soal dan penyelesaian ujian tengah semester aljabar

UJIAN TENGAH SEMESTER

MATA KULIAH AL JABAR

Rabu, 1 Desember 2010

1. Tentukan nilai n, jika jumlah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x + n = 0 sama dengan jumlah

pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + x + n = 0 !

Penyelesaian :

Persamaan Kuadrat :

x2 – 3x + n = 0 …… (i) misalkan akar-akar dari pers. tersebut adalah x1 dan x2

x2 + x + n = 0 …… (ii) misalkan akar-akar dari pers. tersebut adalah x3 dan x4

Jumlah akar-akar pers. (i) = jumlah pangkat tiga dari pers. (ii), maka

x1+ x2=x33+x4

3

−ba

=(x3+x4)3−3 x3 x4(x3+ x4)

−(−3)1

¿ (−ba

)3

−3.ca

.(−ba

)

−(−3 )1

=(−11 )

3

−3.n1

.(−11 )

3=(−1 )+3 n

3+1=(−1 )+1+3 n

3 n=¿ 4

n=43=1

13




2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 16 ( x−15 )2−25=0

Penyelesaian :

16 ( x−15 )2−25=0

16(x−15)2=25

(x−15)2=2516

( x−15 )=±54

x−15+15=±54+15

x=±54+15

x1=5+60

4=65

4=16

14

x2=−5+60

4=55

4=13

34

3. Grafik fungsi y=f (x ) melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai sumbu simetri x=1.

Tentukan nilai ekstrim tersebut !

Penyelesaian :

Bentuk umum persamaan kuadrat ;

y=a x2+bx+c

Untuk fungsi yang melalui titik (2,5)

y=a x2+bx+c

5=a(2)2+2b+c

5=4 a+2b+c …. (i)

Untuk fungsi yang melalui titik (7,40)

y=a x2+bx+c

40=a (7)2+7 b+c

40=49 a+7 b+c …. (ii)

Sumbu simetri x=1

−b2 a

=1

−b=2 a …. (iii)

Eliminasi pers. (i) dan (ii)

5=4 a+2b+c40=49 a+7 b+c

−35=−45 a−5 b….(iv)

Subtitusi −b=2 a ke pers. (iv)

−35=−45 a+10 a

−35=−35 a

a=1

Subtitusi a=1 ke pers (iii)

−b2 a

=1

−b2.1

=1

−b=2 ⇔b=−2

Subtitusi a=1 dan b=−2 ke pers. (i)

5=4 a+2b+c

5=4 (1 )+2 (−2 )+c

c=5

Maka nilai ekstrim fungsi tersebut adalah

P(−b2a

,−D4 a )

P(−(−2 )2.1

,−((−2 )2−4.1 .5 )

4.1 )P( 2

2,−(−16)

4 )P (1,4 )




4. Tentukan nilai x yang memenuhi :

Penyelesaian :

22x−5.2x+1+16=0

(2x)2−5.2 . 2x+16=0

Misalkan p=2x maka,

p2−10 p+16=0

( p−2 ) ( p−8 )=0

( p−2 )=0 atau ( p−8 )=0

p1=2atau p2=8

Jika p=2x maka,

p1=2atau p2=8

2x=2 atau2x=23

x=2 atau x=3

5. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :

3 x2+7 x−14x2+3 x−4

≥ 2

3 x2+7 x−14x2+3 x−4

−2≥ 0

(3 x¿¿2+7 x−14)−2 (x2+3 x−4)x2+3 x−4

≥ 0¿

(3 x¿¿2+7 x−14)−(2 x2+6 x−8)x2+3 x−4

≥0¿

x2+x−6x2+3 x−4

≥ 0

( x−2 )(x+3)( x−1 )(x+4)

≥0

Nilai x yang memenuhi adalah x < -4 atau -3 ≤ x<1 atau x ≥ 2




6. Tentukan nilai p agar grafik fungsi kuadrat f ( x )=x2+8 x+( p−6) selalu di atas sumbu x !

Penyelesaian :

Syarat agar selalu di atas sumbu x adalah a>o dan D<0

b2−4. a . c<0

(8)2−4 (1 ) ( p−6 )<0

-4 -3 1 2

+++++ ------------- +++++ --------- +++++

64−4 p+24<0

−4 p+88<0

−4 p<−88

4 p>88

p> 884

p>22

7. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan

puncak grafik f ( x )=x2+4 x+3

Penyelesaian :

Titik puncak grafik f ( x )=x2+4 x+3 adalah

P(−b2 a

,−D4 a )

P(−42.1

,−44.1 )

P (−2 ,−1 )

Karena titik ekstrimnya sama dengan fungsi yang ditanyakan, maka

y=a(x−x p)2+ y p

y=a(x+2)2−1

Grafik melalui titik (-1,3), maka

3=a(−1+2)2−1

3=a−1

a=4

Subtitusi a=4 ke pers. y=a(x+2)2−1, maka

y=4 (x+2)2−1

y=4 ( x2+4 x+4 )−1

y=4 x2+16 x+16−1

y=4 x2+16 x+1 5

soal dan penyelesaian ujian tengah semester aljabar

Documents