mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

SOAL TRANSFORMASI

1. Misal V bidang euclide dan A sebuah titik tertentu pada V, ditetapkan relasi T

sebagai berikut :

a. T(P) = A , P = A, P ≠ A

b. Jika P ⋲ V dan P ≠ A, T(P) = Q. Q merupakan titik tengah ruas garis AP.

Apakah relasi T merupakan transformasi?

Pembuktian fungsi V ke v

- Setiap anggota v memiliki peta V

- Ambil sebarang titik pada bidang V yaitu titik P sehingga P ⋲ V

- Titik A yang diketahui sebagai titik tertentu pada V, A ⋲ V

- Memiliki 2 kondisi

a. P = A

Sebarang titik P pada V, P ⋲ V. prapeta T(P) = A

b. P ≠ A

- Titik A ⋲ V, P ⋲ V, P ≠ A

- Q titik tengah garis AP. Q ⋲ AP

Jadi, AP ⋲ V sehingga Q ⋲ V dan Q merupakan titik tengah tunggal maka dari itu dapat

dikatakan bahwa fungsi V ke v.

Pembuktian fungsi Surjektif

Ambil sebarang R ⋲ V, karena A merupakan titik tertentu pada V dari A ⋲ V memunculkan

2 kondisi.

a. R = A

Untuk R = A sudah jelas bahwa R merupakan prapeta yaitu titik A sendiri.

b. R ≠ A

Untuk R ≠ A

Secara geometri, garis AR pada bidang V terdapat titik M yang merupakan prapeta

dari R yaitu T(M) = R, T(M) merupakan titik tengah karena R ⋲ V mempunyai

prapeta oleh fungsi T yaitu T(M) sehingga T fungsi surjektif.

Pembuktian fungsi Injektif

Ambil sebarang titik P,Q ⋲ V sehingga T(P) = T(Q) menimbulkan kondisi :

a. P = A

Jika P = A maka T(P) = P = A sedangkan T(P) = T(Q). T(Q) = A. Jadi, Q = A dan P

= A.

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

b. Q = A

Jika Q = A maka T(Q) = Q = A sedangkan T(Q) = T(P). T(P) = A. Jadi, P = A dan Q

= A.

c. P ≠ A dan Q ≠ A

Jika P ≠ A dan Q ≠ A maka T(P) ≠ P ≠ A

Misal P’ ⋲ AP dan Q’ ⋲ AQ

P’ = T(P) dan Q’ = T(Q)

Jika P’⋲ AP maka AP = AP’ dan Q’ ⋲ AQ maka AQ = AQ’. Sehingga T(P) = T(Q) berarti P’

= Q’ dan AP’ = AQ’ dengan demikian AP = AQ. Jadi A, P dan Q merupakan kolinear dengan

P’ merupakan titik tengah AP dan Q’ titik tengah AQ sehingga P = Q. Dengan demikian, T

merupakan fungsi Injektif .

KESIMPULAN : Karena T merupakan fungsi Injektif dan fungsi Surjektif maka T

merupakan fungsi bijektif dengan demikian relasi T merupakan tranformasi.

2. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik

yang terletak di tengah antara g dan h.

Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut :

Apabila P ⋲ g maka P’ = T(P) = PA ⋂ h

a. Apakah daerah nilai T ?

Jadi, daerah nilai T adalah semua titik pada garis h

b. Apabila D ⋲ g , E ⋲ g, D ≠ E , buktikan D’E’ = DE; D’= T(D), E’ = T(E).

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Lihat Segitiga ADE dan Segitiga AD’E’

< DAE = <D’AE’ (bertolak belakang)

DA = AD’ (karena A berada di tengah garis g dan h)

EA = AE’ (karena A berada di tengah garis g dan h)

Jadi dapat disimpulkan bahwa segitiga ADE ekuivalen dengan segitiga AD’E’ (sisi

sudut sisi). Akibatnya D’E’ = DE . Perbadingan DE/D’E’ = 1/1

c. Apakah T injektif ?

Ambil 2 titik D dan E pada g dengan D ≠ E akan dibuktikan T(D) ≠ T(E)

Misal, T(D) = T(E) sehingga T(D) = garis DA ⋂ h dan T(E) = garis EA ⋂ h. Dan

dalam hal ini, maka garis DA dan garis EA memiliki 2 titik sekutu yaitu titik A. Jadi,

T(D) = T(E).

Ini berarti bahwa garis DA dan garis EA berimpit sehingga berakibat D = E. Hal ini

kontradiksi maka permisalan SALAH. Yang benar adalah T(D) ≠ T(E) sehingga T

injektif.

3. Diketahui sebuah titik k dan ruas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , K ∈ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dan sebuah garis g sehingga g sejajar

dengan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dan jarak antara k dan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ adalah dua kali lebih panjang daripada jarak

antara k dan g. ada padanan T dengan daerah asal 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dan daerah nilai g sehingga

apabila P ∈ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ maka T(P) = P’ = 𝐾𝑃̅̅ ̅̅ ∩ g.

Apakah T injektif ?

Asumsikan T(E) = E’ = EK ∩ g maka ada dua titik D dan E pada AB. Dengan D ≠ E akan

dibuktikan T(D) ≠ T(E). misalkan :

T(D) = T(E) dan D ≠ E

D’ = T(D). D’ garis DK ∩ g

E’ = T(E). E’ garis EK ∩ g

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Maka 𝐷𝐾̅̅ ̅̅ dan 𝐸𝐾̅̅ ̅̅ memiliki titik sekutu di K, T(D) = T(E). Jadi, 𝐷𝐾̅̅ ̅̅ dan 𝐸𝐾̅̅ ̅̅ berimpit

sehingga D = E.

Lihat ∆FKE dan ∆F’KE’. Hal ini kontradiksi dengan permisalan T(D) = T(E) yang benar

T(D) ≠ T(E)

E’F’ = ½ EF

D = E

g(D) = g(E)

D≠E

g(D) ≠ g(E)

sehingga dapat disimpulkan T injektif.

4. Sebuah lingkaran dengan jari-jari (r) dengan pusat A pada bidang euclide

ditetapkan relasi T sebagai berikut :

∀P ∈ V, T(P) = Q sehingga 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ . 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2

Apakah relasi T suatu transformasi ?

Bukti fungsi V ke v muncul dua kemungkinan yaitu P = A atau P ≠ A

Untuk P = A

𝐴𝑃̅̅ ̅̅ . 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2

𝐴𝐴̅̅ ̅̅ . 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2

0 . 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2

𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2/0

𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = ∞

Kesimpulan : tidak ada Q yang memenuhi 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ . 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = r2 untuk P = A sehingga Q ∈ 0

bukan fungsi V ke v karena bukan fungsi V ke v sehingga relasi T bukan Transformasi.