soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat kota 2014 [bagian b]_rev

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

http://m2suidhat.blogspot.com/ 1

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2014

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

8 Maret 2014

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Bentuk paling sederhana dari 53

130332011

20112014

adalah ….

Pembahasan:

Alternatif (1)

53

130332011

20112014

=

53

130332011

201132011

= 53

1303332011

201132011

= 53

13032732011

20112011

= 53

13033272011

20112011

= 53

531353272011

20112011

=

53

5353272011

20112011

=

53

531272011

2011

= 27 – 1

= 26

Jadi, bentuk paling sederhana dari 53

130332011

20112014

adalah 26

Alternatif (2)

53

130332011

20112014

=

53

130332011

201132011

= 53

1303332011

201132011

= 53

13032732011

20112011

= 53

13033272011

20112011

= 53

1303262011

2011

=

53

53262011

2011

= 26




2. Banyak persegi pada gambar berikut adalah ….

Pembahasan:

Banyak persegi pada ukuran 1 × 1 adalah 22




Dengan demikian banyak persegi seluruhnya = 22 + 3 + 8 + 2 = 35

Jadi, Banyak persegi pada gambar yang dimaksud adalah sebanyak 35

3. Berikut adalah gambar sebuah persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi yang dibuat

dari batang korek api. Sebagai contoh, bentuk 1× 5 memerlukan 16 batang korek api, bentuk 2 ×

5 memerlukan 27 batang korek api, seperti gambar berikut.

Bentuk 1 × 5

Bentuk 2 × 5

Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat persegi panjang dengan bentuk 51 × 5

adalah ….

Pembahasan:

Diketahui banyak korek api pada bentuk 1 × 5 = 16

banyak korek api pada bentuk 2 × 5 = 27

dengan cara yang sama akan diperoleh:



....

....

....

Bila kita perhatikan dengan seksama, banyaknya korek api tersebut membentuk deret aretmatika,

yakni: 16, 27, 38, 49, ......, Un dengan beda 11

Dengan demikian untuk mengetahui banyaknya korek api pada bentuk 51 × 5, cukup mencari

suku ke-51, yaitu sebagai berikut

Un = a + (n – 1)b U51 = 16 + (51 – 1)×11

= 16 + (50)×11

= 16 + 550

= 566

Jadi, Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat persegi panjang dengan

bentuk 51 × 5 adalah sebanyak 566




4. Jika suku2014

222...222...222222 = M , maka tiga angka terakhir dari M adalah ….

Pembahasan:

Diketahui suku2014

222...222...222222 = M

Kemudian mencari pola untuk mengetahui digit satuan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan

cara 2 × 2014 = 4028, yakni 8

Berikutnya mencari pola untuk mengetahui digit puluhan dari penjumlahan tersebut, yaitu

dengan cara 2 × 2013 + 402= 4428, yakni 8

Selanjutnya mencari pola untuk mengetahui digit ratusan dari penjumlahan tersebut, yaitu

dengan cara 2 × 2012 + 442 = 4466, yakni 6

Jadi, tiga angka terakhir dari M adalah 688

5. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

13

61 2

x

x

xx adalah ….

Pembahasan:

1

3

61 2

x

x

xx

01

3

61 2

x

x

xx

03

3161 2

x

xxxx

03

3266 223

x

xxxxx

03

342 23

x

xxx

03

31 2

x

xxx

(untuk bentuk x2 – x + 3 tidak digunakan, karena D = 1 – 4(3)(1) < 0

Sehingga cukup menggunakan

03

1

x

x

HP = {x|x – 3 < x ≤ 1}

Jadi, semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

13

61 2

x

x

xx adalah – 3 < x ≤ 1

-3 1




6. Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan – bilangan asli berurutan, maka

bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui bilangan-bilangan asli berurutan yang jumlahnya 2014, sebagai berikut:

Pertama: bilangan 2014 di bagi 2, yakni 2

2014 = 1007

Kedua: bilangan 1007 juga dibagi 2, yakni 2

1007 = 503 sisa 1

Artinya dua bilangan berurutan yang apabila dijumlahkan sama dengan 1007 adalah 503 + 504

Kemudian menntukan bilangan-bilangan kurang 503 dan lebih 504 yang apabila dijumlahkan

sama dengan 2014, yakni: 502 + 503 + 504 + 505 = 2014

Jadi, bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 505

7. Delapan pensil dengan warna berbeda akan diletakkan dalam dua kotak mini untuk kepentingan

promosi. Banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak

ada kotak yang kosong adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui cara mengatur 8 pensil pada 2 kotak sehingga tidak ada yang kosong adalah

sebagai berikut:

Jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya sama, maka pasangan yang mungkin

adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4

= 8 + 28 + 56 + 70

= 162

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak

ada kotak yang kosong adalah 162 cara

Akan tetapi jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya berbeda, maka pasangan

yang mungkin adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4 + 8C4 × 4C4 + 8C5 × 3C3+ 8C6 × 2C2+ 8C7 × 1C1

= 8 + 28 + 56 + 70 + 70 + 56 + 28 + 8

= 324

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak

ada kotak yang kosong adalah 324 cara

8. Jika hasil penjumlahan empat dari enam pecahan 20

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1 dan

40

1adalah

10

9, maka hasil

kali dua pecahan lainnya adalah ….




Pembahasan:

Untuk mengetahui hasil penjumlahan empat bilangan pecahan adalah 10

9 dan hasil kali dua

pecahan lainnya, terlebih dulu disamakan penyebutnya, yaitu

20

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1 dan

40

1

80

4,

80

5,

80

10,

80

20,

80

40 dan

80

2

Kemudian didapat juga 10

9

80

72.

Selanjutnya mencari 4 pecahan dari 6 pecahan tersebut sehingga apabila dijumlahkan sama

dengan 80

72, yaitu

80

2

80

10

80

20

80

40 =

80

72

Dengan demikian hasil kali dua pecahan lainnya = 320

1

20

1

16

1

80

4

80

5

Jadi, hasil kali dua pecahan lainnya adalah 320

1

9. Perhatikan gambar di bawah ini. ABC adalah segitiga sama sisi. PQ tegak lurus AB, PS tegak

lurus AC, dan PR tegak lurus BC.

Jika PQ = 1, PR = 2, dan PS = 3, maka AB = ….

Pembahasan:

Perhatikan kembali gambar segitiga ABC sama sisi berikut

Dengan menggunakan teorema pythagoras didapat tinggi ABC: t = AB2

3

Kemudian perhatikan luas ABC, luas APB, luas BPC dan luas APC, yakni

Luas ABC = Luas APB + luas BPC + luas APC

2

1× AB × t =

2

1× AB × QP +

2

1× BC × RP +

2

1× AC × SP

t




AB × 2

3AB = AB × 1 + AB × 2 + AB × 3

2

3AB = 6

AB = 3

12

AB = 4 3

Jadi, AB = 4 3

10. Diberikan dua segitiga dan delapan persegi dengan sifat – sifat berikut.

(i) Dua segitiga siku – siku berukuran sama. Panjang sisi tegaknya 2 dan 4 satuan. Kedua

segitiga tersebut berwarna berbeda, satu berwarna biru, dan lainnya berwarna ungu.

(ii) Delapan persegi berukuran sama. Panjang sisi – sisinya 1 satuan. Tiga persegi berwarna

merah, tiga persegi berwarna kuning, dan lainnya berwarna hijau.

Dua segitiga dan delapan persegi tersebut akan disusun berimpitan sehingga membentuk persegi

berukuran 4 × 4 satuan yang akan dipakai sebagai hiasan dinding. Dengan memperhatikan

komposisi warna yang berbeda, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan di atas

adalah ….

Pembahasan:

Diketahui dua segitiga siku-siku berwarna berbeda, sehingga untuk mengatur susunan warnanya

adalah 2! = 2.

Diketahui juga 8 persegi dengan 3 persegi berwarna merah, 3 persegi berwarna kuning, dan 2

persegi berwarna hijau, sehingga untuk mengatur ke-8 persegi tersebut adalah dengan

menggunapan formula permutasi berulang,

P = !2!3!3

!8

= 8 × 7 × 5 × 2 = 560

Selanjutnya kita mencari pola untuk model susunan 2 segitiga dan 8 persegi agar membentuk

persegi dengan ukuran 4 × 4, yakni sebagai berikut

Sehingga banyak model susunan yang terbentuk adalah ada 2 model

Dengan demikian banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan = 2 × 560 × 2

= 1120 × 2

= 2240

Jadi, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan sesuai dengan aturan yang

dimaksud adalah 2240 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir

Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: [email protected]

Terima kasih.

My blog : http://m2suidhat.blogspot.com/

Model 1 Model 2

soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat kota 2014 [bagian b]_rev

Documents