan f (b). Jika f (a ) .f(b) >0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila

tidak dilanjutkan. Hitung x = f (x). Bila f (x) . f (a) < 0 maka b = x dan f (b) = f (x), bila tidak a = x dan

f(a) = f(x) Jika | b – a | iterasi maksimum maka proses dihentikan dan

didapatkan akar = x, dan bilatidak, ulangi langkah 6.

Metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasinya. Metode ini melakukan pengematan terhadap nilai f (x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda. Taksiran akan

diperhalus dengan cara membegi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda.

1.3.METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson

dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini

adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat

konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju

konvergensi linear.

Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi

f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x =

a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b

yang berada pada sumbu -x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis

singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu -x.

Dengan menggunakan Pascal, Anda dapat menghitung akar pendekatan dari

fungsi menggunakan metode Newton ini dengan mudah. Perintah yang

digunakan untuk melakukan hal ini adalah Newtons Method (f(x), x = a);

dengan f(x) adalah fungsi yang akan dicari akar pendekatannya, dan a adalah

nilai awal iterasinya.

Perintah Newtons Method berada dalam Calculus1 Student Package,

sehingga perintah ini hanya bisa berjalan apabila sebelumnya paket tersebut

dipanggil dengan perintah withPerintah NewtonsMethod ini akan dihasilkan

akar pendekatan sebagai hasil dari 5 iterasi metode Newton. Adapun ouputnya,

bisa berupa nilai tunggal akar pendekatan (hasil dari iterasi ke-5 saja), nilai

setiap iterasinya, atau bahkan visualisasi grafik setiap iterasinya. Apabila Anda

menginginkan outputnya dalam bentuk nilai tunggal akar pendekatan, maka

gunakan perintah Newtons Method (f (x), x = a); Sedangkan apabila anda ingin

menampilkan hasil akar pendekatan setiap iterasinya, maka gunakan

NewtonsMethod(f(x), x = a, output = sequence); dan bila menginginkan output

dalam bentuk visualisasi grafik, gunakan NewtonsMethod(f(x), x = a, output =

plot).

Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar – akar dari suatu

persamaan. Jika diperkirakan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat

dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong

sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

1.4.Metode Regulasi Falsi

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata-rata range berdasarkan F(x).Metode regula falsi secara grafis digambarkan sebagai berikut :

1.5.Metode Iterasi titik Tetap

1.6.Metode Sechant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton

raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan

mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

y - y0 = m( x − x0 )

dimana m diperoleh dari:

Persamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai pendekatannya adalah :

Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin.Contoh 3. 11:Selesaikan persamaan : x2 –(x + 1) e-x = 0Untuk dapat menyelesaikan persamaan ini terlebih dahulu digambarkan grafik atau digunakan metode tabel untuk mengetahui range atau 2 nilai pendekatan awal yang baik.

Gambar 3.9. Fungsi y=x2-(x+1).e-x untuk range [-1,1]

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran

Daftar Pustaka